矩阵论考博题选
矩阵论复习题
矩阵论复习题矩阵论是数学的一个重要分支，在许多领域都有着广泛的应用，如工程、物理、计算机科学等。
以下是一些矩阵论的复习题，希望能帮助大家巩固所学知识。
一、矩阵的基本运算1、已知矩阵 A ＝ 1 2; 3 4，B ＝ 5 6; 7 8，求 A ＋ B，A B，A B。
2、计算矩阵 C ＝ 2 －1; 3 0 的逆矩阵。
3、设矩阵 D ＝ 1 0 0; 0 2 0; 0 0 3，求 D 的行列式。
二、矩阵的秩1、求矩阵 E ＝ 1 2 3; 2 4 6; 3 6 9 的秩。
2、已知矩阵 F 的秩为 2，且 F ＝ a b c; d e f; g h i，其中 a ＝ 1，b＝ 2，c ＝ 3，d ＝ 2，e ＝ 4，f ＝ 6，求 g，h，i 满足的条件。
三、线性方程组1、求解线性方程组：x ＋ 2y z ＝ 1，2x y ＋ 3z ＝ 2，3x ＋ y 2z＝ 3。
2、讨论线性方程组：x ＋ y ＋ z ＝ 1，2x ＋ 2y ＋ 2z ＝ 2，3x ＋3y ＋ 3z ＝ 3 的解的情况。
四、向量空间1、证明向量组 a1 ＝ 1 2 3，a2 ＝ 2 4 6，a3 ＝ 3 6 9 线性相关。
2、已知向量空间 V ＝｛（x, y, z) ｜ x ＋ y ＋ z ＝ 0}，求 V 的一组基和维数。
五、特征值与特征向量1、求矩阵 G ＝ 2 1; 1 2 的特征值和特征向量。
2、已知矩阵 H 的特征值为 1，2，3，对应的特征向量分别为 p1 ＝1 0，p2 ＝ 0 1，p3 ＝ 1 1，求矩阵 H。
六、相似矩阵1、判定矩阵 I ＝ 1 2; 0 3 和矩阵 J ＝ 3 0; 0 1 是否相似。
2、若矩阵 K 和矩阵 L 相似，且矩阵 K 的特征值为 2，3，矩阵 L 的特征值为 4，5，求矩阵 K 和矩阵 L 之间的相似变换矩阵。
七、矩阵的分解1、对矩阵 M ＝ 4 2; 2 1 进行 LU 分解。
2、把矩阵 N ＝ 1 2 3; 2 4 6; 3 6 9 分解为 QR 分解。
考博必备 研究生矩阵理论课后答案矩阵分析所有习题
①: , A
*
( A )
*
T
( A ) A
* *
*
, ;
( k , ) k A k ( , );
习题3-30
#3-30:若ACnn,则A可唯一地写为 A=B+C,其中BHnn,CSHnn.
证:存在性 取 B=(1/2)(A+A*),C=(1/2)(A-A*), 则显然B,C分别是Hermite矩阵和反Hermite矩阵, 并且满足A=B+C. 唯一性 若 A=B+C,其中BHnn,CSHnn,则 A*=(B+C)*=B*+C*=B-C. 于是 B=(1/2)(A+A*),C=(1/2)(A-A*). 证毕 注:令T=-iC,则T*=iC*=i(-C)=T,即THnn.由此推 出:A可唯一地写为A=B+iT,其中B,THnn.
习题3-14
#3-14:若AHmn,A2=E,则存在UUnn使得 U*AU=diag(Er,-En-r).
证:存在UUnn使得 A=Udiag(1,…,n)U*, (*) 其中1,…,n是A的特征值的任意排列. ∵ A2=E=Udiag(1,…,1)U* 和 A2=Udiag(1,…,n)U*Udiag(1,…,n)U* =Udiag(12,…,n2)U* ∴ i2=1,即i=1,i=1,…,n,. 取1,…,n的排列使特征值1(设共有r个)全排在 前面,则(*)式即给出所需答案.
