河南省新乡市2020届高三第二次模拟考试文科数学强化卷及答案2020.4.23
2020年河南省新乡市高考数学二模试卷(文科)(强化版) (含答案解析)
2020年河南省新乡市高考数学二模试卷(文科)(强化版)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={−1,0，1}，B={x|(x+4)(x−1)<0}，则A∩B=()A. {−1,0，1}B. {−1,0}C. {0,1}D. {0}2.已知i是虚数单位，则复数7−i3+i=()A. 2–iB. 2+iC. −2+iD. −2−i3.双曲线x22−y22=1的实轴长为()A. √2B. 2√2C. 2D. 44.已知sinα2sinα+3cosα=15，则tanα=()A. ±83B. 83C. −83D. 15.设a=log123，b=(12)3，c=312，则()A. a<b<cB. c<b<aC. c<a<bD. b<a<c6.在如右图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是()A. 45，46B. 43，44C. 45，42D. 42，427.函数y=sin x⋅1+2x1−2x的部分图像大致为()A. B.C. D.8.如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形．如果三棱柱的体积为12√3，圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为()A. 12πB. 14πC. 16πD. 18π9.函数f(x)=Acos(ωx+φ)在区间[0,π]上的图象如图所示，则函数f(x)的解析式可能是()A. f(x)=2cos(2x+π4) B. f(x)=−√2cos(x−π4)C. f(x)=−√2cos(2x−3π4) D. f(x)=√2cos(2x−π4)10.甲、乙二人玩数字游戏，先由甲任意想一个数字，记为m，再由乙猜想甲刚才想的数字，把猜出的数字记为n，且m，n∈{1,2，3}，若|m−n|≤1，则称二人“心有灵犀”，现任意找二人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为()A. 16B. 13C. 23D. 7911.已知四面体P−ABC，PA⊥平面ABC，若PA=2，AB=BC=AC=√6，则该四面体的外接球的体积为()A. √3πB. 2πC. 2√2πD. 4√3π12.已知关于x的不等式m(x2−2x)e x+1≥e x在(−∞,0]上恒成立，则实数m的取值范围是()A. [1,+∞)B. [0,+∞)C. [−12,+∞) D. [13,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(2,−3)，b⃗ =(−6,m),(m∈R)，若a⃗⊥b⃗ ，则m=______．14.若实数x,y满足约束条件{x+2y≥0x−y≤0x−2y+2≥0，则z=3x−y的最小值等于______．15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，S 表示△ABC 的面积．若acos B +bcos A =csin C ，S =14(b 2+c 2−a 2)，则△ABC 的形状是________．16. 抛物线C ：y 2=4x 的交点为F ，准线为l ，p 为抛物线C 上一点，且P 在第一象限，PM ⊥l 交C于点M ，线段MF 为抛物线C 交于点N ，若PF 的斜率为34，则|MN||NF|=______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知等比数列{a n }中，a 1+a 3是a 2与a 4的等差中项，且以a 3−2，a 3，a 3+2为边长的三角形是直角三角形．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)若数列{b n }满足b 1=2，且b n+1=b n +a n +n ，求数列{b n }的通项公式．18. 在四棱锥P −ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA =PD =2，四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠A =60∘，E 是AD 的中点．(1)求证：BE ⊥平面PAD ； (2)求点E 到平面PAB 的距离．19.设函数f(x)=e x−ax−1(a∈R)．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)若关于x的方程ln(ax+a+1)−x=1有唯一的实数解，求a的取值范围．20.我国是全球最大的口罩生产国，在2020年3月份，我国每日口罩产量超一亿只，已基本满足国内人民的需求，但随着疫情在全球范围扩散，境外口罩需求量激增，世界卫生组织公开呼吁扩大口罩产能．常见的口罩有KN90和KN95(分别阻挡不少于90.0％和95.0％的0.055到0.095微米的氯化钠颗粒)两种．某口罩厂两条独立的生产线分别生产KN90和KN95两种口罩，为保证质量对其进行多项检测并评分(满分100分)，规定总分大于或等于85分为合格，小于85分为次品．现从流水线上随机抽取这两种口罩各100个进行检测并评分，结果如下：(1)试分别估计两种口罩的合格率；(2)假设生产一个KN90口罩，若质量合格，则盈利3元，若为次品则亏损1元；生产一个KN95口罩，若质量合格，则盈利8元，若为次品则亏损2元，在(1)的前提下，①设X 为生产一个KN 90口罩和生产一个KN 95口罩所得利润的和，求随机变量X 的分布列和数学期望；②求生产4个KN 90口罩所得的利润不少于8元的概率．21. 已知离心率为√22的椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点(1,−√22)，点F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 交于A ，B 两点，且S △ABF 2=4√35． (1)求椭圆C 的方程；(2)求证：以AB 为直径的圆过坐标原点．22. 在平面直角坐标系中，曲线C 1:{x =2cosαy =2sinα(α为参数)经过伸缩变换{x ′=x y′=y 2得到曲线C 2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求C 2的普通方程；(Ⅱ)设曲线C3的极坐标方程为2ρsin(π3−θ)=√3，且曲线C3与曲线C2相交于M，N两点，点P(1,0)，求1|PM|+1|PN|的值．23.已知函数f(x)=|3x+1|−|3x−4|.(Ⅰ)求不等式f(x)≤3的解集；(Ⅱ)关于x的不等式f(x)≤|3x+1|+|3x+a|−4恒成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算．解：B={x|(x+4)(x−1)<0}={x|−4<x<1}；集合A={−1,0，1}，∴A∩B={−1,0}．故选：B．2.答案：A解析：本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用复数的运算法则即可得出．解：复数7−i3+i =(7−i)(3−i)(3+i)(3−i)=2−i，故选A. 3.答案：B解析：解：双曲线x22−y22=1的a=√2，则双曲线的实轴长为2a=2√2．故选B．求出双曲线的a=√2，即可得到双曲线的实轴长2a．本题考查双曲线的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．4.答案：D解析：解：由sinα2sinα+3cosα=15，得tanα2tanα+3=15， 即5tanα=2tanα+3， ∴tanα=1． 故选：D ．利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．5.答案：A解析：解：由于a =log 123<log 121=0，b =18，c =√3>1， 可得c >b >a ， 故选A ．根据a =log 123<0，b =18，c =√3>1，从而得出a 、b 、c 的大小关系． 本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，属于中档题．6.答案：A解析：甲的数据为：28,31,39,42,45,55,57,58,66；乙的数据为：29,34,35,42,46,48,53,55,67；故甲、乙两组数据的中位数分别是45，46.7.答案：D解析：[分析]本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性以及利用极限思想是解决本题的关键，属于基础题．判断函数的奇偶性和对称性，利用极限思想，判断当x →0时，函数值的符号，利用排除法进行求解即可． [解答]解：f(−x)=sin(−x)⋅1+2−x1−2−x=−sinx ⋅1+2x2x −1=sinx ⋅1+2x1−2x =f(x)，则函数f(x)是偶函数，排除A ，C ， 在y 的右侧，即当x →0时，sinx >0，1+2x 1−2x<0，则f(x)<0，排除B ，故选：D ．8.答案：C解析：本题考查几何体的体积的求法，几何体的内接体问题的应用，圆柱的侧面积的求法，考查计算能力． 设圆柱的底面半径为R ，求出三棱柱的底面边长为√3R ，利用棱柱的体积，求出底面半径，然后求解侧面积．解：设圆柱的底面半径为R ，底面正三角形的边长为a ，，则a =√3R ．故三棱柱的底面边长为√3R ，因为三棱柱的体积为12√3，圆柱的底面直径与母线长相等， 所以√34(√3R)2⋅2R =12√3，解得R =2，S 圆柱侧=2πR ⋅2R =16π． 故选：C ．9.答案：C解析：解：由函数图象知A =√2，T2=7π8−3π8，解得：T =2πω=π，可得：ω=2，从而，有f(x)=√2cos(2x +φ)， 又f(7π8)=√2cos(2×7π8+φ)=√2，解得：φ=2kπ−7π4，k ∈Z ，所以：函数的解析式：f(x)=√2cos(2x +2kπ−7π4)，k ∈Z ，当k =0时，可得f(x)=√2cos(2x −7π4)=−√2cos(2x −3π4).故选：C ．由函数图象知A ，T ，利用周期公式即可解得ω，又f(7π8)=√2，解得φ，由诱导公式可得函数的解析式．本题主要考察了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查了诱导公式及数形结合思想的应用，属于基础题．10.答案：D解析：本题考查了古典概型的概率计算问题，是基础题．由题意知是古典概型的概率计算问题，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值即可．解：由题意知，试验发生的所有事件共有3×3=9种不同的结果；则|m−n|≤1的情况有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)共7种情况，．所以所求的概率为p=79故选：D．11.答案：D解析：解：∵AB=BC=AC=√6，∴△ABC的外接圆的半径为√2，∵PA⊥平面ABC，PA=2，∴四面体的外接球的半径为√2+1=√3，π×(√3)3=4√3π．∴四面体的外接球的体积为43故选：D．求出△ABC的外接圆的半径，可得四面体的外接球的半径，即可求出该四面体的外接球的体积．本题考查四面体的外接球的体积，考查学生的计算能力，确定四面体的外接球的半径是关键．12.答案：C解析：解：关于x的不等式m(x2−2x)e x+1≥e x在(−∞,0]上恒成立，令f(x)=m(x2−2x)e x+1−e x，则f′(x)=(mx2−2m−1)e x，∵x∈(−∞,0)，∴x2−2x≥0，当m=0时，f(x)=1−e x≥1−e0=0，符合题意，当m>0时，f(x)=m(x2−2x)e x+1−e x≥1−e x≥0，符合题意，当−12≤m<0时，f′(x)=(mx2−2m−1)e x≤0恒成立，则f(x)在(−∞,0]上单调递减，∴f(x)≥f(0)=0，符合题意，当m<−12时，令f′(x)>0，得−√2+1m<x<0，则f(x)在(−√2+1m,0)上单调递增，∴f(x)<f(0)=0，不合题意，舍去．综上，实数m的取值范围为[−12,+∞)．故选：C．令f(x)=m(x2−2x)e x+1−e x，则f′(x)=(mx2−2m−1)e x，由此根据m=0，−12≤m<0，m<−12分类讨论，结合导数性质能求出实数m的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查导数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想，是中档题．13.答案：−4解析：解：根据题意，向量a⃗=(2,−3)，b⃗ =(−6,m)，若a⃗⊥b⃗ ，则有a⃗⋅b⃗ =2×(−6)+(−3)×m=0，解可得m=−4；故答案为：−4根据题意，由向量垂直与向量数量积的关系，分析可得a⃗⋅b⃗ =2×(−6)+(−3)×m=0，解可得m 的值，即可得答案．本题考查向量垂直的判定，涉及向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量数量积的坐标计算公式．14.答案：−72解析：作出不等式组对应的平面区域，通过目标函数的几何意义，利用数形结合即可的得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．解：依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：y =3x −z ， 则z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值．通过平移可知在A 点处动直线在y 轴上的截距最大．因为A ：{x +2y =0x −2y +2=0解得A(−1,12)，所以z =3x −y 的最小值z min =3⋅(−1)−12=−72． 故答案为：−72．15.答案：等腰直角三角形解析：本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式的应用，两角和公式的化简求值，勾股定理的应用．考查了学生运用所学知识解决问题的能力．解：由正弦定理可知a =2rsinA ，b =2rsinB ，c =2rsinC ， ∵acosB +bcosA =csinC ，∴sinAcosB +sinBcosA =sinCsinC ， 即sin(A +B)=sin 2C ， ∵A +B =π−c ，∴sin(A +B)=sinC =sin 2C ， ∵0<C <π， ∴sinC ≠0， ∴sinC =1， ∴C =90°，∴S =ab 2=14(b 2+c 2−a 2) ，∵b 2+a 2=c 2，∴14(b2+c2−a2)=12b2=ab2，∴a=b，∴△ABC为等腰直角三角形，故答案为等腰直角三角形．16.答案：√10解析：解：抛物线C：y2=4x的焦点为F(1,0)，过N作l的垂线，垂足为Q，则|NF|=|NQ|，∵PF的斜率为34，∴可得P(9,6)．∴M(−1,6)，∴cos∠MFO=√1010，∴cos∠MNQ=√1010，∴|MN||NF|=√10故答案为：√10．过N作l的垂线，垂足为Q，则|NF|=|NQ|，|PF|=|PM|，求出P的坐标，可得cos∠MNQ=√55，即可得到|MN||NF|．本题考查了抛物线的性质，三角函数的恒等变换，属于中档题．17.答案：解：(Ⅰ)∵以a3−2，a3，a3+2为边长的三角形是直角三角形，∴(a3−2)2+a32=(a3+2)2，∵a3≠0，∴a3=8，∵a1+a3是a2与a4的等差中项，∴2(a1+a3)=a2+a4，∴2(8q2+8)=8q+8q，∴q=2，a1=822=2，∴a n=2n；(Ⅱ)∵b n+1=b n+a n+n，∴b n+1−b n=a n+n，∴b n−b1=(b n−b n−1)+(b n−1−b n−2)+⋯…+(b2−b1)(n≥2)=(2+22+⋯+2n−1)+(1+2+⋯+n−1)=2(1−2n−1)1−2+n(n−1)2，∴b n=2n+n(n−1)2(n≥2)，当n=1时，b1=2也成立．∴b n=2n+n(n−1)2．解析：本题考查等比数列的通项，考查数列的求和，确定数列的通项是关键．(Ⅰ)利用以a3−2，a3，a3+2为边长的三角形是直角三角形，求出a3，利用a1+a3是a2与a4的等差中项，求出公比，即可求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)利用叠加法，可求数列{b n}的通项公式．18.答案：(1)证明：连接BD，又由于四边形ABCD是边长为2的菱形，∴△ABD为等边三角形，又E为AD的中点，所以由平面平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BE⊂平面ABCD，则平面PAD;(2)由PA=PB，E为AD边的中点，则PE⊥AD，由平面平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PE⊂平面PAD，∴PE⊥平面ABCD，在中，，V P−ABE=13×√3×12×1×√3=12，∵V E−PAB=V P−ABE，所以13×√152×d=12，解得d=√155，所以点E到平面PAB的距离为√155.解析：本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理，平面与平面垂直的性质定理，以及点到直线的距离的求解，属于一般题．(1)通过平面与平面垂直的性质定理证明PE⊥平面ABCD，从而证明，再证，最后由线面垂直的判定定理可得线面垂直;(2)利用等体积法求得点到平面的距离，由V E−PAB=V P−ABE，即13×√152×d=12，求得d，就是点到平面的距离．19.答案：解：(I)∵f(x)=e x−ax−1，∴f′(x)=e x−a，①当a≤0时，f′(x)>0恒成立，f(x)在R上单调递增，②a>0时，若x∈(lna,+∞)，f′(x)>0，f(x)单调递增，若x∈(−∞,lna)，f′(x)<0，f(x)单调递减，综上可得，当a≤0时，f(x)在R上单调递增；a>0时，f(x)在(lna,+∞)上单调递增，(−∞,lna)上单调递减，(Ⅱ)若关于x的方程ln(ax+a+1)−x=1有唯一的实数解，即e x+1=ax+a+1=a(x+1)+1有唯一的实数根，令t=x+1，则e t=at+1即e t−at−1=0有唯一的实数根，结合(1)的讨论可知，①当a≤0时，f′(t)>0恒成立，f(t)在R上单调递增，f(0)=0，结合零点判定定理可知，只有一个零点0，②a>0时，若，t∈(lna,+∞)，f′(x)>0，f(t)单调递增，若t∈(−∞,lna)，f′(t)<0，f(t)单调递减，若只有1个零点，则f(lna)=a −alna −1=0， 令g(x)=x −xlnx −1，则g′(x)=−lnx ， 则g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减， x =1时，g(x)取得最大值g(1)=0，∴a =1综上可得，a 的范围为{a|a ≤0或a =1}解析：(Ⅰ)对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可判断， (Ⅱ)结合(Ⅰ)的讨论及零点判定定理即可求解．本题考查函数的导数应用，函数的单调性以及分类讨论思想的应用，考查计算能力．20.答案：解：(1)由题意知，生产KN 90口罩合格率为P 1=42+31+7100=45，生产KN 95口罩合格率为P 2=47+35+8100=910．(2)①随机变量X 的所有可能取值为−3，1，7，11． P(X =−3)=15×110=150； P(X =1)=45×110=225； P(X =7)=15×910=950； P(X =11)=45×910=1825；因此，X 的分布列如下所以E(X)=−3×150+1×225+7×950+11×825=9.2．②设“生产4个KN 90口罩所得的利润不少于8元”为事件A ，事件A 包括“生产4个KN 90口罩全合格”和“生产4个KN 90口罩只有三个合格”．所以P(A)=(45)4+C 43(45)3·15=512625． 所以，生产4个KN 90口罩所得的利润不少于8元的概率为512625．解析：本题主要考查离散型随机变量的分布列及数学期望，是中档题． (1)按照频率即为概率求值即得；(2)①随机变量X 的所有可能取值为−3，1，7，11，分别求出分布列和期望即得；②“生产4个KN 90口罩所得的利润不少于8元”为事件A ，事件A 包括“生产4个KN 90口罩全合格”和“生产4个KN 90口罩只有三个合格”.分别求概率，再求和即得．21.答案：(1)解：点F 1，F 2分别为椭圆的左右焦点，椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)；由离心率为√22得：√a2−b 2a=√22； 椭圆C 过点(1,−√22)得：1a 2+12b 2=1；解得，a =√2，b =1； 椭圆C 的方程为x 22+y 2=1；(2)证明：由(1)知F 1(−1,0)，F 2(1,0)； 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)；当直线l 的斜率不存在时，直线方程为l ：x =−1； 此时，S △ABF 2=√2，不满足题意； 设直线方程为l ：y =k(x +1)；代入椭圆方程得：(1+2k 2)x 2+4k 2x +2k 2−2=0， △=16k 4−4×(1+2k 2)(2k 2−2)=8(k 2+1)>0， x 1+x 2=−4k 21+2k 2，x 1⋅x 2=2k 2−21+2k 2；所以，|x 1−x 2|=2√2√k 2+11+2k2，y 1y 2=k 2(x 1x 2+x 2+x 1+1)=−k 21+2k 2； 所以，|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=2√2(1+k 2)1+2k 2； 点F 2到直线l 的距离为d =√1+k 2；所以，由S △ABF 2=12×|AB|×d =4√35， 解得：k 2=2；∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=k 2−21+2k 2=0，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗所以，以AB 为直径的圆过坐标原点．