第十三讲 广义函数的运算
绝对值函数广义函数求导
绝对值函数广义函数求导
1、在该点x0处，分别求其左右导数，若左导数=右导数，即是该点导数；若至少有一个不存在，则该点导数不存在。
有些可以简化：f（x）=x²|x-1|，f'（0）=Limit[x²|x-1|/x，x->0]=0.
2、在其他点，去掉绝对值符号，直接用公式求导。
上例中，当x∈（-∞，1），f（x）=-x²|（x-1）=-x³+x²=-3x²+2x；当x∈（1，+∞），f（x）=x²|（x-1）=x³-x²=3x²-2x。
求导是微积分的基础，同时也是微积分计算的一个重要的支柱。
物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。
如导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率、还可以表示经济学中的边际和弹性。
它的定义就是，当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。
在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。
可导的函数一定连续。
不连续的函数一定不可导。
广义函数的运算
但对一般的广义函数， 义上的函数。
T ( x)
仅是一个记号，并非经典意
运算：对变量操作
• 对正规函数变量操作：平移、对称、放缩
T ( x a)、T ( x)、T (ax)
其对应的分布如何变化？
Ta , f T ( x a) f ( x)dx T ( x) f ( x a)dx T , f a
• 库伦势的Laplacian
Байду номын сангаас
1 / rf (r )dV
f (r )(1 / r ) 1 / r( f (r )) dS
1 / rf (r )dV 1 / r , ( f (r )) 1 d 2 df (r ) 2 r dr dr 1 / r , f (r ) 4f (0) 4 , f ( f (r )) 1 / r 4
– 将其推广到一般的广义函数上 – 经典例子：
H , f H , f H ( x) f ( x)dx f (0)
0
H
经典例子
1 / r , f (r ) (1 / r ) f (r )dV (1 / r ) f (r ) dS (1 / r ) ( f (r ))dV
• 被作用的函数一般在有限区域取值：场是定域的
Definition
• 广义函数是定义在测试函数空间 ( R n )上的连续线
性函数： T : ( Rn ) R / C
• 测试函数：光滑、在有限区域上定义的函数 • 广义函数通过积分作用在测试函数上，更近似于一种 算符 • 其集合构成 测试函数空间 的对偶空间
广义函数及其运算pdf
广义函数及其运算pdf广义函数是数学中的一个重要概念，它是对传统函数的一种扩展和推广。
广义函数的定义和运算在数学和物理学中有着广泛的应用。
本文将介绍广义函数的概念、性质以及其在数学和物理学中的应用，并提供相关的pdf资料供读者深入学习。
广义函数是一种将函数的概念推广到更一般的对象上的数学工具。
传统的函数是将一个自变量映射到一个因变量的规则，而广义函数则可以将一个自变量映射到一个更一般的对象，如分布或测度。
广义函数的定义和性质在分析学、泛函分析、偏微分方程等领域中有着重要的应用。
广义函数的定义可以通过极限的概念来进行。
对于一个广义函数，我们可以通过一个序列或者一个函数列来逼近它。
当这个序列或者函数列收敛到一个有限的函数时，我们就可以说这个广义函数是可积的。
广义函数的积分运算是广义函数运算中的一个重要操作，它可以通过逼近的方法来定义。
广义函数的运算包括加法、乘法、导数等。
广义函数的加法运算可以通过逐点相加的方式进行。
对于两个广义函数f和g，它们的和f+g可以通过逐点相加的方式定义为(f+g)(x)=f(x)+g(x)。
广义函数的乘法运算可以通过逐点相乘的方式进行。
对于两个广义函数f和g，它们的乘积fg可以通过逐点相乘的方式定义为(fg)(x)=f(x)g(x)。
广义函数的导数运算可以通过逐点求导的方式进行。
对于一个广义函数f，它的导数f'可以通过逐点求导的方式定义为f'(x)=lim┬(h→0)〖(f(x+h)-f(x))/h〗。
广义函数在数学和物理学中有着广泛的应用。
在分析学中，广义函数可以用来描述一些不连续或者不可导的函数。
在泛函分析中，广义函数可以用来描述一些非线性算子的性质。
在偏微分方程中，广义函数可以用来描述一些奇异解的性质。
在物理学中，广义函数可以用来描述一些物理量的分布或者测度。
为了帮助读者更好地理解广义函数及其运算，我们提供了一份相关的pdf资料。
这份资料包括广义函数的定义、性质以及一些典型的例子和应用。
八年级同步第13讲：函数的概念及正比例函数的概念_-教师版
函数的概念及正比例函数的概念是八年级数学上学期第三章第一节、第二节内容，主要对函数和正比例函数的概念进行讲解，重点是函数的概念理解，难点是函数表达式的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习正反比例函数提供依据．1、函数的概念a)在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量；b)在某个变化过程中有两个变量，设为x和y，如果在变量x允许的取值范围内，变量y随着x变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫做自变量.函数用记号()y f x=表示，()f a表示x a=时的函数值；表示两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式．函数的概念及正比例函数的概念知识结构模块一：函数的概念知识精讲内容分析【例1】 （1）瓜子每千克12元，买x 千克瓜子需付款y 元，用x 的代数式表示y ,并指出这个问题中的变量和常量；（2）写出圆周长公式，并指出公式中每个字母所表示的量是常量还是变量． 【难度】★【答案】（1）12y x =，x 、y 为变量，12为常量；（2）2C r π=，C 、r 为变量，π为 常量．【解析】（1）总价=单价×数量，可得y 与x 的关系式为12y x =，根据变量与常量的概念和 区别，可知x 、y 为变量，12为常量；（2）圆周长公式为2C r π=，其中C 表示圆的周长，r 表示圆的半径，π表示圆周率， 根据变量与常量的概念和区别，可知C 、r 为变量，π为常量． 【总结】考查变量与常量的概念．【例2】 下列变量之间的变化关系不是函数关系的是（）A 、三角形的面积与底边的长B 、 2x -与xC 、圆的面积和它的半径D 、矩形的宽一定时，周长与长【难度】★ 【答案】A【解析】根据三角形面积公式12S ah =，可知三角形面积同时与底边长和对应底边上的高有关，即三角形面积与底边的长没有确定的依赖关系，故选A ．【总结】考查函数的概念，两个变量之间必须存在确定的依赖关系两个变量才是函数关系．【例3】 下列各式中，y 是否是x 的函数？为什么？（1）23y x =； （2）23y x =．【难度】★【答案】（1）是；（2）不是．【解析】（1）对变量x 的任意值，有唯一确定的y 值与之相对应，故y 是x 的函数；（2）对变量x 取值范围内的任意值，有两个y 值与之相对应，即y 与x 之间不存在确定的依赖关系，故y 不是x 的函数．【总结】函数的概念，对两个变量而言，对一个变量取值范围内任意值，另一个变量都有唯一确定的值与之相对应，则为函数关系，否则不是．例题解析【例4】 已知汽车驶出A 站3千米后，以40千米∕小时的速度行驶了40分，请将这段时间内汽车与A 站的距离S （km ）表示成t （时）的函数． 【难度】★【答案】240303S t t ⎛⎫=+≤≤⎪⎝⎭． 【解析】根据路程=速度×时间，可知汽车后面所行驶的路程40s vt t ==，则汽车与A 站的距离3403S s t =+=+，同时汽车行驶时间不超过40分钟，即23h ，可知203t ≤≤．【总结】根据所学相关公式，即可得到其中一些量之间的关系，三个量相互关联的量中一个量一定的情况下，另两个量之间则有函数关系．