导数在高考中应用论文

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2019年陈雨涵《浅谈导数在高中数学课程中的应用》毕业论文[1].doc

浅谈导数在高中数学教学中的应用陈雨涵[摘要]导数是联系高等数学与初等数学的纽带，高中阶段引进导数的学习有利于学生更好地理解函数的性态，掌握函数思想，搞清曲线的切线问题，学好其他学科并发展学生的思维能力．因而在中学数学教学及解题过程中，可以利用导数思想解决诸如函数（解析式、值域、最（极）值、单调区间等）问题、切线问题、不等式问题、数列问题以及实际应用等问题．[关键词]导数新课程应用导数在现行的高中数学教材中处于一种特殊的地位，是联系高等数学与初等数学的纽带，是高中数学知识的一个重要交汇点，是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具．本课题期望通过对导数在新课程中的地位以及在中学数学解题应用中的探讨，拓展学生的解题思路，提高学生分析问题和解决问题的能力．一、导数在高中数学新课程中的地位《普通高中数学课程标准(实验)》指出：高中数学课程是由必修课程和选修课程两部分构成的．必修课程是整个高中数学课程的基础，选修课程是在完成必修课程学习的基础上，希望进一步学习数学的学生根据自己的兴趣和需求选修．选修课程由系列1、系列2、系列3、系列4等组成．在系列1和系列2中都选择了导数及其应用．显然，导数的重要性不言而喻．（一）有利于学生更好地理解函数的性态在高中阶段学习函数时，为了理解函数的性态，学生主要学习函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、有界性等．我们知道，函数的这些性质都可以通过函数的图像表示出来，因而，如果能准确地作出函数的图像，函数的性质就一目了然，函数的性态也容易掌握了．如果所涉及的函数是基本初等函数，用描点法就可以作出函数的图像．但是，如果所涉及的函数是非基本初等函数，比如1223-+-=x x x y ，1--=x e y x 等函数，仅用描点法就很难较为准确地作出图像．但是，掌握了导数的知识之后，学生就可以利用函数的一阶导数判定函数的单调区间、极值点、最值点；利用函数的二阶导数判定函数的凹凸区间、拐点；利用极限的思想找出其水平渐近线和垂直渐近线，然后再结合描点法，就能较为准确地作出函数的图像．这样就有利于学生更好地理解函数的性态，同时也拓宽了学生的知识面．（二）有利于学生更好地掌握函数思想数学上的许多问题，用初等数学方法是不能解决的，或者难以解决，而通过数学模型建立函数关系，利用函数思想，然后用导数来研究其性质，充分发挥导数的工具性和应用性的作用，可以轻松简捷地获得问题的解决，这也正体现和显示了新课程的优越性．其实我们不难发现，函数是建立在中学数学知识和导数之间的一座桥梁，不管是在证明不等式，解决数列求和的有关问题，以及解决一些实际应用问题，我们都可以构造函数模型，并且利用导数，来解决相关问题．（三）有利于学生弄清曲线的切线问题学生由于受“圆上某点的切线”的定义的影响，误认为曲线在某点处的切线，就是与曲线有一个公共点的直线．如果学习了导数的定义及其几何意义后，学生就知道)(x f 在点0x x =的切线斜率k ，正是割线斜率在0x x →时的极限，即0)()(lim 0x x x f x f k x x --=→．由导数的定义，)(x f k '=，所以曲线)(x f y =在点),(00y x 的切线方程是))((000x x x f y y -'=-．这就是说：函数f 在点0x 的导数)(0x f '是曲线)(x f y =在点),(00y x 处的切线斜率[1]．从而，学生就掌握了切线的一般定义：设有曲线C 及C 上的一点P ，在点P 外另取曲线C 上一点Q ，作割线PQ ，当点Q 沿曲线C 趋向点P 时，如果割线PQ 绕点P 旋转而趋向极限位置PT ，那么直线PT 就称为曲线C 在点P 处的切线．（四）有利于学生学好其他学科高中的物理、化学等课程都与数学紧密相关，我们所学的导数是微分学的核心概念，它在物理、化学、生物、天文、工程以及地质学等中都有着广泛的应用．微积分所讨论的基本对象是函数，而且以函数的极限为基础．作为微积分的一个重要的分支——微分学，主要涉及变量的“变化率”问题，对于)(x f y =，导数)(x f '可以解释为y 关于x 的变化率．在学习并且掌握了导数及其应用以后，学生就可以很容易地根据做变速直线运动物体的运动方程：)(t S S =，算出物体的瞬时速度：dt ds t V =)(、瞬时加速度：22)(dt s d t A =；对化学中的反应速度、冷却速度等也都可以通过微积分的方法来解决了．（五）有利于发展学生的思维能力在以前的课程标准中，无论是导数的概念还是应用，更多的是作为一种规则来教、来学．这样造成的后果是：不仅使学生感受不到学习导数有什么好处，反而加重了他们的学习负担．而《普通高中数学课程标准(实验)》就对这一部分内容的教育价值、定位和处理做了一定的变化：即在高中阶段，应通过大量的实例，让学生理解从“平均变化到瞬时变化”、从“有限到无限”的思想，认识和理解这种特殊的极限，通过它了解这种认识世界的思维方式，提高学生的思维能力[2]．再者，还可以让学生体会研究导数所用的思想方法：先研究函数在某一点处的导数，再过渡到一个区间上；在应用导数解决实际问题时，利用函数在某个区间上的性质来研究曲线在某一点处的性质．这种从局部到整体，再由整体到局部的思想方法是很值得学生学习的[2]．总之，通过学习导数，使学生学会以动态的、变化的、无限的变量数学观点来研究问题，而不仅仅是停留在静态的、不变的、有限的常量数学观点上．在学习过程中逐步体会常量与变量、有限与无限、近似与准确、动与静、直与曲的对立与统一，发展学生的辩证思维能力．二、导数在解题中的应用导数作为高中新教材的新增内容之一，它给高中数学增添了新的活力，特别是导数广泛的应用性，为解决函数、切线、不等式、数列、实际等问题带来了新思路、新方法，为我们展现出了一道亮丽的风景线，也使它成为新教材高考试题的热点和命题新的增长点．这几年的高考命题趋势表明：导数已经由以往的“配角”地位上升到“主角”，成为分析问题和解决问题的重要工具．将导数与传统内容结合，不仅能加强能力的考查力度，而且也使试题具有更广泛的实践意义．下面举例探讨导数的应用．（一）利用导数解决函数问题⒈利用导数求函数的解析式用解析式表示函数关系，便于研究函数的性质，而利用导数求函数的解析式，函数的一些基本性质就会显得更加的明了．例1 设函数d cx bx ax y +++=23的图像与y 轴交点为P 点，且曲线在P 点处的切线方程为0412=--y x ，若函数在2=x 处取得极值0，试确定函数的解析式．解因为函数d cx bx ax y +++=23的图像与y 轴交点为P 点，所以P 点的坐标为()d ,0，又曲线在P 点处的切线方程为412-=x y ，P 点坐标适合方程，从而4-=d ，又切线斜率12=k ，故在0=x 处的导数120='=x y ，而c bx ax y ++='232，c y x ='=0，从而12=c ，又函数在2=x 处取得极值0，所以⎩⎨⎧=++=++．，020********b a b a 解得2=a ，9-=b ，所以所求函数解析式为4129223-+-=x x x y ．⒉利用导数求函数的值域求函数的值域是中学数学中的重点，也是难点，方法因题而异，不易掌握．但是，如果采用导数来求解，则较为容易，且一般问题都可行．例2 求函数212)(+-+=x x x f 的值域．分析先确定函数的定义域，然后根据定义域判断)(x f '的正负，进而求出函数)(x f 的值域．解显然，)(x f 定义域为[)∞+-，21，由于12221222221121)(+++-+=+-+='x x x x x x x f ，又 1222721222++++=+-+x x x x x ，可见当21->x 时，0)(>'x f ．所以212)(+-+=x x x f 在[)∞+-，21上是增函数．而26)21(-=-f ，所以函数212)(+-+=x x x f 的值域是)⎡+∞⎣，． ⒊利用导数求函数的最（极）值求函数的最（极）值是高中数学的重点，也是难点，是高考经常要考查的内容之一，它涉及到了函数知识的很多方面，用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，也容易掌握，从而进一步明确了函数的性态．一般地，函数)(x f 在闭区间[]b a ,上可导，则)(x f 在[]b a ,上的最值求法：(1) 求函数)(x f 在()b a ,上的极值点；(2) 计算)(x f 在极值点和端点的函数值；(3) 比较)(x f 在极值点和端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值．例3 求函数x x x f 3)(3-=在[]233，-上的最大值和最小值．分析先求出)(x f 的极值点，然后比较极值点与区间端点的函数值，即可得该函数在区间[]233，-上的最大值和最小值．解由于)1)(1(3)1(333)(22-+=-=-='x x x x x f ，则当[)1,3--∈x 或(]23,1∈x 时，0)(>'x f ，所以[]13--，，[]231，为函数)(x f 的单调增区间；当()1,1-∈x 时，0)(<'x f ，所以[]11，-为函数)(x f 的单调减区间．又因为18)3(-=-f ，2)1(=-f ，2)1(-=f ，89)23(-=f ，所以，当3-=x 时，)(x f 取得最小值18-；当1-=x 时，)(x f 取得最大值2．⒋利用导数求函数的单调区间函数的单调性是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质．函数的单调性与函数的导数密切相关，运用导数知识来讨论函数单调性时，结合导数的几何意义，只需考虑)(x f '的正负即可，当0)(>'x f 时，)(x f 单调递增；当0)(<'x f 时，)(x f 单调递减．此方法简单快捷而且适用面广．例4 求x x x f 3)(3+=的单调区间．分析应先确定函数)(x f 的定义域，再利用导数讨论其单调区间．解显然，)(x f 定义域为()()+∞⋃∞-,00,，又2222)1)(1)(1(333)(x x x x x x x f -++=-='，由0)(>'x f ，得1-<x 或1>x ；又由0)(<'x f ，得01<<-x 或10<<x ，所以)(x f 的增区间为()1-∞-，和()∞+，1，减区间为()01，-和()10，．（二）利用导数解决切线问题⒈求过某一点的切线方程此种题型分为点在曲线上和点在曲线外两种情况，)(0x f '的几何意义就是曲线在点))(,(00x f x P 处切线的斜率，过P 点的切线方程为))(()(000x x x f x f y -'=-，但应注意点))(,(00x f x P 在曲线)(x f y =上，否则易错．例5 求曲线x e y =在原点处的切线方程．分析此类题型为点不在曲线上求切线方程，应先设出切点坐标，表示出切线方程，把已知点代入方程，求出切点坐标后，再求切线方程．解显然点)0,0(不在曲线x e y =上，由于x e y ='，则设切点坐标为),(00y x P ，所以00x e y =，则过P 点的切线方程为)(000x x e e y x x -=-．因为点)0,0(在切线上，所以)(000x e e x x -=-，即10=x ，所以),1(e P ，故切线方程为)1(-=-x e e y ，即0=-y ex ．⒉求两曲线切线方程例6 已知抛物线x x y C 221+=：和a x y C +-=22：，如果直线l 同时是1C 和2C 的切线，称l 是1C 和2C 的公切线，求公切线l 的方程．分析本题也可用常规方法求解，但运算量大，过程烦琐，而利用导数知识无疑为解决这类问题提供了新的，简捷的方法，即先分别求出两曲线的切线，利用它们是同一直线来建立关系求解．解由x x y C 221+=：，得22+='x y ，所以曲线1C 在点)2,(1211x x x P +的切线方程是 ))(22()2(11121x x x x x y -+=+-，即211)22(x x x y -+=． (1) 由a x y +-=2，得x y 2-='，所以曲线2C 在点),(222a x x Q +-的切线方程是 )(2)(2222x x x a x y --=+--，即a x x x y ++-=2222．(2) 若l 是过P 与Q 的公切线，则(1)(2)表示的是同一直线，所以⎩⎨⎧+=--=+．，a x x x x 222121222消去2x ，得0122121=+++a x x ，由题意知0)1(244=+⨯-=∆a ，所以21-=a ，则2121-==x x ，即点P 与Q 重合，此时曲线1C 和2C 有且仅有一条公切线，且公切线方程为014=+-y x ．（三）利用导数解决不等式问题纵观这几年的高考，凡涉及到不等式证明的问题，其综合性强、思维量大，因此历来是高考的难点．利用导数证明不等式，就是利用不等式与函数之间的联系，直接或间接等价变形后，结合不等式的结构特征，构造相应的函数．通过导数运算判断出函数的单调性，将不等式的证明转化为函数问题．例7 求证：不等式)1(2)1ln(222x x x x x x +-<+<-在()+∞∈,0x 上成立．分析通过作差，构造函数)2()1ln()(21x x x x f --+=，和)1ln()1(2)(22x x x x x f +-+-=，再通过对)(1x f 和)(2x f 求导来判断．证明构造函数)2()1ln()(21x x x x f --+=，则 01111)(21>+=+-+='x x x x x f ．得知)(1x f y =在[)∞+，0上单调递增，又因为0>x ，所以0)0()(11=>f x f ，即2)1ln(2x x x ->+成立．又构造函数)1ln()1(2)(22x x x x x f +-+-=，则 0)1(4211)1(42441)(222222>+=+-+-+-='x x x x x x x x f ．得知)(2x f y =在[)∞+，0上单调递增，又因为0>x ，所以0)0()(22=>f x f ，即)1ln()1(22x x x x +>+-成立．综上所述，原命题成立．（四）利用导数解决数列问题数列是高中数学中的一个重要部分，而数列求和是中学阶段数列部分的重要内容之一，有许多初等解决方法．事实上数列可看作是自变量为正整数的特殊的函数，所以可以利用数列和函数的关系，再运用导数来解决数列求和的有关问题．例8 求和：12321-++++n nx x x (其中0≠x ，1≠x )．解注意到1-n nx 是n x 的导数，即1)(-='n n nx x ，可先求数列{}n x 的前n 和x x x x x x x x x n n n --=--=+++11)1(12 ，然后等式两边同时对x 求导，有12321-++++n nx x x2121)1(1)1()1()1]()1(1[x x n nx x x x x x n n n n n -++-=--+-+-=++．例9 求和：n nn n n n nC C C C )1(32321---+- ．解因为n n n n n n n n x C x C x C x C x )1(1)1(33221--+-+-=- ．上式两边对x 求导，有123211)1(2)1(---++-+-=--n n n n n n n n x nC x C x C C x n ，再令1=x ，可以得到0)1(32321=---+-n n n n n n nC C C C ．（五）利用导数解决实际问题利用导数，不仅可以解决函数、切线、不等式、数列问题，而且还可以解决一些实际应用问题．学习的最终目的，是要求学生具有运用导数知识解决实际问题的意识、思想方法以及能力．近几年，高考越来越注重对实际问题的考查，比如最优化问题、最低成本问题等，而利用导数解决这些问题非常方便．例10 甲乙两个村子在一条河的同侧，甲村位于河岸的岸边A 处，乙村位于离河岸km 40的B 处，乙村到河岸的垂足D 与A 相距km 50．两村要在岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲村、乙村的水管费用分别为千米元/3a 、千米元/5a ，问供水站C 建在何处才能使水管费用最省？(图1)分析本题难点是如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式．技巧与方法主要有：根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化，构造相应的函数关系，随后用导数的知识来解决问题．解如图1，设点C 距点D xkm ，则x AC -=50，40=BD ，2240+=x BC ．总的水管费用为22405)50(3)(++-=x a x a x f (500<<x )．又224053)(++-='x axa x f ，令0)(='x f ，则30=x ．在()500，上，)(x f 只有一个极值点，根据实际问题的意义，知30=x 处取得最小值，此时2050=-=x AC ．所以供水站C 建在距甲村km 20处才能使水管费用最省．三、结束语导数及其应用是微积分学的重要组成部分，是解决许多问题的有力工具，它全面体现了数学的价值：既给学生提供了一种新的方法，又给学生提供了一种重要的思想．总之，开设导数不仅促进学生全面认识了数学的价值，而且发展了学生的辩证思维能力，也为今后进一步学好微积分打下基础．因此，在高中阶段为学生开设导数及其应用具有深刻的意义．[参考文献][1]华东师范大学数学系．数学分析（上册）．第三版．北京：高等教育出版社，2001．91[2]祁丽娟．谈在高中数学课程中开设导数及其应用的必要性．甘肃教育，2006（4）．48[3]李秋凤．导数在函数问题中的应用．中国科技信息，2006（3）．133–153[4]陈斌．弹好用导数证不等式的前奏．数理化学习（高中版），2006（4）．13–15[5]邓亚轩．利用导数巧求和．数理化学习（高中版），2006（4）．24 A B C Dx 图1A Simple Comment on the Application of Derivative in the Senior SchoolMathematics CurriculumXu Chunhua[Abstract]Derivative is the link between Higher mathematics and Elementary mathematics. In the senior school stage, to introduce derivative is advantageous to student to understand the function condition well, to grasp the function thought, to clarify the problem of the curve’s tangent, to learn other subjects and to develop student's thinking ability. Thus, in the process of mathematics teaching and problems solving, we may use the derivative thought to solve some problems, such as function problem (algebra, the value territory, (extremely) value, monotonous sector and so on), tangent problem, inequality problem, sequence problem as well as practical application problem, and so on.[Key words]derivative, new curriculum, application。

