平移与旋转专题复习

平移与旋转专题复习

1.图形的平移

（1）平移：在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，

这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。平移可以不是水平的。

①经过平移,对应线段,对应角分别相等, 对应点所连的线段平行且相等(或共线且相等)。

②平移变换不改变图形的形状、大小和方向

．．，平移前后的两个图形是全等形。

2.图形的旋转

（1）旋转：在平面内，把一个图形绕点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转，

点O叫做旋转中心，旋转的角叫做旋转角。

①对应点到旋转中心的距离相等。

②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。③旋转前、后的图形全等。

③旋转三要素：旋转的中心、方向、角度。

（3）中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重

合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，

这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。

（4）中心对称图形：把一个平面图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点就是它的对称中心。

①中心对称图形中对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。

②成中心对称的两个图形是全等图形。

3.图形的轴对称

(1)轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点，这条直

线叫做对称轴，两个图形关于直线对称也称轴对称。

(2)轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折,直线两侧的图形能够完全重合,这个图

形就是轴对称图形。对称轴:折痕所在的这条直线叫做对称轴。

①对应点的连线被对称轴垂直平分②成轴对称的两个图形全等。

4.位似图形：如果两个图形不仅是相似图形,且对应点连线相交于一点，对应线段相互平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，位似图形对应点连线的交点是位似中心。

①位似图形对应点连线的交点是位似中心；②两个图形是相似图形。

【知识点强化训练】

1.如图1，已知O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F，OD到点E，使OF=2OA，OE=2OD，连结EF，将△FOE绕点O逆时针旋转α角得到△F′OE′(如图2).连结AE′、BF′．

(1)探究AE′与BF′的数量关系，并给予证明；

(2)当α=30∘，AB=2时，求：①∠AE′O的度数；②BF′的长度。

2.将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90∘，∠A1=∠A=30∘．

(1)将图①中的△A1B1C顺时针旋转45∘得图②，点P1是A1C与

AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；

(2)在图②中，若AP1=2，则CQ等于多少？

3.如图，点P是等边△ABC外一点，PA=3，PB=4，PC=5

(1)将△APC绕点A逆时针旋转60∘得到△P1AC1，画出旋转后的图形；

(2)在(1)的图形中，求∠APB的度数。

4.如图1，在Rt△ABC中，∠A=90∘，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点。

(1)观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是______，位置关系是______；

(2)探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；

5.△ABC是等边三角形，以点C为旋转中心，将线段CA按顺时针方向旋转60∘得到线段CD，连接BD交AC于点O。(1)如图1．①求证：AC垂直平分BD；

①点M在BC延长线上，点N在线段CO上，且ND=NM，连接BN，判断△MND的形状，并加以证明；

(2)如图2，点M在BC的延长线上，点N在线段AO上，且ND=NM，补全图2，求证：NA=MC．

∠ABC．

6.在△ABC中，BA=BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE=1

2

(1)如图1，以点B为旋转中心，将△EBC按逆时针方向旋转，得到△E′BA(点C与点A重合，点E到点E′处)，连接DE′.求证：DE′=DE；

(2)如图2，若∠ABC=90∘，AD=4，EC=2，求DE

的长。

7.如图，四边形ABCD是矩形，将一块正方形纸板OEFG如图1摆放，它的顶点O与矩形ABCD的对角线交点重合，点A在正方形的边OG上，现将正方形绕点O逆时针旋转，当点B在OG边上时，停止旋转，在旋转过程中OG交AB于点M，OE交AD于点N．

(1)开始旋转前，即在图1中，连接NC．

①求证：NC=NA(M)；

②若图1中NA(M)=4，DN=2，请求出线段CD的长度．

(2)在图2(点B在OG上)中，请问DN、AN、CD这三条线段之间有什么数量关系？写出结论，并说明理由．

(3)试探究图3中AN、DN、AM、BM这四条线段之间有什么数量关系？写出结论，并说明理由．

8.如图①，在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，点E在AC上(且不与点A，C重合)，在△ABC的外部作△CED，使∠CED=90∘，DE=CE，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．

(1)请直接写出线段AF，AE的数量关系______；

(2)将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论。