【例5】 扇形的面积公式是2360nS r π=，其中S 表示面积，n 表示圆心角，r 表示半径，π表示圆周率，则其中常量是————．【难度】★★ 【答案】360、π．【解析】常量即为保持数值不变的量，故为360和π． 【总结】考查常量的概念，即为保持数值不变的量．【例6】 物体所受的重力与它的质量之间有如下的关系：G mg =，其中m 表示质量，G 表示重力，9.8g =牛/千克，物体所受重力G 是不是它的质量m 的函数？ 【难度】★★ 【答案】是．【解析】由公式变形可得Gm g=，在g 一定的情况下，对任一G 值，有唯一确定的m 值与 之相对应，即m 与G 之间有确定的依赖关系，可知G 是m 的函数．【总结】本题主要考查函数的概念，对两个变量而言，对一个变量取值范围内任意值，另一个变量都有唯一确定的值与之相对应，则为函数关系，否则不是．【例7】 已知变量y 随着变量x 的变化而变化，且满足下列关系，试把它们改写成()y f x = 的形式：（1）951x y =+；（2）34xy y x +=；（3）31()212y x x y -=≠+；（4）223520x xy y --=．【难度】★★★【答案】（1）9155y x =-；（2）43x y x =+；（3）31()122x y x x +=≠-；（4）3y x =-或12y x =． 【解析】（1）移项可得591y x =-，则9155y x =-；（2）因式分解即有()34x y x +=，则43xy x =+； （3）化乘积式即23xy x y +=-，移项即得()123x y x -=+，12x ≠，则312x y x +=-；（4）分解因式，即()()320x y x y +-=，由此30x y +=或20x y -=，由此可得y 与x 函数关系式为3y x =-或12y x =． 【总结】将式子改写成()y f x =的形式，只需要通过等式性质进行变形，一边只有y ，另一边表示成只含有x 相关的代数式的形式．【例8】 某厂有一水池，可贮水900吨，池内原有水100吨，现在以每小时15吨的速度注水，t 时后，池内贮水量是Q 吨，注满为止，求Q 与t 之间的函数关系式． 【难度】★★★【答案】1601510003Q t t ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭．【解析】注入水池水量=时间×每小时注入量，可知注入水池水量15V t =，则池内贮水量 10015100Q V t =+=+，同时水池最多贮水900吨，注满为止，可知100900Q ≤≤，即得16003t ≤≤． 【总结】根据相关等量关系即可确定对应函数解析式，同时注意实际问题中自变量取值范围．1.函数的定义域和函数值a) 函数自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域．b) 函数自变量取遍定义中的所有值，对应的函数值的全体叫做这个函数的值域． c)【例9】 求下列函数的定义域.（1）10y x =-； （2）2y x =+；（3）11y x =+；（4）22x y x -=-+． 【难度】★【答案】（1）全体实数；（2）2x ≥-；（3）1x ≠-；（4）2x < 【解析】（1）x 为任意值，y 都有意义，即函数定义域为全体实数；（2）202x x +≥≥-由，得；（3）101x x +≠≠-由，得；（4）202x x -+><由，得．【总结】函数的定义域，即满足代数式有意义的条件即可．【例10】 填空：（1）如果函数5()51x f x x =-+，那么()1f -=——————； （2）如果函数4()2xf x x -=+， 那么()2f -=——————；（3）如果函数2223()231x x g x x x +-=++，那么12g ⎛⎫⎪⎝⎭=——————．【难度】★ 【答案】（1）566-；（2）532+；（3）23-．例题解析知识精讲模块二：函数的定义域和函数值【解析】（1）()1f -=； （2）((44252f -++===+；（3）221123122222331123122g ⎛⎫⨯+- ⎪-⎛⎫⎝⎭===- ⎪⎝⎭⎛⎫⨯+⨯+ ⎪⎝⎭． 【总结】本题主要考查函数值的确定．【例11】 求函数20(2)y x =-+的定义域．【难度】★★【答案】x ≠0x ≠．【解析】由题意，可得：2220x x ⎧-≠⎪⎨≠⎪⎩，解得：x ≠0x ≠．【总结】函数的定义域，即满足代数式有意义的条件即可，让每一个式子都有意义．【例12】 求函数y =的定义域．【难度】★★【答案】4x ≥且29x ≠．【解析】由题意，可得：4050x -≥⎧⎪⎨⎪⎩，解得：4x ≥且29x ≠．【总结】函数的定义域，即满足代数式有意义的条件即可，让每一个式子都有意义．【例13】 若函数1y =2211556y x x =++，求函数12y y y =⋅中自变量x 的取值范围． 【难度】★★【答案】5x ≤且7x ≠-且8x ≠-【解析】由题意，可得：2153015560x x x -≥⎧⎨++≠⎩，解得：5x ≤且7x ≠-且8x ≠-．【总结】函数的定义域，即满足代数式有意义的条件即可，让每一个式子都有意义．【例14】 已知长方形面积为602cm ，长方形较长一边长为x 厘米，求另一边长y 与x 的关系式，并写出自变量x 的取值范围． 【难度】★★【答案】(60y x x=≥．【解析】长方形面积=长×宽，可得60xy =，由此可得y 与x 关系式为60y x=，本题明确指 出长短边，应确定x y ≥，即60x x≥，可得x ≥即自变量x取值范围是x ≥ 【总结】根据相关公式进行求解即可，注意实际问题中自变量的取值范围．【例15】 已知13()21xf x x -=+． （1）求(0)f ，(1)f ，1()3f ，1()()2f a a ≠-；（2）当x 为何值时，()f x 没有意义？（3）当x 为何值时，()2f x =-？【难度】★★【答案】（1）()01f =，()213f =-，103f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1321a f a a -=+；（2）12x =-；（3）3x =-． 【解析】（1）()1301012011f -⨯===⨯+，()131********f -⨯-===-⨯+，11313013213f -⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭⨯+，()1321a f a a -=+； （2）()f x 没有意义，可知210x +=，即得12x =-；（3）()2f x =-，即13221xx -=-+，解得3x =-． 【总结】()f a 表示x a =时的函数值，代值进行相应化简计算即可．【例16】 等腰三角形的周长是10厘米，腰长是x 厘米，底边长是y 厘米，求y 关于x 的函数关系式，并求自变量x 的取值范围． 【难度】★★★【答案】510252y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭．【解析】三角形周长为10，可得210x y +=，由此可得102y x =-，三角形边长必为正数，则有1020y x =->，由此可得5x <，同时根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，则有1022y x x =-<，可得52x >，即自变量x 取值范围是552x <<．【总结】解决实际问题，注意实际问题中量的取值范围，同时考虑实际问题中的隐含条件，本题中隐含条件即三角形三边关系．【例17】 已知：2()34()53f x x x g x x =+=-，，求： （1）()()f x g x +；（2）(1)(2)f g -+；（3）(1)(1)f a g a +--．【难度】★★★【答案】（1）2483x x +-；（2）8；（3）24615a a ++． 【解析】（1）()()223453483f x g x x x x x x +=++-=+-； （2）()()()2131411f -=⨯-+⨯-=，()25237g =⨯-=，()()12178f g -+=+=；（3）()()()22131414117f a a a a a +=+++=++，()()151358g a a a -=--=-，()()()()22114117584615f a g a a a a a a +--=++--=++．