参考椭球与高斯投影计算
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参考椭球与高斯投影计算
§1参考椭球元素计算
测量中，高程的基准面是大地水准面，地表某点距离大地水准面的垂直距离称为该点的高程H；大地坐标系的基准是参考椭球，用大地经度L 和大地纬度B表示点在参考椭球表面的位置，用大地方位角A表示球面上边长的方向。定义参考椭球大小的元素值为：
a——长半轴
b——短半轴
f——扁率
a b
a f -
=e——第一偏心率
2
2
2
2
a
b
a
e
-
=
'e——第二偏心率
2
2
2
2'
b
b
a
e
-
=
c——极曲率半径
b
a
c
2
=
我国采用过的两个参考椭球元素值以及GPS测量使用的参考椭球元素值：
通过参考椭球面上任意一点的法线，可以作无数个法截面，法截面与参考椭球面的交线称为法截线，球面上不同纬度及方向法截弧的曲率半径是不相同的。
①子午圈曲率半径M
通过参考椭球旋转轴南北极的法截面（也称子午面）与参考椭球面相截形成的闭合圈称为子午圈，其曲率半径M 的计算公式为：
3V c M =
式中2
1η+=V ，B e cos '=η 所以， 322)
cos '1(B e c M +=
②卯酉圈曲率半径N
与该点子午面相垂直的法截面与参考椭球面相截形成的闭合圈称为卯酉圈，其曲率半径N 的计算公式为：
V c N =
B e a B e c N 2
222s i n 1c o s '1-=
+= ③平均曲率半径R
2V
c
MN R =
= 由于V >1，所以有N > R > M 。 ④任意法截弧的曲率半径A R
方位角为A 方向法截弧的曲率半径A R 的计算公式为
A
N
R A 22cos 1η+=
当0=A 时，M R A =；当90=A 时，N R A =
§2高斯投影正算与子午线收敛角的计算
将大地经纬度为L 、B 的点投影到高斯平面上并求出其坐标x 、y 称高斯投影正算，令γ为子午线收敛角。
()()
⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡+-+++-++=642442225861720149524121m t t m t m Nt X x ηη
()()
⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡-++-++-+=52224232258141851201161m t t t m t m N y ηηη
()()[]
5
2342
212231601801
m t m m o -++++=
ηηπ
γ
o γ表示以十进制度为单位的子午线收敛角。
式中B t tan = 180
cos π
Bl
m =
X 为子午线弧长，对于克拉索夫斯基椭球： ()
B B B B B B X cos sin 0039.0sin 6973.0sin 9238.133sin 7799.320058611.1111347530+++-=
对于IUGG1975椭球： ()
B B B B B B X cos sin 0039.0sin 6976.0sin 9602.133sin 8575.320090047.1111337530+++-=
§2高斯投影反算与子午线收敛角的计算
计算高斯平面坐标为x 、y 的点在参考椭球面上的大地经纬度L 、B 称高斯投影反算，令γ为子午线收敛角。 ★ 数学模型
()(
)[]
6
42422222245906125.09355.7901n
t t n t t n t B B f f f f f f f f
o f o +++-++-+-
=ηηπ
η
()()[]
542322242855.12130180cos 1n
t t n t n B l f f f f f
o +++++-=
ηπ
()()[]
5
4232235212160180n t t n t n t f
f f f f
o
+++-+-=
ηπ
γ
o f B 、o B 、o
l 、o γ 分别是以十进制度为单位的底点纬度、纬度、经度差和子午线收敛角，其余符号的计算公式如下：
c yV N y
n f f
=
=
，
21f
f V η+= ，
f
f B e cos '=η ，
f
f B t tan =
底点纬度o f B 的计算公式， 对于克拉索夫斯基椭球为：
()()()()
()()
6
5
432
390000001939.0370000021572.0350000485728.0320004353257.0320057974044.0330246825708.951111537259
.27---+-+-----+=X X X X X X B o f
对于IUGG1975椭球为：
()()()()
()()
6
5
4
3
2
340000001940.0390000021576.0370000485835.0390004354002.0360057985065.0390248365772.951116228946
.27---+-+-----+=X X X X X X B o f
上式中的610
x
X = ，也即以千公里为单位的点的x 坐标