习题3-20 试证:两个半正定矩阵之和是半正 定;半正定矩阵与正定矩阵之和是正定矩阵
矩阵论考试试题(含答案)
矩阵论试题一、(10分)设函数矩阵()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=t t t t t A sin cos cos sin求：()⎰tdt t A 0和(()⎰20t dt t A )'。
解：()⎰t dt t A 0()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰⎰⎰tttt tdt tdt dt t dtt 00sin cos cos sin ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---t t t t cos 1sin sin cos 1 (()⎰2t dt t A )'=()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅22222sin cos cos sin 22t t t t t t t A 二、(15分)在3R 中线性变换σ将基⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1202α，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1013α变为基 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0111β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1102β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2303β(1)求σ在基321,,ααα下的矩阵表示A ；(2)求向量()T 3,2,1=ξ及()ξσ在基321,,ααα下的坐标； (3)求向量()()ξσξ及T 3,2,1=在基321,,βββ下的坐标。
解：(1)不难求得：()2111ααβασ-==()32122αααβασ++-==()321332αααβασ++-==因此σ在321,,ααα下矩阵表示为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=110211111A(2)设()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321321,,k k k αααξ，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321111021101321k k k解之得：9,4,10321-=-==k k k 所以ξ在321,,ααα下坐标为()T 9,4,10--。
()ξσ在321,,ααα下坐标可得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1332239410110211111321y y y (3)ξ在基321,,βββ下坐标为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---6151941001111110194101A()ξσ在基321,,βββ下坐标为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---94101332230111111011332231A 三、(20分)设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=301010200A ，求At e 。
矩阵论试题0712
矩阵论试题（07，12）一.(18分)填空：1.矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=2101120100102201A 的Jordan 标准形为J = 2.设,4321,1001021001201001⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=x A 则⎪⎩⎪⎨⎧===∞Ax A A F 23. 若A 是正交投影矩阵，则cos(A )=4. 设nm CA ⨯∈，A +是A 的Moore-Penrose 逆，则(-2A,A )+=5.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=300220111,4221B A ，则A B +I 2I 3的全体特征值是（ ）。
6. 设向量空间R 2按照某种内积构成欧式空间，它的两组基为)1,1(),1,1(21-==αα和),12,6(),2,0(21==ββ且i α与j β的内积为3),(,1),(,15),(,1),(22122111=-===βαβαβαβα 则基21,αα的度量矩阵为（ ）。
二.(10分)设n m n m ij C a A ⨯⨯∈=)(,定义实数ijji a n A ,max =1. 证明A 是nm C⨯中的矩阵范数.2. 证明该矩阵范数与向量的∞-范数相容.三.(15分)已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=321)0(,211)(,211121221x e t b A t 。
1. 求Ate；2. 用矩阵函数方法求微分方程)()()(t b t Ax t x dtd+=满足初始条件x (0)的解。
四.(10分)用Givens 变换求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=4300041220513003400054321A 的QR 分解。
五.（10分）用Gerschgorin 定理隔离矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=i i A 22.03.005.245511.02011.002的特征值。
（要求画图表示） 六. (15分)已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=1321,01111211111101110100b A 。
矩阵论考博真题
北京航天航空大学2020年攻读博士学位研究生入学考试试题考试科目：矩阵论考试时间：月日（注：特别提醒所有答案一律写在答题纸上，直接写在试题或草稿纸上的无效！）—————————————————————————————————--1、已知β=(1，3，-3)T，α1=(1，2，0)T，α2=(1，a+2，-3a)T，α3=(-1，-b-2，a+2b)T，求当a,b 为何值时，(1)β不能用α1…α3线性表示；(2)β能用α1…α3唯一表示，并写出表示式；(3)β能用α1…α3线性表示且不唯一，并写出表示式。
2、f(x 1,x 2,x 3)=2x 12+3x 22+3x 32+2ax 2x 3(a>0)，通过正交线性替换化为标准形f=y 12+2y 22+5y 32，求a 及所用的正交线性替换。
3、x 0是Ax=b 的一个解向量，α1…αn-r 为齐线性方程组的基础解系，求：(1)x 0,α1…αn-r 线性无关；(2)x 0，x 0+α1…x 0+αn-r 是Ax=b 的n-r+1个线性无关的向量；(3)Ax=b 任何一个解可表示成x=x 0k 0+k 1(x 0+α1)+…+k n-r (x 0+αn-r )，且k 0+k 1+…+k n-r =1。
4、A、B、C、D 是n*n 矩阵，A 可逆且AC=CA，证：A B AD CBCD=-5、发v1、v2为线性空间，证dim(v1)+dim(v2)=dim(v1+v2)+dim(v1∩v2).6、画出A 的所有盖氏圆盘，各圆盘表达式，并用盖氏圆盘定理证A 至少有2个实特征值，也至多有2个虚特征值，指出各特征值所在区间。