【总结】()f a 表示x a =时的函数值，代值进行相应化简计算，合并同类项即可．【例18】 已知函数y 的定义域是1x ≤且1x ≠-，求的a 、b 值． 【难度】★★★ 【答案】2a =，1b =．【解析】由原函数有意义，则有200a xb x -≥⎧⎨+≠⎩，可得2ax ≤且x b ≠-，由函数定义域是1x ≤且1x ≠-，可得：121a b ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，解得：2a =，1b =．【总结】函数的定义域，即满足代数式有意义的条件即可，让每一部分都有意义．【例19】 收割机的油箱里盛油65kg ，使用时，平均每小时耗油6kg ． （1）如果收割机工作了4小时，那么油箱还剩多少千克的油？（2）如果油箱里用掉36kg 油，那么使用收割机工作的时间为多少小时？ （3）写出油箱里剩下的油y 与使用收割机时间t 之间的函数关系式？（4）在此函数关系式中，求函数定义域？【难度】★★★【答案】（1）41kg ；（2）6h ；（3）656y t =-；（4）6506t ≤≤． 【解析】（1）工作4小时用油量为4624kg ⨯=，则剩余油量为652441kg -=；（2）每小时耗油6kg ，可知工作时间为3666h ÷=；（3）收割机耗油量=工作时间×每小时耗油量，耗油量6V t =，则剩余油量 65656y V t =-=-；（4）收割机工作最长时间即为油箱中油耗尽的时刻，此时有6560t -=，解得656t =，可知函数定义域为6506t ≤≤． 【总结】根据相关公式进行求解即可，注意实际问题中自变量的取值范围．1．正比例函数的概念a) 如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量x 、y 成正比例，就是yk x=，或表示为y kx =（x 不等于0），k 是不等于零的常数．b) 解析式形如y kx =（k 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数k 叫做比例系数.正比例函数y kx =的定义域是一切实数.确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式．知识精讲模块三：正比例函数的概念【例20】 下列那些函数是正比例函数？哪些不是？如果是，请指出比例系数．（1）2x y =； （2）12y x =；（3）2y x =+；(4)2y x =．【难度】★【答案】（1）（4）是正比例函数，比例系数分别为12和2；（2）（3）不是正比例函数． 【解析】形如()0y kx k =≠的函数是正比例函数，其中k 即为其比例系数，可知（1）（4）是正比例函数，比例系数分别为12、2；（2）（3）不是正比例函数． 【总结】考查正比例函数和其相关比例系数的概念．【例21】 （1）已知2()(3)f x m x =-是正比例函数，求m 的取值范围；（2）若函数2()(3)3f x m x m =-+-是正比例函数，那么m 的值是多少？ 【难度】★★【答案】（1）3m ≠±；（2）3m =．【解析】（1）函数是正比例函数，可知其自变量系数230m -≠，即取值范围是3m ≠±； （2）函数是正比例函数，则其常数项30m -=，解得3m =． 【总结】考查正比例函数的概念理解，自变量系数不为0，常数项为0．【例22】 已知y 是x 的正比例函数，且当3x =时，24y =，求y 与x 之间的比例系数，并写出函数解析式和函数定义域． 【难度】★★【答案】8，8y x =，函数定义域为全体实数． 【解析】y 是x 的正比例函数，可知其比例系数2483k ==，则函数解析式为8y x =，函数 定义域为全体实数．【总结】考查比例系数的定义，怎样快速求出正比例函数比例系数．例题解析【例23】 如果23(23)t y t x +=-是正比例函数，求出函数解析式，当x 取何值时，12y <？ 【难度】★★【答案】3y x =，4x <．【解析】函数是正比例函数，则231t +=，解得13t =-，函数解析式为12333y x x ⎡⎤⎛⎫=-⨯-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，12y <，即312x <，解得4x <．【总结】根据正比例函数概念可知正比例函数自变量次数为1，代入求值即可．【例24】 已知函数221(2)mm y m m x +-=+(m 是常数)，当m 是什么数时221(2)mm y m m x +-=+是正比例函数？并求出解析式． 【难度】★★【答案】1m =，3y x =．【解析】函数是正比例函数，则有211m m +-=且220m m +≠，解得1m =，代入可得函数 解析式为3y x =．【总结】函数为正比例函数，则其自变量次数为1，且其系数不为0．【例25】 已知122y y y =-，1y 与3x 成正比例，2y 与()5x +成正比例，且1x =时，12y =，1x =-时2y =-，求y 与x 的函数解析式．【难度】★★ 【答案】75y x =+．【解析】设113y k x =⋅，()225y k x =+，(1200k k ≠≠，)，则()()121212226565y y y k x k x k k x k =-=-+=--，1x =时，12y =，1x =-时，2y =-； 即得：12126612642k k k k -=⎧⎨--=-⎩，解得：1211k k =⎧⎨=-⎩．代入即得：y 与x 的函数解析式是：75y x =+．【总结】待定系数法转化为方程求函数解析式．12/ 20【例26】 点燃的蜡烛，长度按照与时间成正比例缩短，一支长21cm 的蜡烛，点燃6分钟后，缩短3.6cm ．设蜡烛点燃x 分钟后，缩短y cm ，求y 的函数解析式和x 的取值范围． 【难度】★★【答案】()0.6035y x x =≤≤．【解析】蜡烛点燃6分钟，缩短3.6cm ，可知蜡烛每燃烧一分钟缩短3.660.6cm ÷=，则蜡烛点燃x 分钟后缩短长度0.6y x =，蜡烛可燃烧的最长时间为210.635÷=分钟，可知蜡烛燃烧时间的取值范围是035x ≤≤．【总结】根据相关公式进行求解即可，注意实际问题中自变量的取值范围．【例27】 已知21()(2)kk f x k x +-=+是正比例函数，求k 的值，写出这个正比例函数的解析式，并求出当变量x 分别取-3，0，5时的函数值． 【难度】★★【答案】1k =，函数解析式为()3f x x =，分别取3-，0，5时函数值分别为9-，0，35． 【解析】函数是正比例函数，则有211k k +-=且20k +≠，解得1k =，代入可求得函数解析式为()3f x x =，自变量分别取3-，0，5时可分别求得：()()3339f -=⨯-=-，()0300f =⨯=，()53535f=⨯=．【总结】函数是正比例函数，则自变量次数为1，且自变量系数不为0．【例28】 已知y 与2x 成正比例，并且25x =时，4y =． （1） 写出y 与x 之间的函数关系式； （2）当58x =-时，求y 的值；（3）当12y =-时，求x 的值． 【难度】★★【答案】（1）10y x =；（2）254y =-；（3）65x =-． 【解析】（1）设22y k x kx =⋅=，25x =时，4y =， 可得2245k ⨯=，解得5k =，即y 与x 函数关系式为10y x =；（2）58x =-时，5251084y ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭；（3）12y =-，即1012x =-，解得：65x =-．随堂检测【习题1】 在圆的面积公式2S r π=中，变量是_______，常量是_______． 【难度】★ 【答案】S 、r ；π【解析】根据变量与常量的概念，可知公式中的变量是S 、r ，常量是π．【总结】考查变量与常量的概念，变量即可以取不同数值的量，常量即保持数值不变的量．【习题2】 东方超市鲜鸡蛋每个0.4元，那么所付款y 元与买鲜鸡蛋个数x （个）之间的函数关系式是______________． 