7.6-7.7泰勒公式与泰勒级数及某些初等函数的幂级数展开式
泰勒Taylor级数展开
一、定理(泰勒定理)：
设f(z)在以z0为圆心的圆域 CR内解析，则对于圆内任意 z点，f(z)可展开为幂级数
f ( z ) ak ( z z 0 ) k
k 0
其中
f ( k ) ( z0 ) 1 f ( ) ak d k 1 C 2i R1 ( z0 ) k!
∵离z0=1最近的支点为z=0 ∴收敛半径取R=1，收敛圆为|z-1|< 1
而
(ln z )
1 z
1 1 (1 z ) k z 1 (1 z ) k 0
(1) k ( z 1) k
k 0
(| z 1 | 1)
1 ln z dz (1) k ( z 1) k dz z k 0
收敛半径为R=|b-a|，收敛圆为|z-a|< |b-a|
例3：f(z)=lnz，在z0=1处展开 f(z)=lnz是多值函数，如理解为定义在黎曼 面上，则可看成单值解析函数。 支点为：0，∞ z0=1不是支点，以z0=1为中心展开时，邻域 内不能包含支点，这样各单值分支相互独立， 各自可看成单值解析函数。
1 n a ( z a ) 表示成形如 n z b n 0
的
则当 z a 1时，有
ba 2 n 1 za za za 1 ... ... za ba ba ba 1 ba
1 1 1 1 2 ( z a ) ( z a ) z b b a (b a) 2 (b a)3 1 n 1 ... ( z a ) 1 (1) (| z | ) (2k 1)! k 0
k
例5：把函数 幂级数，其中a、b是不相等的常数。
初等函数的幂级数展开式
将函数ln(1+x)展开成 x的幂级数 的幂级数. 展开成 的幂级数 例1* 将函数 1 , 解 因为 [ln(1 + x )]′ = 1+ x 又
1 =1−x + x2 −x3+···+(−1)nxn +··· − − 1+ x
对上式逐项积分 对上式逐项积分 ∞ x dt x − ln(1+x) = ∫ = ∑ ∫ (−1)nt ndt 0 1+ t 0 n= 0 1 2 1 3 1 n+1 n = x − x + x − L+ (−1) x +L n+1 2 3 ∞ xn = ∑ ( − 1) n−1 n n=1
n n n−1
(1+x)n=1+nx+
n( n − 1) 2 n( n − 1)L ( n − k + 1) k x x +L+ 2! n! n! − +⋅⋅⋅ +nxn−1+x n ⋅⋅⋅
? (1+x)α =
α (α − 1 ) 2 α (α − 1 ) L (α − n + 1 ) n 1+αx+ x +L x +L+ 2! n!
(0) n f ′′ ( 0 ) 2 f (n) (0) n ∑0 n ! x = f ( 0 ) + f ′( 0 ) x + 2! x + L + n ! x + L n= 称为函数 f (x)的麦克劳林级数 的麦克劳林级数. f
(n) ∞
定理2 泰勒级数在 内收敛于f 定理 f(x)在x0点的泰勒级数在UR (x0)内收敛于 (x) 在 点的泰勒级数 内收敛于 ⇔ 在UR (x0) 内, Rn(x)→0. →
7.6函数的幂级数展开
通过上节的学习知道:任何一个幂级数在其收敛区间
内,均可表示成一个函数(即和函数).
an xn a0 a1 x a2 x2 L an xn L S( x) x D
n0
本节要解决的问题是:给定函数 f (x),能否在某个区间内 展成幂级数.
f ( x) an xn a0 a1 x a2 x2 L an xn L n0
1 f (n) (0)xn f (0) f (0) x L 1 f (n)(0)xn L
n0 n!
1!
n!
1 x L xn L
易知该级数在(1,1)内收敛于 1 f ( x). 1 x
f (x)
级数
n0
f (n) ( x0 ) ( x n!
x0 )n为f ( x)在x
x0处的泰勒级数
即拉格朗日公式,所以泰勒公式是拉格朗日公式的推广,相应的余项 Rn( x)称为拉格朗日型余项.
注2：当x0
0时,()式变为f ( x)
f (0)
f (0)x
f (0) x2 2!
L
f (n) (0) xn n!
f (n1) ( )
(n 1)!
x
n1
,
在x0与x之间.
称为f (x)的马克劳林公式.
例：求f ( x) 1 的马克劳林级数,并讨论该级数在收敛域内 1 x
是否收敛于f ( x).