解析：本题考查椭圆中三角形的面积，椭圆中过定点问题，椭圆的标准方程，是较难题． (1)利用椭圆的离心率，以及椭圆过点(1,−√22)，列出方程求出a ，b 即可求出椭圆方程．(2)F 1(−1,0)，F 2(1,0)，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)；当直线l 的斜率不存在时，分析不满足题意，设直线l 的方程为：y =k(x +1)；代入椭圆方程，通过韦达定理：弦长公式，点到直线的距离公式，三角形的面积，求解k ，然后利用数量积判断求解即可．22.答案：解：(Ⅰ)曲线C 1：{x =2cosαy =2sinα(α为参数)转换为直角坐标方程为x 2+y 2=4，经过伸缩变换{x′=xy′=y 2得到曲线C 2．得到：x 24+y 2=1．(Ⅱ)曲线C 3的极坐标方程为2ρsin(π3−θ)=√3，转换为直角坐标方程为√3x −y −√3=0， 由于点P(1,0)在直线l 上， 故{x =1+12t y =√32t(t 为参数)．所以把直线的参数方程代入x 24+y 2=1，得到13t 2+4t −12=0，(t 1和t 2为M 、N 对应的参数)所以t 1+t 2=−1413，t 1⋅t 2=−1213， 所以1|PM|+1|PN|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=2√103．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． (Ⅰ)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.答案：解：(Ⅰ)f (x )=|3x +1|−|3x −4|={−5,x ≤−136x −3,−13<x <435,x ≥43当x⩽−13时，f(x)≤3恒成立，当−13<x<43时，解6x−3≤3，得−13<x≤1，∴f(x)≤3的解集为{x|x≤1}；(Ⅱ)f(x)≤|3x+1|+|3x+a|−4恒成立，等价于|3x−4|+|3x+a|≥4恒成立，由|3x−4|+|3x+a|≥|(3x−4)−(3x+a)|=|−4−a|，得：|−4−a|≥4，解得：a≥0或a≤−8，故实数a的取值范围为(−∞,−8]∪[0,+∞)．解析：本题考查了绝对值的意义及绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属中档题．(Ⅰ)不等式即为f(x)≤3，通过讨论x的范围，从而求得不等式的解集；(Ⅱ)f(x)≤|3x+1|+|3x+a|−4恒成立，等价于|3x−4|+|3x+a|≥4恒成立，由|3x−4|+|3x+a|≥|−4−a|，得|−4−a|≥4，求a的范围即可．。
河南省2020届高三第二次模拟考试卷 文科数学(二)(PDF版,答案解析)
成立．
（1）求实数 k 的值；
（2）若 m 1 ， n 1 且求证 f (m) f (n) 10 ，求证： 9 1 16 ．
2
2
mn 3
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高三第二次模拟考试卷
文科数学（二）答 案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．【答案】C
B．若 1 x 1，则 x2 1
C．若 x 1或 x 1，则 x2 1
D．若 x 1或 x 1，则 x2 1
4焦点分别为 F1 ，F2 ，过 F2 且垂直于长轴的直线交椭圆于 A, B 两点，
则 △ABF1的周长为（ ）
A． 4
B． 6
C． 8
D．16
为
cos2
2asin (a
0)
，过点
P(1, 2)
的直线 l
的参数方程为
x
1
2t 2 （ t 为参数），l
y
2
2t 2
与 C 交于 A ， B 两点．
（1）求 C 的直角坐标方程和 l 的普通方程；
（2）若 PA ， AB ， PB 成等比数列，求 a 的值．
23．（12 分）已知定义在 R 上的函数 f (x) 2x k 2 x ， k N* ．存在实数 x0 使 f (x0 ) 2
∴△ABF1的周长为| AF1 | | BF1 | | AB | (| AF1 | | AF2 |) (| BF1 | | BF2 |) 8 ，
故选 C． 5．【答案】A
【解析】因为平面向量 a (1, 3) ， b (2, 0) ，
2020年河南省新乡市高考数学二模试卷1（强化版）（含答案解析）
2020年河南省新乡市高考数学二模试卷1（强化版）己知集合0={》次2 v4},B=(0,1f2,4}, A.(0,1} B.{0,1,2} C.则=()(1.2) D. (0,1. 2.4}C. -2+iD.一2一i已知双曲线二一二=i的实轴长为10,m2+1647n-3则该双曲线的渐近线的斜率为（）一、选择题(本大题共12小题，共60.0分) 1.2.己知i是虚数单位，则复数£j=()A. 2-iB.2+i3.A. B.土：4.己知tana=l.则些t*=()si n a 、,A.1B.25.若】。
gw VO, G)、>1，则()A.a>1,b>0C. 0<a<1.b>06.C ±：D圮C. 3 D.4B.a>1,b VOD.0<a< 1.b<0在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测・甲：我的成绩比乙高.乙：丙的成绩比我和甲的都高.丙：我的成绩比乙高.成绩公布后.三人成绩互不相同且只有一个人预测正确.那么三人按成绩由高到低的次序为A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙7./（%）=粉的部分图象大致为（）8.如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底而是正三角形.如果三棱柱的体积为12焰,圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为（）9. A. 127T B. 147T C. 16tt D.己知函Hiy = sin （o ）x + <p ）9 3 > 0,伊€（—汗,汗）的期象,如图，则函数解析式为（）A. y = sin(x + 学)B. y = sin(2x + m)C. y = sin(x + ：)D. y = sin(2x+m)10.甲，乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为小 再由乙猜甲刚才所想的数字.把乙猜的数字记为"其中b E （1,2. 3, 4, 5, 6},若|a — b|式1.就称甲乙“心相近” .现任 意找两人玩这个游戏，则他们“心相近”的概率为（）A. fB. jC. ?D. 土11.己知三棱锥匕4 _L 平面 ABC.在三角形 A8C 中,z_BAC = 120% AB = AC = VA = 2,三棱^V-ABC 的外接球的表而积为（）12. 己知函数/（对=@2-》+幻工€[1,3],则下列说法正确的是（）A.函数Z （x ）的最大值为3+|B,函数/■侦）的最小值为3 + ；C.函数/"（x ）的最大值为3D.函El/（x ）的最小值为3二、 填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设向量 a = B = （1j 2），若云 J.B ，则 m = .% - 2y + 1 > 014. 己知实数爪y 满足x+y-l>0 ,则z = 2% — y 的取值范国 ・x < 215. AABC 的内角A, B, C 的对边分别为a.b 9c.砧=60,面私％昵=15石.44BC 外接圆的半径为焰,WJc =.16. 抛物线C ： y 2 = 4x 的交点为F,准线为/, 〃为抛物线C 上一点，且P 在第一象限，PM 11交C于点线段MF 为抛物线C 交于点M 若PF 的斜率为：，则需=.三、 解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.己知等比数列｛%｝中，此+代是。
2020年河南省新乡市高考数学二模试卷1(强化版) (含答案解析)
2020年河南省新乡市高考数学二模试卷1（强化版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x 2<4}，B ={0,1，2，4}，则A ∩B =( )A. {0,1}B. {0,1，2}C. {1,2}D. {0,1，2，4}2. 已知i 是虚数单位，则复数7−i3+i =( )A. 2 – iB. 2+iC. −2+iD. −2−i3. 已知双曲线x 2m 2+16−y 24m−3=1的实轴长为10，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A. ±54B. ±45C. ±53D. ±354. 已知tanα=1，则sinα+2cosαsinα=( )A. 1B. 2C. 3D. 45. 若log 2a <0，(12)b >1，则( )A. a >1，b >0B. a >1，b <0C. 0<a <1，b >0D. 0<a <1，b <06. 在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A. 甲、乙、丙B. 乙、甲、丙C. 丙、乙、甲D. 甲、丙、乙7. f(x)=|x|cosxe x +e −x 的部分图象大致为( )A. B.C. D.8. 如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形．如果三棱柱的体积为12√3，圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为( )A. 12πB. 14πC. 16πD. 18π9. 已知函数y =sin(ωx +φ)，ω>0，φ∈(−π,π)的图象，如图，则函数解析式为( )A. y =sin(x +3π4) B. y =sin(2x +3π4) C. y =sin(x +π4)D. y =sin(2x +π4)10. 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1,2，3，4，5，6}，若|a −b|≤1，就称甲乙“心相近”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心相近”的概率为( )A. 19B. 29C. 49D. 71811. 已知三棱锥V −ABC ，VA ⊥平面ABC ，在三角形ABC 中，∠BAC =120°，AB =AC =VA =2，三棱锥V −ABC 的外接球的表面积为( )A. 16πB. 32π3C. 20√5π3D. 20π12. 已知函数f (x )=e 2−x +x ，x ∈[1,3]，则下列说法正确的是( )A. 函数f (x )的最大值为3+1e B. 函数f (x )的最小值为3+1e C. 函数f (x )的最大值为3D. 函数f (x )的最小值为3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设向量a ⃗ =(m,−1)，b ⃗ =(1,2)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则m = ______ ．14. 已知实数x ，y 满足{x −2y +1≥0x +y −1≥0x <2，则z =2x −y 的取值范围是______．15. ΔABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，ab =60，面积S ΔABC =15√3，ΔABC 外接圆的半径为√3，则c =________．16. 抛物线C ：y 2=4x 的交点为F ，准线为l ，p 为抛物线C 上一点，且P 在第一象限，PM ⊥l 交C于点M ，线段MF 为抛物线C 交于点N ，若PF 的斜率为34，则|MN||NF|=______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{a n}中，a1+a3是a2与a4的等差中项，且以a3−2，a3，a3+2为边长的三角形是直角三角形．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若数列{b n}满足b1=2，且b n+1=b n+a n+n，求数列{b n}的通项公式．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，AB=AD=1，BC=DC=√3，PA=2，PC=2√2，PA⊥平面ABCD．(Ⅰ)求证：BC⊥PB；(Ⅱ)求点B到平面PDC的距离．19.已知函数f(x)=e ax−x−1(a∈R)．(1)当a=1时，求证：f(x)≥0；(2)讨论函数f(x)的零点的个数．20.为激发果农对樱桃种植的热情，某商场每年六月会从果农中订购他们所种植的樱桃，假设商场每天进货量相同且每公斤20元，售价为每公斤24元，当天未售完的樱桃降价处理，以每公斤16元的价格当天全部处理完．根据往年情况，每天需求量n(单位：公斤)与当天平均气温ℎ(单位：℃)有关．如果ℎ≥25，n=300；如果ℎ∈[20,25),n=200；ℎ∈[15,20),n=100；ℎ<15，n=50.为了确定今年6月1日到30日的订购数量，统计了前三年6月平均气温数据，得到如下所示的频数分布表：(1)若设该商场某天进货220公斤，以这90天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天该商场不亏损的概率；(2)假设该商场打算在这90天内每天进货200公斤或220公斤，请你以销售樱桃每天为商场带来的利润的期望值作为决策依据，帮该商场作出正确的进货量选择．21.已知椭圆E:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，又点A(1,√2)在该椭圆上．(1)求椭圆E的方程；(2)若斜率为√2的直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，求△ABC的最大面积．22. 在平面直角坐标系中，曲线C 1:{x =2cosαy =2sinα(α为参数)经过伸缩变换{x ′=x y′=y 2得到曲线C 2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求C 2的普通方程；(Ⅱ)设曲线C 3的极坐标方程为2ρsin(π3−θ)=√3，且曲线C 3与曲线C 2相交于M ，N 两点，点P(1,0)，求1|PM|+1|PN|的值．23. 已知函数f(x)=|3x +1|−|3x −4|.(Ⅰ)求不等式f(x)≤3的解集；(Ⅱ)关于x 的不等式f(x)≤|3x +1|+|3x +a|−4恒成立，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】考查描交集的运算．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．【解答】解：A={x|−2<x<2}；∴A∩B={0,1}．故选：A．2.答案：A解析：【分析】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：复数7−i3+i =(7−i)(3−i)(3+i)(3−i)=2−i，故选A.3.答案：D解析：解：由题意m2+16=25，4m−3>0，∴m=3，√4m−3=3，∴该双曲线的渐近线的斜率为±35，故选D．利用双曲线x2m2+16−y24m−3=1的实轴长为10，求出m，即可求出该双曲线的渐近线的斜率．本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．解析： 【分析】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．由已知直接利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解． 【解答】 解：sinα+2cosαsinα=tanα+2tanα．由tanα=1，得 原式==1+21=3．故选C ．5.答案：D解析： 【分析】本题主要考查了借助指数函数与对数函数的单调性比较大小求解参数的范围，属于基础试题.由对数函数y =log 2x 在(0,+∞)单调递增及log 2a <0=log 21可求a 的范围，由指数函数y =(12)x 单调递减，及(12)b >1=(12)0可求b 的范围． 【解答】解：∵log 2a <0=log 21，由对数函数y =log 2x 在(0,+∞)单调递增∴0<a <1∵(12)b >1=(12)0，由指数函数y =(12)x 单调递减∴b <0故选D .6.答案：A解析： 【分析】本题主要了考查合情推理，是基础题．因为只有一个人预测正确，而乙对则丙必对，丙对乙很有可能对，假设丙对乙错则会引起矛盾故只有一种情况就是甲预测正确乙、丙错误，从而得出结果．解：由题意，可把三人的预测简写如下：甲：甲>乙．乙：丙>乙且丙>甲．丙：丙>乙．∵只有一个人预测正确，∴分析三人的预测，可知：乙、丙的预测不正确．如果乙预测正确，则丙预测正确，不符合题意．如果丙预测正确，假设甲、乙预测不正确，则有丙>乙，乙>甲，∵乙预测不正确，而丙>乙正确，∴只有丙>甲不正确，∴甲>丙，这与丙>乙，乙>甲矛盾．不符合题意．∴只有甲预测正确，乙、丙预测不正确，甲>乙，乙>丙．故选A．7.答案：A解析：【分析】本题主要考查函数图象的判断和识别，结合函数奇偶性和特殊值的符号是否一致是解决本题的关键．先判断函数的奇偶性，然后利用特殊点的函数值的符号进行排除即可．【解答】解：f(−x)=|−x|cos(−x)e−x+e x =|x|cosxe x+e−x=f(x)，定义域为R，则f(x)是偶函数，排除C，f(π)=|π|cosπeπ+e−π=−πeπ+e−π<0，排除B，D．故选A．8.答案：C解析：【分析】本题考查几何体的体积的求法，几何体的内接体问题的应用，圆柱的侧面积的求法，考查计算能力．设圆柱的底面半径为R，求出三棱柱的底面边长为√3R，利用棱柱的体积，求出底面半径，然后求【解答】解：设圆柱的底面半径为R，底面正三角形的边长为a，，则a=√3R．故三棱柱的底面边长为√3R，因为三棱柱的体积为12√3，圆柱的底面直径与母线长相等，所以√34(√3R)2⋅2R=12√3，解得R=2，S圆柱侧=2πR⋅2R=16π．故选：C．9.答案：A解析：解：函数的周期T=2×[3π4−(−π4)]=2π，即2πω=2π，得ω=1，由五点对应法得−π4+φ=π2，即φ=3π4，即f(x)=sin(x+3π4)，故选：A．根据函数图象先确定函数的解析式，然后利用五点对应法求出φ即可．本题主要考查三角函数解析式的求解，根据条件ω和φ的值是解决本题的关键．10.答案：C解析：【分析】本题考查了概率的简单计算能力，是一道列举法求概率的问题，属于基础题，可以直接应用求概率的公式．试验发生的所有事件共有6×6=36种不同的结果，而满足条件的|a−b|≤1的情况通过列举得到共16种情况，代入公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生的所有事件是从1，2，3，4，5，6任取两个，共有6×6=36种不同的结果，则|a−b|≤1的情况有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)，(4,5)，(5,4)，(5,6)，(6,5)共16种情况，他们”心相近”的概率为P=1636=49，11.答案：D解析：【分析】本题考查三棱锥的外接球表面积，考查直线和平面的位置关系，确定三棱锥的外接球的半径是关键，属于中档题．求出BC，可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．【解答】解：∵AB=AC=2，∠BAC=120°，∴BC=√22+22−2×2×2×(−1)=2√3，2∴三角形ABC的外接圆直径，∴r=2，∵VA⊥面ABC，VA=2，设外接球的圆心为O，则三角形OVA为等腰三角形，×2)2=√5，则有该三棱锥的外接球的半径R=√r2+(12∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=4π×(√5)2=20π．故选：D．12.答案：D解析：【分析】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．求出函数f(x)的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数f(x)的最小值即可．【解答】解：f(x)=e2−x+x，∴f′(x)=−e2−x+1，令f′(x)>0，解得：x>2，令f′(x)<0，解得：x<2，故f(x)在[1,2)递减，在(2,3]递增，故f(x)的最小值是f(2)=3，故选D．13.答案：2解析：解：∵a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗⋅b⃗ =(m,−1)⋅(1,2)=m−2=0，得m=2，故答案为：2根据向量垂直转化为a⃗⋅b⃗ =0，解方程即可．