基于样条曲线驱动的自由变形方法

2.2 线性约束力 f
设Kt是目标线上的关键点， D(Kt)是Kt在父面S上沿着法线Nt的投影。 Qij是父面的控制点， 并且Qij是包围投影点P的向量之一（如下图所示）。那么f(Kt,P)表示Kt点对父面的作用力[5]， 具体如公式2。f(Kt,P)会对父面相应的曲线产生作用，致使父面逐渐的向目标线靠近。

基于样条曲线驱动的自由变形方法１
王海涛，孙立镌，吴秀英
哈尔滨理工大学，哈尔滨 （150080）
E-mail：wht1009@
摘 要：近年来为了克服直接操作自由曲面的困难，提出了几种自由变形方法。尽管这些方 法改善了设计的流程，但是这些方法均缺乏交互性。本文结合简单的 3D 绘制技术和外力约 束方法提出了一种基于样条曲线驱动的自由变形方法。 用户可以通过设置边界约束曲线控制 变形的范围，通过设置目标样条曲线来设置变形的形状。同时引进了 3D 感应器和拖拽器动 态的操纵目标曲线，进而达到动态的调整变形形状的目的。最后，用实验原型系统实现了本 算法。 关键词：自由变形，样条曲线驱动，外力约束，感应器
3. 变形过程
3.1 变形算法描述
算法描述（伪代码如下所示） 起始状态： E (Qij ) = 1; A(∆ω = 0, ∆β = 0) ; 1. 在要变形的模型上确定父曲面S IF(局部变形) { 用户绘制一个边界约束曲线 并且计算每个向量的E(Qij)的值 } 2. 绘制目标曲线 3. IF(目标线过约束) GOTO 5 IF（在约束下）OR（良好约束）
-3-

(1) 系统预测目标曲线的移动趋势并且确定m (2) Swith(曲线) Case（U 方向） 根据力对称分布曲线在V方向上从定位向量 Case（V） 根据力对称分布曲线在U方向上从定位向量 （3）系统进一步优化缓冲区间，改善变形曲面的边界特征 4. 系统求解出变形后的曲面 IF（检测到目标线发生变化） { 更新 A(∆ω , ∆β ) 更新 f ( K t , P ) Goto 3 } Else goto 5 5 end
3.2 计算约束条件 m
因为绘制目标曲线的过程只是近似的确定变形形状，所以能够捕获目标曲线的形状特 征是非常重要的。文献[7]提出了一种自适应的提前预测目标曲线移动方向的一种机制，根 据目标曲线在 U 和 V 两个方向上的偏微分确定约束力的作用方向[7]。
图4 力约束参数m的计算模型
θ1 =
∂H ∂H ; θ2 = ; ∂u ∂v θ1 ≥ θ 2 ⎧C − Cs m=⎨ e θ1 ≤ θ 2 ⎩ Re − Rs
MinRow N p r = Rs
{δF (Cr (u ))}
MinRow r = Rs
=
∑ ∑a
i =1 r = Re i =1
i
f ( K s , P)(r − MinRow) | Rs − MinRow | f ( K e , P)( MaxRow − r ) | Re − MaxRow |
(9)
λ
f ( K t , P) = λ
⎧λD(K t ) E (Qij ) D( K t ) = ⎨ ⎩ 0
0 ≤ λ ≤1
(8)
2） 缓冲区间 所谓的缓冲区间就是目标线的两个端点到父面边界的距离[7]。假设 MinRow，MaxRow， MinCol 和 MaxCol 是边界曲线的四个约束边界，如图 7 所示。那么缓冲区间就可以通过 |Re-MaxRow|和|RS-MinRow|来计算。力 f(Ks,P)和 f(Ke,P)就可以在这两个缓冲区间逐渐的减 小到 0 如公式 9 和 10 所示，这样能改善变形的效果。
2.4 变形后形状
为了能够准确的描述约束力对曲面的影响，设DL为位移函数，表示父面受力f(Kt,P)的影 响后各个向量的位移[6]。称m为父面上受力f(Kt,P)影响的曲线的数量。Nt表示每条受作用曲 线上的向量数，则有：
DL (u, v) = ∑ A(∆ω , ∆β ) • δF (C (u )) = ∑ A(∆ω , ∆β ) • f ( K t , P)
Row {δF (Cr (u ))}rM=ax = ∑ ∑ ai R
e
MaxRow N p
(10)
图5 缓冲区示意图
-5-

3.4 曲线光滑函数
因为应用样条曲线线驱动的曲面变形过程可能会出现如图 6 所示的尖锐曲线的形式。 为 了解决这样的问题，文献[8]中提出了曲线的光滑函数 γ 来改善约束力影响的曲线的对称性 和连续性，从而提高曲面变形的视觉效果。另外次方法不需要额外的增加曲面片，同时也会 维持曲面的拓扑一致性。
Re , Rs , Ce , C s ∈ Int
(7)
首先求解两个偏微分方程 θ1 和 θ2，如图 4 中所示我们可以非常容易的求解 Ks 和 Ke 在 父面 S 上的投影 Ps 和 Pe，之后求解在 V 方向上的跨度 Cs 和 Ce 以及 U 方向上的跨度 Rs 和 R e。 当 θ1>=θ2 时 V 方向上的曲线将会受到约束力的影响，因此目标线上的关键点数量（或 者力 f 所作用的曲线条数）m 就由 Ce 和 Cs 决定。反之 m 就通过 Re 和 Rs 确定，U 方向上的
2. 基于样条曲线的约束模型
2.1 边界约束线和目标线
设C:φ(µ,ν)=0是一个在3维空间中的封闭曲线，用来确定变形的区域，称C为边界约束曲 线 。E(Qij)表示父曲面S上的每个向量Qij的响应因子，如果Qij在边界约束线以内则E(Qij)=1 表示Qij可以被约束力影响。反之E(Qij)=0，表是Qij不受力的约束。在初始的过程中所有的E 都为1，表示当没有设置边界约束线时，整个曲面都会受到变形过程的影响，如公式1所示。
图3 力密度模型
其中xa，xb，ya和yb 是向量P到相邻的四个向量的距离如图3所示，且α0=1。作用力f对向 量Qij的影响就可以用F(Qij)来表示如公式4，5。同理当目标线上关键点Kt的投影点P与Qij重合 时α(Qij)= α0=1。 因为对于每一个向量Qij控制这U和V两个方向的曲线，因此就需要一种能够判断到底那 一条曲线将受到约束力的影响的机制。 本文采用了提前预测目标线的移动趋势的方法， 这种 方法将在后续章节做详细的介绍。我们暂时先假设δF(C(u))表示U方向上的曲线所受力的影 响，Np表示这条曲线上的向量的数量。
-4-

