有理数及其运算常考题型(数轴与绝对值)(北师版)(含答案)
北师版七年级数学上册 第二章 有理数及运算 2.3 绝对值 同步练习(含答案)
北师版七年级上册第二章有理数及其运算2.3 绝对值同步练习一．选择题（共10小题，3*10=30）1. A ，B 是数轴上两点，线段AB 上的点表示的数中，有互为相反数的是()2．下列说法：①a 与－a 互为相反数；②0的相反数是0；③一个数的相反数必是负数；④负数的相反数是正数；⑤相反数等于本身的数是0.其中正确的说法有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．下列说法正确的是( )A ．一个数的相反数一定是负数B ．一个数的绝对值一定不是负数C ．一个数的绝对值的相反数一定是负数D ．一个数的绝对值一定是正数4．一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数是( )A ．正数B ．负数C ．正数或0D ．负数或05．在有理数中，绝对值等于它本身的数在数轴上的对应点一定在( )A ．原点左侧B ．原点或原点左侧C ．原点右侧D ．原点或原点右侧6．下列比较大小错误的是( )A ．－2＞－5B ．－23＞－34C ．－3＞－227D ．－π＞－3.14 7．下列四个数中，在－4到0之间的数是( )A ．－1B ．1C ．－6D ．38．下列说法正确的是( )A ．－|a|一定是负数B ．只有两个数相等时它们的绝对值才相等C ．若|a|＝|b|，则a 与b 相等D ．若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数9．下列结论正确的是( )A ．若m ＞n ，则|m|＞|n|B ．若|m|＝|n|，则m ＝nC ．若|m|＞|n|，则m ＞nD ．若m ＜n ＜0，则|m|＞|n|10．有理数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是( )A ．|b|＞－aB ．|a|＞－bC ．b ＞aD ．|a|＞|b|二．填空题（共8小题，3*8=24）11. 12的相反数是( ) 12．数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做a 的 __________ ，记作____，读作a 的绝对值．13. |24|＝____；|－3.1|＝____；|0|＝____．14. －2，0，1，－3四个数中，最小的数是____．15. 如图，数轴上点A 所表示的数的相反数是____．16．填“＞”或“＜”．(1)0____－0.01; (2)－12____13；(3)512____23. 17．若|－a|＝|－2|，a ＝__________.18. 已知点M ，N ，P ，Q 在数轴上的位置如图，则其中对应的数的绝对值最大的点是_________.三．解答题（共7小题，46分）19. (6分) 18．计算：(1)|－5|＋|－17|;(2)|－14|－|8|；(3)|－10|÷|15|;(4)|213|×|－0.3|.20. (6分) 比较下列几组数的大小：(1)－78和－89；(2)－3.14和－π；(3)－(－4)和|－4|;(4)－|－45|和－(－56)．21. (6分) 计算：(1)|－12|＋|－5|－|＋12|；(2)|－313|÷|－114|×|－112|.22. (6分) 师傅让一名学徒工加工一些标准长度为0.5米的钢管，为了检查加工的质量，师傅随便从加工成品中抽出六根，经测量发现：(表中正数表示超过标准的长度/米，负数表示不足标准的长度/米)．问哪一根钢管加工的质量要好些？你能否用所学的绝对值的知识加以解释？23. (6分) 如图，数轴的单位长度为1，且数轴上各点之间的距离均为1.(1)如果点B与点F表示的数互为相反数，那么点D表示的数是什么？(2)如果点D与点H表示的数互为相反数，那么点C表示的数是什么？24. (8分)若|a|＝－a，|b|＝b，|c|＝－c，|d|＝－d，且a，b，c，d都不为0，|a|>|b|>|c|>|d|，请把a，b，c，d四个数的大致位置在数轴上表示出来，并按从小到大用“<”连接起来．25. (8分)在抗洪抢险中，人民解放军的冲锋舟沿东西方向的河流抢救物资，中午从A地出发，晚上到达B地．规定向东为正，当天的航行记录如下(单位：km)：－16，－7，12，－9，6，10，－11，9.(1)B在A地的哪侧？相距多远？(2)若冲锋舟每千米耗油0.46 L，则这一天共耗油多少升？参考答案1-5BCBDD 6-10 DADDA11.－1212. 绝对值，|a|13. 24，3.1，014. －315. 216. ＞ ，＜ ，＜17. ±218. Q19. 解：(1)原式＝5+17=22(2)原式＝14-8=6(3)原式＝10÷15=23(4)原式＝213×0.3=71020. 解：(1)－78＞－89(2)－3.14＞－π(3)－(－4)＝|－4|(4)－|－45|＜－(－56) 21. 解：(1)原式＝12-5-12=5 (2)原式＝313÷114×112=103 × 45 ×32=4 22. 解：第四根钢管的质量要好一些．因为标准长度为0.5米，－0.01的绝对值最小说明最接近标准长度，质量最好23. 解：(1)点D 表示的数是0(2)点C 表示的数是－324. 解：因为|a|＝－a ，|b|＝b ，|c|＝－c ，|d|＝－d ，且都不为0，所以a ，c ，d 为负数，b 为正数，又因为|a|>|c|>|d|，所以a ＜c ＜d ＜0，所以a<c<d<b ，数轴略25. 解：(1)－16＋(－7)＋12＋(－9)＋6＋10＋(－11)＋9＝－16－7＋12－9＋6＋10－11＋9＝－6(km)，所以|－6|＝6(km)，答：B地在A地的西边，相距6 km(2)0.46×(|－16|＋|－7|＋12＋|－9|＋6＋10＋|－11|＋9)＝0.46×(16＋7＋12＋9＋6＋10＋11＋9)＝0.46×80＝36.8(升)．答：这天共消耗了36.8升油。
有理数及其运算-专题1-数轴与绝对值【课外培优课件】+2024—-2025学年北师大版数学七年级上册
数学 七九年级上册 BS版
0 13
C级课前拓预展习训练
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13. （选做）如图，数轴上点 A 表示的数为1，点 A 做如下移 动：第1次，从点 A 向左移动3个单位长度至点 A1；第2次，从点 A1向右移动6个单位长度至点 A2；第3次，从点 A2向左移动9个单 位长度至点 A3；….按照这种移动方式进行下去，点 A4表示的数 是 7 .若点 An 与原点的距离不小于20，则 n 的最小值 是 13 .
A. 3
B. －3
C.
1 3
D.
－
1 3
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2. 有理数 a ， b 在数轴上对应的点的位置如图所示，计算｜ a － b ｜的结果为（ C ）
A. a ＋ b C. b － a
B. a － b D. － a － b
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3. 已知有理数 a ， b 在数轴上对应的点的位置如图所示，则下 列结论正确的有（ A ） ① a ＞ b ；②－ a ＞－ b ；③ a ＜－ b ；④－ a ＜－ b ；⑤｜ a ｜ ＜｜ b ｜.
到原点 O 的距离为4，求所有满足条件的点 A 所表示的数，并求
这些点到原点 O 的距离之和.
解：由题意知，点 B 所表示的数是±4.
当点 B 所表示的数是4时，点 A 所表示的数是6或2；
当点 B 所表示的数是－4时，点 A 所表示的数是－2或－6.
综上所述，点 A 所表示的数是－6，－2，2或6.
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7. 按要求完成下列各题： （1）在数轴上表示下列各数，并用“＜”连接起来. 3，－4，－（－1.5），－｜－2｜.
北师大版七年级数学上册第二章《有理数及其运算》练习题含答案解析 (3)
一、选择题1.有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则式子∣a∣+∣b∣+∣a+b∣−∣b−c∣化简结果为( )A．2a+b−c B．2a+b+c C．b+c D．3b−c2.如图，点A，B在数轴上，点O为原点，OA=OB．按如图所示方法用圆规在数轴上截取BC=AB，若点A表示的数是a，则点C表示的数是( )A．2a B．−3a C．3a D．−2a3.一个点在数轴上距原点3个单位长度开始，先向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度，这时它表示的数是( )A．6B．0C．−6D．0或64.已知a，b，c为有理数，且a+b+c=0，b≥−c>∣a∣，且a，b，c与0的大小关系是( )A．a<0，b>0，c<0B．a>0，b>0，c<0C．a≥0，b<0，c>0D．a≤0，b>0，c<05.当式子∣x+2∣+∣x−5∣取得最小值时，x的取值范围为( )A．−2≤x<5B．−2<x≤5C．x=2D．−2≤x≤56.在数轴上有两个点，分别表示数x和y，已知∣x∣=1，且x>0，∣y+1∣=4，那么这两个点之间距离为( )A．2或6B．5或3C．2D．37.如果∣a∣a +∣b∣b+∣c∣c=−1，那么ab∣ab∣+bc∣bc∣+ac∣ac∣+abc∣abc∣的值为( )A．−2B．−1C．0D．不确定8.我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例：指数运算21=222=423=8⋯新运算log 22=1log 24=2log 28=3⋯指数运算31=332=933=27⋯新运算log 33=1log 39=2log 327=3⋯根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log 216=4，② log 525=5，③ log 212=−1，其中正确的是 ( ) A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③9. 【例 9−2 】已知 ∠AOB =60∘，∠AOC =13∠AOB ，射线 OD 平分 ∠BOC ，则 ∠COD 的度数为( ) A ． 20∘ B ． 40∘ C ． 20∘ 或 30∘ D ． 20∘ 或 40∘10. 下面四个数中，最大的数为 ( ) A ． (−1)2021B ． −∣−2∣C ． (−2)3D ． −12二、填空题11. 若 a +b +c >0，且 abc <0 则 a ，b ，c ，中有 个正数．12. 电子跳蚤落在数轴上的某点 k 0，第一步从 k 0 向左跳 1 个单位到 k 1，第二步由 k 1 向右跳 2个单位到 k 2，第三步由 k 2 向左跳 3 个单位到 k 3，第四步由 k 3 向右跳 4 个单位到 k 4，⋯，按以上规律跳了 140 步时，电子跳蚤落在数轴上的点 k 140 所表示的数恰是 2019．则电子跳蚤的初始位置 k 0 点所表示的数是 ．13. 现定义某种运算“∗”，对给定的两个有理数 a ，b (a ≠0)，有 a ∗b =a −a b ，则 (−3)∗2= ．14. 如图所示是计算机程序计算，若开始输入 x =−1，则最后输出的结果是 ．15. 已知实数 a ，b ，定义运算：a ⋇b ={a b ,a >b 且 a ≠0b a,a ≤b 且 a ≠0，若 a ⋇(a −3)=1，则 a = ．16. 观察下列等式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，⋯根据你发现的规律写出272019的末位数字是．17.如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为16，我们发现第一次输出的结果为8，第二次输出的结果为4，⋯，则第2017输出的结果为．三、解答题18.阅读下面材料：如图，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离可以表示为∣a−b∣．根据阅读材料与你的理解回答下列问题：(1) 数轴上表示3与−2的两点之间的距离是．(2) 数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为．(3) 代数式∣x+8∣可以表示数轴上有理数x与有理数所对应的两点之间的距离；若∣x+8∣=5，则x=．(4) 求代数式∣x+1008∣+∣x+504∣+∣x−1007∣的最小值．19.计算下列各式的值．(1) −3−(−8)−(+7)+5．(2) 49÷74×(−47)÷(−16)．(3) 7−(156−23−34)÷124．(4) −32÷(−3)2+3×(−2)+∣−1∣．20.如图，已知数轴上有A，B，C三点，分别表示有理数−26，−10，10，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，(1) Q点出发3秒后所到的点表示的数为；此时P，Q两点的距离为．(2) 问当点Q从A点出发几秒钟时，能追上点P？(3) 问当点Q从A点出发几秒钟时，点P和点Q相距2个单位长度？直接写出此时点Q在数轴上表示的有理数．21.已知两点A，B在数轴上，AB=9，点A表示的数是a，且a与(−1)3互为相反数．(1) 写出点B表示的数；(2) 如图1，当点A，B位于原点O的同侧时，动点P，Q分别从点A，B处在数轴上同时相向而行，动点P的速度是动点Q的速度的2倍，3秒后两动点相遇，当动点Q到达点4时，运动停止．在整个运动过程中，当PQ=2时，求点P，Q所表示的数；(3) 如图2，当点A，B位于原点O的异侧时，动点P，Q分别从点A，B处在数轴上向右运动，动点Q比动点P晚出发1秒；当动点Q运动2秒后，动点P到达点C处，此时动点P立即掉头以原速向左运动3秒恰与动点Q相遇；相遇后动点P又立即掉头以原速向右运动5秒，此时动点P到达点M处，动点Q到达点N处，当∣OM−ON∣=2时，求动点P，Q运动的速度．22.【背景知识】数轴上A点，B点表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离AB=∣a−b∣，．若a>b，则可简化为AB=a−b，线段AB的中点M表示的数为a+b2【问题情境】已知数轴上有A，B两点，分别表示的数为−10，8，点P，Q分别从A，B同时出发，点P以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒（t>0）．【综合运用】(1) A，B两点的距离为，线段AB的中点C所表示的数；(2) 点P所在的位置的点表示的数为，点Q所在位置的点表示的数为（用含t的代数式表示）；(3) P，Q两点经过多少秒会相遇？23.探究规律，完成相关题目．定义“∗”运算：(+2)∗(+4)=+(22+42)，(−4)∗(−7)=+[(−4)2+(−7)2]，(−2)∗(+4)=−[(−2)2+(+4)2]，(+5)∗(−7)=−[(+5)2+(−7)2]，0∗(−5)=+(−5)∗0=(−5)2，(+3)∗0=0∗(+3)=(+3)2，0∗0=02+02=0．归纳∗运算的法则（用文字语言叙述）：(1) 两数进行∗运算时，．特别地，0和任何数进行∗运算，或任何数和0进行∗运算，．(2) 计算：(−3)∗[0∗(+2)]=．(3) 是否存在有理数m，n，使得(m+1)∗(n−2)=0，若存在，求出m，n的值，若不存在，请说明理由．24.若有理数x，y满足∣x∣=5，∣y∣=2，且∣x+y∣=x+y，求x−y的值．25.数学是一门充满思维乐趣的学科，现有3×3的数阵A，数阵每个位置所对应的数都是1，2或3．定义a∗b为数阵中第a行第b列的数．例如，数阵A第3行第2列所对应的数是3，所以3∗2=3．(1) 对于数阵A，2∗3的值为．若2∗3=2∗x，则x的值为．(2) 若一个3×3的数阵对任意的a，b，c均满足以下条件：条件一：a∗a=a；条件二：(a∗b)∗c=a∗c．则称此数阵是“有趣的”．①请判断数阵A是否是“有趣的”你的结论：（填“是”或“否”）．②已知一个“有趣的”数阵满足1∗2=2，试计算2∗1的值．③是否存在“有趣的”数阵，对任意的a，b满足交换律a∗b=b∗a？若存在，请写出一个满足条件的数阵；若不存在，请说明理由．答案一、选择题1. 【答案】D【解析】观察数轴可得：−1<a<0<b<c，∣a∣<∣b∣<∣c∣，∴∣a∣+∣b∣+∣a+b∣−∣b−c∣=−a+b+a+b−(c−b)=3b−c．【知识点】绝对值的化简、利用数轴比较大小2. 【答案】B【解析】∵OA=OB，点A表示的数是a，∴点B表示的数为−a，AB=−2a，∵BC=AB，∴点C表示的数是−3a．【知识点】数轴的概念3. 【答案】D【解析】∵该点距离原点3个单位，∴该点表示的数是3或−3，①若该点表示的数是3，先向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度，这时它表示的数是：3+4−1=6；②若该点表示的数是−3，先向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度，这时它表示的数是：3+4−1=0；故选D．【知识点】绝对值的几何意义4. 【答案】D【解析】∵∣a∣≥0，则b≥−c>∣a∣≥0，b>0，−c>0，即c<0，a+b+c=0，即a+b=−c≤b，即a≤0，∴a≤0，b>0，c<0．【知识点】绝对值的几何意义、利用数轴比较大小、有理数的加法法则及计算5. 【答案】D【解析】利用数轴，设A点表示的数为−2，B点表示的数为5，P点表示的数为x，则∣x+2∣+∣x−5∣=PA+PB，∴当P在A，B之间时，PA+PB最小，∴当−2≤x≤5时，∣x+2∣+∣x−5∣取得最小值．【知识点】绝对值的几何意义6. 【答案】A【解析】∵∣x∣=1，且x>0，∴x=1，∵∣y+1∣=4，∴y=−5或3，∴这两个点之间距离为1−(−5)=6或3−1=2．【知识点】绝对值的几何意义7. 【答案】C【解析】∣a∣a +∣b∣b+∣c∣c=−1，所以a，b，c中有一个正数，二个负数，假设a>0，b<0，c<0，则ab∣ab∣+bc∣bc∣+ac∣ac∣+abc∣abc∣=−1+1−1+1=0．【知识点】绝对值的性质与化简8. 【答案】B【知识点】有理数的乘方9. 【答案】D【解析】当OC在∠AOB内时，如图1，则∠BOC=∠AOB−∠AOC=60∘−13×60∘=40∘，∴∠COD=12∠BOC=20∘；当OC在∠AOB外时，如图2，则∠BOC=∠AOB+∠AOC=60∘+13×60∘=80∘，∴∠COD=12∠BOC=40∘．综上，∠COD=20∘或40∘．故选：D．【知识点】角的计算10. 【答案】D【解析】 (−1)2021=−1；−∣−2∣=−2；(−2)3=−8；且 −8<−∣−2∣<(−1)2021<−12， ∴ 最大的数是 −12，故选D ．【知识点】有理数的乘方、绝对值的化简二、填空题 11. 【答案】 2【解析】 ∵ 有理数 a ，b ，c 满足 a +b +c >0，且 abc <0， ∴a ，b ，c 中负数有 1 个，正数有 2 个． 【知识点】有理数的加法法则及计算、有理数的乘法12. 【答案】 1949【解析】由题意可知：k 140=k 0−1+2−3+4−⋯−139+140=2019， 即 k 0+(−1+2)+(−3+4)+⋯+(−139+140)=2019， k 0+1+1+⋯+1⏟70 个 1=2019，∴k 0+70=2019，解得：k 0=1949．则电子跳蚤的初始位置 k 0 点所表示的数是 1949． 