11-第十一章静不定结构

第十一章 静不定结构

11.1 静不定结构概述

一、 基本构件

1. 桁架：直杆通过铰节点连接，何载作用在节点上，每一杆件只承受拉伸或压缩。

2. 刚架：直杆通过刚节点连接，每一杆件可以承受拉伸、压缩、弯曲和扭转。

3. 连续梁：连续跨过若干支座的梁。

二、 静不定结构

1. 静不定结构：支座反力不能完全由静力平衡方程求出的结构。分外力静不定结构和内力静不定结构。

2. 几何（运动）不变结构：结构只存在由变形所引起的位移。

3. 多余约束：结构中超过使体系保持几何不变结构的最少约束的约束。 桁架（内力静不定结构）

刚架1（内力静不定结构）

连续梁（外力静不定结构）

维持结构几何不几何可变

多余约束

多余约束用

4. 静不定次数的判断：去掉多余约束使原结构变成静定结构，去掉多余约束的个数为静不定的次数。

多余约束

R

R

解除一个活动铰，相当于解除一个约束；解除一连杆，相当于解除一个约束；解除单铰，相当解除两个约束

5. 基本静定系：解除静不定结构的某些约束后得到的静定结构。

6. 静不定结构的基本解法：力法和位移法。

11.2 用力法解静不定结构

一、只有一个多余约束的情况 如图所示结构，求其约束反力

解：1. 将约束解除得到基本静定系

B

1X

F R2F R2

2. 何载单独作用在B 点产生的位移()a l EI

Pa P －362

1-=∆

3. 沿约束反力方向单位何载1单独作用在B 点产生的位移

EI

l 3

11＝δ

4. 协变条件 1111X P ∆+∆∆＝ ，即 01111=∆P X ＋δ

解之得： ()a l l

Pa X -=3232

1

二、有多个多余约束情况 如图所示结构，求其约束反力

将B 端约束解除：

变形协变条件

⎪⎭⎪

⎬⎫

=∆+++=∆+++=∆+++000333323213123232221211313212111P P P X X X X X X X X X δδδδδδδδδ

对于n 次静不定结构

⎪⎪⎭

⎪

⎪⎬⎫=∆+⋯⋯++⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=∆+⋯⋯++=∆+⋯⋯++00022112222212111212111nP n nn n n P n n P n n X X X X X X X X X δδδδδδδδδ 上述求图示刚架中杆DE 中点C 点的水平位移。 方程称为正则方程或典型方程。方程系数为⎰=∆=∆l

j i ji ij dx EI

M M

例题：求图示刚架中杆DE 中点C 的水平位移。

3X

2X

解：1. 选取相当系统

该刚架是三次超静定结构，解除固定端B 的三个多余约束，并以单个多余约束力代替。

2. 计算力法正则方程中的系数和常数项。

EI

Fa adx EI Fx 23

a 033

P 1-

=-=∆⎰ EI

Fa dx a EI Fx 6)x (3

a 0333

P 2-

=--=∆⎰ EI

Fa adx EI Fx 22

a 033

P 3-

=-=∆⎰ EI

a adx EI a adx x EI x 343a 022

a 0222

11=

+=∆⎰⎰

E

D C a

R1R2F

E

1

EI

a dx EI x a adx EI a adx EI x 35)(3a 0a 0323

22

a

012122=-++=∆⎰⎰⎰ EI

dx EI adx EI dx EI 3a 3111a 0a 032a 0133=++=∆⎰⎰⎰ EI a dx EI x a a adx EI x 3a 0a 03322

2112)(=

-+∆=∆⎰⎰ EI a dx EI a dx EI x a 23303a 022

3113=

+=∆=∆⎰⎰ EI

a dx EI x a dx EI a dx EI x 2a 0a 0332a 011

222)(=

-++=∆⎰⎰⎰ 3. 建立力法正则方程，求多余约束力 经化简得：

⎪⎭

⎪

⎬⎫

=-++=-++=-++064301210603968321321321Fa F aF aF Fa F aF aF Fa F aF aF R R R R R R R R R 解得： F 731=

R F ,F 21-2=R F ,Fa 7

21=R F 4. 求C 点水平位移 可知刚架各杆弯矩为：

BE 段： F )7

4(21x )M (x 1

2131a

x F F R R --=+= ED 段： F )2

(73x )M (x 2

12232a

x F aF F R R R -=++= DA 段： F )7

3(21x )()M (x 3

212333a

x F aF F x a F R R R --=-+-+= 所以： EI

Fa dx F x M EI x M dx F x M EI x M a 845)()()()(3033

3D =

∂∂=∂∂=∆⎰⎰ 11.3 对称及反对称性质的利用

利用结构上何载的对称或反对称性质，可使正则方程得到一些简化。 1. 对称结构：结构几何形状、支撑条件和各杆的刚度都对称于某一轴线的结构。 2. 对称何载：何载的作用位置、大小和方向都对称于结构的对称轴的荷载。 3. 反对称何载：何载的作用位置、大小是对称的，而方向是反对称的荷载。 4. 内力特点：弯矩M 和轴力N 是对称的，而剪力Q 是反对称的。对称结构在对称荷载作用下，其对称截面上只存在对称内力M 和N ，对称结构在反对称何载作用下，其对称截面上只存在反对称内力Q 。

有些对称结构，其何载即对称的也不是反对称的，但可以把它转化为对称的和反对称两种荷载的叠加。