第八章解析几何总复习

第二节
圆的方程与直线、 圆的位置关系
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【2015·四川省高职单招】
已知直线l：3x－4y+m=0与圆C:（（x－1）2+（y+2）2=9相切，则m等于（）.
A.- 4
B.-26或4
C.4
D.-4或26
【专家详解】圆C:（x－1）2+（y+2）2=9的圆心为（1,－2），根据直线与圆相切 可得|3×1－4×（－2）+m| =3.解得m=－26或4.故选B.
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三、直线与圆的位置关系
（1）直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离. （2）若直线y=kx+m与圆（x－a）2+（y－b）2=r2相交于A（x1,y1），B （x2,y2）两点，则直线被圆截得的弦长为|AB|= 1+k2|x1－x2|. （3）以圆x2+y2=r2上一点Px0,y0为切点的切线方程为x0x+y0y=r2.
【专家详解】直线y= 3x+1的斜率为3，所以其倾斜角为π3.故选C.
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一、两点间的距离公式及中点坐标公式
1.两点间的距离公式 已知点A（x1,y1,）B（x2,y2）,AB= （x1－x2）2+（y1－y2）2.特别地，当这两点都在x轴 （或与x轴平行的直线）上，则AB=|x1－x2|；当这两点都在y轴（或与y轴平行的直线）上， 则AB=|y1－y2|. 2.中点坐标公式 线段AB中，两个端点坐标分别为A（x1,y1）,B（x2,y2）,设AB的中点C的坐标为（x0,y0）,则 x0=x1+2 x2,y0=y1+2 y2.
A.±1
B.0
C.1
D.-1
4.过点A（2，1），且与直线x+y=1垂直的直线的方程为().
A.x+y-3=0 B.x-y-1=0 C.x+y-1=0 D.x-y-3=0
5.若点P（x,y）在直线x+y-4=0上，O为原点，则OP的最小值是（）.
A. 10 B.2 2 C. 6
D. 2.
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二、填空题
强化训练
一、选择题
1.若点（4,a）到直线4x-3y-1=0的距离等于3，则a的值为().
A.0
Hale Waihona Puke BaiduB.10
C.0或10
D.不存在
2.经过A（-2 3，2），B（- 3，-1）两点的直线的倾斜角α为().
A.π3
B.−3π
C.76π
D.23π
强化训练
一、选择题
3.若直线l1:x+ay=2a+2与直线l2:ax+y=a+1平行，则a的值为().
典例解析
【例4】求满足下列条件的直线方程：
（1）直线经过点A（-1，4），倾斜角为135°; (2)直线倾斜角的余弦值为45，横截距为-4.
（3）过点A（1,0）和B（2,3）.
典例解析
【例4】求满足下列条件的直线方程：
【解析】（1）由题意可得，k=tan 135°=-1,所以直线方程为y-4=-(x+1)， 即x+y-3=0. （2）设所求直线方程为y=kx+b,因为cos α=45,α∈［0°,180°）,所以sin α= 1−cos2α=35, 所以tan α=csoins αα=34,所以k=34.因为横截距为-4，所以直线过点（-4，0），将（-4，0） 代入y=34x+b，得b=3,所以直线方程为y=34x+3. （3）由题意可得直线的两点式方程为xy－－10 =32－－01，化为一般式可得3x－y－3=0.
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三、直线在坐标轴上的截距
在平面直角坐标系中，直线与x轴交点的横坐标称为直线在x轴上的 截距（横截距），用a表示，直线与y轴交点的纵坐标称为直线在y 轴上的截距（纵截距），用b表示.
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四、直线的几种形式
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五、两条直线的位置关系
(1)当两条直线都不与坐标轴平行时，参见下表.
(2)当直线平行于坐标轴时，可结合图形思考.
典例解析
【例5】直线l经过原点，倾斜角比直线y=2x－1的 倾斜角大π4，求直线的方程：
【解析】设直线y=2x－1的倾斜角为α，则直线l的倾斜角为α+π4.由已知tan α=2, 则tan（α+π4）=1t－antaαn+αtatannπ4π4=－3，故所求直线方程为y=－3x.