【知识点】有理数的加法法则及计算13. 【答案】 −12【解析】 ∵a ∗b =a −a b ， ∴(−3)∗2=(−3)−(−3)2=(−3)−9=−12.【知识点】有理数的乘方14. 【答案】−22【解析】把x=−1代入计算程序中得：(−1)×6−(−2)=−6+2=−4>−5，把x=−4代入计算程序中得：(−4)×6−(−2)=−24+2=−22<−5，则最后输出的结果是−22．【知识点】有理数的乘法15. 【答案】3或±1【解析】∵a>a−3，a⋇(a−3)=1，根据题中的新定义得：a a−3=1，∴a−3=0或a=1或a=−1，∴a=3或±1．【知识点】有理数的乘方16. 【答案】3【解析】272019=(33)2019=36057，末位的循环为3，9，7，1，6057÷4=1514⋯1，所以末位为3．【知识点】有理数的乘方17. 【答案】1【解析】根据题意，x=16，第一次输出结果为：8，第二次输出结果为：4，第三次输出结果为：2，第四次输出结果为：1，第五次输出结果为：4，第六次输出结果为：2，第7次输出结果为：1，第8次输出结果为：4，由上规律可知：从第二次输出结果开始，每3次输出后重复一次，故(2017−1)÷3=672，故输出结果为：1．【知识点】有理数的加法法则及计算、有理数的乘法三、解答题18. 【答案】(1) 5(2) ∣x−7∣(3) −8；−3或−13(4) 如图，∣x+1008∣+∣x+504∣+∣x−1007∣的最小值即∣1007−(−1008)∣=2015．【解析】(1) ∣3−(−2)∣=5．【知识点】绝对值的几何意义、有理数的减法法则及计算19. 【答案】(1) 原式=−3+8−7+5=5−7+5=−2+5=3.(2) 原式=49×47×47×116=1.(3) 原式=7−(116−23−34)×24=7−(116×24−23×24−34×24) =7−(44−16−18)=7−10=−3.(4) 原式=−9÷9+(−6)+1 =−1−6+1=−6.【知识点】有理数的除法、有理数的加减乘除乘方混合运算、有理数的乘法20. 【答案】(1) −17；10(2) Q点出发时，PQ两点距离为(−10)−(−26)=16，Q点速度比P点速度快(3−1)=2个单位/秒，162=8秒，∴当Q从A出发8秒钟时，能追上点P．(3) 设A点出发t秒，点P和Q相距2个单位长度，当Q点还没追上P点时，Q，P速度差为2，∴2t=−10−(−26)−2=14，解得t=7，Q点在数轴上表示的数为−26+3×7=−5，当Q点超过P点时，Q，P速度差为2，∴2t=−10−(−26)+2=18，解得：t=9，−26+3×9=1．故Q点在数轴上表示的有理数为1．综上所得，当Q从A出发7或9秒时，点P和点Q相距2个单位长度，此时Q表示数轴的有理数为−5或1．【解析】(1) P到B点时，Q从A出发，Q点速度为每秒3个单位长度，3秒运动距离为3×3=9，−26+9=−17，∴Q点出发3秒后所到的点表示为−17，3秒钟P点运动距离为3×1=3，又−10+3=−7，PQ两点距离为−7−(−17)=10，∴Q点出发3秒后所到点表示数为−17，此时P，Q两点的距离为10．【知识点】数轴的概念21. 【答案】(1) ∵a与(−1)3互为相反数，∴a=1，∵AB=9，∴①当点A、点B在原点的同侧时，点B所表示的数为1+9=10，如图1所示；②当点A、点B在原点的异侧时，点B所表示的数为1−9=−8，如图2所示．故点B所表示的数为10或−8．(2) 当点A，B位于原点O的同侧时，点B表示的数是10．设点Q的运动速度为x，则点P的速度为2x．∵3秒后两动点相遇，∴3(x+2x)=9，解得：x=1．∴点Q的运动速度为1，则点P的速度为2．运动t秒后PQ=2有两种情形：①相遇前，由题意有：2t+2+t=9，解得：t=73；∴点P表示的数为：1+2×73=173，点Q表示的数为：10−73=233；②相遇后，再运动y秒，P，Q两点相距2，由题意有：y+2y=2，解得：y=23．∴点P表示的数为：1+3×2+23×2=253，点Q表示的数为：10−3×1−23×1=193．(3) 根据题意得，点P和点Q在点A处相遇，此时点Q运动5秒，运动9个单位长度．∴点Q的运动速度为：9÷5=1.8．设点P的速度为v，∵∣OM−ON∣=2，∴∣9+1−(5v+1)∣=2，解得：v=75或115．∴点P的速度为75或115．【知识点】数轴的概念、相遇问题22. 【答案】(1) 18；−1(2) −10+5t；8−3t(3) 依题意有5t+3t=18，解得t=94．故P，Q两点经过94秒会相遇．【解析】(1) A，B两点的距离为8−(−10)=18，线段AB的中点C所表示的数[8+(−10)]÷2=−1．(2) 点P所在的位置的点表示的数为−10+5t，点Q所在位置的点表示的数为8−3t（用含t的代数式表示）．【知识点】绝对值的几何意义23. 【答案】(1) 同号得正、异号得负，并把两数的平方相加；等于这个数得平方(2) −25(3) ∵(m+1)∗(n−2)=0，∴±[(m+1)2+(n−2)2]=0，∴m+1=0，n−2=0，解得m=−1，n=2，即m=−1，n=2即为所求．【解析】(1) 由题意可得：两数进行∗运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加0和任何数进行运算，或任何数和0迸行∗运算，等于这个数的平方．(2) (−3)∗[0∗(+2)]=(−3)∗(+2)2=(−3)∗(+4)=−[(−3)2+(+4)2]=−25.【知识点】有理数的乘方24. 【答案】∵∣x∣=5，∴x=±5，又∣y∣=2，∴y=±2，又∵∣x+y∣=x+y，∴x+y≥0，∴x=5，y=±2，当x=5，y=2时，x−y=5−2=3，当x=5，y=−2时，x−y=5−(−2)=7．【知识点】有理数的减法法则及计算25. 【答案】(1) 2；1或2或3(2) ①是．② ∵1∗2=2∴2∗1=(1∗2)∗1，∵(a∗b)∗c=a∗c，∴(1∗2)∗1=1∗1，∵a∗a=a，∴1∗1=1，∴2∗1=1．③方法一：不存在理由如下：若存在满足交换律的"有趣的”数阵，依题意，对任意的a，b，c有：a∗c=(a∗b)∗c=(b∗a)∗c=b∗c，这说明数阵每一列的数均相同．∵1∗1=1，2∗2=2，3∗3=3，∴此数阵第一列数均为1，第二列数均为2，第三列数均为3，∴1∗2=2；2∗1=1，与交换律相矛盾，因此，不存在满足交换律的“有趣的”数阵．【解析】(1) 由题意可知：2∗3表示数阵，第2行第3列所对应的数是2，∴2∗3=2．∵2∗3=2∗x，∴2∗x=2，由题意可知：数阵第1行中3列数均为1，∴x=1，2，3．(2) 方法二：不存在理由如下：由条件二可知，a∗b只能取1，2或3，由此可以考虑a∗b取值的不同情形．例如考虑1∗2：情形一：1∗2=1．若满足交换律，则2∗1=1，再次计算1∗2可知：1∗2=(2∗1)∗2=2∗2=2，矛盾．情形二：1∗2=2，由（2）可知，2∗1=1，1∗2≠2∗1，不满足交换律，矛盾．情形三：1∗2=3，若满足交换律，即2∗1=3，再次计算2∗2可知：2∗2=(2∗1)∗2=3∗2=(1∗2)∗2=1∗2=3，与2∗2=2矛盾．综上，不存在满足交换律的“有趣的”数阵．【知识点】有理数的乘法。
2020年北师大版七年级数学上册练习：第2章2 数轴 (含答案)
＞ 3 ＞0＞- 1 ＞-11 ＞-3＞-5．
2
22
能力提升 [来源:学,科,网]
6.解：（1）规定一个单位长度代表 1 000 m，向东为正方向，如图
D2-2-3.
图 D2-2-3 （2）李林从工厂出发，按照路线：经理家老板家处长家科长 家，然后返回工厂，这样往返路程最短 .（答案不唯一） 7.解：（1）3.（2）4.（3）7.（4）n+2. （5）由（4）可知，m+2=56，解得 m=54.
（3）第五次移动后这个点在数轴上表示的数为____；
（4）第 n 次移动后这个点在数轴上表示的数为____；
（5）如果第 m 次移动后这个点在数轴上表示的数为 56，求 m 的
值． [来源:]
答案 基础巩固 1.C 解析：在原点右边的点所对应的数是 6.3， 1 ，共 2 个.故选 C.[来源:学科网ZXXK]
C．2 020
D．-2 020
3.（题型二）写出两个比-4 .2 大的负整数:_____.
4.（题型四）如图 2-2-1，数轴上的点 P 表示的数是-1，将点 P 向右
移动 3 个单位长度得到点 P′，则点 P′表示的数是；数轴上到原点的
距离等于 2 的点所表示的数是______.
图 2-2-1 5.（1）（题型一）把数-4.4， 5，-1.5，3，2.2，0.5，4.1，-3 在数轴 上表示出来； （2）（题型一）指出如图 2-2-2 的数轴上 A，B，C，D，O 各点分别 表示什么数．
m；处长的家在经理家的正东 方向，距离经理家 5 000 m；科长的家
在处长家的正东方向，距离处长家 3 000 m.”
（1）利用数轴确定四家的位置.
（2）从工厂出发,走哪条路线才能使往返路程最短？
北师大版(2024版)七年级上册数学 第2章 有理数及其运算单元测试卷 ( 含答案)
北师大版（2024版）七年级（上）数学单元测试卷第2章《有理数及其运算》满分120分时间100分钟题号得分一、选择题(共10题；共30分)1．−110的绝对值是（ ）A．110B．10C．−110D．−102．如果“亏损5%”记作−5%，那么+3%表示（ ）A．多赚3%B．盈利−3%C．盈利3%D．亏损3%3．如图，数轴上点P表示的数是（ ）A．-1B．0C．1D．24．2023年3月13日，十四届全国人大一次会议闭幕后，国务院总理李强在答记者问时表示，我们国家现在适合劳动年龄人口已经有近9亿人，每年新增劳动力是1500万人，人力资源丰富仍然是中国一个巨大优势或者说显著优势．其中1500万用科学记数法表示为（ ）A．1.5×103B．1500×104C．1.5×106D．1.5×1075．如图，数轴上的点A，B，C，D表示的数与−13互为相反数的是（ ）A．A B．B C．C D．D6．下列各式中，计算结果最大的是（ ）A．3+(−2)B．3−(−2)C．3×(−2)D．3÷(−2)7．式子−2−1+6−9有下面两种读法；读法一：负2，负1，正6与负9的和；读法二：负2减1加6减9．则关于这两种读法，下列说法正确的是（ ）A．只有读法一正确B．只有读法二正确C ．两种读法都不正确D ．两种读法都正确8．用“▲”定义一种新运算：对于任何有理数a 和b ，规定a▲b =ab +b 2，如2▲3=2×3+32=15，则(−4)▲2的值为（ ）A ．−4B ．4C ．−8D ．89．已知两个有理数a ，b ，如果ab <0且a +b >0，那么（ ）A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a ，b 同号D ．a ，b 异号，且正数的绝对值较大10．已知有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，则a 2|a 2|−|b |b−c |c |=（ ）A ．−1B ．1C ．2D ．3二、填空题(共6题；共18分)11．既不是正数也不是负数的数是 ． 12．−25 的倒数是 .13．某天最高气温为6℃，最低气温为−3℃．这天的温差是 ℃．14．一个整数8150…0用科学记数法表示为8.15×1010，则原数中“0”的个数为 个．15．比较大小：−|−8| −42．（填“>”“ <”或“=”）16．数轴上的A 点与表示−3的点距离4个单位长度，则A 点表示的数为 ．三、解答题(共9题；共72分)17．（6分） 把下列数填在相应的集合内．−56，0，-3.5，1.2，6．（1）负分数集合：{}．（2）非负数集合：{ }．18．（8分）计算：（1）(−7)+13−5；（2）(−14)−(−34)−|12−1|．19．（6分）阅读下面的解题过程，并解决问题．计算：53.27−(−18)+(−21)+46.73−(+15)+21．解：原式=53.27+18−21+46.73−15+21…①=(53.27+46.73)+(21−21)+(18−15)…②=100+0+3…③=103（1）第①步经历了哪些转变：_____，体现了数学中的转化思想，为了计算简便，第②步应用了哪些运算律：_______．（2）根据以上解题技巧进行计算：−2123+314−(−23)−(+14)．20．（8分）已知算式“(−2)×4−8”．（1）请你计算上式结果；（2）嘉嘉将数字“8”抄错了，所得结果为−11，求嘉嘉把“8”错写成了哪个数；（3）淇淇把运算符号“×”错看成了“+”，求淇淇的计算结果比原题的正确结果大多少？21．（8分）如图的数轴上，每小格的宽度相等．（1）填空：数轴上点A表示的数是 ，点B表示的数是 ．（2）点C表示的数是−13，点D表示的数是−1，请在数轴上分别画出点C和点D的位置．（3）将A，B，C，D四个点所表示的数按从大到小的顺序排列，用“>”连接．22．（8分）一辆出租车从A 站出发，先向东行驶12km ，接着向西行驶8km ，然后又向东行驶4km ．（1）画一条数轴，以原点表示A 站，向东为正方向，在数轴上表示出租车每次行驶的终点位置．（2）求各次路程的绝对值的和．这个数据的实际意义是什么？23．（8分）如图，一只甲虫在5×5的方格（每一格边长为1）上沿着网格线运动.它从A 处出发去看望B 、C 、D 处的其它甲虫，规定：向上向右为正，向下向左为负.例如：从A 到B 记为：A→B(+1,+3)；从C 到D 记为：C→D(+1,−2)（其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向）.（1）填空：A→C （ ， ）；C→B （ ， ）.（2）若甲虫的行走路线为：A→B→C→D→A ，请计算甲虫走过的路程.24．（8分）（1）如果a ，b 互为相反数（a ，b 均不为0），c ，d 互为倒数，|m |=4，则b a =______，求a +b 2024−cd +b a ×m 的值；（2）若实数a ，b 满足|a |=3，|b |=5，且a <b ，求a +13b 的值．25．（12分） 学习了绝对值的概念后，我们知道一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当a ≥0时，|a|=a ；当a <0时，|a|=−a .请完成下面的问题：（1）因为3<π，所以3−π<0，|3−π|=−(3−π)= ；（2）若有理数a <b ，则|a−b|= ；（3）（6分）计算：|13−12|+|14−13|+|15−14|+⋯+|12022−12021|+|12023−12022|参考答案一、选择题1．A 2．C 3．A 4．D 5．D 6．B 7．D 8．A 9．D 10．B二、填空题11．0 12．- 52 13．9 14．8 15．> 16．−7或1三、解答题17．（1）解：负分数集合：{−56,−3.5⋅⋅⋅}．（2）解：非负数集合：{0，1.2，6⋅⋅⋅}18．（1）解：(−7)+13−5=6−5=1（2）解：(−14)−(−34)−|12−1|=(−14)+34−|−12|=12−12=0．19．（1）去括号，省略加号；加法交换律、结合律（2）−1820．（1）−16（2）嘉嘉把“8”错写成了3（3）淇淇的计算结果比原题的正确结果大1021．（1）23；213（2）解：如图．（3）解：由数轴可知，213>22>−13−122．（1）解：如图所示，（2）解：|12|+|−8|+|4|=24km ，这个数据的实际意义是出租车行驶的总路程为24km.23．（1）+3；+4；-2；-1（2）如图所示，∵A→B =3+1=4，B→C =1+2=3，C→D =1+2=3，D→A =2+4=6.∴AB +BC +CD +DA =4+3+3+6=16.∴甲虫走过的路程为16.24．（1）−1，−5或3；（2）a +13b 的值是143或−4325．（1）π−3（2）b−a（3）解：原式=12−13+13−14+14−15+⋯+12021−12022+12022−12023=12−12023=20214046。
北师大版七年级数学上册第二章 有理数及其运算 复习练习题(含答案)
北师大版七年级数学上册第二章有理数及其运算复习练习题一．选择题（共22小题）1．下列四个算式：①﹣2﹣3＝﹣1；②2﹣|﹣3|＝﹣1；③（﹣2）3＝﹣6；④﹣2÷＝﹣6．其中，正确的算式有（）A．0个B．1个C．2个D．3个2．如图，半径为1的圆从表示3的点开始沿着数轴向左滚动一周，圆上的点A与表示3的点重合，滚动一周后到达点B，点B表示的数是（）A．﹣2πB．3﹣2πC．﹣3﹣2πD．﹣3+2π3．在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若ac＜0，b+c＜0，则下列式子一定成立的是（）A．a+c＞0B．a+c＜0C．abc＜0D．|b|＜|c|4．数轴上原点左边有一点A，点A对应着数a，有如下说法：①﹣a表示的数一定是一个正数．②若|a|＝9时，则a＝﹣9．③在﹣a，，a2，a3中，最大的数值是a2．④式子|a+|的最小值为2．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．45．如果a，b互为相反数，x，y互为倒数，m的倒数等于它本身，则6（a+b）+m2﹣3xy的值是（）A．﹣2B．﹣1C．0D．16．x是数轴上任意一点表示的数，若|x﹣3|+|x+2|的值最小，则x的取值范围是（）A．x≥3B．x≤﹣2C．﹣2≤x≤3D．﹣2＜x＜3 7．当|a|＝5，|b|＝7，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（）A．﹣12B．﹣2或﹣12C．2D．﹣28．如果a+b+c＝0，且|a|＞|b|＞|c|．则下列说法中可能成立的是（）A．b为正数，c为负数B．c为正数，b为负数C．c为正数，a为负数D．c为负数，a为负数9．下列说法中，正确的是（）A．一个有理数的绝对值不小于它自身B．若两个有理数的绝对值相等，则这两个数相等C．若两个有理数的绝对值相等，则这两个数互为相反数D．﹣a的绝对值等于a10．计算+++++……+的值为（）A．B．C．D．11．下列各式中无论m为何值，一定是正数的是（）A．|m|B．|m+1|C．|m|+1D．﹣（﹣m）12．如图，现有3×3的方格，每个小方格内均有不同的数字（1﹣10），要求方格内每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，图中给出了部分数字，则P处对应的数字是（）A．7B．5C．4D．113．计算：1+（﹣2）+（+3）+（﹣4）+（+5）+（﹣6）+…+（+99）+（﹣100）+（+101）的结果是（）A．0B．﹣1C．﹣50D．5114．如果|a+b+1|+（b﹣1）2＝0，则（a+b）2017的值是（）A．0B．1C．﹣1D．±115．如图，数轴上的六个点满足AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则在点B、C、D、E对应的数中，最接近﹣10的点是（）A．点B B．点C C．点D D．点E16．m是有理数，则m+|m|（）A．可以是负数B．不可能是负数C．一定是正数D．可是正数也可是负数17．将全体自然数按下面的方式进行排列，按照这样的排列规律，2020应位于（）A．位B．位C．位D．位18．若5y﹣2x＝3，则代数式4﹣10y+4x的值是（）A．﹣3B．﹣2C．0D．719．观察下列按一定规律排列的n个数：2，4，6，8，10，12，…，若最后三个数之和是3000，则n等于（）A．499B．500C．501D．100220．观察如图“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出n的值为（）A．491B．1045C．1003D．53321．