浅析导数在高考解题中应用

浅析导数在高考解题中应用摘要：导数是近代初级数学的基础，是微积分中的基本理论。

而且它具有更多的深层意义，例如在几何表现上就是切线的斜率，是变化率；现实中速度是位移的导数,加速度是速度的导数。

总之导数代表着一种解题的思路，如何掌握并理解导数所代表的做题思路，并如何将导数的思路运用在高考解题中，从而加速解题的过程还能保证其准确性，这就是本篇文章所要进行深入研究的问题。

关键词：导数、高考解题、应用引文：导数引入高中数学之后，不仅仅成为了高考数学的热点，更是数学解题中的“利器”。

因为导数是数学的结晶之一，蕴含极多数学知识，如果可以应用到数学高考的解题之中，不仅仅可以降低数学理论的难度，更可以提高学生解题的速度，还能引起学生对数学的乐趣。

导数作为现代数学综合代表，在解题过程中可以有效的提高对于函数问题、不等式问题等问题的速度。

而如何利用好导数再数学高考解题中的应用，首先就要掌握好导数的基础知识，这样才能把导数灵活运用到数学高考解题，从而有效地提高解题效率，降低高考数学解题难度。

1.导数在数学高考中的地位与导数的含义导数是初等数学和高等数学的衔接点、分割点，属于微积分的入门知识，其地位是不言而喻的。

在数学高考之中，凡是理科学生都必须面对导数，而且对近几年的数学高考真题进行分析，关于高考对导数的考查方向主要分为三个类型：1、不具有深度，直接考察导数的基本概念，使用的也都是导数的基本求导公式与求导法则。

2、利用函数、不等式、数列、几何等等对导数进行包装，依旧是运用导数解决其基本问题。

3、最有难度且繁琐，利用导数解决综合问题。

从以上可以看出，导数在数学高考中的地位所在。

1.用导数解决不等式问题按照近几年的数学高考试题中可以看到，近些年来不等式逐渐成为高考的一大热点，虽然不等式的解决办法同样有很多，但是如果可以把导数融入到不等式之中，仍然式最简洁明了的方法。

而且高考不等式中最常见的就是把不等式与导数相结合进行出题，这样就让学生必须要能够灵活的掌握导数的基本概念与解题方式。

导数在高中数学解题中的有效应用

导数在高中数学解题中的有效应用摘要：随着教育改革的持续深化，促进了教学模式与教学方法的创新，使学生在教学活动中的主体地位愈加突出。

与其他学科相比，高中数学具有较强的复杂性，更加重视对学生逻辑思维的培养。

在教学活动中，教师要充分关注学生解题思路与知识结构的形成，利用多种方法对学生形成有效引导，促进教学质量的提升。

本文主要以导数为例，分析了其在高中数学解题中的应用方法。

关键词：高中数学解题导数在传统教育模式之下，高中数学教学活动的开展重视对知识内容的简单积累，广大师生更加关注学习成绩的提高，而却忽视了对学生各方面能力的培养。

导数属于对高中数学题目求解的重要方法之一，与其他解题方式相比，通常具有较强的便捷性，能够使很多问题简单化，便于学生对相关内容的学习。

在教学实践中，怎样才能实现利用导数对学生解题思维更好的培养，值得我们深思。

1、导数在求解函数最值问题中的应用函数最值问题属于高中数学中的重难点内容之一，也是历年高考考查的重点。

在将导数引入到教材中之前，对函数最值求解的方法较多，但对导数的有效利用，通常能使解题过程更加清晰，更加简便。

在绝大多数高考试题当中，二次函数区间最值指的是二次函数处于某特定区间之内的最大或最小值，这一类题目当中通常含有参数，属于近些年高考试题的热点。

倘若利用数形结合方法对题目进行解答，解题过程会比较麻烦，会使学生在解题过程中由于疏忽而出现错误。

而应用导数对其的解答，便显得十分明了。

导数在其中的作用主要体现在对函数在区间之内单调性以及函数极值点的判断，题目解答的关键点在于函数极值点和区间之间的相对位置。

教师在针对函数最值相关问题进行教学的过程中，除了要引导学生利用导数对问题进行求解之外，还要重视对其他解题方法的教学，使学生形成对比，并在实际解题过程中对多种方法形成综合利用，以探寻最优化的解题思维，促进学生思维能力的发展。

2、导数在函数单调性判断中的应用函数单调性判断的相关问题一直是高中数学教材中的重难点内容，对这部分内容的教学过程中，教师应该充分结合一些典型例题，通过学生的自主探索，教师给予适当的引导，使学生养成更为良好的解题思维，以促进其解题能力的培养。

浅谈导数在高中数学解题中的运用

浅谈导数在高中数学解题中的运用摘要：如今高中导数已经列入课本当中，导数是高中数学中的重要内容，是基础性的概念之一，是为高中阶段研究函数相关性质所提出的有较大辅助作用的一种运算方式。

以导数在函数、切线及不等式中的应用为实例，并帮助学生解决复杂的恒等式、不等式、根的存在性、应用题和几何数学难题等，具体探究了导数在高中数学解题中的运用。

关键词：导数；高中数学；解题；运用近年来，导数在高考中的地位越来越突出，各地的模拟考试都把导数作为考点，这些试题也从不同的角度考查了学生对导数的认识和学生对导数综合运用的能力，在导数和方程组、不等式、数列、函数等方面进行交汇命题，从而考查学生综合解决问题的能力。

因此，导数成为近年来考查的热点，在复习时一定要加强对导数的运用和运用导数解决数学问题的意识。

一、导数在函数中的运用导数在函数中运用是非常普遍的，利用导数可以解决函数的极大值与极小值，可以画出一个函数的图象的草图，可以知道一个函数的单调区间.而这些问题往往式教学的重点，也是学生必须掌握的最基础的知识，也是历年高考的重点，因此学生抓住这部分的重点还是非常有必要的.这就要求学生平时要多做多练用导数解决的这类题目，在多做多练中提高做题的效率，掌握做题的方法与技巧，争取遇到这类题可以手到擒来.例1 求函数f(x)=6x2+8x+4的单调区间和最小值.这道题很明显是求函数的极值和单调区间问题.可以利用导数来解决，过程如下.解?∵f?′(x)=12x+8,∴令f?′(x)=12x+8=0,则?x=-2/3.当x-2/3时，f?′(x);0,则f(x)在(-2/3,+∞)上单调递增；当x-2/3时，f?′(x)0,则f(x)在(-∞,-2/3)上单调递减；当x=-2/3时，f(x)取得最小值f(-2/3)=3/4.综上所述，这道题就解出来了，可以看出，利用导数求解这类问题简单而又方便.如果利用数形结合的方法求解这类问题，这类问题是可以得到解决，但是过程繁琐，不能很好地确定它的单调性时不能准确地画出它的草图，因此不能较容易简单地解决这类问题.但是利用导数后，按照导数解决函数问题的一般步骤，可以让学生对这类题目有了明确的解题步骤，因而这类题按照导数求解问题的一般步骤：1.求出函数的导数；2.令求出的导数等于零；3.由导数等于零确定函数的可疑极值点；4.根据极值点将函数的定义域进行划分；5.确定函数的导数在定义域内的正负，从而判断函数的单调性；6.根据函数的单调性画出函数的草图，根据草图得出函数的准确极值.这类问题就被轻而易举地解决了，看似步骤挺多，但当你求出函数的导数和定义域时，所有问题就会迎刃而解了.二、导数在不等式中的运用不等式问题也是一类常考的题型，包括不等式的证明与不等式的求解，处理这些问题时往往需要利用函数的性质，因此，很多时候可以利用导数作为工具得出函数性质，从而解决不等式问题.这类问题的解决，需要积累一定的经验，因为有时候更多的是需要构造出一个函数，从而才能引入导数这个方法，借助函数的一些性质，求出极值，从而使不等式问题得到解决.例2 已知函数f(x)=x2+lnx，求证：在区间(1,+∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)=x3的图象的下方.分析?函数f(x)的图象在函数g(x)的下方?不等式f(x)g(x)的问题，即x2+lnxx3成立，只需证明在区间(1,+∞)上，恒有x2+lnxx3成立.设F(x)=g(x)-f(x),x∈(1,+∞),考虑到F(1)=0,要证明不等式转变为：当x1时，F(x)F(1),这只要证明：g(x)在区间(1,+∞)是增函数即可.证明设F(x)=g(x)-f(x)，即F(x)=x3-x2-lnx因为F′(x)=2x2-x-=，x∈(1,+∞)，所以F′(x)=2x2-x-= 0恒成立,所以函数F(x)在(1,+∞)上单调递增，即F(x)F(1)=0,从而有f(x)g(x).所以函数f(x)的图象恒在函数g(x)的图象的下方这道题其实是不等式的证明题，巧妙地构造了函数F(x)，随后发现成了函数的基本问题，从而利用导数对函数问题进行了解答，从而使很棘手的不等式证明题变得简单易懂.显而易见，在解决不等式的问题时，函数的构造对解题来说是最重要的一步，而这一步对大多数学生而言，也是存在很大困难的一步.想到这步的最好的办法还是要多做不等式的题，总结一定的构造函数的经验.三、利用导数解决一些切线问题导数的几何意义是在该点处切线的斜率，这个问题有时候也是学生最容易忽略的问题.利用导数的几何意义，可以方便快捷地求解一些函数曲线上点的切线问题.例3?y=-lnx+3,求其在点A(e,2)处和过点B(e,2-)的切线方程.分析?将A和B点分别代入y=-lnx+3,发现点A在曲线上，点B不在曲线上；求解这类问题时，我们知道在曲线上的点的斜率就是曲线在该点处的导数，不在曲线上的点，需要我们设出切点，进而进行求解.解?y′=-,x∈(0,+∞)，对点A在曲线上，k=y′(e)=-.所以y-2=-(x-e),即ey+x=0.对于B点，设切点为(x0,y0)，则k=y′(x0)=-.y-y0=-(x-x0),将B点坐标代入上式中得，2--y0=-(e-x0).又因为y0=-lnx0+3，解得x0=e2.从而e2y+x-2e=0.这道题的求解关键是要将A和B两点坐标代入，确定它们是否是曲线上的点，然后分别对是否在曲线上采取不同的方法进行求解.好多学生会不管是否在曲线上，直接代入导数求解切点的切线，对是否是切点没有进行判断.如果提前进行判断，对切点和非切点的点分别引入该曲线的导数，利用其具有的几何意义对其进行求解，是目前高中数学中最高效、最便捷、最容易理解的唯一方法.这类题经常会考两种类型，题目多为选择和填空题，难度不大，属于送分题，借助于导数的知识进行求解会达到事半功倍的效果.导数在高中数学解题中的引用非常广泛，在高中数学中也是相当难的一部分内容，但是它相对而言，比较容易理解，难点在于学生们想不到利用导数去解决有些问题.所以更多的还是需要培养学生利用导数解决数学问题的能力，而不至于走很多弯路，在考试的过程中浪费很多时间.这就需要学生平时多积累题型，多跟着教师的思路走，自己在做题时，多培养自己在这方面的思维能力.参考文献：[1]王小燕. 新课标下导数应用的进一步探索学习[J]. 中国校外教育,2014(36).[2]焦存德. 微分中值定理与导数在中学数学中的应用[J]. 延安职业技术学院学报,2013(06).[3]杨洪涛,张艳婷. 导数在高中数学函数中的应用[J]. 旅游纵览(下半月),2013(07).[4]邓晗阳. 导数在高中数学解题中的应用探讨[J]. 科学大众(科学教育),2016(12):27.。

