2.1 等式的性质与不等式的性质(答案版)

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答案:
解析:依题意可知 ,由于 ,由不等式的性质可知 .
4.已知 , ,则 的取值范围为__________.
解析: ,而 ,
根据不等式的性质可得 ,所以 的取值范围为 .
5.若实数x,y满足3≤xy2≤8,4≤ ≤9,则 的最大值是________.
答案:27
解析:由3≤xy2≤8,4≤ ≤9,可知x>0,y>0,且 ≤ ≤ ,16≤ ≤81,得2≤ ≤27,
因为4a-2b=4· -2· =2μ+2v-μ+v=μ+3v,
而2≤μ≤4,3≤3v≤6,所以5≤μ+3v≤10.所以5≤4a-2b≤10.
4.若实数 满足 求 的取值范围.
解析:令3m+4n=x(2m+3n)+y(m-n)=(2x+y)m+(3x-y)n,则 解得
因此3m+4n= (2m+3n)+ (m-n).
∴0<(a-b)c2<8.
三、解答题
1.若a>b>0,c<d<0,e<0,求证: > ..
证明:∵c<d<0,∴-c>-d>0.
又∵a>b>0,∴a-c>b-d>0.∴(a-c)2>(b-d)2>0.
两边同乘以 ,得 < .
又e<0,∴ > .
2.已知2<a≤5,3≤b<10,求a-b, 的取值范围
当a>0,b<0时, > ,故④错误.
3.已知a>0,b>0,c>0,若 < < ,则有()
A.c<a<bB.b<c<a
C.a<b<cD.c<b<a
解析:由 < < 可得 +1< +1< +1,即 < < .
因为a>0,b>0,c>0,所以a+b>b+c>c+a.由a+b>b+c,
可得a>c.由b+c>c+a,可得b>a.于是有c<a<b.
②中,由ac2>bc2,知c≠0,故c2>0,所以a>b成立,故②正确.
③中, ⇒a2>ab, ⇒ab>b2,所以a2>ab>b2,故③正确.故填②③.
2.已知实数 ,则 _____ , _____ (用>,<填空).
解析:∵ ,∴ ,∴ ,∴ .
,∴ .
故答案为<;<.
3.若 ,则 的范围为_______________
(5)加法法则:a>b,c>d⇒a+c>b+d.
(6)乘法法则:a>b>0,c>d>0⇒ac>bd.
(7)乘方法则:a>b>0⇒an>bn>0(n∈N,n≥2)
3.关于不等式性质的理解
两个同向不等式可以相加,但不可以相减,常用的结论:(1)a>b,ab>0⇒ < ;
(2)若a>b>0,m>0, <
1、选择题
故 的最大值是27.
6.已知-3<b<a<-1,-2<c< -1,则(a-b)c2的取值范围为.
解析:∵-3<b<a<-1,
∴-3<b<-1,-3<a<-1,b<a,
∴1<-b<3,a-b>0,
∴-3+1<a-b<-1+3,即-2<a-b<2,
∴0<a-b<2.
∵-2<c<-1,∴1<c2<4,∴0×1<(a-b)c2<2×4,
由-1≤2m+3n≤2得 ≤ (2m+3n)≤ .
由-3<m-n≤1得- < (m-n)≤ ,
所以- - <3m+4n≤ + ,
即-2<3m+4n≤3.
5.(2020·全国高一课时练习)日常生活中,在一杯含有 克糖的 克糖水中,再加入 克糖,则这杯糖水变甜了.请根据这一事实提炼出一道不等式,并加以证明.
∴b<d.又a+c<b,∴a<b.综上可得,d>b>a>c.
5.实数 满足 , ,若 ,则()
A.T>0B.T<0
C.T=0D.T≥0
解析:因为 且 ,不妨设 ,则 ,
则 = =
因为x>0,z<0,所以xz<0.又-y2<0,所以-y2+xz<0.又xyz>0,所以T<0.故选B.
