立体几何三大公理应用超级全面

立体几何三大公理的应用公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。

公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

1.如图，在正方体ABCD−A′B′C′D′中，P是B′D′的中点，对角线A′C∩平面AB′D′=Q.求证：A，Q，P三点共线．2.如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A的中点，求证：(1)E，F，D1，C四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．3.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线．4.如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．5.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为C1D1，B1C1的中点．(1)求证：E,F,B,D四点共面；(2)若AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q，AC1与平面EFBD交于点R，求证：P,Q,R三点共线．6.在正方体AC1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q，如图．(1)若A1C交平面EFBD于点R，则P，Q，R三点共线．(2)证明DE、BF、CC1三线共点．7.如图，空间四边形ABCD中，H、G分别是AD、CD的中点，E、F分别在AB、BC上，且CFFB =AEEB=13．(1)求证：E、F、G、H四点共面；(2)求证：FG、HE、BD三条直线交于一点．8.已知空间四边形ABCD中，E,H分别是AB,AD的中点，F,G分别是BC,CD上的点，且CFCB =CGCD=23．求证：(1)E,F,G,H四点共面；(2)三条直线EF,GH,AC交于一点．9.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG︰GC=DH︰HC=1︰2．(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)求证：直线EG、FH、AC交于一点．10.正三棱柱ABC−A1B1C1的棱长都为2，D、E、F分别是AB、A1C1、BC的中点，(1)证明：A1、C1、D、F四点共面；(2)求异面直线B1C与DE所成角余弦值；(3)证明：A1D、C1F、B1B三线共点．11.如图，已知平面α，β，且α∩β=l，设梯形ABCD中，AD//BC，且AB⊂α，CD⊂β，求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．12.如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC=//12AD，BE=//12FA，G，H分别为FA，FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？13.如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，AB=PA=1，AD=√3，E，F分别为棱PD，PA的中点．(1)求证：B、C、E、F四点共面；(2)求异面直线PB与AE所成的角．能力提升一、共线问题例1.若ΔABC所在的平面和ΔA1B1C1所在平面相交，并且直线AA1、BB1、CC1相交于一点O，求证：(1)AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别在同一平面内；(2)如果AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别相交，那么交点在同一直线上(如图).例2.点P、Q、R分别在三棱锥A-BCD的三条侧棱上，且PQ∩BC＝X,QR∩CD＝Z,PR∩BD＝Y.求证：X、Y、Z三点共线.例3.已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线。