高等数学导数论文数学论文导数及应用范文

高等数学导数论文数学论文导数及应用范文导数的几何意义伴随着导数进入高中数学教材后，给函数图象及性质的研究开辟了一条新的途径.下面是WTT为你整理的数学论文导数及应用，一起来看看吧。

数学论文导数及应用篇一一.利用导数的几何意义求光滑曲线切线的斜率函数y=f(x)在点的导数表示曲线y=f(x)在点处切线的斜率,这就是导数的几何意义。

我们通过例题看一下,利用导数的几何意义求光滑曲线切线的斜率。

例题1 求曲线y=x2在点(1,1)处切线的方程。

解:由导函数定义应用点斜式方程,可得曲线在(1,1)处的切线方程:y-1=2(x-1) 即2x-y-1=0 .二.利用导数的物理意义求瞬时速度、加速度、电流强度等。

导数的物理意义没有统一的解释,对于不同的物理量,导数有不同的物理意义。

例如,变速直线运动路程函数S对时间t的导数就是瞬时速度;瞬时速度V对时间t的导数就是加速度;通过导体某截面的电量Q对时间t的导数就是电流强度。

下面我们看一个具体的例题。

例题2 已知物体的运动规律为s=t3(米) ,求这个物体在t=2秒时的速度。

解:有导函数的定义有运动物体运动路程对时间的物理意义可知将t=2,带入上式,得三.利用导数的符号判别函数在某一区间的单调性及利用导数证明不等式导数是对函数的图像与性质的总结与拓展,导数是研究函数单调性极佳、最佳的重要工具,广泛运用在讨论函数图像的变化趋势及证明不等式等方面。

具体例题如下: 例题3讨论函数的单调性。

解: ,当x>0时, >0 ;当x<0时, <0 .函数的定义域为 ,因为在内 <0,所以函数在上单调减少;因为在内 >0,所以函数在上单调增加。

例题4 证明当x>0时,解:设则 , 在x=0时为零,在内均大于零,故函数在上单调增加,对于任何x>0,有 .即所以四.利用导数研究函数的极值根据导数在驻点两侧的符号,可以判断函数在该驻点是极大值还是极小值。

导数在高中数学解题中的应用探究[001]

导数在高中数学解题中的应用探究Introduction在高中数学中，导数的概念是至关重要的。

导数可以帮助我们研究函数的变化，在解决实际问题时提供有力的工具。

本文旨在探讨导数在高中数学解题中的应用，并提供具体的实例以帮助读者更好地理解此概念。

Part 1: 导数的定义和计算方法在开始讨论应用前，我们先来学习一下导数的定义和计算方法。

导数的定义是一个函数在某一点上的切线斜率，即：f'(x) = lim (f(x+h)-f(x))/h , 当 h → 0这个式子可以理解为，当自变量 x 微小的增加 h 个单位时，函数 f(x) 的变化量与 x 的变化量的比率就是导数。

计算下去，我们可以得出如下公式：f'(x) = lim (f(x+h)-f(x))/h= lim (f(x+h)-f(x))/(x+h-x)= lim (f(x+h)-f(x))/h由此，我们可以用这个公式计算导数。

Part 2: 实例分析现在，让我们看几个常见的高中数学问题，以了解导数如何在实际中应用。

1. 极值问题极值问题是数学中最基本的问题之一，当我们需要找到一个函数的最大值或最小值时，通常需要计算函数的导数。

举例如下：问题：已知函数 f(x) = x^2 - 2x + 1，求f(x) 的最小值和对应的 x 值。

解法：首先，我们计算导数 f'(x) = 2x - 2。

当 f'(x) = 0 时，函数 f(x) 的斜率为 0，即函数具有一个极值。

将 f'(x) = 2x - 2 置于零，我们得到 x = 1。

因此，函数 f(x) 在 x = 1 处有一个极小值。

将 x = 1 值带入方程，我们可以得到最小值：f(1) = 0。

2. 弹性问题弹性问题是在弹性力学中最基本的问题之一，通常在高中物理课程中研究。

让我们看一个简单的例子：问题：一个质量为 m 的球以 V0 速度射出，落地 bounceRatio 的高度后弹回，求第 n 次弹起的时间和高度。

高考热点问题-导数应用论文

浅谈高考热点问题:导数的应用高中数学自引入导数之后，面对新知识背景与格局，函数的单调性,函数的极值,最值，以及在某种条件下恒成立的不等式和生活中的实际应用题等向题之间相互依存，相互贯通，又相互转化的辩证关系成为导数的主打题型，也成为高考命题的主要热点之一，下来，我就对导数的应用作以探索。

应用一：利用导数求切线斜率。

例1，已知曲线的方程为y=x2+1，求此曲线在点p（1，2）处的切线斜率，切线方程。

解：由导数公式表及求导法则可得y′=2 x∴曲线在点p(1、2)处切线斜率k=2×1=2切线方程为y-2=2(x-1)即y=2 x点评：在某一点处切线的斜率就是该点对应的导数。

应用二：利用导数求函数的单调区间。

例2：确定函数f(x)=x2-4 x+3在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：由导数公式表及求导法则可得f′(x)=2 x-4令 f′(x)＞0 解得x>2因此，函数f(x)在区间(2,+∞)内递增。

令 f′(x)<0解得x<2因此，函数f(x)在区间(-∞.2)内递减。

点评：确定函数的单调区间，也就是函数在定义域内确定其导数为正值与负值的区间。

应用三：利用导数求函数的极值与最值。

例3、求函数f(x)=x3-2x2+5在区间［-2 2］上的最值与最小值。

解：由导数公式表及求导法则可得f′(x)=3x2-4x解:f′(x)=0得:x1=0 x2=根据x，x2可列下表由上表可知：极大值点为x=0,此点的极大值为f(0)=5极小值点为x2=，此点的极小值为f()=由上述分析可知：函数f(x)=在区间［-2，2］上最大值是5，最小值是-11。

点评：若函数y=f(x)在区间［a、b］上有极值时，即方程f′(x)=0有解时，求函数y=f(x)在［a、b］上的最大值与最小值可分两步进行。

（1）求函数y=f(x)在［a、b］内的极值。

（2）将y=f(x)在各极值点的极值与f（a）,f（b）比较，最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。

导数在高考解题中的应用

2013-10热点聚焦导数是高中数学知识的一个重要交汇点，是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具。

导数为解决函数的最值、函数极值、单调区间及函数图像等问题提供更有效的途径、更易行的方法和更简便的手段。

一、导数在函数中的应用1.导数在判断函数的单调性、最值中的应用利用导数来求函数的最值的一般步骤是：（1）先根据求导公式对函数求出函数的导数；（2）解出令函数的导数等于0的自变量；（3）从导数性质得出函数的单调区间；（4）通过定义域从单调区间中求出函数最值。

2.导数在函数极值中的应用利用导数的知识来求函数极值是高中数学问题比较常见的类型。

利用导数求函数极值的一般步骤是：（1）首先根据求导法则求出函数的导数；（2）令函数的导数等于0，从而解出导函数的零点；（3）从导函数的零点个数来分区间讨论，得到函数的单调区间；（4）根据极值点的定义来判断函数的极值点，最后再求出函数的极值。

3.导数在求参数的取值范围时的应用利用导数求函数中的某些参数的取值范围，成为近年来高考的热点。

在一般函数含参数的题中，通过运用导数来化简函数，可以更快速地求出参数的取值范围。

（2011年·江苏高考·T 19）已知a ，b 是实数，函数f （x ）=x 3+ax ，g （x ）=x 2+bx ，f ′（x ）和g ′（x ）分别是f （x ）和g （x ）的导函数，若f ′（x ）g ′（x ）≥0在区间I 上恒成立，则称f （x ）和g （x ）在区间I 上单调性一致。

（1）设a >0，若f （x ）和g （x ）在区间［-1，+∞）上单调性一致，求实数b 的取值范围；（2）设a <0且a ≠b ，若函数f （x ）和g （x ）在以a ，b 为端点的开区间上单调性一致，求a-b 的最大值。

【思路】本题考查的是导数与函数的综合知识，在解决本题时要注意挖掘已知的信息，注意条件的转化，函数f （x ）和g （x ）在区间［-1，+∞）上单调性一致，可以转化为导数之积恒为正来处理。

导数在高考中应用论文

导数在高考中的应用导数（导函数的简称）是一个特殊函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想。

它在现行的高中数学教材中处于一种特殊的地位，是联系高等数学与初等数学的纽带，是高中数学知识的一个重要交汇点，是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具。

而且导数现已成为高考数学中必不可少的内容。

函数导数的内容在历年高考中主要集中在切线方程、导数的计算以及利用函数判断函数的单调性、极值、最值等问题，还有与不等式、三角函数、数列、立体几何、解析几何等知识相联系的综合题目，类型有交点个数、恒成立问题等，其中渗透并充分利用了构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要的思想方法，主要考查导数的工具性作用。

一、用导数求函数的切线根据导数的定义及其几何意义，f（x）在点x=x0的切线斜率k、正是割线斜率在x→x0时的极限，即：k=1im 。

由导数的定义，k=f`（x），所以曲线y=f（x）在点（x0，y0）的切线方程是：y-y0=f`（x0）（x-x0）。

这就是说：函数f在点x0的导数f`（x0）是曲线y=f（x）在点（x0，y0）处的切线斜率。

二、求函数的极值、最值求极值，、最值是高考中的重点也是难点。

解题的思路是，首先看变量的个数。

如果是三个变量常有三条路：一是利用柯西不等式、均值不等式和排序不等式，二是消元转化为二元再转化为一元，三是有时利用几何背景解题。

如果是两个变量也有三条路可走：一是利用柯西不等式、均值不等式，二是消元转化为一元函数，三是如果条件是不等式，常常也可以数学规划。

如果是一个变量，常用方法为基本函数模型、单调性法和导数法。

求可导函数f（x）的极值的一般步骤和方法是：1.求导数f`（x）。

2.求方程f`（x）=0的根。

3.检验f`（x）在方程f`（x）=0的根的左右符号。

如果在根左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y=f（x）在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数y=f（x）在这个根处取得极小值。

