高等数学第十二章 拉普拉斯变换

同理可得 L[tcoskt](s2 sk2)s(ss22 kk22)2
常用 结论
L[t m ] m ! s m1
Ltsinkt(s22kks2)2
L[tcoskt](ss22kk22)2
三、积分性质
性质1 性质2 推论
若 L[f(t)]F(s)，则有 L[ t f(t)dt]1F(s)
0
运算中可视为实数。
以后总假定
在t 0 时 f (t) 0
在 s 的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数可写为
F(s) f(t)estdt F ( s ) 是复变量函数 0
函数 F ( s ) 称为 f ( t ) 的拉普拉斯变换式（简称拉氏变换式）
记为 F(s)L[f(t)] 将函数 f ( t ) 变换为函数 F ( s )
所以 L [ f ( t ) ] L [ c u ( t ) ] L [ c u ( t a ) ] L [ 2 c u ( t 3 a ) ]
cceas 2ce3as
ss
s
c(1eas 2e3as) s
第十二章 拉普拉斯变换
第一节 拉氏变换的概念 第二节 拉氏变换的性质 第三节 拉普拉斯逆变换 第四节 拉氏变换应用举例
结论
L[ f (t )] 11eTs
T f(t)estdt
0
(Re(s) 0)
二、常见的拉氏变换
0, t 0,
定义Baidu Nhomakorabea
设

(t)

1


0 t , 当 0 时， ( t ) 的极限
0 t .
lim (t) (t) 称为狄拉克函数，简称 —函数。 0
2 k b
0
二、常见的拉氏变换
e2kbs 2b f()esd 0
而
2 bf(t)e s td tb te s td t2 b (2 b t)e s td t
0
0
b
1 s2
(1
ebs
)2
所以

L[ f (t )] e2kbs
则有
f(t)dt

F(s)ds
其中 F(s)L[f(t)]
0t
0
三、积分性质
例5
已知 f (t ) sin t ，求
sin t dt
t
0t
解
由第一节例3知，L[sint]
1 ，且 s2 1
sint
limf(t)lim
t
t t
1
由推论得
sintdt
第二节 拉氏变换的性质
一、线性性质 二、微分性质 三、积分性质 四、位移性质 五、延迟性质
一、线性性质
性质 若 , 是常数， L[f1(t)]F1(s)，L[f2(t)]F2(s)
则有 L [f 1 ( t ) f 2 ( t ) ] L [ f 1 ( t ) ] L [ f 2 ( t ) ]
t 3a.
s
s
2）解法一：L[f(t)] f(t)estdt acestdt 3a2cestdt
0
0
a
cest s
a 0
2cest s
3a a
c(1eas 2e3as) s
五、延迟性质
解法二： f ( t ) 可用单位阶梯函数表示为 f( t) c u ( t) c u ( t a ) 2 c u ( t 3 a )
2 k b


(2k1)b f (t)estdt
2kb
k0
令 t2kb ，当 t 2kb时 0 ；当 t(2k1)b时 2b
则
(2 k 1 )bf(t)e s td t2 bf( 2 k b )e s ( 2 k b )d
2b
f (t)estdt

2b

f(t)estdt e2kbs
0 k0
0 k0
当 Re(s) 0 时， e 2 bs 1
故有

e2kbs
1
k0
1e2bs
所以
L[ f (t )] 1e12bs
2b f(t)estdt
0
常用 以T 为周期的函数 f ( t ) ，当 f ( t ) 在一个周期上分段连续时，则有
0
s
t t
一般地，有 L[ dt dt 00
t 0
f(t)dt]s1n F(s)
n次
若 L[f(t)]F(s)， 则有
L[ f(t)]

F(s)ds
t
s
一般地，有
L[ft(nt)]

ds
s

ds
s

F(s)ds
s
n次
如果积分 f (t ) d t 存在，取 s 0 0t

L[sint]ds
0t
0
0s211dsarctans02
例6 解
计算 tet sintdt
0 由本节例4得
F (s)0 tsinte std tL [tsint](s2 2 s1 )2
令 s 1 ，得 tet sintdt 1
推论 若 L[f(t)]F(s)， 则有 L [ f ( n ) ( t ) ] s n F ( s ) s n 1 f ( 0 ) s n 2 f ( 0 ) f ( n 1 ) ( 0 ) 当初值 f(0 ) f(0 ) f(n 1 )(0 ) 0时，有
0
2
四、位移性质
性质 若 L[f(t)]F(s)，则有 L[eatf(t)]F(sa)
例5 求下列函的拉氏变换.
1） f (t) eattm（m 为正整数 ） 2） f(t)e2ttsint
解
1）由
L[tm]
m! sm1
F(s)得
L[eattm]F(sa)(sm a!)m1
上式中 lim est 0 ，理由如下： t
常用 结论
L [1] 1 s
设 s i( 0) ，由欧拉公式 eicosisin
得 lim est limet(i) lim e t(co stisint)0
t
t
t
2）由
L[tsint] 2s (s21)2
F(s)
得
L [ e 2 tts in t] F [ s ( 2 ) ] F ( s 2 )
2(s2)
2s4


