概率论第一节 数学期望
概率论与数理统计 --- 第四章{随机变量的数字特征} 第一节：数学期望
这个数能否作为 X的平均值呢？
若统计100天,
可以想象, 若另外统计100天, 车工小张不出废品, 这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27. 一般来说, 若统计n天 ,
(假定小张每天至多出三件废品)
又设飞机机翼受到的正压力W 是V 的函数 : W kV 2 ( k 0, 常数), 求W 的数学期望.
解: 由上面的公式
1 1 2 E (W ) kv f (v )dv kv dv ka a 3 0
2 2
a
例7 设二维连续型随机变量（X , Y）的概率密度为
A sin( x y ) 0 x , 0 y f ( x, y) 2 2 0 其它 (1)求系数A , ( 2)求E ( X ), E ( XY ).
x f ( x )x
i i i
i
阴影面积近似为
这正是:
f ( xi )xi
x f ( x )dx
的渐近和式.
小区间[xi, xi+1)
定义: 设X是连续型随机变量, 其密度函数为 f (x), 如果积分: xf ( x )dx
概率论
绝对收敛, 则称此积分值为X的数学期望, 即:
2. 设二维连续型随机变量 (X, Y) 的联合概率密度为 f (x, y), 则： E ( X )
E (Y )
xf X ( x )dx
yfY
( y )dy
xf ( x , y )dxdy,
概率论与数理统计第一节随机变量的数学期望
2. 连续型随机变量函数的数学期望的求法：
(1)设X的概率密度为f ( x)，则Y g( X )的数学期望为：
EY E[g( X )] g( x) f ( x)dx.
(2) 设( X，Y )的概率密度为f ( x，y)，则Z g( X，Y )的数学期望为：
EZ E[g( X ,Y )] g( x, y) f ( x, y)dxdy.
0
1 3
.
(3)
E(X 2)
x2 f ( x)dx
1 2x3dx
0
1 2
x4
1 0
1 2
.
2. 连续型随机变量函数的数学期望的求法：
(1)设X的概率密度为f ( x)，则Y g( X )的数学期望为：
EY E[g( X )] g( x) f ( x)dx.
(2) 设( X，Y )的概率密度为f ( x，y)，则Z g( X，Y )的数学期望为：
0
0
(
xex
)
0
exdx
0
1
e x
0
1
.
(3) 正态分布N(, 2)的数学期望
设X服从正态分布，其概率密度为：
f (x)
1
( x )2
e
2 2
,
x ,
2
则 EX .
证明：E( X )
xf ( x)dx
＋
x
( x )2
e 2 2 dx
2
令t
x
1
(t
)e
t2 2
dt
甲： 环数 8
9 10 乙： 环数 8
9 10
P 0.4 0.2 0.4
P 0.2 0.5 0.3
概率论课程第四章
第四章 数字特征前面我们介绍了随机变量及其分布，对于一个随机变量，只要知道了它的分布（分布函数或分布律、分布密度），它取值的概率规律就全部掌握了。
但在实际问题中，一个随机变量的分布往往不易得到，且常常只需知道随机变量的某几个特征就够了。
例如检查棉花的质量时，我们关心的是棉花纤维的平均长度和纤维长度与平均长度的偏差大小，这些数字反映了随机变量的一些特性，我们称能够反映随机变量特征的数字为随机变量的数字特征。
本章将介绍几个最常用的数字特征：数学期望、方差、协方差和相关系数。
第一节 数学期望一、离散型随机变量的数学期望数学期望反映的是随机变量取值的集中位置的特征，能够满足这一要求的自然是随机变量的平均取值，那么这个平均取值如何得到呢？怎样定义，我们先看一个例题例1：全班40名同学，其年龄与人数统计如下：该班同学的平均年龄为：4092115201519118⨯+⨯+⨯+⨯=a8.194092140152040151940118=⨯+⨯+⨯+⨯=若令X 表示从该班同学中任选一同学的年龄，则X 的分布律为于是，X 取值的平均值，即该班同学年龄的平均值为4092140152040151940118)(⨯+⨯+⨯+⨯==a X E8.19==∑ii i p x定义1：设X 为离散型随机变量，其分布律为i i p x X P ==}{， ,2,1=i如果级数 绝对收敛，则此级数为X 的数学期望（或均值），记为 E(X)，即 ∑=ii i p x X E )(意义：E(X)表示X 取值的（加权）平均值。
如果级数 不绝对收敛，则称数学期望不存在。
例2：甲、乙射手进行射击比赛，设甲中的环数为X1，乙中的环数为X2，已知 X1和X2的分布律分别为：问谁的平均击中环数高？解：甲的平均击中环数为 E(X1)=8 0.3+9 0.1+10 0.6=9.3 乙的平均击中环数为 E(X2)=8 0.2+9 0.5+10 0.3=9.1 可见E(X1)> E(X2)，即甲的平均击中环数高于乙的平均击中环数。
《数学期望》课件
在计算过程中需要注意积分的上下 限以及概率密度函数的取值范围。