数学专业毕业论文-导数在高中数学教学中的应用

数学专业毕业论文-导数在高中数学教学中的应用导数在高中数学中的应用学生姓名院系名称数学与软件科学学院专业名称数学与应用数学班级 2008级班学号指导教师四川师范大学教务处二?一一年五月导数在中学数学中的应用学生: 指导老师:内容摘要:导数的思想方法在中学数学中是非常重要的, 在解决许多问题上起到居高临下和以简化繁的作用.本文着重运用导数的基本知识和理论, 来解决中学数学里的函数的图像、单调性、最值等函数问题;在掌握导数的相关概念的基础上应用导数作出特殊函数的图像;应用导数解题的一般方法证明某些不等式或等式的成立问题;解决数列的有关问题;再根据导数所具有的几何意义在解析几何中切线相关问题及求夹角问题等几何问题进行了一些探讨.关键字:导数函数不等式解析几何Derivatives in high school mathematics teaching Abstract: the thinking method of derivative in middle school mathematics is very important, except the guiding role in solve many problems as commandingand to simplify the numerous role. In this paper the basic knowledge and using derivatives, to solve the middle school mathematics theory of the function of image, monotonicity and most value function problem,Inmaster derivative based on the concept of application related to make a special function of images of derivative,The general method of solving application derivative to prove some inequality or equation established problem, Solve problems related series, Again according to thegeometrical meaning which derivative in analytic geometry in tangent related problems and geometric problems for Angle problems are analyzed .Key words: derivative function inequality Analytic geometry目录1 引言 (1)2.1 函数连续的定义 (2)2.2 导数的定义 ....................................... 2 3 导数在函数问题中的应用 (3)3.1 利用导数作函数的图像 (3)3.2 利用导数求参数的值 (4)3.3 判断函数的单调性 (5)3.4 研究方程的根 (5)3.5 求函数极值或最值 ................................. 6 4 导数在证明等式和不等式问题中的应用 (8)4.1导数在不等式证明中的应用 (8)4.2 在恒等式证明方面的应用 ........................... 9 5 导数在数列问题中的应用 ................................ 9 6 导数在解析几何问题中的应用 (10)6.1 利用导数求解切线方程 (10)6.2 求中点弦方程 (11)6.3 证明与中点弦有关的不等式 (11)6.4 求与中点弦有关的轨迹问题 ........................ 11 参考文献 (12)导数在中学数学中的应用高中数学中导数的引入为我们研究函数及其对应的曲线带来很大的方便, 尤其是可以利用导数来解决函数的单调性问题和最值问题, 更可以用导数来解决部分结合问题.另外导数的工具性和导数的几何意义也使得导数与解析几何、不等式、函数、甚至数列知识更加紧密的联系在一起.近年来, 导数的相关知识在高考中的地位日益突出, 本文就简单谈谈导数在函数、不等式、数列、解析几何中的应用.1 引言导数的思想有着悠久的历史, 公元前三世纪, 古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中, 就隐含着近代积分学的思.到了十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作, 如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格;英国的巴罗、瓦里士;德国的开普勒;意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论.为微积分的创立做出了贡献.十七世纪下半叶, 在前人工作的基础上, 英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作, 虽然这只是十分初步的工作.他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起, 一个是切线问题(微分学的中心问题), 一个是求积问题(积分学的中心问题).牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》, 这本书直到1736年才出版, 它在这本书里指出, 变量是由点、线、面的连续运动产生的, 否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合.他把连续变量叫做流动量, 把这些流动量的导数叫做流数.牛顿在流数术中所提出的中心问题是:已知连续运动的路径, 求给定时刻的速度(微分法);已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法).德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者, 1684年, 他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献, 这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法, 它也适用于分式和无理量, 以及这种新方法的奇妙类型的计算》.就是这样一片说理也颇含糊的文章, 却有划时代的意义.他以含有现代的微分符号和基本微分法则.1686年, 莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献.他是1历史上最伟大的符号学者之一, 他所创设的微积分符号, 远远优于牛顿的符号, 这对微积分的发展有极大的影响.现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的.2 导数的定义的相关定义很多人知道,对于很多问题,采用用高等数学的方法和初等数学的方法都可以解答, 但是高等数学的方法相对于初等数学的方法可以使一些概念更准确, 对某些问题的理解会更深刻, 使一些证明更严谨或更简单, 并为许多问题提供的解题途径. 我们高中对导数的学习只是出略的, 更多相关的知识要高等数学中才会学习, 但我们应该明白高中出现的函数几乎都是可导函数.但我们还是要注重有关概念的辨析, 避免应用导数解决相关问题是出现错误.为了更清楚地了解导数的定义我们应用高等数学中导数的定义方式.2.1 函数连续的定义定义1 若函数在的附近包括点本身有定义, 并且xxfx()00. 则称在连续, 或称点是 f (x)的连续点. xxfx()limfxfx,，，，，000xx,02.2 导数的定义定义2 设函数y=在点的某个邻域内有定义, 若极限 xfx()0fxfx,，，，，,y0 limlim,xxx,,,00xxx,,0存在, 则称函数在x处可导, 并称该极限为函数 y =在点x处的导数,fx()fx() 00,记作. ，，fx注:(1) 函数应在点x的附近有定义, 否则导数不存在. 0x(2) 在定义导数的极限式中, 趋近于0可正、可负、但不为0, 可能为0. ,y,x,y(3) 是函数y=f (x) 对自变量x在,x范围内的平均变化率, 它的几何意义是,x过曲线上点(x, 及点(x+, 的割线斜率. y,f(x)f(x)f(x，,x),x00000fxxfx，,,，，，，00,x(4) 导数lim是函数y,f(x)在点的处瞬时变化率, fx,，，00,,x0,xx它反映的函数y,f(x)在点处变化的快慢程度, 它的几何意义是曲线y,f(x)0 上点(x, )处的切线的斜率. f(x)002fxxfx()()，,,00(5) 若极限不存在, 则称函数y=f (x)在点处不可导.xlim0,,x0,x(6) 如果函数y=f (x)在开区间(a, b)内每一点都有导数, 则称函数在开区y,f(x),间内可导;此时对于每一个, 都对应着一个确定的导数, 从,，，(a,b)(a,b)xfx,而构成了一个新的函数, 称这个函数. ，，fx3 导数在函数问题中的应用3.1 利用导数作函数的图像中学数学教材中介绍的描点法作函数图像, 作图比较粗糙不准确, 一般只适用于简单的函数, 但对比较复杂的函数就很难做出.现用导数的知识来作函数图像就相当的简便.作函数图像的一般步骤:(1) 求出函数的定义域;(2)考察函数的奇偶性、周期性;(3)求函数的一些特殊点, 如与两坐标轴的交点等(列表);(4)确定函数的单调区间, 极值点, 凸性区间及拐点(列表); (5)考察渐进线;(6)画图.32例1 作函数的图像. y,x，6x,15x,20解:(1) 函数的定义域 (,,,，,)51055105，,，(2) 曲线与x, y轴交点分别为.(,0),(1,0),(,0),(0,20),,,222,(3) 令解得 x,,5,1y,3x，12x,15,3(x，5)(x,1),0,,令解得 y,6x，12,6(x，2),0x,,2(4) 现列表讨论函数的单调区间、极值点、凸性区间及拐点:x (,,,,5)(,5,,2)(,2,1)(1,，,)-5 -2 1, y+ 0 ——— 0 +,,y ——— 0 + + +y ?凹 80 极大 ?凸 26 拐点 ?凹 -28极小 ?凹(5) 无渐进线3(6) 作图:X(-5，80)(-2,26)(-1，0)Y(1，-28)图1 3.2 利用导数求参数的值在一些含位置参数的题中, 有我们通过运用导数之似乎可以化简函数, 从而更快速的求出参数.2xa,例 2 已知函数在区间[-1, 1]上是增函数, 求实数的取值afxxR(),,，，2x，2所组成的集合A.224，2ax,2x,2(x,ax,2),f(x),,解 2222(x，2)(x，2)又在[-1, 1]上是增函数 fx()2, ,,f(x),0对恒成立, 即对,,恒成立. x,,1,1x,,1,1x,ax,2,02 设, 那么问题就等价于 ,(x),x,ax,21,a,2,0,(1),0,,,, 即故 ,1,a,1(,1),0,,1，a,2,0,所以 A=aa|11,,,. ,,43.3 判断函数的单调性函数的单调性是函数最基本的性质之一, 是研究函数所要掌握的最基本的知识.通常用定义来判断, 但当函数表达式较复杂时判断正负较困f(x),f(x)12 ,,难.运用导数知识来讨论函数单调性时, 只需求出, 再考虑的正负即可.f(x)f(x)此方法简单快捷而且适用面广.32例 3 已知是定义在R上的函数, 其图像交轴于f(x),x，bx，cx，dx三点, 点的坐标为(2,0),且在[-1,0]和[0,2]有相反的单调性. Bf(x)A、B、C(1)求的值. C(2)若函数)在[0,2]和[4,5]也有相反的单调性, 的图像上是否存在f(x)f(x)一点, 使得在点的切线斜率为? 若存在, 求出点的坐标. 若不MMMf(x)3b 存在, 说明理由.2,解分析:(1), ？在[-1,0]和[0,2]有相反的单调性. ，，f(x)fx,3x，2bx，c,？ =0是的一个极值点, 故. ？=0 ，，，，fxf0,0xc22, (2)得,, ，，fx,0x,0x,,b3x，2bx,0123因为在[0,2]和[4,5] 有相反的单调性, f(x),？，，在[0,2]和[4,5] 有相反的符号. fx2 故,. 2,,b,4,6,b,,33, 假设存在点M使得在点M的切线斜率为,则. f(x)(x,y)fxb()3,3b00022,，，即.,而. 3x，2bx,3b,0fx,3b？,,4b,4，3，(,3b),4b(b，9)000？,, 0.故不存在点M使得在点M的切线斜率为. f(x)(x,y)3b003.4 研究方程的根我们知道在解决一元二次方程根的时候通常会用到伟大定理, 但有很多关于方程根的问题如果仅仅用伟大定理来解决的话会显得很吃力, 并且找不着下手的方向.此时我们可以尝试用导数的方法来解决有关问题.532例4 若, 则方程在上有多少根, 0,2m,3x,mxx，1,0,,32解设, 则，，fx,x,mx，12, ，，fx,3x,2mx,且时, , 当，，，，x,0,2fx,0m,3故在上单调递减, 而在与处都连续, 且, f(x)0,2f(x)f(0)10,,x,0x,2，，fm(2)940,,,在上只有一个根. 故 f(x)0,2,,导数有一个很好的作用就是降次, 我们可以三次函数降为更为熟悉的二次函数, 从而达到化简的目的.3.5 求函数极值或最值最值问题是高中数学的一个重点, 也是一个难点.它涉及到了高中数学知识的各个方面, 要解决这类问题往往需要各种技能, 并且需要选择合理的解题途径.用导数解决这类问题可以使解题过程简化, 步骤清晰, 学生也好掌握.应注意函数的极值与最值的区别与联系, 极值是一个局部性概念, 最值是某个区间的整体性概念.利用导数求函数极(最)值解答这类问题的方法是:(1)根据求导法则对函数求出导数.(2)令导数等于0,解出导函数的零点.(3)分区间讨论,得数的单调区间.(4)判断极值点,求出极值.(5)求出区间端点值与极值进行比较,求出最值.出函322例 5 设是函数，，的两个极值点. x、xf(x),ax，bx,axa,012(1)若=-1,=2,求函数的解析式; xf(x)x12x (2)若+=22,求)的最大值; xf(x)21322？解分析: (1) ，，, f(x),ax，bx,axa,022,，，，，？fx,3ax，2bx,aa,02,,？依题意有，，, ，，, f,1,0f2,03a,2b,a,02 12a，4b,a,0解得 a,6622 ,. ？f(x),6x，9x,36xb,,9'22 (2), ？f(x),3ax，2bx,a(a,0)' 依题意, 是方程的两个根,且+=22, xxx、xf(x),021122 . ？(x，x),2xx，x，x,812121223322 ,. ？(,2b3a)，(,a)，2a,8？b,3a(6,a)2 . ？b,0,？0,a,622, 设),则. ，，p(a),3a(6,a)pa,,9a，36a,, 由得,由得. ，，，，pa,0pa,00,a,4a,4即:函数在区间(0,4]上是增函数,在区间[4,6]上是减函数, p(a)？当=4时, 有极大值为96,？)在(0,6]上的最大值是96, p(a)p(a)a？的最大值为46. b从以上例题的分析可以看出导数定义在求极限导数导数可以解决函数中的最值问题,不等式问题,发挥着重要作用,因此我们应予高度重视,充分理解导数定义概念的实质,把握导数.应用的场合及关键点,只有这样在各类考试中方能得心应手.32例6 (2005年山东卷)已知函数是函数的一个fxmxmxnx()3(1)1,,，，，x,1 极值点, 其中, . mnR,,m,0(1)求与的关系表达式; mn(2)求的单调区间; fx()(3)当时, 函数的图像上任意一点的切线斜率恒大于, x,,[1,1]yfx,()3m求的取值范围. m分析:这类题目解决的关键在于深刻理解并灵活运用导数的知识, 第1小题根据极值点处导数为零, 可确定与的关系;第2小题求函数的单调区间可根mn 据求导法得到, 列出表格, 答案一目了然;第3小题根据导数的几何意义结合一元二次函数的性质即可得到结论.2,解 (1) fxmxmxmn()36(1)3,,，，，, 由是的一个极值点, 知, 即, fx()f(1)0,36(1)0mmn,，，,x,1？,，nm36722,(2) 由(1), 得 fxmxmxm()36(1)35,,，，，,,,，3(1)[(1)]mxxm2, 由知, , 当变化时, 与的变化如下: fx()fx()xm,011,，xmx2221 (1,)，, (1,1)，1，(,1),,，mmm,0,0,00 0 gx'()递减极小值递增极大值递减 gx()22由上可知, 在区间和上递减,在区间上递增. fx()(1,)，,(1,1)，(,1),,，mm2,(3) 由已知得,即,即当时,有fxm()3,mxm,，，,2(1)20,,,11x122.? xx,，，,2(1)0mm122 设,其函数开口向上,由题意?式恒成立,所以gxxx()2(1),,，，mm22,g(1)0,,,120，，，,,4,即解之得, ,又,,mmm,g(1)0,3,,,,10,44,所以.即的取值范围为. mm,0(,0),,,,m0334 导数在证明等式和不等式问题中的应用4.1导数在不等式证明中的应用利用导数证明不等式, 就是利用不等式与函数之间的联系, 将不等式的部分或者全部投射到函数上.直接或等价变形后, 结合不等式的结构特征, 构造相应的函数.通过导数运算判断出函数的单调性或利用导数运算来求出函数的最值, 将不等式的证明转化为函数问题.即转化为比较函数值的大小, 或者函数值在给定的区间上恒成立等.x例 7 求证: exx,，,1(0)分析:本题通过导数与函数单调性的关系, 自然地将导数与不等式结合在一x起, 灵活考查了学生全面分析解决问题的能力.先构造函数;再对fxex()1,,, 进行求导, 得到;然后观察得到当时, fx'()0,, 即在fx()fx'()fx()x,0x,08x时是增函数;最后可得当时, , 即. fxf()(0)0,,x,0ex,，1x解:令则 fxex()1,,,x fxe'()10,,,在上是增函数. ？fx()(0,)，,当时, ？fxf()(0)0,,x,0x即. exx,，,1(0)4.2 在恒等式证明方面的应用此类问题证明的关键是把恒等式问题转化为函数问题, 然后利用函数的导数达到解决问题的目的.,例 8 求证: arctanarccotxx，,2证明:设则 arctanx，arccotx,f(x)11, f(x),,,0221，x1，x从而令得 f(x),c(c为常数)x,1,,,(), 于是 fx,，,442,arctancot x，arcx,25 导数在数列问题中的应用数列是高中数学中一个重要的部分, 也是个难点.事实上数列可看作是自变量为正整数的特殊的函数, 所以可以利用数列和函数的关系, 运用导数来解决数列的有关问题.2*例 9 已知数列,,的通项, 求数列,,的最大项. a，，aa,n(10,n)n,,nnn 22,解作辅助函数, 则. f(x),x(10,x)(x,0)f(x),20x,3x20, 令f(x),0 得0,x,; 320,x, 令f(x),0 得或. x,0392020在区间上是增函数, 在区间是减函数. f(x)(0,)(,，,)3320因此, 当x,时函数取到最大值. f(x)3*2对, , f(n),n(10,n)n,,f(7),147,f(6),144f(n),147max所以数列的最大项为. ,,aa,147n76 导数在解析几何问题中的应用导数进入中学数学, 丰富了中学数学知识和解法, 给许多繁难问题提供了一种通用的解题方法, 也给许多常规问题的解法提供了新的视角.利用导数解决解析几何中的切线、中点弦问题, 正是其中一个方面.6.1 利用导数求解切线方程利用导数的几何意义, 把二次曲线方程看作:y是x的函数, 利用复合函数222求导法则, 可轻松求出切线的斜率.如对圆xaxbR,，,,, 两边对求导, x，，，，,则有，，，，, 所以在切点处的切线斜率mn,2x,a，2y,by,0，，xm,a2,k,y,,.从而求出切线方程是.xamaybnbR,,，,,,|，，，，，，，，xx,m,y,nn,b类似地可轻松求出过椭圆、双曲线、抛物线等曲线上的点的切线方程. 如果以圆、椭圆等图形的中心为中心, 按比例缩小图形, 则一定存在同类的圆、椭圆等与弦AB中点M相切(如图1).此时缩小的曲线方程如22xy222xaxbtR,，,,, , 两边对求导, 可发现并不改变原程，,1x，，，，，，22tatb，，，，,求导的结果.因此, 利用导数法求中点弦的斜率, 就是y在中点处的值. xB A M图2106.2 求中点弦方程22例 10 已知双曲线方程, (1)求以为中点的双曲线的弦所在的，，22xy,,A2,1直线方程;(2)过点, 能否作直线, 使与所给双曲线交于两点, 且LL，，P、QB1,1点是弦的中点,这样的直线如果存在, 求出它的方程;如果不存在, 说明BPQ理由.22,解对两边求导, 得 4x,2yy,022xy,,x,(1) 以为中点的弦的斜率, 所以所求中点弦所在直线方程，，k,y|,2A2,1xx,2,y,1为 yx,,,12(1),(2) 以为中点的弦的斜率, 所以所求中点弦所在直线方程，，k,y|,2B1,1xx,2,y,122为, 即,但与双曲线方程联立消去得yx,,,12(1)210xy,,,y22xy,,2, 无实根.因此直线与双曲线无交点, 所以满足条件的2430,80xx,，,,,,,l直线不存在. l 点评:(1)求出的方程只是满足了必要性, 还必须验证其充分性, 即所求直线与双曲线确实有两个交点.6.3 证明与中点弦有关的不等式22xy例11 已知椭圆, A、B是椭圆上两点, 线段的垂直平，，AB，,1a,b,022ab2222abab,,分线与轴交于点P, 求证:x. (x,0)x,,,00aa P证明: 设AB的中点是, 则中点在椭圆内, ，，Pm,n所以 (1)22xy对椭圆两边求导，,122ab2xb2x2y,,有, 得 y，y,0,,xx222yaab2mb,故中点弦AB的斜率, 所以线段AB的垂直平分线斜率满k,y|,,xx,my,n.2na22xan,ona0足:, 得m,. ,222a,bm,xmb02222abab,,x代入(1)式得. ,,,0aa6.4 求与中点弦有关的轨迹问题122AA例 12 已知定点(0, 2), 椭圆, 过任意引直线与椭圆交于两点x，y,12 , 求线段中点的轨迹方程. P、QPQ解设线段的中点为. PQ，，Mx,y122对椭圆两边求导, 得 x，y,12,=0 x，2yyx11x所以PQ的斜率为.又, k,,k,kAMPQ2yy,2x,,所以. x,12y12222化简即得(在椭圆内的部分). x，2y,4y,0x，y,12综上所述, 在中学数学中解决函数、解析几何时我们可以充分考虑导数这一个有力工具, 有些题通过导数的使用可以达到简化题目、降低难度的作用, 但在应用导数时不能盲目使用.相信有了导数这一工具会使大家解决中学数学题时多以选择.参考文献[1]郭金芝. 导数的应用[J]. 中学生数理化(教与学教研版), 2006(2):38-40 .[2]王淑茂吴永清. 例谈导数应用中的几个误区[J]. 数学教学研究,2006(1):35-36.[3]陈应昌. 导数中的一个重要定理的应用[J] . 高中数学教与学 ,2006(2):27-28.[4]肖志向. 例说导数法证明不等式[J]. 中学数学研究, 2006(2):38-39.[5] 李汉云. 导数的基本应用举例[J]. 高中数学教与学. 2005(10):15-17[6] 华东师范大学数学系 . 数学分析[M](上册, 第三版).北京: 高等教育出版社, 2001-6:87-103.[7]秦学锋. 微积分在数列求和中的应用[J] .数学通报, 2001(2):36 [8]周国球 .运用导数解题应注意几个方面[J].中学数学教学, 2006(1):24-25.[9] 华东师范大学数学系(数学分析(上册)[M](北京:高等教育出版社,2001([10] 杜忠芬.浅谈微积分在初等数学中的应用[J],同仁学院学报,2007, 1(6): 40-43.[11] 杜明华.新增内容导数在解题中的几点应用[J], 新课程改革与实践,2009, 4(5):85-86.[12] 张丽娟.导数的应用浅析[J], 自然科学, 2009,26(3):44-48. [13] 周晓渝.高等数学在初等数学中的应用[J], 科技信息, 2009, 30: 499-499.[14] 窦宝泉.导数在中学数学中的应用[J].数学通讯, 2003(12):12-13 [15]张红. 数学简史[M].科学出版社.2006(6):190-203.12。