典例解析
【例5】已知两直线l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my-1=0.试确定m,n的值，使
A.x2+（y－2）2=2 B.x2+（y－2）2=10 C.（x－2）2+y2=2 D.（x－2）2+y2=10 【专家详解】因为圆C的圆心在x轴上，故设方程为（x－a）2+y2=r2.
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【2019·四川省高职单招】已知直线l1:x－y+2=0与直线l2平行， 且直线l2过点（0，1）.
在此处键入公式。（1）求直线l2的方程； （2）求圆心在直线y=2x上，半径为2且与直线l2相切的圆的标准方程. 【专家详解】 （1）由l1∥l2,可设直线l2的方程为x－y+c=0.将点（0，1）代入x－y+c=0可得c=1.故直线l2 的方程为x－y+1=0.
典例解析
【例3】（1）已知直线的倾斜角α的值，求直线的斜率.
①α=π4；②α=23π. （2）已知直线l过点A(3,-2)，B(-5,6)，求直线l的斜率、倾斜角. （3）直线倾斜角的正弦值为53
典例解析
【解析】 （1）①k=tanπ4=1；
②k=tan23π=tan（π－π3）=－tanπ3=－ 3. （2）直线l的斜率为k=6－－（5－－23）=－1， 由tan α=－1，α∈［0°,180°），解得α=34π，即直线倾斜角为34π. （3）因为sin α=35,α∈［0°,180°）,解得cos α=±1-sin2α=±45. 所以k＝tan α=csoins αα=±34.
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六、两条直线的交点
对于直线l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0，它们的交点通过方程组
（1）方程组有唯一解 ⇔ l1,l2相交，交点坐标就是方程组的解. （2）方程组无解⇔ l1∥l2. （3）方程组有无数解⇔ l1,l2重合..
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七、距离公式
1.点到直线的距离公式
第一节
直线方程与两直线的位置关系
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【2017·四川省高职单招】
直线y=x-1的倾斜角是（）.
A.34π
B.3π
C.π4
D.6π
【专家详解】直线y=x-1的斜率为1，故其倾斜角为π4.故选C..
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【2018·四川省高职单招】
直线y= 3x+1的倾斜角是（）.
A.π6
B.π4
C.π3
D.34π
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【2019·四川省高职单招】已知直线l1:x－y+2=0与直线l2平行， 且直线l2过点（0，1）.
（2）因为圆心在直线y=2x上，所以设圆心为（a，2a），由已知得半径为 2， 所以所求圆的标准方程为（x－a）2+（y－2a）2=2.
又因为圆与直线直线l2相切，则由点到直线的距离公式得d=r=
6.设A（1，0），B（7，-2），则线段AB的中点坐标为
.
7.过点（1，-1），且与直线3x-2y+1=0垂直的直线的方程为
.
8.两平行直线2x+3y-5=0与2x+3y-10=0之间的距离是
.
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三、解答题
9.已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),求: (1)AC边所在直线的方程； (2)BC边上中线所在直线的方程. 10.已知直线l经过点P(-5,-4),且与两坐标轴围成的三角形的面积为5, 求直线l的方程,并将直线的方程化为一般式.
2.直线的斜率 （1）若直线的倾斜角为α (α≠90°)，则斜率k=tan α;当倾斜角α=90°时， k不存在，当α=0°时，k=0；当0°＜α＜90°时，k>0；当90°<α<180°时， k<0.故k的取值范围是（-∞，+∞）. (2)若P1,P2为直线上的两点，且P1（x1,y1）,P2(x2,y2)， 则k=yx22－−xy11（x1≠x2）.
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二、直线的倾斜角和斜率
1.直线的倾斜角 设直线l与x轴相交于点P，A是x轴上位于点P右方的一点，B是位于上半平 面的l上的一点，则∠APB称为直线l对x轴的倾斜角(如下图).当直线l与x轴 平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°，倾斜角的取值范围是 0°≤α<180°.