连续型随机变量的数学期望的性质
01
02
03
非负性
E(X) ≥ 0，即数学期望的 值总是非负的。
可加性
如果X和Y是两个独立的随 机变量，那么E(X+Y) = E(X) + E(Y)。
线性性质
如果a和b是常数，那么 E(aX+b) = aE(X)+b。
方差是数学期望的度量，表示随机变量取值 与数学期望的偏离程度。
04
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连续型随机变量的数学期望
连续型随机变量的定义
连续型随机变量
如果一个随机变量X的所有可能 取值是实数轴上的一个区间变量。
概率密度函数
描述连续型随机变量X在各个点 上取值的概率分布情况，其数学
《数学期望》PPT课件
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目 录
• 引言 • 数学期望的基本性质 • 离散型随机变量的数学期望 • 连续型随机变量的数学期望 • 数学期望的应用 • 总结与展望
01
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引言
数学期望的定义
数学期望是概率论和统计学中的 一个重要概念，它表示随机变量
取值的平均数或加权平均数。
数学期望的定义基于概率论的基 本原理，通过将每个可能的结果 与其对应的概率相乘，然后将这
些乘积相加得到。
数学期望具有一些重要的性质， 如线性性质、期望值不变性质等 ，这些性质在概率论和统计学中
有着广泛的应用。
数学期望的起源和历史
数学期望的起源可以追溯到17世纪，当时的一些数学家开始研究概率论和统计学中 的一些基本概念。
通过计算投资组合的数学期望， 我们可以了解投资组合的预期收 益，从而制定更加合理的投资策
概率论与数理统计知识点总结(超详细版)
概率论与数理统计知识点总结(超详细版)eik则有P(A)=k/n，其中n为样本空间中元素的个数。
在概率论中，样本空间和随机事件是基本概念。
如果事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，记作A⊂B。
当A和B中至少有一个发生时，称A∪B为事件A和事件B的和事件。
当A和B同时发生时，称A∩B为事件A和事件B的积事件。
当A发生、B不发生时，称A-B为事件A和事件B的差事件。
如果A和B互不相容，即A∩B=∅，则称A和B是互不相容的，或互斥的，基本事件是两两互不相容的。
如果A∪B=S且A∩B=∅，则称事件A和事件B互为逆事件，又称事件A和事件B互为对立事件。
在概率论中，还有一些运算规则。
交换律指A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；结合律指(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；分配律指A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)；德摩根律指A∪B=A∩B，A∩B=A∪B。
频率与概率是概率论的重要概念。
在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数n A称为事件A发生的频数，比值nAn称为事件A发生的频率。
概率指对于随机试验E的每一事件A赋予一个实数P(A)，称为事件的概率。
概率P(A)满足非负性，即对于每一个事件A，0≤P(A)≤1；规范性，即对于必然事件S，P(S)=1；可列可加性，即设A1，A2，…，An是两两互不相容的事件，则有P(∪Ai)=∑P(Ai)（n可以取∞）。
概率还有一些重要性质，包括P(∅)=0，P(∪Ai)=∑P(Ai)（n可以取∞），如果A⊂B，则P(B-A)=P(B)-P(A)，P(A)≤1，P(A)=1-P(A')，以及P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
等可能概型又称为古典概型，是指试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同。
如果事件A 包含k个基本事件，即A={e1}∪{e2}∪…∪{ek}，则有P(A)=k/n，其中n为样本空间中元素的个数。
随机现象-数学期望
非负性
必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0。
规范性
对于互斥事件，其概率之和等于它们所包含的基本事件数。
可列可加性
概率的性质
条件概率
在给定某个事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
独立性
两个事件之间没有相互影响，一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率。
条件独立
在给定某个事件发生的条件下，两个事件之间相互独立。
无记忆性
对于任意随机变量$X$，有$E(E(X|Y)) = E(X)$。