本题主要考查向量数量积的应用，根据向量垂直转化为a⃗⋅b⃗ =0，是解决本题的关键．14.答案：[0,5)解析：【分析】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，属于基础题．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论．【解答】解：画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，做直线l：2x−y=0，平移l可知过C时z最小，过B时z最大，联立{x −2y +1=0x +y −1=0得C(13,23)，同理B(2,−1)， 即z 的取值范围是[0,5)． 故答案为：[0,5)． 15.答案：3解析：【分析】本题考查正弦定理解三角形，涉及三角形的面积公式，属中档题．由题意和三角形的面积公式可得sin C ，再由正弦定理可得c 值．【解答】解：∵△ABC 中ab =60，面积S △ABC =15√3，∴S =12absinC =12×60×sinC =15√3，解得sinC =√32， 设△ABC 外接圆半径为：R ，∵△ABC 外接圆半径R =√3，∴由正弦定理可得c =2RsinC =2√3×√32=3． 故答案为3． 16.答案：√10解析：解：抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F(1,0)，过N 作l 的垂线，垂足为Q ，则|NF|=|NQ|，∵PF 的斜率为34，∴可得P(9,6)．∴M(−1,6)，∴cos∠MFO =√1010， ∴cos∠MNQ =√1010， ∴|MN||NF|=√10 故答案为：√10． 过N 作l 的垂线，垂足为Q ，则|NF|=|NQ|，|PF|=|PM|，求出P 的坐标，可得cos∠MNQ =√55，即可得到|MN||NF|．本题考查了抛物线的性质，三角函数的恒等变换，属于中档题． 17.答案：解：(Ⅰ)∵以a 3−2，a 3，a 3+2为边长的三角形是直角三角形，∴(a3−2)2+a32=(a3+2)2，∵a3≠0，∴a3=8，∵a1+a3是a2与a4的等差中项，∴2(a1+a3)=a2+a4，∴2(8q2+8)=8q+8q，∴q=2，a1=822=2，∴a n=2n；(Ⅱ)∵b n+1=b n+a n+n，∴b n+1−b n=a n+n，∴b n−b1=(b n−b n−1)+(b n−1−b n−2)+⋯…+(b2−b1)(n≥2)=(2+22+⋯+2n−1)+(1+2+⋯+n−1)=2(1−2n−1)1−2+n(n−1)2，∴b n=2n+n(n−1)2(n≥2)，当n=1时，b1=2也成立．∴b n=2n+n(n−1)2．解析：本题考查等比数列的通项，考查数列的求和，确定数列的通项是关键．(Ⅰ)利用以a3−2，a3，a3+2为边长的三角形是直角三角形，求出a3，利用a1+a3是a2与a4的等差中项，求出公比，即可求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)利用叠加法，可求数列{b n}的通项公式．18.答案：解：(Ⅰ)因为PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥AC，PA⊥BC，因为PA=2，PC=2√2，所以AC=2．因为AB=AD=1，BC=DC=√3，所以AB2+BC2=AD2+DC2=AC2，所以AB⊥BC，AD⊥DC，由PA⊥BC，AB⊥BC，PA∩AB=A可得，BC⊥平面PAB，又因为PB⊂平面PAB，所以BC⊥PB．(Ⅱ)以B为坐标原点，BA所在的直线为x轴，BC所在的直线为y轴，过点B且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则B(0,0，0)，C(0,√3,0)，P(1,0，2)，D(32,√32,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,−2)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32,−2)． 设平面PDC 的一个法向量为n ⃗ =(x,y,z )，则{n ⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−x +√3y −2z =012x +√32y −2z =0， 取x =1，得y =√3，z =1，n ⃗ =(1,√3,1)，所以点B 到平面PDC 的距离d =|n ⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=5=3√55．解析：本题考查线面垂直的判定及性质，考查利用空间向量解决点到平面的距离问题，属中档题． (Ⅰ)只需证明BC ⊥平面PAB ，然后利用线面垂直的性质即可得证；(Ⅱ)以B 为坐标原点，BA 所在的直线为x 轴，BC 所在的直线为y 轴，过点B 且与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，设平面PDC 的一个法向量为n⃗ =(x,y,z )，根据题设数据，求出n ⃗ ，点B 到平面PDC 的距离d =|n ⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |解出即可．19.答案：解：(1)证明：当a =1时，f (x )=e x −x −1，f′(x )=e x −1．由f′(x )=0，得x =0．当x <0时，f′(x )<0；当x >0时，f′(x )>0，所以函数f(x)在区间(−∞,0)内是减函数，在区间(0,+∞)内是增函数，所以f(0)是f(x)的极小值点，也是最小值点，且f (x )min =f (0)=0，故当a =1时，f(x)≥0恒成立；(2)∵函数f (x )=e ax −x −1，∴f′(x )=ae ax −1①当a ≤0时，f′(x)<0恒成立，则函数f(x)在R 上是减函数．又∵f(0)=0，所以函数f(x)有且只有一个零点．②当a >0时，由f′(x)=0，得x =1a ln 1a ，当x <1a ln 1a 时，f′(x)<0；当x >1a ln 1a 时，f′(x)>0，所以f(x)在区间(−∞,1a ln 1a )内是减函数，在区间(1a ln 1a ,+∞)内是增函数．所以f (1a ln 1a )是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，即f (x )min =f (1a ln 1a )=1a −1a ln 1a −1．令ℎ(t)=t−tlnt−1(t>0)，则ℎ′(t)=1−(1+lnt)=−lnt，当t=1时，ℎ′(t)=0；当0<t<1时，ℎ′(t)>0；当t>1时，ℎ′(t)<0，所以函数ℎ(t)在区间(0,1)内是增函数，在区间(1,+∞)内是减函数，从而ℎ(1)是函数ℎ(t)的极大值点，也是最大值点，所以ℎ(t)≤ℎ(1)=0，即f(x)min=1a −1aln1a−1≤0(当且仅当a=1时取等号)．当f(x)min=1a −1aln1a−1=0，即a=1时，函数f(x)只有一个零点．当f(x)min=1a −1aln1a−1<0，即a>0，且a≠1时，分a>1和0<a<1两种情况讨论：(i)当a>1时，−1<1a ln1a<0，因为f(−1)=e−a−(−1)−1=e−a>0，所以f(x)在区间(−∞,1a ln1a)内有一个零点；又f(0)=0，因此f(x)有两个零点．(ii)当0<a<1时，1a ln1a>0，由(1)得，ex≥x+1，即x≥ln(x+1)，亦即lnx≤x−1．令x=2a ，则得ln2a≤2a−1，即−ln2a≤−(2a−1)，所以f(2a ln2a)=e2ln2a−2aln2a−1≥(2a)2−2a(2a−1)−1=2a−1>0，所以f(x)在区间(1a ln1a,+∞)内有一个零点．由f(0)=0，因此函数f(x)有两个零点．由(i)和(ii)得，当a>1或0<a<1时，函数f(x)有两个零点．综上，当a≤0或a=1时，函数f(x)只有一个零点；当a>0，且a≠1时，函数f(x)有两个零点．解析：本题考查了导数性质、函数的极值点、单调性等知识，在解题过程中，渗透了分类讨论的思想．(1)当a=1时，f′(x)=e x−1，由f′(x)=0，得x=0.利用导数性质能证明f(x)≥0；(2)求出f′(x)=ae ax−1，此时可分为a≤0和a>0时进行讨论．当a≤0时，利用导数性质能得出f(x)在R上是减函数；当a>0时，利用导数性质可知f(1a ln1a)是函数f(x)的最小值点，即f(x)min=f(1a ln1a)=1a−1aln1a−1，为了方便求出f(x)的最小值的取值范围，我们令ℎ(t)=t−tlnt−1(t>0)，利用导数的性质能得出ℎ(1)是函数ℎ(t)的最大值点，则f(x)min≤0，当f(x)min=0时，函数f(x)只有一个零点；当f(x)min<0时，需分a>1和0<a<1两种情况讨论，综上可以得出函数f(x)的零点的个数．20.答案：解：(1)当需求量n=300时，利润为4×220=880元；当需求量n=200时，利润为4×200−20×4=720元；当需求量n=100时，利润为4×100−120×4=−80元；即n=50时，利润为4×50−4×170=−480元．所以当天该商场不亏损的概率P=90−1890=45.(2)设每天的进货量为220公斤，则每天销售樱桃为该商场带来的利润的期望值为：880×3690+720×3690−80×1690−480×290=61519(元)．设每天的进货量为200公斤，当需求量n≥200时，利润为4×200=800元；当需求量n=100时，利润为4×100−4×100=0元；当需求量n=50时，利润为4×50−4×150=−400元；此时利润的期望值为800×7290+0×1690−400×290=63119(元)，因为63119>61519，故从每天销售樱桃给商场带来的利润的期望值考虑，应选择进货量为200公斤．解析：本题考查古典概率及数学期望，考查了学生的运算求解能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．(1)根据题意可得当需求量n=300时，利润为4×220=880元；当需求量n=200时，利润为4×200−20×4=720元；当需求量n=100时，利润为4×100−120×4=−80元；即n=50时，利润为4×50−4×170=−480元；进而利用古典概率公式即可得到结果；(2)设每天的进货量为220公斤，可求得每天销售樱桃为该商场带来的利润的期望值，设每天的进货量为200公斤，求得此时利润的期望值，进而即可得到结果．21.答案：解：(1)依题意，得{ca =√22a2=b2+c21 b +2a=1，解得{a=2b=√2c=√2，∴椭圆的方程为x22+y24=1．(2)设B(x1,y1)，C(x2,y2)，设直线BC的方程为y=√2x+m，则有{y=√2x+mx22+y24=1，消去由并整理得4x2+2√2mx+(m2−4)=0，由Δ=(2√2m)2−16(m2−4)=−8m2+64>0，解得−2√2<m<2√2，由根与系数的关系，得：x1+x2=−√22m，x1x2=m2−44，|BC|=√1+2|x1−x2|=√1+2·√(x 12)212=√62√8−m 2，设d 为点A 到直线BC 的距离，则d =√2−√2+m|√(√2)2+(−1)2=√33|m|， ∴S △ABC =12|BC|⋅d =√24√m 2(8−m 2)， ∵√m 2(8−m 2)≤m 2+8−m 22=4，当且仅当m =±2时取等号，满足−2√2<m <2√2，∴当m =±2时，△ABC 的面积取得最大值√2．解析：本题考查直线与椭圆方程的综合应用，椭圆中的最值问题，是较难题．(1)利用离心率以及点的坐标满足椭圆方程，求解椭圆的几何量，即可得到椭圆的方程．(2)BC 的方程为y =√2x +m ，与椭圆方程联立，利用韦达定理以及弦长公式，求出三角形的面积，利用基本不等式求最大值．22.答案：解：(Ⅰ)曲线C 1：{x =2cosαy =2sinα(α为参数)转换为直角坐标方程为x 2+y 2=4，经过伸缩变换{x′=x y′=y 2得到曲线C 2．得到：x 24+y 2=1． (Ⅱ)曲线C 3的极坐标方程为2ρsin(π3−θ)=√3，转换为直角坐标方程为√3x −y −√3=0，由于点P(1,0)在直线l 上， 故{x =1+12t y =√32t (t 为参数)．所以把直线的参数方程代入x 24+y 2=1，得到13t 2+4t −12=0，(t 1和t 2为M 、N 对应的参数) 所以t 1+t 2=−1413，t 1⋅t 2=−1213，所以1|PM|+1|PN|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=2√103．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． (Ⅰ)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.答案：解：(Ⅰ)f (x )=|3x +1|−|3x −4|= {−5,x≤−136x−3,−13<x<435,x≥4 3当x⩽−13时，f(x)≤3恒成立，当−13<x<43时，解6x−3≤3，得−13<x≤1，∴f(x)≤3的解集为{x|x≤1}；(Ⅱ)f(x)≤|3x+1|+|3x+a|−4恒成立，等价于|3x−4|+|3x+a|≥4恒成立，由|3x−4|+|3x+a|≥|(3x−4)−(3x+a)|=|−4−a|，得：|−4−a|≥4，解得：a≥0或a≤−8，故实数a的取值范围为(−∞,−8]∪[0,+∞)．解析：本题考查了绝对值的意义及绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属中档题．(Ⅰ)不等式即为f(x)≤3，通过讨论x的范围，从而求得不等式的解集；(Ⅱ)f(x)≤|3x+1|+|3x+a|−4恒成立，等价于|3x−4|+|3x+a|≥4恒成立，由|3x−4|+|3x+a|≥|−4−a|，得|−4−a|≥4，求a的范围即可．。
2020届河南省新乡一中高三二模数学(文)试题(解析版)
2020届河南省新乡一中高三二模数学（文）试题一、单选题1．设集合{}2|,{|31420}1A x x B x x x =-<<-=--≤，则A B =I （ ）A ．[)21--，B ．(21)--，C ．(16]-，D ．(31)--，【答案】A【解析】先求出集合,A B ，再根据交集的运算即可求出A B I ． 【详解】因为{}31, 26|{|}A x x B x x =-<<-=-≤≤，所以 |}1{2A B x x ⋂=-≤<-. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查交集的运算以及一元二次不等式的的解法，属于基础题． 2．已知复数2z i z =-,为z 的共轭复数，则()1. z z +=（ ） A ．5i + B ．5i -C ．7i -D ．7i +【答案】D【解析】由共轭复数的定义求出z ，再根据复数代数形式的四则运算法则即可求出． 【详解】因为2z i =+，所以()()1327()z z i i i +⋅=-+=+． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则以及共轭复数的定义的应用，属于基础题．3．已知向量()0,2=r a ，()b x =r ，且a r 与b r 的夹角为3π，则x =（ ）A ．-2B ．2C ．1D ．-1【答案】B【解析】由题意cos 3a b a bπ⋅=r r r r ，代入解方程即可得解. 【详解】1a b π⋅r r所以0x >，且2212x x =+，解得2x =.故选：B. 【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题.4．若x ，y 满足约束条件-0210x y x y x ≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，，，则z =23y x ++的最大值为（ ）A ．12B ．34C ．52D ．3【答案】C【解析】根据题意知，目标函数z =23y x ++的几何意义为经过平面区域内的动点(),P x y 与定点()3,2A --直线的斜率，作出不等式组表示的平面区域，求出经过平面区域内点与点()3,2A --直线斜率的最大值即可. 【详解】由题意知，目标函数z =23y x ++表示经过点()3,2A --和可行域内的点(x ，y )的直线的斜率，作出不等式组表示的可行域如图所示：根据目标函数z 的几何意义，由图可知,当直线过,A C 两点时,目标函数z =23y x ++有最大值,联立方程12x x y =-⎧⎨+=⎩，解得13x y =-⎧⎨=⎩，所以点()1,3C -,代入目标函数可得, z =23y x ++的最大值为52.本题考查非线性目标函数的线性规划问题；考查转化与化归能力、运算求解能力和数形结合思想；正确理解目标函数表示的几何意义是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.5．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（ ）A ．3?i ≤B ．4?i ≤C ．5?i ≤D ．6?i ≤【答案】C【解析】根据程序框图的运行，循环算出当31S =时，结束运行，总结分析即可得出答案. 【详解】由题可知，程序框图的运行结果为31， 当1S =时，9i =； 当1910S =+=时，8i =； 当19818S =++=时，7i =； 当198725S =+++=时，6i =； 当1987631S =++++=时，5i =. 此时输出31S =. 故选：C. 【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构，已知输出结果求条件框，属于基础题.6．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()32f x x =-，则不等式()0f x >的解集为（ ） A ．33,0,22⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭UB ．33,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．33,0,22⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】根据题意，结合函数的解析式以及奇偶性分析可得()f x 的图象，据此分析可解：因为()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以它的图象关于原点对称，且()00f =， 已知当0x >时，()32f x x =-， 作出函数图象如图所示， 从图象知：33022f f ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则不等式()0f x >的解集为33,0,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，以及函数的解析式，考查数形结合思想. 7．某班45名同学都参加了立定跳远和100米跑两项体育学业水平测试，立定跳远和100米跑合格的人数分别为30和35，两项都不合格的人数为5.现从这45名同学中按测试是否合格分层（分成两项都合格、仅立定跳远合格、仅100米跑合格、两项都不合格四种）抽出9人进行复测，那么抽出来复测的同学中两项都合格的有（ ） A ．1人 B ．2人C ．5人D ．6人【答案】C【解析】根据分层抽样先求抽样比，再确定两项都合格的25人中应该抽取的人数. 【详解】由题意知两项都不合格的有5人，两项都合格的有25人， 仅立定跳远合格的有5人，仅100米跑合格的有10人. 从45人中抽取9人进行复测，则抽样比为91455=， 故两项都合格的25人中应该抽取25155⨯=人. 故选：C.本题考查分层抽样，考查对概念的理解与应用，属于基础题.8．已知椭圆22y a +22x b=1(a >b >0)与直线1y a x b -=交于A ，B 两点，焦点F (0，-c )，其中c 为半焦距，若△ABF 是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A．BCD【答案】A【解析】联立直线与椭圆方程求出交点A ，B 两点，利用平面向量垂直的坐标表示得到关于,,a b c 的关系式，解方程求解即可. 【详解】联立方程222211y x a b y x a b⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解方程可得0x y a =⎧⎨=⎩或0x b y =-⎧⎨=⎩，不妨设A (0，a )，B (-b ，0)，由题意可知，BA u u u r ·BF u u u r=0，因为(),BA b a =u u u r ，(),BF b c =-u u u r，由平面向量垂直的坐标表示可得，0b b ac ⋅-=， 因为222b a c =-，所以a 2-c 2=ac ， 两边同时除以2a 可得，210e e +-=， 解得e12e --=，故选：A 【点睛】本题考查椭圆方程及其性质、离心率的求解、平面向量垂直的坐标表示；考查运算求解能力和知识迁移能力；利用平面向量垂直的坐标表示得到关于,,a b c 的关系式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.9．