矩阵论考博题选

设矩阵()n n ij A a C ⨯=∈满足

1(1,2,,)n

ii ij j j i

a a i n =≠>=∑

则称A 为严格对角占优矩阵。证明 （i ）A 是非奇异矩阵。

（ii ）11diag(,,)nn D a a = ，1

B I D A -=-，证明()1B ρ< 证明

（i ）反证。假设A 是奇异矩阵（即0A =），则0Ax =有非零解：12(,,,)T n x x x x = 。 设1max 0k i i n

x x ≤≤=≠，由

1

0n

kj

j j a

x ==∑，得1

n

kk k kj j j j k

a x a x =≠=-∑，两边取绝对值又得

111n

n

n

k kk kj j k

kj

kk kj j j j j k

j k

j k

x a a x x a

a a ===≠≠≠≤≤⇒≤∑∑∑

这与A 是严格对角占优矩阵矛盾。故A 是非奇异矩阵。证毕。 （ii ）11()B I D A D D A --=-=-，B 的特征多项式为

11det()det(())det()det(())I B D D A D D D A D λλλ---=+-=+- （1）

如果B 的某个特征值

10≥λ，则显然0()D A D λ+-也是严格对角占优矩阵。由结论（i ），0d e

t (())0D A D λ+-≠

。把式（1）中λ换成0λ，左边等于零，右边不等于零，矛盾。从

而B 的任一特征值1λ<，即()1B ρ<。

A 是非奇异的充要条件是存在常数项不为零的多项式()g λ使得()g A O =。

证明 设A 的特征多项式为

11100()((1))n n n n f I A a a a a A λλλλλ--=-=++++=-

由Hamilton-Cayley 定理，()f A O =。

必要性：如果A 是非奇异的，则00a ≠，取()()g f λλ=，即得证。 充分性：设11100()(0)m m m g a a a a λλλλ--=++++≠ ，且

1110()m m m g A A a A a A a I O --=++++=

移项121101()m m m A A a A a I I a ---⎛⎫

-+++= ⎪⎝⎭

，说明A 可逆。

设,

n n C A ⨯∈n λλλ,,,21 是矩阵A 的n 个特征值，证明

2

2

1

11

n

n n

i

ij i i j a λ

===≤∑∑∑

证明 由Schur 定理，对于任意的,n n C A ⨯∈存在n 阶酉矩阵,U 使得

R AU U H =

其中n n ij r R ⨯=)(为对角元为A 的特征值n λλλ,,,21 的上三角矩阵。 对上式两端取共轭转置并两式相乘得：

R

R AU A U H H H =

即H

A A 与H

R R 酉相似。从而()()H H tr A A tr R R =，

因为R 为对角元为A 的特征值的上三角矩阵，所以

2

2

2

1

1

11

()(n

n

n n

H

H

i ii ij i i i j r r tr R R tr A A λ=====≤===∑∑∑∑）

2

11

n n

ij i j a ==∑∑

设A 为n 阶的Hermite 矩阵，其特征佂12n λλλ≤≤≤ ，证明对任意非零向量n

x C ∈有

1H n H x Ax

x x

λλ≤≤

证明 因A 为n 阶的Hermite 矩阵，故存在酉矩阵U 使得

12diag(,,,)H n U AU λλλ=

令x Uy =，则

222

1122()H H H n n x Ax y U AU y y y y λλλ==+++

所以

222222

11212()()H n n n y y y x Ax y y y λλ+++≤≤+++

又2

2

2

12H H n

y y y y y x x +++== ，所以

1H

H

H

n x x x Ax x x λλ≤≤，1H n H x Ax

x x

λλ≤≤

m n A C ⨯∈，证明：2,,max ij ij i j

i j

a A a ≤≤

证明 设2

1x

=，(1,2,,)T i i m α= 为A 的行，则 2

2

2

2222

2

1

2

1222

2

2

,max T T T T T T m

m ij i j

Ax x x x mn a αααα

α

α

=+++≤+++≤

所以

2221

,max ij x i j

A Ax a ==≤

特别地取121,,,,(1,0,,0),n x e e e e == 等。得

2222

1

1max max j

ij x j n

A Ax Ae a =≤≤=≥≥

从而2

,max ij i j

A a ≥

设A 是n 阶矩阵，证明2

rank rank()A A I n A A +-=⇔=

证明 设2

A A =，()A A I O -=，从而由常用结论，rank rank()A A I n +-≤ 又()I A I A =+-，由常用结论，

rank rank[()]rank rank()rank rank()n I A I A A I A A A I ==+-≤+-=+-

综上，rank rank()A A I n +-=。

反之，,()n

C A I A αααα∀∈=+-，所以()()n

C R A R I A =+- 又rank rank()A A I n +-=，则由维数公式

{}()()0R A R I A -=

因

2()()()A A A I A R A αα-=-∈,又2()()()A A I A A R I A αα-=-∈-