期望的期望等于期望本身
期望值的性质和计算方法
05
CHAPTER
期望值与决策制定
1
2
3
期望值是决策制定中的重要工具，它可以帮助我们评估不同行动方案的可能结果，从而选择最优方案。
期望值考虑了所有可能的结果及其发生的概率，通过将每个结果的预期价值与其概率相乘，再求和，得到期望值。
期望值与风险偏好之间的关系有助于我们理解不同人在面对风险时的行为差异。
期望值与风险偏好
效用函数是一种将预期的货币收益转化为一个单一的效用值的方法。效用函数和期望值密切相关，因为它们都考虑了预期结果的价值和发生的概率。
效用函数和期望值之间的差异在于，效用函数通常考虑了个人对风险的偏好，而期望值则不考虑个人偏好。
直接计算法
公式法
矩法
贝叶斯推断
对于连续型随机变量，利用积分公式计算数学期望。
利用随机变量的矩（如一阶矩为均值，二阶矩为方差）来计算其他高阶矩。
利用贝叶斯定理和已知信息推断未知参数的数学期望。
数学期望的计算方法
04
CHAPTER
随机变量的期望值
离散型随机变量的数学期望是指所有可能取值的概率加权和。
概率论——数学期望
概率论——数学期望
数学期望是概率论中一个重要的概念，用于描述随机变量的平均值。
在数学上，数学期望可以定义为随机变量的每个可能取值乘以其对应的概率，并将这些乘积相加。
设随机变量X的取值有n个，分别记为x1, x2, …, xn，对应的概率为p1, p2, …, pn。
则X的数学期望E(X)可以表示为：
E(X) = x1*p1 + x2*p2 + … + xn*pn
数学期望可以理解为随机变量所取得值的加权平均。
每个取值乘以其概率，再将所有乘积相加，就得到了数学期望。
数学期望在实际应用中有着广泛的应用，例如在赌博中，可以用数学期望来计算每次下注的预期收益；在保险业中，可以用数学期望来评估保险责任的大小；在金融学中，可以用数学期望来衡量金融产品的风险与回报等。
需要注意的是，数学期望不一定是随机变量取值的实际可能值，而是其平均值。
因此，即使随机变量的可能值与数学期望相差较大，在大量重复实验中，随机变量的平均取值仍然趋近于数学期望。
这正是数学期望的统计意义所在。
数学期望是概率论中用于描述随机变量的平均值的概念。
它可以通过将随机变量的可能取值与对应的概率相乘，再将所有乘积相加得到。
数学期望在实际应用中有着广泛的应用，可以用于预测和评估各种概率事件的平均效果。
概率论与数理统计第四章 第一节 数学期望
第四章 随机变量的数字特征前面讨论了随机变量的分布函数, 从中知道随机变量的分布函数能完整地描述随机变量的统计规律性.但在许多实际问题中, 人们并不需要去全面考察随机变量的变化情况, 而只要知道它的某些数字特征即可.例如, 在评价某地区粮食产量的水平时, 通常只要知道该地区粮食的平均产量;又如, 在评价一批棉花的质量时, 既要注意纤维的平均长度, 又要注意纤维长度与平均长度之间的偏离程度, 平均长度较大, 偏离程度小, 则质量就较好. 等等实际上, 描述随机变量的平均值和偏离程度的某些数字特征在理论和实践上都具有重要的意义, 它们能更直接、更简洁更清晰和更实用地反映出随机变量的本质.本章将要讨论的随机变量的常用数字特征包括: 数学期望、方差、相关系数、矩.第一节 数学期望教学目标：掌握数学期望的概念，以及其性质与计算。
教学重点：数学期望的概念、性质及计算。
教学难点：数学期望的计算 教学内容：一、离散型随机变量的数学期望平均值是日常生活中最常用的一个数字特征, 它对评判事物、作出决策等具有重要作用. 定义 设X 是离散型随机变量的概率分布为,2,1,}{===i p x X P i i如果∑∞=1i ii p x 绝对收敛, 则定义X 的数学期望(又称均值)为 .)(1∑∞==i ii p x X E二、连续型随机变量的数学期望定义 设X 是连续型随机变量, 其密度函数为)(x f ,如果⎰∞∞-dx x xf )(绝对收敛, 定义X 的数学期望为 .)()(⎰∞∞-=dx x xf X E三、 随机变量函数的数学期望设X 是一随机变量, )(x g 为一实函数,则)(X g Y =也是一随机变量, 理论上, 虽然可通过X 的分布求出)(X g 的分布, 再按定义求出)(X g 的数学期望)]([X g E . 但这种求法一般比较复杂. 下面不加证明地引入有关计算随机变量函数的数学期望的定理.定理1 设X 是一个随机变量, )(X g Y =,且)(Y E 存在, 则（1） 若X 为离散型随机变量, 其概率分布为,2,1,}{===i p x X P i i则Y 的数学期望为.)()]([)(1∑∞===i i i p x g X g E Y E（2） 若X 为连续型随机变量, 其概率密度为)(x f , 则Y 的数学期望为.)()()]([)(⎰∞∞-==dx x f x g X g E Y E注: (i)定理的重要性在于:求)]([X g E 时, 不必知道)(X g 的分布, 只需知道X 的分布即可. 