0衡水中学物理最经典-物理建模系列(五) 小船渡河模型分析

物理建模系列(五)小船渡河模型分析

1．模型构建

在运动的合成与分解问题中，两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动，其中一个速度大小和方向都不变，另一个速度大小不变，方向在180°范围内(在速度不变的分运动所在直线的一侧)变化，我们对合运动或分运动的速度、时间、位移等问题进行研究．这样的运动系统可看作“小船渡河模型”．

2．模型展示

3．三种速度：v1(水的流速)、v2(船在静水中的速度)、v(船的实际速度)．

4．三种情景

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求：

(1)欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？

(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？

【解析】 (1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向

当船头垂直河岸时，如图甲所示，合速度为倾斜方向，垂直分速度为v 1＝5 m/s. t ＝d v 1＝180

5s ＝36 s v ＝v 21＋v 22＝52 5 m/s x ＝v t ＝90 5 m.

(2)欲使船渡河航程最短，合速度应垂直于河岸，船头应朝上游与垂直河岸方向成某一夹角α

如图乙所示， 有v 1sin α＝v 2， 得α＝30°

所以当船头向上游垂直河岸方向偏30°时航程最短． x ′＝d ＝180 m. t ′＝d v 1cos 30°＝1805

23 s

＝24 3 s.

【答案】 (1)垂直河岸方向 36 s 90 5 m (2)向上游垂直河岸方向偏30° 24 3 s 180 m

1．解这类问题的关键是：正确区分分运动和合运动． 2．运动分解的基本方法：按实际运动效果分解． (1)确定合速度的方向(就是物体的实际运动方向)； (2)根据合速度产生的的实际运动效果确定分速度的方向；

(3)运用平行四边形定则进行分解．3．小船渡河问题的处理

(1)小船渡河问题，无论v船＞v水，还是v船＜v水，渡河的最短时间均为t min＝L

v船(L为河

宽)．

(2)当v船＞v水时，船能垂直于河岸渡河，河宽即是最小位移；当v船＜v水时，船不能垂直于河岸渡河，但此时仍有最小位移渡河，可利用矢量三角形定则求极值的方法处理．

[高考真题]

1．(2016·课标卷Ⅰ，18)一质点做匀速直线运动，现对其施加一恒力，且原来作用在质点上的力不发生改变，则()

A．质点速度的方向总是与该恒力的方向相同

B．质点速度的方向不可能总是与该恒力的方向垂直

C．质点加速度的方向总是与该恒力的方向相同

D．质点单位时间内速率的变化量总是不变

【解析】因为质点原来做匀速直线运动，合外力为0，现在施加一恒力，质点的合力就是这个恒力，所以质点可能做匀变速直线运动，也有可能做匀变速曲线运动，这个过程中加速度不变且一定与该恒力的方向相同，但若做匀变速曲线运动，单位时间内速率的变化量是变化的，故C正确，D错误．若做匀变速曲线运动，则质点速度的方向不会总是与该恒力的方向相同，故A错误；不管做匀变速直线运动，还是做匀变速曲线运动，质点速度的方向不可能总是与该恒力的方向垂直，故B正确．

【答案】BC

2．(2015·广东卷，14)如图所示，帆板在海面上以速度v朝正西方向运动，帆船以速度v朝正北方向航行，以帆板为参照物()

A．帆船朝正东方向航行，速度大小为v

B．帆船朝正西方向航行，速度大小为v

C．帆船朝南偏东45°方向航行，速度大小为2v

D．帆船朝北偏东45°方向航行，速度大小为2v

【解析】以帆板为参照物，帆船具有朝正东方向的速度v和朝正北方向的速度v，两速度的合速度大小为2v，方向朝北偏东45°，故选项D正确．

【答案】 D

3．(2014·四川卷，4)有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河．小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直．去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为()

A.k v

k2－1

B．

v

1－k2

C.k v

1－k2

D．

v

k2－1

【解析】设河岸宽度为d，去程时t1＝

d

v静，回程时，t2＝

d

v2静－v2

，又

t1

t2＝k，得v静

＝

v

1－k2

，B正确．

【答案】 B

[名校模拟]

4．(2018·山东潍坊高三上学期期中)关于曲线运动，下列说法正确的是()

A．曲线运动是变速运动

B．变速运动一定是曲线运动

C．物体保持速率不变沿曲线运动，其加速度为零

D．任何做圆周运动物体的加速度都指向圆心

【解析】曲线运动是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动，例如匀变速直线运

动，故A对，B错；匀速圆周运动速率不变，但加速度不为零，C错；只有做匀速圆周运动的物体加速度才指向圆心，D错．

【答案】 A

5．(2018·山东烟台高三上学期期中)一物体从位于一直角坐标系xOy平面上的O点开始运动，前2 s在y轴方向的v-t图象和x轴方向的s-t图象分别如图甲、乙所示，下列说法正确的是()

甲乙

A．物体做匀变速直线运动

B ．物体的初速度为8 m/s

C ．2 s 末物体的速度大小为4 m/s

D ．前2 s 内物体的位移大小为8 2 m

【解析】 由图象可知，y 轴方向为匀加速运动，x 轴方向为匀速直线运动，故合运动为曲线运动，A 错；物体初速度为4 m/s ，B 错；2 s 末速度v ＝42＋(4×2)2 m/s ＝4 5 m/s ，C 错；前2 s 内位移x ＝

82＋⎝⎛⎭

⎫1

2×4×222 m ＝82m ，D 对． 【答案】 D

6．(2018·山东师大附中高三质检)如图所示，水平面上固定一个与水平面夹角为θ的斜杆A ，另一竖直杆B 以速度v 水平向左做匀速直线运动，则从两杆开始相交到最后分离的过程中，两杆交点P 的速度方向和大小分别为( )

A ．水平向左，大小为v

B ．竖直向上，大小为v tan θ

C ．沿A 杆斜向上，大小为

v cos θ

D ．沿A 杆斜向上，大小为v cos θ

【解析】 两杆的交点P 参与了两个分运动：与B 杆一起以速度v 水平向左的匀速直线运动和沿B 杆竖直向上的匀速运动，交点P 的实际运动方向沿A 杆斜向上，如图所示，则交点P 的速度大小为v P ＝

v

cos θ

，故C 正确． 【答案】 C

课时作业(十) [基础小题练]

1．趣味投篮比赛中，运动员站在一个旋转较快的大平台边缘上，相对平台静止，向平台圆心处的球筐内投篮球．则下图各俯视图中篮球可能被投入球筐(图中箭头指向表示投篮方向)的是( )