如图所示，在这个运算程序当中，若开始输入的x是2，则经过2021次输出的结果是（）A．1B．3C．4D．822．四个长宽分别为a，b的小长方形（白色的）按如图所示的方式放置，形成了一个长、宽分别为m、n的大长方形，则下列各式不能表示图中阴影部分的面积是（）A．mn﹣4ab B．mn﹣2ab﹣amC．an+2bn﹣4ab D．a2﹣2ab﹣am+mn二．填空题（共7小题）23．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，那么2a+2b﹣5cd＝．24．已知有理数a，b，c在数轴上的对应位置如图所示，则|a﹣b|﹣2|b﹣c|﹣|a﹣1|化简后的结果是．25．如图，在数轴上点A、B表示的数分别为﹣2、4，若点M从A点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点N从B点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速运动，设点M、N同时出发，运动时间为t秒，经过秒后，M、N两点间的距离为12个单位长度．26．已知，|a|＝﹣a，＝﹣1，|c|＝c，化简|a+b|﹣|a﹣c|﹣|b﹣c|＝．27．一滴墨水洒在一个数轴上，根据图中标出的数值，判断墨迹盖住的整数个数是．28．在长为20米、宽为15米的长方形地面上修筑一条宽度为2米的道路（图中阴影部分），余下部分作为耕地，则耕地面积为平方米．29．若将正整数按如图所示的规律排列．若用有序数对（a，b）表示第a排，从左至右第b 个数．例如（4，3）表示的数是9．则（31，5）表示的数是．三．解答题（共10小题）30．计算下列各题：（1）（﹣12）﹣5+（﹣17）﹣（﹣13）；（2）（﹣+﹣）×（﹣24）；（3）﹣42﹣（﹣1）2019÷5×+|﹣17+21|．31．如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB＝2BC，设点A，B，C 所对应数的和是m．（1）若点C为原点，BC＝1，则点A，B所对应的数分别为，，m的值为；（2）若点B为原点，AC＝6，求m的值．（3）若原点O到点C的距离为8，且OC＝AB，求m的值．32．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；数轴上表示﹣3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如数轴上数x与5两点之间的距离等于|x﹣5|，（2）如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a＝；若数轴上表示数a 的点位于﹣4与2之间，求|a+4|+|a﹣2|的值；（3）当a取何值时，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是多少？请说明理由．33．计算：已知|x|＝，|y|＝，且x＜y＜0，求6÷（x﹣y）的值．34．（1）计算：16÷（﹣2）3﹣（﹣）3×（﹣4）+2.5；（2）计算：（﹣1）2017+|﹣22+4|﹣（﹣+）×（﹣24）35．如图，将连续的自然数1至1001按如图的方式排列成一个长方形阵列，用一个正方形框出9个数，要使这个正方形框出的9个数之和分别为：（1）2011；（2）2016．这是否可能？若可能，请写出这9个数中的最小数和最大数；若不可能，试说明理由．36．观察下列每一列数，按规律填空（1）﹣7，7，﹣7，7，﹣7，7，，，……（2）2，﹣4，6，﹣8，10，，，……（3）5，0，﹣5，0，5，0，﹣5，0，5，0，，，……（4）在（1）列数中第100个数是，在（2）列数中第200个数是，在（3）列数中第199个数是．37．国庆期间，王老师计划组织朋友去晋西北游览两日．经了解，现有甲、乙两家旅行社针对组团两日游的游客报价均为每人500元，且提供的服务完全相同．甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按九折收费，超过20人，则超出部分每人按八折收费．假设组团参加甲、乙两家旅行社两日游的人数均为x 人．（1）请列式表示甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用；（2）若王老师组团参加两日游的人数共有30人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家．38．每周日，宜春九中（外国语学校）巡逻队乘车沿马路东西方向巡视维护校园安全，星期天早晨从A地出发，最后到达B地，约定向东为正方向，当天的行驶记录如下（单位：千米）：+12，﹣14，+13，﹣10，﹣8，+7，﹣16，+8．（1）问B地在A地的哪个方向？它们相距多少千米？（2）若汽车行驶每千米耗油0.2升，求该天共耗油多少升？39．已知a为整数（1）|a|能取最（填“大”或“小”）值是．此时a＝．（2）|a|+2能取最（填“大”或“小”）值是．此时a＝．（3）2﹣|a﹣1|能取最（填“大”或“小”）值是．此时a＝．（4）|a﹣1|+|a+2|能取最（填“大”或“小”）值是．此时a＝．参考答案一．选择题（共22小题）1．C；2．B；3．B；4．C；5．A；6．C；7．B；8．C；9．A；10．B；11．C；12．C；13．D；14．C；15．B；16．B；17．A；18．B；19．C；20．B；21．C；22．B；二．填空题（共7小题）23．﹣5；24．2c﹣b﹣1；25．2或18；26．﹣2c；27．120；28．234；29．470；三．解答题（共10小题）30．；31．﹣3；﹣1；﹣4；32．3；5；1或﹣5；33．；34．；35．；36．﹣7；7；﹣12；14；﹣5；0；7；﹣400；﹣5；37．；38．；39．小；0；0；小；2；0；大；2；1；小；3；﹣2或﹣1或0或1；。
21--22学年北师大版七年级上册 2、1-2、3：有理数、数轴与绝对值 一课一练(含答案)
《有理数、数轴与绝对值 》习题2一、选择题1．在0，1-，3，12，﹣0.1，0.08中，负数的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．在下列数﹣56，+1，6.7，﹣15，0，722，﹣1，25%中，属于整数的有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个3．下列各数：78,1.010010001,,0,, 2.626626662,0.12,433π---其中有理数的个数是 ( )A ．3B ．4C ．5D ．64.实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( )A ．a ＞﹣2B ．a ＜﹣3C ．a ＞﹣bD ．a ＜﹣b5.如图所示，a 、b 、c 表示有理数，则a 、b 、c 的大小顺序是( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c b a <<6.a 、b 两数在数轴上位置如图所示，将a 、b 、﹣a 、﹣b 用“＜”连接，其中正确的是( )A ．a ＜﹣a ＜b ＜﹣bB ．﹣b ＜a ＜﹣a ＜bC ．﹣a ＜b ＜﹣b ＜aD ．﹣b ＜a ＜b ＜﹣a7.实效m ，n 在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是( )A ．m n >B ．n m ->C ．m n ->D ．m n <8.一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动。
设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离是1个单位长，n x 表示第n 秒时机器人在数轴上的位置所对应的数。
给出下列结论：①33x =；②51x =；③108104x x <；④20182019x x >。
其中，正确的结论的序号是( )A ．①③B ．②③C ．①②③D ．①②④9.一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位，再向左移动7个单位长度，这时点所对应的数是( )A ．3B ．1C ．﹣2D ．﹣410.下列各组数中，互为相反数的是( )A ．﹣2与|﹣2|B ．﹣2与﹣|﹣2|C ．﹣2与﹣12 D ．2与|﹣2|11.如图，数轴上有 A ，B ，C ，D 四个点，其中到原点距离相等的两个点是( )A ．点B 与点 D B ．点 A 与点C C ．点 A 与点D D ．点 B 与点 C12.下列各组数中，互为相反数的是( )A ．(2)--和2B ．(5)--和(5)+-C ．12和2- D ．(6)+-和(6)-+13.如图表示互为相反数的两个点是( )A ．点A 与点B B ．点A 与点DC ．点C 与点BD ．点C 与点D14.下列各组数中，互为相反数的一组是( )A ．3-和-3B ．3和13C ．-3和13 D ．3-和315.数轴上点A ，B 表示的数分别是5，－2，它们之间的距离可以表示为() A ．|25|－－ B ．25－－ C ．25+－ D ．||25+－16.若x 与3的绝对值相等，则x ﹣1等于( )A ．2B ．﹣2C ．﹣4D ．2或﹣417.数轴上有A 、B 、C 、D 四个点，其中绝对值等于2的点是( )A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D18.已知下列说法：①符号相反的两个数互为相反数；②符号相反且绝对值相等的两个数互为相反数；③一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右；④一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；⑤一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数一定是负数．其中正确的说法有( )个．A ．1B ．2C ．3D ．419.如图，实数3-，x ，3，y 在数轴上的对应点分别为M ，N ，P ，Q ，那么这四个数中绝对值最小的数对应的点是( )A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q20.如图，数轴上A ，B ，C ，D 四个点所表示的实数分别为a ，b ，c ，d 在这四个数中绝对值最小的数是( )A ．aB ．bC ．cD ．d21.设x 为有理数，若|x|＝x ，则( )A ．x 为正数B ．x 为负数C ．x 为非正数D ．x 为非负数22.若|x+2|+|y ﹣3|=0，则|x+y|的值为( )A ．1B ．﹣1C ．1或﹣1D ．以上都不对23.若|m|＝5，|n|＝7，m+n ＜0，则m ﹣n 的值是( )A ．﹣12或﹣2B ．﹣2或12C ．12或2D ．2或﹣1224.已知15a -=，则a 的值为( )A ．6B ．-4C ．6或-4D ．-6或425.若3,a =5b =，则a b -=( )A ．2B ．78C ．8-D ．2或8二、填空题1.如图，在数轴上有三个点A 、B 、C ，请回答下列问题．(1)A 、B 、C 三点分别表示 、 、 ；(2)将点B 向左移动3个单位长度后，点B 所表示的数是 ；(3)将点A 向右移动4个单位长度后，点A 所表示的数是 .2.|﹣34|的相反数是_____． 3.已知2x+4与3x ﹣2互为相反数，则x=_____．4.已知a 与b 的和为2，b 与c 互为相反数，若c =1，则a=__________．5.33x x -=-，则x 的取值范围是______．6.若210x y -++=，则2x y -的值为_______________．7.已知()2231a b +++取最小值，则a ab b+=____________。
北师大版七年级数学上册第二章《有理数及其运算》复习题含答案解析 (27)
一、选择题1.已知a，b是有理数，若a在数轴上的对应点的位置如图所示，且a+b<0，有以下结论：①b<0；②a−b<0；③b<−a<a<−b；④∣a∣<∣b∣，其中结论正确的个数是( )A．4个B．2个C．3个D．1个2.如图，将一刻度尺放在数轴上．①若刻度尺上0 cm和4 cm对应数轴上的点表示的数分别为1和5，则1 cm对应数轴上的点表示的数是2；②若刻度尺上0 cm和4 cm对应数轴上的点表示的数分别为1和9，则1 cm对应数轴上的点表示的数是3；③若刻度尺上0 cm和4 cm对应数轴上的点表示的数分别为−2和2，则1 cm对应数轴上的点表示的数是−1；④若刻度尺上0 cm和4 cm对应数轴上的点表示的数分别为−1和1，则1 cm对应数轴上的点表示的数是−0.5．上述结论中，所有正确结论的序号是( )A．①②B．②④C．①②③D．①②③④3.已知a n=1(n+1)2(n=1,2,3,⋯)，我们又定义b1=2(1−a1)=32，b2=2(1−a1)(1−a2)=43，b3=2(1−a1)(1−a2)(1−a3)=54，⋯，根据你观察的规律可推测出b n等于( )A．n+1n B．n+2n+1C．n+3n+2D．n+1n+24.若∣a∣≤1，则a2−1是( )A．正数B．负数C．非正数D．非负数5.将一列有理数−1，2，−3，4，−5，6，⋯⋯，如图所示有序排列，根据图中的排列规律可知：“峰1”中峰顶的位置（C的位置）是有理数4，那么，“峰6”中C的位置是有理数 ，−2013应排在A，B，C，D，E中 的位置，其中两个填空依次为( )A．−28，C B．−29，B C．−30，D D．−31，E6.M，N，P，R分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且MN=NP=PR=1．数a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P与R之间，若∣a∣+∣b∣=3，则原点是( )A．M或R B．N或P C．M或N D．P或R7.如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A，B，C，D对应的数分别是整数a，b，c，d，且b−2a=9，那么这条数轴上的原点是( )A．A点B．B点C．C点D．D点8.m，n两数在数轴上的位置如图所示，设A=m+n，B=−m+n，C=m−n，D=−m−n，则下列各式正确的是( )A．B>D>A>C B．A>B>C>DC．C>B>A>D D．D>C>B>A9.如图，数轴上的点A，B，C，D对应的数分别是整数a，b，c，d，且b−2a=3c+d+21，那么数轴上原点对应的点是( )A．A点B．B点C．C点D．D点10.点M，N，P和原点O在数轴上的位置如图所示，点M，N，P表示的有理数为a，b，c（对应顺序暂不确定）．如果bc<0，b+c>0，ab>ac，那么表示数c的点为( )A．点M B．点N C．点P D．点O二、填空题11. 已知 a ，b ，c 为三个不相等的整数，且 (a −2017)(b −2017)(c −2017)=−15，则这三个数的和的最大值等于 ．12. 按如图程序输入一个数 x ，若输入的数 x =−1，则输出结果为 ．13. 已知：11+12−1=12，13+14−12=112，15+16−13=130，17+18−14=156，⋯，根据上面各式的规律，等式 12019+12020−▫=12019×12020中 ▫ 里应填的数是 ．14. 如图，把一个直径为 1 个单位长度的圆形纸片放在数轴上，纸片上的点 A 表示的数是 1，将纸片沿数轴无滑动地滚动 1 周，点 A 到达点 B 的位置，则点 B 表示的数是 （结果保留 π）．15. 我们知道 ∣x ∣=∣x −0∣ 表示的是 x 到 0 的距离，若 ∣x −2∣=1，则 x = ，当式子 ∣x +1∣+∣x −6∣ 取得最小值时，x 的取值范围为 ．16. 如图，一个数表有 7 行 7 列，设 a ij 表示第 i 行第 j 列上的数（其中 i =1,2,3,⋯7，j =1,2,3,⋯,7）．12343212345432345654345676545678765678987678910987例如：第 5 行第 3 列上的数 a 53=7．则： （1）(a 23−a 22)+(a 52–a 53)= ；（2）此数表中的四个数 a np ，a nk ，a mp ，a mk ，满足 (a np −a nk )+(a mk −a mp )= ．17. 定义 a ∗b =3a −b ，则 2∗(2∗3)= ．三、解答题18. 张伯伯积极参加体育锻炼，天天坚持跑步，他每天以 3000 m 为标准，超过的记作正数，不足的记作负数，如表是一周内张伯伯跑步情况的记录（单位： m）：星期一二三四五六日跑步情况(m)+520+560−100−310−370+3000(1) 星期三张伯伯跑了多少米？(2) 张伯伯在跑得最少的一天跑了多少米？跑得最多的一天比最少的一天多跑了多少米？(3) 若张伯伯跑步的平均速度为240m/min，求本周内张伯伯用于跑步的时间．19.下列有理数：−1，2，5，−112．(1) 将上列各数在如图的数轴上表示出来；(2) 将上列各数从小到大排列，并用“<”符号连接．20.如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，他从A处出发去看望B，C，D处的其他甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负，如果从A到B记为A→B{1,4}，从B到A记为：B→A{−1,−4}，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．(1) 图中A→C{，}，C→B{，}；(2) 若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的最短路程；(3) 若图中另有两个格点M，N，且M→A{3−a,b−4}，M→N{5−a,b−2}，则N→A应记为什么？直接写出你的答案．21.在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：+14，−9，+8，−7，+13，−6，+12，−5．(1) 请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米．(2) 若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少油．22.已知∣2−xy∣+(1−y)2=0．(1) 求y2021+(−y)2021的值；(2) 求1xy +1(x+1)(y+1)+1(x+2)(y+2)+⋯+1(x+2021)(y+2021)的值．23.计算：(1) 2×(−3)3−4×(−3)+15；(2) −12+[(−4)2−(1−32)×2]．24.结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：(1) 数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示−3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于∣m−n∣．如果表示数a和−2的两点之间的距离是3，那么a=．(2) 若数轴上表示数a的点位于−4与2之间，求∣a+4∣+∣a−2∣的值；(3) 当a取何值时，∣a+5∣+∣a−1∣+∣a−4∣的值最小，最小值是多少？请说明理由25.计算：(1) 4+(−23)+21．(2) (−112+14)×23．(3) −22×5−(−12)÷4−4．答案一、选择题1. 【答案】C【知识点】利用数轴比较大小、绝对值的几何意义2. 