二、共面问题例4.直线m、n分别和平行直线a、b、c都相交，交点为A、B、C、D、E、F，如图，求证：直线a、b、c、m、n共面.例5.证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内.已知：如图，直线l1，l2，l3，l4两两相交，且不共点.求证：直线l1，l2，l3，l4在同一平面内例6.已知：A1、B1、C1和A2、B2、C2分别是两条异面直线l1和l2上的任意三点，M、N、R、T分别是A1A2、B1A2、B1B2、C1C2的中点.求证：M、N、R、T四点共面.例7. 在空间四边形ABCD 中，M 、N 、P 、Q 分别是四边上的点，且满足MB AM ＝NB CN ＝QD AQ ＝PDCP ＝k. (1)求证：M 、N 、P 、Q 共面.(2)当对角线AC ＝a,BD ＝b ，且MNPQ 是正方形时，求AC 、BD 所成的角及k 的值(用a,b 表示)答案解析1、(1)证明：∵AA 1∩BB 1＝O,∴AA 1、BB 1确定平面BAO ，∵A 、A 1、B 、B 1都在平面ABO 内，∴AB ⊂平面ABO ；A 1B 1⊂平面ABO.同理可证，BC 和B 1C 1、AC 和A 1C 1分别在同一平面内.(2)分析：欲证两直线的交点在一条直线上，可根据公理2，证明这两条直线分别在两个相交平面内，那么，它们的交点就在这两个平面的交线上.2证明：如图，设AB ∩A 1B 1＝P ；AC ∩A 1C 1＝R ；∴ 面ABC ∩面A 1B 1C 1＝PR.∵ BC ⊂面ABC ；B 1C 1⊂面A 1B 1C 1，且 BC ∩B 1C 1＝Q ∴ Q ∈PR,即 P 、R 、Q 在同一直线上.3解析：∵A 、B 、C 是不在同一直线上的三点∴过A 、B 、C 有一个平面β又βα⊂=⋂AB P AB 且,.,,l p l P ∈=⋂∴则设内内又在既在点βααβ .,,,:三点共线同理可证R Q P l R l Q ∴∈∈4解析： 证明若干条直线共面的方法有两类：一是先确定一个平面，证明其余的直线在这个平面里；二是分别确定几个平面，然后证明这些平面重合.证明 ∵a ∥b,∴过a 、b 可以确定一个平面α.∵A ∈a,a ⊂α，∴A ∈α,同理B ∈a.又∵A ∈m ，B ∈m,∴m ⊂α.同理可证n ⊂α.∵b ∥c,∴过b,c 可以确定平面β，同理可证m ⊂β.∵平面α、β都经过相交直线b 、m,∴平面α和平面β重合，即直线a 、b 、c 、m 、n 共面.5、解析：证明几条直线共面的依据是公理3及推论和公理1.先证某两线确定平面α，然后证其它直线也在α内.证明：图①中，l 1∩l 2＝P ，∴ l 1,l 2确定平面α.又 l 1∩l 3＝A,l 2∩l 3＝C, ∴ C,A ∈α.故 l 3⊂α.同理 l 4⊂α.∴ l 1,l 2,l 3,l 4共面.图②中，l 1,l 2,l 3,l 4的位置关系，同理可证l 1,l 2,l 3,l 4共面.所以结论成立.6、证明 如图，连结MN 、NR ，则MN ∥l 1,NR ∥l 2，且M 、N 、R 不在同一直线上(否则，根据三线平行公理，知l 1∥l 2与条件矛盾).∴ MN 、NR 可确定平面β，连结B 1C 2，取其中点S.连RS 、ST ，则RS ∥l 2，又RN ∥l 2，∴ N 、R 、S 三点共线.即有S ∈β，又ST ∥l 1，MN ∥l 1，∴MN ∥ST ，又S ∈β，∴ ST ⊂β.∴ M 、N 、R 、T 四点共面.7解析：(1)∵ MB AM ＝QDAQ ＝k ∴ MQ ∥BD ，且MB AM AM +＝1+k k ∴ BDMQ ＝AB AM ＝1+k k ∴ MQ ＝1+k k BD 又 NB CN ＝PDCP ＝k ∴ PN ∥BD ，且NB CN CN +＝1+k k ∴ BD NP ＝CB CN ＝1+k k 从而NP ＝1+k k BD ∴ MQ ∥NP ，MQ ，NP 共面，从而M 、N 、P 、Q 四点共面.(2)∵ MA BM ＝k1，NC BN ＝k 1 ∴ MA BM ＝NC BN ＝k 1,MA BM BM +＝11+k ∴ MN ∥AC ，又NP ∥BD.∴ MN 与NP 所成的角等于AC 与BD 所成的角.∵ MNPQ 是正方形，∴ ∠MNP ＝90°∴ AC 与BD 所成的角为90°，又AC ＝a ，BD ＝b ，AC MN ＝BA BM ＝11+k ∴ MN ＝11+k a 又 MQ ＝11+k b,且MQ ＝MN ，1+k k b ＝11+k a ，即k ＝ba .答案和解析1.