导数在高考中应用论文

浅谈导数在高考中的应用

自从高中数学中加入导数，我们研究和解决函数等数学问题便有了更加有效、简便的工具。当前中学数学中导数的应用主要表现在4个方面：1、切线的斜率（导数的几何意义）；2、函数的单调性与最值；3、三次函数的综合题；4、三角函数和导数。

1 对导数几何意义的考查

例1.已知函数

2 判断函数的单调性

函数的单调性是函数最基本的性质之一，是我们研究函数所要掌握的最基本的知识.它在中学数学中的用处是非常广泛的，其思维方法有：一、利用增（减）函数的定义判断单调性；二、导数法。利用在内可导的函数在上递增（或递减）的充要条件是（或），恒成立（但在的任意子区间内都不恒等于0）。方法一化简较为繁琐，比较适合解决抽象函数的单调性问题，而用导数知识来判断函数的单调性既快捷又容易掌握.，特别是对于具体函数更加适用。

例2.已知。（1）求的单调增区间；（2）若在定义域r内单调递增，求的取值范围；（3）是否存在使在上单调递减，在上单调递增？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。

分析：本题是关于函数单调性的问题，若用定义来判断函数单调性，在计算方面必遇到一些困难，因此，我们采用导数法解题。函数增区间是恒成立的区间，函数的减区间是恒成立的区间（导数值为零的点为有限个）。

解：（1）令，得当时，有在r上恒成立；当时，有。

综上情况，当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间为。（2）

在r上单调递增，（等号只能在有限个点处取得）恒成立，即，恒成立。

时，，。

（3）由已知在上单调递减，在区间上单调递增可知，是的极值。，存在满足条件。

3 求函数极值或最值

最值问题是高中数学的一个重点，也是一个难点.它涉及到了高中数学知识的各个方面，要解决这类问题往往需要各种技能，并且需要选择合理的解题途径.用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，学生也好掌握[1].应注意函数的极值与最值的区别与联系，极值是一个局部性概念，最值是某个区间的整体性概念。例3．（2005年山东卷）已知函数是函数的一个极值点，其中，。（1）求与的关系表达式；（2）求的单调区间；（3）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于，求的取值范围。

分析：这类题目解决的关键在于深刻理解并灵活运用导数的知识，第1小题根据极值点处导数为零，可确定与的关系；第2小题求函数的单调区间可根据求导法得到，列出表格，答案一目了然；第3小题根据导数的几何意义结合一元二次函数的性质即可得到结论。

解：（1）

由是的一个极值点，知，即，

（2）由（1），得

由知，，当变化时，与的变化如下：

由上可知,在区间和上递减,在区间上递增。

(3)由已知得,即,即当时,有.①

设,其函数开口向上,由题意①式恒成立,所以即解之得,,又,所以.即的取值范围为.

4 证明不等式

例4.求证：

分析：本题通过导数与函数单调性的关系，自然地将导数与不等式结合在一起，灵活考查了学生全面分析解决问题的能力.先构造函数；再对进行求导，得到；然后观察得到当时，，即在时是增函数；最后可得当时，，即[6].

解：令则在上是增函数.当时，即

5 解决应用问题

例13.某工业品在生产过程中，每日次品数是每日产量的函数，该厂售出一件正品可获利a元，但生产一件次品就损失元，为了获得最大利润，日产量应定为多少？

点拨：先明确日产量、次品数、正品数，再建立利润的目标函数，进而确定日产量。

解：在每天生产的件产品中，是正品数，

是次品数，每日获利总数为

要使最大，则。

令，得。

由知，当时，每一件产品都是次品，公司就要赔钱，最佳日产量只能在时求得。

由得。

或90（件）

又由于，，

答：每日应生产89件产品才能获得最大利润。

导数的应用问题涉及到很多内容，以上仅仅讨论了三个方面.现在我们在高中阶段学习导数的有关知识，可以开阔学生的视野，接触到极限等新的数学思想和方法，对数学的新发展将会有进一步的了解.同时，导数是我们研究中学数学的一个有力工具，可以解决许多问题，使我们更加牢固的掌握中学数学的内容，为我们进一步的学习打下了坚实的基础。