这给求随机变量函数的数学期望带来很大方便;(ii) 上述定理可推广到二维以上的情形, 即有定理2 设),(Y X 是二维随机向量, ),(Y X g Z =,且)(Z E 存在, 则 （1）若),(Y X 为离散型随机向量, 其概率分布为),2,1,(},{ ====j i p y Y x X P ij j i则Z 的数学期望为,),()],([)(11∑∑∞=∞===j i ij j i p y x g Y X g E Z E（2） 若),(Y X 为连续型随机向量, 其概率密度为),(y x f 则Z 的数学期望为.),(),()],([)(⎰⎰∞∞-∞∞-==dx y x f y x g Y X g E Z E四、数学期望的性质1. 设C 是常数, 则;)(C C E =2．若k 是常数，则);()(X kE kX E =3. );()()(2121X E X E X X E +=+4. 设Y X ,独立, 则)()()(Y E X E XY E =;注: (i) 由)()()(Y E X E XY E =不一定能推出Y X ,独立，例如，在例10中，已计算得 49)()()(==Y E X E XY E ， 但 81}0{},431{,0}0,1{=======Y P X P Y X P ，显然}0{}1{}0,1{=⋅=≠==Y P X P Y X P 故X 与Y 不独立(ii) 这个性质可推广到有限个随机变量之和的情形.例题选讲：离散型随机变量的数学期望例1 (讲义例1) 甲, 乙两人进行打靶, 所得分数分别记为21,X X , 它们的分布律分别为,8.02.002101i p X1.03.06.02102ip X试评定他们的成绩的好坏.例2 (讲义例2) 某种产品的每件表面上的疵点数服从参数8.0=λ的泊松分布, 若规定疵点数不超过1个为一等品, 价值10元; 疵点数大于1个不多于4个为二等品, 价值8元; 疵点数超过4个为废品. 求:(1) 产品的废品率; (2) 产品价值的平均值.连续型随机变量的数学期望例3(讲义例3) 已知随机变量X 的分布函数 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤<≤=4,140,4/0,0)(x x x x x F , 求).(X E例4 (讲义例4) 设随机变量,127)(),(~=X E x f X 且⎩⎨⎧≤≤+=其它,010,)(x b ax x f求a 与b 的值, 并求分布函数)(x F . 随机变量函数的数学期望例5 (讲义例5) 设),(Y X 的联合概率分布为:求).(),(),(XY E Y E X E例 6 (讲义例6) 设随机变量X 在],0[π上服从均匀分布, 求)(),(sin 2X E X E 及.)]([2X E X E -例7 设)(),(2X E X E 均存在，证明222)]([)()]([X E X E X E X E -=-. 例8 （二项分布的数学期望）若),,(~p n b X 求).(X E 数学期望的性质例9 (讲义例9) 一民航送各车载有20位旅客自机场开出, 旅客有10个车站可以下车. 如到达一个车站没有旅客下车就不停车. 以X 表示停车的次数, 求E (X ) (设每位旅客在各个车站下车是等可能的, 并设各旅客是否下车相互独立).课堂练习1. 设甲、乙两人玩必分胜负的赌博游戏, 假定游戏的规则不公正, 以致两人获胜的概率不等,甲为p , 乙为q ,,q p >1=+q p . 为了补偿乙的不利地位, 另行规定两人下的赌注不相等, 甲为a , 乙为b , b a >. 现在的问题是: a 究竟应比b 大多少, 才能做到公正?2. 某种新药在400名病人中进行临床试验有一半人服用，一班人未服，经过5天后，有210人痊愈，其中190人是服了新药的.试用概率统计方法说明新药的疗效.3. 把数字n ,,2,1 任意地排成一列, 如果数字k 恰好出现在第k 个位置上, 则称为一个巧合, 求巧合个数的数学期望.课后作业： P83 T 5、8、9。
概率论数学期望
x
k 1
k
pk 不绝对收敛，则称 E ( X ) 不存在
概率统计
例4.1 某商店在年末大甩卖中进行有奖销售，摇奖时 从摇箱摇出的球的可能颜色为：红、黄、蓝、白、黑 五种，其对应的奖金额分别为：10000元、1000元、 100元、10元、1元.假定摇箱内装有很多球，其中红、 黄、蓝、白、黑的比例分别为： 0.01%,0.15%,1.34%,10%,88.5%,求每次摇奖摇出的 奖金额X的数学期望.
n 1
(n 1) t t p q
n1 t t (n 1) t np ( p q ) np C k p q 1
n 1
np[ p (1 p)] np
概率统计
k 0
n1
即: E ( X ) np
(3) 泊松分布
若随机变量X 的所有可能取值为： 0,1, 2, 而它的分布律(它所取值的各个概率)为：
e
( x )2 2 2
dx
y2 2
令:y
x
ye
y 2
2
2
概率统计
dy 2
2
1
( y )e
dy
e
y2 2
dy
2 0 2 即: E ( X )
结论：正态分布中密度函数的参数 恰好就是 随机变量X的数学期望.