解：
f
( x)
(x
1 1)2
f
(
x)
(
x
2 1)3
LL
f
(n) (
x)
(1)n1
(
x
n! 1)n1
LL
常见幂级数展开式求和公式
常见幂级数展开式求和公式幂级数展开式是一种重要的数学工具，可以将各种函数表示为无穷级数的形式。
常见的幂级数展开式求和公式有泰勒级数、麦克劳林级数和幂级数的逐项积分求和公式。
下面将逐一介绍这些公式。
1.泰勒级数求和公式：泰勒级数是将一个函数在其中一点展开成无穷级数的形式，用于近似表示函数在该点的值。
对于具有充分多次可导性的函数f(x)，其在x=a 处的泰勒级数展开式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...其中，f^n(a)表示f(x)在x=a点的n阶导数，n!表示n的阶乘。
当n 足够大时，泰勒级数可以提供较准确的函数近似。
2.麦克劳林级数求和公式：麦克劳林级数是泰勒级数在x=0处展开的特殊形式。
对于具有充分多次可导性的函数f(x)，其在x=0处的麦克劳林级数展开式为：f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2!+f'''(0)x^3/3!+...麦克劳林级数将函数近似表示为多项式的形式，方便计算。
3.幂级数逐项积分求和公式：对于幂级数∑a_n(x-a)^n，可以对其逐项积分得到：∫[∑a_n(x-a)^n]dx = ∑[a_n/(n+1)(x-a)^(n+1)] + C其中，C为积分常数。
这个公式可以用于计算幂级数的积分。
除了上述三种常见幂级数展开式求和公式，还有一些其他的展开式求和公式，如：4.欧拉恒等式：欧拉恒等式表示以自然对数e为底的指数函数和三角函数的关系：e^ix = cos(x) + i·sin(x)其中，i表示虚数单位。
这个等式广泛应用于复数分析、信号处理等领域。
5.贝塞尔函数展开式：贝塞尔函数是一类特殊的函数，可以用无穷级数表示。
对于整数阶的贝塞尔函数J_n(x)，其展开式为：J_n(x)=(∑[(-1)^k/(k!(n+k)!)(x/2)^(2k+n)])/(x/2)^n贝塞尔函数在物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
7.6 泰勒公式与泰勒级数
麦克劳林(Maclaurin)公式:
f ′′ ( 0 ) 2 注3：当n=0时,泰勒公式即为拉格朗日中值定理. f ( x ) = f ( 0 ) + f ′( 0 ) x + 2! f ( x ) = f ( f 0( ) )+ 0f)′(ξn)( x − (x0+) ) (θ ξ在x0n与x之间) x n ( f n 1 (x ) + ... + x + ⋅ x +1 n! ( n + 1)! x
两函数 Rn (x)及( x − x0 )n+1在以 x0及 x 为端点
的区间上满足柯西中值定理的条件,得 的区间上满足柯西中值定理的条件,
Rn ( x ) Rn ( x ) − Rn ( x0 ) = n +1 ( x − x0 ) ( x − x 0 ) n +1 − 0
′ Rn (ξ1 ) = (ξ1在 x0与 x之间) n ( n + 1)(ξ1 − x0 )
因为 S
(n+1) n
( (x) = 0, 所以 Rnn+1) (x) = f (n+1) (x)
由 式 则 上 得
f (n+1) (ξ ) Rn( x) = ( x − x0 )n+1 (ξ在 0与 之 ) x x 间 (n + 1)!
拉格朗日形式的余项
f (n+1) (ξ) (x − x0 )n+1 (ξ在 0与 之 ) Rn (x) = x x 间 ( n +1)!
e , x ≠ 0 例 f ( x) = 如 0, x=0
− 1 x2
点任意可导, 在x=0点任意可导 且 f 点任意可导
幂级数展开式常用公式 csdn
幂级数展开式常用公式一、概述幂级数展开是微积分中非常重要的一个概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在实际问题中，往往需要根据实际情况来拟定幂级数展开式，以便进行进一步的分析和计算。
本文将介绍一些幂级数展开式的常用公式，以帮助读者更好地理解和应用这一重要的数学工具。
二、常见的幂级数展开式1. $e^x$的幂级数展开式可以利用泰勒公式得到$e^x$的幂级数展开式：$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$$这个幂级数在实际计算中有着广泛的应用，特别是在微积分和概率论中。
2. $\sin x$的幂级数展开式$\sin x$函数的幂级数展开式为：$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$$3. $\cos x$的幂级数展开式$\cos x$函数的幂级数展开式为：$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$$4. $\ln(1 + x)$的幂级数展开式$\ln(1 + x)$函数的幂级数展开式为：$$\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$$5. $(1 + x)^\alpha$的幂级数展开式当$\alpha$为实数时，$(1 + x)^\alpha$的幂级数展开式为：$$(1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!} x^2 + \frac{\alpha(\alpha - 1)(\alpha - 2)}{3!} x^3 + \cdots$$这个幂级数展开式在概率论和统计学中有着广泛的应用。
泰勒展开公式与泰勒级数
泰勒展开公式与泰勒级数
泰勒展开公式（Taylor expansion formula）是数学中用于将任意光滑函数表示为无限项多项式的公式。
设函数f(x)在某个点a处具有n阶导数，则f(x)在a附近的泰勒展开公式如下：
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... + f^n(a)(x-a)^n/n! +
R_n(x)
其中 f(a), f'(a), f''(a), ..., f^n(a) 分别表示函数f(x)在点a处的0阶、1阶、2阶、...n阶导数的值。
(x-a)^n 表示(x-a)的n次方。
n! 表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。
R_n(x) 表示剩余项（remainder term），它的具体形式与f(x)的性质有关，它的存在保证了展开公式的精确性。
当n趋向于无穷时，泰勒展开公式也可以写成泰勒级数（Taylor series）的形式，即：
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... + f^n(a)(x-a)^n/n! + ...