【难度】★ 【答案】0.4y x =．【解析】根据总价=单价×数量，可知y 与x 之间函数关系式是0.4y x =． 【总结】根据实际问题中的等量关系即可确定函数关系式．【习题3】 平行四边形相邻的两边长为x 、y ，周长是30，则y 与x 的函数关系式是___________． 【难度】★ 【答案】15y x =-【解析】根据平行四边形的性质，可得()230x y +=，由此可得y 与x 之间函数关系式 是：15y x =-．【总结】根据实际问题中的等量关系即可确定函数关系式．【习题4】函数y 中，自变量x 的取值范围是_________________． 【难度】★ 【答案】2x ≤．【解析】由题意，可得：202x x -≥≤，则．【总结】函数的定义域，即满足代数式有意义的条件即可，让每一部分都有意义．【习题5】 写出下列各题中x 与y 的关系式，并判断y 是否是x 的正比例函数？（1）圆面积y （cm 2）与半径x （cm ）的关系；（2）地面气温是28℃，如果每升高1km ，气温下降5℃，则气温y （℃）与高度x （km ）的关系；（3）电报收费标准是每个字0.1元，电报费y （元）与字数x （个）之间的函数关系． 【难度】★【答案】（1）2y x π=，不是正比例函数；（2）285y x =-，不是正比例函数；（3）0.1y x =， 是正比例函数．【解析】（1）根据圆的面积公式可知2y x π=，（2）中随高度升高，降低的温度为5x ，则实际气温285y x =-，（3）中根据等量关系总价=单价×数量，可知0.1y x =，根据正比例函数定义，形如()0y kx k =≠的函数是正比例函数，可知（1）（2）不是正比例函数，（3）是正比例函数．【总结】根据实际问题等量关系可求出函数解析式，再根据正比例函数定义和特征相应判断．【习题6】函数y 的自变量x 的取值范围是__________________． 【难度】★★ 【答案】3x ≥．【解析】由题意，可得：300x x -≥⎧⎨≠⎩，则3x ≥．【总结】函数的定义域，即满足代数式有意义的条件即可，让每一部分都有意义．【习题7】在函数y x 的取值范围是__________． 【难度】★★【答案】2x ≥且3x ≠．【解析】由题意，可得：2030x x -≥⎧⎨-≠⎩，则2x ≥且3x ≠．【总结】函数的定义域，即满足代数式有意义的条件即可，让每一部分都有意义．【习题8】函数y =中，自变量x 的取值范围是___________________．【难度】★★ 【答案】52x >-【解析】由题意，可得：2500x +≥⎧⎪≠，则52x >-．【总结】函数的定义域，即满足代数式有意义的条件即可，让每一部分都有意义．【习题9】 已知函数1231xy x -=-，x =__________时，y 的值时0，x =______时，y 的值是1；x =_______时，函数没有意义．【难度】★★【答案】12，25，13．【解析】0y =，即12031x x -=-，得120x -=，解得12x =； 当1y =时，即12131x x -=-，得1231x x -=-，解得25x =； 若函数无意义，则有310x -=，解得13x =． 【总结】本题主要考察函数的定义域及函数值的确定．【习题10】 出租车收费按路程计算，3km 内（包括3km ）收费8元；超过3km 每增加1km加收1元，则路程x ≥3km 时，车费y （元）与x (km )之间的函数关系式是_____________． 【难度】★★ 【答案】5y x =+．【解析】x ≥3km 时，超过3km 部分里程数为()3x km -，前3km 部分收费8元，则两部分合计收费()()3853y x x x =-+=+≥．【总结】根据实际问题进行分段计算即可得出结果．【习题11】 求下列各式的定义域：（1）y =；（2）0(1)y x =-．【难度】★★【答案】（1）46x ≤≤且5x ≠；（2）3x ≥-且1x ≠【解析】（1）由题意，可得：604010x x ⎧-≥⎪-≥⎨≠，则46x ≤≤且5x ≠；（2）由题意，可得：1030x x -≠⎧⎨+≥⎩，则3x ≥-且1x ≠．【总结】函数的定义域，即满足代数式有意义的条件即可，让每一部分都有意义，满足三个条件：（1）根号内的式子不小于0；（2）分母不为0；（3）零没有零次方．【习题12】 若x 、y 是变量，且函数2(1)k y k x =+是正比例函数，则k =_________． 【难度】★★ 【答案】1．【解析】函数是正比例函数，则有21k =且10k +≠，解得1k =．【总结】正比例函数即其自变量次数是1，同时注意相关隐含条件即自变量系数不为0．【习题13】 已知函数2(1)56y k x k k =++--是正比例函数，求k 的值． 【难度】★★ 【答案】6．【解析】函数是正比例函数，可知2560k k --=，即()()610k k -+=，同时一次函数未知数系数不为0，可知10k +≠，由此60k -=，解得6k =．【总结】正比例函数常数项为0，注意自变量系数不为0的隐含条件．17 / 20【习题14】 已知y 与x 成正比例，且2x =时6y =-；则y =9时，x =________． 【难度】★★★ 【答案】3-．【解析】方法一：设正比例函数解析式为()0y kx k =≠，2x =时，6y =-，则有26k =-， 解得3k =-，即一次函数解析式为3y x =-；9y =时，即有39x -=，解得3x =-；方法二：函数为正比例函数，则相对应的y 与x 值对应成比例，即有692x-=，解得3x =-． 【总结】考查待定系数法求函数解析式，同时可直接用相对应的比例系数相等进行求解．【习题15】 如果()43123t y t x +=-是关于x 的正比例函数，又函数()22324t y t x +=++，当x取何值时12y y >？ 【难度】★★★ 【答案】1x >．【解析】()43123t y t x +=-是关于x 的正比例函数，可知431t +=，解得1t =-，代入可求得 15y x =，24y x =+，12y y >，即54x x >+，解得1x >，即1x >时，12y y >．【总结】把握题目立意和相关条件，即可转化为解不等式，也可根据函数图像确定相关取值范围．【作业1】 设(1)(2)1x y +-=，写出y 关于x 的函数关系式______________，自变量x 的取值范围是______________． 【难度】★★【答案】231x y x +=+，1x ≠-．【解析】由(1)(2)1x y +-=，可得121y x -=+，由此123211x y x x +=+=++，函数有意义， 则有10x +≠，即自变量x 的取值范围是1x ≠-．【总结】求函数解析式，通过相关变形把式子一边变成只有函数，另一边表示成相应自变量的式子化简即可，注意变形过程中相应条件，即其相应取值范围．课后作业【作业2】在函数y 中，自变量x 的取值范围是______________．【难度】★★【答案】0x ≥且1x ≠．【解析】由题意，得：2020x x x ≥⎧⎨+-≠⎩，则0x ≥且1x ≠．【总结】函数的定义域，即满足代数式有意义的条件即可，让每一部分都有意义．【作业3】 已知2244x y x x -=-+的定义域为______________，当函数值为0时，自变量x 的取值为______________． 【难度】★★【答案】2x ≠，2x =-．【解析】函数有意义，可得()224420x x x -+=-≠，即得2x ≠；函数值为0，则有20x -=， 根据2x ≠，可得2x =-．【总结】函数的定义域，即满足代数式有意义的条件即可，让每一部分都有意义．【作业4】 矩形的周长为20，矩形面积S 与其一边长x 之间的函数关系式______________，自变量x 的取值范围是______________． 【难度】★★【答案】210S x x =-+，010x <<．【解析】设矩形另一边长为y ，其周长为20，则有()220x y +=，可得10y x =-，则矩形面积()21010S xy x x x x ==-=-+，同时在实际问题中矩形的边长都大于0，由此可得自变量x 的取值范围是010x <<．【总结】运用相关公式即可进行求解计算，同时注意实际问题中自变量的取值范围．