数学建模之差分方程

差分方程模型

①建立差分方程

利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律来建立差分方程模型。

一阶常系数线性差分方程的一般形式为

1(),(0)t t y ay f t a +-=≠（1）

②求解一阶常系数齐次线性差分方程

10,(0)t t y ay a +-=≠（2）

常用的两种解法

1）迭代法

假设0y 已知，则有

2112210(),n n n n n n y ay a ay a y a y a y ----======

一般有

0(0,1,2,).t t y a y t ==

10t t y ay +-=（3）

2）特征方程法

假设

(0)t Y λλ=≠

为方程（3）的解，代入（3）得方程的特征方程

10(0),t t a λλλ+-= ≠

解得特征根：.a λ=

则t t y a =是方程（3）的解，所以齐次方程的通解为 (t t y ca c =为任意常数)

例题：

设某房屋总价为a 元,先付一半可入住,另一半由银行以年利r 贷款, n 年付清，问平均每月付多少元？共付利息多少元？

解：设每月应付x 元，月利率为12

r ，则第一个月应付利息为 1.12224

r a ra y =⨯=

第二月应付利息为

2111,2121212a r r rx y x y y ⎛⎫⎛⎫=-+⨯=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

以此类推得到 11,1212t t r rx y y +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭

此方程为一阶常系数非线性差分方程。其相应的特征方程为

(1)012

r λ-+= 特征根为112

r + 则得到通解为

1(12t t r y c c ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭

为任意常数). 解得特解为

t y x *=

所以原方程通解为 112t t r y c x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭

当112224r a ra y =⨯=时，解得24112

ra x c r -=+。 所以解得满足初始条件的特解为

1124112112

11.

2121212t t t t ra x r y x r a r r r x x ---⎛⎫=++ ⎪⎝⎭+⎛⎫⎛⎫=⨯⨯++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 于是得到n 年的利息之和为

11212121212121221112n

n

n I y y a r r a n r =++⎛⎫⨯+⨯ ⎪⎝⎭=⨯-⎛⎫+- ⎪⎝⎭ 元，

平均每月需要付

12

12

1

21212

11

12

n

n

a r r

r

⎛⎫

⨯+⨯

⎪

⎝⎭

⎛⎫

+-

⎪

⎝⎭

元。