【答案】证明：A′B′C′D′为正方形，P 为B′D′的中点，所以平面AA′C′C ∩平面AB′D′=AP ，A′C ∩平面AB′D′=Q ，所以Q 即在平面AB′D′上，也在平面AA′C′C 上，则Q 在平面AB′D′与平面AA′C′C 的交线上，所以Q 在AP 上，所以A ，Q ，P 三点共线．【解析】先证明AP 是平面A′ACC′与平面AB′D′的交线，再证明Q 是上述两平面的公共点，则Q ∈AP ，所以A ，Q ，P 三点共线．2.【答案】证明：(1)如图，分别连接EF ，A 1B ，D 1C .∵E ，F 分别是AB 和AA 1的中点，∴EF = //12A 1B.又A 1D 1= //B 1C 1= //BC ， ∴四边形A 1D 1CB 为平行四边形．∴A 1B//CD 1，∴EF//CD 1．∴EF与CD1确定一个平面，∴E，F，D1，C四点共面．CD1，∴直线D1F和CE必相交．(2)∵EF=//12设D1F∩CE=P，∵D1F⊂平面AA1D1D，P∈D1F，∴P∈平面AA1D1D.又CE⊂平面ABCD，P∈EC，∴P∈平面ABCD．∴P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点．又平面ABCD∩平面AA1D1D=AD，∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三线共点．【解析】【分析】本题主要考查平面的基本性质，解答本题的关键是知道直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，属于中档题．(1)分别连接EF，A1B，D1C.E，F分别是AB和AA1的中点，EF=//1A1B.又2A1D1=//B1C1=//BC，四边形A1D1CB为平行四边形．证明E，F，D1，C四点共面．CD1，直线D1F和CE必相交．设D1F∩CE=P，D1F⊂平面AA1D1D，证明(2)EF=//12CE，D1F，DA三线共点．3.【答案】证明：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，ABC1D1是矩形，BD1在矩形所在平面α内，A1BCD1是矩形，BD1在矩形的所在平面β内，∴BD1是平面α与平面β相交直线(平面α与平面α的交集)∵A1C与平面ABC1D1交于点Q，(直线与平面的交集)∴Q是矩形A1BCD1对角线A1C的中点，矩形A1BCD1另一对角线BD1，必过Q点．(同矩形的二对角线只有一个交点且平分二对角线)∴B、Q、D1三点共线．【解析】本题考查三点共线的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．ABC1D1是矩形，A1BCD1是矩形，由已知条件得Q是矩形A1BCD1对角线A1C的中点，矩形A1BCD1另一对角线BD1，必过Q点，由此能证明B、Q、D1三点共线．4.【答案】证明：(1)如图，连结EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF//BA1．又A1B//D1C，∴EF//CD1，∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF//CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，如图所示．则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD．同理P∈平面ADD1A1．又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．【解析】本题考查平面的基本性质和应用．(1)连结EF，CD1，A1B，推导出A1B//D1C，从而EF//CD1，由此能证明E，C，D1，F四点共面;(2)推导出CE与D1F必相交，设交点为P，推导出P是平面ABCD与平面ADD1A1的公共点，由此能证明CE，D1F，DA三线共点．5.【答案】证明：(1)连接B1D1，如图：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为C1D1，B1C1的中点，∵EF是△B1C1D1的中位线，∴EF//B1D1，又∵为B1D1//BD，∴EF//BD，∴B，D，E，F四点共面．(2)在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q，∴PQ是平面AA1C1C与平面BDEF的交线，又因为AC1交平面BDEF于点R，∴R是平面AA1C1C与平面BDEF的一个公共点．