将函数()sin 31f x x x =+的图象向左平移6π个单位长度，得到函数()g x 的①它的图象关于直线59x π=对称；②它的最小正周期为23π ③它的图象关于点11,118π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称；④它在519,39ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①② B ．②③C ．①②④D ．②③④【答案】B【解析】由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论. 【详解】将函数()sin 33cos312sin 313πf x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度，得到函数()2sin 312sin 31236πππg x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象. 令59x π=，求得()112sin 106πg x =+=，不是最值，故()g x 的图象不关于直线59x π=对称，故①不正确； 它的最小正周期为23π，故②正确； 当1118x π=时，()1g x =，故()g x 的图象关于点11,118π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故③正确； 在519,39ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，35,6662πππx ππ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，()g x 没有单调性，故④错误， 故选：B . 【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，考查三角函数的对称性、周期性和单调性，属于基础题.10．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AB AA =，E F ，分别为AB BC ，的中点，异面直线1AB 与1C F 所成角的余弦值为m ，则( )A ．直线1A E 与直线1C F 异面，且23m =B ．直线1A E 与直线1C F 共面，且23m =C ．直线1A E 与直线1C F 异面，且3m =D ．直线1AE 与直线1CF 共面，且3m =【答案】B【解析】连接EF ，11A C ，1C D ，DF ，由正四棱柱的特征可知11EF AC P ，再由平面的基本性质可知，直线1A E 与直线1C F 共面.，同理易得11AB C D P ，由异面直线所成的角的定义可知，异面直线1AB 与1C F 所成角为1DC F ∠，然后再利用余弦定理求解. 【详解】 如图所示：连接EF ，11A C ，1C D ，DF ，由正方体的特征得11EF AC P ， 所以直线1A E 与直线1C F 共面. 由正四棱柱的特征得11AB C D P ，所以异面直线1AB 与1C F 所成角为1DC F ∠.设12AA =AB =122AA =，则5DF =13C F 16C D = 由余弦定理，得1cos m DC F =∠=2236=⨯⨯故选：B 【点睛】本题主要考查异面直线的定义及所成的角和平面的基本性质，还考查了推理论证和运算11．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=L ）A ．1624B ．1024C ．1198D ．1560【答案】B【解析】根据高阶等差数列的定义，求得等差数列{}n c 的通项公式和前n 项和，利用累加法求得数列{}n a 的通项公式，进而求得19a . 【详解】 依题意n a ：1，4，8，14，23，36，54，……两两作差得n b ：3，4，6，9，13，18，……两两作差得n c ：1，2，3，4，5，……设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ，设{}n c 的前n 项和为n C .易n c n =，22n n n C +=，进而得21332n n n nb C ++=+=+，所以2(1)133222n n n n b n -=+=-+，则(1)(1)36n n n n B n +-=+，所以11n n a B +=+，所以191024a =. 故选：B 【点睛】本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查累加法求数列的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.12．已知函数()e x f x a =（0a >）与2()2g x x m =-（0m >）的图象在第一象限有A ．24,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．28,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．240,e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．280,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】设切点为()00,A x y ，则00200e 2,e 4,x x a x m a x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩通过代入法将m 用0x 表示，再构造函数进行求值域，即可得答案. 【详解】设切点为()00,A x y ，则00200e 2,e 4,x x a x m a x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩整理得200042,0,0,x x m x m ⎧=-⎪>⎨⎪>⎩由200240m x x =->，解得02x >.由上可知04ex x a =， 令4()e x x h x =，则4(1)()xx h x e -'=. 因为2x >，所以4(1)()0e x x h x -'=<，4()exxh x =在(2,)+∞上单调递减， 所以280()e h x <<，即280,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数判断函数的单调性及求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.二、填空题13．已知数列{}n a 是等比数列，131,36a a ==，则2a =__________. 【答案】6±【解析】根据等比数列通项公式，首先求得q ，然后求得2a . 【详解】设{}n a 的公比为q ，由131,36a a ==，得236,6q q ==±，故26a =±.故答案为：6± 【点睛】14．欧阳修《卖油翁》中写道：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其扣，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为2cm 的圆，中间有边长为0.5cm 的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为__________． 【答案】14π. 【解析】试题分析：正方形孔的面积为20.50.25=，圆的面积为20.25114P ππππ⨯=∴==【考点】几何概型15．已知双曲线22x a -22y b=1(a >0，b >0)与抛物线y 2=8x 有一个共同的焦点F ，两曲线的一个交点为P ，若|FP |=5，则点F 到双曲线的渐近线的距离为_____.【解析】设点P 为()00,x y ，由抛物线定义知，025FP x =+=，求出点P 坐标代入双曲线方程得到,a b 的关系式，求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由题意得F (2，0)，因为点P 在抛物线y 2=8x 上，|FP |=5，设点P 为()00,x y ，由抛物线定义知，025FP x =+=，解得003x y =⎧⎪⎨=±⎪⎩不妨取P (3，)，代入双曲线22x a -22y b=1，得29a -224b =1，又因为a 2+b 2=4，解得a =1，bby x a=±， 所以双曲线的渐近线为y，由点到直线的距离公式可得，点F 到双曲线的渐近线的距离d ==【点睛】运用双曲线和抛物线的性质是求解本题的关键；属于中档题、常考题型. 16．如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，点E 在BD 上，EA ＝EB ＝EC ＝ED ，BD 2=CD ，△ACD 为正三角形，点M ，N 分别在AE ，CD 上运动（不含端点），且AM ＝CN ，则当四面体C ﹣EMN 的体积取得最大值23时，三棱锥A ﹣BCD 的外接球的表面积为_____.【答案】32π【解析】设ED ＝a ，根据勾股定理的逆定理可以通过计算可以证明出CE ⊥ED. AM ＝x ，根据三棱锥的体积公式，运用基本不等式，可以求出AM 的长度，最后根据球的表面积公式进行求解即可. 【详解】设ED ＝a ，则CD 2=.可得CE 2+DE 2＝CD 2，∴CE ⊥ED.当平面ABD ⊥平面BCD 时，当四面体C ﹣EMN 的体积才有可能取得最大值，设AM ＝x .则四面体C ﹣EMN 的体积13=⨯（a ﹣x ）12⨯⨯a ×x 22212⨯=ax （a ﹣x ）222()1223x a x a +-≤=，当且仅当x 2a =时取等号. 解得a ＝2.此时三棱锥A ﹣BCD 的外接球的表面积＝4πa 2＝32π. 故答案为：32π 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了球的表面积公式，考查了数学运算能力和空间想象能力.三、解答题17．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且(sin sin )()sin sin A B a b b C c C +-+=.（1）求A ；（2）若2b c =，点D 为边BC的中点，且AD =ABC ∆的面积.【答案】（1）3A π=；（2）ABC S ∆=【解析】(1)利用正弦定理边化角,再利用余弦定理求解即可.(2) 为AD 为ABC ∆的中线,所以2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r再平方后利用向量的数量积公式进行求解,再代入2b c =可解得2,4c b ==,再代入面积公式求解即可. 【详解】（1）由(sin sin )()sin sin A B a b b C c C +-+=, 可得222a b bc c -+=,由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==, 故3A π=.（2）因为AD 为ABC ∆的中线,所以2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r,两边同时平方可得22242||||cos AD AB AC AB AC A =++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,故2228c b bc =++. 因为2b c =,所以2,4c b ==. 所以ABC ∆的面积1sin 2ABC S bc A ∆==. 【点睛】本题主要考查了利用正余弦定理与面积公式求解三角形的问题,同时也考查了向量在解三角形中的运用,属于中档题.18．某校高三（1）班在一次语文测试结束后，发现同学们在背诵内容方面失分较为严重.为了提升背诵效果，班主任倡议大家在早､晩读时间站起来大声诵读，为了解同学们对站起来大声诵读的态度，对全班50名同学进行调查，将调查结果进行整理后制成如表：（1）欲使测试优秀率为30%，则优秀分数线应定为多少分？（2）依据第1问的结果及样本数据研究是否赞成站起来大声诵读的态度与考试成绩是否优秀的关系，列出2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系.参考公式及数据：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++.【答案】（1）125分.（2）2×2列联表答案见解析，没有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系.【解析】（1）计算测试成绩优秀的人数，结合表中数据得出结论；（2）由题意计算并填写列联表，求出观测值，对照临界值得出结论.【详解】解：（1）因为测试的优秀率为30%，所以测试成绩优秀的人数为5030%15⨯=，由表中数据知，优秀分数线应定为125分.（2）由（1）知，测试成绩优秀的学生有500.315⨯=.人，其中“赞成的”有10人；测试成绩不优秀的学生有501535-=人，其中“赞成的”有22人；填写2×2列联表如下：计算()22501013522250.066 2.70632181535378K⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，因此，没有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系. 【点睛】本题考查了列联表与独立性检验问题，属于基础题．19．如图，ABCD 是正方形，点P 在以BC 为直径的半圆弧上（P 不与B ，C 重合），E 为线段BC 的中点，现将正方形ABCD 沿BC 折起，使得平面ABCD ⊥平面BCP .（1）证明：BP ⊥平面DCP .（2）若2BC =，当三棱锥D BPC -的体积最大时，求E 到平面BDP 的距离. 【答案】（1）见解析；（23【解析】（1）由面面垂直的性质定理，可得DC ⊥平面BPC ，进而有BP DC ⊥，再由已知可得，BP PC ⊥，即可得证结论；（2）由体积公式，要使三棱锥D BPC -的体积最大时，P 为弧BC 的中点，求出,PB CP ，进而求出,BPD BEF S S ∆∆，用等体积法E BDP D BEP V V --=，即可求解.【详解】（1）证明：因为平面ABCD ⊥平面,BPC ABCD 是正方形， 平面ABCD I 平面BPC BC =，所以DC ⊥平面BPC . 因为BP ⊂平面BPC ，所以BP DC ⊥.因为点P 在以BC 为直径的半圆弧上，所以BP PC ⊥. 又DC PC C ⋂=，所以BP ⊥平面DCP .（2）当点P 位于»BC的中点时，BCP ∆的面积最大， 三棱锥D BPC -的体积也最大. 因为2BC =，所以1PE =，所以BEP ∆的面积为111122⨯⨯=， 所以三棱锥D BEP -的体积为1112323⨯⨯=.因为BP ⊥平面DCP ，所以BP DP ⊥，22(22)(2)6DP =-=，BDP ∆的面积为12632⨯⨯=. 设E 到平面BDP 的距离为d ， 由11333d ⨯⨯=，得33d =， 即E 到平面BDP 的距离为3.【点睛】本题考查线面垂直的证明，空间中垂直的相互转化是解题的关键，考查用等体积法求点到面的距离，属于中档题.20．设抛物线2: 2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，AB 为过焦点F 且垂直于x 轴的抛物线C 的弦，已知以AB 为直径的圆经过点()1,0-. （1）求p 的值及该圆的方程；（2）设M 为l 上任意一点，过点M 作C 的切线，切点为N ，证明：MF FN ⊥.【答案】（1）2p =，圆的方程为：22(1)4x y -+=.（2）答案见解析【解析】（1）根据题意，可知A 点的坐标为,2p p ⎛⎫± ⎪⎝⎭，即可求出p 的值，即可求出该圆的方程；（2）由题易知，直线M 的斜率存在且不为0，设()01,,M y MN -的方程为0(1)y k x y =++，与抛物线C 联立方程组，根据0∆=，求得01y k k +=，化简解得2y k=，进而求得N 点的坐标为212,k k ⎛⎫⎪⎝⎭，分别求出FM u u u u r ，FN u u u r ，利用向量的数量积为0，即可证出MF FN ⊥.【详解】解：（1）易知A 点的坐标为,2p p ⎛⎫± ⎪⎝⎭，所以(1)2pp =--，解得2p =.又圆的圆心为()1,0F ，所以圆的方程为22(1)4x y -+=.（2）证明易知，直线M 的斜率存在且不为0， 设()01,,M y MN -的方程为0(1)y k x y =++，代入C 的方程，得()20440ky y y h -++=.令()016160k y k =-+=△，得01y k k+=， 所以()222044440k y ky ky y y A k -+-++==，解得2y k=. 将2y k =代入C 的方程，得21x k=，即N 点的坐标为212,k k ⎛⎫⎪⎝⎭.所以()02,FM y =-u u u u r ，2121,FN kk ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ， 02222212220FM FN y k k k k k k⎛⎫⋅=⋅+⋅=⋅+-⋅= ⎪⎝⎭u u u u r u u u r .故MF FN ⊥.【点睛】本题考查抛物线的标准方程和圆的方程，考查直线和抛物线的位置关系，利用联立方程组、求交点坐标以及向量的数量积，考查解题能力和计算能力. 21．已知函数(1)(1ln )()3x x f x m x++=-，()ln g x mx x =-+(R)m ∈.(1)求函数()g x 的单调区间与极值.(2)当0m >时，是否存在[]12,1,2x x ∈，使得12()()f x g x >成立？若存在，求实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）3ln 20,2+⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】（1）求出函数()g x 的定义域，接着求导，对参数m 分类讨论。
2020年河南省顶级名校高考数学二模试卷(文科)含答案解析
2020年河南省顶级名校高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1．若集合A={x|log（2x+1）＞﹣1}，集合B={x|1＜3x＜9}，则A∩B=（）A．（0，） B．（﹣，）C．（0，2）D．（，2）2．i是虚数单位，复数（1+3i）（a﹣i）在复平面内对应的点在第四象限，则a的范围（）A．（﹣3，+∞）B．（﹣∞，）C．（﹣3，）D．（﹣3，1）3．若椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线的离心率是（）A．2 B．C．D．34．设直线y=x+b是曲线y=lnx的一条切线，则b的值为（）A．ln2﹣1 B．ln2﹣2 C．2ln2﹣1 D．2ln2﹣25．设a∈R，则“a=1是“f（x）=ln（a+）为奇函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知实数x∈[1，10]，执行如图所示的程序框图，则输出x的值不小于55的概率为（）A．B．C．D．7．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D．8．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．10cm3B．20cm3C．30cm3D．40cm39．等差数列的前n项和为S n，且S1006＞S1008＞S1007，则满足S n S n＜0的正整数n为（）﹣1A．2020 B．2020 C．2020 D．202010．已知△ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且cosA=，BC=1，AC=3，三棱锥O﹣ABC的体积为，则球O的表面积为（）A．36πB．16πC．12πD．11．在△ABC中，AB=3，AC=4，∠BAC=60°，若P是△ABC所在平面内一点，且AP=2，则•的最大值为（）A．10 B．12 C．10+2 D．812．设过点P（﹣1，1）作两直线，PA，PB与抛物线y2=4x任相切于点A，B，若F为抛物线y2=4x的焦点，||•||=（）A． B．5 C．8 D．9二、填空题:本大题共4小题。
新乡市2020届高三年级第二次模拟考试（强化卷）含答案word版
新乡市2020届高三年级第二次模拟考试（强化卷）含答案word版新乡市2020届高三年级第二次模拟考试(强化卷)英语考生注意：1. 本试卷共150分,考试时间120分钟。
2. 请将各题答案填写在答题卡上。
3. 本试卷主要考试内容：高考全部内容。
第一部分听力(共两节，满分30分)做题时，先将答案标在试卷上，录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节(共5小题；每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
例: How much is the shirt?A. ￡19.15.B. ￡ 9.18.C. ￡ 9.15.答案是C。