【作业5】 等腰三角形中，底角的度数用x 表示，顶角的度数用y 表示，写出y 关于x 的函数解析式及函数的定义域． 【难度】★★【答案】()1802090y x x =-<<．【解析】根据三角形内角和180︒，且等腰三角形两底角相等，可知2180x y +=，由此可得1802y x =-，同时在实际问题中角的度数都大于0，由此可得自变量x 的取值范围是090x <<．【总结】运用三角形内角和即可进行求解计算，同时注意实际问题中自变量的取值范围．【作业6】 已知23y -与45x +成正比例，且当1x =时，15y =，求y 与x 的函数关系式． 【难度】★★ 【答案】69y x =+．【解析】23y -与45x +对应成比例，可设()2345y k x -=+(0k ≠)，当1x =时，15y =，即()2153415k ⨯-=⨯+，解得：3k =，则有()23345y x -=+，整理得69y x =+． 【总结】式子对应成比例，依题意可按照待定系数法的方法进行求解．【作业7】 函数()2(2)2k y k x -=-是正比例函数，求k 的值． 【难度】★★ 【答案】3或1．【解析】函数是正比例函数，依题意有()221k -=且20k -≠，解得3k =或1k =． 【总结】正比例函数即其自变量次数是1，同时注意相关隐含条件即自变量系数不为0．20/ 20【作业8】 已知()226y k x k k =-++-为正比例函数． （1）求k 的值及函数解析式； （2）当x 取什么值时，函数的值为3． 【难度】★★【答案】（1）3k =-，5y x =-；（2）3x =-． 【解析】（1）函数为正比例函数，则有260k k +-=且20k -≠，解得3k =-，代入计算得函数解析式为5y x =-； （2）函数值为3，即有35x -=，解得3x =-． 【总结】函数为正比例函数则其常数项为0，同时注意相关隐含条件即自变量系数不为0．【作业9】 甲、乙两同学从A 地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B 地，他们离出发地的距离为S （km ）和行驶时间t （h ）之间的函数关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）AB 的路程是多少？ （2）甲比乙先出发多长时间？（3）整个过程中甲的平均速度是多少？（4）大约在乙出发多长时间时两人相遇，相遇时距 离A 地多远？ 【难度】★★★【答案】（1）18km ；（2）0.5h ；（3）7.2/km h ；（4）0.75h ，9km ． 【解析】（1）函数纵轴表示的形成，可知AB 两地之间的路程是18km ；（2）函数的横轴表示时间，可知乙出发时间在0.5h ，即甲比乙先出发0.5h ； （3）函数倾斜程度表示两学生的运动速度，甲运动函数图像是一条直线，可知甲运动速度保持不变，即甲在2.5h 运动了18km ，可知甲的平均速度是18 2.57.2/km h ÷=； （4）乙运动函数图像是一条直线，即乙的运动速度保持不变，乙在1.5h 运动了18km ，知乙的平均速度是18 1.512/km h ÷=，甲、乙相遇，可转化为追及问题，可知乙出发 的时间为()7.20.5127.20.75h ⨯÷-=，相遇时相遇地点与A 地的距离为()7.20.50.759km ⨯+=．【总结】函数倾斜程度表示速度，由此可求出相关函数解析式，同时两函数交点即表示相遇，即由函数表示的图像法转化为函数解析式的表示法，主要考查对相关函数图像表示意义的理解．。
函数的加减乘除运算
函数的加减乘除运算在数学中，函数是一个非常重要的概念。
函数可以做各种各样的运算，包括加法、减法、乘法和除法。
本文将详细介绍函数的加减乘除运算。
一、函数的定义函数是一种映射关系，它把一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。
在数学中，函数通常表示为f(x)，其中x是函数的自变量，f(x)是函数对应的因变量。
二、函数的加法运算在函数的加法运算中，我们将两个函数相加得到一个新的函数。
具体来说，如果有两个函数f(x)和g(x)，它们的和函数可以表示为h(x) = f(x) + g(x)。
三、函数的减法运算函数的减法运算与加法运算类似，它也是将两个函数相减得到一个新的函数。
如果有函数f(x)和g(x)，它们的差函数可以表示为h(x) = f(x) - g(x)。
四、函数的乘法运算函数的乘法运算是指将两个函数相乘得到一个新的函数。
如果有函数f(x)和g(x)，它们的乘积函数可以表示为h(x) = f(x) * g(x)。
五、函数的除法运算在函数的除法运算中，我们将一个函数除以另一个函数得到一个新的函数。
具体来说，如果有函数f(x)和g(x)，它们的商函数可以表示为h(x) = f(x) / g(x)，其中g(x)不等于零。
在进行函数的加减乘除运算时，需要注意以下几点：1. 函数的定义域：函数的定义域是指自变量的取值范围。
在进行加减乘除运算前，需要确保两个函数具有相同的定义域，以保证运算的有效性。
2. 运算法则：函数的加减乘除运算遵循相应的数学法则。
例如，加法和乘法满足交换律和结合律，减法和除法则不满足。
3. 特殊情况：在进行函数的除法运算时，需要注意除数不等于零的条件。
如果除数为零，那么函数的除法运算将无法进行。
总结：函数的加减乘除运算是数学中常见的运算方式。
通过对函数进行加法、减法、乘法和除法运算，可以得到新的函数。
在进行这些运算时，需要注意函数的定义域和运算法则，以保证运算的有效性和准确性。
通过以上对函数的加减乘除运算的介绍，相信读者对这一概念有了更加全面的了解。
数学物理方程第九章 广义函数
（20141217）第九章 广义函数一、定义引入定义前的准备支集：若f 是定义在R n 上的函数，我们称所有满足()0f x ≠的点x 的闭包（此处可简单将其理解为集合）为f 的支集，即这些使f 非零的点支撑起了f 。
f 的支集记为supp()f 。
若supp()f E ⊂，我们就说f 被E 支起。
测试函数集：若维度n 给定时，定义在R n 上的函数任意阶可（偏）导且连续，同时由这些函数所构成的函数空间的支集（即满足让这些函数非零的点所构成的集合）是R n 的有界子集，我们就称这些函数空间（函数所构成的集合）为测试函数集，并记为0(R )n C ∞，且其中的每个元素都称作测试函数。
广义函数的定义广义函数（分布）：是在对应法则F 下从集合0(R )n C ∞到集合C 的映射，且满足条件 （1）线性：对120,C φφ∞∀∈和12,C c c ∀∈都有[][][]11221122F c c c F c F φφφφ+=+（2）连续性：若{}k φ是0(R )n C ∞中的一个序列（即{}k φ是测试函数集的子集），且对所有k 而言，其支集都包含于一个固定的有界集合D 中，且假定当k →∞时，函数k φ及其所有的偏导数k αφ∂都一致收敛于0，此时则有[]0k F φ→。
广义函数[]F φ的表示式为[]()()d F F φφ=⎰x x x其中120(,,,), ()n x x x C φ∞=∈x x K另外，每个局部可积的函数都可以视为广义函数。
最简单的广义函数是Dirac delta 函数δ，其定义为[]()()d ()δφδφφ==⎰x x x 0此处的0为0向量。
若C 是上R n 的光滑曲线，曲线的弧长微元记为d σ，则可以定义在R n 上的广义函数F[]()d ()CF φφσ=⎰x x当给定曲线的参数方程为()t =x x 时[][]()'()d CF t t t φφ=⎰x x二、广义函数的运算若0()()C R φ∞∈x ，当1n =时则有 '[]'()()d ()()()'()d F F x x x F x x F x x x φφφφ∞-∞==-⎰⎰根据测试函数的定义，即测试函数集是的R n 有界子集，因此当x 很大时，()x φ必然为0，所以'[]()'()d [']F F x x x F φφφ=-=-⎰同时，上式可以推广到k 阶导数()()()[]1[]kk k F F φφ=-且当其导数为偏导数时，上式也成立，即()()[]1[]F F αααφφ∂=-∂利用上述性质，可以证明单位阶跃函数的导数为冲激函数，即'H δ=，过程如下00'[][']()'()d '()d ()(0)H H H x x x x x x φφφφφφ∞∞∞-∞=-=-=-=-=⎰⎰又因为[](0)δφφ=所以'H δ=利用上述性质还可以找到广义函数导数和函数导数之间的关系。