泰勒展开公式与泰勒级数在数学分析、近似计算、物理学等领域具有广泛的应用。
它们可以用于近似计算函数的值、计算函数的导数、研究函数的性质等。
常见函数泰勒公式展开式大全
常见函数泰勒公式展开式大全常见函数的泰勒公式展开式大全在数学中，泰勒公式是将一个函数在某一点附近展开成无穷级数的方法，它是微积分中的重要工具之一。
泰勒公式的展开可以帮助我们近似计算函数在某一点的值，进而研究函数的性质和行为。
下面是一些常见函数的泰勒公式展开式大全。
1.指数函数的泰勒公式展开式指数函数的泰勒公式展开式是：$$e^x = 1 + x + %frac{x^2}{2!} + %frac{x^3}{3!}+ %frac{x^4}{4!} + Íots$$这个展开式在$x=0$附近是收敛的，并且对于任意实数$x$都成立。
2.三角函数的泰勒公式展开式正弦函数的泰勒公式展开式是：$$%sin(x) = x - %frac{x^3}{3!} + %frac{x^5}{5!} -%frac{x^7}{7!} + Íots$$余弦函数的泰勒公式展开式是：$$%cos(x) = 1 - %frac{x^2}{2!} + %frac{x^4}{4!} -%frac{x^6}{6!} + Íots$$这两个展开式在$x=0$附近是收敛的，并且对于任意实数$x$都成立。
3.对数函数的泰勒公式展开式自然对数函数的泰勒公式展开式是：$$%ln(1+x) = x - %frac{x^2}{2} + %frac{x^3}{3} -%frac{x^4}{4} + Íots$$这个展开式在$x=0$附近是收敛的，并且对于$-1<x%leq 1$都成立。
4.幂函数的泰勒公式展开式幂函数的泰勒公式展开式是：$$(1+x)^a = 1 + ax + %frac{a(a-1)}{2!}x^2 + %frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3 + Íots$$这个展开式在$x=0$附近是收敛的，并且对于任意实数$a$和$-1<x%leq 1$都成立。
5.反正弦函数的泰勒公式展开式反正弦函数的泰勒公式展开式是：$$%arcsin(x) = x + %frac{x^3}{3}+ %frac{1}{2}Íot%frac{3}{4}Íot%frac{x^5}{5}+ %frac{1Íot3}{2Íot4}Íot%frac{3Íot5}{4Íot6}Íot%frac{x^7}{7} + Íots$$这个展开式在$x=-1$到$x=1$之间是收敛的，并且对于任意实数$x$都成立。
7-6-8 泰勒公式与泰勒级数
当
a 1 1 a 0 a 1
收敛域 = (-1,1)
收敛域 = (-1,1]
收敛域 = [-1,1]
第7章 无穷级数
7.6 泰勒公式与泰勒级数
特别的,
1 2 3 n n (1 x ) 1 x x x ... ( 1) x ... ( 1 x 1) 1 x
arctan x
x
0
1 dt 2 1 t
1 2 3 n n 1 x x x ... (1) x ... ( 1 x 1) 1 x 1 2 4 6 n 1 2( n 1) 1 x x x ... (1) x ... 2 1 x 2 n 1 x x 1 n 1 2( n 1) n x dt (1) arctan x dt (1) t 2 0 0 1 t 2n 1 n 0 n 0 2 n 1 1 3 1 5 n 1 x x x x ... (1) ... (1 x 1) 3 5 2n 1
f ( x ) (cos x ) sin x sin x ;
3 f ( x ) ( sin x ) cos x sin x ; 2
f (4) ( x ) ( cos x ) sin x sin x 2 ;
7.6 泰勒公式与泰勒级数
7.6 泰勒公式与泰勒级数
第7章 无穷级数
7.6 泰勒公式与泰勒级数
主要教学内容
(1) 泰勒公式与泰勒级数；(2) 函数的幂级数展开
教学目的及要求:
理解泰勒、马克劳林级数的概念，了解函数的幂级数展开的间 接法
重点难点及解决措施: 重点: 马克劳林级数 难点: 函数的幂级数展开 解决措施: 注重启发与分析. 教学方法及段设计: 讲授法. 课时：2课时
泰勒公式和泰勒级数
于是 f(x)=e x 在x=0的n阶泰勒公式为:
ex1x2 1 !x2n 1 !xnR n(x)
n k0
xk k!
Rn(x)
其中 Rn(x)(nex1)!xn1 0< <1.
二、泰勒级数
定义 如果函数f (x)在x0的某邻域内是存在任意阶 导数,则幂级数
n 0 f(nn)(!x0)(xx0)n = f(x0) + f (x0)(xx0)
f (x)=f(x0) +f(x0f)((n xn)(!xx00))+(xfx2(0!x)0n)+(Rxn(xx)0)2(1)
其中 Rn(x)f(n (n 1)1())!(xx0)n1( 在x0与x之间)
公式(1)称为函数 f (x)在x0处的泰勒公式.
Rn(x)称为拉格朗日(Lagrange)余项.
n次多项式系数的确定
猜想
近 1 若在x0点相交
y
似 程
Pn(x0)= f (x0)
度 2 若有相同的切线
越 来
Pn (x0)= f (x0)
越 3 若弯曲方向相同
好
Pn (x0)= f (x0) o
假设 Pn(k)(x0)= f (k)(x0)
y=f(x)
y=Pn (x)
x0
x
Pn(x) =a0 +a1(xx0)+a2(xx0)2+···+an(xx0)n
假设 Pn(k)(x0)= f (k)(x0)
k=0, 1, 2, 3, ···, n
Pn (x)=a1+2a2(xx0)+3a3(xx0)2+···+nan(xx0)n1
Pn (x)=2a2+32a2(xx0)+···+n(n 1)an(xx0)n2
初等函数的幂级数展开
一、 泰勒级数在泰勒定理中曾指出，若函数f 在点0x 的某邻域内存在直至n +1阶的连续导数，则：()f x =''()'20000000()()()+f ()(-x )+(x-x )++(x-x )+R (x)2!!n n n f x f x f x x x n （1） 这里()n R x 为拉格朗日余项(+1)+10()()=(x-x )+1!n n n f R x n （）（2） 其中， 在0x 与x 之间，称（1）为f 在0x 的泰勒展式。
如果在（1）中抹去余项()n R x ，那么在0x 附近f 可用（1）式右边的多项式来近似代替，如果函数f 在x=0x 处存在任意阶的导数，这时称形式为''()'20000000()()()+f ()(-x )+(x-x )++(x-x )+2!!n n f x f x f x x x n （3）的级数为函数f 在0x 的泰勒级数，对于级数（3）是否能在0x 附近确切的表达f,或说f 在0x 的泰勒级数在0x 附近的和函数是否就是f ，这就是下面要讨论的问题。
先看一个例子： 例1 由于函数21-e ,0()0,0x x f x x ⎧⎪≠=⎨⎪=⎩在x=0处任何阶导数都等于0，即()(0)=0,n=1,2,n f所以f 在x=0的泰勒级数为2000+0++++2!!n x x x n 显然它在(),-∞+∞上收敛，且其和函数S （x ）=0.由此看到，对一切x 不等于0，都有f(x)不等于S(x).这个例子说明，具有任意阶导数的函数，其泰勒级数并不是都能收敛于函数本身，下面定理指出，具备什么条件的函数f,它的泰勒级数才能收敛于函数本身。
定理 设f 在点0x 具有任意阶导数，那么f 在区间00(-r,+r)x x 内等于它的泰勒级数的和函数的充分条件是：对一切满足不等式0-<r x x 的x,有lim ()=0n n R x →∞这里()n R x 是f 在0x 的泰勒公式余项。
第六节 Taylor级数与函数的幂级数展开PPT课件
例4 把 sin z 和cos z 展开为z 的幂级数。
解： cos z eiz eiz 2
又，
eiz (iz)n , eiz (iz)n
n0 n!
n0 n!