P( X k )
k e
k!
k 0,1, 2, 即: X～P ( )
数学期望
E ( X ) k
k 0
l e
k
-l
k!
l
le
-l
(k - 1)!
k 1
l
k -1
le
-l
e l.
14
例3 甲乙两工人每天生产出相同数量同种类 型的产品，用X1,X2分别表示甲、乙两人某天 生产的次品数，经统计得以下数据： 次品数X1 pk 0 0.3 1 0.3 2 0.2 3 0.2
i 0
10
合水平的真实评价。称它为随机变量 X 的数 学期望。
7
定义 1 设离散型随机变量 X 的分布律为 P{X=xi}=pi, i=1,2,…, 若级数 xi pi 绝对收敛，则称级数 xi pi 的
i 1 i 1
和为随机变量 X 的数学期望，记为 E(X)，即 E ( X ) xi pi
1
x
3 5 3 x 5 0 5
1
31
四、随机变量函数的数学期望 为了计算随机变量函数的数学期望，我们可 以先求出随机变量函数的分布律或概率密度， 然后按公式(1)或(2)计算数学期望。但是，也 可以用下面介绍的几个定理直接计算随机变 量函数的数学期望。
32
定理 1 设离散随机变量 X 的分布律为 P{X=xi}=pi, i=1,2,…, g(x)是实值连续函数， 且级数 g ( xi ) pi 绝对收
p
i 1
i
1, 则金属细棒的重心
位置就是 xi pi ，因此用期望值刻画分布的
i 1
中心位置是合理的。
p1 p2
p3
10
假设离散型随机变量X的分布率是P{X=xi}=pi, i=1,2,…,m, 现在对X做大量的试验, 例如做了n 次试验, 得到了试验数据a1,a2,…,an, n特别大, 假设有多少个亿. 而这n个试验数据中, x1出现 了n1次, x2出现了n2次, …, xi出现了ni次, …, 等 等, 则可以用xi出现的频率fi=ni/n来近似等于pi, 这n个试验数据的平均值为m=(a1+a2+…+an)/n,
数学期望和方差公式
数学期望和方差公式数学期望和方差是概率论和统计学中重要的概念，在许多领域中有广泛的应用。
它们是度量随机变量分布的指标，可以帮助我们了解随机现象的平均值和离散程度。
本文将详细介绍数学期望和方差的定义、性质以及计算公式。
一、数学期望数学期望，也称为均值或平均值，是衡量随机变量平均值的指标。
对于离散型随机变量X，它的数学期望E(X)的定义如下：E(X) = Σx * P(X = x)其中，x代表随机变量X可能取到的值，P(X = x)表示随机变量取到x的概率。
对于连续型随机变量X，它的数学期望E(X)的定义如下：E(X) = ∫x * f(x) dx其中，f(x)表示X的概率密度函数。
数学期望具有以下性质：1. 线性性质：对于任意实数a和b，以及任意两个随机变量X和Y，有E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)。
2. 递推性质：对于离散型随机变量X，可以通过递推公式E(X) = Σx * P(X = x)来计算。
3. 位置不变性：对于随机变量X和常数c，有E(X + c) = E(X) + c。
数学期望的计算公式可以帮助我们求解随机变量的平均值，进而了解随机现象的集中程度。
二、方差方差是衡量随机变量取值的离散程度的指标，它表示随机变量与其均值之间的差异程度。
对于离散型随机变量X，其方差Var(X)的定义如下：Var(X) = Σ(x - E(X))^2 * P(X = x)对于连续型随机变量X，其方差Var(X)的定义如下：Var(X) = ∫(x - E(X))^2 * f(x) dx方差具有以下性质：1. 线性性质：对于任意实数a和b，以及任意随机变量X和Y，有Var(aX + bY) = a^2 * Var(X) + b^2 * Var(Y)。
2. 位置不变性：对于随机变量X和常数c，有Var(X + c) = Var(X)。
3. 零偏性：Var(X) >= 0，当且仅当X是一个常数时，等号成立。
概率论数学期望
概率论数学期望数学期望公式是：e(x) = x1*p(x1） + x2*p(x2）+ …… + xn*p(xn) = x1*f1(x1）+ x2*f2(x2）+ …… + xn*fn(xn)在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）的意思是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。
它反映随机变量平均取值的大小。
须要特别注意的就是，期望值并不一定等同于常识中的“希望”——“期望值”也许与每一个结果都不成正比。
期望值就是该变量输入值的平均数。
期望值并不一定涵盖于变量的输入值子集里。