数学论文导数及应用范文（2）

数学论⽂导数及应⽤范⽂(2) 数学论⽂导数及应⽤篇三摘要：⾼等数学是⼀门⽅法学科，因此可以说是许多专业课程的基础。

然⽽导数这⼀章节在⾼等数学中是尤为重要的，在⾼等数学的整个学习过程中，它起着承前启后的作⽤，是学习⾼等数学⾮常重要的任务。

本⽂详细地阐述了导数的求解⽅法和在实际中的应⽤。

关键词：⾼等数学导数求解应⽤导数的基本概念在⾼等数学中地位很⾼，是⾼等数学的核⼼灵魂，因此学习导数的重要性是不⾔⽽喻的。

然⽽这种重要性很多同学没有意识到，更不懂得如何求解导数以及运⽤导数来解决有关的问题。

我通过⾃⼰的学习和认识，举例⼦说明了⼏种导数的求解⽅法以及导数在实际中的应⽤。

⼀、导数的定义 1.导数的定义设函数y=f(x)在点x0的某⼀邻域内有定义，如果⾃变量x在x0的改变量为△x(x0≠0，且x0±△x仍在该邻域内)时，相应的函数有增量△y=f(x0+△x)-f(x0)。

若△y与△x之⽐，当△x→0时，有极限lim =lim 存在，就称此极限为该函数y=f(x)在点x0的导数，且有函数y=f(x)在点x=x0处可导，记为f`(x0)。

2.导数的⼏何意义函数y=f(x)在点x0处的导数在⼏何上表⽰曲线y=f(x)在点〔x0，f(x0)〕处的切线斜率，即f`(x0)=tan，其中是切线的倾⾓。

如果y=f(x)在点x0处的导数为⽆穷⼤，这时曲线y=f(x)的割线以垂直于x轴的直线x=x0为极限位置，即曲线y=f(x)在点〔x0，f(x0)〕处具有垂直于x轴的切线x=x0。

根据导数的⼏何意义并应⽤直线的点斜式⽅程，可知曲线y=f(x)在点〔x0，f(x0)〕处的切线⽅程。

⼆、导数的应⽤ 1.实际应⽤假设某⼀公司每个⽉⽣产的产品固定的成本是1000元，关于⽣产数量x的可变成本函数是0.01x2+10x元，若每个产品的销售价格是30元，求：总成本的函数，总收⼊的函数，总利润的函数，边际收⼊，边际成本及边际利润等为零时的产量。

导数的应用(论文)

导数的应用武夷山一中张俊玲《导数》位于高中数学第三册（选修Ⅱ）的第三章，内容不多，但应用却十分灵活。

近几年的高考中出现了大量考查导数的试题，预计今后还会加大考查力度，因此熟练掌握导数的有关应用是十分必的。

一、预备知识1、导数的定义：若函数f(x)在x=x 0处及附近有定义，则函数f （x ）在x=x 0处的导数为00000()()()limlim x x x x f x x f x yy f x x x=∆→∆→+∆-∆''===∆∆2、导数的几何意义：曲线y=f(x)在点P （x 0 ，f(x 0)）处的切线的斜率为'f (x 0) 二、导数的应用 1、利用导数求极限由0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 令x 0＋△x 为x则△x=x －x 0 且当△x →0时，x →x 0 故0000()()()limx x f x f x f x x x →-'=-例1：求极限 2sin sin 22limx x x →--解：设f(x)=sinx ，则'f (x)=cosx故原式='f (2)=cos2 2、利用导数求瞬时速度和加速度若质点的运动方程为()s s t = 则质点的瞬时速度方程为()v s t '= 质点的瞬时加速度方程为()()a v t s t '''==例2：质点的运动方程为s=t 3，（s 的单位:m ，t 的单位：s ）求质点在t=3时的速度和加速度。

解：∵s=t 3∴s ′=3t 2，s ″=6t∴质点在t=3时的速度为v=s ′/t=3=27m/s ，加速度为a=s ″/t=3=18m/s 23、利用导数求和例3：当n ↔N*时，求证：1321232-⋅=++++n nn n n n n nC C C C 证明：由n n n n n n n n x C x C x C x C C x +++++=+ 332210)1(两边分别对x 求导得 12321132)1(--++++=+n n n n n n n x nC x C x C C x n 令x=1得 1321232-⋅=+++n n n n n n n nC C C C4、利用导数求切线曲线y=f(x)在点p(x 0 , f(x 0))处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=- 例4：已知曲线1y x=（1）求曲线在点p （1，1）处的切线方程（2）求曲线在点Q （1，0）处的切线方程（3）求满足斜率为－31的曲线的切线方程和切点坐标解：（1）设x x f y 1)(== 则2'1)(xx f -= ∵p 在曲线上 ∴p 为切点 ∴所求切线斜率k =1)1('-=f 故曲线在点p 处的切线方程为y -1 = -(x-1) 即y = - x ＋2 （2）显然Q 不在曲线上设过点Q 且与曲线相切的切线的切点为A （a ,a1）则该切线的斜率2'1)(aa f k -== 从而切线方程为)(112a x aa y --=-将Q （1、0）代入方程得a =21故所求切线方程为y = －4x ＋4（3）设切点为A(a ,a 1)，则切线的斜率 3112-=-=ak 解得3±=a 即A （3 ，33）或（－3，－33）故切线方程为)3(3133--=-x y 或 )3(3133+-=+x y 即0323=-+y x 或 0323=++y x[归纳总结] 有关曲线在某一点处的切线问题，满足以下三个关系：○1切点在曲线上；○2切点在切线上；○3切线的斜率等于曲线在切点处的导数。