故
cos z
1 2
(iz)n
n0
n!
(iz)n n!
+
f (z) =
f (n)(a) (z a)n
n0 n!
证明：B(a, d )表示以a为圆心，d为半径的圆，B(a, d ) D. 对z B(a, d )，取r 使得 z - a r d，显然有， f (z)在闭圆 z - a r 内解析。
现记圆周Kr { : a r}，由Cauchy积分公式，
1 关于 一致收敛
=======
n0 2 i
Kr
(
f ( )
a)n1
(z
a)n d
=
n0
1
2
i
Kr
(
f ( )
a)n1
d
( z
a)n
=
f (n)(a)(z a)n
n0 n!
证毕
上式右端的级数称为f (z)在点a 的Taylor级数，或
Taylor展开式。cn
f (n) (a) 称为Taylor系数。 n!
+
f (x) =
f (n)(a) ( x a)n
n0 n!
在这种情况下，收敛域被限制在实轴部分，称为上式
的收敛区间。
注：做实函数的幂级数展开时，要分析区间端点的敛 散情况。
几个基本的展开式:
(1) e x xn 1 x x2 x3
7-7初等函数的幂级数展开式
一、直接法(泰勒级数法)
利用泰勒公式或麦克劳林公式将f(x)展开为幂级数
步骤: (1) 求 f (n)(x), n=0,1,2,
(2)
计算
an
f (n)( x0 ) , n!
n=0,1,2,
(3)
写出幂级数
n1
f(nn)(!x0)(xx0)n
并求出其收敛区间.
(4) 讨论 ln im Rn(x)? 0 若为0, 则幂级数在此收敛区间内等于函数 f(x);
所以
(1)
1 5
ห้องสมุดไป่ตู้
x
1 5(1
x
)
1[15x(x)2 (x)n ]
5 55
5
1 55x25 x32 5xn n1
x n
由 | x | 1
n0 5n1
得收敛区间为:
x(5, 5).
5
(2)
1 1 5x 3(x2)
1 3
1
1 x
n ! (n1 )!
n xn1
n1 (n1)!
x(, +).
例5 将下列函数展开成 x的幂级数.
1
解 因为
1
(1) 1
=1x
x +
2
x2
(2) arctan x x3+···+(1)nxn
+···x(1,1).
1 x
(1) 以x2 代替上式中的 x ,
1
1
an an1
|
lim|
n
n1
n
|=1,
注意: 当x=1时, 级数的收敛性与 的取值有关.
第六节泰勒公式与泰勒级数
§7.6 泰勒公式与泰勒级数教学目的：掌握泰勒公式与TaylorTh ，了解函数的Taylor 级数与 Taylor 展式的关系.重点：泰勒公式与泰勒定理成立的条件,理解泰勒公式的推导方法. 难点: 理解泰勒公式的推导方法.教学方法：启发式讲授与指导练习相结合 教学过程：O 、近似表达函数的多项式的特性 无论是函数的性态还是近似计算，多项式函数总是比较简单.为此可以考虑在一个局部范围内用多项式来近似表示一个复杂函数引例：当x 很小时，1xe x ≈+，设()xf x e =，1()1P x x =+，则11(0)(0)1,(0)(0)1f P f P ''====若将21222()()1,(0)(0)1,()2x x P x P x x f P P x e ''''=+==换成＋则与在0x =更为接近.猜想将1()()n P x P x 换成则在0x x =处两函数有直到n 阶相同的导数，其在0x x =处接近的程度更高，即212!nxx x e x n ≈++++.为用多项式表示更复杂的函数：设有函数)(x f 在0x x =的某一邻域内有直到1n +阶的导数，令)(x f ≈0100()()()n n n P x a a x x a x x =+-++-，再令)()(1I D x f n +∈,),(0b a I x =∈,若 ()()00()()k k n f x P x =,n k ,,1,0 =.（(0)(0)00()()n f x P x =表示0k =的函数值相等）则)(!10)(x f k a k k =（n k ,,1,0 =），于是)(x f ≈0100()()()n n n P x a a x x a x x =+-++-.证明：因0100()()()n n n P x a a x x a x x =+-++-,10()()(1)n P x a x x O '=+-,20()2!()(1)n P x a x x O ''=+-…… , ()0()!()(1)k n k P x k a x x O =+- …… , ()()!n n n P x n a =,那么 ()()00()()!k k n k f x P x k a ==,所以 )(!10)(x f k a k k =, n k ,,1,0 =.一、泰勒（Taylor ）公式在讲第三章微分的应用时我们导出了近似公式000()()()()f x f x f x x x '≈+- （ 当0x x -很小时，）从几何上看，这是在点0x 附近用切线的一段近似地代替曲线弧.在 函数改变量的表达式0000()()()()()f x f x f x x x o x x '=+-+-中 略去了一个关于（0x x -）的高阶无穷小量（0x x →时）.但公式000()()()()f x f x f x x x '≈+-在实际计算中的精度不高，其误差为 000()()()()()R x f x f x f x x x '=---，可以求出()200()()(),,2!f R x x x x x ξξ''=-∈.如果需要精度更高些，可将（0x x -）的高阶无穷小分离成两部分()220200()()()o x x a x x o x x -=-+-（0x x →时）.保留与20()x x -同阶的无穷小量，略去20()x x -的高阶无穷小量，此时有 200020()()()()()f x f x f x x x a x x '≈+-+-，以此类推，为达到一定精确度的要求，可考虑用n 次多项式()P x 近 似表示()f x ，当0x x -很小时，将多项式()P x 写成以（0x x -） 的方幂展开的形式2010200()()()()n n P x a a x x a x x a x x =+-+-++-，其中012,,,a a a 是待定系数.我们知道()P x 具有任意阶的连续导数，将()P x 的多项式两边求一阶到n 阶导数，并令0x x =可得 ()0001020(),(),()2!,,()!n n P x a P x a P x a P x n a '''==== 于是()P x 可以写成200000()()()()()()2!P x P x P x P x x x x x '''=+-+-+()00()()!n n P x x x n +- 若函数)(x f 在0x x =的某一邻域内一阶到n 阶的导数都存在，可以做出一个n 次多项式200000()()()()()()2!n P x P x P x P x x x x x '''=+-+-+()00()()!n n P x x x n +- ()n P x 不一定等于()f x ，但它可以近似表示()f x ，它的近似程度可以由误差()()()n n R x f x P x =-来确定. 