N等分线段的尺规作图法及证明
《尺规作图》课件PPT课件
05
习题与练习
基本题
题目1
作一个角等于已知角
题目2
经过一点作已知直线的垂线
题目3
过直线外一点作已知直线的平行线
进阶题
01
02
03
题目4
作一个三角形，使其三边 长度分别为3cm、4cm、 5cm
02
通过一个点作圆
使用尺规，选取一个点作为圆心，再选取一个长度作为半径，然后以该
点为起点，以该长度为半径，画出一个圆。
03
通过两个点作圆
使用尺规，选取两个点作为圆上的点，再选取这两个点之间的中点作为
圆心，然后以该中点到每个点的距离为半径，分别画出两个圆，这两个
圆就是所求的两个圆。
圆弧的作法
圆弧的基本性质
题目5
作一个角，使其是已知两 角的和
题目6
经过一点作已知直线的垂 直平分线
挑战题
题目7
作一个正方形，使其面积 等于已知三角形的面积
题目8
经过两个已知点作一条直 线的平行线
题目9
作一个五边形，使其内角 和等于已知四边形的内角 和
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在几何学中，尺规作图被广泛应用于解决各种几何问题，如求作线段的中点、等分 线段、求作圆的切线等。
在代数和解析几何中，尺规作图也有着广泛的应用，如求作函数的图像、求作方程 的根等。
在数学竞赛中，尺规作图是重要的解题工具之一，能够解决一些复杂的几何构造问 题。
02
尺规作图的基本技能
直线的作法
直线的基本性质
看完这些正多边形的尺规作图方法，你还不认为数学也是一种艺术吗？
看完这些正多边形的尺规作图⽅法，你还不认为数学也是⼀种艺术吗？荟思正多边形的尺规作图，虽然是⼀个很纯粹的数学问题，但同时也极具艺术欣赏价值！尺规作图问题是⾮常古⽼的数学问题，早在两千多年前的古希腊时期就开始研究了。
⼈们好奇什么样的图形可以⽤尺规作图的⽅法得到，什么样的图形不可以。
对于可以尺规作图的图形，很好办，想尽办法得到作图⽅法就解决问题了。
对于那些还没想到作图⽅法的图形就⽐较为难，因为不知道是因为不存在这样的作图⽅法，还是因为作法太复杂，所以还没⼈能发现这样的⽅法。
例如三等分⾓问题，就是很长时间⾥都找不到作图⽅法，最终证明是不可能办到的。
再次特别强调⼀下，在尺规作图问题中，直尺是不带刻度的，我们只能⽤它来画直线。
在各种图形中，正多边形是⼤家⽐较感兴趣的⼀类。
由于圆规可以画圆，⽽所有正多边形都可以内接于圆，因此它的所有顶点都在圆周上。
这样看来，正多边形应该很有希望⽤尺规作图。
⽽且，前⼏个正多边形的作图⽅法很快就构造出来了，步骤也不算复杂。
然⽽还是有很多正多边形没有找到尺规作图的⽅法，因此⾃然要问，是否存在不可能尺规作图的正多边形。
相对于同时期的其他⽂明，古希腊数学更富思辨精神。
尽管当时的数学问题都是源于⽣活，但古希腊⼈并不⽴⾜于解决⽣活问题，⽽是考虑⼀般的理想情形。
边数较多的多边形在实际问题中⼏乎不会出现，但他们仍然对这些多边形的尺规作图很感兴趣，并且还执着地规定直尺不能带刻度。
这个问题在经过漫长的两千年后，才最终被天才的⾼斯在24岁时完全解决。
根据⾼斯的结论，⼀个正多边形可以尺规作图，当且仅当边数是费马素数或者两个不同的费马素数的乘积，或者是这些数的2的乘幂倍（即2倍，4倍，8倍，16倍，等等）。
请注意，⾼斯的结论给出的是⼀个充分必要条件。
换句话说，费马素数的数量决定了能尺规作图的奇数边正多边形的个数。
根据⾼斯的结论，边数不超过20的18个正多边形中，可以尺规作图的⼀共有11个，边数分别是3,4,5,6,8,10,12,15,16,17,20。
中考专题复习——初中最基本的尺规作图总结与典型例题