导数应用论文

导数的应用目录[摘要] (2)一.引言 (2)二．导数的概念 (3)三．导数的求法 (4)1．显函数导数 (4)1．1导数的四则运算： (4)1．2复合函数与反函数求导法则 (4)1．3基本初等函数求导公式 (4)2．隐函数导数 (4)3．由参数方程所确定的函数求导法 (5)4．分段函数的导数 (5)四．导数的性质 (5)五．导数的应用 (6)1．导数在函数中的应用 (6)1．1利用导数判断函数的单调性 (6)1．2利用导数判断函数凹凸性及拐点 (8)1．3利用导数求函数的极值和最值 (10)1．4利用导数知识描绘函数图形 (15)1．5利用导数求参数问题 (18)2．导数在曲线中的应用 (18)3．利用导数研究方程的根 (20)4．应用导数证明不等式 (20)5．导数在数列中的应用 (21)6．利用导数求极限——洛必达法则 (23)6．1“0”型和“∞∞”型 (23)6．2其他形式 (23)7．物理学中的导数 (24)8．经济学中的导数应用 (25)结束语： (26)参考文献： (26)（所有）[摘要]导数是新教材的一个亮点，它是连接初等数学与高等数学的桥梁，用它可以解决许多数学问题，它是近年高考的的热点。

它不仅帮助即将进入大学的高三学生奠定进一步学习的基础，而且在解决有关问题已经成为必用工具。

由于导数的广泛应用，现已成为高考的热点知识本文拟对导数知识的全面归纳，然后通过一些实例全面介绍导数在实际数学中的应用，让人们全面了解导数这一工具的利用[关键字]导数初等数学高等数学应用一.引言导数是初等数学与高等数学的重要衔接点，是高考的热点，高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，高考对这部分容的考查将仍会以导数的应用题为主，如利用导数处理函数的极值、最值和单调性问题和曲线的问题等，考题不难，侧重知识之意。

高考考查导数应用主要有以下三个方面：①运用导数的有关知识研究函数的单调性和最值问题，②利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率。

浅论数学高考题目中的导数(毕业论文)