【答案】D【解析】方法一：① 0 cm和 4 cm表示1和5，则每1 cm表示1个单位长度，1 cm位于有理数1右边1个单位长度处，即为2．② 0 cm和 4 cm表示1和9，则每1 cm表示2个单位长度，1 cm位于有理数1右边2个单位长度处，即为3．③ 0 cm和4 cm表示−2和2，则每1 cm表示1个单位长度，1 cm位于−2右边1个单位处，即为−1．④ 0 cm和4 cm表示−1和1，则每1 cm表示0.5个单位长度，1 cm位于−1右边0.5个单位处，即为−0.5．方法二：① ∵0 cm和4 cm对应的数轴上的点表示的数分别是1和5，=1 cm，∴单位长度为4−05−1=2．故①正确．∴1 cm对应数轴上的点表示的数是1+1−01② ∵0 cm和4 cm对应数轴上的点表示的数分别是1和9，=0.5 cm，∴单位长度是4−09−1=3．故②正确．∴1 cm对应数轴上的点表示的数是1+1−00.5③ ∵0 cm和4 cm对应数轴上的点表示的数是−2和2，=1 cm，∴单位长度是4−02−(−2)=−1．故③正确．∴1 cm对应数轴上的点表示的数是−2+1−01④ ∵0 cm和4 cm对应数轴上的点表示的数分别是−1和1，=2 cm，∴单位长度为4−01−(−1)=−0.5．故④正确．∴1 cm对应数轴上的点表示的数是−1+1−02【知识点】数轴的概念3. 【答案】B【知识点】有理数的乘除混合运算4. 【答案】C【解析】因为∣a∣≤1，所以−1≤a≤1，所以a2−1≤0，即a2−1是非正数．【知识点】有理数的乘方5. 【答案】B【解析】∵每个峰需要5个数，∴5×5=25，25+1+3=29，∴“峰6”中C位置的数的是−29，∵(2013−1)÷5=402余2，∴−2013为“峰403”的第二个数，排在B的位置．【知识点】有理数的加减乘除乘方混合运算6. 【答案】A【解析】∵MN=NP=PR=1，∴∣MN∣+∣NP∣=∣PR∣=1，∴∣MR∣=3；①当原点在N或P点时，∣a∣+∣b∣<3，又∵∣a∣+∣b∣=3，∴原点不可能在N或P点；②当原点在M，R时且∣Ma∣=∣bR∣时，∣a∣+∣b∣=3；综上所述，此原点应是在M或R点．【知识点】绝对值的几何意义7. 【答案】C【解析】根据题意，知b−a=4，即b=a+4，将b=a+4代入b−2a=9，得：a+4−2a=9，解得：a=−5，∴A点表示的数是−5，则C点表示原点．【知识点】数轴的概念8. 【答案】A【解析】由数轴可知−2<m<−1<0<a<1，∴−m+n>−m−n>m+n>m−n，即B>D>A>C．【知识点】利用数轴比较大小9. 【答案】D【解析】由数轴上各点的位置可知d−c=3，d−b=4，d−a=8，故c=d−3，b=d−4，a=d−8，代入b−2a=3c+d+21得，d−4−2d+16=3(d−3)+d+21，解得d=0．故数轴上原点对应的点是D点．故选：D．【知识点】数轴的概念10. 【答案】A【解析】∵bc<0，∴b，c异号，∵b+c>0，∴M表示b，c中的负数，P表示其中的正数，∴M表示数c．故选：A．【知识点】有理数的乘法二、填空题11. 【答案】6066【解析】∵a，b，c为三个不相等的整数，且(a−2017)(b−2017)(c−2017)=−15，∴满足题意可能为：a−2017=−1，b−2017=1，c−2017=15，解得：a=2016，b=2018，c=2032，则这三个数和的最大值为6066．【知识点】有理数的乘法12. 【答案】1【解析】输入x=−1，计算如下：−1×(−2)−5=−3，结果是负数，继续计算如下：−3×(−2)−5=1，结果为正数，输出，即输出的结果为1．【知识点】有理数的乘法13. 【答案】11010【解析】12019+12020−11010=12019×12020．【知识点】有理数加减混合运算14. 【答案】π+1【解析】∵⊙A的直径为1，∴⊙A的半径为12，∴⊙A的周长C=2πr=2π×12=π，∵⊙A滚动1周到点B，∴点1到点B的距离为π，∴B点表示的数为π+1．【知识点】数轴的概念15. 【答案】1和3；−1≤x≤6【解析】∣x−2∣=1表示在数轴上与x距离为1，点的对应数为1和3，即x的值为1和3．∵∣x+1∣+∣x−6∣取最小值，∴表示x的点在−1和6之间的线段上，∴−1≤x≤6．故答案为：−1≤x≤6．【知识点】绝对值的几何意义16. 【答案】0；0【解析】（1）(a23−a22)+(a52–a53)=(4−3)+(6−7)=1−1=0；（2）∵数表的每行中的第p列和第k列的差是相等的，∴(a np−a nk)与(a mk−a mp)互为相反数，∴(a np−a nk)+(a mk−a mp)=0．【知识点】相反数的性质、有理数加减混合运算17. 【答案】3【解析】2∗(2∗3)=2∗(3×2−3) =2∗(6−3)=2∗3=3×2−3=6−3= 3.故答案为：3．【知识点】有理数的乘法三、解答题18. 【答案】(1) 3000−100=2900(m)，故星期三张伯伯跑了2900米．(2) 张伯伯在跑得最少的一天跑了3000−370=2630（米）；跑得最多的一天比最少的一天多跑了560−(−370)=930（米）．=90(min)，(3) (520+560−100−310−370+300+0)+3000×7240故本周内张伯伯用于跑步的时间是90min．【知识点】有理数加法的应用、有理数的乘除混合运算19. 【答案】(1) 将各数表示在数轴上，如图所示：<−1<2<5．(2) 根据题意得：−112【知识点】利用数轴比较大小、数轴的概念20. 【答案】(1) 3；4；−2；0(2) 根据已知条件可知：A→B表示为：{1,4}，B→C记为{2,0}，C→D记为{1,−2}．则该甲虫走过的路线长为：1+4+2+1+2=10．(3) {−2,−2}．【解析】(1) ∵规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负，∴图中A→C{3,4}，C→B{−2,0}．(3) 由M→A{3−a,b−4}，M→N{5−a,b−2}，∴5−a−(3−a)=2，b−2−(b−4)=2，∴点A向右走2个格点，向上走2个格点到点N，∴N→A应记为{−2,−2}．【知识点】有理数加法的应用21. 【答案】(1) ∵14−9+8−7+13−6+12−5=20，∴B地在A地的东边20千米．(2) 这一天走的总路程为：14+∣−9∣+8+∣−7∣+13+∣−6∣+12+∣−5∣=74千米，应耗油74×0.5=37（升），故还需补充的油量为：37−28=9（升）．【知识点】有理数加法的应用22. 【答案】(1) 因为∣2−xy∣+(1−y)2=0，而∣2−xy∣≥0，(1−y)2≥0，所以{2−xy=0, ⋯⋯①1−y=0. ⋯⋯②由②得y=1．把y=1代入①得2−x=0，故x=2．y2021+(−y)2021=12021+(−1)2021=1+(−1)=0.(2)1xy+1(x+1)(y+1)+1(x+2)(y+2)+⋯+1(x+2021)(y+2021)=11×2+12×3+13×4+⋯+12022×2023=(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(12022−12023)=1−12+12−13+13−14+⋯+12022−12023=1+(−12+12)+(−13+13)+(−14+14)+⋯+(−12022+12022)−12023 =1−12023=20222023.【知识点】有理数的乘方、有理数加减乘除混合运算23. 【答案】(1) 原式=2×(−27)+12+15=−54+27=−27．(2) 原式=−1+16+16=31．【知识点】有理数的加减乘除乘方混合运算24. 【答案】(1) 3；5；1或−5(2) 因为∣a+4∣+∣a−2∣表示数轴上数a和−4，2之间距离的和，又因为数a位于−4与2之间，所以∣a+4+∣a−2∣=6．(3) 根据∣a+5∣+∣a−1∣+∣a−4∣表示一点到−5，1，4三点的距离的和，所以当a=1时，式子的值最小，此时∣a+5∣+∣a−1∣+∣a−4∣的最小值是9．【知识点】绝对值的化简、绝对值的几何意义25. 【答案】(1) 原式=−23+25=2.(2) 原式=−32×23+14×23=−1+16=−56.(3) 原式=−20+3−4=−17−4=−21.【知识点】有理数的加减乘除乘方混合运算、有理数的加法法则及计算、有理数的乘法。
数轴与绝对值 压轴专练北师大版七年级数学上册第2章 有理数及其运算
第2章《有理数及其运算》数轴与绝对值压轴专练一．数轴综合1．同学们都知道：|6﹣（﹣3）|表示6与﹣3之差的绝对值，实际上，也可以理解为：6与﹣3两数在数轴上所对应的点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：（1）7与﹣4在数轴上所表示的点之间的距离为；x与2在数轴上所表示的点之间的距离为；（2）若|x﹣2|＝5，则x＝（3）同理，|x+3|+|x﹣1|表示有理数x在数轴上的对应点与﹣3和1所对应的点的距离之和．请求出所有符合条件：|x+3|+|x﹣1|＝4的整数x．2．我们知道|x|的几何意义是数轴上表示x的点与原点之间的距离：|2﹣1|的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离．（1）|x﹣3|的几何意义是数轴上表示x的点到表示的点之间的距离，|x+2|的几何意义是数轴上表示x的点到表示的点之间的距离；（2）利用绝对值的几何意义求满足等式|x﹣1|＝3的x的值．3．写出符合下列条件的数：（1）大于﹣3且小于2的所有整数；（2）绝对值大于2且小于5的所有负整数；（3）在数轴上，与表示﹣1的点的距离为2的数；4．数轴上点A表示数字6，点B表示数字﹣4（1）画数轴，并在数轴上标出点A与点B；（2）数轴上一动点C从点A出发，沿数轴的负方向以每秒2个单位长度的速度移动，经过4秒到达点E，数轴上另一动点D从点B出发，沿数轴的正方向以每秒1个单位长度的速度移动，经过8秒到达点F，求出点E与点F所表示的数，并在第（1）题的数轴上标出点E，点F；（3）在第（2）题的条件下，在数轴上找出点H，使点H到点E距离与点H到点F距离之和为8，请在数轴上直接标出点H．（不需写出求解过程）5．数轴上，当点A在原点的左边，点B在原点的右边，点A，B之间的距离为28个单位长度，点A与原点的距离为8个单位长度，若点A，B对应的有理数分别是a，b．（1）求a，b；（2）若质点M从点A沿数轴以每秒1个单位长度向左运动，质点N从点B沿数轴以每秒3个单位长度向左运动，若质点N在点C处追上质点M，求点C对应的有理数c；（3）若质点P从点A沿数轴以每秒2单位长度向右运动，质点Q从点B沿数轴以每秒1个单位长度向右运动，t秒钟后质点P与质点Q之间的距离为18时，求t的值．6．如图，数轴上每相邻两点的相距一个单位长度，点A、B、C、D是这些点中的四个，且对应的位置如图所示，它们对应的数分别是a，b，c，d．（1）当ab＝﹣1，则d＝．（2）若|d﹣2a|＝7，求点C对应的数．（3）若abcd＜0，a+b＞0，化简|a﹣b|﹣|b+c﹣5|﹣|c﹣5|﹣|d﹣a|+|8﹣d|．7．我们在《有理数》这一章中学习过绝对值的概念：一般的，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|．实际上，数轴上表示数﹣3的点与原点的距离可记作|﹣3﹣0|，数轴上表示数﹣3的点与表示数2的点的距离可记作|﹣3﹣2|，那么，（1）①数轴上表示数3的点与表示数1的点的距离可记作．②数轴上表示数a的点与表示数2的点的距离可记作．③数轴上表示数a的点与表示数﹣3的点的距离可记作．（2）数轴上与表示数﹣2的点的距离为5的点有个，它表示的数为．（3）拓展：①当数a取值为时，数轴上表示数a的点与表示数﹣1的点的距离最小．②当整数a取值为时，式子|a+1|+|a﹣2|有最小值为．③当a取值范围为时，式子|a+1|+|a﹣2|有最小值．8．阅读下面材料，回答问题距离能够产生美．唐代著名文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无．当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道：“世界上最遥远的距离不是瞬间便无处寻觅而是尚未相遇便注定无法相聚”距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．已知点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为AB．（1）当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，AB＝OB＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|．（2）当A，B两点都不在原点时，①如图2，点A，B都在原点的右边，AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；②如图3，点A，B都在原点的左边，AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝a﹣b＝|a﹣b|；③如图4，点A，B在原点的两边，AB＝OA+OB＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝a﹣b＝|a﹣b|．综上，数轴上A，B两点的距离AB＝|a﹣b|．利用上述结论，回答以下三个问题：（1）若数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离是4，则x＝；（2）若代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，则x的取值范围是；（3）若未知数x，y满足（|x﹣1|+|x﹣3|）（|y﹣2|+|y+1|）＝6，则代数式x+2y 的最大值是，最小值是．9．阅读材料：在数轴上5与﹣2所对的两点之间的距离：|5﹣（﹣2）|＝7．在数轴上点A、B分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离AB＝ǀa﹣bǀ＝ǀb﹣aǀ．请回答下列问题：（1）数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是；数轴上表示数x和3的两点之间的距离表示为．数轴上表示数和的两点之间的距离表示为ǀx+2ǀ．（2）当表示数x的点在﹣2与3之间移动时，ǀx﹣3ǀ+ǀx+2ǀ＝．（3）要使|x﹣3|+|x+2|＝9，则x为．（4）当ǀx﹣3ǀ+ǀx+2ǀ＝5时，x的取值范围为．10．如图，数轴上点A、B分别对应数a、b，其中a＜0，b＞0．（1）当a＝﹣3，b＝7时，线段AB的中点对应的数是．（直接填结果）（2）若该数轴上另有一点M对应着数m．①当m＝3，b＞3，且AM＝2BM时，求代数式a+2b+2010的值；②a＝﹣3．且AM＝3BM时学生小朋通过演算发现代数式3b﹣4m是一个定值，老师点评；小朋同学的演算发现还不完整！请你通过演算解释为什么“小朋的演算发现”是不完整的？11．如图，已知在纸面上有一条数轴．操作一：折叠数轴，使表示1的点与表示﹣1的点重合，则表示﹣3的点与表示的点重合．操作二：折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，在这个操作下回答下列问题：①表示﹣3的点与表示的点重合；②若数轴上A，B两点的距离为6（A在B的左侧），且折叠后A，B两点重合，则点A表示的数为，点B表示的数为．12．如图，已知数轴上点A表示的数为﹣12，点B在点A右边，且OA＝2OB．（1）写出数轴上点B表示的数；（2）点M为数轴上一点，若AM﹣BM＝4，求出点M表示的数．二．绝对值13．若|a|＝1，a+b＝0，求﹣ab﹣2的值．14．已知|5x﹣3|＝3﹣5x，求x的取值范围．15．已知|x|+4＝12，|y|+3＝5：（1）求x，y的取值；（2）当x﹣y＜0，求2x+y的值．16．已知实数a，b，c满足：a+b+c＝﹣2，abc＝﹣4．（1）求a，b，c中的最小者的最大值；（2）求|a|+|b|+|c|的最小值．17．已知y＝|2x+6|+|x﹣1|+4|x+1|，求y的最小值．18．如图，已知数轴上点A，B，C所对应的数a，b，c都不为0，且C是AB的中点，如果|a+b|﹣|a﹣2c|+|b﹣2c|﹣|a+b﹣2c|＝0，试确定原点O的大致位置．19．有理数a、b、c在数轴上的位置如图：（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c0，a+b0，c﹣a0．（2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．20．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求++的值．【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则++＝++＝1+1+1＝3；②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则++＝++＝1+（﹣1）+（﹣1）＝﹣1．综上所述，++值为3或﹣1．【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）已知a，b是不为0的有理数，当|ab|＝﹣ab时，则+的值是；（2）已知a，b，c是有理数，当abc＜0时，求++的值；（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求++的值．。
2024-2025学年度北师版七年级上册数学第二章有理数及其运算专题1数轴与绝对值习题课件
数轴，并在数轴上标记各数；（3）根据“数轴上，右边的数始
终比左边的数大”，按大小顺序排列连接各数.
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如图，已知数轴上的刻度为1个单位长度，点 A 表示的数是－3. （1）在数轴上标出原点，并指出点 B 所表示的数是 4 ；
（1）【解析】如图，点 O 为原点，点 B 所表示的数是4. 故答案为4.
数 ，0的绝对值是 0 ；
（2）几何意义：一个数的绝对值，就是在数轴上表示这个数的 点到原点的 距离 .
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02
典例讲练
数学 七年级上册 BS版
类型一 有理数在数轴上的表示 如图是一条不完整的数轴，请将它补画完整，并用数轴上
的点表示数：
5 2
，0，3，－（－1），－
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2. 相反数. （1）有理数 a 的相反数为 － a ；若 a ， b 互为相反数，则 a ＋b＝ 0 .
（2）在数轴上表示相反数的两个点位于原点的两侧，并且到原 点的距离 相等 .
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3. 绝对值. （1）正数的绝对值是 它本身 ，负数的绝对值是 它的相反
a ， b ，－ b 这四个数用“＜”连接起来. 【思路导航】在数轴上找到表示数－ a ，－ b 的点，按照在数轴 上右边的数大于左边的数排列即可. 解：如图所示： 由数轴可知， a ＜－ b ＜ b ＜－ a .
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【点拨】（1）我们常常通过图形（如此题中的数轴）来帮助理 解，以数的情势（如此题中的答案）作答；（2）数形结合是初 中数学一种重要的思想方法.
