2.1 等式的性质与不等式的性质(答案版)

故 的最大值是27.
6.已知-3<b<a<-1，-2<c< -1，则(a-b)c2的取值范围为.
解析：∵-3<b<a<-1,
∴-3<b<-1,-3<a<-1,b<a,
∴1<-b<3,a-b>0,
∴-3+1<a-b<-1+3,即-2<a-b<2,
∴0<a-b<2.
∵-2<c<-1,∴1<c2<4,∴0×1<(a-b)c2<2×4,
A.ab>acB.c(b-a)>0
C.ac(a-c)<0D.cb2<ab2
答案:D.解析:因为c<b<a,且ac<0,所以c<0,a>0,
所以ab>ac,故结论A成立;
又因为b-a<0,所以c(b-a)>0,故结论B成立;
而a-c>0,ac<0,故ac(a-c)<0,故结论C成立;
当b=0时,cb2=ab2,当b≠0时,有cb2<ab2,故cb2<ab2不一定成立.故选D.
∴0<(a-b)c2<8.
三、解答题
1.若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证： ＞ .．
证明：∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.
两边同乘以 ，得 ＜ .
又e＜0，∴ ＞ .
2.已知2<a≤5,3≤b<10，求a－b， 的取值范围
答案：
解析：依题意可知 ，由于 ，由不等式的性质可知 .
4.已知 , ,则 的取值范围为__________.
解析： ，而 ，
根据不等式的性质可得 ，所以 的取值范围为 .
5.若实数x，y满足3≤xy2≤8,4≤ ≤9，则 的最大值是________．
答案：27
解析：由3≤xy2≤8,4≤ ≤9，可知x>0，y>0，且 ≤ ≤ ，16≤ ≤81，得2≤ ≤27，
答案： ， ， ，证明见解析
解析：由题知：原来糖水的浓度为 ，
加入 克糖后的浓度为 ， ， .
因为这杯糖水变甜了，所以 ，
整理得： ， ， .
因为 ，
又因为 ， ，所以 ， ， ，
所以 ，即证 .
因为4a－2b＝4· －2· ＝2μ＋2v－μ＋v＝μ＋3v，
而2≤μ≤4,3≤3v≤6，所以5≤μ＋3v≤10.所以5≤4a－2b≤10.
4.若实数 满足 求 的取值范围.
解析：令3m+4n=x(2m+3n)+y(m-n)=(2x+y)m+(3x-y)n,则 解得
因此3m+4n= (2m+3n)+ (m-n).
当a>0，b<0时， ＞ ，故④错误．
3．已知a>0，b>0，c>0，若 < < ，则有()
A．c<a<bB．b<c<a
C．a<b<cD．c<b<a
解析：由 < < 可得 ＋1< ＋1< ＋1，即 < < .
因为a>0，b>0，c>0，所以a＋b>b＋c>c＋a.由a＋b>b＋c，
可得a>c.由b＋c>c＋a，可得b>a.于是有c<a<b.
等式的性质与不等式的性质一
1.不等关系：不等关系常用不等式来表示，
2.两个实数大小的比较：
（1） ；（2） ；（3） 。
3.作差比较法步骤：(1)作差;(2)整理;(3)判断符号;(4)下结论。
4.重要不等式：一般地，
等式的性质与不等式的性质二
1.等式的性质
(1)性质1如果a＝b，那么b＝a；
(2)性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
答案：－8<a－b≤2.， < ≤ .
解析：∵3≤b<10，∴－10<－b≤－3.
又2<a≤5，∴－8<a－b≤2.又 ＜ ≤ ，∴ < ≤ .
3.已知1≤a－b≤2，且2≤a＋b≤4，求4a－2b的取值范围．
答案：5≤4a－2b≤10
解析：令a＋b＝μ，a－b＝v，则2≤μ≤4,1≤v≤2.由 解得
8.若 且 ,则 的值与 的大小关系是( )
A. B. C. D.
解析： ,
∵ ,∴ , ,因此 .故 .
2、填空题
1.对于实数a，b，c，有下列说法：其中正确的是________(填序号)．
①若a>b，则ac<bc；②若ac2>bc2，则a>b；③若a<b<0，则a2>ab>b2；
解析：①中，c的正、负或是否为0未知，因而判断ac与bc的大小缺乏依据，故①不正确．
(3)性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；
(4)性质4如果a＝b，那么ac＝bc；
(5)性质5如果a＝b，c≠0，那么 ＝ .
2.不等式的基本性质
(1)对称性：a＞b⇔b＜a.
(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c.
(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c.
(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc.
1.给出下列命题：其中正确的命题个数是()
①a>b⇒a2>b2；②a2>b2⇒a>b；③a>b⇒ <1；④a>b⇒ < .
A．0B．1
C．2D．3
解析：选A.由性质7可知，只有当a>b>0时，a2>b2才成立，故①②都错误；
对于③，只有当a>0且a>b时， <1才成立，故③错误；
2.若实数a,b,c满足c<b<a,且ac<0,则下列结论中不一定成立的是()
∴b<d.又a＋c<b，∴a<b.综上可得，d>b>a>c.
5.实数 满足 ， ，若 ，则()
A．T>0B．T<0
C．T=0D．T≥0
解析：因为 且 ，不妨设 ，则 ,
则 = =
因为x>0,z<0,所以xz<0.又-y2<0,所以-y2+xz<0.又xyz>0,所以T<0.故选B.
6.设 ，则下列不等式恒成立的是（）
4．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋c<b，则这四个小球由重到轻的排列顺序是()
A．d>b>a>cB．b>c>d>a
C．d>b>c>aD．c>a>d>b
解析：∵a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，∴a＋d＋(a＋b)>b＋c＋(c＋d)，即a>c.
A． B． C． D．
解析：因为 ，所以 当 时，A,B不成立，当 时，
C不成立，选D.
7.下列不等式中成立的是（）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
解析：A中， 时， ，故A不一定成立；B中， ，可得 ，
故B不一定成立；
C中，令 ，则 ，显然 ，故C不一定成立；
由不等式的性质知D正
(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.
(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.
(7)乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn＞0(n∈N，n≥2)
3.关于不等式性质的理解
两个同向不等式可以相加，但不可以相减，常用的结论：(1)a>b，ab>0⇒ < ；
(2)若a>b>0，m>0， <
1、选择题
由-1≤2m+3n≤2得 ≤ (2m+3n)≤ .
由-3<m-n≤1得- < (m-n)≤ ,
所以- - <3m+4n≤ + ,
即-2<3m+4n≤3.
5.（2020·全国高一课时练习）日常生活中，在一杯含有 克糖的 克糖水中，再加入 克糖，则这杯糖水变甜了.请根据这一事实提炼出一道不等式，并加以证明.
②中，由ac2>bc2，知c≠0，故c2>0，所以a>b成立，故②正确．
③中， ⇒a2>ab， ⇒ab>b2，所以a2>ab>b2，故③正确．故填②③.
2.已知实数 ，则 _____ ， _____ (用>，<填空).
解析：∵ ，∴ ，∴为_______________