7、设010301010A =可代为对角矩阵，并求A 9的谱分解式。
8、A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010001000，计算e At，t 为实变量。
9、A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-120000001101，求A{1}。
北京航天航空大学2018年攻读博士学位研究生入学考试试题考试科目：矩阵论考试时间：月日（注：特别提醒所有答案一律写在答题纸上，直接写在试题或草稿纸上的无效！）—————————————————————————————————--一.(18分)填空：设.1111,0910⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A 1.A -B 的Jordan 标准形为J =2.是否可将A 看作线性空间V 2中某两个基之间的过渡矩阵（）。
08级-北航博士-矩阵论试题与答案
一（15分）计算 (1) 已知A 可逆，求10d Ate t ⎰（用矩阵A 或其逆矩阵表示）； （2）设1234(,,,)Ta a a a =α是给定的常向量，42)(⨯=ij x X 是矩阵变量，求Td()d X αX ；（3）设3阶方阵A 的特征多项式为2(6)I A λλλ-=-，且A 可对角化，求kk A A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞→)(lim ρ。
二（15分）设微分方程组d d (0)xAx t x x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪=⎩，508316203A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭，0111x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（1）求A 的最小多项式)(λA m ； （3）求Ate ； （3）求该方程组的解。
三（15分）对下面矛盾方程组b Ax =312312111x x x x x x =⎧⎪++=⎨⎪+=⎩ （1）求A 的满秩分解FG A =； （2）由满秩分解计算+A ；（3）求该方程组的最小2－范数最小二乘解LS x 。
四（10分）设1113A ⎫=⎪⎭求矩阵A 的QR 分解（要求R 的对角元全为正数，方法不限）。
五（10分） 设(0,,2)TnA R n αβαβ=≠∈≥ （1）证明A 的最小多项式是2()tr()m A λλλ=-；（2）求A 的Jordan 形（需要讨论）。
六（10分）设m n r A R ⨯∈，（1）证明rank()n I A A n r +-=-；（2）0Ax =的通解是(),n n x I A A y y R +=-∀∈。
七（10分）证明矩阵2121212311122222224333333644421(1)(1)n n n n n n n n n n ---⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭A （1）能与对角矩阵相似；（2）特征值全为实数。
八（15分） 设A 是可逆矩阵，11,B A Aαβ-=-=（这里矩阵范数都是算子范数）， 如果βα<，证明（1）B 是可逆矩阵；（2）11B αβ-≤-；（3）11()B A βααβ---≤-。
矩阵论考博题选
设矩阵()n n ij A a C ⨯=∈满足（i ）A 是非奇异矩阵。
（ii ）11diag(,,)nn D a a = ，1B I D A -=-，证明()1B ρ< 证明（i ）反证。
假设A 是奇异矩阵（即0A =），则0Ax =有非零解：12(,,,)T n x x x x = 。
设1max 0k i i nx x ≤≤=≠，由10nkjj j ax ==∑，得1nkk k kj j j j ka x a x =≠=-∑，两边取绝对值又得111nnnk kk kj j kkjkk kj j j j j kj kj kx a a x x aa a ===≠≠≠≤≤⇒≤∑∑∑这与A 是严格对角占优矩阵矛盾。
故A 是非奇异矩阵。
证毕。
（ii ）11()B I D A D D A --=-=-，B 的特征多项式为11det()det(())det()det(())I B D D A D D D A D λλλ---=+-=+- （1）如果B 的某个特征值10≥λ，则显然0()D A D λ+-也是严格对角占优矩阵。
由结论（i ），0d et (())0D A D λ+-≠。
把式（1）中λ换成0λ，左边等于零，右边不等于零，矛盾。
从而B 的任一特征值1λ<，即()1B ρ<。
A 是非奇异的充要条件是存在常数项不为零的多项式()g λ使得()g A O =。
证明 设A 的特征多项式为11100()((1))n n n n f I A a a a a A λλλλλ--=-=++++=-由Hamilton-Cayley 定理，()f A O =。
必要性：如果A 是非奇异的，则00a ≠，取()()g f λλ=，即得证。
充分性：设11100()(0)m m m g a a a a λλλλ--=++++≠ ，且1110()m m m g A A a A a A a I O --=++++=移项121101()m m m A A a A a I I a ---⎛⎫-+++= ⎪⎝⎭，说明A 可逆。
东南大学考博矩阵论复习题
2011矩阵论复习题1.设+=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为yx y x ⋅=⊕对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为kx x k =⊗问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由.2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为),(112211y x y x y x y x +++=⊕对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为)2)1(,(2121x k k kx kx x k −+=⊗问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由.3．设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=，试证明S 是3R 的子空间，并求S 的一组基和S dim .4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间,)}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈=′=证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim .5.设T 是2R 上的线性变换,对于基向量i 和j 有j i i T +=)(ji j T −=2)(1)确定T 在基},{j i 下的矩阵;2)若j i e −=1j i e +=32,确定T 在基},{21e e 下的矩阵.敬告：本资源来自网络，如有侵权，请发邮件至liwdedy@ ，收到后立即删除，谢谢!6.设T 是3R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有k j k j i T −=++)(i k j T =+)(kj i k T 532)(++=1)确定T 在基},,{k j i 下的矩阵;2)求T 的零空间和像空间的维数.7.