浅论数学高考题目中的导数数学与计算机科学学院数学与应用数学专业105012009082 林耀永指导教师：王孝振【摘要】导数进入高中数学教材已经有多年，它给传统的中学教学带来了新的生机与活力.导数对于研究数学问题而言是一个非常优秀的工具，它可以十分广泛的应用于各种数学问题的研究.在历年的高考中，导数常与方程、函数、不等式等等的知识点相交汇，以各种形式出现.其中不乏颇具亮点的题目，为高考数学增色不少.本文就导数的一些相关知识与导数在高考中的一些常见题型做出了些许的分析和研究.【关键词】导数；高考；导数的应用.1.引言导数进入高中数学教材已经有多年，它给传统的中学教学带来了新的生机与活力.导数对于研究数学问题而言是一个非常优秀的工具，它可以十分广泛的应用于函数问题、不等式问题、解析几何问题等等数学问题的研究，并为此提供新的视角、新的方法、新的途径.就目前而言，导数在教学中的主要目标是导数的本质及其应用，导数依旧是学生必须掌握的一个重要知识.由于导数其知识内涵的基础性及其应用的广泛性，使得导数不仅成为了高中数学的一个创新点，更成为了数学高考中的一个“熟客”. 在历年的高考中，导数常与方程、函数、不等式等等的知识点相交汇，以各种形式出现，其中不乏颇具亮点的题目，为高考数学增色不少.本文就导数的一些相关知识与导数在高考中的一些常见题型做出了些许的分析和研究.2.导数的相关知识2.1 导数的概念导数（Derivative ）是微积分中的重要基础概念.当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限.在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分.可导的函数一定连续,不连续的函数一定不可导.导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则.2.2 导数的定义设函数()y f x =在点0x 附近有定义，当自变量x 在0x 处有增量x ∆时，相应地函数取得增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；如果y ∆与x ∆之比当0x ∆→时极限存在且有限，即极限0000()()lim lim x x f x x f x y x x∆→∆→+∆-∆=∆∆存在且有限，则称这个极限值为函数()y f x =在点0x处的导数，记为0()f x '.2.3 导数与导函数如果函数()y f x =在开区间I 内每一点都可导，就称函数()f x 在区间I 内可导.这时函数()y f x =对于区间I 内的每一个确定的x 值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数()y f x =的导函数，记作y ',()f x ',dy dx , ()df x dx.导函数简称导数. 2.4 导数的几何意义函数()y f x =在0x 点的导数0()f x '的几何意义：表示函数曲线在00(,())P x f x 点的切线斜率,即该函数()y f x =的曲线在0x 这一点上的切线斜率.2.5 求导公式及法则（1）0C '=；（2）1()n n x nx -'=；（3）(sin )cos x x '=；（4）(cos )sin x θ'=-；（5）221(tan )sec cos x x x'==；（6）221(cot )csc sin x x x '=-=-；（7）(sec )sec tan x x x '=；（8）(csc )csc cot x x x '=-；（9）1(ln )x x'=；（10）1(log )ln a x x a '=；（11）()x xe e '=；（12）()ln x x a a a '=其中0,1a a >≠；（13）(arcsin )x '=（14）(arccos )x '=（15）21(arctan )1x x '=+；（16）21(arccot )1x x '=-+. 为了便于记忆，有人整理出了以下口诀：常为零，幂降次，对导数（e 为底时直接导数，a 为底时乘以ln a ），指不变（特别的，自然对数的指数函数完全不变，一般的指数函数须乘以ln a ）；正变余，余变正，切割方（切函数是相应割函数（切函数的倒数）的平方），割乘切，反分式.3.导数的应用3.1以导数为工具研究函数的部分性质3.1.1 判断函数的单调性利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合的思想．一般地，在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．如果在某个区间内恒有()0f x '=，则()f x 是常数函数．注意：在某个区间内，()0f x '>是()f x 在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件，如3()f x x =在R 内是增函数，但0x =时()0f x '=.也就是说，如果已知()f x 为增函数，解题时就必须写()0f x '≥.求函数单调区间的步骤：①确定()f x 的定义域；②求导数；③由（或）解出相应的x 的范围．当()0f x '>时，()f x 在相应区间上是增函数；当()0f x '<时，()f x 在相应区间上是减函数．3.1.2函数极值的判定①如果在两侧符号相同，则不是()f x 的极值点；②如果在附近的左右侧符号不同，那么，是极大值或极小值.3.1.3 求函数的极值①确定函数的定义域；②求导数；③在定义域内求出所有的驻点与导数不存在的点，即求方程及的所有实根；④检查在驻点左右的符号，如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值．3.1.4 求函数的最值如果()f x 在[],a b 上的最大值（或最小值）是在(,)a b 内一点处取得的，显然这个最大值（或最小值）同时是个极大值（或极小值），它是()f x 在(,)a b 内所有的极大值（或极小值）中最大的（或最小的），但是最值也可能在[],a b 的端点a 或b 处取得，极值与最值是两个不同的概念．求()f x 在[],a b 上的最大值与最小值的步骤：①求()f x 在(,)a b 内的极值；②将()f x 的各极值与()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．3.1.5实际问题实际生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题，优化问题也称为最值问题．解决这些问题具有非常现实的意义．这些问题通常可以转化为数学中的函数问题，进而转化为求函数的最大（小）值问题．3.2 利用导数的几何意义求解函数的切线方程函数()y f x =在0x 点的导数0()f x '的几何意义：表示函数曲线在00(,())P x f x 点的切线斜率,即该函数()y f x =的曲线在0x 这一点上的切线斜率.这样，我们就可以求出函数在某点00(,())P x f x 的切线斜率，随后只需要运用点斜式000()()()y f x f x x x '-=-就可以求出切点为00(,())P x f x 的切线方程.3.3 利用导数求解一些不等式问题3.3.1利用导数得出函数单调性来证明不等式我们知道，如果函数在某个区间内其导数值小于（或大于）0，则此函数在这个区间上单调递减（或递增）.因此在一些不等式问题中，我们往往可以通过构造一个函数的方式，以导数的方法确定函数在一个区间上的单调性，再利用函数的单调性达到证明不等式的目的.即将不等式问题转化为了函数的单调性问题.3.3.2 利用导数得出函数的最值来证明不等式求函数的最值是导数一个重要的作用.因此在求证不等式问题的时候，我们可以先构造相应的韩式，再通过导数求出此函数的最值，若该函数的最大值（或最小值）都能使不等式成立，则可知此不等式恒成立，即将不等式问题转化为了函数的最值问题.3.3.3 利用导数解不等式解不等式的一般目的是求参数的取值范围或者求自变量的取值范围，着一些问题也往往可以通过导数的相关知识来解决.在具体题目中，这类问题一般与函数相交汇，解不等式时经常使用到的知识点就是如何求解函数的单调性和最值，结合函数的单调性和函数的最值，再分析题目要求之后，就可以列出一些相关的不等式，从而求解.归根结底，这一类问题依旧借助导数在求函数单调性和最值问题上的便利性，但两个相交汇的知识也会给题目带来不少变化，需要注意的地方不少，经常需要分类讨论，这是一种有一定难度的题型，在做此类问题的过程中需要细心分析，以确定最佳的分类标准.3.4 利用导数求函数中某些未知参数取值范围的问题导数常与函数相结合，而在函数中，也经常出现一些未知的参数.因此利用导数求解函数中的参数取值范围问题也屡见不鲜.这一类问题也是一种相当灵活的题型，主要运用到的知识点依旧是利用导数求函数的单调性和最（极）值的方法.3.4.1 此类问题常见题型、考法①并已知函数在某区间的单调性或已知函数的最（极）值，参数在函数的表达式上（或参数在区间边界上），求参数取值范围；②已知不等式在某区间上恒成立，参数在函数的表达式上（或参数在区间边界上），求参数的取值范围；③已知函数图像的交点情况，求参数的取值范围；④开放性问题，求参数的取值范围.3.4.2 含参不等式恒成立问题中，求未知参数取值范围的一般方法①分离参数：通过恒等变形，将参数分离出来，若()a f x ≥恒成立，只需求出max ()f x ，则必有max ()a f x ≥；反之，若()a f x ≤，只需求出min ()f x ，则有min ()a f x ≤.从而将问题转化为函数最值问题.②分类讨论：在给出的不等式中，如果两变量无法通过恒等变形分别置于不等式的两边，可以考虑通过分类讨论的思想来解决.③确定主元：在给出的含有两个变量的不等式中，我们习惯的将变量x 看做主元，而把变量a 看做参数.但在某些题目中，这种思路反而更加繁琐，此时不妨试下改换思路，反其道而行，将变量a 看做主元，而把变量x 看做参数，可能这一新的思路可以大幅简化解题的难度与过程的繁琐.当然，这一方法要根据实际情况，而非任意胡来.4.导数在高考中的常考知识点与题型4.1 利用导数研究函数的单调性考情聚焦：1．导数是研究函数单调性有力的工具，今年各地市高考中的单调性问题，几乎均用它解决．2．常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式或指、对数式结构，多以解答题形式考查，属中高档题目．考点分析：利用导数研究函数单调性的一般步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数()f x '；（3）① 若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数()f x 的定义域内解(或证明)不等式()0f x '>或()0f x '<.② 若已知()f x 的单调性，则转化为不等式()0f x '≥或()0f x '≤在单调区间上恒成立问题求解．例1 (2012年新课标，文科，21)设函数()2x f x e ax =--.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若a =1，k 为整数，且当x >0时，(x －k ) f ´(x )+x +1>0，求k 的最大值解：（Ⅰ）()f x 的定义域是R ，()x f x e a '=-．若0a ≤，则()0f x '>，所以()f x 在R 上是增函数．若0a >，令()0x f x e a '=-=，即ln x a =，则当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<,所以()f x 在(,ln )a -∞上是减函数；当(ln ,)x a ∈+∞时()0f x '>，所以()f x 在(ln ,)x a ∈+∞上是增函数.（Ⅱ）略．例2 (2012年福建，理科，20) 已知函数2(),.x f x e ax ex a R =+-∈（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）试确定a 的取值范围，使曲线()y f x =上存在唯一的点P ,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P .解：（Ⅰ）求导可知()2x f x e ax e '=+-，所以有(1)2f a '=，即曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线斜率20k a ==.所以0a =，即().x f x e ex =-此时有()x f x e e '=-，令()0x f x e e '=-=可得1x =.所以(,1)x ∈-∞时，有()0f x '<；(1,)x ∈+∞时，有()0f x '>，即()y f x =的单调递减区间为(,1)-∞，单调递增区间为(1,)+∞.（Ⅱ）略（见例8）．4.2 利用导数研究函数的极值与最值问题考情聚焦：1.导数是研究函数极值和最值问题的重要工具，几乎是历年各省各市高考中极值与最值问题求解的不用方法. 2. 此类问题常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式、或指、对数式结构，多以解答题形式出现，属于高档题.考点分析：利用导数研究函数的极值的一般步骤：（1）确定定义域;（2）求导数()f x ';（3）①若求极值，则先求方程()0f x '=的根，再检验()f x '在方程根左右值的符号，求出极值.②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程()0f x '=的根的大小或存在情况，从而求解.（4）将函数()y f x =的极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个即最小值.例3 (2012年新课标，理科，21)已知函数()y f x =满足121()(1)(0)2x f x f ef x x -'=-+ （Ⅰ）求()y f x =的解析式及单调区间；（Ⅱ）若21()2f x x ax b ≥++，求(1)a b +的最大值. 解：（Ⅰ）略（Ⅱ）由（1），21()2x f x e x x =-+；所以21()(1)2x f x x ax b e a x b ≥++⇔≥++⇔ 直线(1)y a x b =++在指数函数x y e =的图像下方，或与其相切.这里只需考虑相切的情形，设切点坐标为00(,)x y ，根据0000(1)(),x x x x x a e e y e ='+===，所以过切点00(,)x y 的切线方程可写为000()x x y e e x x -=-，即000(1)x x y e x e x =+-，故00(1)x b e x =-.因此000200(1)(1)(1)x x x a b e e x e x +=⨯-=-.记2()(1)x f x e x =-，则222()2(1)(12)x x x f x e x e e x '=--=-.所以当12x <时，()0f x '>，()f x 在1(,)2-∞上是增函数；12x >时，()0f x '<，()f x 在1(,)2+∞上是减函数.因此，当12x =时()f x 有最大值1()22e f =，即(1)2e a b +≤，此时112201,1,22e x a e b ==-=.综上可得(1)a b +的最大值为2e . 4.3 利用导数研究函数的图象考情聚焦：1．该考向由于能很好地综合考查函数的单调性、极值(最值)、零点及数形结合思想等重要考点，而成为近几年高考命题专家的新宠．2．常与函数的其他性质、方程、不等式、解析几何知识交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式、指、对数式结构，多以解答题中压轴部分出现．属于较难题．考点分析：这一部分内容比较灵活，需要学生对导数的相关知识都有所了解，并可以将之相交汇，灵活变通的运用所学知识点.例4 (2011年浙江，文科，10)设函数2()(,,)f x ax bx c a b c R =++∈，若1x =-为函数()x f x e 的一个极值点，则下列图象不可能为()y f x =的图象是( )解：设()()x F x f x e =，所以2()()()(2)x x x F x f x e e f x e ax b ax bx c ''=+=++++，又因为1x =-为()xf x e 的一个极值点，所以2(1)()0F e a c '-=-+=，即a c =.所以22244b ac b a ∆=-=-，当0∆=时，2b a =±，即对称轴所在的直线方程为1x =±；当0∆>时，12b a>，即对称轴所在直线应大于1或小于-1，故选D.例5 (2012年汉南，理科，10)已知函数1()ln(1)f x x x=+-，则()y f x =的图像大致为（）解：()ln(1)()()0101x g x x x g x g x x x ''=+-⇒=-⇒>⇔-<<+, ()00()(0)0g x x g x g '<⇔>⇒<=,即0x >或10x -<<均有()0f x <，故排除,,A C D ，答案为B .4.4 实际生活中的优化问题考情聚焦：本类题型在考查考生对导数在实际问题中的应用的掌握情况，考查考生的运算求解能力和推理论证能力．能力要求是考生的建模能力．试题难度中等偏难，属于难题．针对本题总结如下规律：①问哪个量，哪个量就是自变量，涉及最大最小的量为函数．②建立函数模型是时要结合实际意义，同时要注明自变量的取值范围，即定义域．③在利用导数求解时，要注意遵循导数求最值的步骤进行．④作为规范作答，要注意下结论．考点分析：优化问题一般是以求极值和最大（最小）为目的，能灵活的掌握导数在此种地方的用法，基本可以解决问题，不过如何从题目中提炼出数学模型，构造出合适的函数却颇为考验学生的数学功底.例6 （2010年湖北，理科，17)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系()(010)35k C x x x =≤≤+，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k 的值及()f x 的表达式；（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求此最小值．解：（Ⅰ）设隔热层的厚度为x cm ，由题设，每年能源消耗费用()(010)35k C x x x =≤≤+. 再由(0)8C =，得40k =.因此40()(010)35C x x x =≤≤+.因为建造费用为1()6C x x =，所以1800()20()()6(010)35f x C x C x x x x =+=+≤≤+ （Ⅱ）因为1800()20()()6(010)35f x C x C x x x x =+=+≤≤+，所以我们可以得到22400()6(35)f x x '=-+，令()0f x '=，解得5x =或253x =-（舍去）.当(0,5)x ∈时，()0f x '<；当(5,10)x ∈时()0f x '>；所以5x =是()f x 的最小值点，且(5)70f =.因此，当隔热层修建5cm 厚时，总费用()f x 达到最小，最小值为70万元.4.5 利用导数的几何意义解决有关切线方程问题考情聚焦：1．利用导数研究曲线()y f x =的切线是导数的重要应用，为今年各省市高考命题的热点．2．常与函数的图象、性质及解析几何知识交汇命题，多以选择、填空题或以解答题中关键一步的形式出现，属简单题．考点分析：（1）导数的几何意义函数()y f x =在0x 处的导数()f x '的几何意义是：曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线的斜率．（2）求曲线切线方程的步骤：①求出函数()y f x =在点0x x =的导数，即曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的斜率；②在已知切点坐标00(,())P x f x 和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-.注：(1)当曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线平行于Y 轴(此时导数不存在)时，由切线定义可知，切线方程为0x x =；(2)当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解．例7 (2012年全国，文科，13)曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为．解：根据导数的几何意义知，曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线的斜率为()113ln 134x x y x =='=++=⎡⎤⎣⎦.因此，所求切线方程为14(1)y x -=-，即43y x =-.4.6 利用导数求函数中某些未知参数取值范围的问题考情聚焦：导数常与函数相结合，而在函数中，也经常出现一些未知的参数.因此利用导数求解函数中的参数取值范围问题也屡见不鲜.这一类问题也是一种相当灵活的题型，主要运用到的知识点依旧是利用导数求函数的单调性和最（极）值的方法.考点分析：这一部分内容比较灵活，需要学生对导数的相关知识都有所了解，并可以将之相交汇，灵活变通的运用所学知识点.例8 (2012年福建，理科，20) 已知函数2(),.x f x e ax ex a R =+-∈（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）试确定a 的取值范围，使曲线()y f x =上存在唯一的点P ,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P .解：（Ⅰ）略（见例2）.（Ⅱ）设切点为00(,())P x f x ，由点斜式可知曲线()y f x =在点P 处的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+，令000()()()()()g x f x f x x x f x '=---，故曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线与曲线只有一个公共点00(,())P x f x 等价于函数()g x 只有唯一零点.因为0()0g x =，且000()()()2()x x g x f x f x e e a x x '''=-=-+-（1）若0a ≥，当0x x >时，()0g x '>，即0x x >时，0()()0g x g x >=；当0x x <时，()0g x '<，即0x x <时，0()()0g x g x >=，故()g x 只有唯一一个零点0x x =.由P 的任意性可知，0a ≥不合题意，故舍去.（2）若0a <，令00()2()x x h x e e a x x =-+-，则0()0,()2x h x h x e a '==+.令()20x h x e a '=+=，得ln(2)x a =-，记ln(2)x a *=-，则当(,)x x *∈-∞时，()0h x '<，从而00()2()xx h x e e a x x =-+-在区间(,)x *-∞上单调递减；同理可知()h x 在(,)x *+∞上单调递增.①若x x *=，由(,)x x *∈-∞时，()()()0g x h x h x *'=>=；(,)x x *∈+∞时，()()()0g x h x h x *'=>=.可知()g x 在R 上单调递增.所以函数()g x 在R 上有且只有一个零点x x *=.②若x x *>，由于()h x 在(,)x *+∞上单调递增，且0()0h x =，则当(,)x x *∈+∞时有()()()0g x h x h x *'=>=，0()()0g x g x '>=；任取10(,)x x x *∈，则有1()0g x >.又当(,)x x *∈-∞时，易知1220000()(())()()x x g x e ax e f x x f x x f x e ax ''=+-+-+<+- 20000(())()()e f x x f x x f x ax bx c ''+-+=++,而在上面的式子中，0(())b e f x '=-+，1000()()x c e f x x f x '=-+.由于0a <，则必存在21x x <，使得20ax bx c ++<.所以2()0g x <，故()g x 在21(,)x x 内存在零点，即()g x 在R 上至少有两个零点.③若x x *<，同②并利用36xx e >，可证函数()g x 在R 上至少有两个零点. 综上所述，当0a <时，曲线()y f x =上存在唯一点(ln(2),(ln(2)))P a f a --，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P .参考文献[1] 高慧明.“导数及其应用”高考命题分析与思考. 《试题与研究：高中文科综合》 2012年第2期 J0009-J0014页. 共6页.[2] 范召霞. 2011年高考导数及其应用考情调研. 《数理化学习：高中版》 2011年第12期13-16页,共4页.[3] 郭振. 导数应用题型与高考走势.《中学教研：数学版》 2008年第2期 16-19页,共4页[4] 李怀军侯伟.导数在2012年高考新课标卷命题中的“三大”热点. 《试题与研究：高中理科综合》 2012年第3期 J0083-J0085页,共3页.[5] 张娟.高考中导数的应用. 《数理化学习（高三）》 2010年第12期 22-24页,共3页.[6] 虞育旗. 例谈高考中导数在函数里的综合应用. 《中学时代：理论版》 2012年第1期144-145页,共2页.[7] 蔡广红. 例析导数在高考试题中的应用. 《理科考试研究：高中版》 2011年第3期 4-6页,共3页.[8] 何伟军谢旭东.例析导数在高考中的热点问题. 《试题与研究：高中文科综合》 2011年第1期 I0012-I0015页,共4页.[8] 闫飞张生光. 浅谈高考热点问题：导数的应用. 读写算（教育教学研究）. 2011年第20期. 154-154页,共1页[9] 常佩佩. 探讨高考导数出题点. 《青年与社会：中外教育研究》 2012年第5期 153-153页,共1页.[10] 蔡勇全肖顺银肖军. 透视高考考查导数的六大热点. 中学生理科应试：高中》 2012年第3期 10-12页,共3页The analysis of derivative in the College Entrance Examination LIN Yao-yong 105012009082 Advisor：WANG Xiao-zhenMajor in Pure and Applied Mathematic sCollege of Mathematics and Computer Science【Abstract】Derivative entering high school math textbooks have been for many years, it has brought new vigor and vitality for the traditional secondary school teaching. Derivative is a very good way to discuss mathematical problems; it can be very widely used in the discussion of a variety of mathematical problems. In recent years of the college entrance examination, derivative is often combined with the knowledge of the equation, function, inequality and appeared in various forms. It makes the college entrance more exciting. This article made some analysis and research to Derivative-related knowledge and common questions in the college entrance examination.【Keywords】Derivative; college entrance examination; Applications of Derivatives.。

导数在函数中的应用[论文]

导数在函数中的应用【内容摘要】新课标下，随着导数学习的不断深入，高考要求的不断的提高，导数在高考中显得越来越重要，它已经是高考必考内容之一，尤其在曲线切线方程，函数单调性，极值最值，不等式的证明中发挥重要作用。

【关键词】导数；单调性；切线；几何意义；最值。

导数是高中数学中一个重要内容，导数本身已经成为解决数学问题的重要工具，不论是研究函数的性质，还是解决不等式的问题和方程根的问题，还是解决曲线的切线问题，导数都发挥着非常重要的作用，在近几年的高考中，对导数的考查在逐步加强。

一般的高考对导数的考查形式多样，难易均有，可以在选择题和填空题中出现，主要以导数的运输、导数的几何意义、导数的应用为主，也更容易在解答题中出现，有时候作为压轴题，这是主要考查导数的综合应用，往往与函数、方程、不等式、数列、解析几何等联系在一起。

有关导数在函数中的应用主要类型有：求函数的切线，判断函数的单调性，求函数的极值和最值，利用函数的单调性证明不等式，这些类型成为近两年最闪亮的热点，是高中数学学习的重点之一，也是“新课标”下高考的重点。

一、用导数求函数的切线例题1：已知曲线y=13x3+43.（1）求曲线在点p（2，4）处的切线方程；（2）求曲线过点p（2，4）的切线方程；分析：根据导数的几何意义求解。