设10()()(1)!n n kR x x x n +=-+，如果能确定k 的值，则()n R x 就确定了.【定理7.14】（泰勒公式）设()f x 在含有0x 的区间(,)I a b =内 有直到1n +阶的连续导数,则),(b a x ∈∀，()f x 可以按（0x x -） 的方幂展开为()()()n n f x P x R x =+)())((!1))(()(00)(000x R x x x f n x x x f x f n n n +-++-'+= . 此式称为按0x x -的幂展开n 阶泰勒公式.其中10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ 称为拉格朗日型余项, ξ介于0x 与x 之间. 证明：因为()f x 在含有0x 的区间(,)I a b =内有直到1n +阶的连续导数,所以对于0(,)x a b ∈，可将()f x 写成200000()()()()()()2!f x f x f x f x x x x x '''=+-+-+ ()10001()()()!(1)!n n n k f x x x x x n n ++-+-+为求出k 的值，引进辅助函数2()()()()()()()2!f t t f x f t f t x t x t ϕ'''=------()11()()()!(1)!n n n k f t x t x t n n +----+ 显然 0()()0x x ϕϕ==，()t ϕ在区间0[,]x x 上连续（设0x x >），在区间0(,)x x 内可导，由罗尔中值定理可知，至少存在一点0(,)x x ξ∈，使得()0ϕξ'=，因为()()()()[()()()]t f t f t x t f t x t f t ϕ''''''=------2()[()()()]2!f t x t f t x t '''''---- (4)32()()[()()]3!2!f t f t x t x t '''-----(1)()(1)()()[()()]()!(1)!!n n nn n f t f t k x t x t x t n n n +-----+-- 化简整理得 (1)()()[()]!nn x t t k f t n ϕ+-'=- 所以(1)()[()]0!nn x k f n ξξ+--=，而 ()0n x ξ-≠ 由 (1)(1)()0()n n k fk f ξξ++-=⇒=，于是 10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ，ξ介于0x 与x 之间.在公式中当00x =时，公式可化为麦克劳林公式()2(0)(0)()(0)(0)()2!!n n n f f f x f f x x x R x n '''=+++++其中 (1)1()()(1)!n n n f R x x n ξ++=+ 或令,01x ξθθ=<<，则 (1)1()()(1)!n n n f x R x x n θ++=+另证：不妨设0x x >.令()()()n n R t f t P t =-,10)()(+-=n n x t t G ,由条件知：(连续1n +次使用柯西中值定理可以证明)],[)(),(0)()(x x C t G t R k n k n ∈,),()(),(0)()(x x D t G t R k n k n ∈, 显然 0)()(0)(0)(==x G x R k n k n , n k ,,1,0 =.那么)()()()()()()()()()()()(0101110010x G G x R R G R x G x G x R x R x x x R n n n n n nn n n n n n '-''-'=''=--=-+ξξξξ )!1()()()()()()1(1)1(1)1(22+===''''=+++++n f G R G R n n n n n n n n n ξξξξξ , 其中 x x n <<<<=<+1210ξξξξ ，所以10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ, ξ介于0x 与x 之间.例1 求xe xf =)(的n 阶麦克劳林公式. 解 因x k e x f=)()(,1)0(0)(==e f k ,1,,1,0+=n k ，那么1)1()()!1()()0(!1)0()0()(++++++'+==n n nn xx n x f x f n x f f x f e θ1 2)!1(!1!211+++++++=n xn x n e x n x x θ ,10<<θ.例2 求x x f sin )(=的n 阶麦克劳林公式.解 因)2sin()()(πk x x f k +=, )2sin()0()(πk f k =.有(0)0,(0)1,(0)0,(0)1,f f f f ''''''====-0)0()2(=k f ,(21)(0)(1)k k f +=-,0,1,2k =，那么 sin ()x f x =(21)()211()(0)(0)(0)!(21)!n n n n f x f f x f x x n n θ++'=+++++35212()3!5!(21)!n n x x x x R x n -=-+-++-,(或21()n R x +都可以)其中：212sin[(21)]2()(21)!n n x n R x x n πθ+++=+,10<<θ. 特别地：1n =时，x x ≈sin , !3||||32x R ≤；2n =时，!3sin 3x x x -≈, !5||||54x R ≤；3n =时，!5!3sin 53x x x x +-≈, !6||||66x R ≤. 例3 按(4)x -的乘幂展开多项式432()523f x x x x x =-+-.解 324(4)60,(4)(41523)|21,x f f x x x ='=-=-+-=244(4)(12302)|74,(4)(2430)|66,x x f x x f x ==''''=-+==-= (5)(4)24,()0,()0n f f x R x '''===,所以 432()(4)11(4)37(4)21(4)60f x x x x x =-+-+-+--. 二、泰勒级数1.通过前面的学习我们知道，级数在其收敛域内一定有和函数. 由泰勒公式的学习知道，我们可以用多项式近似表示函数.现在我们想知道函数是否一定可以展开为幂级数，需不需要附加条件？