2.3绝对值同步练习2023-2024学年北师大版数学七年级上册(含答案)
2.3绝对值同步练习2023-2024学年北师大版数学七年级上册（含答案）2023-2024学年北师大版数学七年级上册第二章有理数及其运算绝对值同步练习一．选择题（共12小题）1．﹣11的绝对值为（）A．1 B．11 C．﹣D．2．若|a|＝2，则a＝（）A．﹣2 B．C．2 D．±23．下列各数中互为相反数的是（）A．|﹣|和﹣B．|﹣|和﹣C．|﹣|和D．|﹣|和4．将符号语言“|a|＝a（a≥0）”转化为文字表达，正确的是（）A．一个数的绝对值等于它本身B．负数的绝对值等于它的相反数C．非负数的绝对值等于它本身D．0的绝对值等于05．若|a+2|＝﹣a﹣2，则|a﹣1|﹣|2﹣a|＝（）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣16．若|﹣x|＝2023，则x等于（）A．﹣2023 B．2023 C．±2023 D．0或20237．若|5﹣x|＝x﹣5，则x的取值范围为（）A．x＞5 B．x≥5 C．x＜5 D．x≤58．已知|m|＝4，|n|＝6，且m+n＝|m+n|，则m﹣n的值是（）A．﹣10 B．﹣2 C．﹣2或﹣10 D．29．已知a、b、c的大致位置如图所示：化简|a+c|﹣|a+b|的结果是（）A．2a+b+c B．b﹣c C．c﹣b D．2a﹣b﹣c10．若ab≠0，那么+的取值不可能是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．211．|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|的最小值等于（）A．10 B．11 C．17 D．2112．求的最小值（）A．12 B．6 C．D．3二．填空题（共8小题）13．化简：|﹣2022|＝．14．若|m﹣2|＝2﹣m，则m的取值范围是．15．绝对值小于或等于1的整数有．16．若有理数a，b满足ab≠0，则的值为．17．若|x﹣1|+（y﹣3）2＝0，则y﹣x＝．18．若有理数x，y满足|x+1|+|y+2|+|x﹣3|+|y﹣4|＝10，则x+2y的最大值为．19．实数a，b满足|a+1|+|2﹣a|＝8﹣|b+3|﹣|b+8|，则a+b的最小值为．20．已知（|1+x|+|2﹣x|）（|y+2|+|y﹣1|）＝9，则x﹣2y的最小值为．三．解答题（共7小题）21．若|x|＝3，|y|＝5，且|x+y|＝﹣x﹣y，求x﹣y的值．22．已知﹣2的相反数是x，﹣5的绝对值是y，z是最小的正整数，求x+y+z的相反数．23．已知a、b、c的大致位置如图所示：化简|a+c|+|b﹣c|﹣|a﹣b|+2b．24．阅读下列材料并解决有关问题，我们知道|x|＝，当x＞0时，＝1，当x＜0时，＝﹣1．且当x＞0，y＜0时，xy＜0．现在我们可以用这个结论来解决下面问题：（1）已知a，b是有理数，当a＜0，b＞0时，＝．（2）已知a，b是有理数，当ab≠0时，＝．（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求的值．25．同学们都知道，|4﹣（﹣2）|表示4与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索：（1）求|4﹣（﹣2）|＝；（2）若|x﹣2|＝5，则x＝；（3）请你找出所有符合条件的整数x，使得|1﹣x|+|x+2|＝3．26．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示3和2的两点之间的距离是；表示﹣2和1两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．（2）如果|x+1|＝2，那么x＝；（3）若|a﹣3|＝4，|b+2|＝3，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是，最小距离是．（4）若数轴上表示数a的点位于﹣3与5之间，则|a+3|+|a﹣5|＝．（5）当a＝时，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，最小值是．27．阅读下面材料并解决有关问题：我们知道：|x|＝．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1，x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值x＝﹣1和，x＝2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2．从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况：①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②当﹣1≤x＜2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3；③当x≥2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1．综上讨论，原式＝．通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）化简代数式|x+2|+|x﹣4|．（2）求|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值．第二章有理数及其运算绝对值同步练习2022-2023学年北师大版数学七年级上册（答案）一．选择题（共12小题）1．﹣11的绝对值为（）A．1 B．11 C．﹣D．【答案】B2．若|a|＝2，则a＝（）A．﹣2 B．C．2 D．±2【答案】D3．下列各数中互为相反数的是（）A．|﹣|和﹣B．|﹣|和﹣C．|﹣|和D．|﹣|和【答案】A4．将符号语言“|a|＝a（a≥0）”转化为文字表达，正确的是（）A．一个数的绝对值等于它本身B．负数的绝对值等于它的相反数C．非负数的绝对值等于它本身D．0的绝对值等于0【答案】C5．若|a+2|＝﹣a﹣2，则|a﹣1|﹣|2﹣a|＝（）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣16．若|﹣x|＝2023，则x等于（）A．﹣2023 B．2023 C．±2023 D．0或2023【答案】C7．若|5﹣x|＝x﹣5，则x的取值范围为（）A．x＞5 B．x≥5 C．x＜5 D．x≤5【答案】B8．已知|m|＝4，|n|＝6，且m+n＝|m+n|，则m﹣n的值是（）A．﹣10 B．﹣2 C．﹣2或﹣10 D．2【答案】C9．已知a、b、c的大致位置如图所示：化简|a+c|﹣|a+b|的结果是（）A．2a+b+c B．b﹣c C．c﹣b D．2a﹣b﹣c【答案】A10．若ab≠0，那么+的取值不可能是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【答案】C11．|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|的最小值等于（）A．10 B．11 C．17 D．21【答案】C12．求的最小值（）A．12 B．6 C．D．3二．填空题（共8小题）13．化简：|﹣2022|＝2022．【答案】2022．14．若|m﹣2|＝2﹣m，则m的取值范围是m≤2．【答案】m≤2．15．绝对值小于或等于1的整数有0，1，﹣1．【答案】0，1，﹣1．16．若有理数a，b满足ab≠0，则的值为0或2或﹣2．【答案】0或2或﹣2．17．若|x﹣1|+（y﹣3）2＝0，则y﹣x＝2．【答案】2．18．若有理数x，y满足|x+1|+|y+2|+|x﹣3|+|y﹣4|＝10，则x+2y的最大值为11．【答案】11．19．实数a，b满足|a+1|+|2﹣a|＝8﹣|b+3|﹣|b+8|，则a+b的最小值为﹣9．【答案】﹣9．20．已知（|1+x|+|2﹣x|）（|y+2|+|y﹣1|）＝9，则x﹣2y的最小值为﹣3．【答案】﹣3．三．解答题（共7小题）21．若|x|＝3，|y|＝5，且|x+y|＝﹣x﹣y，求x﹣y的值．【答案】8或222．已知﹣2的相反数是x，﹣5的绝对值是y，z是最小的正整数，求x+y+z的相反数．【答案】．23．已知a、b、c的大致位置如图所示：化简|a+c|+|b﹣c|﹣|a﹣b|+2b．【答案】2b+2c．24．阅读下列材料并解决有关问题，我们知道|x|＝，当x＞0时，＝1，当x＜0时，＝﹣1．且当x＞0，y＜0时，xy＜0．现在我们可以用这个结论来解决下面问题：（1）已知a，b是有理数，当a＜0，b＞0时，＝0．（2）已知a，b是有理数，当ab≠0时，＝﹣2或0或2．（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求的值．【答案】（1）0；（2）﹣2或0或2；（3）﹣1．25．同学们都知道，|4﹣（﹣2）|表示4与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索：（1）求|4﹣（﹣2）|＝6；（2）若|x﹣2|＝5，则x＝7或﹣3；（3）请你找出所有符合条件的整数x，使得|1﹣x|+|x+2|＝3．【答案】（3）x=-2或-1或0或1．26．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示3和2的两点之间的距离是1；表示﹣2和1两点之间的距离是3；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．（2）如果|x+1|＝2，那么x＝1或﹣3；（3）若|a﹣3|＝4，|b+2|＝3，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是12，最小距离是2．（4）若数轴上表示数a的点位于﹣3与5之间，则|a+3|+|a﹣5|＝8．（5）当a＝1时，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，最小值是9．27．阅读下面材料并解决有关问题：我们知道：|x|＝．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1，x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值x＝﹣1和，x＝2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2．从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况：①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②当﹣1≤x＜2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3；③当x≥2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1．综上讨论，原式＝．通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）化简代数式|x+2|+|x﹣4|．（2）求|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值．【答案】解：（1）当x＜-2时，|x+2|+|x-4|=-x-2+4-x=-2x+2；当-2≤x＜4时，|x+2|+|x-4|=x+2+4-x=6；当x≥4时，|x+2|+|x-4|=x+2+x-4=2x-2；（2）当x＜-1时，原式=3x+5＜2，当-1≤x≤1时，原式=-5x-3，-8≤-5x-3≤2，当x＞1时，原式=-3x-5＜-8，则|x-1|-4|x+1|的最大值为2．。
(经典)北师大版七年级有理数及其运算练习题(带答案)
《有理数及其运算》之阳早格格创做单元尝试卷一、耐性挖一挖：(每题3分,同30分) 1、52-的千万于值是，52-的好异数是，52-的倒数是．2、某火库的火位下落1米，记做 －1米，那么 ＋1.2米表示．3、数轴上表示有理数－3.5与4.5二面的距离是．4、已知|a －3|＋24）（+b =0，则2003）（b a +＝． 5、已知p 是数轴上的一面4-，把p 面背左移动3个单位后再背左移1个单位少度，那么p 面表示的数是______________. 6、最大的背整数与最小的正整数的战是_________ . 7、()1-2003+()20041-= .8、若x 、y 是二个背数，且x ＜y ，那么|x ||y | 9、若|a |＋a ＝0，则a 的与值范畴是 10、若|a |＋|b |＝0，则a ＝，b ＝二、粗心选一选：（每小题3分，同24分.）1、如果一个数的仄圆与那个数的好等于0，那么那个数只可是（ ）A 0B －1C 1D 0或者12、千万于值大于或者等于1，而小于4的所有的正整数的战是（ ）A 8B 7C 6D 53、二个背数的战一定是（ ）A 背B 非正数C 非背数D 正数4、已知数轴上表示－2战－101的二个面分别为A ，B ，那么A ，B 二面间的距离等于（ ）A 99B 100C 102D 103 5、若x ＞0，y ＜0，且|x|＜|y|，则x ＋y 一定是（ ）A 背数B 正数C 0D 无法决定标记6、一个数的千万于值是3，则那个数不妨是（ ）A 3B 3-C 3或者3-D 317、()34--等于（ ）A 12-B 12C 64-D 648、,162=a 则a 是（ ）A 4或者4-B 4-C 4D 8或者8- 三、估计题（每小题3分，同24分）1、()26++()14-+()16-+()8+2、()3.5-+()2.3-()5.2--()8.4+-3、()8-)02.0()25(-⨯-⨯4、 ⎪⎭⎫⎝⎛-+-127659521()36-⨯ 5、 ()1-⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷3114310 6、8+()23-()2-⨯ 7、81)4(2033--÷- 8、100()()222---÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷32四、（5分）m =2，n =3，供m+n 的值五、（5分）已知a 、b 互为好异数，c 、d 互为倒数，x 是最小的正整数.试供220082008()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值六、（6分）出租车司机小李某天下午经营尽是正在物品走背的群众大讲上举止的，如果确定背东为正，背西为背，那天下午他的止车里程（单位：千米）如下：＋15，－2，＋5，－1，＋10，－3，－2，＋12，＋4，－5，＋6（1）将末尾一名搭客收到手段天时，小李距下午出车时的出收面多近？（2）若汽车耗油量为3降/千米，那天下午小李同耗油几降？ 七、（6分）瞅察下列各式：1、估计：33333123410++++⋅⋅⋅+的值2、试预测333331234n ++++⋅⋅⋅+的值单元尝试卷卷参照问案一、耐性挖一挖：1、25、25、52-2、该3、84、–15、–66、07、08、> 9、a ≤ 0 10、a = 0 b = 0 二、挖空题三、估计题1、解：本式 = (26)(8)(14)(16)++++-+-2、解：本式 =5.3 3.2 2.5 4.8--+-= 34(30)+- = 5.3 2.5 3.2 4.8-+-- = 4 = 2.88-- = 10.8- 3、解：本式 =200(0.02)⨯-4、 解：本式=1557(36)(36)(36)(36)29612⨯--⨯-+⨯--⨯-= 4- = 18203021-+-+ = 4841-+ = 7- 5、解：本式 =43(1)()()434-⨯-⨯-6、解：本式 = 89(2)+⨯-= 43()434⨯- = 818-=343-= 10-7、解：本式 =1108()648-⨯--8、解：本式 =10043÷-= 1188-= 253-= 0 = 22 四、解：∵2m =∴2m =±∵3n =∴3n =±当2,3m n ==时23m n +=+= 5 当2,3m n ==- 时2(3)m n +=+-= 1- 当2,3m n =-= 时(2)3m n +=-+= 1 当2,3m n =-=- 时(2)(3)m n +=-+-=5-五、解：∵a 、b 互为好异数∴0a b +=∵c 、d 互为倒数∴1cd =- ∵x 是最小的正整数∴1x =∴220082008()()()x a b cd x a b cd -+++++- =2200820081[0(1)]10[(1)]-+-⨯++--= 2六、解：（1）将末尾一名搭客收到手段天时，小李距下午出车时的出收面的位子：15+（-2）+5+（-1）+10+（-3）+（-2）+12+4+（-5）+6 =（15+5+10+12+4+6）+[（-2）+（-1）+（-3）+（-2）+（-5）] = 52+（-13） = 39将要末尾一名搭客收到手段天时，小李距下午出车时的出收面的东里39千米处（2）那天下午小李同走了：= 15+2+5+1+10+3+2+12+4+5+6= 65若汽车耗油量为3降/千米，那天下午小李同耗油65×3 = 195问：若汽车耗油量为3降/千米，那天下午小李同耗油195七、解：1、33333123410++++⋅⋅⋅+=22 110(101) 4⨯⨯+=1100121 4⨯⨯=30252、333331234n++++⋅⋅⋅+=22 1(1) 4n n+。
专题2.4 有理数及其运算(压轴题综合测试卷)(北师大版)(解析版)
专题2.4 有理数及其运算（满分120）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（2022秋·全国·七年级期中）若a<b<0<c<d，则以下四个结论中，正确的是（）A．a+b+c+d一定是正数B．d+c−a−b可能是负数C．d−c−b−a一定是正数D．c−d−b−a一定是正数【思路点拨】本题应用特值排除法，对于A，如果设a=-2，b-1，c=1，d=2，则a+b+c+d=0是非正数；对于B，d+c>0，-a>-b>0，所以d+c-a-b一定大于0；对于D，设a=-2，b=-1，c=1，d=5，则c-d-b-a=-1，不是正数.【解题过程】解：A.根据已知条件a<b<0<c<d，可设a=-2，b-1，c=1，d=2，则a+b+c+d=0是非正数，故错误；B. 根据已知条件a<b<0<c<d可知d+c>0，-a>-b>0，所以d+c-a-b>0，故错误；C. 根据已知条件a<b<0<c<d可知d-c>0，-a-b>0，所以d−c−b−a一定是正数，故正确；D，根据已知条件a<b<0<c<d可设a=-2，b=-1，c=1，d=5，则c-d-b-a=-1，是负数，故错误；故选C2．（2022秋·北京朝阳·九年级校考阶段练习）一个动点P从数轴上的原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点P1，第2次向右移动2个单位长度到达点P2，第3次向左移动3个单位长度到达点P3，第4次向左移动4个单位长度到达点P4，第5次向右移动5个单位长度到达点P5…，点P按此规律移动，则移动第158次后到达的点在数轴上表示的数为（）A．159B．-156C．158D．1【思路点拨】根据数轴，按题目叙述的移动方法即可得到点前五次移动后在数轴上表示的数；根据移动的规律即可得移动第158次后到达的点在数轴上表示的数．【解题过程】解：设向右为正，向左为负，则P1表示的数为+1，P2表示的数为+3P3表示的数为0P4表示的数为-4P5表示的数为+1……由以上规律可得，每移动四次相当于向左移动4个单位长度．所以当移动156次时，156=39×4相当于向左移动了39次四个单位长度．此时表示的数为39×(-4)=−156．则第157次向右移动157个单位长度，P157=1；第158次还是向右，移动了158个单位长度，所以P158=1+158=159．故P158在数轴上表示的数为159．故选A．3．（2022秋·广西防城港·七年级统考阶段练习）在数轴上和有理数a，b，c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①a2﹣a﹣2<0；②|a−b|+|b−c|=|a−c|；③(a+b)(b+c)(c+a)>0；④||a|<1−bc．其中正确的结论有（ ）个A．4B．3C．2D．1【思路点拨】根据数轴上各数的位置得出a<−1<0<b<c<1，依此逐个判定即可得出结论．【解题过程】解：根据题意得：a<−1<0<b<c<1，则①a2−a−2=(a−2)(a+1)>0；故①错误；②∵|a−b|+|b−c|=−a+b−b+c=−a+c，|a−c|=−a+c，∴|a−b|+|b−c|=|a−c|；故②正确；③∵a+b<0，b+c>0，c+a<0，∴(a+b)(b+c)(c+a)>0；故③正确；④∵|a|>1，1−bc<1，∴|a|>1−bc；故④错误；故正确的结论有②③，一共2个．故选：C．4．（2023秋·全国·七年级专题练习）已知有理数a，c，若|a−2|=18，且3|a−c|=|c|，则所有满足条件的数c的和是（ ）A．﹣6B．2C．8D．9【思路点拨】根据绝对值的代数意义对|a−2|=18进行化简，a−2=18或a−2=−18，解得a=20或a=−16有两个解，分两种情况再对3|a−c|=|c|进行化简，继而有两个不同的绝对值等式，3|20−c|=|c|和3|−16−c|=|c|，每个等式同样利用绝对值的代数意义化简，分别得到c的值有两个，故c共有四个值，再进行相加，得到所有满足条件的数的和．【解题过程】解：∵|a−2|=18，∴a−2=18或a−2=−18，∴a=20或a=−16，当a=20时，3|a−c|=|c|等价于3|20−c|=|c|，即|60−3c|=|c|，∴60−3c=c或60−3c=−c，∴c=15或c=30；当a=−16时，3|a−c|=|c|等价于3|−16−c|=|c|，即|−48−3c|=|c|，∴−48−3c=c或−48−3c=−c，∴c=−12或c=−24，故c=15或c=30或c=−12或c=−24，∴所有满足条件的数c的和为：15+30+(−12)+(−24)=9．