第六章 投影变换_PPT幻灯片

垂直面。
思考：
X
若变换H面，需在面
内取什么位置直线？
正平线！
d b
A
a
c
D B
d b H
V1 C c1
a1d1
c
b1
X1
将一般位置平面变换成投影面垂直面
a'b'来自XV Hb
必须使平面内某一
m'
直线成为该投影面
c'
的垂一直次线 换面
c
c1
m
' b1
a
'
取平面内的投 影面平行线
X1方向如何确定
H V1 X1
选择新投影面的原则 换面法的关键是要注意新投影面的选择条件， 即必须使新投影面与某一原投影面保持垂直关 系, 同时又有利于解题。
点的变换规律是换面法的作图基础，必需熟练掌握。 四个基本问题是解题的基本作图方法。应熟练掌握。
换面法的四个基本问题：
1. 把一般位置直线变成投影面平行线 变换一次投影面
2. 把一般位置直线变成投影面垂直线 变换两次投影面
3. 把一般位置平面变成投影面垂直面 变换一次投影面
这时它的投影m1n1=MN,且
m1n1⊥c1d1。
A
M CN
d1 ●
a1≡b●1≡m1
.
●n1
c●1
D
B a1m1b1
c1
P1
n1
d1
圆半径=MN
例: 过C点作直线CD与AB相交成60º角。
空间及投影分析：AB与CD都平行于投影面时，其投影
的夹角才反映实大（60°），因此需将AB与C点所确定的 平面变换成投影面平行面。
例 求AB实长及对H面倾角
b'
空投间影分分析析
a'
一次换面 当AB如为何新确投定影X面1轴的平
行线的时方，向其投影直接
X
V H
bO
反映实长
b1
可更以换将哪一个a1般投位影置面？直线
a H X1 V1
a1'
实长
b1'变 从 以 面角面之换 而 及）而要X为 求 直间1，使求VH投 出 线的则A1XVBa1必平夹影直与（//须行与面线不角ab保VH平的变。1面留行实投倾bH 线长影，
P P
A
k1' k1l1//X2
V1X2H2
k2
如何将LAB变换K成投 影面垂B直线？
X2a1b1
/a/bl
k
P
把一般位置平面变换成投影面垂直面
空间分析： 两平面垂直需满足什么条件？
如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂 直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。
作图方法：
在平面内取一条 投影一面般平位行置线直，线经变一换 V 成次投换影面面后垂变直换线成，新需投经 几影平能次面面否变的变只换垂成进？直新行线投一，影次则面变该的换？ a
投影面垂直线
作图
b' 关键 新投影轴方向的确定
X
V H
a'
a H X1 V1 a1'
X1 //ab
b
a2 b1' b2 V1X2H2
X2 a1b1
V
a2b2
a'
H2
b'
X2
a1
V1 A
b1
a
B
X
X1
Hb
将一般位置直线 投影面平行线
将投影面平行线 投影面垂直线
例 求点K到直线AB之距离，并求垂足。 投影分析
将一般位置直线变换成投影面垂直线
X2
V a' a2b2 H2
a1'V1
A
b'
b1'
H
X
aB
b
X1
空间分析
1 、a将更不两将2P2投一换 能b一次A2影般一 实般换面位次 现X位a1面1垂置投P置1直直影直线线面线
２投、影将P面投平a影行B面线b平b行1X 线
投影将面投垂影直面线平行线
更换一次投影面
k'
b'
l'
a'
X
V H
kl b
空间分析
在过与什点ABK垂么作如直情直何相况线确交下定所求 线并新段求其投的实影投长轴影的直方接向反 映其实长? 将AB变A换成投影面平行线
a
将AB变L换成投影K 面垂直线
H X1 V1 a1'
X1//ab
l1'
b1'
a2b2
l2
aB如影b何面l 返 体Pk回 系原AK投BL//
X1 bm
a1 '
将一般位置平面变换成投影面平行面
例 求ABC实形
a'
b'
1'
空先将间平分面析变换成
平处面于再相何两投将对种影次平于位面面投置换垂变影时面直换面其面成
投影直投接影反面映平实行形面
X
V H
b
c' c2
投影面平b2 行面
c
c1'
实形
1
a
b1'
a2
X1 b1 HX1V1
a1'
V1
H2 X2
X2 // c1'b1'a1'
例：已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度 为MN， 且AB为水平线，求CD及MN的投影。 M N
作图：
n● c●
a ●m
XVH
a
●m
●
n
c
请注意各点的投 影如何返回？
求m点是难点。
●d b
d b
.
HX1V1
空间及投影分析：
当直线AB垂直于投影
面时，MN平行于投影面，
作 图： c●
几个解？
a
d b
两个解！
●a2
X
V H
a
●
c
d ●
b
.
b2●d●2 60°
.
a1●b1
D点的投影 如何返回？ ● c2
如何解？
思考：
HX1V1
●
c1
H2 V1 X2
解法相同！
已知点C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线AB上，
求等边三角形的投影。
例：求平面ABC和ABD的两面角。
空间及投影分析：
垂所时直求所在于。由得投该几两影投何交图影定线中面理之,，知间两它：的平们两夹面的面角的投角。交影为线积两垂聚平直成面于直同投线时影，与面直第时线三，间平则的面两夹垂平角直面为相交
d
b
a
a1 ●
d● 1
X
V H
c a
c●1
●b1
θ
.
dc
.
b
a2≡ b2 ● θ ●d2
c2●
3.4 本章内容总结
本章主要介绍了投影变换的一种常用方法 ——换面法
以达到简几化何解元题素过处程于的一目的般。 位置时怎么办？
几何元素不动 变换投影面位置
换面法
投影面不动 几何元素绕某轴旋转
旋转法
二、点的投影变换规律
a'
a' V
a1'
A
V1
X
V H
ax
ax1
ax X
a
H X1
点到H面之距
a H X1 V1
ax1 a1'
点的投影变换规律
a'
旧投影
X
V H
ax
不变投影
a
在新投影面体系中，点 的新投影和不变投影的连线 必须垂直于新投影轴。
ax1 H X1 V1
新投影 a1'
新投影到新轴之距 = 被更换的旧投影到旧投影轴 之距
新投影轴
点的二次换面
a'
注意:
必须依次更换投影面
X
V H
a
H X1
V1
a2
a1'
V1
H2 X2
三、 四个基本问题
将一般位置直线变换成投影面平行线
第六章 投影变换
§6-1 问题的提出 §6-2 换面法
基本概念 点的投影变换规律 四个基本作图问题
§6-2 应用举例
交点 交线
实形
§6-1问题的提出
距离实长
定位问题
度量问题
几何元素相对投影面处于某种特殊位 置时，其投影往往能直接反映交点、交线 的位置或图形实形、线段实长等。
投影变换的目的
改变几何元素与投影面的相对位置， 借助于改变后所得投影 —— 辅助投影，