概率论第一节 数学期望

若积分



x f ( x)dx

绝对收敛, 则称积分 x f ( x)dx 的值为随机 变量 X 的数学期望, 记为 E ( X ).即 E ( X ) x f ( x)dx.

例4
顾客平均等待多长时间? 设顾客在某银行的窗口等待的服务的时间
X(以分计)服从指数分布,其概率密度为 1 x 5 e , x 0, f ( x) 5 x 0. 0, 试求顾客等待服务的平均时间? 解
故平均利润为
E (Y ) E[ g ( X )] g ( x) f ( x)dx 1200

3000 1 y (3 x y ) dx 2 ydx y 1200 1800 1 2 2 ( y 7200 y 2160000) 1800 3
( X ,Y ) (1,1) (1,0) (1,1) (2, 1) ( 2,1) ( 3,0) ( 3,1) p 0 . 2 0 .1 0 .1 0 .1 0 .1 0 . 3 0 .1 9 0 ( X Y )2 4 1 1 9 4
得 E[( X Y ) ] 4 0.2 1 0.1 0 0.1 9 0.1 1 0.1
P{ X k }
则有

k
k!
e , k 0,1,2,, 0.


E( X ) k
k 0
k
k!
e e
k 1
k 1
( k 1)!

e e .
2.连续型随机变量数学期望的定义
定义 设连续型随机变量 X 的概率密度为 f ( x ),
2
9 0.3 4 0.1 5
(2) 设 X , Y 为连续型随机变量, g ( x, y) 为二元函 数, 则
E[ g ( X , Y )]




g ( x, y) f ( x, y) d x d y.
其中 ( X , Y ) 的联合概率密度为 f ( x, y).
1 1 例10 设X 服从U [ ， ]分布，求E[sin( X )] 2 2 1 1 1, x 解：X 的概率密度为f ( x) 2 2 其它 0,
E[sin( X )] sin( x) f ( x)dx

1 2

1 sin( x ) 1 dx
则有
E ( X ) xf ( x)dx


x μ 令 t x μ σ t, σ
1 x e 2 σ

( x μ )2 2σ 2
dx
所以
1 E( X ) x e 2 σ

( x μ )2 2σ 2
dx
1 2



3 3
2. 连续型随机变量函数的数学期望
若 X 是连续型的,它的分布密度为 f(x) 则
E ( g ( X )) g ( x) f ( x) d x.


例9 设X 服从N (0,1)分布，求E( X 2 )，E( X 3 )
1 解：X的概率密度为f ( x) e 2
x2 2
1 ( 120 2 130 2 125 3 110 135 140) 10 2 2 3 1 120 130 125 110 10 10 10 10 1 1 135 140 10 10
可见，平均抗拉强度指标并不是这10根钢筋所取 到的6个值的简单平均，而是取这些值的次数与试验 总次数的比值（频率）为权重的加权平均。
E ( X ) x f ( x)dx



0
1 x 5 x e dx 5(分钟). 5
因此,顾客平均等待5分钟就可得到服务.
例5 均匀分布
设 X ~ U (a , b), 其概率密度为
1 , f ( x) b a 0,

a x b, 其它.
E ( X ) x f ( x)dx
2 2

x


2
1 e 2
x2 2
x2 2
dx


x de 2
x2 2



1 e 2
dx 1
同理E ( X ) x3 f ( x)dx
3


x

3
1 e 2
x2 2
dx
0
E ( X ) k P{ X k }
k 0 n
n k n k k p (1 p) k 0 k
n
kn! p k (1 p)n k k 0 k !( n k )! np( n 1)! p k 1 (1 p)( n1)( k 1) k 1 ( k 1)![( n 1) ( k 1)]!
( μ σt )e dt
t2 2
t2 2
1 μ 2 μ.
2
σ e dt 2



te dt
t2 2
可见, N ( , )中的正是它的数学期望。
例 (书） 设随机变量 X服从柯西分布,其密度函数为
1 f ( x) (1 x 2 )

则有
E ( X ) xf ( x)dx x e x dx

0


xe
x 0
e
0

x
dx
1

.
例7 正态分布
设 X ~ N ( μ, σ ), 其概率密度为
1 f ( x) e 2 σ ( x μ )2 2σ 2
2
, σ 0, x .
( x )
求E(X). 解:
dx x |x | (1 x2 ) 20 (1 x2 )dx
由于此积分不存在
因此柯西分布的数学期望不存在.
二、随机变量函数的数学期望
1. 离散型随机变量函数的数学期望
若X为离散型随机变量，分布律为
P{ X xk } pk , ( k 1,2,), Y= f (X)为X的函数
则Y的期望为