大数定律规定，随着重复次数接近无穷大，数值的算术平均值几乎肯定地收敛于期望值。
历史故事在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，一共进行五局，赢家可以获得法郎的奖励。
当比赛进行到第四局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这法郎才比较公平？用概率论的科学知识，不难获知，甲获得胜利的可能性小，乙获得胜利的可能性大。
因为甲输掉后两局的可能性只有(1/2)×(1/2）=1/4，也就是说甲赢得后两局或后两局中任意赢一局的概率为1－(1/4)=3/4，甲有75%的期望获得法郎；而乙期望赢得法郎就得在后两局均击败甲，乙连续赢得后两局的概率为(1/2)*(1/2)=1/4，即乙有25%的期望获得法郎奖金。
可知，虽然无法再展开比赛，但依据上述可能性推测，甲乙双方最终胜利的客观希望分别为75%和25%，因此甲应分得奖金的*75%=75(法郎)，乙应分得奖金的的×25%=25(法郎)。
这个故事里发生了“希望”这个词，数学希望由此而来。
概率论第一节 数学期望
i 1 i 1 n n
请注意: 由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y 独立
4. 设X、Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);
E[ X i ] E ( X i ) （诸Xi相互独立时）
i 1 i 1
n
n
三、数学期望的性质
计算t的值使得EY 达到最大 t ( EY ) 7 0 t 3500 t 500 即组织货源3500吨为宜.
二、连续型随机变量的数学期望
综上：
xi pi , X 离散型 i 1 EX xf ( x )dx , X 连续型
发散，则称X的数学
二、连续型随机变量的数学期望
关于定义的两点说明 (1)连续型随机变量X的数学期望为实数域R上 对取值与密度值乘积的广义积分. (2)注意区分： xf ( x)dx E ( X )
f ( x)dx 1
二、连续型随机变量的数学期望
x2 0 x1 f ( x ) 2 x 1 x 2，求EX . 0 其它
15 40 30 10 5 18 19 20 21 22 100 100 100 100 100
18 15% 19 40% 20 30% 2110% 22 5%
—各年龄出现的频率 将此种方法下计算的平均年龄称为依频率的加权平均。
例如：评价地区粮食水平，只需了解粮食的平 均产量；评价棉花质量，既要注意纤维的平均长度， 又要注意个体真实长度与平均长度的总体偏差程度， 一般认为，平均长度越长，整体偏差越小，质量就 越好。 因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字 特征是重要的 . 常用的数字特征：数学期望，方差.
《数学数学期望》课件
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目 录
• 数学期望的基本概念 • 数学期望的性质与定理 • 数学期望的应用 • 特殊随机变量的数学期望 • 数学期望的扩展与展望
01
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数学期望的基本概念
定义与性质
定义
数学期望是随机试验在大量重复 下出现的频率的稳定值。
性质
数学期望具有可加性、可数性、 线性性质等。
分位数与分位数函数
分位数
分位数是概率论中的一个概念，用于描述数据分布的位置特征。常见的分位数包括中位 数、四分位数等。分位数的计算和应用对于统计分析、数据挖掘等领域具有重要意义。
分位数函数
分位数函数是描述分位数与概率之间关系的函数。通过分位数函数，可以更方便地理解 和应用分位数的概念，从而更好地分析数据的分布特征。
通过计算投资组合的数学期望， 投资者可以了解投资组合的预期
收益，并据此做出投资决策。
数学期望在金融学中还用于资产 定价、风险管理、资本预算和股
票期权定价等领域。
在决策理论中的应用
在决策理论中，数学期望被用来评估 不同决策方案的预期结果。
数学期望在决策理论中还用于风险决 策、不确定性决策和多目标决策等领 域，以帮助我们做出更加科学和合理 的决策。
大数定律与中心极限定理
大数定律
当试验次数趋于无穷时，随机事件的频率趋于该事件 发生的概率。即 limn→∞P(|En−E)/n→0P(|En−E)/n→0limn→∞P(|En −E)/n→0=1。
中心极限定理