因为两平面相交的所有公共点都在这两个平面的交线上，∴P，Q，R三点共线．【解析】本题考查四点共面的证明及三点共线的证明，关键是利用平面的基本性质及正方体的特征，属于中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．(1)由中位线及正方体的特征，可得EF//BD，由此能证明D、B、F、E共面；(2)首先可知PQ是平面AA1C1C与平面BDEF的交线，然后通过R是平面AA1C1C与平面BDEF的一个公共点，即可得证．6.【答案】证明：(1)正方体ABCD−A1B1C1D1中，设A1ACC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β，∵Q∈A1C1，∴Q∈α，又Q∈EF，∴Q∈β，则Q是α与β的公共点，同理，P点也是α和β的公共点，∴α∩β=PQ，又A1C∩β=R，∴R∈A1C，∴R∈α且R∈β，则R∈PQ，故P、Q、R三点共线．(2)∵EF//BD，且EF≠BD，∴DE与BF一定相交，设交点为M，∵BF⊂平面BCC1B1，DE⊂平面DCC1D1，且平面BCC1B1∩平面DCC1D1=CC1，∴M∈CC1，∴DE，BF，CC1三线共点．【解析】本题主要考查了三点共线，三线共点的证明，考查点与面，点与线之间的位置关系，属于中档题．(1)由题设A1ACC1确定的平面为α，平面BDEF为β，可得α∩β=PQ，又R∈α且R∈β，可得R∈PQ，即可得证；(2)证明DE与BF的交点M在平面BCC1B1与平面CDD1C1的交线上即可．7.【答案】证明：(1)如图所示，空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，∴HG//AC；又CFFB =AEEB=13，∴EF//AC，∴EF//HG，所以E、F、G、H四点共面；(2)设EH与FG交于点P，∵EH⊂平面ABD，∴P在平面ABD内，同理P在平面BCD内，且平面ABD∩平面BCD=BD，∴点P在直线BD上，∴直线EH，BD，FG相交于一点．【解析】本题考查了三角形的中位线性质、平行线分线段成比例定理、直线的平行性的传递性、确定平面的条件以及三线共点的应用问题．(1)利用三角形的中位线平行于第三边和平行线分线段成比例定理，得到EF、GH都平行于AC，由平行线的传递性得到EF//GH，根据两平行线确定一平面得出证明；(2)利用分别在两个平面内的点在这两个平面的交线上，即可证明．8.【答案】证明：(1)在△ABD和△CBD中，∵E、H分别是AB和AD的中点，∴EH =//12  BD又∵CFCB =CGCD=23，∴FG =//2 3 BD．∴EH//FG，所以，E、F、G、H四点共面．(2)由(1)可知，EH//FG，且EH≠FG，即直线EF，GH是梯形的两腰，所以它们的延长线必相交于一点P．∵AC是EF和GH分别所在平面ABC和平面ADC的交线，而点P是上述两平面的公共点，∴由公理3知P∈AC．所以，三条直线EF、GH、AC交于一点．【解析】本题考查了三角形的中位线性质、平行线分线段成比例定理、平行线的传递性、以及三线共点的问题．(1)根据中位线定理，以及平行线分线段成比例定理的引理，我们可得EH//FG，易得E、F、G、H四点共面；(2)由(1)的结论，直线EF，GH是梯形的两腰，所以它们的延长线必相交于一点P，然后结合公理3即可得解．9.【答案】证明：(1)∵E、F分别是AB、AD的中点，∴EF//BD，∵BG：GC=DH：HC=1：2，∴GH//BD，∴EF//GH，∴E，F，G，H四点共面；(2)∵G、H不是BC、CD的中点，∴EF//GH，且EF≠GH，∴EG与FH必相交，设交点为P，∵EG ⊂面ABC ，∴P 在面ABC 内，同理P 在面DAC 内，又∵面ABC ∩面DAC =AC ，∴P 在直线AC 上，∴直线EG 、FH 、AC 交于一点．【解析】本题主要考查了平面的基本性质，属于基础题．(1)利用三角形的中位线平行于第三边；平行线分线段成比例定理，得到EF 、GH 都平行于BD ，利用平行线的传递性得到EF//GH ，据两平行线确定一平面得证．(2)利用分别在两个平面内的点在这两个平面的交线上，得证．10.