初中基本尺规作图总结与典型例题一、理解“尺规作图”的含义1.在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图．其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧．由此可知，尺规作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的．2.基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差.二、熟练掌握尺规作图题的规范语言1.用直尺作图的几何语言：①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；②连结两点××；或连结××；③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×；2.用圆规作图的几何语言：①在××上截取××＝××；②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）；③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×；④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、×. 三、了解尺规作图题的一般步骤尺规作图题的步骤：1.已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；2.求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；3.作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法.在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保留作图痕迹很重要.尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。
尺规作图法简介
一、尺规作图在中学就知道，几何作图所使用的工具是严格限制的，只准用圆规和直尺，直尺不能有刻度，不能使用量角器及其他任何工具．其实，这种限制自古希腊就有而且沿用至今．为什么要加以这样的限制呢？比如说，要找出一个线段的中点来，就不可以先用(有刻度的)尺去量，看它的长度是多少，然后取这个长的一半，再用这一半去量就找出中点来了．何必一定要用无刻度的直尺和圆规去寻求呢？是自己跟自己过不去吗？古希腊认为，所有的几何图形是由直线段和圆弧构成的，圆是最完美的，他们确信仅靠直尺和圆规就可绘出图形来．古希腊人十分讲究理性思维，讲究精确、严谨．他们认为依据从少数假定出发的、经由逻辑把握的东西最可靠．例如前面所说的寻求一已知线段AB的中点问题，作图的步骤是：1．以A为圆心，以一适当长度为半径画弧；2．又以B为圆心，以同样的长度为半径画弧；3．这两弧相交于两点，作两点连线，此连线与已知直线之交点即为所求之中点．然后，要根据已知几何命题来证明这个点必是中点．人们认为，这不仅是最可靠地找到了中点，而且体现了一种完美的思路和做法．正多边形的尺规作图是大家感兴趣的．正三边形很好做；正四边形稍难一点；正六边形也很好做；正五边形就更难一点，但人们也找到了正五边形的直规作图方法．确实，有的困难一些，有的容易一些．正七边形的尺规作图是容易一些，还是困难一些呢？人们很久很久未找到作正七边形的办法，这一事实本身就说明作正七边形不容易；一直未找到这种作法，也使人怀疑：究竟用尺规能否作出正七边形来？数学不容许有这样的判断：至今一直没有人找到正七边形的尺规作图方法来，所以断言它是不能用尺规作出的．人们迅速地解决了正三、四、五、六边形的尺规作图问题，却在正七边形面前止步了：究竟能作不能作，得不出结论来．这个悬案一直悬而未决两千余年．17世纪的费马，就是我们在前面已两次提到了的那个法国业余数学家，他研究了形如F i＝22i＋1的数．费马的一个著名猜想是，当n≥3时，不定方程x n＋y n＝z n没有正整数解．现在他又猜测F i都是素数，对于i＝0，1，2，3，4时，容易算出来相应的F i：F0＝3，F1＝5，F2＝17，F3=257，F4=65 537验证一下，这五个数的确是素数．F5=225+1是否素数呢？仅这么一个问题就差不多一百年之后才有了一个结论，伟大的欧拉发现它竟不是素数，因而，伟大的费马这回可是猜错了！F5是两素数之积：F5＝641×6 700 417．当然，这一事例多少也说明：判断一个较大的数是否素数也决不是件简单的事，不然，何以需要等近百年？