2.问题：已知函数有1,(1)1n n x x x ∞==<-∑收敛域 )11()1()1ln(11≤<--=+∑∞=-x nx x n n n .问：(1) 对于一般的函数)(x f 是否也有nn nx x a x f )()(0-=∑∞=？(2) 如果能展开,项的系数n a 如何确定?(3) 展开式是否唯一?(4) 在什么条件下函数才能展开成幂级数? 3.【定理】（TaylorTh ）: 设)(x f 在),(0δx U 内具有任意阶导数,则在),(0δx U 内n n n x x n x f x f )(!)()(000)(-=∑∞= ⇔0)(lim =∞→x R n n .其中)(x R n 为)(x f 的拉格朗日型余项10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ.证明 由于 ()000()()()()()()!n nn n n n n f x f x x x R x P x R x n ==-+=+∑. 所以等式两边取极限 ()000()()()lim ()!n n n n n f x f x x x P x n ∞→∞==-=∑⇔lim ()lim[()()]0n n n n R x f x P x →∞→∞=-=, ),(0δx U x ∈.4．函数)(x f 在点0x x =有泰勒展式⇔)(x f 在),(0δx U 有任意阶导数且0)(lim =∞→x R n n .注意：1）函数在一点处可以展开为Taylor 级数时，其展式是唯一的. 因为泰勒系数()0()!n f x n （0,1,2,n =）是唯一的.2）n n n x x n x f )(!)(000)(-∑∞=为 )(x f 在0x x =点的Taylor 级 数，等式nn nx x a x f )()(0-=∑∞=在0)(lim =∞→x R n n 时成立，称为函数的Taylor 展式.5．泰勒级数与麦克劳林级数设)(x f 在0x x =点具有任意阶导数，则称 (1)n n n x x n x f )(!)(000)(-∑∞=为)(x f 在点0x 的泰勒级数, 记作 n n n x x n x f x f )(!)(~)(000)(-∑∞=.(2)nn n x n f ∑∞=0)(!)0(称为)(x f 的麦克劳林级数, 记作 nn n x n f x f ∑∞=0)(!)0(~)(. )0(0=x 注意问题: )(x f 在0x x =点具有任意阶导数，那么级数n n n x x n x f )(!)(000)(-∑∞=在收敛区间内是否收敛于)(x f ？ 例: ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-.0,0,0,)(21x x e x f x 在0=x 点任意可导,且,1,0,0)0()(==n f n ,于是~)(x f =∑∞=nn n x n f 0)(!)0(000=⋅∑∞=n nx,+∞<<∞-x显然≠)(x f 0!)0(0)(=∑∞=nn n x n f , 0≠x . 结论：当级数n n n x x n x f )(!)(000)(-∑∞=收敛于)(x f 时，即 0)(lim =∞→x R n n 时有泰勒展式.小结：1.函数()f x 在点0x x =的泰勒公式为()000()()()()!k nk n k f x f x x x R x k ==-+∑(1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=-+其中余项为, ξ介于0x 与x 之间公式成立的条件是:()f x 在点0x x =的邻域内有直到1n +阶的导数.2. 函数()f x 在点0x x =的泰勒展式为n n n x x n x f x f )(!)()(000)(-=∑∞= ，其系数()0()!n n f x a n =为泰勒系数.当00x =时，()f x 的上述展式为麦克劳林展式.注意：函数在一点的泰勒展式唯一.泰勒定理成立的条件是:()f x 在点0x x =邻域内的各阶导数存在且lim ()0n n R x →∞=.3．在近似计算中先要写出函数的级数表示式，再取n 的特殊值即可得 到所要近似值.课后记：存在问题：不能区分泰勒公式与泰勒级数.。
初等函数的幂级数展开
2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成 幂级数. 1 例4. 将函数 展开成 x 的幂级数. 2 1+ x 1 2 n 解: 因为 = 1+ x + x +L+ x +L ( −1 < x < 1 ) 1− x 把 x 换成− x 2 , 得 1 2 4 n 2n = 1 − x + x + L + ( − 1 ) x +L 2 1+ x ( −1 < x < 1 ) 1 2 n ( ) ( ) ( ) = 1 + ϕ x + ϕ x + L + ϕ x + 1 − ϕ (x) ϕ (x) < 1
π )] = 1 [ cos( x − π ) + sin( x − 4 4 2 1 − 1 (x − π )2 + 1 ( x − π )4 − L 1 = 2 2! 4 4! 4
1 π 3 1 π 5 π − ( x − ) + ( x − ) − L + ( x − ) 3! 4 5! 4 4 1 π 1 π 2 1 π 3 = 1 + ( x − ) − ( x − ) − ( x − ) + L 2 4 2! 4 3! 4 ( − ∞ < x < +∞ )
13
1 ,−1 , − 对应 m = 1 的二项展开式分别为 2 2
1 2 1 1⋅ 3 3 1⋅ 3 ⋅ 5 4 x + 1+ x =1+ x − x − x +L 2⋅ 4 2 2⋅4⋅6 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅8 ( − 1 ≤ x ≤ 1) 1⋅ 3 2 1⋅ 3 ⋅ 5 3 1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 4 1 1 x − x + x −L =1 − x + 2⋅ 4 2 2⋅4⋅6 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅8 1+ x ( − 1 < x ≤ 1) 1 n n 2 3 + L + ( − 1 ) x +L − x + x − x =1 1+ x ( − 1 < x < 1) 1 = 1 + x + x2 + L + xn + L 1− x ( −1 < x < 1)
函数展开成幂级数泰勒公式
解 f ( x) sin x cos 2x 1[sin 3x sin x]
2 sin x x 1 x3 1 x5 (1)n
x 2n1
3! 5!