7.1 广义函数
样性是很重要的性质，在涉及广义函数的电路分析中会经常用到。 ➢ 广义函数的微分与积分运算是复杂电路变量进行分析和计算时必
须掌握的运算技能。
= 1）
(t-t0 )
(1)
0 t0
t
2.单位冲激函数
单位冲激函数与单位阶跃函数的关系
d(t) = （t）
dt
(t) = t (t)dt -
d(t-t0 )
dt
=
(t-t0 )
(t-t0 ) =
t -
(t -t0
)dt
单位冲激函数的筛分性、抽样性
假定 f (t) 在t0处连续，且在（-，+ ）上处处有界，则有：
f(t)
0 t 1
1
f(t) = 1 1 t 2
01 2 t
0 t 2
f (t )=(t −1)−(t −2)
全时间域的函数表达式
f(t)=(t-1)- (t-2)
1
01 2 t
1.单位阶跃函数
作用
➢ 利用阶跃函数的单边性表示电路变量的时间范围
➢ 利用阶跃函数描述电源的接入
1.单位阶跃函数
电路理论
广义函数
广义函数
定义： 广义函数本身或其导数或高阶导数具有不连续点（跳变点）。
f(t) 1
f(t) 1
0
1
2
t
0
1
2
t
函数本身具有不连续点
函数的一阶导数具有不连续点
用分段函数表示为：
0 f(t) = 1
0
t 1 1t 2 t 2
微积分中的广义函数初步介绍
微积分中的广义函数初步介绍微积分是数学的一个分支，它研究的是连续变化的现象。
它对于科学和工程学科都非常重要。
微积分有很多重要的概念，其中广义函数就是其中之一。
本文将对初步的广义函数概念进行介绍。
一、广义函数的定义通俗地说，广义函数既不是函数也不是数，但它在微积分中有着非常重要的作用。
广义函数是一种分布，它是指一个能够将一些测试函数映射成一个实数的线性函数。
其中，测试函数是指一类光滑函数，这类函数在实数轴上连续并且无限可微。
广义函数可以表示离散函数和连续函数，而且它可以表示出在普通意义下没有定义的函数，比如狄利克雷函数和步函数。
广义函数在微积分和物理学中都有非常重要的应用，因为它能够更加准确地描述相对论和量子力学中的物理现象。
二、广义函数的性质广义函数具有以下性质：1. 线性性质：广义函数满足线性运算的法则。
2. 对称性：如果广义函数满足一个条件，并且能够交换自变量和因变量，那么这个函数就是对称的。
3. 扩展性：如果广义函数满足一个条件，并且能够扩大或缩小，那么这个函数就是可扩展的。
4. 连续性：广义函数的值随着自变量的变化而连续。
5. 局部性：广义函数的值只与测试函数在某个局部部分有关。
三、广义函数的应用广义函数在微积分和物理学中有着非常广泛的应用。
在微积分中，广义函数可以用来描述某个物体的质量分布、电荷分布以及密度分布等。
在物理学中，广义函数则可以用来描述量子力学中的波动函数以及相对论中的坐标变换。
广义函数还可以应用于信号处理中。
在信号处理中，广义函数可以用来平滑信号、去除噪声以及提取信号中的特征。
四、结论综上所述，广义函数是微积分中非常重要的一个概念。
它可以帮助我们更加准确地描述物理现象，并且在信号处理领域中也具有广泛的应用。
虽然广义函数的定义相对比较复杂，但是它在实际应用中具有非常重要的作用。
广义函数的定义及其基本类型
广义函数的定义及其基本类型广义函数是数学分析领域中的一个重要概念。
它是一个映射，可以将一个函数空间中的任意函数映射到另一个空间中的实数。
通常，广义函数被认为是一类比正常函数更广泛的对象。
在本文中，我们将讨论广义函数的定义和一些基本类型。
一、广义函数的定义广义函数最早由拉贝达提出，他称之为“分布”。
后来，克洛兹和斯特恩伯格改名为“广义函数”。
给定一个连续可导的实函数f(x)，我们可以将其视为一种普通的函数。
然而，在某些情况下，我们需要用更广泛的概念来描述这些函数。
具体来说，我们可以将广义函数视为一种广义的函数，它可以被描述为对某个函数类的元素进行积分。
这个函数类可以包含各种各样的函数，例如连续、可导、有界、几乎处处连续的函数等。
在广义函数的定义中，我们可以把它看做是从一个函数空间到一个实数空间的映射。
对于我们所选定的一类被称为测试函数的光滑函数来说，广义函数的值就是一个积分，即$<T,\phi>=\int T(x)\phi(x) dx $其中，T(x)是广义函数，也可称之为分布，而$\phi$是测试函数。
二、基本类型的广义函数接下来，我们将探讨广义函数的一些基本类型。
这些类型被引入来描述各种类型的真实问题，例如，表面上具有无限的导数，但在某些情况下可能无法计算出精确值。
其中比较重要的有以下几种类型：1. 常数分布常数分布（又称为狄拉克分布）是广义函数的最基本类型之一。
即：$<\delta(x),\phi>=\phi(0)$常数分布在物理、数学和工程学科中应用广泛，因为它对于描述突然出现的点源是非常有用的。
例如，在物理学中，常数分布通常用于描述粒子的位置。
2. 指数型函数指数型函数（又称为高斯函数）是一种具有像钟形曲线的形状的函数。
它可以被表示为指数的负平方：$G(x)=e^{-\frac{x^{2}}{2}}$指数型函数具有非常重要的性质。
例如，它在概率密度中经常用于描述随机变量的概率分布。
《Lesson 13》 讲义
《Lesson 13》讲义在我们的学习之旅中，每一课都像是一座知识的宝库，等待着我们去探索和挖掘。
今天，让我们一同走进Lesson 13，开启新的知识篇章。
这一课的主题涵盖了多个重要的方面。
首先是数学领域中的一个关键概念——函数。
函数就像是一个神奇的机器，我们给它输入一些数值，它就会按照特定的规则输出相应的结果。
比如说，常见的一次函数 y ＝ 2x ＋ 1，当我们输入 x ＝ 1 时，通过计算 2×1 ＋ 1 ＝ 3，就得到了对应的 y 值 3。
在函数的学习中，我们要理解函数的定义域和值域。
定义域就是输入值的范围，而值域则是输出值的范围。
比如，对于函数 y ＝ 1/x，因为分母不能为 0，所以定义域就是 x 不等于 0 的所有实数。
接着，我们来看看英语方面。
在这一课中，新的词汇和语法结构是重点。
例如，“accommodation”这个单词，意思是“住宿；膳宿”，在日常生活和旅游场景中经常会用到。
还有新的语法，如现在完成进行时，它用来表示一个动作从过去某个时间开始，一直持续到现在，并且可能还会继续下去。
比如说，“I have been waiting for you for two hours” 这句话就表明“我等你已经两个小时了”，并且等待的动作可能还在继续。
语文部分，我们接触到了新的文学作品和写作技巧。
一篇优秀的记叙文，要有清晰的时间线、生动的人物描写和引人入胜的情节。
比如，在描述一个人的外貌时，不能只是简单地说“他很高”，而可以这样写“他身材修长，仿佛一棵挺拔的白杨，笔直地站立在人群中，格外引人注目。
”在物理的学习中，这一课涉及到了力的合成与分解。
力是改变物体运动状态的原因，而当多个力同时作用于一个物体时，我们就需要将它们合成或分解来分析物体的运动情况。
就像拔河比赛中，双方的拉力就是多个力的体现。
化学方面，我们了解了新的化学反应类型和化学物质的性质。
比如酸碱中和反应，酸和碱相互作用生成盐和水。
12第十二章 广义函数及基本解
1 第十二章 广义函数及基本解§12.1 广义函数§12.1.1 广义函数的引入在前面我们定义了古典意义下的傅立叶变换。
但有许多在物理学和工程技术中重要的函数不满足前述的傅立叶积分定理的条件，如常数、单位阶跃函数、符号函数、周期函数等，就不满足定理中的绝对可积条件（即不满足条件：⎰+∞∞-∞<dt t f )(）；又如我们下面马上要讲到的δ函数，它不是普通意义上的函数，而是广义函数中奇异函数中的一种，严格说来，它谈不上在一点的值，所以也就谈不上满足傅立叶积分定理的条件。
为了使这些函数也能进行傅立叶变换，须引入广义函数的概念，这样站在一个更一般的角度去考虑问题，人们便发现了适于广义函数的傅立叶变换。
本课程不便就一般的、系统的广义函数理论去深入讨论，只作扼要的介绍。
历史上最早出现的广义函数是由物理学家狄拉克（Dirac ）为描述集中量的分布密度而引入的δ函数。