[(s2)21]2 (s24s5)2
五、延迟性质
性质 若 L[f(t)]F(s)，又 t 0 时， f (t) 0 ，
f(0 ) f(0 ) f(m 1 )(0 ) 0
故 L m ! L f ( m ) ( t ) s m L f ( t ) s m L t m
又
Lm!m!L1m! ,
s
故
L[f(t)]L[tm]sm m!1
(Re(s) 0)
L F F LF LF 拉氏变换性质的逆变换形式 1 1 ( s ) 2 ( s ) 1 1 ( s ) 1 2 ( s ) f 1 ( t ) f 2 ( t ) LF L 1 ( s a ) e a t 1 F ( s ) e a tf( t )
狄拉克函数 的拉氏变换
L[ f (t )]



(t)estdt
0

0li m (t)estdt
lim
1estdt
0
estdt
lim 0
limes


e0
1
常用结论 L[(t)]1
第十二章 拉普拉斯变换
第一节 拉氏变换的概念 第二节 拉氏变换的性质 第三节 拉普拉斯逆变换 第四节 拉氏变换应用举例
二、常见的拉氏变换
例2 求指数函数 f (t) ekt 的拉氏变换 (k为实数)
解
F (s ) L [e k t] e k te s td t e (s k )td t
0
0
1 e(sk)t sk
1
0
sk
(Re(s)k)
例3 求正弦函数 f(t)sinkt 的拉氏变换.
例1 求函数 f (t) 1(1eat ) 的拉氏变换. a
解 L[ f (t)] L[1(1eat)]1L[1eat]
a
a
1L[1]1L[eat] aa
1 1 1 as a(sa) s(sa)
二、微分性质
性质 若 L[f(t)]F(s)，则有 L [f(t)] sF (s) F (0 )
第三节 拉普拉斯逆变换
一、拉氏逆变换的概念 二、求拉氏逆变换举例
一、拉氏逆变换的概念
定义 若L[f(t)]F(s)，则称 f ( t ) 为F ( s ) 的拉氏逆变换
记作
f(t)L1F(s)
求法
1、通过拉氏变换表直接查找 2、用拉氏变换性质转换后再查表 3、将象函数变形后再用上述方法
第十二章 拉普拉斯变换
第一节 拉氏变换的概念 第二节 拉氏变换的性质 第三节 拉普拉斯逆变换 第四节 拉氏变换应用举例
第一节 拉氏变换的概念
一、拉氏变换的定义 二、常见的拉氏变换
一、拉氏变换的定义
定义 设函数 f ( t ) 当 t 0 时有定义，而且积分
f (t)estdt s 是一个复参量，在积分
则对于任意非负实数 ，有 L[f(t)]esF(s)
例6 求下列函的拉氏变换.
0, t 0,
1）u(t ) 01,
t , t ;
2） f
(t)

c,

2
c
,
0 t a, a t 3a,
解 1）由 L [u (t )] 1 得 L[u(t)]1es 0
在实际问题中遇到的函数，它们的拉氏变换总是存在的.
二、常见的拉氏变换
例1
求单位跃阶函数
u(t)

0, 1,
t 0
的拉氏变换。
t 0
解
F(s)L[u(t)]
est d t
0
1 est s
0
1(limest e0) 1
s t
s
(Re(s) 0)
二、微分性质
例4 求函数 f (t) t sin kt 的拉氏变换
解 因为 F (s ) L tf(t) L tf(t)
而
L[sinkt]
s2
k k2
故有
L ts in k t L tf( t) F (s ) (s 2 k k 2 ) s ( s 2 2 k k s 2 ) 2
即 k2L [f(t)]s2L [f(t)]k, (k2s2)L[f(t)]k
故
L [tm ]
m! s m 1
k 即 L[sinkt](k2 s2)
例3 求函数 f (t) t m 的拉氏变换（ m 是正整数）.
解 f ( t ) m t m 1 ,f ( t ) m ( m 1 ) t m 2 ,,f( m ) ( t ) m !
L[f(n)(t)]snF(s)
作用 可将函数的微分运算化为代数运算
例2 利用微分性质求函数 f(t)sinkt 的拉氏变换. 解 由于 f(t)kcoskt，f(t)k2sinkt，
因此 f (0) 0 ， f (0) k
二、微分性质
所以 L [ k 2 s i n k t ] L [ f ( t ) ] s 2 L [ f ( t ) ] s f ( 0 ) f ( 0 )
0tb
，且
bt 2b
f(t2b)f(t)
求 L[ f (t)]
解
L[f(t)] f(t)estdt 0
2 b f( t) e s td t 4 b f( t) e s td t ( 2 k 1 ) b f( t) e s td t
0
2 b
常用 结论
L[ekt ] 1 sk
解
F (s)L [sinkt] sinktestdt 0
s2e stk2(sinktkcoskt)0 s2 kk2 (Re(s)k)
L[sinkt]
s2
k k2
L[coskt] s s2 k2
二、常见的拉氏变换
例4 周期函数三角波 f(t)2bt,t