1. What is the man probably doing?A. Greeting his guests.B. Cleaning the house.C. Arguing with Maggie.2. What is the man going to do?A. Stay inside.B. Buy an umbrella.C. Walk out with an umbrella.3. How long will the man have to wait for another bus?A. 5 minutes.B. 15 minutes.C. 20 minutes.4. What can we learn about the man?A. He is anxious to see his sister.B. He wrote to his sister last month.C. He is expecting a letter from his sister.5. What does the woman mean?A. She missed the travel.B. The travel was a failure.C. B ob didn’t travel with them.第二节(共15小题；每小题1.5分，满分22.5分)听下面5段对话或独白。
河南省新乡市新乡一中2020届高三上学期第二次模拟考试数学(文)试题Word版含答案
文科数学考生注意：1．答题前，考生务势必自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定地点．2．回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：此题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．已知会合 M ＝ {x ｜ 0≤ x ≤ 4} ，N ＝{x ｜ y ＝ 3－ x ， y ∈ M} ，则 M ∩N ＝A ．[0，3]B ． [0，4]C ．[－1， 4]D ． [－ 1， 3]＋ 22．若复数 z 知足i ＝－ ，则 z ＝1izA ． 1－ iB ． 1＋ iC ．－ 1－ iD ．－ 1＋ i 3．人体的体质指数（ BMI ）的计算公式： BMI ＝体重÷身高2（体重单位为kg ，身高单位为m ）．其判断标准以下表：某小学生的身高为 1．5 m ，在一次体检时，医生告诉他属于超标类，则此学生的体重可能是A ． 47 kgB ． 51 kgC ． 66 kgD ．70 kg＋ ≥ ，x y14．若 x ， y 知足拘束条件－ ≥－ ，则 z ＝ 4x ＋ 3y 的最小值为x y1＋ ≤ ，3x y 3A ． 9B ．6．5C ． 4D ． 35．若 cos2 ＋ ＝ 1，则 sin－＝5 2 10A ．－3 B ．－1C ．1D ．322 226．某种微生物的生殖速度y 与生长环境中的营养物质浓度 x 有关，在必定条件下可用回归模型 y ＝ 2 lg x 进行拟合．在这个条件下，要使 y 增添 2 个单位，则应当A ．使 x 增添 1 个单位B ．使 x 增添 2 个单位C ．使 x 增添到本来的 2 倍D ．使 x 增添到本来的 10 倍7．已知（ a ＋ b ）·（ a － 2b ）＝ a · b ，且｜ a ｜＝ 2｜ b ｜，则向量a 与b 的夹角为A ． 120°B ． 90°C ． 60°D ． 45°8．某三棱柱的平面睁开图如图，网格中的小正方形的边长均为1，K 是线段 DI 上的点，则在原三棱柱中， AK ＋ CK 的最小值为A ． 65B ． 73C ．4 5D ． 899．已知函数 f （ x ）的定义域为 R ，且 f （ x ＋ 1）是偶函数， f （x － 1）是奇函数，则以下说法正确的个数为①f （ 7）＝ 0；② f （ x ）的一个周期为 8；③ f （ x ）图像的一个对称中心为（ 3， 0）；④f （ x ）图像的一条对称轴为 x ＝ 2019．A ． 1B ． 2C ． 3D ． 410．将函数 fx ＝ sin x ＋ 图像上全部的点依据向量m ＝（ a ， 0）（ a ≠0）平移获得函数3g （x ）的图像，若f 3 ＝g 3，则｜ a ｜的最小值为5 541313 17A ．B ．C ．D ．15301515＋1，≤ ＜，11．已知函数f x ＝ 2log 1x8x 12若 f （ a ）＝ f （ b ）（a ＜ b ），则 b － a 的取值范围为x ，≤≤，2 1 x 237 9 15A ．（ 0， ]B ．（ 0， ]C ．（ 0， ]D ．（ 0，]248812．以下图，直线l 与双曲线 E ：x 2－ y 2＝1（ a ＞ 0，b ＞ 0）的两条渐近线分别交于 A ，Ba 2b 2两点，若 OA · OB ＝－ 4，且△ AOB 的面积为 4 2 ，则 E 的离心率为A ． 2B ． 3C ． 2D ． 5二、填空题：此题共4 小题，每题5 分，共 20 分．13．已知数列 { a n } 是等差数列，且a 9 ＝3，则 a 4 ＋ a 8 ＋ 2a 12 ＝ __________ ．2x14．曲线 y ＝（ x ＋ 2） e 在点（ 0， 2）处的切线方程为 __________ ．15．已知圆 C ：（ x － a ） 2＋（ y －2） 2＝ 4，直线 l ：x ＋ay － 1＝ 0 与圆 C 交于 A ，B 两点，且△ABC 为等腰直角三角形，则实数a ＝ __________ ．16．△ ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 2ccos C ＝ acos B ＋ bcos A 且 b ＝6c ，3则 B ＝ __________．三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21 题为必考题，每个试题考生都一定作答．第 22， 23 题为选考题，考生依据要求作答．（一）必考题：共 60 分．17．（ 12 分）某包子店每日清晨会提早做好必定量的包子，以保证当日实时供给．该包子店记录了60天包子的日需求量n （单位： 个，n ∈ N ），按 [ 550，650），[ 650，750），[ 750，850），[ 850，950）， [ 950， 1050）分组，整理获得以下图的频次散布直方图，图中 a ：b ：c ： d ＝4 ：3 ：2 ：1．（Ⅰ）求包子日需求量均匀数的预计值（每组以中点值作为代表） ；（Ⅱ）若包子店想保证起码80％的天数可以足量供给，则每日起码要做多少个包子 ?18．（ 12 分）记数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，已知 a 1 ＝ 1， S n ＋1＝2S n ＋1 ．（Ⅰ）证明：数列 { S n ＋1} 是等比数列；（Ⅱ）若对于 n 的不等式 S n ＜ k log 2 a n ＋ 2 的解集中有 6 个正整数，则实数 k的取值范围．19．（ 12 分）如图，已知四棱锥 S －ABCD ，平面 SAD ⊥平面 ABCD ，四边形 ABCD 是菱形，△ SAD 是等边三角形，∠ BAD ＝ 120°， AB ＝ 2． （Ⅰ）证明： SC ⊥BC ；（Ⅱ）设点 E 在棱 SD 上，且 SE ＝ λ SD ，若点 E 到平面 SBC 的距离为6，求λ的值．320．（ 12 分）2设椭圆 C ： x2 ＋ y 2＝1 （ a ＞ 1）的左极点为A ，右焦点为 F ，已知｜ AF ｜＝ 2＋ 3 ．a（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）抛物线 y 2 ＝2px （ p ＞ 0）与直线 x ＝ 2 交于 P ， Q 两点，直线 AP 与椭圆 C 交于点 B （异于点 A ），若直线 BQ 与 AP 垂直，求 p 的值．21．（ 12 分）x已知函数 f （ x ）＝ e ＋ alnx ，此中 a ＜ 0．（Ⅱ）设 f （ x ）的最小值为 m ，求 m 的最大值．（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22， 23 题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分．22． [选修 4－ 4：坐标系与参数方程]（ 10 分）x ＝－8＋ 3 t ，在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为2（t 为参数），曲线 C 的参数y ＝t2x＝3s2，方程为（ s 为参数）．y＝2 3s（Ⅰ）求直线l 和曲线 C 的一般方程；（Ⅱ）设P 为曲线 C 上的动点，求点P 到直线 l 距离的最小值及此时P 点的坐标．23． [选修 4－ 5：不等式选讲] （ 10 分）已知 a， b， c 为正数，且abc＝ 1，证明：（Ⅰ）（ 2a＋ 1）（ 2b＋ 1）（ 2c＋ 1）≥ 27；（Ⅱ）12＋12＋12≤3．a b＋ cb a＋c c a＋ b4。
2020年河南省新乡一中高考数学二模试卷(文科)(有答案解析)
2020年河南省新乡一中高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|−3<x<−1}，B={x|x2−4x−12≤0}，则A∩B=()A. [−2,−1)B. (−2,−1)C. (−1,6]D. (−3,−1)2.已知复数z=2−i，z−为z的共轭复数，则(1+z)⋅z−=()A. 5+iB. 5−iC. 7−iD. 7+i3.已知向量a⃗=(0,2)，b⃗ =(2√3,x)，且a⃗与b⃗ 的夹角为π3，则x=()A. −2B. 2C. 1D. −l4.若x，y满足约束条件{x−y≤0x+y≤2x+1≥0，则z=y+2x+3的最大值为()A. 12B. 34C. 52D. 35.如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是()A. i≤3?B. i≤4?C. i≤5?D. i≤6?6.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=3−2x，则不等式f(x)>0的解集为()A. (−32,32) B. (−∞,−32)∪(32,+∞)C. (−∞,−32)∪(0,32) D. (−32,0)∪(32,+∞)7.某班45名同学都参加了立定跳远和100米跑两项体育学业水平测试，立定跳远和100米跑合格的人数分别为30和35，两项都不合格的人数为5.现从这45名同学中按测试是否合格分层(分成两项都合格、仅立定跳远合格、仅100米跑合格、两项都不合格四种)抽出9人进行复测，那么抽出来复测的同学中两项都合格的有()A. 1人B. 2人C. 5人D. 6人8.已知椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)与直线ya−xb=1交于A，B两点焦点P(0,−c)，其中c为半焦距，若△ABF是直角三角形，则该椭圆的离心率为()A. √5−12B. √3−12C. √3+14D. √5+149.将函数f(x)=sin3x−√3cos3x+1的图象向左平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图象，给出下列关于g(x)的结论：①它的图象关于直线x=5π9对称；②它的最小正周期为2π3③它的图象关于点(11π18,1)对称；④它在[5π3,19π9]上单调递增．其中所有正确结论的编号是()A. ①②B. ②③C. ①②④D. ②③④10.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1,AB=√2AA1，E，F分别为AB，BC的中点，异面直线AB1与C1F所成角的余弦值为m，则()A. 直线A1E与直线C1F异面，且m=√23B. 直线A1E与直线C1F共面，且m=√23C. 直线A1E与直线C1F异面，且m=√33D. 直线A1E与直线C1F共面，且m=√3311.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为()(注：12+22+32+⋯+n2= n(n+1)(2n+1)6)A. 1624B. 1198C. 1024D. 156012.已知函数f(x)=ae x(a>0)与g(x)=2x2−m(m>0)的图象在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数m变化时，实数a的取值范围为()A. (4e2,+∞) B. (8e2,+∞) C. (0,4e2) D. (0,8e2)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列{a n}是等比数列，a1=1，a3=36，则a2=______．14.欧阳修《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱入孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止，若铜钱是直径为2cm的圆，中间有边长为0.5cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为______．15.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>b>0)与抛物线y2=8x有一个共同的焦点F，两曲线的一个交点P，若|PF|=5，则点F到双曲线的渐近线的距离为______．16.如图，在三棱锥A−BCD中，点E在BD上，EA=EB=EC=ED，BD=√2CD，△ACD为正三角形，点M，N分别在AE，CD上运动(不含端点)，且AM=CN，则当四面体C−EMN的体积取得最大值23时，三棱锥A−BCD的外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(sinA+sinB)(a−b)+bsinC=csinC.点D为边BC的中点，且AD=√7．(1)求A；(2)若b=2c，求△ABC的面积．18.某校高三(1)班在一次语文测试结束后，发现同学们在背诵内容方面失分较为严重．为了提升背诵效果，班主任倡议大家在早、晩读时间站起来大声诵读，为了解同学们对站起来大声诵读的态度，对全班50名同学进行调查，将调查结果进行整理后制成如表：(2)依据第1问的结果及样本数据研究是否赞成站起来大声诵读的态度与考试成绩是否优秀的关系，列出2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系．,n=a+b+c+d．参考公式及数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图，ABCD是正方形，点P在以BC为直径的半圆弧上(P不与B，C重合)，E为线段BC的中点，现将正方形ABCD沿BC折起，使得平面ABCD⊥平面BCP．(1)证明：BP⊥平面DCP．(2)若BC=2，当三棱锥D−BPC的体积最大时，求E到平面BDP的距离．20. 设抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，准线为l ，AB 为过焦点F 且垂直于x 轴的抛物线C的弦，已知以AB 为直径的圆经过点(−1,0)． (1)求p 的值及该圆的方程；(2)设M 为l 上任意一点，过点M 作C 的切线，切点为N ，证明：MF ⊥NF ． 21. 已知函数f(x)=(x+1)(1+lnx)x−3m ，g(x)=−mx +lnx(m ∈R)．(1)求函数g(x)的单调区间与极值．(2)当m >0时，是否存在x 1，x 2∈[1,2]，使得f(x 1)>g(x 2)成立？若存在，求实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由．22. 在直角坐标系xOy 中，已知点M(1,√32)，C 1的参数方程为{x =12+t y =√3t(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为3ρ2=2+cos 2θ. (1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设曲线C 1与曲线C 2相交于A ，B 两点，求1|MA|+1|MB|的值．23.已知函数f(x)=|x−3|+|x−1|．(1)求不等式f(x)≤6的解集；(2)设f(x)的最小值为M，正数a，b满足a2+4b2=M，证明：a+2b≥4ab．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∵集合B={x|x2−4x−12≤0}={x|−2≤x≤6}，集合A={x|−3<x<−1}，∴A∩B={x|−2≤x<−1}，故选：A．先求出集合B，再利用集合的交集运算即可求出A∩B．本题主要考查了集合的基本运算，是基础题．2.答案：D解析：解：∵z=2−i，z−=2+i，则(1+z)⋅z−=(3−i)(2+i)，=7+i．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算及共轭复数的概念进行化简，即可求解．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．3.答案：B解析：解：∵向量a⃗=(0,2)，b⃗ =(2√3,x)，且a⃗与b⃗ 的夹角为π3，∴a⃗⋅b⃗ =0+2x=2⋅√12+x2⋅cosπ3，即2x=√12+x2，求得x=2，故选：B．由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求出x的值．本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题．4.答案：C解析：解：因为z=y+2x+3表示经过点D(−3,−2)和可行域内的点(x,y)的直线的斜率；画出可行域；可知可行域的三个顶点分别为A(−1,3)，B(−1,−1)，C(1,1)；且K AD=52；故z≤52．即z=y+2x+3的最大值为52．故选：C．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．5.答案：C解析：【分析】本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律，属于基础题． 按照程序框图的流程写出前几次循环的结果判断出当i 为何值时输出，得到判断框中的条件． 【解答】解：初始值i =9，S =1模拟执行程序框图，可得S =10，i =8不满足条件，继续循环； S =18，i =7不满足条件，继续循环； S =25，i =6不满足条件，继续循环；S =31，i =5，此时，由题意，应该满足条件，退出循环，输出S 的值为31． 故判断框中应填入的关于i 的条件是i ≤5？ 故选C ． 6.答案：C解析：解：根据题意，f(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f(x)=3−2x ，则其图象如图： 且f(32)=f(−32)=0，则不等式f(x)>0的解集为(−∞,−32)∪(0,32)；故选：C ．根据题意，结合函数的解析式以及奇偶性分析可得f(x)的图象，据此分析可得答案． 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，以及函数的解析式，属于基础题． 7.答案：C解析：解：设这两项成绩均合格的人数为x ，则立定跳远合格100米跑不合格的人数为30−x ， 则30−x +35+5=45， 得x =25，即这两项成绩均合格的人数是25人，则抽出来复测的同学中两项都合格的有9×2545=5，故选：C ．设这两项成绩均合格的人数为x ，根据集合关系建立方程进行求解即可，再根据分层抽样即可求出． 本题主要考查集合关系的应用和分层抽样的问题，属于基础题． 8.答案：A解析：解：椭圆y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)与直线y a −xb =1交于A ，B 两点焦点P(0,−c)，其中C 为半焦距，若△ABF 是直角三角形，不妨设A(0,a)，B(−b,0)， 则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，解得b 2=ac ，即a 2−c 2=ac ，即e 2+e −1=0，e ∈(0,1)， 故e =√5−12．故选：A．利用已知条件求出A、B坐标，结合三角形是直角三角形，推出a、b、c关系，然后求解离心率即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．9.答案：B解析：解：将函数f(x)=sin3x−√3cos3x+1=2sin(3x−π3)+1的图象向左平移π6个单位长度，得到函数g(x)=2sin(3x+π2−π3)+1=2sin(3x+π6)+1的图象．令x=5π9，求得g(x)=2sin11π6+1=0，不是最值，故g(x)的图象不关于直线x=5π9对称，故①不正确；它的最小正周期为2π3，故②正确；当x=11π18时，g(x)=1，故g(x)的图象关于点(11π18,1)对称，故③正确；在[5π3,19π9]上，3x+π6∈[5π+π6,6π+π2]，g(x)没有单调性，故④错误，故选：B．由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，属于中档题．10.答案：B解析：解：连结EF，A1C1，C1D，DF，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF//A1C1，∴直线A1E与直线C1F共面，由题意得AB1//C1D，∴异面直线AB1与C1F所成角为∠DC1F，设AA1=√2，则AB=√2AA1=2，则DF=√5，C1F=√3，C1D=√6，由余弦定理得异面直线AB1与C1F所成角的余弦值：m=cos∠DC1F=2×√3×√6=√23．综上：直线A1E与直线C1F共面，且m=√23．故选：B．连结EF，A1C1，C1D，DF，推导出EF//A1C1，从而直线A1E与直线C1F共面，由题意得AB1//C1D，得异面直线AB1与C1F所成角为∠DC1F，由此能推导出直线A1E与直线C1F共面，且m=√23．本题考查两直线的位置关系的判断，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.