设线性空间3R 的两个基为(I):321,,x x x ,(II):321,,y y y ,由基(I)到基(II)的过度矩阵为⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=101010101C ,3R 上的线性变换T 满足21321)32(y y x x x T +=++12323(24)T x x x y y ++=+31321)43(y y x x x T +=++1)求T 在基(II)下的矩阵;2)求)(1y T 在基(I)下的坐标.8.在线性空间)(3R P 中321)(x x x a x f +++=3221)(x x ax x f +++=32321)(x x x x f +++=讨论)(),(),(321x f x f x f 的线性相关性.9.在22R ×中求由基(I)12101A ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠20122A ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠32112A −⎛⎞=⎜⎟⎝⎠41312A ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠到基(II)11210B ⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠21111B −⎛⎞=⎜⎟⎝⎠31211B −⎛⎞=⎜⎟⎝⎠41101B −−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠的过渡矩阵.10.已知1(1,2,1,0)α=2(2,1,0,1)α=−1(1,1,1,1)β=−2(1,1,3,7)β=−设1212(,)(,)V L L ααββ=∩,求线性空间V 的维数和基.11.在)(2R P 中,对任意的)()(),(2R P x g x f ∈定义内积为∫=10)()())(),((dx x g x f x g x f 若取)(2R P 的一组基},,1{2x x ,试用Schmidt Gram −正交化方法,求)(2R P 的一组正交基.12.求矩阵10002i A i +⎛⎞=⎜⎟⎝⎠的奇异值分解.13.设A 为n 阶实矩阵,证明A 可表示为一对称矩阵和一反对称矩阵之和.(提示:若A A T =,称A 为对称矩阵。
武汉科技大学《矩阵分析》2011博士入学考试试题
密封线内不要写题
二O一一年招收博士研究生入学考试试题
考试科目及代码：矩阵分析（3309）
可使用的常用工具：计算器
答题内容写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上一律无效考பைடு நூலகம்后试题随答题纸交回。
考试时间3小时，总分值100分。
注意：以下试题中： 表示 的转置， 表示 的共轭转置阵， 表示 的对角元素的和， 表示单位阵，如果 与 可以交换，称 为正规阵。
八、（18分）证明题
1． 、 为 阶正规阵，求证 与 相似的充分必要条件是： 、 的特征多项式相同。
2． 为 维线性空间 上的线性变换，求证 可逆的充分必要条件是 的值域为 。
一、填空（共4小题16分）
1．线性空间 的正交补为。
2．已知 为正交阵，则 。
3． 为二阶方阵， 的特征值为2、 ，则 的特征多项式为。
4． ， 的Frobenius范数 。
二、单项选择题（共4小题16分）
1．已知 阶方阵 与对角阵相似，则 的最小多项式不可能为
A） ；B） ；C） ；D） 。
2． ， 为线性空间 的子空间，则当时，
为直和。
A） ；
B） ；
C） ；
D） 。
3． 为 阶实方阵，必为正定阵。
A） ；
B） ；
C） ；
D） 。
4． 是 维欧式空间， 为 上的正交变换，
则
A） 在任意一组基下的矩阵都为正交阵；
B） 的特征值全为1；
C） 把任意三角形都变成与之全等的三角形；
D） 在任意一组基下的矩阵的行列式都为1。
三、（10分）
， = ，
1．验证 为 的线性子空间。
2．求 的维数和一组基。
矩阵论复习题 带答案1
矩阵论复习题1设A 、B 均为n 阶正规矩阵，试证A 与B 酉相似的充分必要条件是A 与B 的特征值相同。
证明: 充分性：A 与B 的特征值相同，A 、B 均为n 阶正规矩阵，则有11,A P IP B Q IQ --== 故11111,,A P QIQ P R Q P R P Q -----==令= A 与B 酉相似 必要性:A,B 为n 阶正规矩阵，存在初等变换R,1A RBR -=11,,,I E PQ A P IP B Q EQ --==为对角矩阵，存在初等变换111,I PAP E QRAR Q ---== ，因为I,E 为对角矩阵，故I=E 。
因此A 与B 的特征值相同。
#2 作出下列矩阵的奇异值分解10(1)A 0111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦011(2)A 200-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (1)632- 6 3 2101263011,130 2 6 311206333T B AA ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦特征值对应，特征值对应，特征值对应 2221 2 2,131222 2 2TC A A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦特征值对应，特征值对应故263 2 6 32210263 2 203 2 6 3220063 2 20 33HA ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎣⎦(2) 2010,240401T B AA ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦特征值对应，特征值对应， 0040012201-1,2-400- 2 20-11022- 2 2T C A A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦特征值对应，特征值对应，特征值对应 0101022200A 001 2202022022H⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦3.求下列矩阵A 的满秩分解123002111021A ⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭112211001230010,021110102111001230010,021101100001001230=010021-11-11L L A L L L A A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦故4 设A 、B 均为n 阶Hermite 正定矩阵，证明：若B A ≥且BA AB =，则33B A ≥.证明：由于A 、B 均为n 阶Hermite 正定矩阵，且BA AB =，则AB 与BA 均为n 阶Hermite 正定矩阵。
博士生综合考试(口试)参考题
66.Do we need the stress in drilling?
67.How do we obtain theyieldstress in drilling?
68.In drilling fluid rheology, which model do we choose?
