【精品】浅谈化归思想在解析几何中的应用

浅谈化归思想在解析几何中的应用
(范金卫05级本科一班指导老师：闫彦宗）
摘要:化归思想贯穿于解析几何全部内容，是蕴涵在解析几何知识中的主要数学思想方法，化归思想的含义、根本特征及模式作了初步探讨，并结合解析几何的相应知识进一步挖掘化归思想.
关键词:化归思想；解析几何;数学思想方法。

1化归思想的含义、模式及根本特征
在对问题作仔细观察的基础上，展开丰富的联想,以求唤起对有关旧知识的回忆，开启思维的大门，顺利地借助旧知识、旧经验来处理面临的新问题，这种数学思想称之为“化归思想”『1』。

数学史上，对化归思想给出具有代表意义的作品是G·波利亚在1944年发表的《怎样解题表》，这张表集中体现了化归思想在解决数学问题上的精华G·波利亚提出的数学解题思维过程的四个阶段,即：弄清问题,拟定计划,实现计划和回顾这四个阶段的思想实质是：理解、转换、实施、反思.G·波利亚在这张表中用了一系列的问题，启发找到解题途径,这种思维过程的正确探索程序其思想核心在于不断变换问题,连续地简化问题，把数学解题看成问题的化归过程，最终归结到熟悉的基本问题加以解决，其模式为［2］:
图1
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推理化归解答
解答问题问题
客观事物是不断发展变化的，事物之间的
相互联系和转化是现实世界的普遍规律1数学中充满了矛盾,如:已知与未知、复杂与简单、熟悉与陌生、困难和容易等1实现这些矛盾的转化、化未知为已知,化复杂为简单、化陌生为熟悉、化困难为容易就是化归思想的实质1任何数学问题的解决过程都离不开转化过程1所以,化归是最基本的数学思想,是数学中用以解决问题的最基本的数学思想方法之一.化归的基本思想是：人们在解决数学问题时，常常是将待解决的问题A ，通过某种转化手段，归结为另一个问题B ，而问题B 是相对较易解决或已有固定解决程序的问题，且通过对问题B 的解决可以得到原问题的解答可表示为图[2］:
关于化归方法，匈牙利著名女数学家罗莎·彼得在她的名著《无穷的玩艺》中曾经做过
十分生动的描述【3】.她说：“假如在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴⋯⋯。

"罗莎的比
喻很形象地导出了化归思想的根本特征：在解决问题的过程中，不是直接攻击问题，而是对此问题进行变形、转化、归纳,设法将所面临的新问题转化为某一个或某些已经解决过的、规范化的问题，以便运用已有的理论、方法和技术使问题得到解决。

学生学习化归思想时,应明确化归方法的三个基本要素:（1)化归对象;(2)化归目标；（3）化归方法。

当前需要解决的问题是化归的对象；熟悉化、简单化和直观化是一切化归应遵循的基本原则；
实施化归的关键是实现问题的规范化、模式化；化未知为已知，化难为易，化繁为简,化一般为特殊,化抽象为具体等是化归的方向;实现问题转化的途径和转化的手段称之为化归的方法。

图2还原
（化归途径）转化问题B 的解问题A 的解易解问题B 待解问题A
2化规思想在
解析几何中的应用
解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何，最根本的做法就是设法把空间几何结
构有系统的代数化、数量化[4］，即先把几何问题转化为代数问题，用代数的知识解决后，再
到几何中去.因此，化归思想是解析几何的基本思想，在《解析几何》学习中，划归思想的体现处处可见.
例1证明了两个问题的数量积满足交换律及两个向量的数量积右分配律之后，紧接著要证明两个向量的数量积满足左分配律.即：()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅。

证明此结论时,就不必要象证明右分配律那样借助几何作图法和向量在轴上的射影的相关知识证明了,而是利用化归思想，结合两个向量的数量积满足交换律，把两个向量的数量积的左分配律转化为右分配律，然后利用右分配律把式子展开即得所要结论。

证明过程如下：
()()a b c b c a b a c a a b a c ⋅+=+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅。