答案：C解析：解：设该数列为{a n}，令b n=a n+1−a n，设{b n}的前n项和为B n，又令c n=b n+1−b n，设{c n}的前n项和为C n．易c n =n ，C n =n 2+n 2，进而得b n+1=3+C n =3+n 2+n 2，所以b n =3+n(n−1)2=n 22−12n +3，则B n =n(n+1)(n−1)6+3n ，所以a n+1=1+B n ，所以a 19=1024． 故选：C ．设该数列为{a n }，令b n =a n+1−a n ，设{b n }的前n 项和为B n ，又令c n =b n+1−b n ，设{c n }的前n 项和为C n .运用等差数列的通项公式和求和公式，以及前n 项自然数的平方和公式，计算可得所求． 本题考查数列的求和，注意运用等差数列的通项公式和求和公式，考查构造数列法，化简运算能力，属于中档题． 12.答案：D解析：解：设切点为A(x 0,y 0)，所以{ae x 0=2x 02−m ae x 0=4x 0，整理得{4x 0=2x 02−m x 0>0m >0，由m =2x 02−4x 0>0，解得x 0>2．由上可知a =4x 0e x 0，令ℎ(x)=4x e x ，则ℎ′(x)=4(1−x)e x ．因为x >2，所以ℎ′(x)=4(1−x)e x<0,ℎ(x)=4x e x在(2,+∞)上单调递减，所以0<ℎ(x)<8e 2，即a ∈(0,8e 2)．故选：D ．先设出切点，根据切点是公共点且切点处导数值相等构造方程，由此将m 用切点的横坐标x 0表示出来，根据m 的范围求出x 0的范围，再将a 表示成x 0的函数，利用导数求其值域即可．本题考查了利用导数研究切线问题和研究函数值域的基本思路，属于中档题．注意计算要准确． 13.答案：±6解析：解：设{a n }的公比为q ，由a 1=1，a 3=36，得q 2=36， 所以q =±6， 故a 2=±6． 故答案为：±6结合已知及等比数列的通项公式可求公比q ，进而可求本题主要考查了等比数列的》通项公式的简单应用，属于基础试题14.答案：14π解析：解：正方形的面积S =0.5×0.5=0.25，若铜钱的直径为2cm ，则半径是1，圆的面积S =π×12=π，则随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率P =0.25π=14π，故答案为：14π．求出圆和正方形的面积，结合几何概型的概率公式进行计算即可．本题主要考查几何概型的概率的计算，求出对应圆和正方形的面积是解决本题的关键．比较基础．15.答案：√3解析：解：∵抛物线y2=8x的焦点坐标F(2,0)，p=4，抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p=2c，即c=2，∵设P(m,n)，由抛物线定义知：|PF|=m+p2=m+2=5，∴m=3．∴P点的坐标为(3,±2√6)∴{a2+b2=49a2−24b2=1解得：a=1，b=√3，则渐近线方程为y=±√3x，即有点F到双曲线的渐近线的距离为d=√3√3+1=√3，故答案为：√3．根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据抛物线的定义可以求出P的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b2=c2−a2，解得a，b，得到渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算即可得到．本题主要考查了双曲线，抛物线的简单性质．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．解答关键是利用性质列出方程组．16.答案：32π解析：解：设ED=a，则CD=√2a.可得CE2+DE2=CD2，∴CE⊥ED．当平面ABD⊥平面BCD时，当四面体C−EMN的体积才有可能取得最大值，设AM=x．则四面体C−EMN的体积=13×(a−x)×12×a×x×√22=√212ax(a−x)≤√212a(x+a−x2)2=23，当且仅当x=a2时取等号．解得a=2√2．此时三棱锥A−BCD的外接球的表面积=4πa2=32π．故答案为：32π．设ED=a，则CD=√2a.可得CE⊥ED.当平面ABD⊥平面BCD时，当四面体C−EMN的体积才有可能取得最大值，设AM=x.则四面体C−EMN的体积=13×(a−x)×12×a×x×√22=√212ax(a−x).利用基本不等式的性质可得最大值，进而得出结论．本题考查了直角三角形的性质、三棱锥的体积计算公式、基本不等式的性质、球的表面积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：解：(1)△ABC中，∵(sinA+sinB)(a−b)+bsinC=csinC；∴(sinA+sinB)(a−b)=(sinC−sinB)c，由正弦定理可得，(a+b)(a−b)=(c−b)c，化简可得，b2+c2−a2=bc，由余弦定理可得，cosA=b2+c2−a22bc =12，∵0<A<π，∴A=π3，(2)∵b2+c2−a2=bc，b=2c，∴a2=3c2=b2−c2，∴B=π2，C=π6；；∴在直角△BAD中，AD2=c2+(a2)2⇒7=c2+34c2⇒c=2，a=2√3；∴S△ABC=12ac=2√3．解析：(1)由已知结合正弦定理可得，b2+c2−a2=bc，然后结合余弦定理可求cos A，进而可求A；(2)先结合第一问的结论求出∴B=π2，C=π6；再在直角△BAD中求出边长即可求出结论．本题综合考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式等知识的综合应用，属于中档试题．18.答案：解：(1)因为测试的优秀率为30%，所以测试成绩优秀的人数为50×30%=15，由表中数据知，优秀分数线应定为125分．(2)由(1)知，测试成绩优秀的学生有50×0.3=15人，其中“赞成的”有10人；测试成绩不优秀的学生有50−15=35人，其中“赞成的”有22人；填写2×2列联表如下：赞成不赞成合计优秀10515不优秀221335合计321850计算K2=50×(10×13−5×22)232×18×15×35=25378≈0.066<2.706，因此，没有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系．解析：(1)计算测试成绩优秀的人数，结合表中数据得出结论；(2)由题意计算并填写列联表，求出观测值，对照临界值得出结论．本题考查了列联表与独立性检验问题，是基础题．19.答案：(1)证明：因为平面ABCD⊥平面BPC，ABCD是正方形，所以DC⊥平面BPC．因为BP⊂平面BPC，所以BP⊥DC．因为点P在以BC为直径的半圆弧上，所以BP⊥PC．又DC∩PC=C，所以BP⊥平面DCP．(2)解：显然，当点P位于BC⏜的中点时，△BCP的面积最大，三棱锥D−BPC 的体积也最大．因为BC =2，所以PE =1，所以△BEP 的面积为12×1×1=12，所以三棱锥D −BEP 的体积为13×12×2=13．因为BP ⊥平面DCP ，所以BP ⊥DP ，DP =√(2√2)2−(√2)2=√6，△BDP 的面积为12×√2×√6=√3． 设E 到平面BDP 的距离为d ，由13×√3×d =13，得d =√33， 即E 到平面BDP 的距离为√33．解析：(1)先根据面面垂直得到DC ⊥平面BPC ⇒BP ⊥DC ；再结合BP ⊥PC 即可证明结论；(2)先分析何时最大，再结合体积相等即可求解本题主要考查线面垂直的证明以及点到面的距离求解；一般求点到面的距离常用体积相等． 20.答案：解：(1)易知A 点的坐标为(p 2,±p)，所以p =p 2−(−1)，解得p =2，又圆的圆心为F(1,0)，所以圆的方程为(x −1)2+y =4；(2)证明：易知直线MN 的斜率存在且不为0，设M(−1,y 0)，MN 的方程为y =k(x +1)+y 0，代入C 的方程得ky 2−4y +4(y 0+k)=0， 令△=16−16k(y 0+k)=0.得y 0+k =1k ，所以ky 2−4y +4(y 0+k)=k 2y 2−4ky+4k =0，解得y =2k ， 将y =2k 代入C 的方程，得x =1k 2，即N 点的坐标为(1k 2,2k )，所以FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,y 0)，FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1k 2−1,2k)， 所以FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2−2k 2+y 0⋅2k =2−2k 2+(1k −k)⋅2k=0 故MF ⊥NF ．解析：(1)易知A(p 2,±p)，所以p =p 2−(−1)，即可解得p 的值，得到圆心坐标为(1,0)，半径为2，从而求出改圆的方程；(2)设M(−1,y 0)，MN 的方程为y =k(x +1)+y 0，与抛物线方程联立，由△=0可得令△=0可得y 0+k =1k ，所以y =2k ，与抛物线方程联立可求出N 点的坐标，从而得到FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，故MF ⊥NF ． 本题主要考查了抛物线的方程，以及直线与抛物线的位置关系，考查了平面向量的基本知识，是中档题． 21.答案：解：(1)g′(x)=−m +1x ，x >0，当m≤0时，g′(x)>0恒成立，函数g(x)的单调增区间为(0,+∞)，无单调减区间，所以不存在极值，当m>0时，当0<x<1m 时，g′(x)>0此时函数单调递增，当x>1m时，g′(x)<0，此时函数，单调递减故函数g(x)的单调增区间为(0,1m )，单调减区间为(1m,+∞)，此时函数g(x)在x=1m 处取得极大值，极大值为g(1m)=−1−lnm，无极小值，综上，当m≤0时，函数g(x)的单调增区间为(0,+∞)，无单调减区间，不存在极值．当m>0时，函数g(x)的单调增区间为(0,1m )，单调减区间为(1m,+∞)，极大值为−1−lnm，无极小值，(2)当m>0时，假设存在x1，x2∈[1,2]，使得f(x1)>g(x2)成立则对x∈[1,2]，满足f(x)max>g(x)min，∵f′(x)=x−lnxx2x∈[1,2]，令ℎ(x)=x−lnx，x∈[1,2]，则ℎ′(x)=1−1x≥0，所以ℎ(x)在[1,2]上单调递增，所以ℎ(x)≥ℎ(1)=1，所以f′(x)>0，所以f(x)在[1,2]上单调递增，所以f(x)max=f(2)=3(1+ln2)2−3m，由(1)可知，①当0<1m≤1时，即m≥1时，函数g(x)在[1,2]上单调递减，所以g(x)的最小值是g(2)=−2m+ln2，②当1m ≥2，即0<m≤12时，函数g(x)在[1,2]上单调递增，所以g(x)的最小值是g(1)=−m，③当1<1m <2时，即12<m<1时，函数g(x)在[1,1m]上单调递增，在[1m,2]上单调递减．又g(2)−g(1)=ln2−m，，所以当12<m<ln2时，g(x)在[1,2]上的最小值是g(1)=−m．当ln2≤m<1时，g(x)在1，2]上的最小值是g(2)=ln2−2m，所以当0<m<ln2时，g(x)在[1,2]上的最小值是g(1)=−m，故3(1+ln2)2−3m>−m，解得3(1+ln2)4>m，所以ln2>m>0，当ln2≤m时，函数g(x)在[1,2]上的最小值是g(2)=ln2−2m，故3(1+ln2)2−3m>ln2−2m，解得m<3+ln22，所以ln2≤m <3+ln22．故实数m 的取值范围是(0,3+ln22).解析：(1)先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解函数的单调区间与极值，(2)由题意可得，对x ∈[1,2]，满足f(x)max >g(x)min ，结合导数及单调性关系可求．本题综合考查了导数与单调性的关系及函数的存在性问题的求解，属于难题．22.答案：解：(1)由C 1的参数方程{x =12+t y =√3t(t 为参数)，消去参数t ，可得y =√3x −√32， 由曲线C 2的极坐标方程3ρ2=2+cos 2θ，得2ρ2+ρ2cos 2θ=3，由x =ρcosθ，x 2+y 2=ρ2，所以C 2的直角坐方程为3x 2+2y 2=3，即x 2+2y 23=1．(2)因为M(1,√32)在曲线C 1上， 故可设曲线C 1的参数方程为{x =1+12t y =√32+√32t(t 为参数)， 代入3x 2+2y 2=3，化简可得3t 2+8t +2=0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则△=64−4×3×2>0，且t 1+t 2=−83，t 1t 2=23，所以1|MA|+1|MB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1+t 2||t 1||t 2|=4．解析：(1)由代入消元法，消去t 可得C 1的普通方程；由x =ρcosθ，x 2+y 2=ρ2，代入计算可得C 2的直角坐标方程；(2)判断M 在C 2上，设出曲线C 1的参数的标准方程，代入曲线C 2的直角坐标方程，再由韦达定理和参数的几何意义，计算可得所求值．本题考查参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线的参数方程的运用，注意参数的几何意义，考查方程思想和运算能力，属于中档题．23.答案：解：(1)f(x)=|x −3|+|x −1|={4−2x,x ≤12,1<x <32x −4,x ≥3．∵f(x)≤6，∴{x ≤14−2x ≤6或{x ≥32x −4≤6或{1<x <32≤6， 即以−1≤x ≤1或3≤x ≤5或1<x <3，∴不等式的解集为[−1,5]．(2)∵(x)=|x +3|+|x −1|≥|x −3−x +1|=2，∴M =2，∵a >0，b >0，∴要证a +2b ≥4ab ，只需证(a +2b)2≥16a 2b 2，即证a 2+4b 2+4ab ≥16a 2b 2，∵a2+4b2=2，∴只要证2+4ab≥16a2b2，即证8(ab)2−2ab−1≤0，即证(4ab+1)(2ab−1)≤0，∵4ab+1>0，∴只需证ab≤1，2∵2=a2+4b2≥4ab，∴ab≤1成立，2∴a+2b≥4ab．解析：(1)先将f(x)写为分段函数的形式，然后根据f(x)≤6利用零点分段法解不等式即可；(2)先利用绝对值三角不等式求出f(x)的最小值M，然后利用分析法证明不等式即可．本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和利用分析法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
2020年河南新乡市高考(文科)数学二模试卷(强化版) (解析版)
2020年高考（文科）数学二模试卷（强化版）一、选择题（共12小题）1．设集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|﹣3＜x＜1}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{﹣1，0，1}C．{﹣1，0}D．{0，1}2．已知i为虚数单位，则复数（2+i）（1+i）＝（）A．1+3i B．3+3i C．2i D．13．已知双曲线＝1的一条渐近线方程为y＝，则该双曲线的实轴长为（）A．2B．2C．4D．44．已知，则＝（）A．﹣2B．2C．D．5．已知a＝log35，b＝3﹣0.2，c＝31.2，则（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c6．如图是甲、乙两个工厂的轮胎宽度的雷达图．根据如图中的信息，下面说法错误的是（）A．甲厂轮胎宽度的平均数大于乙厂轮胎宽度的平均数B．甲厂轮胎宽度的众数大于乙厂轮胎宽度的众数C．甲厂轮胎宽度的中位数与乙厂轮胎宽度的中位数相同D．甲厂轮胎宽度的极差小于乙厂轮胎宽度的极差7．函数f（x）＝（1﹣）cos x的部分图象大致为（）A．B．C．D．8．已知一个圆柱的侧面积等于表面积的一半，且其轴截面的周长是18，则该圆柱的侧面积是（）A．18πB．36πC．27πD．54π9．如图，P，Q是函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）的图象与x 轴的两个相邻交点，M（1，2）是函数f（x）的图象的一个最高点，若△MPQ是等腰直角三角形，则函数f（x）的解析式是（）A．B．C．D．10．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家、天文学家．他一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面，特别是在探索圆周率π的精确度上，首次将“π”精确到小数点后第七位，即π＝3.1415926…，在此基础上，我们从“圆周率”第三到第八位有效数字中随机取两个数字a，b，则事件“|a﹣b|≤3”的概率为（）A．B．C．D．11．在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝CD，AB＝2BC＝4，四边形ABCD的外接圆的圆心在线段AC上．若四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积为36，则该四棱柱的外接球的表面积为（）A．164πB．96πC．84πD．36π12．若对任意实数x∈（﹣∞，1]，恒成立，则a＝（）A．B．0C．D．e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡中的横线上．13．已知向量＝（2，2），＝（，m），若⊥，则m＝．14．若实数x，y满足约束条件，则z＝x﹣3y的最小值为．15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b（sin B﹣sin C）+c sin C ＝c sin A，且b+c＝8，则△ABC的面积的最大值是．16．已知直线l过抛物线C：y2＝8x的焦点F，且与抛物线C在第一象限的交点为M，点N 在抛物线C的准线l1上，且MN⊥l1．若点M到直线NF的距离是4，则直线l的斜率是．三、解答题；共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分.17．在数列{a n}中，a1＝1，a2＝3，a n+1﹣3a n+2a n﹣1＝0（n∈N+，且n≥2）．（1）证明：数列{a n+1﹣a n}是等比数列．（2）求数列{a n}的通项公式．18．如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD＝4，△ABC是等腰直角三角形，其中BC为斜边．若把△ACD沿AC边折叠到△ACP的位置，使平面PAC⊥平面ABC，如图2．（1）证明：AB⊥PA．（2）若E为棱BC的中点，求点B到平面PAE的距离．19．已知函数f（x）＝ax﹣e x（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）讨论f（x）在（0，+∞）上的零点个数．20．某公司准备上市一款新型轿车零配件，上市之前拟在其一个下属4S店进行连续30天的试销，定价为1000元/件．试销结束后统计得到该4S店这30天内的日销售量（单位：件）的数据如表：日销售量406080100频数91263（1）若该4S店试销期间每个零件的进价为650元/件，求试销连续30天中该零件日销售总利润不低于24500元的频率．（2）试销结束后，这款零件正式上市，每个定价仍为1000元，但生产公司对该款零件不零售，只提供零件的整箱批发，大箱每箱有60件，批发价为550元/件；小箱每箱有45件，批发价为600元/件，该4S店决定每天批发两箱，根据公司规定，当天没销售出的零件按批发价的9折转给该公司的另一下属4S店，假设该4S店试销后的连续30天的日销售量（单位：件）的数据如表：日销售量507090110频数51582（i）设该4S店试销结束后连续30天每天批发两大箱，求这30天这款零件的总利润；（ii）以总利润作为决策依据，该4S店试销结束后连续30天每天应该批发两大箱还是两小箱？21．已知椭圆的离心率为，且四个顶点构成的四边形的面积是．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l经过点P（﹣2，0），且不垂直于y轴，直线l与椭圆C交于A，B两点，M为AB的中点，直线OM与椭圆C交于E，F两点（O是坐标原点），求四边形AEBF的面积为，求直线l的方程．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求C与l的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于M，N两点，点P（﹣2，2），求﹣的值．[选修4-5：不等式讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣5|．（1）当a＝3时，求不等式f（x）≤10的解集；（2）若f（x）≥1．求a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|﹣3＜x＜1}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{﹣1，0，1}C．{﹣1，0}D．{0，1}【分析】进行交集的运算即可．解：∵A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|﹣3＜x＜1}，∴A∩B＝{﹣1，0}．故选：C．