100.如何理解高性能混凝土矿物掺和料的物理作用和化学作用？
101.基于性能表征的化学外加剂的分子结构设计技术。
地质类科技论文写作-英译及投稿
（2008.12.18）
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环境学、环境生态学
18.为什么说，我国的大气污染是煤烟型污染
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(2009.11.27)
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(2009.11.12)
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多基线数字近景摄影测量系统lensphoto的应用案例
研究生矩阵论试题及答案与复习资料大全
矩阵论试题(2011级硕士试题)一、(10分)设函数矩阵 ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=t t t t t A sin cos cos sin 求：()⎰tdt t A 0和(()⎰20t dt t A )'。
解：()⎰t dt t A 0=()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰⎰⎰tttt tdt tdt dt t dtt 00sin cos cos sin =⎪⎪⎭⎫⎝⎛---t t t t cos 1sin sin cos 1 (()⎰2t dt t A )'=()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅22222sin cos cos sin 22t t t t t t t A 二、(15分)在3R 中线性变换σ将基⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1202α，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1013α变为基 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0111β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1102β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2303β(1)求σ在基321,,ααα下的矩阵表示A ；(2)求向量()T 3,2,1=ξ及()ξσ在基321,,ααα下的坐标； (3)求向量()()ξσξ及T 3,2,1=在基321,,βββ下的坐标。
解：(1)不难求得：()2111ααβασ-==()32122αααβασ++-== ()321332αααβασ++-== 因此σ在321,,ααα下矩阵表示为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=110211111A(2)设()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321321,,k k k αααξ，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321111021101321k k k解之得：9,4,10321-=-==k k k 所以ξ在321,,ααα下坐标为()T 9,4,10--。
()ξσ在321,,ααα下坐标可得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛133223*********1111321y y y (3)ξ在基321,,βββ下坐标为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---6151941001111110194101A()ξσ在基321,,βββ下坐标为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---94101332230111111011332231A三、(20分)设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=301010200A ，求At e 。
07-08(1)-07级-矩阵论试题与答案
一（20分） 设矩阵10112043A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦， （1）求A 的初等因子组； （2）求A 的Jordan 标准形J ； （3）求可逆矩阵P 使得J AP P =-1； （4）求k A 。
答案：（1）21111120(2)(2)(1)4343I A λλλλλλλλλ+-⎡⎤+-⎢⎥-=--=-=--⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦观察得，21231,1,(2)(1)D D D λλ===--因此，初等因子组为2(1),(2)λλ-- 5分 （2）1112J ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦10分 （3）设123[,,]P ααα=，由1P AP J -=，得1121233(1)(2)2(3)A A A ααααααα=⎧⎪=+⎨⎪=⎩由（1），1()0I Aα-=，解得1112α⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中20110.05110010.54200I A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=--→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦由（2），21()I A αα-=-，解得2011α⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中12011100.50.5[,]1101010.50.542200I A α----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--=--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦由（3）3(2)0I A α-=，解得3010α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中30110021000014100I A -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦1100100111,201210111P P -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦15分 （4）1001002kkk J⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，12102122124021k k k kk k kA PJ P k k k k --+⎡⎤⎢⎥==+---+⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦20分二（20分） 设微分方程组0d d (0)xA x tx x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪=⎩，其中311202113A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，0111x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（1）求A 的最小多项式)(λA m ； （2）求A te； （3）求该方程组的解。
矩阵论试题及答案可编辑全文