无论随机变量X1,X2,…,XnnX_1, X_2, ldots, X_{nn}Xi1,Xi2,…,Xinn的分布如何，当它们的数量趋于 无穷时，它们的平均值的分布趋于正态分布。即 limn→∞P(|En−μ)/σ≤z)=1−12z2lim_{n to infty} P(|En−μ)/σ≤z|)=1−12z2limn→∞P(|En−μ)/σ≤z|)=1 −12z2，其中En=1n∑i=1nXiEn = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} X_iEn=n1∑i=1nXi，μ是随机变量的均 值，σ是标准差，z是正态分布的分位数。
《概率论与数理统计》六
E( X ) xk pk . k 1
例1 设甲、乙两射手在同样条件下进行射击，其命中环数是一
随机变量，分别记为X、Y，并具有如下分布律
X 10 9 8 7
Y 10 9 8 7
Pk 0.6 0.1 0.2 0.1
Pk 0.4 0.3 0.1 0.2
试问甲、乙两射手的射击水平哪个较高？
解 100.6 90.180.2 70.1 100.4 90.3 80.1 70.2
i1 j1
2
E(Y )
yf ( x, y)dxdy dx
ydy
0
0
3
1
2(1 x )
1
E(XY )
xyf ( x, y)dxdy dx
xydy
0
0
6
三、数学期望的性质
假设以下随机变量的数学期望均存在． 1. E(C)=C, （C是常数） 2. E(CX)=CE(X), （C是常数） 3. E(X+Y)=E(X)+E(Y), 4. 设X与Y相互独立, 则 E(XY)=E(X)E(Y)
1
e
x
,
0,
x0 x0
( 0)
求将这5个元件串联组成的系统的平均寿命．
解
Xk的分布函数为
F
(
x)
1
e
x
,
0,
x0 x0
串联时系统寿命 N min( X1 , X2 , , X5 ) ，
其分布函数为 Fmin ( x) 1
[1
F(
x)]5
1
e
5x
,
0,
x 0, x 0.
fmin
2 X 3, 一台付款 2500 元; X 3, 一台付款3000元.
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可见，平均抗拉强度指标并不是这10根钢筋所取 到的6个值的简单平均，而是取这些值的次数与试验 总次数的比值（频率）为权重的加权平均。
则Y的期望为
E ( f ( X )) f ( xk ) pk .
k 1
例8
设r .v X的分布律为
X p
2 13 0 1 3 1 2 1 12 1 12
求: E( X 3 ).
解
1 1 3 1 1 3 3 E ( X ) ( 2 ) 0 1 3 5 3 2 12 12
( X ,Y ) (1,1) (1,0) (1,1) (2, 1) ( 2,1) ( 3,0) ( 3,1) p 0 . 2 0 .1 0 .1 0 .1 0 .1 0 . 3 0 .1 9 0 ( X Y )2 4 1 1 9 4
得 E[( X Y ) ] 4 0.2 1 0.1 0 0.1 9 0.1 1 0.1
3 3
2. 连续型随机变量函数的数学期望
若 X 是连续型的,它的分布密度为 f(x) 则
E ( g ( X )) g ( x) f ( x) d x.
例9 设X 服从N (0,1)分布，求E( X 2 )，E( X 3 )
1 解：X的概率密度为f ( x) e 2
x2 2
n
n
( n 1)! np p k 1 (1 p)( n1)( k 1) k 1 ( k 1)![( n 1) ( k 1)]!
n
np[ p (1 p)]n1
=np
则两点分布b(1,p)的数学期望为 p.
例3 泊松分布
设 X ~ P( ), 且分布律为
8 8
9 9
10
0 0 .. 2 3 0 0..5 1 0 .3 6
为 X1 , X 2 . 解 设甲,乙射手击中的环数分别
E ( X 1 ) 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环), E ( X 2 ) 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1(环),
甲,乙两个射手, 他们的射击技术分别为
甲射手
击中环数 概率 击中环数 概率 8 9 10
0 . 3 0 .1 0 . 6
8 9 10
乙射手
0 .2 0 .5 0 .3
试问哪个射手技术较好?
数学期望（均值） — 描述随机变量平均取值的情况。 例 一批钢筋共有10根，抗拉强度指标为120和 130的各有2根、125的有3根、110、135、140的各有 1根，则它们的平均抗拉强度指标为
若积分
x f ( x)dx
绝对收敛, 则称积分 x f ( x)dx 的值为随机 变量 X 的数学期望, 记为 E ( X ).即 E ( X ) x f ( x)dx.