曲线将会受到约束力的影响。这样就确定了目标曲线上的关键点和力的影响方向。
3.3 曲面的边界特征的改善
在进行曲面局部变形的过程中，我们只针对边界曲线内部的目标曲线进行操。然而，这 种方法不能准确的对边界约束曲线周围没有目标曲线约束的曲面进行有效的变形。 另外， 目 标曲线也可能出现过约束现象或者是波动。 为了避免以上这些情况的发生， 作者提出了两种 改进方法。 第一，对约束进行分类： 过约束：目标线完全在边界曲线外部。 部分约束：目标线部分在边界曲线内部。 完全约束：目标线完全在边界曲线内部。 当处于过约束的情况时，父面不受约束力的影响不变形。相反，当处于完全约束状态时，可 以应用公式 7 求解约束条件 m。 当处于在部分约束的状态时， 可以先求解目标线和边界曲线 的交点，然后再求解在完全约束的那部分目标线的约束条件 m。 第二，引进两个因素来求解边界区域的波动情况。 1） 近似比例 首先给出一个比例因子， 具体如 8 所示。 通过它用户可以交互的调整目标曲线的逼近程 度。
α (Qij ) = α 0 xb yb
0 ≤ xa xb ya yb ≤ 1
Np
1
(3) ((Qij ) f ( K t , P) = α (Qij ) E (Qij ) D( K t )
δF (C (u )) = ∑ F (Qij )
-2-

[5]
⎧1 ϕ (ui , v j ) ≤ 0 E(Qij ) = ⎨ ⎩0 ϕ (ui , v j ) ≥ 0
(1)
１
本课题得到国家自然科学基金资助（60173055） 。 -1-

图1 目标线和边界约束线模型
目标曲线是用来确定变形后的形状，用T: ψ(µ,ν)=0来定义。目标线上能够控制父面上向 量的点叫做关键点， 目标线通过其上的关键点产生约束力， 这种力可以改变父面上相应的向 量。下面就简要的介绍如何产生约束力以及力如何对父面产生影响的。
图6 左图为没有添加光滑因子时的变形图，右图为添加光滑因子后的变形图
3.5 动态 3D 感应器
为了提高样条驱动变形的灵活性，我们引进能够动态的确定方向和位移约束的 3D 感应器[9]和推拽器[10]。 如前所述， 在我们的系统中曲线被绘制到一系列分离的平面上的， 当我们为每一个 平面添加一个感应器时，无论什么时候，曲线发生变化，相应的曲面也会进行调整。 所有的分离的平面都是通过三维的拖拽器控制， 可以通过拖拽器进行抓起、 拖拽和 旋转等操作。 进而对曲线进行操作。 也就是用户通过拖拽器调整每个分离平面的位置和 方向。无论什么时候拖拽器移动，相应的 3D 感应器就会根据拖拽器的位置重新定位目 标样条曲线的关键点和约束力， 进而会更新变形曲面。 并且我们操作平面上的拖拽器时， 整个平面也会随之而该面，并且变化的幅度与其相同。
⎧D( K t ) f ( K t , P) = E (Qij )D(K t ) = ⎨ ⎩ 0
(2)
图2 关键点约束力模型
2.3 力密度 α
在我们的模型中， α表示在父面S上力分布情况也就是力密度。 如果关键点Kt在父面上的投影 点P位于一个面片之内，那么力影响四个相邻向量。每个向量的力密度和力大小如下所示。
1. 引言
在自由曲面造型、计算机动画等领域,空间变形是一类重要的形状编辑方法。 在众多空 间变形方法中,Sederberg和Parry提出的自由变形方法(FFD)[1]最为实用。后来许多的研究者又 不断的丰富了这种变形方法，Coquillart 在已有的FFD方法的基础上，提出了扩展的自由变 形方法(EFFD)[2]。这种方法主要是把欲变形的对象嵌入到一个张量体中，然后通过操作张量 体的样条控制点来间接的对曲面进行变形操作。 但是直接操作样条曲线并不直观， 用户通常 不能准确的控制变形的幅度等。 鉴于此， 一些研究人员又提出了基于物理操作方法的变形技 术，并且大大的改善了变形操作的直观性。主要的代表是Lazarus et al提出的中间轴变形方 法[3]，目的就是要更好的操作变形过程。但是这种方法却限制了控制形状的自由度。 本文说所提出的变形技术， 采用了物理力学的原理建立约束力方程， 从而求解曲面在力 的作用下的变形形状[4]。而且从曲面的创建到曲面的变形整个过程都可以交互、直观的控制 变形形状。 这种算法能自动获取目标线上的关键点， 并且能根据里的变化来调整父曲面各个 向量的位置。此外，为了改善曲面变化的连续型和对称性，又提出了一系列线性的响应函 数。