2006矩阵论试题答案一．填空（每题4分，共40分）1． 设−−=41311221222832A ，则A 的值域4(){,R }R A y y Ax x ==∈的维数=)(dim A R 2 .2． 设A 的若当标准型−−−=10000011000001100000020000012000002J ，则A 的最小多项式=)(λψm 32(1)(2)λλ+−.3． 设110430102A −=−，则()5432333h A A A A A A =−++−=110430102−− −−. 4． 设埃尔米特阵为 −−+=2005111i i i i A ， 则矩阵A 为 正定的 埃尔米特阵.5． 在3R 中有下列两组向量：()13,1,2Tα=−−，()21,1,1Tα=−，()32,3,1Tα=−； ()11,1,1Tβ=，()21,2,3Tβ=，()32,0,1Tβ=，则由321,,ααα到321,,βββ的过渡矩阵=P 619113421270−−−−−− −− .6．设33CA ×∈，21332211{}ij m j i A a ===∑∑，H AA 的非零特征值分别为15 ,5 ,3，则=2mA.7． 设12102101, 11111137A B −== −−，12,V V 分别为齐次线性方程组 0Ax =，0Bx =的解空间，则=)dim(21V V ∩ 1 .8． 设1(1)1(1)121()321nn n n n n n A n n n n +−−=++ −，则lim n n A →∞=1311e .9． 设213121202A −=，则A 的 LDU 分解为 A =100121012/51 2001123205200115004/5001− − − 10．设 −=5221A ，=0242B ，则2448204048102040100A B−−−⊗=. 二．（10分）设T 为n 维欧氏空间V 中的线性变换，且满足：),(),(Ty x y Tx −=，试证明：T 在标准正交基下的矩阵A 为反对称阵（T A A −=）证明：设n ααα,,,21 为V 的标准正交基，n n ij a A ×=}{，下证：ji ij a a −=： 由=),,,(21n T ααα A n ),,,(21ααα 知n ni i i i a a a T αααα+++= 2211，n nj j j j a a a T αααα+++= 2211， ),(),(j i j i T T αααα−=；=),(j i T ααji j n ni i i a a a a =+++),(2211αααα ， =),(j i T ααij n nj j j i a a a a =+++),(2211αααα , 所以：ji ij a a −=.三．（10分）在复数域上求矩阵−−−=7137341024A 的若当标准形J ，并求出可逆矩阵P 使得J AP P =−1.解： A 的若当标准形210021002J=. 令123(,,)P p p p =，则有112123232,2,2Ap p Ap p p Ap p p ==+=+;1213262100621062104170,417,4173150315315p p p p p −−−−=−=−= −−−解得：123(2,1,1),(0,1,0),(1,2,1)T T Tp p p ===− , 201112101P=−.四. （10分）已知 =654321x x x x x xX ，162534()sin()x x f X e x x x x =++，求dXdf . 解答：16161234652543225516cos()cos()x x x x ff f x x x df dX ff f x x x x e x x x x x x x x x e ∂∂∂∂∂∂== ∂∂∂ ∂∂∂. 五.（10分）已知311202113A −=−−−，求4sin()A π，Ae .解：3||(2)E A λλ−=−，A 的最小多项式2)2()(−=λλϕ .待定系数一：令24sin ()(2)q a b πλλλλ=−++，则21,0a b b +==,4sin()A E π=;令2()(2)e q a b λλλλ=−++，则222,a b e b e +==.222211212112A e e e E e A −−=−+=− −−.待定系数二：令324sin ()(2)q a b c πλλλλλ=−+++，则22222414018,8,32216a b c b c a b c c ππππ ++=+=⇒=−==− =− ; 224sin()(44)32A E E A A E ππ=−−+=.令32()(2)e q a b c λλλλλ=−+++，则2222222414,,22a b c e b c e a e b e c e c e++= +=⇒==−== ; 2221()2211212112A e e E A A e −−− =− +−−= .六.（10分）设−=01200110A ，求A 的奇异值分解. 解答一：=5002A A H ，A 的奇异值为5,2; 00Σ= , 25H HV A AV = ，1001V =; 1100100100200100U AV −−− =Σ==; 00000000U− =; 0000010001 0 000 0 000A=.解答二：=5002A A H ，那么A 的奇异值为5,2，A A H对应于特征值5，2的标准特征向量为 = =01,1021x x ，=0110V ; 再计算H AA 的标准正交特征向量，解得分别与5，2，0，0对应的四个标准正交特征向量=0520511υ， −=2102102υ，−=0510523υ，=2102104υ，−−=210210051052210210052051U ; 所以=∆=HV UA 0000000000000110.七．（10分）设n n i A ×∈≠C 0，2rank rank i i A A =),,2,1(n i =，且当i j ≠时),,2,1,(0n j i A A j i ==.试用归纳法证明存在同一个可逆阵n n P ×∈C 使 得对所有的i ),,2,1(n i =有1−=P PE a A ii i i ，其中C ∈i a . 证明：1n =时，命题显然.假设n k ≤时，命题成立. 当1n k =+时，设1rank A r =.由若当分解11111000D A P P − =，其中1C r rD ×∈可逆; 当2,,j n = 时，由110j j A A A A ==可得1(1)(1)1100, C 0n n j jj A P P B B −−×− =∈(直接推出的j B 为()()n r n r −×−的) 再由0i j A A =得0i j B B =(,,2,,)i j i j n ≠= ;0j B ≠,2rank rank j j B B =也是明显的.由假设知存在可逆阵(1)(1)C n n Q −×−∈使得1j j jj B a QE Q −=，其中C j a ∈，2,,j n = .此时,再由110j j A A A A ==得到11111111110101010000000a A P P a P P Q Q −−− == ; 记1100P P Q =，则 11111111100000000 (2,,).0 j j j jj j j jj jj A P P P P B a QE Q a P P a P E P j n E −−−−− =====由归纳原理知命题为真.。
矩阵理论历年试题汇总及答案
矩阵理论历年试题汇总及答案矩阵理论是线性代数中的一个重要分支，它涉及到矩阵的运算、性质以及矩阵在不同领域中的应用。
历年来的矩阵理论试题通常包括矩阵的基本运算、矩阵的特征值和特征向量、矩阵的分解等重要概念。
以下是对矩阵理论历年试题的汇总及答案解析。
矩阵的基本运算试题1：给定两个矩阵 \( A \) 和 \( B \)，其中 \( A =\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，\( B =\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \)，求 \( A + B \) 和 \( AB \)。
答案：首先计算矩阵的加法 \( A + B \)，根据矩阵加法的定义，对应元素相加，得到 \( A + B = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix} \)。
接着计算矩阵乘法 \( AB \)，根据矩阵乘法的定义，得到 \( AB = \begin{bmatrix} 1\cdot5 + 2\cdot7 & 1\cdot6 + 2\cdot8 \\ 3\cdot5 + 4\cdot7 & 3\cdot6 + 4\cdot8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50\end{bmatrix} \)。
特征值和特征向量试题2：已知矩阵 \( C = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 1 & -1\end{bmatrix} \)，求 \( C \) 的特征值和对应的特征向量。
答案：首先求特征值，我们需要解方程 \( \det(C - \lambda I) = 0 \)，其中 \( I \) 是单位矩阵。
计算得到 \( \det(\begin{bmatrix}4-\lambda & -2 \\ 1 & -1-\lambda \end{bmatrix}) = (4-\lambda)(-1-\lambda) - (-2)(1) = \lambda^2 - 3\lambda - 2 \)。
2012年前所有的东南大学工程矩阵考博试卷
1. 2.