2．已知i为虚数单位，则复数（2+i）（1+i）＝（）A．1+3i B．3+3i C．2i D．1【分析】利用复数的乘法法则即可得出．解：原式＝2﹣1+i+2i＝1+3i．故选：A．3．已知双曲线＝1的一条渐近线方程为y＝，则该双曲线的实轴长为（）A．2B．2C．4D．4【分析】利用双曲线的渐近线方程以及双曲线方程，求出a即可得到结果．解：由题意可得，解得a＝2，则该双曲线的实轴长为：2a＝4．故选：D．4．已知，则＝（）A．﹣2B．2C．D．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式化简所求即可计算求解．解：∵，∴．故选：C．5．已知a＝log35，b＝3﹣0.2，c＝31.2，则（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．解：∵1＝log33＜log35＜log39＝2；0＜3﹣0.2＜1，31.2＞3，∴b＜a＜c．故选：B．6．如图是甲、乙两个工厂的轮胎宽度的雷达图．根据如图中的信息，下面说法错误的是（）A．甲厂轮胎宽度的平均数大于乙厂轮胎宽度的平均数B．甲厂轮胎宽度的众数大于乙厂轮胎宽度的众数C．甲厂轮胎宽度的中位数与乙厂轮胎宽度的中位数相同D．甲厂轮胎宽度的极差小于乙厂轮胎宽度的极差【分析】分别求出甲、乙两厂轮胎宽度的平均数，众数，中位数，极差，由此能求出结果．解：由题意得：甲厂轮胎宽度的平均数是195，众数是194，中位数是194.5，极差为3，乙厂轮胎宽度的平均数是194，众数是195，中位数是194.5，极差为5，故A，C，D正确，B错误．故选：B．7．函数f（x）＝（1﹣）cos x的部分图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据条件判断函数的奇偶性和对称性，结合极限思想进行排除即可．解：f（x）＝cos x＝cos x，则f（﹣x）＝cos（﹣x）＝cos x＝﹣f（x），即f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除A，B，当x＞0且x→0，f（x）＞0，排除C，故选：D．8．已知一个圆柱的侧面积等于表面积的一半，且其轴截面的周长是18，则该圆柱的侧面积是（）A．18πB．36πC．27πD．54π【分析】设圆柱的底面圆的半径为r，高为h．由题意可得＝，2（2r+h）＝18，解出r、h进而得出．解：设圆柱的底面圆的半径为r，高为h．由题意可得＝，2（2r+h）＝18，解得r＝h＝3，则该圆柱的侧面积是2πrh＝18π．故选：A．9．如图，P，Q是函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）的图象与x 轴的两个相邻交点，M（1，2）是函数f（x）的图象的一个最高点，若△MPQ是等腰直角三角形，则函数f（x）的解析式是（）A．B．C．D．【分析】根据最高点求出A的值，然后再结合△MPQ是等腰直角三角形，求出PQ，也就是周期，从而求出ω的值，最后利用“对应思想”求出φ的值．解：由题意可得A＝2，因为△MPQ是等腰直角三角形，所以|PQ|＝4，所以T＝8，则，故．将M（1，2）代入f（x）的解析式得，解得，因为，所以，则．故选：B．10．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家、天文学家．他一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面，特别是在探索圆周率π的精确度上，首次将“π”精确到小数点后第七位，即π＝3.1415926…，在此基础上，我们从“圆周率”第三到第八位有效数字中随机取两个数字a，b，则事件“|a﹣b|≤3”的概率为（）A．B．C．D．【分析】由题意可知第三到第八位有效数字为4，1，5，9，2，6，利用列举法求出取到数字a，b的情况有15种，其中符合条件的有8种，由此能求出事件“|a﹣b|≤3”的概率．解：由题意可知第三到第八位有效数字为4，1，5，9，2，6，则取到数字a，b的情况有：（4，1），（4，5），（4，9），（4，2），（4，6），（1，5），（1，9），（1，2），（1，6），（5，9），（5，2），（5，6），（9，2），（9，6），（2，6），共15种，其中符合条件的有8种，故事件“|a﹣b|≤3”的概率．故选：B．11．在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝CD，AB＝2BC＝4，四边形ABCD的外接圆的圆心在线段AC上．若四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积为36，则该四棱柱的外接球的表面积为（）A．164πB．96πC．84πD．36π【分析】四边形ABCD的外接圆的圆心在线段AC上，可得△ABC和△ACD都是以AC 为斜边的直角三角形，再由题意求出直棱柱的高，再由直棱柱的高，底面外接圆的半径，和外接球的半径之间的关系求出外接球的半径，进而求出外接球的体积．解：由题意四边形ABCD的外接圆的圆心在线段AC上，可得△ABC和△ACD都是以AC为斜边的直角三角形，因为AB＝2BC＝4，所以，因为AD＝CD，所以，所以四边形ABCD的面积．因为四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积为36，所以AA1＝4，所以该四棱柱的外接球的半径，故该四棱柱的外接球的表面积为4πR2＝36π．故选：D．12．若对任意实数x∈（﹣∞，1]，恒成立，则a＝（）A．B．0C．D．e【分析】求出．当2a+1≥1，当2a+1＜1，判断函数的单调性求出函数的最值，推出．令2a+1＝t＜1，不等式化为e t﹣t﹣1≤0，构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性求解函数的最小值，然后求解a即可．解：，则．当2a+1≥1，即a≥0时，f'（x）≤0，则f（x）在（﹣∞，1]单调递减，故，解得，所以a≥0不符合题意；当2a+1＜1，即a＜0时，f（x）在（﹣∞，2a+1）上单调递减，在（2a+1，1]上单调递增，则f（x）min＝f（2a+1）．因为，所以．令2a+1＝t＜1，不等式可转化为e t﹣t﹣1≤0，设g（t）＝e t﹣t﹣1，则g'（t）＝e t﹣1，令g'（t）＜0，得t＜0；令g'（t）＞0，得0＜t＜1，则g（t）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增，当t＝0时，g（t）有最小值0，即g（t）≥0，因为g（t）≤0，所以g（t）＝0，此时2a+1＝0，故．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡中的横线上．13．已知向量＝（2，2），＝（，m），若⊥，则m＝﹣1．【分析】根据题意，由向量数量积的坐标计算公式可得若⊥，则•＝2+m×2＝0，解可得m的值，即可得答案．解：根据题意，向量＝（2，2），＝（，m），若⊥，则•＝2+m×2＝0，解可得m＝﹣1；故答案为：﹣1．14．若实数x，y满足约束条件，则z＝x﹣3y的最小值为﹣11．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．解：由z＝x﹣3y得y＝x﹣，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y＝x﹣，由图象可知当直线y＝x﹣经过点A时，直线y＝x﹣截距最大，此时z最小，由，解得A（，）．将A（，）代入目标函数z＝x﹣3y，得z＝﹣11．∴目标函数z＝x﹣3y的最小值是﹣11．故答案为：﹣11．15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b（sin B﹣sin C）+c sin C ＝c sin A，且b+c＝8，则△ABC的面积的最大值是4．【分析】先利用正弦定理可得，再利用余弦定理求得cos A＝，进而求出sin A＝，再利用基本不等式求得bc≤16，从而求出△ABC的面积的最大值．解：因为，所以，即，所以，则．因为b+c＝8，所以（当且仅当b＝c＝4时，等号成立），故△ABC的面积，故答案为：4．16．已知直线l过抛物线C：y2＝8x的焦点F，且与抛物线C在第一象限的交点为M，点N 在抛物线C的准线l1上，且MN⊥l1．若点M到直线NF的距离是4，则直线l的斜率是．【分析】先设出点M的坐标，写出直线NF的方程，再利用点线距离求出点M的坐标，从而求出直线l的斜率．解：由题意可知F（2，0），设M（x0，y0），则N（﹣2，y0），直线NF的方程为y＝﹣（x﹣2），即y0x+4y﹣2y0＝0，因为点M到直线NF的距离是4，所以，因为点M再抛物线C上，所以y，所以，整理得：y02（y）＝64×48，解得y0＝4，所以x0＝6，即M（6，4），故直线l的斜率是．故答案为：．三、解答题；共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分.17．在数列{a n}中，a1＝1，a2＝3，a n+1﹣3a n+2a n﹣1＝0（n∈N+，且n≥2）．（1）证明：数列{a n+1﹣a n}是等比数列．（2）求数列{a n}的通项公式．【分析】（1）把已知递推关系式整理即可证明结论；（2）利用第一问的结论以及叠加法即可求解．解：（1）因为a n+1﹣3a n+2a n﹣1＝0⇒a n+1﹣a n＝2（a n﹣a n﹣1）；又a1＝1，a2＝3，∴a2﹣a1＝2≠0；∴数列{a n+1﹣a n}是首项为2，公比为2的等比数列．（2）由（1）得a n+1﹣a n＝2n；∴a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+（a n﹣2﹣a n﹣3）+…+（a2﹣a1）+a1＝2n﹣1+2n﹣2+…+2+1＝＝2n﹣1；（n≥2），当n＝1时，a1＝1适合上式，故a n＝2n﹣1．18．如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD＝4，△ABC是等腰直角三角形，其中BC为斜边．若把△ACD沿AC边折叠到△ACP的位置，使平面PAC⊥平面ABC，如图2．（1）证明：AB⊥PA．（2）若E为棱BC的中点，求点B到平面PAE的距离．【分析】（1）由已知可得AB⊥AC，再由平面与平面垂直的性质可得AB⊥平面PAC，进一步得到AB⊥PA；（2）由（1）知，AB⊥AC，PC⊥平面ABC，求解三角形证明AE⊥PE．求出△PAE的面积，再由等体积法求点B到平面PAE的距离．【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，BC为斜边，∴AB⊥AC，∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，∴AB⊥平面PAC，∵PA⊂平面PAC，∴AB⊥PA；（2）解：由（1）知，AB⊥AC，PC⊥平面ABC，由题意可得，PC＝2，AC＝AB＝4，AC⊥AB，则BC＝，PA＝．∵E为棱BC的中点，∴AE＝EC＝BC＝，则PE＝．在△PAE中，AE＝，AP＝，PE＝，∴AE2+PE2＝PA2，即AE⊥PE．则△PAE的面积S＝．设点B到平面PAE的距离为h，∵V B﹣PAE＝V P﹣ABE，∴，解得h＝．∴点B到平面PAE的距离为．19．已知函数f（x）＝ax﹣e x（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）讨论f（x）在（0，+∞）上的零点个数．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系可求；（2）由f（x）＝0分离参数后，构造函数，结合导数分析函数的性质可求．解：（1）f′（x）＝a﹣e x，当a≤0时，f′（x）＜0，函数在R上单调递减，当a＞0时，当x＜lna时，f′（x）＞0，函数在R上单调递增，当x＞lna时，f′（x）＜0，函数在R上单调递减，（2）令f（x）＝0可得a＝，设g（x）＝，x＞0，则，当x＞1时，g′（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数单调递减，故g（x）≥g（1）＝e，当a＜e时，a＝在（0，+∞）上没有零点，即f（x）没有零点；当a＝e时，a＝在（0，+∞）上有一个零点，即f（x）有一个零点；当a＞e时，a＝在（0，+∞）上有2个零点，即f（x）有2个零点；20．某公司准备上市一款新型轿车零配件，上市之前拟在其一个下属4S店进行连续30天的试销，定价为1000元/件．试销结束后统计得到该4S店这30天内的日销售量（单位：件）的数据如表：日销售量406080100频数91263（1）若该4S店试销期间每个零件的进价为650元/件，求试销连续30天中该零件日销售总利润不低于24500元的频率．（2）试销结束后，这款零件正式上市，每个定价仍为1000元，但生产公司对该款零件不零售，只提供零件的整箱批发，大箱每箱有60件，批发价为550元/件；小箱每箱有45件，批发价为600元/件，该4S店决定每天批发两箱，根据公司规定，当天没销售出的零件按批发价的9折转给该公司的另一下属4S店，假设该4S店试销后的连续30天的日销售量（单位：件）的数据如表：日销售量507090110频数51582（i）设该4S店试销结束后连续30天每天批发两大箱，求这30天这款零件的总利润；（ii）以总利润作为决策依据，该4S店试销结束后连续30天每天应该批发两大箱还是两小箱？【分析】（1）要使得日销售总利润不低于24500元，则日销售零件的件数不能少于，根据题意，求出大于等于70件的频率即可；（2）（i）若4S店试销结束后连续30天每天批发两大箱，则批发成本为60×2×550＝66000元，分别求出日销售量为50件，70件，90件，110件的利润，再求出总利润；（ii）若该4S店试销结束后连续30天每天批发两小箱，则批发成本为45×2×600＝54000元，分别求出日销售量为50件，70件，90件，110件的利润，再求出总利润，根据（i）的计算结果，比较判断出最好的方案即可．解：（1）因为试销期间每个零件的利润为1000﹣650＝350元，所以要使得日销售总利润不低于24500元，则日销售零件的件数不能少于，根据题中数据大于等于70件的频数为6+3＝9，故所求频率为；（2）（i）该4S店试销结束后连续30天每天批发两大箱，则批发成本为60×2×550＝66000元，当日销售量为50件时，当日利润为50×1000+0.9×（120﹣50）×550﹣66000＝18650元；当日销售量为70件时，当日利润为70×1000+0.9×（120﹣70）×550﹣66000＝28750元；当日销售量为90件时，当日利润为90×1000+0.9×（120﹣90）×550﹣66000＝38850元；当日销售量为110件时，当日利润为110×1000+0.9×（120﹣110）×550﹣66000＝48950元．所以这30天这款零件的总利润为18650×5+28750×15+38850×8+48950×2＝93.32万元；（ii）若该4S店试销结束后连续30天每天批发两小箱，则批发成本为45×2×600＝54000元，当日销售量为50件时，当日利润为50×1000+0.9×（90﹣50）×600﹣54000＝17600元；当日销售量为70件时，当日利润为70×1000+0.9×（90﹣70）×600﹣54000＝26800元；当日销售量为90件或110件时，当日利润为90×1000﹣54000＝36000元，所以这30天这款零件的总利润为17600×5+26800×15+36000×10＝85万元，因为93.32万元＞85万元，所以每天应该批发两大箱．21．已知椭圆的离心率为，且四个顶点构成的四边形的面积是．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l经过点P（﹣2，0），且不垂直于y轴，直线l与椭圆C交于A，B两点，M为AB的中点，直线OM与椭圆C交于E，F两点（O是坐标原点），求四边形AEBF的面积为，求直线l的方程．【分析】（1）由题意可得，求解a，b，然后求解椭圆C的方程．（2）设直线l的方程为x＝my﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，整理得（m2+2）y2﹣4my﹣4＝0，利用韦达定理，求出直线OM的方程为，通过联立，整利用弦长公式以及，点A到直线OM的距离为d，则点B到直线OM的距离也为d，通过点A，B在直线OM的两侧，得到（mx1+2y1）（mx2+2y2）＜0，然后转化求解三角形的面积，求出m推出直线方程．解：（1）由题意可得，解得，b＝2，故椭圆C的方程为．（2）直线l经过点P（﹣2，0），且不垂直于y轴，直线l与椭圆C交于A，B两点，所以直线与x轴不平行，否则构不成四边形AEBF．。
河南省许昌新乡平顶山2020届高三数学第二次调研测试(文) 人教版
河南省许昌新乡平顶山2020届高三第二次调研考试（数学文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．分别答在答题卡（Ⅰ卷）和答卷（Ⅱ卷）上．答在试卷上的答案无效．考试时间120分钟．满分150分．第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目涂在答题卡上．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 球的表面积公式24πS R = 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 其中R 表示球的半径 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么球的体积公式34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k k n kP k C p p k n n n-=-=…,一．选择题(1)已知全集U =Z ，{1,0,1,2}A =-，2{|}B x x x ==，则U A C B I 为（A ）{1,2}- （B ）{1,0}- （C ）{0,1} （D ）{1,2}(2)若函数()(1)cos f x x x =+，02x π≤<，则()f x 的最大值为（A ）1 （B ）2 （C 1 （D 2 (3)设()f x 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是 （A ）()()f x f x ⋅-是奇函数（B ）()()f x f x ⋅-是奇函数（C ）()()f x f x --是偶函数（D ）()()f x f x +-是偶函数(4)以双曲线13622=-y x 的右焦点为圆心与渐近线相切的圆的方程是 （A ）2260x y x +-= （B ）22(3)9x y -+=（C ）2260x y x ++= （D ）22(3)3x y -+=(5)已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β．有下面四个命题：①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ；③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β． 其中正确的命题是（A ）①与② （B ）③与④ （C ）②与④ （D ）①与③ (6)为了得到函数sin(2)6y x π=-的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（A ）向右平移6π个单位长度 （B ）向右平移3π个单位长度 （C ）向左平移6π个单位长度（D ）向左平移3π个单位长度(7)椭圆2214y x +=的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于y 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF =（A ）23 （B ）3（C ）27 （D ）4(8)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB =1，D 在棱BB 1上，且BD =1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则α= （A ）3π （B ）4π （C ）410arcsin（D ）46arcsin(9)从5位男演员和4位女演员中选出3位演员，担任3个合唱节目的领唱（一个节目只有一个领唱），要求这3位领唱中男、女演员都要有，则不同的安排方案共有 （A ）210种 （B ）420种 （C ）630种 （D ）840种 (10)，各顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 （A ）4π3（B ）8π （C ）2π （D ）4π (11)设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥，，，则y x z 3-=的最小值为（A ）2-（B ）4-（C ）6- （D ）8-(12)如果3nx ⎛⎫ ⎝的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x 的系数是 （A ）7 （B ）7- （C ）21 （D ）21-第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生务必将本人姓名、考生号、考场号填写在答卷（Ⅱ卷）正面的相应位置． 2．本卷共10小题，共90分．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． (13)设等比数列{}n a 的公比12q =，前n 项和为n S ，则44S a =________．