【解析】（1）∵y′=x2，∴在点p（2，4）处的切线的斜率k=y′|x=2=22=4，∴曲线在点p（2，4）处的切线方程为y-4=4（x-2），即4x-y-4=0；（2）设曲线y=13x3+43与过点p（2，4）的切线相切于点a（x0，13x30+43），则切线的斜率k=y′| x=x0=x20.∴切线方程为y-（13x30+43）=x20（x-x0），即y=x20·x-23x30+43.∵点p（2，4）在切线上，∴4=2x20-23x30+43，即x30-3x20+4=0，解得x0=-1或x0=2.故所求切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0；方法提升：①在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点p处的切线方程和求曲线过点p的切线方程，在点p处的切线，一定是以点p为切点，过点p的切线，不论点p在不在曲线上，点p不一定是切点.②求过点p的曲线的切线方程的步骤为：先设出切点坐标为（x0，y0），然后写出切线方程y-y0=f′（x0）·（x-x0），最后代入点p的坐标，求出（x0，y0）.注意：在解三次关于x0的方程时，学生困难很大，主要不知如何解。

导数在高考数学中的地位-2019年作文

导数在高考数学中的地位一导数在高中数学中的重要性微积分的创立是数学发展的里程碑，它的发展和广泛应用为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。

导数作为微积分的基本概念，不仅在数学领域地位非凡，而且在自然科学的许多领域中也有着广泛的应用。

导数的概念是从很多实际的科学问题抽象而产生的，有着广泛的应用意义。

导数是对函数的图像与性质的总结与拓展，它是研究函数单调性的重要工具，广泛运用于讨论函数图像的变化趋势及证明不等式等方面。

另外，导数是初等数学与高等数学的重要衔接点，是高考的热点，《普通高中数学课程标准（实验）》中把导数作为选修课程并要求通过大量实例，理解导数概念，了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用，初步了解导数的概念能为以后进一步学习微积分打下基础。

导数及其导数的应用是微积分学的一个重要组成部分，是解决许多数学问题的强有力工具。

其全面体现了数学价值，既给我们解决问题提供了一种新的思想方法，又给我们提供了一种重要的思维能力，也为今后进一步学好微积分方面打下了基础。

因此，在高中阶段为学生介绍导数及其应用有着极其深刻的意义。

导数的相关知识在曲线方面有着广泛的应用，许多问题都可以从曲线的切线性质出发，进而解决问题。

同时为研究函数的单调区间、最值问题以及某些不等式的证明、不等式的求解和数列的求解等提供了捷径，因此导数的学习在中学阶段尤为重要。

导数作为研究客观世界物质运动变化的有力工具，在现代化建设的各个领域有着广泛的应用，自然对中学数学也有重要的指导作用，并且在中学数学的许多问题上起到居高临下和以简驭繁的作用。

导数是一种特殊的函数，它的引出和定义始终贯穿着函数的思想，新课程中增加了导数的内容，随着课程改革的不断深入，对导数知识的考察和要求在不断地加强，并且导数已经在高考数学中的地位不断上升，成为分析和解决问题不可或缺的工具，导数是中学数学中研究函数的一个重要载体。

函数类问题涉及高中数学较多的知识点和数学思想方法。

导数在高考中的应用

随着高考的改革，大学数学与中学数学原不等式成立。ｌ处取得最小值。的接轨已经Ｅ趋成熟。中，ｌ其导数在高考中例３设ｅ为自然对数的底，是圆周率，：扮演的角色越来越重要。￣２０年全国高求证：＞例ｎ０３。考试题理科ｌ题，０４全国高考理科地ｌ９２０年９明：－ ’函数Ｉ为（＋ｏ上增函数，４导数在实际问题中的应用 ’ ｎｘｏｏ，）题，文科第ｌ题。９这些题都是通过导数的应例６求曲线ｙｘ一１：＝ｘ＋在点Ｐ２）（５处，用，到解决问题的目的，言之，用导达换不的切线方程。数就无法求解。作者希望通过本文的范例，解：：３一２２ｘｘ，＝８，过点Ｐ的即设Ｓｘｎ），＝（ｌ）ｘ（删）引起高三学生和老师在高三复习中对导数的切线的斜率为８所求切线方程为，重视。 ≥ ．＜，是，）ｌ在ｋｏ，厂）ｏ于＝ｎ・．＋）ｘ。ｙ５（一２，，８～ｌ一＝８ｘ）＝ｘｌ。即）
（Ｉｏ单调减区间是（，）；ｏ＋。），一Ｏ
当ｒ（１ｒ１￣ｌｇ）Ｅ， ∈ｏ］ ’ 时，）＿６０ｉ（￣（］＝１＜ｐｔ０１
取得最
即当。＿Ｘ时，（＝ｓ２＋ｉ２＝１ｆｘｉｘＤ）ｎ
小值ｌ。７
当口时，（）Ｐ单调增区间是＜０，ｘ＝的

解析导数在高考中应用论文

解析导数在高考中的应用（成都树德怀远中学四川成都 611230）摘要：“数学是思维的体操”，而数学学科的本质是思维。

要提高学生对数学的兴趣，关键是提高他们的思维反映能力。

针对文科数学来讲，导数与函数相结合，是一个难点，在高考题目里怎样做到准确有效的解题，就需要从提高学生的能力和培养创新思维上入手。

关键词：导数；函数；高考；思维力【中图分类号】g424.1引言：作为文科生来讲，力求使学生掌握基础知识和常见题型，结合高考内容有适当的提升和综合。

中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，是高考的重点和热点。

导数处于初等数学和高等数学的衔接点，同时具备函数、不等式以及常量和变量的互动特点，自纳入高中数学以来就一直是命题的热点。

一、导数在高考试题中的分布文科高考数学题一小一大，一般总计17分：基础分值为11分，属于通性通法，为学生可以掌握的内容；综合分值6分，往往涉及含参和恒成立的问题，有一定难度。

综观近几年全国高考数学试题，我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点：（1）多项式求导（结合不等式求参数取值范围），和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题；（2）求极值，函数单调性，应用题；（3）函数、数列和导数的综合应用问题。

而其中增强学生运用导数研究函数的意识、体会、感悟，并学会用函数的思想方法在综合问题中的应用，提高分析转化问题以及构造函数解决问题的能力。

《考试大纲》对导数的考查要求一般分成三个层次：一是主要考查导数的概念及导数的几何意义，求导公式和求导法则；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值、单调区间，判定函数的单调性等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和有关不等式和函数的单调性等内容有机地结合在一起设计综合题，加强能力考查力度，使试题具有更广泛的实际意义。

二、高考热点问题示例热点一：导数的几何意义导数的几何意义是高考涉及导数知识时经常考查的一个知识点，如求切线的斜率、求切线的方程等，难点在于在于对其几何意义的正确理解。

导数常作为高考的压轴题论文

构造函数法，想说“爱你”不容易构造函数法在高中数学中是一种重要的思想方法,就是利用函数方法来研究解决有关函数问题，运用函数的观点去分析问题、解决问题。

它的精髓是通过建立函数关系或构造函数，再运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题。

这对培养学生开阔思路,培养分析问题、解决问题和创新的能力是有益的.高考作为选拔性的考试，仍以考查通法性，通法为主，因此构造函数思想受到高考命题者的青睐，也是学生必须掌握的，对于一般常规的构造函数，学生很快就能拿下，但我们在教学中，我们发现有些构造函数法，光“重视通法、淡化特技”有时却很不容易，让我们先从以下的题求解谈起：例1：（2010年全国卷压轴题）设函数x e x f --=1)(，（1）证明：当xx x f x +≥->1)(1时，；（2）设当0≥x 时，,1)(+≤ax x x f 求a 的取值范围。

这里略去第（1）小题，仅分析（2）本小题的通法就是利用函数方法求解最值。

尝试1：很多学生构造函数11)(+--=-ax x e x f x ，设求最大值，由于含参及问题内部暗藏的复杂性，必然导致该通法无功而返。

尝试2：当0=x 时，不等式成立；当0>x 时，将原不等式参数分离，得a x e e x x ≥--11，构造函数xe e x g x x 11)(--=，并设法求其最小值，该法是在求简意识指导下，对实施通法的进程所作出的调整，是我们教学中所大力倡导的可能使通法变简的良策，然而，受知识所限，中学生普遍难以实施该通法，解法如下：2222)1()1()(xe e x e x g x xx ---='，记x x e x e x h 22)1()(--=则);222()(2x x e e x h x x ---='记2222)(x x e x p x ---=，则x e x p x 222)(--='，),0(022)(>>-=''x e x p x 从而0)0()(='>'p x p ，故)(x h 在),0(∞+是增函数，所以0)0()(=>h x h ，即0)(>'x g ，)(x g 在),0(∞+也是增函数；又据洛必达法则，得lim 0→∆x =)(x g 212)1(1lim lim 00=++=-+-→∆→∆xe e xe e x e e xe x x x x x x x x x ，故21≤a ，又由原不等式在）+∞,0[上有意义，知必有0≥a ，综上所述，a 的取值范围是]21,0[ 这道高考题在构造函数过程中进行合理的变通，在数学教学中让学生抓住特征进行思考，就不会出现像标准答案那么奇妙的放缩，学生也容易对构造函数有更新的理解。

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浅谈导数在高考中的应用
自从高中数学中加入导数，我们研究和解决函数等数学问题便有了更加有效、简便的工具。

当前中学数学中导数的应用主要表现在4个方面：1、切线的斜率（导数的几何意义）；2、函数的单调性与最值；3、三次函数的综合题；4、三角函数和导数。

1 对导数几何意义的考查
例1.已知函数
2 判断函数的单调性
函数的单调性是函数最基本的性质之一，是我们研究函数所要掌握的最基本的知识.它在中学数学中的用处是非常广泛的，其思维方法有：一、利用增（减）函数的定义判断单调性；二、导数法。

利用在内可导的函数在上递增（或递减）的充要条件是（或），恒成立（但在的任意子区间内都不恒等于0）。

方法一化简较为繁琐，比较适合解决抽象函数的单调性问题，而用导数知识来判断函数的单调性既快捷又容易掌握.，特别是对于具体函数更加适用。

例2.已知。

（1）求的单调增区间；（2）若在定义域r内单调递增，求的取值范围；（3）是否存在使在上单调递减，在上单调递增？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。

分析：本题是关于函数单调性的问题，若用定义来判断函数单调性，在计算方面必遇到一些困难，因此，我们采用导数法解题。

函数增区间是恒成立的区间，函数的减区间是恒成立的区间（导数值为零的点为有限个）。

解：（1）令，得当时，有在r上恒成立；当时，有。

综上情况，当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间为。

（2）
在r上单调递增，（等号只能在有限个点处取得）恒成立，即，恒成立。

时，，。

（3）由已知在上单调递减，在区间上单调递增可知，是的极值。

，存在满足条件。

3 求函数极值或最值
最值问题是高中数学的一个重点，也是一个难点.它涉及到了高中数学知识的各个方面，要解决这类问题往往需要各种技能，并且需要选择合理的解题途径.用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，学生也好掌握[1].应注意函数的极值与最值的区别与联系，极值是一个局部性概念，最值是某个区间的整体性概念。

例3．（2005年山东卷）已知函数是函数的一个极值点，其中，。

（1）求与的关系表达式；（2）求的单调区间；（3）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于，求的取值范围。

分析：这类题目解决的关键在于深刻理解并灵活运用导数的知识，第1小题根据极值点处导数为零，可确定与的关系；第2小题求函数的单调区间可根据求导法得到，列出表格，答案一目了然；第3小题根据导数的几何意义结合一元二次函数的性质即可得到结论。

解：（1）
由是的一个极值点，知，即，
（2）由（1），得
由知，，当变化时，与的变化如下：
由上可知,在区间和上递减,在区间上递增。

(3)由已知得,即,即当时,有.①
设,其函数开口向上,由题意①式恒成立,所以即解之得,,又,所以.即的取值范围为.
4 证明不等式
例4.求证：
分析：本题通过导数与函数单调性的关系，自然地将导数与不等式结合在一起，灵活考查了学生全面分析解决问题的能力.先构造函数；再对进行求导，得到；然后观察得到当时，，即在时是增函数；最后可得当时，，即[6].
解：令则在上是增函数.当时，即
5 解决应用问题
例13.某工业品在生产过程中，每日次品数是每日产量的函数，该厂售出一件正品可获利a元，但生产一件次品就损失元，为了获得最大利润，日产量应定为多少？
点拨：先明确日产量、次品数、正品数，再建立利润的目标函数，进而确定日产量。

解：在每天生产的件产品中，是正品数，
是次品数，每日获利总数为
要使最大，则。

令，得。

由知，当时，每一件产品都是次品，公司就要赔钱，最佳日产量只能在时求得。

由得。

或90（件）
又由于，，
答：每日应生产89件产品才能获得最大利润。

导数的应用问题涉及到很多内容，以上仅仅讨论了三个方面.现在我们在高中阶段学习导数的有关知识，可以开阔学生的视野，接触到极限等新的数学思想和方法，对数学的新发展将会有进一步的了解.同时，导数是我们研究中学数学的一个有力工具，可以解决许多问题，使我们更加牢固的掌握中学数学的内容，为我们进一步的学习打下了坚实的基础。