例4
顾客平均等待多长时间? 设顾客在某银行的窗口等待的服务的时间
X(以分计)服从指数分布,其概率密度为 1 x 5 e , x 0, f ( x) 5 x 0. 0, 试求顾客等待服务的平均时间? 解
k 1
关于定义的几点说明 (1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加
权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现
了随机变量 X 取可能值的真正平均值, 也称 均值. (2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不 随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要
求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值
例11
Y
设 (X ,Y) 的分布律为
X 1 1 2
3
0 1
0.2 0.1
0.1 0 0.1
0 0.3 0.1
0.1
求 : E[( X Y ) 2 ].
解 由于
( X ,Y ) (1,1) (1,0) (1,1) (2, 1) ( 2,1) ( 3,0) ( 3,1) p 0 . 2 0 .1 0 .1 0 .1 0 .1 0 . 3 0 .1
E( X Y )
2
2 ( x y ) f ( x, y)dxdy 1 1 1 2 ( x y )( x y)dxdy 0 0 6
例13 设国际市场上每年对我国某种出口农产品的 需求量X (单位t )是随机变量, 它服从[1200,3000]上的 均匀分布.若售出这种农产品1t , 可赚2万元，但若销 售不出去，则每吨需付仓库保管费1万元，问每年 应准备多少吨产品才可得到最大利润？
( μ σt )e dt
t2 2
t2 2
1 μ 2 μ.
2
σ e dt 2
te dt
t2 2
可见, N ( , )中的正是它的数学期望。
例 (书） 设随机变量 X服从柯西分布,其密度函数为
1 f ( x) (1 x 2 )
b
1 xd x 则有 E ( X ) xf ( x) d x aba 1 结论 均匀分布的数学 (a b ). 期望位于区间的中点. 2
例6 指数分布 设随机变量 X 服从指数分布, 其概率密度为
e x , x 0, f ( x) 其中 0. x 0. 0,
E ( X ) x f ( x)dx
0
1 x 5 x e dx 5(分钟). 5
因此,顾客平均等待5分钟就可得到服务.
例5 均匀分布
设 X ~ U (a , b), 其概率密度为
1 , f ( x) b a 0,
a x b, 其它.
一、随机变量的数学期望
1. 离散型随机变量的数学期望
定义 设离散型随机变量 X 的分布律为
P { X xk } pk ,
k 1
k 1,2,.
若级数 xk pk 绝对收敛, 则称级数 k 1 xk pk 的和为随机变量 X 的数学期望, 记为 E ( X ). 即 E ( X ) xk pk .
则有
E ( X ) xf ( x)dx
x μ 令 t x μ σ t, σ
1 x e 2 σ
( x μ )2 2σ 2
dx
所以
1 E( X ) x e 2 σ
( x μ )2 2σ 2
dx
1 2
故平均利润为
E (Y ) E[ g ( X )] g ( x) f ( x)dx 1200
3000 1 y (3 x y ) dx 2 ydx y 1200 1800 1 2 2 ( y 7200 y 2160000) 1800 3
1 1 例10 设X 服从U [ ， ]分布，求E[sin( X )] 2 2 1 1 1, x 解：X 的概率密度为f ( x) 2 2 其它 0,
E[sin( X )] sin( x) f ( x)dx
1 2
1 sin( x ) 1 dx
随机变量的概率分布及其分布函数
— 完整地描述了随机变量的取值规律。
而在一些实际问题中，只需知道描述随机变量的 某种特征的量
— 随机变量的数字特征。
第一节 数学期望 (mathematical expectation)
一、随机变量的数学期望 二、随机变量函数的数学期望 三、数学期望的性质
四、小结
例1 谁的技术比较好?
平均起来甲射手每枪击中9.3环,乙射手每枪击中 9.1环.因此甲射手的本领要高一些.
例2 二项分布
设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布, 其分布律为 n k P{ X k } p (1 p)n k , ( k 0,1,2,, n), k 则有 0 p 1.
则有
E ( X ) xf ( x)dx x e x dx
0
xe
x 0
e
0
x
dx
1
.
例7 正态分布
设 X ~ N ( μ, σ ), 其概率密度为
1 f ( x) e 2 σ ( x μ )2 2σ 2
2
, σ 0, x .
E ( X ) k P{ X k }
k 0 n
n k n k k p (1 p) k 0 k
n
kn! p k (1 p)n k k 0 k !( n k )! np( n 1)! p k 1 (1 p)( n1)( k 1) k 1 ( k 1)![( n 1) ( k 1)]!
2
1 2
1 sin( x) dx 0
2
3. 二维随机变量函数的数学期望
(1) 设 X , Y 为离散型随机变量 , f ( x, y ) 为二元函 数, 则 E [ f ( X , Y )] f ( xi , y j ) pij .
i j
其中 ( X ,Y ) 的联合概率分布为 pij .
E ( X ) x f ( x)dx
2 2
x
2
1 e 2
x2 2
x2 2
dx