(2n 1)!
1 ( 1)n (3 x)2n1 1 ( 1)n x2n1
2
2
f (2n) (0) 0, f (2n1) (0) (1)n , (n 0,1,2,)
且 f (n) ( x) sin( x n) 1 x (,)
2
sin x x 1 x3 1 x5 (1)n x2n1
3! 5!
(2n 1)!
4 2x 在 x 2 展开成 幂级数
经济数学
三、小结
1.如何求函数的泰勒级数; 2.泰勒级数收敛于函数的条件; 3.函数展开成泰勒级数的方法.
经济数学
思考题
什么叫幂级数的间接展开法？
经济数学
思考题解答
从已知的展开式出发, 通过变量代换、四则运 算或逐项求导、逐项积分等办法,求出给定函数 展开式的方法称之.
解:
x2
1 4x
3
(x
1 1)( x
3)
x1
x1
2
4
1 (1)n (x 1)n
4 n0
2n
( x 1 2)
(1)n
n0
1 2n2
1 22n3
(x 1)n
(1 x 3 )
经济数学
思考： sin x 展开成 x 的幂级数
二、泰勒级数
上节例题 (1)n1 xn ln(1 x) (1 x 1)
函数的幂级数展开
y
6
4
2
对任何实数 x, 都有 e| x| n 1 lim | x | 0, n ( n 1)!
因而 lim Rn ( x ) 0.
n
y ex
(n 2)
(n 0)
1 2
(n 3)
1
O
2
x
由定理 14.11 得到
1 1 2 e 1 x x 1! 2!
§2 函数的幂级数展开
由泰勒公式知道, 可以将满足一定条件的 函数表示为一个多项式与一个余项的和 . 如 果能将一个满足适当条件的函数在某个区间 上表示成一个幂级数, 就为函数的研究提供 了一种新的方法.
一、泰勒级数
二、初等函数的幂级数展开式
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一、泰勒级数
在第六章§3的泰勒定理中曾指出, 若函数f在点x0 的某邻域内存在直至n+1阶的连续导数, 则 f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ), (1) n! 这里为 Rn ( x )拉格朗日型余项
这是泰勒公式带来的重要结论.
再进一步, 设函数 f 在x x0 处存在任意阶导数, 就 可以由函数 f 得到一个幂级数
f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! ( n) f ( x0 ) ( x x0 )n , n!
1 x ( n1) Rn ( x ) f ( t )( x t )n dt , n! 0
1 Rn ( x ) f ( n1) ( ) x n1 , 在 0 与 x 之间, ( n 1)!
幂函数的泰勒公式展开式
幂函数的泰勒公式展开式
我们要找出幂函数 \(f(x) = x^n\) 的泰勒级数展开式。
首先，我们需要了解泰勒级数展开式的一般形式。
一个函数 \(f(x)\) 的泰勒级数展开式是：
\(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-a)^n\)
其中，\(a_n\) 是泰勒级数的系数，通常可以通过将函数在某一点 \(a\) 处进行幂级数展开来求得。
对于幂函数 \(f(x) = x^n\)，我们选择 \(a = 0\)，因为这样可以使展开式更简单。
然后，我们计算幂级数的系数 \(a_n\)。
对于 \(f(x) = x^n\)，在 \(x = 0\) 处的泰勒级数展开式为：
\(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{(n-n)!} x^n\)
\(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{0!} x^n\)
\(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} n! x^n\)
现在，我们已经得到了幂函数 \(f(x) = x^n\) 的泰勒级数展开式。
所以，幂函数 \(f(x) = x^n\) 的泰勒级数展开式为：\(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} n! x^n\)。
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α ≤ −1 −1 < α < 1
α >1
收敛域为( −1,1); 收敛域为( −1,1];
收敛域为[ −1,1].
1 当α = −1,± 时, 有 2
1 = 1 − x + x 2 − x 3 + L + ( −1)n x n + L ( −1,1) 1+ x
1 1 2 1⋅ 3 3 n ( 2n − 3)!! n 1+ x = 1+ x − x + x + L + ( −1) x +L 2 2⋅ 4 2⋅4⋅6 ( 2n)!! [−1,1]
x
0
dx 1 + x2
1 3 1 5 x 2 n +1 = x − x + x − L + ( −1) n +L 3 5 2n + 1 x ∈ [−1,1] −
dx ln(1 + x ) = ∫ 0 1+ x 1 2 1 3 xn n −1 = x − x + x − L + ( −1) +L 2 3 n x ∈ (−1,1] −
在（2）式中取 x° = 0, 得 ）
f ' ' ( 0) 2 f ( n ) ( 0) n f ( 0) + f ' ( 0) x + x +L x + L, (3) 2! n! 级数（ ） 麦克劳林级数。 级数（3）称为函数 f (x) 的麦克劳林级数。
的幂级数， 函数 f ( x ) 的麦克劳林级数是 x 的幂级数，现在我们
1 3 1 5 x2n+1 Qsin x = x − x + x −L+ (−1)n +L 3! 5! (2n + 1)! 2n 1 2 1 4 n x ∴ cos x = 1 − x + x − L + ( −1) +L 2! 4! ( 2n)!
x ∈ ( −∞ ,+∞ )
arctan x = ∫
1 1 1⋅ 3 2 1⋅ 3 ⋅ 5 3 n ( 2 n − 1)!! n x − x + L + ( −1) x +L = 1− x + 1+ x 2 2⋅4 2⋅4⋅6 ( 2n)!!