【答案】(1)证明：连接DF ，因为在三角形ABC 中，D ，F 分别是AB 和BC 的中点，则DF = //12AC ，又在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1为平行四边形，则AC = //A 1C 1，所以DF = //12A 1C 1， 所以A 1、C 1、D 、F 四点共面；(2)解：如下图所示，连接DF 、C 1F ，设C 1F ∩B 1C =O ，∵D、F分别为AB、BC的中点，∴DF//AC，DF=12AC，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，A1C1=//AC，∵E为A1C1的中点，∴C1E//AC且C1E=12AC，∴C1E=//DF，∴四边形C1EDF为平行四边形，∴DE//C1F，∵C 1F∩B1C=O，则异面直线B1C与DE所成角为或其补角，在中，，CF=1，CC1=2，C1F=√5，，，又，=√22×2√55−√22×√55=√1010．(3)证明：由题可知四边形A1DFC1为梯形，故A1D与C1F交于一点O，则O∈A1D，A1D⊂平面ABB1A1，故O∈平面ABB1A1，同理可得O∈平面BCC1B1，又∵平面ABB1A1∩平面BCC1B1=BB1，∴O∈BB1，所以A1D、C1F、B1B三线共点．【解析】本题考查求证四点共面、三线共点和求异面直线的夹角，考查空间想象能力、推理能力和计算能力，属于一般题．(1)通过求证DF=//12A1C1，即可求证A1、C1、D、F四点共面；(2)取BC的中点F，连接DF、C1F，设C1F∩B1C=O，说明异面直线B1C与DE所成角为或其补角，利用三角恒等变换即可求解；(3)先设A1D与C1F交于一点O，证明O∈平面ABB1A1，O∈平面BCC1B1，结合平面ABB1A1与平面BCC1B1的交线BB1可知O∈BB1，从而得证．11.【答案】证明∵在梯形ABCD中，AD//BC，∴AB，CD是梯形ABCD的两条腰，∴AB，CD必定相交于一点，设AB∩CD=M．又∵AB⊂α，CD⊂β，∴M∈α，且M∈β，∴M∈(α∩β)．又∵α∩β=l，∴M∈l，即AB，CD，l共点．【解析】本题考查平面的基本性质，属于基础题．由题意和平面的基本性质，证明AB与CD的公共点为两个平面的公共点即可．12.【答案】(1)证明：由题意知，FG=GA，FH=HD所以GH=//12AD，又BC=//12AD，故GH=//BC所以四边形BCHG是平行四边形．(Ⅱ)C，D，F，E四点共面．理由如下：由BE=//12AF，G是FA的中点知，BE=//GA，即有BE=//GF，所以四边形BEFG是平行四边形，所以EF//BG由(Ⅰ)知BG//CH，所以EF//CH，故EC，FH共面．又点D在直线FH上所以C ，D ，F ，E 四点共面．【解析】(1)由已知得GH = //12AD ，又BC = //12AD ，故GH = //BC ，由此能证明四边形BCHG 是平行四边形．(Ⅱ)由BE = //12AF ，G 是FA 的中点知，BE = //GA ，从而得到四边形BEFG 是平行四边形，由此能推导出C ，D ，F ，E 四点共面．本题考查了平面的基本性质，考查空间想象能力，几何逻辑推理能力，属于基础题． 13.【答案】解：(1)在△PAD中，由E 、F 为PD ，PA 中点得，EF 为中位线，即EF//AD ，又∵底面为矩形，AD//BC ，∴EF//BC ，∴由平行线确定唯一平面得E 、F 、B 、C 在同一平面上．(2)如图，以A 为原点，AB 为x轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系，依题意得：A(0,0，0)，B(1,0，0)，P(0,0，1)，E(0,√32,12)， PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，−1)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗=(0,√32,12)， cosθ=|PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ||PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12√2⋅1=√24， ∴异面直线PB 与AE 夹角为：arccos √24．【解析】(1)要证B 、C 、E 、F 四点共面，只需证明EF//BC ，进而求解；(2)以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系，进而求解； 考查空间内的点共面的证明，异面直线夹角的求法，空间直角坐标系的应用，属于中档题；。