故答案为：D5．（2023秋·全国·七年级专题练习）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，…，根据上述算式中的规律，221+311的末位数字是（ ）A ．3B ．5C ．7D ．9【思路点拨】通过观察所给的式子，发现每4次运算尾数循环出现，由此求解即可．【解题过程】解：∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，∴其结果的末位数字每4次运算尾数循环出现，∵21÷4=5⋯⋯1，∴221的末尾数字与21=2的尾数相同为2，∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，…，∴其结果的末位数字每4次运算尾数循环出现，∵11÷4=2⋯⋯3∴311的末尾数字与33=27的尾数相同为7，∴221+311的末位数字是：2+7=9．故选：D ．6．（2022·全国·七年级假期作业）设有理数a 、b 、c 满足a >b >c(ac <0)，且|c |<|b |<|a|，则|x ﹣a b2|+|x ﹣b c2|+|x +a c2|的最小值是（ ）A ．a−c2B C D 【思路点拨】根据ac <0可知a ，c 异号，再根据a >b >c ，以及|c |<|b |<|a|，即可确定a ，−a ，b ，−b ，c ，−c 在数轴上的位置，而|x +|x +|x +a c 2|−a c 2三点的距离的和，根据数轴即可确定．【解题过程】解：∵ac <0，∴a ，c 异号，∵a >b >c ，∴a >0，c <0，又∵|c |<|b |<|a|，∴−a <−b <c <0<−c <b <a ，又∵|x +|x +|x +a c 2|−a c 2三点的距离的和，当x 在b c2时距离最小，即|x ﹣a b 2|+|x ﹣b c2|+|x +a c 2|最小，最小值是ab 2与−ac 2之间的距离，即2a b c2．故选：C ．7．（2023秋·江苏·七年级专题练习）小王在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是5，6，7，8中的一个数，并且这4个数都能取到．则小王写下的四个整数的积可能是（ ）A ．80B ．90C ．100D ．120【思路点拨】分别列出两个正整数的和为5，6，7，8的所以可能的情况，然后求解即可．【解题过程】解：和为5的两个正整数可为：1，4或2，3；和为6的两个正整数可为：1，5或2，4或3，3；和为7的两个正整数可为：1，6或2，5或3，4；和为8的两个正整数可为：1，7或2，6或3，5或4，4；∵每次所得的和最小是5，∴最小的两个数字为2或3；∵每次所得的和最大是8，∴最大的两个数字为4或5；当最大数字为4时，四个整数分别为2，3，4，4；当最大数字为5时，四个整数分别为2，3，3，5；∴2×3×4×4=96，2×3×3×5=90，故选：B ．8．（2023春·广西南宁·七年级南宁二中校考开学考试）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5,6这12 个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则a 的值为（ ）A ．−4B ．−3C ．3D ．4【思路点拨】共有12个数，每一条边上4个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这12个数共加了两遍后和为12，所以每条边的和为2，然后利用这个原理将剩余的数填入圆圈中，即可得到结果．【解题过程】解：因为共有12个数，每一条边上4个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这12个数共加了两遍后和为12，所以每条边的和为2，所以−5,−1,5这一行最后一个圆圈数字应填3，则a 所在的横着的一行最后一个圈为3，−2,−1,1这一行第二个圆圈数字应填4，目前数字就剩下−4,−3,0,6，1,5这一行剩下的两个圆圈数字和应为−4，则取−4,−3,0,6中的−4,0，−2,2这一行剩下的两个圆圈数字和应为2，则取−4,−3,0,6中的−4,6，这两行交汇处是最下面那个圆圈，应填−4，所以1,5这一行第三个圆圈数字应为0，则a 所在的横行，剩余3个圆圈里分别为2,0,3，要使和为2，则a 为−3故选：B9．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期中）有一列数{−1,−2,−3,−4}，将这列数中的每个数求其相反数得到{1,2,3,4}，再分别求与113,14{a 1,a 2,a 3,a 4}，称这为一次操作，第二次操作是将{a 1,a 2,a 3,a 4}再进行上述操作，得到{a 5,a 6,a 7,a 8}；第三次将{a 5,a 6,a 7,a 8}重复上述操作，得到{a 9,a 10,a 11,a 12}……以此类推，得出下列说法中，正确的有（ ）个①a 5=2，a 6=32，a 7=43，a 8=54 ②a 2015=3③a 1+a 2+a 3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+a 49+a 50=−11310．A ．0B ．1C ．2D ．3【思路点拨】根据所给的操作方式，求出前面的数，再分析存在的规律，从而可求解．【解题过程】解：由题意得：a 1=12，a 2=13，a 3=14，a 4=15，a 5=112=2，a 6=113=32，a 7=1141=43，a 8=115=54，故①正确；∵2015÷4=503⋯⋯3，∴a 2015是由a 3经过503次操作所得，∵a 3=14，a 7=114=43，a 11=143=−3，a 15=131=14，∴a 3、a 7、a 11、……，三个为一组成一个循环，∵503÷3=167⋯⋯2，∴a 2015=a 11=−3，故②错误；依次计算：a 9=1−21=−1，a 10=132=−2，a 11=143=−3，a 12=154=−4，a 13=111=12，a 14=121=13，a 15=131=14，a 16=141=15，…，则每3次操作，相应的数会重复出现，∵a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8+a 9+a 10+a 11+a 12=12+13+14+15+2+32+43+54−1−2−3−4=−7930，∵50÷12=4......2，∴a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 48+a 49+a 50=−7930×4+12+13=−9710．故③错误；综上分析可知，正确的有2个，故选：B ．10．（2022秋·重庆·七年级重庆实验外国语学校校考期中）下列说法正确的有（ ）①已知a ，b ，c 是非零的有理数，且|abc|abc =−1时，则|a|a +|b|b+|c|c 的值为1或−3；②已知a ，b ，c 是有理数，且a +b +c =0，abc <0a c |b|−1或3；③已知x ≤4时，那么|x +3|−|x−4|的最大值为7，最小值为−7；④若|a |=|b |且|a−b|=23，则式子a b−abb 21的值为110；⑤如果定义{a,b }=a +b(a >b)0(a =b )b−a(a <b)，当ab <0，a +b <0，|a |>|b |时，{a ，b}的值为b−a ．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【思路点拨】①由题意可得，abc <0，则a ，b ，c 中有一个或三个值为负数，讨论求解即可；②由abc <0可得a ，b ，c 中有一个值为负数，求解即可；③根据x ≤4化简绝对值，然后求解即可；④由题意可得a =b 或a =−b ，分别求解即可；⑤根据题意可得a ，b 异号，分两种情况求解即可．【解题过程】解：①由|abc|abc =−1可得abc <0，a ，b ，c 中有一个或三个值为负数，当a <0，b >0，c >0时，|a|a +|b|b +|c|c =−1+1+1=1当a <0，b <0，c <0时，|a|a +|b|b+|c|c=−1−1−1=−3故①正确；②由abc <0和a +b +c =0得a ，b ，c 中有一个值为负数，∴a +b =−c ，a +c =−b ，b +c =−a∴−a |a|+−b |b|+−c|c|=1−1−1=−1，故②错误；③当−3≤x ≤4时，x−4≤0，x +3≥0，则|x +3|−|x−4|=x +3+x−4=2x−1，此时最大值为7，最小值为−7当x <−3时，x−4≤0，x +3<0则|x +3|−|x−4|=−x−3+x−4=−7故③正确；④由|a |=|b |可得a =b 或a =−b当a =b 时，a−b =0与|a−b|=23矛盾，舍去；当a =−b 时，a−b =−2b ，a +b =0且|2b |=23解得a =13,b =−13或a =−13,b =13则ab =−19，b 2=19a +b−ab b 2+1=1919+1=110故④正确；⑤由题意可得a ，b 异号，当a <0，b >0时，|a |=−a ，|b |=b ，由|a |>|b |可得−a >b ，即a +b <0符合题意，此时a <0<b 则{a ，b}=b−a当a >0，b <0时，|a |=a ，|b |=−b由|a |>|b |可得a >−b ，即a +b >0，与a +b <0矛盾，舍去，综上{a ，b}=b−a 故⑤正确；正确的个数为4故选：C ．评卷人得 分二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）11．（2022秋·江苏泰州·七年级校考阶段练习）三个整数a ，b ，c 满足a <b <c ，且a +b +c =0．若|a |<10，则|a |+|b |+|c|的最大值为 ．【思路点拨】根据a +b +c =0，a <b <c ，可得a <0，c >0，a +b <0，则|a |>|b |，再由|a |<10，a ，b ，c 都是整数，得到|a |≤9则|b |≤8，根据|a +b |=−(b +a )=−b−a ，|b |≥−b ，|a |≥a 即可得到|c |=|−a−b |=|a +b |≤|a |+|b |≤17，由此求解即可．【解题过程】解：∵a+b+c=0，a<b<c，∴a<0，c>0，a+b<0，∴|a|>|b|，∵|a|<10，a，b，c都是整数，∴|a|≤9∴|b|≤8，∵|a+b|=−(b+a)=−b−a，|b|≥−b，|a|≥a∴|c|=|−a−b|=|a+b|≤|a|+|b|≤17，∴|a|+|b|+|c|的值最大为9+8+17=34，故答案为：34．12．（2022秋·湖南岳阳·七年级统考期末）如果有4个不同的正整数a，b，c，d满足（2021﹣a）（2021﹣b）（2021﹣c）（2021﹣d）＝8，那么a+b+c+d的值是．【思路点拨】根据a、b、c、d是四个不同的正整数，可知四个括号内是各不相同的整数，结合乘积为8分类讨论即可解答．【解题过程】解：∵a、b、c、d是四个不同的正整数，∴四个括号内是各不相同的整数，不妨设（2021﹣a）＜（2021﹣b）＜（2021﹣c）＜（2021﹣d），又∵（2021﹣a）（2021﹣b）（2021﹣c）（2021﹣d）＝8，∴这四个数从小到大可以取以下几种情况：①﹣4，﹣1，1，2；②﹣2，﹣1，1，4．∵（2021﹣a）+（2021﹣b）+（2021﹣c）+（2021﹣d）＝8084﹣（a+b+c+d），∴a+b+c+d＝8084﹣[（2021﹣a）+（2021﹣b）+（2021﹣c）+（2021﹣d）]，①当（2021﹣a）+（2021﹣b）+（2021﹣c）+（2021﹣d）＝﹣4﹣1+1+2＝﹣2时，a+b+c+d＝8084﹣（﹣2）＝8086；②当（2021﹣a）+（2021﹣b）+（2021﹣c）+（2021﹣d）＝﹣2﹣1+1+4＝2时，a+b+c+d＝8084﹣2＝8082．故答案为：8086或8082．13．（2022秋·江苏淮安·七年级校考阶段练习）在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17．根据以上信息，判断戊同学手里拿的两张卡片上的数字是．【思路点拨】根据两数之和结果确定，对两个加数的不同情况进行分类讨论，列举出所有可能的结果后，再逐一根据条件进行推理判断，最后确定出正确结果即可．【解题过程】解：由题意可知，一共十张卡片十个数，五个人每人两张卡片，∴每人手里的数字不重复．由甲：11，可知甲手中的数字可能是1和10，2和9，3和8，4和7，5和6；由乙：4，可知乙手中的数字只有1和3；由丙：16，可知丙手中的数字可能是6和10，7和9；由丁：7，可知丁手中的数字可能是1和6，2和5，3和4；由戊：17，可知戊手中的数字可能是7和10，8和9；∴丁只能是2和5，甲只能是4和7，丙只能是6和10，戊只能是8和9．故答案为：8和9．14．（2022秋·福建福州·七年级校考期末）已知a，b，c，d表示4个不同的正整数，满足a+b2+c3+d4＝90，其中d＞1，则a+2b+3c+4d的最大值是．【思路点拨】根据题意分别确定a，b，c，d的取值范围，得到4d≤12，3c≤12，2b≤18，a≤89，再分别确定a，b，c，d的值，即可得到a+2b+3c+4d的最大值．【解题过程】解：∵a，b，c，d表示4个不同的正整数，且a+b2+c3+d4＝90，其中d＞1，∴d4＜90，则d＝2或3，c3＜90，则c＝1，2，3或4，b2＜90，则b＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，a＜90，则a＝1，2，3， (89)∴4d≤12，3c≤12，2b≤18，a≤89，∴要使得a+2b+3c+4d取得最大值，则a取最大值时，a＝90﹣（b2+c3+d4）取最大值，∴b，c，d要取最小值，则d取2，c取1，b取3，∴a的最大值为90﹣（32+13+24）＝64，∴a+2b+3c+4d的最大值是64+2×3+3×1+4×2＝81，故答案为：81．15．（2023秋·全国·七年级专题练习）已知点A在数轴上对应的数是a，点B在数轴上对应的数是b，将A、B之间的距离记作|AB|，定义|AB|=|a−b|，若|a+4|+(b−1)2=0，设点P在数轴上对应的数是x，当|PA|，|PB|相差2时，则x的值为．【思路点拨】先利用绝对值的非负性，求出点A、点B所对应的数分别为，a=−4，b=1，再根据数轴上的两点之间的距离的定义得到|x+4|−|x−1|=2或|x−1|−|x+4|=2，然后针对x的取值范围进行分类讨论即可．【解题过程】解：∵|a+4|+(b−1)2=0，∴a+4=0，b−1=0，即a=−4，b=1，∵|PA|，|PB|相差2，∴|x+4|−|x−1|=2或|x−1|−|x+4|=2，当|x+4|−|x−1|=2时，x≤−4时，−x−4+x−1=2，无解；－４＜x≤１时，x＋4+x−1=2，解得x＝−0.5，x＞1时，x+4−x+1=2，无解；当|x−1|−|x+4|=2时，x≤−4时，−x+1+x+4=2，无解，－４＜x≤１时，−x＋1−x−4=2，解得x=−2.5，x＞1时，x−1−x−4=2，无解；综上所述，x的值为：−0.5或−2.5，故答案为：−0.5或−2.5．评卷人得 分三、解答题（本大题共8小题，满分75分）16．（2022秋·湖北黄冈·七年级校考阶段练习）①−32×−+16×(−24)②(−2)3+(−3)×(−4)2+2−(−3)2÷(−2)③(−47.65)×2611+(−37.15)×+10.5×−7+5÷④−56+÷−×72+|−13|+(−1)2018【思路点拨】①先计算乘方，再计算括号内的，最后计算括号外的；②先计算乘方，再计算括号内的，最后计算括号外的；③先利用乘法分配律对原式进行整理，再根据有理数混合运算法则计算；④先计算乘方和绝对值，再计算括号内的，最后计算括号外的．【解题过程】解：①−32×−+16+×(−24)=−9×19+34×(−24)−16×(−24)+58×(−24)=−1−18+4−15=−30②(−2)3+(−3)×(−4)2+2−(−3)2÷(−2)=−8+(−3)×(16+2)−9÷(−2)=−8−54+92=−5712③(−47.65)×2611+(−37.15)×+10.5×−7+5÷=(−47.65)×2611+37.15×2611+10.5×+5÷56=(−47.65+37.15)×2611+10.5×−7+5×65=(−10.5)×2611+10.5×+6=10.5×−2+10.5×−7+6=10.5×−2611+6=10.5×(−10)+6=−105+6=−99④−56+÷−×72+|−13|+(−1)2018=−×−×72+13+1=1+13+1=73．17．（2022秋·福建宁德·七年级统考期中）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：a ⊕b =a ×b +2×a ．（1）3⊕(−2)=___________；（2）求−5⊕−4（3）试探究这种新运算“⊕”是否满足交换律？举例说明【思路点拨】（1）将a =3，b =−2代入a ⊕b =a ×b +2×a 计算可得；（2）根据法则，先计算−4⊕12=−10，再计算−5⊕(−10)⊕(−10)可得；（3）计算3⊕(−2)和(−2)⊕3即可得出答案．【解题过程】（1）解：∵a ⊕b =a ×b +2×a ，∴3⊕(−2)=3×(−2)+2×3=0；（2）解：∵a ⊕b =a ×b +2×a ，∴−5⊕−4=−5⊕(−4)×12+2×(−4)=−5⊕(−10)=(−5)×(−10)+2×(−5)=40；（3）解：新运算“⊕”不满足交换律．例如：由（1）知3⊕(−2)=0又∵(−2)⊕3=(−2)×3+2×(−2)=−10∴3⊕(−2)≠(−2)⊕3，∴新运算“⊕”不满足交换律．18．（2022秋·河北邢台·七年级校考阶段练习）定义：对于确定位置的三个数：a，b，c，计算a−b，a−c2，b−c 3，将这三个数的最小值称为a，b，c的“分差”，例如，对于1，−2，3，因为1−(−2)=3，1−32=−1，−2−33=−53，所以1，−2，3的“分差”为−53．（1）−2，−4，1的“分差”为______；（2）调整“−2，−4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，求这些不同“分差”中的最大值．【思路点拨】（1）根据题中意思分别求出三个数，然后比较大小即可得出答案；（2）先给这三个数进行排序，分别求出其中的分差，然后比大小即可得出答案．【解题过程】（1）解：根据题意可得：−2−(−4)=2，−2−12=−32，−4−13=−53，∵−53<−32<2，∴−2，−4，1的“分差”为−53，故答案为：−53；（2）①这三个数的位置为：−2，−4，1时，根据（1）中所求“分差”为−53；②这三个数的位置为：−2，1，−4时，则−2−1=−3，−2−(−4)2=1，1−(−4)3=53，∵−3<1<53，∴−2，1，−4的“分差”为−3；③这三个数的位置为：1，−2，−4时，则1−(−2)=3，1−(−4)2=52，−2−(−4)3=23，∵23<52<3，∴1，−2，−4的“分差”为23；④这三个数的位置为：1，−4，−2时，则1−(−4)=5，1−(−2)2=32，−4−(−2)3=−23，∵−23<32<5，∴1，−4，−2的“分差”为−23；⑤这三个数的位置为：−4，1，−2时，则−4−1=−5，−4−(−2)2=−1，1−(−2)3=1，∵−5<−1<1，∴−4，1，−2的“分差”为−5；’⑥这三个数的位置为：−4，−2，1时，则−4−(−2)=−2，−4−12=−52，−2−13=−1，∵−52<−2<−1，∴−4，−2，1的“分差”为−52；∵23>−23>−53>−52>−3>−5，∴这些不同“分差”中的最大值为23．19．（2022秋·江西宜春·七年级江西省丰城中学校考期中）2020年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂每名工人计划每天生产300个医用口罩，一周生产2100个口罩．由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．如表是工人小王某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）：（1）根据记录的数据可知，小王星期五生产口罩 个．（2）根据表格记录的数据，求出小王本周实际生产口罩数量．（3）若该厂实行每周计件工资制，每生产一个口罩可得0.6元，若超额完成周计划工作量，则超过部分每个另外奖励0.15元，若完不成每周的计划量．则少生产一个扣0.2元，求小王这一周的工资总额是多少元？（4）若该厂实行每日计件工资制，每生产一个口罩可得0.6元，若超额完成每日计划工作量．则超过部分每个另外奖励0.15元，若完不成每天的计划量，则少生产一个扣0.2元，请直接写出小王这一周的工资总额是多少元．星 期一二三四五六日增减产量/个+5﹣2﹣4+13﹣9+16﹣8【思路点拨】（1）根据题意和表格中的数据，可以得到小王星期五生产口罩的数量；（2）根据题意和表格中的数据，本周生产个数=2100+增减产量，即可求得；（3）根据题意和表格中的数据，本周收入=本周生产个数×0.6＋增产个数×0.15（或－减产个数×0.2），即可解得；（4）根据题意和表格中的数据，每天收入=生产个数×0.6＋增产个数×0.15（或－减产个数×0.2），然后累加即可解得．