以一维的质量分布为例，用)(x m 表示在区间],(x -∞物体的质量，如果)(x m 1C ∈，则质量分布密度为dx x dm x )()(=ρ。
如果只有一个单位质量集中于坐标原点0=x ，则⎩⎨⎧<≥==.0,0,0,1)()(x x x H x m 这个)(x H 函数被称为赫维赛德（Heaviside ）函数。
如果记分布密度函数为)(x δ，则容易看出)(x δ具有如下一些性质：1.⎩⎨⎧=∞≠=.0,,0,0)(x x x δ2..1)(⎰∞∞-=dx x δ3.对任意连续函数)(x ϕ.)0()()(⎰∞∞-=ϕδϕdx x x 4..)()(dxx dH x =δ )(x H 在),(∞-∞不是1C 类函数,这里的微分符号也只是延用的形式符号。
如果把0=x 平移到0x x =，则)(x δ变为)(0x x -δ，有⎩⎨⎧=∞≠=-.,,,0)(000x x x x x x δ .)()()(00⎰∞∞-=-x dx x x x ϕδϕδ函数的引入以及对δ函数进行形式上的运算，虽然在数学上缺乏严谨，但它却有效地解决了物理上的问题，使统一处理通常的连续型分布和集中量的离散分布成为可能。
广义函数与delta函数
广义函数与delta函数广义函数是数学中的一个概念，它主要用于描述一些在普通意义下不具备严格定义的函数。
广义函数的引入为解决一些积分、微分方程等问题提供了很大的便利。
在广义函数的分类中，delta函数是其中一种非常重要且常用的广义函数。
本文将详细介绍广义函数的概念、性质以及delta函数的定义与应用。
一、广义函数的概念与性质1. 广义函数的概念广义函数通常被定义为某些特定性质的函数序列的极限。
在一些情况下，这些序列的极限函数可以是普通的函数，而在另一些情况下，它们可能只在某些特定的积分或者微分操作下有意义。
广义函数的引入提供了一种刻画某些特殊函数行为的数学工具。
2. 广义函数的性质广义函数的性质主要包括线性性、积分性和微分性。
具体来说，广义函数在积分和微分操作下具有一些特殊的性质。
线性性使得广义函数可以像普通函数一样进行线性组合、积分性可以使得广义函数与普通函数进行积分运算、微分性则使得广义函数的导数可以通过微分操作来定义。
二、delta函数的定义与性质1. delta函数的定义delta函数是广义函数中的一种特殊函数，它的定义比较抽象。
一种常见的定义方式是在测度论的框架下，将delta函数定义为满足一定性质的广义函数。
另一种常见的定义方式是使用极限关系，将delta函数定义为极限过程中的极限函数。
2. delta函数的性质delta函数具有一些重要的性质。
首先，delta函数在实数轴上的积分为1，即∫δ(x)dx=1。
其次，delta函数是奇函数，即δ(x)=δ(-x)。
此外，delta函数还具有平移、伸缩和微分等性质。
这些性质使得delta函数在物理学、工程学和信号处理等领域中得到广泛应用。
三、delta函数的应用1. 物理学中的应用在物理学中，delta函数常常用于描述粒子的位置、电流的脉冲等。
例如在量子力学中，波函数的平方模可以通过波函数与其共轭的积分获得，而波函数可以表示为delta函数的线性组合，从而简化了计算。
高等数学课件广义积分.ppt
因此, 当 p >1 时, 广义积分收敛 , 其值为
a 1 p ;
p1
当 p≤1 时, 广义积分发散 .
©
例5. 计算广义积分
解: 原式 t e pt p
1 e pt d t
p0
1 p2
e pt
1 p2
©
2002年考研数学(一)填空3分
1
1.计算
e
x
ln 2
dx x
解
e
1 x ln2
2
d
(x
) x
1
arctan
x
1 x
22
2 0
©
2.
求
解：
积分.
I
0
11
f
( x) f 2(x)
d
x
的无穷间断点, 故 I 为广义
3
21
f
( x) f 2 (x)
d
x
f 1
( x) f 2(x)
d
x
1
d
f f
(x) 2 (x)
arctan
f
(x)
C
]
]
2
2
©
( x a)1q 1q
b
a
1q
,
,
q1 q1
(b a)1q
所以当 q < 1 时, 该广义积分收敛 , 其值为
; 1q
当 q ≥ 1 时, 该广义积分发散 .
©
例9. 计算广义积分
3 dx
0
x
2
13
解:
3 dx
0
x
2
13
1 dx
0
x
第十三讲 广义函数的运算
问题界的唯一性得到，非常巧妙。
(i)
.令
,则
,可见 是
Cauchy 问题 得
的解.对 ,注意到
作 Fourier 变换 ,所以 也
是 Cauchy 问题
的解,由唯一性的
.
(ii)
例2
证明
.
例3 证明
.由 续性力的结果. 例４ 特别的 证明
及 的连
.
定理 (i)
(ii)
证明 (i)经典 Fourier 变换中的 Fourier 积分定理.
变换算子 的逆算子。
命题 3
证明 计算
上的 Fourier 变换
定义 1 称
的共轭算子
为 上的 Fourier 变换，仍
记为 （由命题 3 知该记法是方便的）。
的共轭算子
为 上的 Fourier 逆变换，仍记为 。
性质 1
证明
性质 2
证明
。 性质 3 证明
.
性质 4
，即
，
，
证
明
。
例1
证明 思路：先证 1 维，用变量分离积分推广到高维。1 维时通过 Cauchy
也是
线性连续算子.
稠密 单。
例1
是一个线性连续算子.
例2
是一个线性连续算
子
广义函数的微商
定义 1 称
为 阶广义微商运算,即
,
性质 1 对 证明
. 评注：广义函数微商定义公式是分部积分公式的推广. 性质 2 广义函数对微商运算是封闭的,任何局部可积函数都存在任意 次广义导数. 引述：The space of distributions is essentially the smallest extension of
广义函数与分布函数应用
广义函数与分布函数应用广义函数是一种分析学中用于处理不连续函数的基本工具。
分布函数则是概率论中一个重要的概念。
它们在各自领域内都有广泛的应用。
本文将结合具体例子，介绍广义函数和分布函数的定义和基本性质，并探讨它们在不同领域的应用。
一、广义函数广义函数（Generalized Function），也称分布（Distribution），是一种极其通用的分析工具。
它们可以用来描述各种不连续的函数，是一类类比于函数的对象。
对任意一个连续的函数f(x)，其在x=a点的导数可以定义为：$f'(a)=\lim_{h\rightarrow0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$但是对于跳跃函数$f(x)=\begin{cases}1, & x>0 \\0, & x\leq 0\end{cases}$虽然在x=0点左右的极限都存在，但是左右极限不相等，因此导数在这个点上没有定义，这时候就需要使用广义函数来描述其导数。
二、分布函数分布函数是概率论中的一个基本概念。
若随机变量X的概率密度为f(x)，则其分布函数F(x)定义为：$F(x)=P(X\leq x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)dt$分布函数有以下性质：1. $0\leq F(x)\leq1$2. $F(x)$是非降函数，即$x_1\leq x_2$时，$F(x_1)\leq F(x_2)$。
3. $F(x)$在$(-\infty,+\infty)$上是右连续的。
即，若$x_n$是一列单调递增的实数，则$\lim_{n\rightarrow\infty}F(x_n)=F(\lim_{n\rightarrow \infty}x_n)$。
三、广义函数的定义及基本性质1. Dirac函数将$f(x)=\delta(x)$称为Dirac函数，它的定义为：$\delta(x)=\begin{cases}\infty, & x=0 \\0, & x\neq 0\end{cases}$但是，通过广义函数的定义可以进行数学上的合法计算。
广义函数与数学物理方程