例2以知OA ，OB ,OC 是三个两两不共线的向量，且有OC OA OB λμ=+证得,,A B C 三点共线的充分必要条件是:1λμ+=
分析:要证明三点共线，最直接的工具是向量共线定理,而这里面λ和μ是已知三个向量的分解式中的系数,所以这里要找出向量共线定理与λ和μ的联系.
证明：必要性，因为,,A B C 三点共线，所以有AB 与AC 共线，即 AB =m AC
又,,A B C 是不同的三点，所以m ≠0，于是，()OB OA m OC OA -=-
从而有(1)mOC m OA OB =-+ ∴11m OC OA OB m m
-=+,而OC OA OB λμ=+
根据向量共线定理可得：1m m λ-=1m
μ= ∴λ+μ=111m m m
-+= ∴,,A B C 三点共线时有1λμ+=.
充分性:假设1λμ+=成立，那么1λμ=-.
由OC OA OB λμ=+得(1)OC OA OB μμ=-+
∴()OC OA OB OA μ-=-即AC AB μ+(0)μ≠
∴//AC AB 又AC 与AB 共点A
∴,,A B C 三点共线.
例3证明：已知'''
,,A B C 分别是三角形三边,,BC CA AB 上的定必分点,如果他们把三角形的边分成定比'
'BA AC
λ=,''CB B A μ=，''AC C B γ=.那么''',,A B C 三点共线的充要条件是：1λμγ=-。

分析:要证明''',,A B C 三点共线的充要条件与这三个比值有关联想到和已知解过的例2结论相似，问题可不可以化归为用例1的结论呢?也即找出关于点''',,A B C 的向量'AA ，'BB ，'CC 的线性分解式。

事实上，'
'BA AC
λ=，''CB B A μ=，''AC C B γ= ∴''BA A C λ=,''CB B A μ=,''AC C B γ=. 由已知'()1AB AC AA λλ
+=+。

而''AB AC BC =-
即:''AB AC BC =+=''1
()AB AC AC γ
=+, '
1()AB AC γγ
=+
同理'(1)AC AB μ=+。

所以''1[
(1)]AA AC γλγ=+++'(1)[]1AB λμλ
++ 到这里问题完全就化规为例2，从而原题得证。

对于两向量共线问题,可以通过下图3【5】化未知为已知,化复杂为简单，化陌生为熟悉，化困难为容易来寻找解题策略。

对于直线与空间相关位置的判定转化为相关的法向量及方向向量垂直与否的判定等,在空间曲面的研究中，像椭球面，双曲面，抛物面等。

利用平行线平面截割法将复空间图形的研究化归为比较熟悉的平面曲线的研究等，都是化归思想在起作用。

例4识别方程222
14916
x y z -+=所表示的图形（1) 解:曲面（1）被三坐标面截得的曲面分别为：
（2）221490x y z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩（3）22
14160x z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩
（4）22
19160y z x ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩
其中，（2）为xoy 坐标面上的双曲线，（3）为xoz 坐标面上的椭圆，
（4）为yoz 坐标面上的双曲线.
曲面（1)被平行于xoy 坐标面的一族平行平面截得的一族曲线为:
222
14169x z t y t ⎧+=+⎪⎨⎪=⎩
即： 22
22
14(1)16(1)99x z t t y t
⎧+=⎪⎪++⎨⎪⎪=⎩（5) 这是一组椭圆，
其中的任一椭圆的双顶点(,0)t ±
与(0,,t ±分别在双曲线(2）和(4)。

这样就可以推想出曲面(1）的大致形状，并且当截线(2),（3),(4）,(5)画出后,就可以得到它的大致图形了。

参考文献：
［1］ 孔企平张维忠黄荣金.数学新课程与数学学习［M ］。

北京:高等教育出版社,2003。

［2］ 曹才翰章建跃.数学教育心理学［M ］。

北京：北京师范大学出版社，2006.
[3] 朱成杰。

数学思想方法教学研究导论［M ］。

上海：文汇出版社,1998.
［4］ 黄燕玲。

解析几何的数学方法论特点[J ］.河池师范高等专科学校学报,2000，6。

[5］ 曾令坤韦迪.以数学思想方法为主线进行解几复习初探[J ］.广西高教研究1998，1。