(新课程)高中数学《2.1.1 曲线与方程》导学案 新人教A版选修2-1

§2.1.1 曲线与方程（1）

2．求曲线的方程．

3436，找出疑惑之处）

复习1：画出函数2

=(12)

y x

2

-≤≤的图象．

x

复习2：画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线，并写出其方程．

二、新课导学

※学习探究

探究任务一：

到两坐标轴距离相等的点的集合是什么？写出它的方程．

问题：能否写成y x

=，为什么？

新知：曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C与一个二元方程(,)0

F x y=之间，

如果具有以下两个关系：

1．曲线C上的点的坐标，都是的解；

2．以方程(,)0

F x y=的解为坐标的点，都是

的点，

那么，方程(,)0

F x y=叫做这条曲线C的方程；

曲线C叫做这个方程(,)0

F x y=的曲线．

注意：1︒如果……，那么……；

2︒“点”与“解”的两个关系，缺一不可；

3︒曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法；

4︒曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的．

试试：

1．点(1,)P a 在曲线2250x xy y +-=上，则a =___ ．

2．曲线220x xy by +-=上有点(1,2)Q ，则b = ．

新知：根据已知条件，求出表示曲线的方程．

※ 典型例题

例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数(0)k k >的点的轨迹方程式是xy k =±．

变式：到x 轴距离等于5的点所组成的曲线的方程是50y -=吗？

例2设,A B 两点的坐标分别是(1,1)--，(3,7)，求线段AB 的垂直平分线的方程．

变式：已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是(0,3)A ，(2,0)B -，(2,0)C ．中线AO （O 为原点）所在直线的方程是0x =吗？为什么？

反思：BC 边的中线的方程是0x =吗？

小结：求曲线的方程的步骤：

①建立适当的坐标系，用(,)

M x y表示曲线上的任意一点的坐标；

②写出适合条件P的点M的集合{|()}

P M p M

=；

③用坐标表示条件P，列出方程(,)0

f x y=；

④将方程(,)0

f x y=化为最简形式；

⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．

※动手试试

练1．下列方程的曲线分别是什么？

(1)

2

x

y

x

= (2)

2

2

2

x

y

x x

-

=

-

(3) log a x

y a

=

练2．离原点距离为2的点的轨迹是什么？它的方程是什么？为什么？

三、总结提升

※学习小结

1．曲线的方程、方程的曲线；

2．求曲线的方程的步骤：

①建系，设点；

②写出点的集合；

③列出方程；

④化简方程；

⑤验证．

※知识拓展

求轨迹方程的常用方法有：直接法，定义法，待定系数法，参数法，相关点法（代入法），交轨法等．

）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 与曲线y x =相同的曲线方程是（ ）．

A ．2

x y x

= B ．y =

C ．y =．2log 2x y =

2．直角坐标系中，已知两点(3,1)A ，(1,3)B -，若点C 满足OC =αOA +βOB ，其中α，β∈R ，α+β=1， 则点C 的轨迹为 ( ) ．

A ．射线

B ．直线

C ．圆

D ．线段

3．(1,0)A ，(0,1)B ，线段AB 的方程是（ ）．

A ．10x y -+=

B ．10x y -+=(01)x ≤≤

C ．10x y +-=

D ．10x y -+=(01)x ≤≤

4．已知方程222ax by +=的曲线经过点5(0,)3

A 和点(1,1)

B ，则a = ，b = ． 5．已知两定点(1,0)A -，(2,0)B ，动点p 满足12

PA PB =，则点p 的轨迹方程是 ．

3)-，(3,10)C 是否在方程

2210x xy y -++=表示的曲线上？为什么？

2 求和点(0,0)O ，(,0)A c 距离的平方差为常数c 的点的轨迹方程．