广义函数与数学物理方程摘要：一、广义函数的定义与性质1.广义函数的概念2.广义函数的性质3.广义函数在数学物理中的应用二、数学物理方程的基本概念1.数学物理方程的来源2.典型数学物理方程介绍3.数学物理方程的求解方法三、广义函数在数学物理方程中的应用1.广义函数在波动方程中的应用2.广义函数在热传导方程中的应用3.广义函数在薛定谔方程中的应用四、广义函数在数学物理研究中的重要性1.广义函数为数学物理问题提供了一种新的处理方法2.广义函数在现代物理研究中的广泛应用3.广义函数在解决实际问题中的优势与挑战正文：广义函数与数学物理方程在现代科学研究中具有重要的地位。
广义函数是一种具有特殊性质的数学对象，可以用于描述和处理复杂的物理现象。
数学物理方程则是这些现象的数学表达式，通过求解这些方程，我们可以理解自然界的规律。
广义函数在数学物理方程中发挥着关键作用，为解决复杂的数学物理问题提供了一种新的处理方法。
首先，我们来了解一下广义函数的定义与性质。
广义函数是一种特殊的函数，它不仅包括传统意义上的连续函数和离散函数，还包括具有某些特殊性质的函数。
这些特殊性质使得广义函数能够更好地描述和处理复杂的物理现象。
例如，在波动方程、热传导方程和薛定谔方程等数学物理方程中，广义函数可以用来表示物理量的不连续性、非局部性和非线性性等特征。
接下来，我们介绍一下数学物理方程的基本概念。
数学物理方程是描述物理现象的数学表达式，通常包括微分方程、积分方程和代数方程等形式。
这些方程来源于物理定律，如牛顿定律、电磁场方程等。
求解数学物理方程可以帮助我们理解自然界的规律，并为实际问题提供解决方案。
在了解了广义函数和数学物理方程的基本概念后，我们来看看广义函数在数学物理方程中的应用。
在波动方程中，广义函数可以用来描述波的传播过程中的衰减和畸变等现象；在热传导方程中，广义函数可以用来描述热传导过程中的不连续性和非线性性；在薛定谔方程中，广义函数可以用来描述量子力学中的波函数。
广义函数介绍
函数概念的框架。试想，一个仅在一点不为零的函数，是几乎处处为零的，其积分应当是0， 怎么可能是1呢？这类 x 在工程里常常遇到，例如无线电工程中考察脉冲，在极短的一个 时间内爆发出一个能量的信号，合上述质量的类型相似。 从 x 的性质，还可以形式地认为，对一切连续函数 x 应有 x x dx 0 ，这
例2 x 现在我们可以给本节开始时引进的 x 一个严格的数学定义。如果 上的连续线性 泛函由下式给定：对一切 ，对应数值 0 ，称这一泛函为 ，换句话说，对 一切 ，有 = 0 。 这一定义正是 - 为 上连续线性泛函是不难验证的：
续线性泛函知 F ， 也是连续线性泛函。同样可定义二阶以至任意阶的导数。这 样一来，基本空间中函数的优良性质就能够转移到广义函数上了。
=例3 设 x 在x＜0时为0，在x≥0时恒为1，这时 x 这是因为
， L x作为广义函数有导数
，
， =- ， =-- x x dx
时这意味着在任何有限区间上各阶导数包括零阶导数一致收敛当然更有这样一来我们确实得到了一个新的概念它包括通常的局部l可积函数在内又包含超出通常函数概念的在内
§3 广义函数大意
自然科学的发展表明，古典的函数概念是不够的，或是不完全适合的。于是，广义函数 论随之兴起。广义函数包括通常的函数在内，甚至更广。它应是无限次可导和自由地进 行极限交换这一节我们介绍广义函数的大意。 首先介绍工程技术中常用的函数。设想在无限长的细棒上有一质量分布，只集中在一 点x 0处，总质量为1个单位。这意思是说，有一假象的密度函数 x ，当x 0时，在x 0， 密度为无限大，而密度函数的积分为总质量1 : x dx 1.这种假象的函数，已超出了通常
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所以
注 一般的不能定义两个广义函数的乘积,按倒葫芦瓢又起!
平移算子与反射算子
定义 3 对
，
线性连续算子，称为平移算子。
是 是线性连续算子，称为反射算
子。
定义 4 分别称
为广义函数
上的平移
算子和反射算子。
注 这一定义表明,虽然广义函数函数一般没有逐点意义,但是还是需
要附上一个自变量.
4 上的 Fourier 变换
变换算子 的逆算子。
命题 3
证明 计算
上的 Fourier 变换
定义 1 称
的共轭算子
为 上的 Fourier 变换，仍
记为 （由命题 3 知该记法是方便的）。
的共轭算子
为 上的 Fourier 逆变换，仍记为 。
性质 1
证明
性质 2
证明
。 性质 3 证明
.
性质 4
，即
，
，
证
明
。
例1
证明 思路：先证 1 维，用变量分离积分推广到高维。1 维时通过 Cauchy
定义 1 称
为 阶广义微商运算,即
,
性质 1 对 证明
. 评注：广义函数微商定义公式是分部积分公式的推广. 性质 2 广义函数对微商运算是封闭的,任何局部可积函数都存在任意 次广义导数. 引述：The space of distributions is essentially the smallest extension of
the space of continuous functions where differentiation is always well
defined. ‐‐‐‐‐‐ L. Hormander
性质 3 广义微商总是可以交换次序的,
性质 4 广义微商是连续的,即
.从而求导运算与
极限运算可交换次序.
问题界的唯一性得到，非常巧妙。
(i)
.令
,则
,可见 是
Cauchy 问题 得
的解.对 ,注意到
作 Fourier 变换 ,所以 也
是 Cauchy 问题
的解,由唯一性的
.
(ii)
例2
证明
.
例3 证明
.由 续性力的结果. 例４ 特别的 证明
及 的连
.
定理 (i)
(ii)
证明 (i)经典 Fourier 变换中的 Fourier 积分定理.
推广 Fourier 变换。
命题 1
。
证明 思路 （i）
，（ii） 连续。
（i）由经典 Fourier 变换的性质 1、2 保证。
（ii）用可数模空间的线性算子连续性的等价刻画定理直接估计。
命题 2
，
。
证明 经典 Fourier 变换的性质 4，线性连续算子复合。
推论
线性连续同胚，Fourier 逆变换算子 就是 Fourier
及其性质。
Exe P190 1，4，6， P 196 ，3
1 没引入缓增广义函数的 Fourier 变换之前,人们用稠密延拓定理直接将此极限定义为 的 Fourier 变换像.
经典 Fourier 变换
称为函数 的 Fourier 变换。
称为函数 的 Fourier 逆变换。
性质 1 若
，则
,
性质 2 若
，则
,
.
性质 3
，
性质 4
，
，
Riemann‐Lebesgue 引 理
，
且
Fourier 积分定理 若
，则
。
推论
，
。
由于
，这使得经典
Fourier 变换的应用受到限制。引入缓增广义函数的目的之一就是要
评注：非常漂亮的性质,他在经典分析中是很头痛的问题。
证明
,
.
例 1 求 Haverside 函数 的广义微商
解
，
。
例2 设
，则
，
。其中 是 中单位球面的面积。
证明 思路：直接计算，
在原点有奇异性，挖洞法。
（i） 。对
，我们有
（ii） 证明与（i）相同。
广义函数乘法
定义 2 对 例 3 计算 解
定义为
(ii)
的特殊情形。但也可以直接计算：
.
定 理 (Plancherel 定 理 )
保持范数不变,即
.
证明 思路：先直接计算知子空间 上结论正确，再用稠密延拓定理。
(i) 对
,由
知结论成立.
(ii) 对 知道 而
,由
稠密,所以存在
,
是一个 Cauchy 列,所以
.由(i) 1.从 .
另一方面,由
到 的嵌入是连续的,所以当
3 广义函数的运算
内容简介: 广义函数的微分，乘法，缓增广义函数的 Fourier 变换
广义函数运算的基本思想：视 上的某些经典运算为 上一个
线性连续算子，通过转置将其扩展到广义函数 上去.
设
线性连续,则其共轭算子
也是
线性连续算子.
稠密 单。
例1
是一个线性连续算子.
例2
是一个线性连续算
子
广义函数的微商
时有
.又由
,而
连续,所以
,所以
.从而
.
推论
保持内积不变,从而 是一个酉算子.
注: （i）
连续, 但
是不能说 就是 得逆算子，不过 Fourier 积分定理表明它们可以限
制在更小的经典函数空间内有互逆性。由函数积
可以看到引入速降函数的理由。
（）
酉算子且
。
总结：广义函数的微分，广义函数的乘法，广义函数的 Fourier 变换