6.设 ,则下列不等式恒成立的是()
1.给出下列命题:其中正确的命题个数是()
①a>b⇒a2>b2;②a2>b2⇒a>b;③a>b⇒ <1;④a>b⇒ < .
A.0B.1
C.2D.3
解析:选A.由性质7可知,只有当a>b>0时,a2>b2才成立,故①②都错误;
对于③,只有当a>0且a>b时, <1才成立,故③错误;
2.若实数a,b,c满足c<b<a,且ac<0,则下列结论中不一定成立的是()
A.ab>acB.c(b-a)>0
C.ac(a-c)<0D.cb2<ab2
答案:D.解析:因为c<b<a,且ac<0,所以c<0,a>0,
所以ab>ac,故结论A成立;
又因为b-a<0,所以c(b-a)>0,故结论B成立;
而a-c>0,ac<0,故ac(a-c)<0,故结论C成立;
当b=0时,cb2=ab2,当b≠0时,有cb2<ab2,故cb2<ab2不一定成立.故选D.
A. B. C. D.
解析:因为 ,所以 当 时,A,B不成立,当 时,
C不成立,选D.
7.下列不等式中成立的是()
A.若 ,则 B.若 ,则
C.若 ,则 D.若 ,则
解析:A中, 时, ,故A不一定成立;B中, ,可得 ,
故B不一定成立;
C中,令 ,则 ,显然 ,故C不一定成立;
由不等式的性质知D正
(3)性质3如果a=b,那么a±c=b±c;
(4)性质4如果a=b,那么ac=bc;
(5)性质5如果a=b,c≠0,那么 = .
2.不等式的基本性质
(1)对称性:a>b⇔b<a.
(2)传递性:a>b,b>c⇒a>c.
(3)可加性:a>b⇔a+c>b+c.
(4)可乘性:a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc.
答案: , , ,证明见解析
解析:由题知:原来糖水的浓度为 ,
加入 克糖后的浓度为 , , .
因为这杯糖水变甜了,所以 ,
整理得: , , .
因为 ,
又因为 , ,所以 , , ,
所以Fra Baidu bibliotek,即证 .
4.有外表一样,重量不同的四个小球,它们的重量分别是a,b,c,d,已知a+b=c+d,a+d>b+c,a+c<b,则这四个小球由重到轻的排列顺序是()
A.d>b>a>cB.b>c>d>a
C.d>b>c>aD.c>a>d>b
解析:∵a+b=c+d,a+d>b+c,∴a+d+(a+b)>b+c+(c+d),即a>c.
答案:-8<a-b≤2., < ≤ .
解析:∵3≤b<10,∴-10<-b≤-3.
又2<a≤5,∴-8<a-b≤2.又 < ≤ ,∴ < ≤ .
3.已知1≤a-b≤2,且2≤a+b≤4,求4a-2b的取值范围.
答案:5≤4a-2b≤10
解析:令a+b=μ,a-b=v,则2≤μ≤4,1≤v≤2.由 解得
8.若 且 ,则 的值与 的大小关系是( )
A. B. C. D.
解析: ,
∵ ,∴ , ,因此 .故 .
2、填空题
1.对于实数a,b,c,有下列说法:其中正确的是________(填序号).
①若a>b,则ac<bc;②若ac2>bc2,则a>b;③若a<b<0,则a2>ab>b2;
解析:①中,c的正、负或是否为0未知,因而判断ac与bc的大小缺乏依据,故①不正确.
等式的性质与不等式的性质一
1.不等关系:不等关系常用不等式来表示,
2.两个实数大小的比较:
(1) ;(2) ;(3) 。
3.作差比较法步骤:(1)作差;(2)整理;(3)判断符号;(4)下结论。
4.重要不等式:一般地,
等式的性质与不等式的性质二
1.等式的性质
(1)性质1如果a=b,那么b=a;
(2)性质2如果a=b,b=c,那么a=c;
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