E ( f ( X )) f ( xk ) pk .
k 1
例8
设r .v X的分布律为
X p
2 13 0 1 3 1 2 1 12 1 12
求: E( X 3 ).
解
1 1 3 1 1 3 3 E ( X ) ( 2 ) 0 1 3 5 3 2 12 12
例11
Y
设 (X ,Y) 的分布律为
X 1 1 2
3
0 1
0.2 0.1
0.1 0 0.1
0 0.3 0.1
0.1
求 : E[( X Y ) 2 ].
解 由于
( X ,Y ) (1,1) (1,0) (1,1) (2, 1) ( 2,1) ( 3,0) ( 3,1) p 0 . 2 0 .1 0 .1 0 .1 0 .1 0 . 3 0 .1
平均起来甲射手每枪击中9.3环,乙射手每枪击中 9.1环.因此甲射手的本领要高一些.
例2 二项分布
设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布, 其分布律为 n k P{ X k } p (1 p)n k , ( k 0,1,2,, n), k 则有 0 p 1.
b
1 xd x 则有 E ( X ) xf ( x) d x aba 1 结论 均匀分布的数学 (a b ). 期望位于区间的中点. 2
例6 指数分布 设随机变量 X 服从指数分布, 其概率密度为
e x , x 0, f ( x) 其中 0. x 0. 0,
甲,乙两个射手, 他们的射击技术分别为
甲射手
击中环数 概率 击中环数 概率 8 9 10
0 . 3 0 .1 0 . 6
8 9 10
乙射手
0 .2 0 .5 0 .3
试问哪个射手技术较好?
数学期望（均值） — 描述随机变量平均取值的情况。 例 一批钢筋共有10根，抗拉强度指标为120和 130的各有2根、125的有3根、110、135、140的各有 1根，则它们的平均抗拉强度指标为
k 1
关于定义的几点说明 (1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加
权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现
了随机变量 X 取可能值的真正平均值, 也称 均值. (2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不 随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要
求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值
2
1 2
1 sin( x) dx 0
2
3. 二维随机变量函数的数学期望
(1) 设 X , Y 为离散型随机变量 , f ( x, y ) 为二元函 数, 则 E [ f ( X , Y )] f ( xi , y j ) pij .
i j
其中 ( X ,Y ) 的联合概率分布为 pij .
的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.
例1 谁的技术比较好?
甲,乙两个射手, 他们的射击技术分别为
甲射手
击中环数 概率 击中环数 概率 8 9 10
0 . 3 0 .1 0 . 6
8 9 10
乙射手
0 .2 0 .5 0 .3
试问哪个射手技术较好?
乙射手 甲射手
击中环数 击中环数 概率 概率
例12 设二维随机变量( X , Y )的密度函数为 x y, 0 x 1, 0 y 1 f ( x, y ) 其它 0, 求E ( XY ), E ( X Y 2 )
解：E ( XY )

1 1


xyf ( x, y)dxdy
1 xy( x y)dxdy 0 0 3
n
n
( n 1)! np p k 1 (1 p)( n1)( k 1) k 1 ( k 1)![( n 1) ( k 1)]!
n
np[ p (1 p)]n1
=np
则两点分布b(1,p)的数学期望为 p.
例3 泊松分布
设 X ~ P( ), 且分布律为
随机变量的概率分布及其分布函数
— 完整地描述了随机变量的取值规律。
而在一些实际问题中，只需知道描述随机变量的 某种特征的量
— 随机变量的数字特征。
第一节 数学期望 (mathematical expectation)
一、随机变量的数学期望 二、随机变量函数的数学期望 三、数学期望的性质
四、小结
例1 谁的技术比较好?
一、随机变量的数学期望
1. 离散型随机变量的数学期望
定义 设离散型随机变量 X 的分布律为
P { X xk } pk ,
k 1
k 1,2,.

若级数 xk pk 绝对收敛, 则称级数 k 1 xk pk 的和为随机变量 X 的数学期望, 记为 E ( X ). 即 E ( X ) xk pk .
E( X Y )
2
2 ( x y ) f ( x, y)dxdy 1 1 1 2 ( x y )( x y)dxdy 0 0 6


例13 设国际市场上每年对我国某种出口农产品的 需求量X (单位t )是随机变量, 它服从[1200,3000]上的 均匀分布.若售出这种农产品1t , 可赚2万元，但若销 售不出去，则每吨需付仓库保管费1万元，问每年 应准备多少吨产品才可得到最大利润？
1 , 1200 x 3000 解：X 的概率密度为f ( x) 1800 其它 0,
设每年准备该种商品y吨，利润Y为随机变量 2 y, Xy Y g( X ) 2 X ( y X ), X y
x y 2 y, 即Y g ( x) 3x y, x y
8 8
9 9
Leabharlann Baidu
10
0 0 .. 2 3 0 0..5 1 0 .3 6
为 X1 , X 2 . 解 设甲,乙射手击中的环数分别
E ( X 1 ) 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环), E ( X 2 ) 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1(环),