小波变换及其应用2014

一 什么是小波
例：窗函数 (t ) Aet ( 0) 的作用
2
ˆ () A e (t ) Aet ( 0)
2
4
2
( 0)
窗的中心： t *
t
R R
t t dt
2 2
dt
0
2 12
*
ˆ
华北电力大学数理学院
School of mathematics & physics
一 什么是小波
2 让我们从信号 f t L R 的分析谈起！
傅里叶变换：F ( ) f (t )，e
it
=


f (t )e it dt
能表示信号 f 的各频率成分的大小，且
Fk ,m F f k ,tm =F kF ,mT ,k ,m 0 : N 1
Fk ,m f nn m e
n 0
N 1
j
2 k n N
2 n 1 N 1 N 1 jNk f n Fk ,mn m e N k 0 m 0
一 什么是小波
加窗傅里叶变换的离散型：
Tp f 1 1 T f s 2 f c ,N ,F s ; fs T N NT f n f tn f nT ,n 0 : N 1；
m tm mT ,m N : N
华北电力大学数理学院
School of mathematics & physics
一 什么是小波
对于给定的非平稳信号 f (t ) ,人们感兴趣的是信号在特 定的时间的频率成分。就像在音乐演奏中，演奏者需要知 道在什么时候演奏什么音调一样。 为了进行时-频定位分析，引入窗函数 (t ) ，形成加窗 傅里叶变换：
=
华北电力大学数理学院
School of mathematics & physics
一 什么是小波
0， t Ae (t ) ei0t ( 0)
2
ˆ 0， () e j -0 Ae
2 -0
4
( 0)
f (t ) 1 2



F ( )eit d
但不能体现这个频率成分是哪个时刻或哪个时间段的。即 不能提供时-频定位信息。因此，傅里叶变换是分析平稳
信号的有力工具。
华北电力大学数理学院
School of mathematics & physics
一 什么是小波
傅里叶变换离散型DFT（或FFT）： 假设信号的持续时间为 Tp ，含最高频率 fc 。采样间隔：
华北电力大学数理学院
School of mathematics & physics
一 什么是小波
yanshi(1,1/10,3)
yanshi(1,1/2,3) yanshi(1,1,3)
华北电力大学数理学院
School of mathematics & physics


f (t ) t eit dt
内的信息.
1 表达了信号在窗 2



的减小，时间分辨率变低，频率分辨率变高；

的增加，时间分辨率变高，频率分辨率变低。
来自百度文库 华北电力大学数理学院
School of mathematics & physics
F (w ,t ) = ò
+¥
-¥
f (t )j ( t - t ) e- iw t dt
给出了信号 f 的时-频局部定位信息，且
f (t ) = 1 2p
ò ò
-¥
¥
+¥
-¥
F (w ,t )j ( t - t ) eiw t dt dw
华北电力大学数理学院
School of mathematics & physics
T 1 f s 2 fc fs
fs N , ; tn nT , f n f tn ; f k k ,ck F f k T N
Tp
ck f n e
n 0
N 1
j
2 k n N
,k 0 : N 1
n k 1 N 1 j 2N f n ck e ,n 0 : N 1 N k 0
华北电力大学数理学院
School of mathematics & physics
一 什么是小波
演示： function yanshi(A,B,p)
fs=3000;Tp=50;T=1/fs;N=Tp/T;F=fs/N; t=-(N-1)*T:T:(N-1)*T; f=0:F:(N-1)*F; y=exp(-t).*(sin(2*pi*100*t)+sin(2*pi*1000*t));%信号 z=A*exp(-B*(t-p).^2);%窗函数 x=z.*y;%时刻p时窗下信号 s=x(N:2*N-1); c=fft(s); subplot(3,1,1); plot(t,x); subplot(3,1,2); c1=c(4975:5025)/300; plot(f(4975:5025),abs(c1)); subplot(3,1,3); c2=c(49950:50050)/300; plot(f(49950:50050),abs(c2));
R R
ˆ d
2 2
d
=0
窗半径：
t t t dt R 1/ 2 t 2 dt R
* 2
= 1 4
12
2 * 2 ˆ d R ˆ 1/ 2 2 ˆ d R

t 平面上 (t )e
it
的窗：
1 2


可见，当窗函数确定后，窗不随时间和频率的变化而变化。
华北电力大学数理学院
School of mathematics & physics
一 什么是小波
F ( , )