【解题过程】解：（1）小王星期五生产口罩数量为：300﹣9＝291（个），故答案为：291；（2）+5﹣2﹣4+13﹣9+16﹣8＝11（个），则本周实际生产的数量为：2100+11＝2111（个）答：小王本周实际生产口罩数量为2111个；（3）一周超额完成的数量为：+5﹣2﹣4+13﹣9+16﹣8＝11（个），所以，2100×0.6+11×（0.6+0.15）＝1260+11×0.75＝1260+8.25＝1268.25（元），答：小王这一周的工资总额是1268.25元；（4）第一天：300×0.6+5×（0.6+0.15）＝183.75（元）；第二天：（300﹣2）×0.6﹣2×0.2＝178.4（元）；第三天：（300﹣4）×0.6﹣4×0.2＝176.8（元）；第四天：300×0.6+13×（0.6+0.15）＝189.75（元）；第五天：（300﹣9）×0.6﹣9×0.2＝172.8（元）；第六天：300×0.6+16×（0.6+0.15）＝192（元）；第七天：（300﹣8）×0.6﹣8×0.2＝173.6（元）；共183.75+178.4+176.8+189.75+172.8+192+173.6＝1267.1（元）．答：小王这一周的工资总额是1267.1元．20．（2023秋·山西运城·七年级统考期末）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如3÷3÷3，(−2)÷(−2)÷(−2)÷(−2)等．类比有理数的乘方，我们把3÷3÷3记作3③，读作“3的圈3次方”，(−2)÷(−2)÷(−2)÷(−2)记作(−2)④，读作“−2的圈4次方”．一般地，把a÷a÷a÷⋅⋅⋅÷a(a≠0)记作，读作“a的圈n次方”．n个【初步探究】（1）直接写出计算结果：4③=______，−=______．【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（此处不用作答）（2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方幂的形式(−3)④=______；5⑥=______=______．（3）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成乘方幂的形式等于______．（4）比较：(−9)⑤______(−3)⑦（填“>”“<”或“=”）【灵活应用】（5）算一算：−32÷−×−．【思路点拨】（1）根据题目给出的定义，进行计算即可；（2）将有理数除法转化为乘法，再写成幂的形式即可；（3）从（2）中总结归纳相关规律即可；（4）将两数变形，求出具体值，再比较大小即可；（5）先将除方转化为乘方，再运用有理数混合运算的方法进行计算即可．【解题过程】解：（1）4③=4÷4÷4=14，−=−÷−÷÷−=4，故答案为：14，4；（2）(−3)④=(−3)÷(−3)÷(−3)÷(−3)=−；5⑥=5÷5÷5÷5÷5÷5==12÷12÷12÷12÷12=23；故答案为：，23；（3）a的圈n次方为：a÷a÷a÷...÷an个a=；（4）(−9)⑤==−1729，(−3)⑦==−1243，∵729>243，∴−1729>−1243，∴(−9)⑤>(−3)⑦，故答案为：>；（5）−32÷−×−=−32÷(−33)×42=−9÷(−27)×16=163．21．（2022秋·全国·七年级专题练习）（1）数学小组遇到这样一个问题：若a，b均不为零，求x=|a|a +|b|b的值．请补充以下解答过程（直接填空）①当两个字母a，b中有2个正，0个负时，x= ；②当两个字母a，b中有1个正，1个负时，x= ；③当两个字母a，b中有0个正，2个负时，x= ；综上，当a，b均不为零，求x的值为．（2）请仿照解答过程完成下列问题：①若a，b，c均不为零，求x=|a|a +|b|b−|c|c的值．②若a，b，c均不为零，且a+b+c=0，直接写出代数式b c|a|+a c|b|+a b|c|的值．【思路点拨】（1）①根据a、b的符合化简绝对值即可得到答案；②设a是正数，b是负数，化简绝对值即可得到答案；③根据a、b的符合化简绝对值即可得到答案；综合上面三个的结果得到答案；（2）①分四种情况化简绝对值即可得到答案；②根据a、b、c均不为零，分两种情况求出答案即可.【解题过程】（1）①∵a、b都是正数，∴|a|=a，|b|=b，∴x=|a|a +|b|b=1+1=2，故答案为：2；②设a是负数，b是正数，∴|a|=-a，|b|=b，∴x=|a|a +|b|b=-1+1=0，故答案为：0；③∵a、b都是负数，∴|a|=-a，|b|=-b，∴x=|a|a +|b|b=-1-1=-2，故答案为：-2；综上，当a，b均不为零，求x的值为2或0或-2；（2）①由题意可得：a、b、c的符号分为四种情况：当a、b、c都是正数时，x=|a|a +|b|b−|c|c=1+1-1=1，当a、b、c为两正一负且a、b为正c为负时，x=|a|a +|b|b−|c|c=1+1+1=3，当a 、b 、c 为一正两负且a 、b 为负c 为正时，x =|a |a +|b |b −|c |c =-1-1-1=-3,当a 、b 、c 都是负数时，x =|a |a +|b |b −|c |c =-1-1+1=-1，综上，x =|a |a +|b |b −|c |c 的值为1或3或-3,或-1；②∵a ，b ，c 均不为零，且a+b+c=0，∴b c |a |a b |c |=−a |a |−b |b |−c |c |，∴当a 、b 、c 为两正一负时，b c |a |+a c|b |+a b |c |=-1-1+1=-1，当a 、b 、c +a c |b |，综上，b c |a |++a b|c |的值为-1或1.22．（2022秋·湖北黄冈·七年级校考期中）已知A ，B 两点在数轴上分别表示有理数a ，b ，A ，B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A ，B 两点之间的距离AB =|a−b |．已知数轴上A ，B 两点对应的数分别为－1，3，P 为数轴上一动点．（1）若点P 到A ，B 两点之间的距离相等，则点P 对应的数为______．（2）若点P 到A ，B 两点的距离之和为6，则点P 对应的数为______．（3）现在点A 以2个单位长度/秒的速度运动，同时点B 以0.5个单位长度/秒的速度运动，A 和B 的运动方向不限，当点A 与点B 之间的距离为3个单位长度时，求点B 所对应的数是多少？【思路点拨】（1）根据数轴上两点间的距离计算方法进行计算即可得出答案；（2）设点P 对应的数为x ，根据题意可得|x +1|+|x−3|=6；分类讨论，当−1<x <3时，②当x >3时，③当x <−1时，计算即可得出答案；（3）设经过t 秒，分情况讨论①当点A 点B 相向而行时，经过t 秒，点A 表示的数为−1+2t ，点B 表示的数为3−0.5t ，即可得出|(−1+2t)−(3−0.5t)|=3，②当点A 点B 同向向右运动时，经过t 秒，点A 表示的数为−1+2t ，点B 表示的数为3+0.5t ，则|(−1+2t)−(3+0.5t)|=3，③当点A 点B 同向向左运动时，求出t 的值，即可算出点B 对应的数．【解题过程】（1）解：根据题意可得，AB =|−1−3|=4，因为点P 到A ，B 两点之间的距离相等，所以点P 到点−1和点3的距离为2，则点P 对应的数为：1；故答案为：1；（2）解：设点P 对应的数为x ，则|x +1|+|x−3|=6；①当−1<x <3时，最大值为4，不满足题意；②当x >3时，解得：x =4；③当x <−1时，解得：x =−2，点P 对应的数为4或−2；故答案为：4或−2；（3）解：设经过t 秒，①当点A 点B 相向而行时，经过t 秒，点A 表示的数为−1+2t ，点B 表示的数为3−0.5t ，则|(−1+2t)−(3−0.5t)|=3，解得t =145或t =25，点B 对应的数为3−12×143=23或3−12×25=145；②当点A 点B 同向向右运动时，经过t 秒，点A 表示的数为−1+2t ，点B 表示的数为3+0.5t ，则|(−1+2t)−(3+0.5t)|=3，解得：t =143或t =23，点B 表示的数为3+12×143=163或3+12×23=103；③当点A 点B 同向向左运动时，因为AB =4，点A 的运动速度大于点B 的运动速度，不能满足题意．综上：点B 表示的数为23或145或163或103．23．（2023·江苏·七年级假期作业）【定义新知】我们知道：式子|x−3|的几何意义是数轴上表示有理数x 的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，则A 、B 两点之间的距离AB =|a−b |．请根据数轴解决以下问题：（1）式子|x+2|在数轴上的意义是；（2）|x+1|+|x−3|当取最小值时，x可以取整数；（3）|x+1|−|x−3|最大值为；（4）|x+1|+|x−2|+|x−6|的最小值为；【解决问题】（5）如图，一条笔直的公路边有四个居民区A、B、C、D和市民广场O，居民区A、B、C、D分别位于市民广场左侧5km，左侧1km，右侧1km，右侧3km．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短？最短路程是多少？试说明理由．【思路点拨】（1）根据题意即可得出结论；（2）|x+1|+|x−3|的最小值表示有理数x的点到−1的点的距离与表示x的点到3的点的距离之和，x应该在−1和3之间的线段上，即可求出结果；（3）根据|x+1|−|x−3|的几何意义是表示x的点到−1的距离减去x到3的距离，可得x≥3时取得最大值，即可求出结果；（4）|x+2|+|x+6|+|x−1|的几何意义是表示x的点到−2的点和到−6的点和到1的点的距离之和，由题意即可求出结果；（5）设便民服务点P在数轴上表示x的点处，由题意可得点P到各点的距离之和即|x+5|+|x+1|+|x−1| +|x−3|，求出最小值即可．【解题过程】（1）解：由题意可知，式子|x+2|在数轴上的意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数−2的点之间的距离；故答案为：数轴上表示有理数x的点与表示有理数−2的点之间的距离．（2）解：根据题意可得，|x+1|+|x−3|的几何意义是数轴上表示有理数x到−1的距离与x到3的距离之和，∴当−1≤x≤3时，|x+3|+|x−1|取最小值，即当x可以取整数−1，0，1，2，3；故答案为：−1，0，1，2，3．（3）解：∵|x+1|−|x−3|的几何意义是表示x的点到−1的点的距离减去表示x的点到表示3的点的距离，∴x≥3时取得最大值，∴|x+1|−|x−3|的最大值是：x+1−(x−3)=4．（4）解：根据题意可得，|x+2|+|x+6|+|x−1|的几何意义是数轴上表示x的点到表示−2的点和到表示−6的点和表示1的点的距离之和，当表示x的点在表示−6的点到表示1的点的线段上，|x+2|+|x+6|+|x−1|有最小值，即−6≤x≤1，当x=−2时，|x+2|+|x+6|+|x−1|的值最小，最小值为7；故答案为：7．（5）解：设便民服务点P在数轴上表示x的点处，根据题意可得，便民服务点到四点的距离为|x+5|+|x+1|+|x−1|+|x−3|，当表示x的点在表示−5的点到表示3的点的线段上，|x+5|+|x+1|+|x−1|+|x−3|有最小值，即−5≤x≤3，当x=±1时，|x+5|+|x+1|+|x−1|+|x−3|取得最小值，此时|x+5|+|x+1|+|x−1|+|x−3|=10，答：便民服务点P建在点B或点C处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短，最短距离是10km．。
专题2.1 有理数、数轴【十大题型】(举一反三)(北师大版)(解析版)
专题2.1 有理数、数轴【十大题型】【北师大版】【题型1 辨别正数和负数】 (1)【题型2 判断具有相反意义的量】 (3)【题型3 正负数表示的意义】 (5)【题型4 用正负数表示已知量】 (6)【题型5 应用正负数的实际意义解决问题】 (8)【题型6 有理数的分类】 (9)【题型7 数轴上的整点问题】 (12)【题型8 数轴上两点间的距离】 (13)【题型9 数轴上点的移动】 (15)【题型10 应用数轴解决实际问题】 (17)【知识点1 正数和负数的概念】大于0的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数，一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号．0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数【题型1 辨别正数和负数】【例1】（2023·浙江·七年级假期作业）把下列各数分别填在相应的括号内：125，10，−213，0，3.1415，−5，0.6，−113，712．(1)正数：{…}；(2)负数：{ …}；(3)整数：{ …}．【答案】(1)125，10，3.1415，0.6，712(2)−213，−5，−113(3)10，0，−5【分析】（1）在有理数中，正数包括正整数、正分数；（2）在有理数中，负数包括负整数、负分数；（3）在有理数中，除了分数以外都是整数，包括正整数、负整数和零．【详解】（112…故答案为：125，10，3.1415，0.6，712（2）负数：−213,−5,−113…故答案为：−213，−5，−113（3）整数：{10,0,−5…}故答案为：10，0，−5【点睛】本题主要考查了有理数．正确把握正数、负数和整数的概念是解题关键．【变式1-1】（2023·江西宜春·统考模拟预测）下列各数中，负数是（ ）A ．−2B ．0CD ．3【答案】A【分析】根据负数的定义即可得出答案．【详解】解：−2是负数，03是正数．故选：A ．【点睛】本题考查了实数，掌握在正数前面添加“−”得到负数是解题的关键．【变式1-2】（2023春·七年级课时练习）在﹣4、﹣2、0、1、3、4这六个数中，正数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【详解】分析：实数分类为：正数，零，负数，其中数字前面带有符号 “﹣”的数为负数，“0”仅有一个数，其余均为正数,由此可得出判断.详解：这六个数中，只有“1,3,4”这三个数为正数，故答案为C.点睛：本题考查对正数的认识：数字前带符号“+”的数即为正数，符号“+”可省略不写，据此可以得出判断；也可以用排除法判断，实数可分为以下三类：正数，0，负数，排除了0和负数，其余的都是正数.【变式1-3】（2023春·福建泉州·七年级校考期中）把下列各数填入相应的括号内．12,−56，1，5.2，﹣2.3，0.5%正数：{}； 整数：{ }；分数：{ }； 负数：{ }．【答案】12，1，5.2，0.5%；1；12，﹣56，5.2，﹣2.3，0.5%；﹣56，-2.3【分析】根据有理数的分类，把相应的数填写到相应的括号中．【详解】解：正数：{12，1，5.2，0.5%}；整数：{1}；分数：{12，﹣56，5.2，﹣2.3，0.5%}；负数：{﹣56，-2.3}．故答案为：12，1，5.2，0.5%；1；12，﹣56，5.2，﹣2.3，0.5%；﹣56，-2.3．【点睛】本题考查了有理数的分类．有理数分为整数和分数；正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数．非负整数包括正整数和0．【知识点2 具有相反意义的量】一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示．【题型2 判断具有相反意义的量】【例2】（2023春·广西崇左·七年级校考阶段练习）下列各组数中，不是互为相反意义的量的是（ ）A ．收入200元与支出20元B ．超过0.05mm 与不足0.03mC ．增大2L 与减少2kgD ．上升10m 和下降7m 【答案】C【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．据此对各选项进行判断即可．【详解】解；A 、收入200元与支出20元，是一组互为相反意义的量，故A 不符合题意；B 、超过0.05mm 与不足0.03m ，是一组互为相反意义的量，故B 不符合题意；C 、增加2L 与减少2kg ，不是相反意义的量，故C 符合题意；D 、上升10m 与下降7m ，是一组互为相反意义的量，故D 不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．【变式2-1】（2023春·湖南邵阳·七年级统考期中）下列是具有相反意义的量是（ ）A ．身高增加1cm 和体重减少1kgB ．顺时针旋转90°和逆时针旋转45°C．向右走2米和向西走5米D．购买5本图书和借出4本图书【答案】B【分析】相反意义的量主要记住两个因素，第一，同一属性，第二，意义相反．【详解】解：A、身高和体重不是相反的量，不符合题意；B、顺时针旋转与逆时针旋转是具有相反意义的量，符合题意；C、向右和向西不是相反的量，不符合题意；D、购买和借出不是相反的量，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查相反意义的量，解题关键：掌握相反意义的量的两个关键因素，必须是同一属性，意义相反．【变式2-2】（2023春·重庆渝北·七年级校联考阶段练习）下列各组叙述中，互为相反意义的量是（）A．篮球比赛胜5场与负5场B．上升的反义词是下降C．增产10吨粮食与减产−10吨粮食D．向东走3千米，再向南走2千米【答案】A【分析】根据相反意义的量的含义直接进行判断即可得到答案．【详解】解：A、篮球比赛胜5场与负5场，是相反意义的量，选项说法正确，符合题意；B、上升的反义词是下降是正确的，但上升和下降中没有具体数量，故不是相反意义的量，选项说法错误，不符合题意；C、减产−10吨粮食就是增产10吨粮食，故不是相反意义的量，选项说法错误，不符合题意；D、和向东走具有相反意义的是向西走，故不是相反意义的量，选项说法错误，不符合题意，故选：A．【点睛】本题考查相反意义的量，解题的关键是明确什么事相反意义的量．【变式2-3】（2023春·七年级单元测试）下列意义叙述不正确的是（）A．若上升5m记作+5m，则0m指不升不降B．鱼在水中的高度为−2m表示鱼在水下2mC．温度上升−5∘C，指温度下降5∘CD．盈利−1000元表示赚了1000元【答案】D【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负数表示，结合选项即可选出正确答案．【详解】解：A．若上升5m记作+5m，则0m指不升不降，说法正确，不符合题意；B．鱼在水中的高度为−2m表示鱼在水下2m，说法正确，不符合题意；C．温度上升−5∘C，指温度下降5∘C，说法正确，不符合题意；D．盈利−1000元表示亏了1000元，说法错误，符合题意；故选D．【点睛】本题考查具有相反意义的量，熟记和理解概念是解题关键．【题型3正负数表示的意义】【例3】（2023春·内蒙古包头·七年级统考期末）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若盈余2万元记作+2万元，则−2万元表示（）A．亏损−2万元B．盈余2万元C．亏损2万元D．不盈余不亏损【答案】C【分析】结合题意运用正负数的意义进行求解．【详解】解：∵与盈余意义相反的量是亏损，∴盈余2万元记作+2万元，，则−2万元表示亏损2万元，故选：C．【点睛】此题考查了运用正负数的概念和正负数的意义解决实际问题的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．【变式3-1】（2023春·浙江台州·七年级校考阶段练习）如果＋3圈表示顺时针转3圈，那么－6圈表示（ ）A．增加6圈B．增加－6圈C．减少6圈D．逆时针转6圈【答案】D【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义：顺时针旋转为正，逆时针旋转为负，再根据题意作答．【详解】如果＋3圈表示顺时针转3圈，那么－6圈表示逆时针转6圈；故选D.【点睛】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．【变式3-2】（2023春·河北保定·七年级统考期末）如图所示的是某用户微信支付情况，−100表示的意思是（ ）A．发出100元红包B．收入100元C．余额100元D．抢到100元红包【答案】A【分析】根据相反意义的量可以用正负数来表示，正数表示收到，则负数表示发出，据此解答即可．【详解】解：由题意可知，−100表示的意思是发出100元红包．故选：A．【点睛】考查用正负数表示相反意义的量，理解正负数的意义是解决问题的前提．【变式3-3】（2023春·山东潍坊·七年级统考期中）先向南走5m，再向南走-4m的意义是（）A．先向南走5m，再向南走4mB．先向南走5m，再向北走-4mC．先向北走-5m，再向南走4mD．先向南走5m，再向北走4m【答案】D【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答即可．【详解】解：先向南走5m，再向南走-4m的意义是：先向南走5m，再向北走4m，故选D.【点睛】此题考查了正数和负数，关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【题型4用正负数表示已知量】【例4】（2023·浙江·七年级假期作业）中国是最早采用正负数表示相反意义的量并进行负数运算的国家. 若气温上升7℃，记作：+7℃，那么气温下降10℃可记作（）A．7℃B．10℃C．D．−7℃【答案】C【分析】主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：若上升记为正，则下降就记为负，直接得出结论即可．【详解】解：若气温上升7℃，记作：+7℃，那么气温下降10℃，可记作：−10℃，故选：C．【点睛】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．【变式4-1】（2023春·七年级单元测试）中国是世界上最早使用负数的国家，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．如果公元前500年记作−500年，那么公元2023年应记作（）A．−2023年．B．+1523年．C．+2023年．D．