双阶乘
[−1,1]
2.间接法 2.间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换 变量代换, 根据唯一性 利用常见展开式 通过变量代换 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方 四则运算 恒等变形 逐项求导 逐项积分等方 求展开式. 法,求展开式 求展开式 例如 cos x = (sin x )′
二、函数展开成幂级数
1.直接法(泰勒级数法) 1.直接法(泰勒级数法) 直接法 步骤: 步骤 (1) 求a n =
f
(n)
( x0 ) ; n!
( 2) 讨论 lim Rn = 0 或 f ( n ) ( x ) ≤ M ,
n→ ∞
则级数在收敛区间内收 敛于 f ( x ).
f . 例1 将 ( x) = e 展开成幂级数
xs′( x ) = αx + α (α − 1) x + L +
2
α (α − 1)L(α − n + 1)
( n − 1)!
xn + L
(m − 1)L(m − n + 1) (m − 1)L(m − n) m(m − 1)L(m − n + 1) 利用 + = (n − 1)! n! n!
∴ (1 + x ) s′( x )
并且有（见例2， 并且有（见例 ，例3） ）
π
π
π
π
( x − ) ( x − )4 π 4 + 4 − L( −∞ < x < +∞ ), cos( x − ) = 1 − 4 2! 4!
2
π
π
( x − ) ( x − )5 π π 4 + 4 − L( −∞ < x < +∞ ), sin( x − ) = ( x − ) − 4 4 3! 5!
证明 必要性 设f ( x )能展开为泰勒级数 ,
Q f ( x) = ∑
i =0
n
f ( i ) ( x0 ) i ( x − x0 ) + Rn ( x ) i!
n→ ∞
∴ Rn ( x ) = f ( x ) − sn+1 ( x ), Q lim sn+1 ( x ) = f ( x )
∴ lim Rn ( x ) = lim[ f ( x ) − sn+1 ( x )] = 0 ;
解
f
(n)
x
(n)
由于M的任意性 由于 的任意性, 即得 的任意性
1 2 1 n e = 1 + x + x +L+ x +L x ∈(−∞,+∞) 2! n!
x
f x . 例2 将 ( x) = sin x展开成 的幂级数
解
f
(2n)
(n)
nπ nπ (n) ( x ) = sin( x + ), f (0) = sin , 2 2
(n)
x ∈(−∞,+∞)
f x . 例3 将 ( x) = (1+ x) (α ∈ R)展开成 的幂级数
α
解 Q f ( n ) ( x ) = α(α − 1)L(α − n + 1)(1 + x ) α− n ,
f
( n)
(0) = α(α − 1)L(α − n + 1),
( n = 0,1,2,L)
一、泰勒级数
上节讨论了求幂级数的和函数，本节讨论相反的问题： 上节讨论了求幂级数的和函数，本节讨论相反的问题： 给出一个函数 f (x), 是否能找到这样一个幂级数，它 是否能找到这样一个幂级数， 在某区间内收敛， 在某区间内收敛，且其和恰好为 f (x). 如果能找到这 样的幂级数，我们就说， 样的幂级数，我们就说，函数 f ( x ) 在该区间内能展 开成幂级数。 开成幂级数。 f ( x ) 的n阶泰勒公式 阶泰勒公式
n→ ∞ n→ ∞
充分性
n→ ∞
Q f ( x ) − sn+1 ( x ) = Rn ( x ),
n→ ∞
∴ lim[ f ( x ) − sn+1 ( x )] = lim Rn ( x ) = 0,
即 lim sn+1 ( x ) = f ( x ),
n→ ∞
∴ f ( x )的泰勒级数收敛于 f ( x ).
f '' ( x ) = 2! a2 + 3 ⋅ 2a3 x + L + n( n − 1)an x n− 2 + L,
f '' ( x ) = 3! a3 + L + n( n − 1)( n − 2)an x n− 3 + L, LLLL f ( n ) ( x ) = n! an + ( n + 1)n( n − 1)L 2an+1 x + L, LLLL 代入以上各式， 把 x = 0 代入以上各式，得 ' (n) f ( 0) f ( 0) ' a° = f (0), a1 = f (0), a2 = ,L , a n = ,L . 2! n! 这就是所要证明的。 这就是所要证明的。
α(α − 1) 2 α(α − 1)L(α − n + 1) n 1 + αx + x +L+ x +L 2! n!
α−n a n +1 = = 1, Q lim n→ ∞ a n+1 n
∴ R = 1,
在(−1,1)内, 若 −
α(α − 1)L(α − n + 1) n s( x ) = 1 + αx + L + x +L n! α(α − 1)L(α − n + 1) n−1 s′( x ) = α + α(α − 1) x + L + x +L ( n − 1)!
解 因为
1 1 1 1 f ( x) = 2 = = − x + 4 x + 3 ( x + 1)( x + 3) 2(1 + x ) 2( 3 + x )
而
1 1 , = − x −1 x −1 4(1 + ) 8(1 + ) 2 4
1 1 ∞ ( −1)n = ∑ n ( x − 1)n ( −1 < x < 3), x − 1 4 n=0 2 4(1 + ) 2
α(α − 1) 2 α 2 (α − 1)L(α − n + 1) n−1 x +L+ x +L = α + α2 x + 2! n!
= α s( x )
s ′( x ) α , ∴ = s( x ) 1 + x
且 s( 0) = 1.
x ∈ (−1,1) −
两边积分
∫
x
0
x α s ′( x ) dx = ∫ dx , 0 1+ x s( x )
f ( x )的泰勒级数收敛于 f ( x° ).
问题 当x ≠ x°时，（2）是否收敛于 f ( x ) ?
的泰勒级数, 定理 f ( x ) 在点 x0 的泰勒级数,在U δ ( x0 ) 内收 敛于 f ( x ) ⇔ 在U δ ( x0 ) 内 lim Rn ( x ) = 0 .