(14)已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c =_______．(15)设双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为 ． (16)设函数()f x 是定义域为R 的函数，有下列命题：①对任意x ∈R ，()(2)f x f x =-成立，那么函数()f x 的图象关于直线1x =对称； ②对任意x ∈R ，()(1)0f x f x +-=成立，那么函数()f x 的图象关于点(1,0)对称； ③对任意x ∈R ，(2)(21)f x f x =-成立，那么函数()f x 是周期为1的周期函数； ④对任意x ∈R ，(1)(1)0f x f x -+-=成立，那么函数()f x 是奇函数． 其中正确的命题的序号是____________．（注：把你认为正确的命题的序号都．填上）三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)（本小题满分10分）已知等差数列{}n a ，29a =，521a =． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设na nb 2=，求数列}{n b 的前n 项和n S ．(18)（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且31cos =A ． （Ⅰ）求A CB 2cos 2sin 2++的值； （Ⅱ）若3=a ，求bc 的最大值．(19)（本小题满分12分）袋中装有若干个质地均匀大小相同的红球和白球，白球数量是红球数量的两倍．每次从袋中摸出一个球，然后放回．若累计3次摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直至第5次摸球后结束．（Ⅰ）求摸球3次就停止的事件发生的概率； （Ⅱ）求至少摸到2个红球的概率．(20)（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧面A 1ACC 1与底面ABC 垂直，AB=BC=CA =4，且AA 1⊥A 1C ，AA 1=A 1C ． （Ⅰ）求侧棱AA 1与底面ABC 所成角的大小； （Ⅱ）求侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成二面角的大小；（Ⅲ）求顶点C 到侧面A 1ABB 1的距离．(21)（本小题满分12分）已知函数32()232(0)f x x ax x a =-+∈>R, ．（Ⅰ）若函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线与直线113y x =-+垂直，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,2]上的最大值．(22)（本小题满分12分）已知动点M 到点(F 的距离与它到直线2x =-． （Ⅰ）求动点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若过点(0,1)E 的直线与曲线C 在y 轴左侧交于不同的两点A ，B ，点(2,0)P 满足1()2PN PA PB =+u u u r u u u r u u u r，求直线PN 在y 轴上的截距d 的取值范围．文科数学参考答案一．选择题：(1)A (2)B (3)D (4)D (5)D (6)B (7)C (8)D (9)B (10)D (11)D (12)C 二．填空题：(13) 15，(14)77(,)93--，(15)3215， (16)①③④． 三．解答题：(17)（本小题满分10分）解：（Ⅰ）设数列}{n a 的公差为d ，依题意得方程组119,421a d a d +=⎧⎨+=⎩， ………………3分解得4d =，15a =．所以}{n a 的通项公式为41n a n =+． …………………5分（Ⅱ）由41n a n =+，得412n n b +=，∴数列}{n b 是首项512=b ，公比为42=q 的等比数列． …………………7分于是}{n b 的前n 项和54442(21)32(21)2115n n n S ⨯-⨯-==-． ………………10分 (18)（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）A C B 2cos 2sin 2++ =)1cos 2()]cos(1[212-++-A C B =)1cos 2()cos 1(212-++A A =)192()311(21-++= 91-． …………………6分 (Ⅱ) ∵2221cos 23b c a A bc +-==， …………………8分 ∴2222232a bc a cb bc -≥-+=， …………………10分 又∵3=a ，∴94bc ≤．当且仅当32b c ==时，94bc =，故bc 的最大值是49． …………………12分(19)（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，摸球1次，是红球的概率为13，是白球的概率为23．………………2分 摸球3次就停止，说明前3次分别都摸到了红球， 则311()327P ==． …………………5分 （Ⅱ）记摸到2个红球为事件A ，3个红球为事件B ，则至少摸到2个红球为事件A +B ． …………………6分∵22351280()()()33243P A C =⨯⨯=， …………………8分 330222223341212112117()()()()()()3333333381P B C C C =⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=．………………10分∵A ，B 互斥，∴8017131()()()24381243P A B P A P B +=+=+=． ∴至少摸到2个红球的概率为131243． …………………12分(20)（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）作A 1O ⊥AC ，垂足为O ， ……………1分∵平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，∴ A 1O ⊥面ABC ， ……………2分 ∴∠A 1AO 为A 1A 与面ABC 所成的角． ……………3分∵AA 1⊥A 1C ，AA 1=A 1C ，∴∠A 1AO =450为所求． ……………4分 （Ⅱ）以OB 为x 轴，OC 为y 轴，O A 1为z 轴建立空间直角坐标系，如图，则(0,2,0)A -，(23,0,0)B ，(0,2,0)C ，1(0,0,2)A ． ……………5分设(,,)n x y z =r 是面A 1ACC 1的法向量，则1n AA ⊥u u ur r ，n AB ⊥u u u r r ，∵1(0,2,2)AA =u u u r ，(23,2,0)AB =u u u r，∴030y z x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，可取 (1,3,3)n =-r．……………7分 而面ABC 的法向量为(0,0,1)m =r，∵21cos ,m n m n m n ⋅==⋅r r r rr r ，……8分∴侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成二面角为21cos7arc ． ……………9分 （Ⅲ）∵11(0,4,0)AC =u u u u r ，∴11AC u u u u r 在平面A 1ACC 1的法向量(1,3,3)n =-r上的射影为 114217AC n d n ⋅==-u u u u r rr ， ……………11分∴点C 到侧面A 1ABB 1的距离为7． ……………12分 (21)（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵2()66f x x ax '=-，又()f x 在点(1,(1))f 处的切线与直线113y x =-+垂直，∴(1)663f a '=-=，∴12a =． ……………2分 ∴323()222f x x x =-+，21()636()2f x x x x x '=-=-．由1()6(02f x x x '=->）得0x <或12x >；由1()6(02f x x x '=-<），得102x <<．∴函数()f x 的单调递增区间是(,0)-∞，1(,)2+∞；单调递减区间是1(0,)2． ……………5分 （Ⅱ）∵()6()f x x x a '=-，0a >．由()6(0f x x x a '=->）得x a >或0x <；由()6(0f x x x a '=-<），得0x a <<．…………6分∴函数()f x 在(,0)-∞上递增，在(0,)a 上递减，在(,)a +∞上递增． ∴函数()f x 在0x =处取得极大值，x a =处取得极小值．由()(0)f x f =，即322322x ax -+=，解得32ax =． ……………8分 ①若3022a <≤，即403a <≤时，()f x 的最大值为(2)1812f a =-； ……………10分②若322a >，即43a >时，()f x 的最大值为(0)2f =． ……………11分 综上所述，函数()f x 的最大值max41812,0,3()42,3a a f x a ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩． ……………12分 (22)（本小题满分12分）解：（I ）设动点M 的坐标为(,)x y ，由题设可知：= ……………3分整理得：221x y -=，∴动点M 的轨迹C 方程为221x y -=． ……………5分（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,B x y ），PN 与y 轴交于点)Qd （0,， 直线AB 的方程为：1y kx =+，由221(1)1y kx x x y =+⎧≤-⎨-=⎩消去y 得：22(1)220,(1)k x kx x ---=≤-．……6分由题意可得：2221221221048(1)0201201k k k k x x k x x k ⎧-≠⎪∆=+->⎪⎪⎨+=<-⎪⎪-=>⎪-⎩，解得：1k <<． ……………8分∵1()2PN PA PB =+u u u r u u u r u u u r，∴N 为AB 的中点．设00(,)N x y ，则120221x x k x k +==-，002111y kx k=+=-． 由221(,)11k N k k --，(2,0)P ，(0,)Q d 三点共线可得2222d k k =-+-．………10分令2()22f k k k =+-，则()f k在上为增函数，因此d 是k 的增函数．∴22d -<<． ……………12分。
河南省新乡市2020届高三第二次模拟考试数学(文科)试题 Word版含解析
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数学（文科）
考生注意：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.
2.请将各题答案填写在答题卡上.
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1.设集合{1,0,1,2,3}A =-，{|31}B x x =-<<，则A
B =（ ） A. {|12}x x -<<
B. {1,0,1}-
C. {1,0}-
D. {0,1} 【答案】C
【解析】
【分析】
找两个集合的公共元素.
【详解】∵{1,0,1,2,3}A =-，{|31}B x x =-<<，
∴{}1,0A B ⋂=-
故选：C.
【点睛】本题考查集合的交集运算，考查理解辨析能力，是基础题.
2.(2)(1)i i ++=（ ）
A. 13i +
B. 13i -
C. 13i -+
D. 13i -- 【答案】A
【解析】
【分析】
复数的乘法类似于多项式乘多项式，遇到2i 化为1-.
【详解】2(2)(1)2213i i i i i i ++=+++=+.。
河南省2020届高三第二次模拟考试卷文科数学(含答案解析)
文科数学（二）
一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集 U={x∈N|x≤8},集合 A={1,3,7}，B={2,3,8},则 (痧U A) ( U B) = ()
A. {1,2,7,8}
20. (12 分)椭圆 C1 与 C2 的中心在原点，焦点分别在 x 轴与 y 轴上，它们有相同的离心率 e =
2 2
,
并且
C2
的
短轴为 C1 的长轴， C1 与 C2 的四个焦点构成的四边形面积是 2 2. (1)求椭圆 C1 与 C2 的方程; (2)设 P 是椭圆 C2 上非顶点的动点，P 与椭圆 C1 长轴两个顶点 A，B 的连线 PA，PB 分别与椭圆 C1 交于点 E，
由
x y 2 0 5x y 8 0
，解得
x y
1 3
，故点
A
的坐标为
(1,
3)
，
∴ zmax 21 3 5 ，故选 D．
10．【答案】A
【解析】由题意可知 f (0) 2sin 1，∴ sin 1 ，
2
又 0 π ，∴ π ，故 f (x) 2sin(2x π) ，故可排除选项 C；
根据双曲线的定义，|| PF1 | | PF2 || 2 ，从而| QF2 | 2 ，
在 △F1QF2 中， OH 为其中位线，故| OH | 1，故选 A．
12．【答案】C
【解析】①∵函数 f (x) 是在 R 上的奇函数，∴ f (x) f (x) ，
令 x (0, ) ，则 x (,0) ， f (x) f (x) ex (1 x) ex (x 1) ，故①错；
2020届河南省新乡市高三第二次模拟数学(文科)试题(原卷版)
新乡市2020届高三年级第二次模拟考试（强化卷）数学（文科）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.设集合{1,0,1,2,3}A =-，{|31}B x x =-<<，则A B =（ ）A. {|12}x x -<<B. {1,0,1}-C. {1,0}-D. {0,1}2.(2)(1)i i ++=（ ） A. 13i +B. 13i -C. 13i -+D. 13i --3.已知双曲线22214x y a -=的一条渐近线方程为y x =，则该双曲线的实轴长为（ ）A. 2B. C. 4D. 4.已知3tan 4α=，则sin 2cos 2sin cos αααα-=+（ ） A. 2-B. 2C. 12-D.125.已知3log 5a =，0.23b -=， 1.23c =，则（ ） A. b c a <<B. b a c <<C. a c b <<D. a b c <<6.下图是甲、乙两个工厂的轮胎宽度的雷达图（虚线代表甲，实线代表乙）.根据下图中的信息，下面说法错误．．的是（ ）A. 甲厂轮胎宽度的平均数大于乙厂轮胎宽度的平均数B. 甲厂轮胎宽度的众数大于乙厂轮胎宽度的众数 C. 甲厂轮胎宽度的中位数与乙厂轮胎宽度的中位数相同 D. 甲厂轮胎宽度的极差小于乙厂轮胎宽度的极差7.函数2()1cos 1x f x x e ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭的部分图象大致为（ ） A.B.C.D.8.已知一个圆柱的侧面积等于表面积的一半，且其轴截面的周长是18，则该圆柱的侧面积是（ ） A. 18πB. 36πC. 27πD. 54π9.如图，P ，Q 是函数()cos()(0,0,0)f x A x A ωϕωπϕ=+>>-<<图象与x 轴的两个相邻交点，(1,2)M 是函数()f x 的图象的一个最高点，若MPQ 是等腰直角三角形，则函数()f x 的解析式是（ ）A. ()2cos 24f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B. ()2cos 44f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. ()2cos 22f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭D. ()2cos 42f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭10.祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家、天文学家.他一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面，特别是在探索圆周率π的精确度上，首次将“π”精确到小数点后第七位，即3.1415926π=，在此基础上，我们从“圆周率”第三到第八位有效数字中随机取两个数字a ，b ，则事件“||3a b -≤”的概率为（ ） A.13B.815C.23D.71511.在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，AD CD =，24AB BC ==，四边形ABCD 的外接圆的圆心在线段AC 上.若四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为36，则该四棱柱的外接球的体积为（ ）A. 9πB. 27πC. 36πD. 54π12.若对任意实数(,1]x ∈-∞，2211xx ax e-+≥恒成立，则a =（ ） A. 12-B. 0C.12D. e第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡中的横线上.13.已知向量(2,23)a =，(3,)b m =，若a b ⊥，则m =__________.14.若实数x ，y 满足约束条件2022033x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =-的最小值为__________.15.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知(sin 3)csin sin b B C C a A -+=，且8+=b c ，则ABC 的面积的最大值是__________.16.已知直线l 过抛物线2:8C y x =的焦点F ，且与抛物线C 在第一象限的交点为M ，点N 在抛物线C 的准线1l 上，且1MN l ⊥.若点M 到直线NF 的距离是43，则直线l 的斜率是__________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在数列{}n a 中，11a =，23a =，11320n n n a a a +--+=（n +∈N 且2n ≥）. （1）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式.18.如图1，在梯形ABCD 中，//AB CD ，且24AB CD ==，ABC 是等腰直角三角形，其中BC 为斜边.若把ACD 沿AC 边折叠到ACP △的位置，使平面PAC ⊥平面ABC ，如图2.（1）证明：AB PA ⊥；（2）若E 为棱BC 的中点，求点B 到平面PAE 的距离. 19.已知函数()()x f x ax e a =-∈R . （1）讨论()f x 的单调性；（2）讨论()f x 在(0,)+∞上的零点个数.20.某公司准备上市一款新型轿车零配件，上市之前拟在其一个下属4S 店进行连续30天试销.定价为1000元/件.试销结束后统计得到该4S 店这30天内的日销售量（单位：件）的数据如下表： 日销售量 40 60 80 100 频数 91263（1）若该4S 店试销期间每个零件的进价为650元/件，求试销连续30天中该零件日销售总利润不低于24500元的频率；（2）试销结束后，这款零件正式上市，每个定价仍为1000元，但生产公司对该款零件不零售，只提供零件的整箱批发，大箱每箱有60件，批发价为550元/件；小箱每箱有45件，批发价为600元/件.该4S 店决定每天批发两箱，根据公司规定，当天没销售出的零件按批发价的9折转给该公司的另一下属4S 店.假设该4店试销后的连续30天的日销售量（单位：件）的数据如下表：（ⅰ）设该4S 店试销结束后连续30天每天批发两大箱，这30天这款零件的总利润；（ⅱ）以总利润作为决策依据，该4S 店试销结束后连续30天每天应该批发两大箱还是两小箱？21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，且四个顶点构成的四边形的面积是（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l 经过点(2,0)P -，且不垂直于y 轴，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，直线OM 与椭圆C 交于E ，F两点（O 是坐标原点），若四边形AEBF 的面积为，求直线l 的方程.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 23sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求C 与l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，点(2,2)P -，求11||||PM PN +的值. 23.已知函数()|||5|f x x a x =++-.（1）当3a =时，求不等式()10f x ≤的解集； （2）若()1f x ≥，求a 的取值范围.。