+2523年．【答案】C【分析】根据相反意义的量进行求解即可．【详解】解：∵公元前500年记作−500年，∴公元前为“−”，∴公元后为“+”，∴公元2023年就是公元后2023年，∴公元2023年应记作+2023年．故选：C．【点睛】本题考查了相反意义的量，理解相反意义的量是解题的关键．【变式4-2】（2023·山东烟台·一模）如果节约4吨水记为+4吨，那么浪费3吨水记为（）A．+3吨B．-3吨C．+7吨D．-7吨【答案】B【分析】根据正负数可以表示具有相反意义的量解答即可．【详解】解：∵节约记为“正”，∴浪费记为“负”，∴浪费3吨水记为－3吨．故选：B．【点睛】本题考查了正负数在实际中的应用，属于应知应会题型，熟知具有相反意义的量可以用正负数表示是关键．【变式4-3】（2023春·湖北襄阳·七年级统考期末）随着季节的变化，某种蔬菜的价格也在发生变化．每千克涨1元记作+1元/千克，那么每千克降0.6元记作（）A．+0.6元/千克B．+0.4元/千克C．−0.4元/千克D．−0.6元/千克【答案】D【分析】根据正数和负数代表的含义即可解答．【详解】每千克涨1元记作+1元/千克，那么每千克降0.6元记作−0.6元/千克，故选：D．【点睛】本题考查正数和负数代表的含义，解题的关键是正确掌握正数和负数的意义．【题型5应用正负数的实际意义解决问题】【例5】（2023春·全国·七年级专题练习）大米包装袋上有(10±0.2)kg的标识，则下面几袋大米重量合格的是（）A．9.6kg B．9.7kg C．10.2kg D．10.3kg【答案】C【分析】根据正负数的意义求出质量合格的取值范围，然后判断即可．【详解】解：∵10-0.2=9.8，10+0.2=10.2，∴质量合格的取值范围是9.8kg～10.2kg．所以，四个选项中只有10.2kg合格．故选：C．【点睛】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【变式5-1】（2023春·福建龙岩·七年级校考阶段练习）某工厂生产一批零件，要求对零件的标准是30±0.05mm为合格，该工厂生产出了一个29.9mm的零件，则该零件___________（填“合格”或“不合格”）.【答案】不合格【分析】根据题意，判断29.9mm的零件，不在30±0.05mm范围之内，进而即可求解．【详解】解：∵要求对零件的标准是30±0.05mm为合格，∴29.9mm的零件不在合格的范围内，即该零件不合格，故答案为：不合格．【点睛】本题主要考查正负数的意义，理解题意，得出零件的标准合格范围是关键．【变式5-2】（2023春·河南郑州·七年级统考期中）某零件的直径尺寸在图纸上标注是10±0.05（mm），则这种零件的标准尺寸是_____（mm ），合格产品的零件尺寸范围是_____～_____（mm ）．【答案】 10 9.95 10.05【分析】根据零件的直径尺寸是10±0.05（mm ），意思是这种零件的标准尺寸是10mm ，最大尺寸是（10＋0.05）mm ，最小尺寸是（10−0.05）mm ，计算后则可得出结果．【详解】解：“正”和“负”相对，所以，某零件的直径尺寸在图纸上标注是10±0.05（mm ），则这种零件的标准尺寸是10（mm ），合格产品的零件尺寸范围是9.95～10.05（mm ）．故答案为：10，9.95，10.05．【点睛】本题主要考查正负数的实际应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，并能准确理解题意．【变式5-3】（2023·全国·七年级专题练习）如图，加工一根轴，图纸上注明它的直径是Φ45+0.03−0.04．其中，Φ45表示直径是45mm ，+0.03表示合格品的直径最大只能比规定的直径大0.03mm ，–0.04表示合格品的直径最小只能比规定的直径小0.04mm ，现有四根轴的直径尺寸（单位：mm ），其中不合格的是（ ）A ．45.02B ．45.01C ．44.98D ．44.93【答案】D 【分析】根据题意可得出合格的范围，从而可判断出直径是否合格．【详解】由题意得：合格范围为：45–0.04=44.96到45+0.03=45.03，而44.93<44.96，故可得D 不合格．故选D ．【点睛】本题考查正数和负数的意义，解题的关键是熟练掌握正数和负数的意义.【知识点3 有理数】1.概念：正整数、零和负整数统称整数；正分数和负分数统称分数；整数和分数统称有理数．2.分类：①按整数和分数的关系分类；②按正有理数、零和负有理数的关系分类．【题型6 有理数的分类】【例6】（2023春·七年级单元测试）把下列各数填入相应的大括号内：+5，−12，4.2，0，−5.37，37，−3(1)自然数：{______________…}；(2)整数：{______________…}；(3)正分数：{______________…}；(4)负有理数：{______________…}．【答案】(1)+5，0(2)+5，0，−3(3)4.2，37(4)−1，−5.37，−32【分析】根据自然数、整数、正分数、负有理数的定义即可得到结果．【详解】（1）解：自然数有：+5，0；故答案为：+5，0；（2）解：整数有：+5，0，−3；故答案为：+5，0，−3；；（3）解：正分数有：4.2，37；故答案为：4.2，37，−5.37，−3；（4）解：负有理数有：−12故答案为：−1，−5.37，−3．2【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握自然数、整数、正分数、负有理数的定义是解题的关键．【变式6-1】（2023·全国·七年级假期作业）下列说法：①整数包括正整数和负整数；②分数包括正分数和负分数；③−7既是负数也是整数，但不是自然数；④0既是正整数也是负整数；⑤非负分数就是正分数．其中正确的个数是（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】根据有理数的分类方法逐一判断即可．【详解】解：①整数包括正整数、负整数和0，故原说法错误，不符合题意；②分数包括正分数和负分数，故原说法正确，符合题意；③−7既是负数也是整数，但不是自然数，故原说法正确，符合题意；④0既不是正数也不是负数，故原说法错误，不符合题意；⑤非负分数就是正分数，故原说法正确，符合题意．∴正确的个数是3个．故选：C ．【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟知有理数的分类方法是解题的关键．【变式6-2】（2023·全国·七年级假期作业）在15，−0.23，0，513，2，−35，316%这几个数中，是非负数的有（ ）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个【答案】B【分析】直接利用非负数定义判断即可得出答案．【详解】解：根据非负数的定义，非负数包含正数和零，所以在15，−0.23，0，513，2，−35，316%这七个数中，是非负数的有15，0，513，2，316%共5个．故选：B ．【点睛】本题考查了有理数的分类，解题的关键是正确掌握有理数的分类，非负数的定义．【变式6-3】（2023春·四川成都·七年级校考期中）把下列各数分别填入相应的集合：+26，0，−8，−4.8，−17，227，0.6，−58．正有理数集{_______________……}负有理数集{_______________……}；非负数集{_______________……}；整数集{_______________……}；分数集{_______________……}．【答案】+26，227，0.6；−8，−4.8，−17， −58；+26，0，227，0.6；+26，0，−8，−17；−4.8，227，0.6，−58．【分析】根据有理数分类逐个判断即可得到答案．【详解】解：由题意可得，正有理数集：+26，227，0.6，负有理数集：−8，−4.8，−17， −58，非负数集： +26，0，227，0.6，整数集：+26，0，−8，−17，分数集：−4.8，227，0.6，−58，故答案为：+26，227，0.6；−8，−4.8，−17， −58；+26，0，227，0.6；+26，0，−8，−17；−4.8，227，0.6，−58．【点睛】本题考查有理数的分类，解题的关键是熟练掌握几个定义．【知识点4 数轴】1.数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．2.数轴的画法：①在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点，②通常规定直线上从原点向右为正方向，从原点向左为负方向；③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，……；从原点向左用类似的方法依次表示-1，-2，-3，…….3.数轴上的点与有理数之间的关系：①每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说每个有理数都对应数轴上的一点；②一般地，设a 是一个正数，则数轴上表示数a 的点在原点的右边，与原点的距离是a 个单位长度；表示-a 的点在原点的左边，与原点的距离是a 个单位长度.【题型7 数轴上的整点问题】【例7】（2023春·宁夏银川·七年级校考阶段练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2022厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点的个数是( )A ．2021B ．2022C ．2021或2022D ．2022或2023【答案】D【分析】分线段的端点与整数点重合、不重合两种情况进行计算即可．【详解】解：当长2022厘米的线段AB 的端点A 与整数点重合时，两端与中间的整数点共有2023个，当长2022厘米的线段AB 的端点A 不与整数点重合时，中间的整数点只有2022个，故选：D ．【点睛】本题考查数轴表示数的意义和方法，理解线段及端点与数轴上点的对应关系是解决问题的前提．【变式7-1】（2023春·云南曲靖·七年级曲靖市民族中学校考期中）数轴上，表示数-3.5与2.5的两点之间整数点的个数是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【分析】根据题意画出数轴，在数轴上标出−3.5与2.5，再找出符合条件的整数点即可．【详解】解：如图所示：符合条件的点有：-3、-2、-1、0、1、2共6个；故选：B ．【点睛】本题考查的是数轴，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．【变式7-2】（2023春·河北石家庄·七年级石家庄市藁城区第一中学校考阶段练习）如图的数轴上有两处不小心被墨水淹没了，所标注的数据是墨水部分边界与数轴相交点的数据;则被淹没的整数点有_______个，负整数点有______个.【答案】 70 53【详解】由数轴可知，−7212和−4115 之间的整数点有：-72，-71，……，-41，共32个；−2134和1623之间的整数点有：-21，-20，……，15，16，共38个，所以被淹没的整数点有70个，负整数点有个53.【变式7-3】（2023春·天津南开·七年级南开中学校考阶段练习）在数轴上任取一条长度为200019的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是（ ）A ．1998B ．1999C ．2000D ．2001【答案】D【分析】把这条线段的一个端点覆盖第一个整数点记作0，再进行计算即可．【详解】解：把这条线段的一个端点覆盖第一个整数点若记作0，则覆盖的最后一个数是2000，因而共有从0到2000共有2001个数．故选：D ．【点睛】此题主要考查了数轴上的点与实数的对应关系，能够理解什么情况最多是解决本题的关键．【题型8 数轴上两点间的距离】【例8】（2023春·重庆垫江·七年级校联考期末）已知A ，B ，C 三点在数轴上从左向右依次排列，且AC =3AB =6，若B 为原点，则点A 所表示的数是（ ）A ．−4B ．4C ．−2D ．2【答案】C【分析】A到C长度为6，A到B长度为2，B为原点，由此即可求解．【详解】解：A，B，C三点在数轴上从左向右依次排列，且AC=3AB=6，∴A到C长度为6，A到B长度为2，∵B为原点，即B对应的数是0，∴A对应的数是−2，故选：C．【点睛】本题主要考查有理数与数轴的关系，掌握数轴上线段与线段之间的数量关系，原点的位置是解题的关键．【变式8-1】（2023·江苏·七年级假期作业）数轴上一个点到原点的距离为6，则这个点表示的数为______．【答案】±6【分析】根据“与原点的距离相等的点（除原点外）在数轴的两旁”可得答案．【详解】解：∵数轴上有一点到原点的距离是6，∴该点表示为±6．故答案为：±6．【点睛】本题考查了数轴的应用，涉及数轴上点到原点的距离的含义．【变式8-2】（2023·江苏·七年级假期作业）如图，数轴上的点A、B分别表示1和2，点C在数轴上且到A和B 的距离相等，则点C表示的数是_____．【答案】1.5【分析】根据数轴的特点解答即可．【详解】解：∵数轴上的点A、B分别表示1和2，点C在数轴上且到A和B的距离相等，∴点C表示的数为1.5，故答案为：1.5．【点睛】本题考查了数轴上对应的点，熟记概念是解题关键．【变式8-3】（2023春·浙江杭州·七年级杭州市十三中教育集团（总校）校考期中）A，B是数轴上的两个点，它们到原点的距离分别为2和1，则A，B两点的距离为（ ）A．1B．3C．1或−1D．1或3【答案】D【分析】根据题意分别求出A点表示的数是2或−2，B点表示的数是1或−1，再求A、B两点的距离即可．【详解】解：∵A点到原点的距离是2，∴A点表示的数是2或−2，∵B点到原点的距离是1，∴B点表示的数是1或−1，∴当A、B在原点同侧时，距离为1，和当A、B在原点两侧时距离为3，∴A、B两点的距离是1或3．故选：D．【点睛】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，数轴上两点间距离的求法是解题的关键．【题型9数轴上点的移动】【例9】（2023春·内蒙古兴安盟·七年级校考阶段练习）数轴上点M表示有理数−2，将点M向右平移2个单位长度到达点N，点E到点N的距离为4，则点E表示的有理数为_____．【答案】4或−4【分析】先求出N点表示的数，再分情况讨论求点E表示的数．【详解】解：数轴上点M表示有理数−2，将点M向右平移2个单位长度到达点N，则点N所表示的数为−2+2=0，当点E在点N的右侧时，点E到点N的距离为4，点E所表示的数为4，当点E在点N的左侧时，点E到点N的距离为4，点E所表示的数为−4，故答案为：4或−4．【点睛】本题考查了数轴上点的平移和两点之间的距离问题，解题关键是掌握右移增加，左移减小，以及掌握分类讨论的思想方法．【变式9-1】（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期末）在数轴上，将表示2的点A沿数轴向右移动4个单位长度得到的数是______．【答案】6【分析】根据数轴的特点进行解答即可．【详解】解：将表示2的点向右移动4个单位后，对应点表示的数为2+4=6．故答案为：6．【点睛】此题考查数轴，掌握点在数轴上的平移规律：左减右加是解决问题的关键．【变式9-2】（2023春·山东德州·七年级统考期末）点B先向右移动3个单位，又向左移动6个单位到达图中点A，则点B在数轴上表示的数为______．【答案】0【分析】点B在数轴上表示的数为点A向右移动6个单位，再向左移动3个单位得到的．【详解】解：根据题意可得：点B在数轴上表示的数为点A向右移动6个单位，再向左移动3个单位得到的，∵点A在数轴上表示的数为：−3，∴点B在数轴上表示的数为：0，故答案为：0．【点睛】本题考查了数轴，注意数形结合的运用是解答此题的关键．【变式9-3】（2023春·广东佛山·七年级校考期末）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示−1的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则圆周上表示数字___的点与数轴上表示2023的点重合．【答案】0【分析】圆周上的0点与−1重合，滚动到2023，圆滚动了2024个单位长度，用2024除以4，余数即为重合点．【详解】解：圆周上的0点与−1重合，2023+1=2024，2024÷4=506，圆滚动了506 周到2023，圆周上的0与数轴上的2023重合，故答案为：0．【点睛】本题考查了数轴，找出圆运动的规律与数轴上的数字的对应关系是解决此类题目的关键．【题型10应用数轴解决实际问题】【例10】（2023春·江苏常州·七年级校考阶段练习）一辆货车从超市出发,向东走了3千米到达A地,继续向东走25千米到达B地,然后向西走了10千米到达C地,最后回到超市．(1)以超市为原点,以向东的方向为正方向,用1个单位长度表示1千米,画出数轴并在数轴上表示出A地、B 地、C地的位置；(2)求C地距离A地多远?(3)货车一共行驶了多少千米?(4)货车每千米耗油0.5升,这次共耗油多少升?【答案】（1）见解析；（2）7.5千米；（3）20；（4）10.【分析】（1）根据题目的叙述1个单位长度表示1千米，即可表示出；（2）根据（1）得到的数轴，得到表示小明家与小彬家的两点之间的距离，利用1个单位长度表示1千米，即可得到实际距离；（3）路程是10×2=20千米；（4）路程是20千米，乘以0.5即可求得耗油量．【详解】(1)；(2)根据数轴可知：C地距离A地是7.5个单位长度，因而是7.5千米；(3)路程是2×10=20千米；（4）耗油量是：20×0.5=10升.答：小明家距小彬家7.5千米，这趟路货车共耗油10升.故答案为（1）见解析；（2）7.5千米；（3）20；（4）10.【点睛】本题考查数轴，正数和负数，解题的关键是熟练掌握利用数轴表示一对具有相反意义的量.【变式10-1】（2023春·吉林长春·七年级校考期中）甲、乙两队进行拔河比赛，标志物先向乙队方向移动了0.2米，又向甲队方向移动了0.6米．相持一会儿后，标志物向乙队方向移动了0.5米，随后又向甲队方向移动了1.3米，在大家的加油声中，标志物又向甲队方向移动了0.9米．若规定标志物向某队方向移动2米以上该队即可获胜，通过计算说明最后哪队获胜？【答案】甲队胜，见解析。
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有理数及其运算常考题型（数轴与绝对值）（北
师版）
一、单选题(共13道，每道7分)
1.已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列选项错误的是( )
A.a<0<b
B.b＞-a
C.-a＞0
D.-b＞a
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：利用数轴比较大小
2.已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则a，-b，，从大到小的顺序为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：利用数轴比较大小
3.若，则( )
A.0
B.x
C.-x
D.以上答案都不对
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：绝对值法则
4.是一个( )
A.正数
B.非正数
C.非负数
D.负数
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：绝对值法则
5.若，则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：绝对值法则
6.已知学校、图书馆和小明家依次坐落在一条东西走向的大街上，学校在图书馆西边20米处，小明家位于图书馆东边70米处，小明从图书馆沿街向东走了30米，接着又向东走了-40米，此时小明的位置在( )
A.图书馆
B.小明家
C.学校西10米处
D.学校东10米处
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：数轴的作用——表示数
7.已知有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则化简的结果为( )
A.-4a+b-2c
B.-2a-b-2c
C.-2a+b
D.-b+2c
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：去绝对值
8.已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为( )
A.-2a
B.-2a+2b
C.-2b
D.-2a-2b
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：去绝对值
9.若，则( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：绝对值法则
10.已知，，且，则化简的结果为( )
A.2c
B.-2a+2b
C.0
D.-2a-2c
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：去绝对值
11.已知，，且，则x+y的值为( )
A.-2或12
B.2或-12
C.2或12
D.-2或-12
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：绝对值
12.已知有理数a，b，c满足，则的值为( )
A.3或-1
B.1或-3
C.±1或3
D.±1或±3
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：绝对值
13.若x为有理数，则的最小值为( )
A.2
B.4
C.6
D.10
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：绝对值的几何意义。