等比中项及等比数列的性质

第二课时等比中项及等比数列的性质

【选题明细表】

基础达标

1.(2012吉林油田高中检测)已知等比数列{a n}中,若a4·a6=9,则a1·a9的值为( B )

(A)3 (B)9 (C)±3 (D)±9

解析:∵4+6=1+9,∴a1·a9=a4·a6=9.故选B.

2.(2013汉中高三模拟)数列{a n}满足:=a n·a n+2(n∈N+),且

a4=7,a6=21,则a8等于( B )

(A)35 (B)63 (C)21(D)±21

解析:依题意知,{a n}为等比数列,

∴a4,a6,a8成等比数列,

∴=a 4·a8,

∴a8===63.故选B.

3.设数列{a n}为等比数列,则下面四个数列:

①{};②{pa n}(p为非零常数);③{a n·a n+1};

④{a n+a n+1}.

其中等比数列的个数为( C )

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

解析:因为{a n}为等比数列,

所以=q,

所以=()3=q3.

又因为≠0,所以{}为等比数列.

0,

==q,且pa

1≠

从而{pa n}为等比数列.

==q2,且a1·a2≠0.

所以{a n·a n+1}为等比数列.

1,-1,1,-1,…是等比数列,但a n+a n+1=0,{a n+a n+1}不是等比数列.故选

C.

4.若1,a1,a2,4成等差数列;1,b1,b2,b3,4成等比数列,则的值等于( A )

(A)- (B) (C)± (D)

解析:∵1,a1,a2,4成等差数列,

∴公差d==1,

a1-a2=-d=-1;

又∵1,b1,b2,b3,4成等比数列,

∴=1×4,∴b2=±2.

又∵b2>0,∴b2=2,

∴=-.故选A.

5.等比数列{a n}中,a n>0,且a5·a6=9,则log3a2+log3a9等于( B )

(A)9 (B)2 (C)3 (D)1

解析:∵等比数列{a n}中,a n>0且a5a6=9,

∴log3a2+log3a9=log3(a2a9)=log3(a5a6)=log39=2.

故选B.

6.(2013深圳市高级中学高二段考)已知实数a,b(a

解析:由题知,即

∴a,b是一元二次方程x2-3x+2=0的两根.

又a

∴a=1,b=2.

答案:1 2

7.已知等比数列{a n}中,a1=1,且4a1,2a2,a3成等差数列,则

a2+a3+a4= .

解析:∵a1=1,且4a1,2a2,a3成等差数列,∴4a2=4a1+a3,

即4a1·q=4a1+a1·q2,∴q2-4q+4=0,∴q=2.

故a2+a3+a4=a1(q+q2+q3)=14.

答案:14

能力提升

8.已知等差数列{a n}的公差为2,若a1,a2,a5成等比数列,则a2等于.

解析:由题意知a1=a2-2,a5=a2+6,

因为a1,a2,a5成等比数列,

所以=a 1a5,即=(a2-2)(a2+6),

解得a2=3.

答案:3

9.有三个数成等比数列,其积为27,其平方和为91,求这三个数. 解:设这三个数为,a,aq(公比为q),

由已知得

由①得a=3.

将a=3代入②得q2+=,

所以9q4-82q2+9=0,令q2=t(t>0),

所以9t2-82t+9=0,得t1=9,t2=.

所以q=±3或q=±.

(1)当q=3时,此数列为1,3,9;

(2)当q=-3时,此数列为-1,3,-9;

(3)当q=时,此数列为9,3,1;

(4)当q=-时,此数列为-9,3,-1.

综上所述,这三个数为1,3,9或-1,3,-9.

本题运用了三个数成等比数列,已知积时,可设成,a,aq的形式,这种技巧可简化解题过程.

10.已知数列{a n}中,a1=1,a2=3,a n+2=3a n+1-2a n(n∈N+),b n=a n+1-a n.

(1)判断数列{b n}是否为等比数列?说明理由;

(2)若{b n}是等比数列,求出{b n}的通项公式.

解:(1)数列{b n}是等比数列,理由如下:

∵a n+2=3a n+1-2a n,∴a n+2-a n+1=2(a n+1-a n),

∴==2(n∈N+).

∵a1=1,a2=3,b1=a2-a1=2,

∴{b n}是首项为2,公比为2的等比数列.

(2)由(1)可知b n=2·2n-1=2n.