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二、直线的倾斜角和斜率
32+（－4）2
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【2017·四川省高职单招】
设直线x+y-2=0与圆x2+y2=3相交于A,B两点，则|AB|=
.
【专家详解】圆x2+y2=3的圆心为（0,0），圆心到直线x+y-2=0的距离 d=|－2|=2.所以|AB|= r2－d2 =1.
2
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【2018·四川省高职单招】过点A(-1,1)和B(1,3). 且圆心在x轴上的圆的方程是（）.
考纲要求
6.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程. 7.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系； 能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系. 8.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 9.掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质. 10.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质. 11.了解圆锥曲线的简单应用.
【解析】设AC边上的中点D坐标为（x0,y0）.根据中点坐标公式解得 x0=2+24=3,y0= 2+（2－2）=0,故D点坐标为3,0.
再根据两点间距离公式，可得BD= （3－0）2+（0−1）2 =10.
典例解析
【例2】下列说法中，正确的是（）.
A.平行于x轴的直线的倾斜角是0°或180° B.两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等 C.任意一条直线都有倾斜角和斜率 D.直线斜率的范围是（-∞，+∞） 【解析】对于选项A,平行于x轴的直线的倾斜角为0°，所以选项A错误，如果两 条直线的倾斜角都是90°，但斜率不存在，所以选项B、C错误；只有D正确.
命题分析
平面解析几何是近几年考题中的重点内容，既有选择题，也有解答题. 主要从以下几个方面进行考查： 一是考查两直线的位置关系：重合、平行、垂直的条件及交点坐标等； 二是考查两点间的距离、中点坐标、点到直线的距离的求解； 三是考查直线与圆的位置关系，求切线方程和弦长； 四是考查椭圆、双曲线、抛物线的几何定义及其几何性质.
|a－2a+1| = 2. 12+（－1）2
解得a=－1或a=3.
所以圆的标准方程为（x+1）2+（y+2）2=2或（x－3）2+（y－6）2=2.
知识聚焦
一、圆的方程
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二、点与圆的位置关系
判断点与圆的位置关系的常见方法有如下两种： （1）几何法：比较点到圆心的距离d和圆的半径r的大小关系. d<r⇔点在圆内； d=r⇔点在圆上； d>r⇔点在圆外. （2）根据点的坐标（x0,y0）与圆的方程（x－a）2+（y－b）2=r2的关系判断： （x0－a）2+（y0－b）2＞r2⇔点在圆外； （x0－a）2+（y0－b）2=r2⇔点在圆上； （x0－a）2+（y0－b）2＜r2⇔点在圆内.
（1）l1与l2相交于点P（m,-1）; (2)l1∥l2; (3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为-1.
【解析】（1）因为两直线都经过点P（m,-1）,
所以有 （2）因为l1∥l2,所以有m2=m8 ≠−n1，解得
（3）因为l1⊥l2，所以m·2+8·m=0,即m=0.又因为直线l1在y轴上的截距为-1，所以n=8.
第八章 解 析 几 何
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上篇 基础知识
目录
1. 第一节
直线方程与两直线的位置关系
2. 第二节
圆的方程与直线、圆的位置关系
3. 第三节 椭圆
4. 第二节 双曲线
5. 第二节 抛物线
考纲要求
1.掌握两点间的距离公式及中点坐标公式，会求两点间的距离和中点坐标； 能根据已知点的坐标，利用中点坐标公式求解相关问题. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式. 3.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. 4.掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系. 5.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.
点P（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=|Ax0A+2+ByB02+. C| 2.平行线间的距离公式 若两条平行直线的方程分别为l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0(C1≠C2)，则l1与l2的
距离为d=
|C1−C2| A2+B2.
(A2+B2≠0).
典例解析
【例1】在△ABC中，A（2,2）,B（0,1）,C（4,－2）, 求AC边上的中线BD的长度.