A
B
3
14%
0 1
8 6 5
A100-2A50
A
3
2 0
10%
n
A
A2=7I-6A
A+7I
r
det
A+2I
14%
f
n
V
,
V
(f ( ), )=( ,f ( ))
1. 2.
V V
f f
Hermite
26% 1. 2. A2 3. 4.
n
A A
A
1 A3=A2
A A2=A BA A Hermite a B A BA=A*A
⎛ −1 −2 6 ⎞ ⎜ ⎟ 四 (15 分)已知 A = ⎜ −1 0 3 ⎟ 。 ⎜ −1 −1 4 ⎟ ⎝ ⎠
1.求 sin At ； 2.计算 d sin At 。 dt
⎛ 1 2 1⎞ ⎜ ⎟ 五 (10 分)求矩阵 A = ⎜ 0 0 1⎟ 的 QR 分解。 ⎜ 1 2 1⎟ ⎝ ⎠
六 （10 分） 设 T 是 n 维线性空间 V 上的线性变换， 证明： T (V ) ⊆ T −1 (0) 的充要条件是 T 2 = 0 。 七 (10 分) 设 ⋅ 是 C n×n 上的 F-范数。证明：若 A < 1 , E 为 n 阶单位 阵，则矩阵 E − A 可逆，且
1 1 ≤ ( E − A) −1 ≤ 。 1− A E−A
E21=
0 0 1 0
0 1 0 0
E22=
0 0 0 1
M 3. 4. 2 2
f
R
f f
K
K
f
C2 2= R
f
12%
a
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设矩阵()n n ij A a C ⨯=∈满足1(1,2,,)nii ij j j ia a i n =≠>=∑则称A 为严格对角占优矩阵。
证明 （i ）A 是非奇异矩阵。
（ii ）11diag(,,)nn D a a = ，1B I D A -=-，证明()1B ρ< 证明（i ）反证。
假设A 是奇异矩阵（即0A =），则0Ax =有非零解：12(,,,)T n x x x x = 。
设1max 0k i i nx x ≤≤=≠，由10nkjj j ax ==∑，得1nkk k kj j j j ka x a x =≠=-∑，两边取绝对值又得111nnnk kk kj j kkjkk kj j j j j kj kj kx a a x x aa a ===≠≠≠≤≤⇒≤∑∑∑这与A 是严格对角占优矩阵矛盾。
故A 是非奇异矩阵。
证毕。
（ii ）11()B I D A D D A --=-=-，B 的特征多项式为11det()det(())det()det(())I B D D A D D D A D λλλ---=+-=+- （1）如果B 的某个特征值10≥λ，则显然0()D A D λ+-也是严格对角占优矩阵。
由结论（i ），0d et (())0D A D λ+-≠。
把式（1）中λ换成0λ，左边等于零，右边不等于零，矛盾。
从而B 的任一特征值1λ<，即()1B ρ<。
A 是非奇异的充要条件是存在常数项不为零的多项式()g λ使得()g A O =。
证明 设A 的特征多项式为11100()((1))n n n n f I A a a a a A λλλλλ--=-=++++=-由Hamilton-Cayley 定理，()f A O =。
必要性：如果A 是非奇异的，则00a ≠，取()()g f λλ=，即得证。
充分性：设11100()(0)m m m g a a a a λλλλ--=++++≠ ，且1110()m m m g A A a A a A a I O --=++++=移项121101()m m m A A a A a I I a ---⎛⎫-+++= ⎪⎝⎭，说明A 可逆。
设,n n C A ⨯∈n λλλ,,,21 是矩阵A 的n 个特征值，证明22111nn niij i i j a λ===≤∑∑∑证明 由Schur 定理，对于任意的,n n C A ⨯∈存在n 阶酉矩阵,U 使得R AU U H =其中n n ij r R ⨯=)(为对角元为A 的特征值n λλλ,,,21 的上三角矩阵。
对上式两端取共轭转置并两式相乘得：RR AU A U H H H =即HA A 与HR R 酉相似。
从而()()H H tr A A tr R R =，因为R 为对角元为A 的特征值的上三角矩阵，所以2221111()(nnn nHHi ii ij i i i j r r tr R R tr A A λ=====≤===∑∑∑∑）211n nij i j a ==∑∑设A 为n 阶的Hermite 矩阵，其特征佂12n λλλ≤≤≤ ，证明对任意非零向量nx C ∈有1H n H x Axx xλλ≤≤证明 因A 为n 阶的Hermite 矩阵，故存在酉矩阵U 使得12diag(,,,)H n U AU λλλ=令x Uy =，则2221122()H H H n n x Ax y U AU y y y y λλλ==+++所以22222211212()()H n n n y y y x Ax y y y λλ+++≤≤+++又22212H H ny y y y y x x +++== ，所以1HHHn x x x Ax x x λλ≤≤，1H n H x Axx xλλ≤≤m n A C ⨯∈，证明：2,,max ij ij i ji ja A a ≤≤证明 设21x=，(1,2,,)T i i m α= 为A 的行，则 2222222212122222,max T T T T T T mm ij i jAx x x x mn a αααααα=+++≤+++≤所以2221,max ij x i jA Ax a ==≤特别地取121,,,,(1,0,,0),n x e e e e == 等。
