立体几何三大公理应用超级全面

立体几何三大公理的应用

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一

条通过这个点的公共直线。

公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平

面。

推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平

面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

1.如图，在正方体ABCD−A′B′C′D′中，P是B′D′的中

点，对角线A′C∩平面AB′D′=Q.求证：A，Q，P三

点共线．

2.如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A的中点，求

证：

(1)E，F，D1，C四点共面；

(2)CE，D1F，DA三线共点．

3.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1

交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线．

4.如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求

证：

(1)E，C，D1，F四点共面；

(2)CE，D1F，DA三线共点．

5.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为C1D1，B1C1的中点．

(1)求证：E,F,B,D四点共面；

(2)若AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q，AC1与平面EFBD交于点R，求证：P,Q,R

三点共线．

6.在正方体AC1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=

Q，如图．

(1)若A1C交平面EFBD于点R，则P，Q，R三点共线．

(2)证明DE、BF、CC1三线共点．

7.如图，空间四边形ABCD中，H、G分别是AD、CD的中点，E、F分别在AB、

BC上，且CF

FB =AE

EB

=1

3

．

(1)求证：E、F、G、H四点共面；

(2)求证：FG、HE、BD三条直线交于一点．

8.已知空间四边形ABCD中，E,H分别是AB,AD的中点，F,G分别是BC,CD上的点，

且CF

CB =CG

CD

=2

3

．

求证：(1)E,F,G,H四点共面；

(2)三条直线EF,GH,AC交于一点．

9.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在

BC，CD上，且BG︰GC=DH︰HC=1︰2．

(1)求证：E，F，G，H四点共面；

(2)求证：直线EG、FH、AC交于一点．

10.正三棱柱ABC−A1B1C1的棱长都为2，D、E、F分别是AB、A1C1、BC的中点，

(1)证明：A1、C1、D、F四点共面；

(2)求异面直线B1C与DE所成角余弦值；

(3)证明：A1D、C1F、B1B三线共点．

11.如图，已知平面α，β，且α∩β=l，设梯形ABCD中，AD//BC，且AB⊂α，

CD⊂β，求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．

12.如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，

BC=//1

2AD，BE=//1

2

FA，G，H分别为FA，FD的中点

(1)证明：四边形BCHG是平行四边形

(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？

13.如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，AB=PA=

1，AD=√3，E，F分别为棱PD，PA的中点．

(1)求证：B、C、E、F四点共面；

(2)求异面直线PB与AE所成的角．

能力提升

一、共线问题

例1.若ΔABC所在的平面和ΔA1B1C1所在平面相交，并且直线AA1、BB1、CC1相交于一点O，求证：

(1)AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别在同一平面内；

(2)如果AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别相交，那么交点在同一直线上(如图).

例2.点P、Q、R分别在三棱锥A-BCD的三条侧棱上，且PQ∩BC＝X,QR∩CD＝Z,PR∩BD＝Y.求证：X、Y、Z三点共线.

例3.已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线。

二、共面问题

例4.直线m、n分别和平行直线a、b、c都相交，交点为A、B、C、D、E、F，如图，求证：直线a、b、c、m、n共面.

例5.证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内.

已知：如图，直线l1，l2，l3，l4两两相交，且不共点.

求证：直线l1，l2，l3，l4在同一平面内

例6.已知：A1、B1、C1和A2、B2、C2分别是两条异面直线l1和l2上的任意三点，M、N、R、T分别是A1A2、B1A2、B1B2、C1C2的中点.求证：M、N、R、T四点共面.

例7. 在空间四边形ABCD 中，M 、N 、P 、Q 分别是四边上的点，且满足MB AM ＝NB CN ＝QD AQ ＝PD

CP ＝k. (1)求证：M 、N 、P 、Q 共面.

(2)当对角线AC ＝a,BD ＝b ，且MNPQ 是正方形时，求AC 、BD 所成的角及k 的值(用a,b 表示)

答案解析

1、(1)证明：∵AA 1∩BB 1＝O,

∴AA 1、BB 1确定平面BAO ，

∵A 、A 1、B 、B 1都在平面ABO 内，

∴AB ⊂平面ABO ；A 1B 1⊂平面ABO.

同理可证，BC 和B 1C 1、AC 和A 1C 1分别在同一平面内.

(2)分析：欲证两直线的交点在一条直线上，可根据公理2，证明这两条直线分别在两个相交平面内，那么，它们的交点就在这两个平面的交线上.

2证明：如图，设AB ∩A 1B 1＝P ；

AC ∩A 1C 1＝R ；

∴ 面ABC ∩面A 1B 1C 1＝PR.

∵ BC ⊂面ABC ；B 1C 1⊂面A 1B 1C 1，

且 BC ∩B 1C 1＝Q ∴ Q ∈PR,

即 P 、R 、Q 在同一直线上.

3解析：∵A 、B 、C 是不在同一直线上的三点

∴过A 、B 、C 有一个平面β

又βα⊂=⋂AB P AB 且,