得222211max max jij x j nA Ax Ae a =≤≤=≥≥从而2,max ij i jA a ≥设A 是n 阶矩阵，证明2rank rank()A A I n A A +-=⇔=证明 设2A A =，()A A I O -=，从而由常用结论，rank rank()A A I n +-≤ 又()I A I A =+-，由常用结论，rank rank[()]rank rank()rank rank()n I A I A A I A A A I ==+-≤+-=+-综上，rank rank()A A I n +-=。
反之，,()nC A I A αααα∀∈=+-，所以()()nC R A R I A =+- 又rank rank()A A I n +-=，则由维数公式{}()()0R A R I A -=因2()()()A A A I A R A αα-=-∈,又2()()()A A I A A R I A αα-=-∈-只有2()0A A α-=，由α的任意性得2A A O -=。
设B 是n m ⨯矩阵，C 是m n ⨯矩阵，证明rank()rank()n m m I BC n I CB +-=+-证明 由常用结论BC 与CB 非零特征值一样（当然秩相等），设（由Schur 分解定理）11111122(),()0000t t n mP BC P P CB P λλλλ--⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上三角上三角其中1,,0t λλ≠ 则111111()11t n n P I BC P λλ--⎛⎫⎪⎪⎪--= ⎪⎪ ⎪⨯ ⎪ ⎪⎝⎭ 上三角 112211()11t m mP I CB P λλ--⎛⎫⎪⎪⎪--=⎪⎪ ⎪⨯ ⎪ ⎪⎝⎭ 上三角 111122rank()rank[()],rank()rank[()]n n m m I BC P I BC P I CB P I CB P ---=--=-它们的秩是上面非零对角元的个数，显然有（不妨n m ≥）rank()rank()n m I BC I CB n m ---=-注：我想此题应有其它方法设矩阵()n n ij A a C ⨯=∈为Hermite 正定矩阵，证明1122nn A a a a ≤证明 A 有三角分解(Cholesky 分解)2111111111H H H H H l a l l A L A L LL βααβαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两边取行列式2221111111H H A l L l LL a A αα=≤+=由于1A 也是正定的，依次递推得证。
设,A B 均为n 阶Hermite 矩阵，A 正定， （1）证明A 中模最大的元素位于A 的对角线上 （2）证明AB 特征值都是实数证明 （1）由于A 正定，则A 的所有主子式都是正定的。
反证，如果()ij a i j ≠最大，则20ii ij ii jj ijijjja a a a a a a =-<，这与iiij ijjj a a a a ⎛⎫⎪⎝⎭正定矛盾。
（2）由于A 正定，有分解HA PP =（P 可逆）1()H AB P P BP P -=，说明AB 与H P BP 相似，它们有相同的特征值，而后者是Hermite 矩阵，特征值为实数，故AB 的特征值也是实数。
设,A B 是n 阶实矩阵，且20,AB B B ==12{|0},{|0},V x Ax V x Bx ====证明（1）12n R V V =+（2）上面为直和的充要条件是rank()rank()A B n +=证明 （1）,x ∀()x Bx I B x =+-，又0ABx =，()0B I B x -=，说明12,()Bx V I B x V ∈-∈，从而12n R V V =+。
（2）12dim dim rank rank V V n A n B +=-+-12n R V V =+为直和⇔12dim dim V V n +=⇔rank rank n A n B n -+-=⇔rank rank A B n +=(),()n n n n ij ij A a C B b C ⨯⨯=∈=∈均为Hermite 矩阵，定义 ()ij ij C a b =，证明如果0,0A B ≥≥，则0C ≥证明 把B 进行满秩分解(rank rank )H B G G B G r ===，设()H ij n r G g ⨯=则1rij ikjk k b gg ==∑（少共轭）,1,111,1()()nnrrnHi ij ij j i ij ik jk j ij i ik jk j i j i j k k i j x Cx x a b x x a g g x a x g g x ========∑∑∑∑∑记()(1,,,1,,)k i i ik y x g i n k r === 则1rHH k k k x Cx Y AY ==∑，其中()()()1,,Tk k k n Y y y =由于A 半正定，0H k k Y AY ≥，所以0Hx Cx ≥，即C 半正定。
设矩阵()n nij A a C⨯=∈为Hermite 矩阵，满足1(1,2,,)nii ij j j ia a i n =≠>=∑证明A 正定。
证明 设A 的特征值为λ，由盖氏圆盘定理10nii ij ii j j ia a a λλ=≠-≤<⇒>∑所以A 正定。