何以需要欧拉这样的人来解决问题？更奇怪的是，不仅F5不是素数，F6，F7也不是素数，F8，F9，F10，F11等还不是素数，甚至，对于F14也能判断它不是素数，但是它的任何真因数还不知道．至今，人们还只知F0，F1，F2，F3，F4这样5个数是素数．由于除此而外还未发现其他素数，于是人们产生了一个与费马的猜想大相径庭的猜想，形如22i＋1的素数只有有限个．但对此也未能加以证明．当然，形如F i=22i+1的素数被称为费马素数．由于素数分解的艰难，不仅对形如F i=22i+1的数的一般结论很难做出，而且具体分解某个F i也不是一件简单的事．更加令人惊奇的事情发生在距欧拉发现F5不是素数之后的60多年，一位德国数学家高斯，在他仅20岁左右之时发现，当正多边形的边数是费马素数时是可以尺规作图的，他发现了更一般的结论：正n边形可尺规作图的充分且必要的条件是n=2k或2k×p1×p2×…×p s，其中，p1，p2，…，p s是费马素数．正7边形可否尺规作图呢？否！因为7是素数，但不是费马素数．倒是正17边形可尺规作图，高斯最初的一项成就就是作出了正17边形．根据高斯的理论，还有一位德国格丁根大学教授作了正257边形．就这样，一个悬而未决两千余年的古老几何问题得到了圆满的解决，而这一问题解决的过程是如此的蹊跷，它竟与一个没有猜对的猜想相关连．正17边形被用最简单的圆规和直尺作出来了，而正多边形可以换个角度被视为是对圆的等分，那么这也相当于仅用圆规和直尺对圆作了17等分，其图形更觉完美、好看．高斯本人对此也颇为欣赏，由此引导他走上数学道路(他早期曾在语言学与数学之间犹豫过)，而且在他逝后的墓碑上就镌刻着一个正17边形图案．高斯把问题是解决得如此彻底，以致有了高斯的定理，我们对于早已知道如何具体作图的正三边形、正五边形，还进而知道了它们为什么能用尺规作图，就因为3和5都是费马素数(3=F0，5＝F1)；对于很久以来未找到办法来作出的正七边形，乃至于正11边形、正13边形，现在我们能有把握地说，它们不可能由尺规作图，因为7、11、13都不是费马素数；对于正257边形、正65 537边形，即使我们不知道具体如何作，可是理论上我们已经知道它们是可尺规作图的；此外，为什么正四边形、正六边形可尺规作图呢？因为4＝22，因为6= 2· 3而3=F0．从古希腊流传下来的几何作图还有三大难题，一个是化圆为方问题，即求作一正方形，使其面积等于已知圆的面积；二是倍立方体问题，即求作一立方体，使其体积等于已知立方体的体积；三是将一任意角三等分．某些特殊角的三等分并不困难，例如将90°的角、135°的角三等分并不难，但是任意角就不一样了．例如，60°的角，你试试看，能否将它三等分？现在已有了结论，告诉你不要再试了，否则是白费时间了．可以取单位圆作代表，其面积即为π．那么，化圆为方的问题相当能吗？古希腊人对化圆为方的问题有极大兴趣，许多人进行研究．这一研究推动了圆面积的近似计算，促进了极限思想的萌生，但是并没有解决化圆为方的问题．另外两大难题虽也没解决，但也促进了对另一些数学问题的研究．尺规作图的实质在于限制只使用两种工具的条件下通过有限步骤完成作图．长度为任一有理数平方根的线段来．当然还可通过有限步骤作出长度为一有理数平方根的平方根的线段来．我们把凡能用尺规经有限次步骤作出的线段或量叫做“可作几何量”．可以证明，“可作几何量”就是那些有理数经有限次+、－、×、÷和开方这类运算得到的量．否则叫“不可作几何量”．化圆为方的问题直至19世纪才得到答案：它是不可能的．因为可作几何量”．这一悬而未决、延宕两千多年的古老问题，最终得以解决．属“不可作几何量”，所以，倍立方体问题的答案也明确了：不可能！再以60°角为例来分析任意角的三等分问题．为把60°三等分，必然要用尺规作出量cos 20°或sin 20°．以下三角恒等式是我们熟知的：cos 3x＝4cos3x－3cos x，将x＝20°代入，得将cos 20°换写为y，即是三次代数方程：这个三次方程的一个正实根当为其所需之解，然而，它必会有有理数的立方根表示．因而y＝cos 20°也是一个“不可作几何量”．故三等分问题亦属不可能．难怪古希腊人对这三个问题久久未找到答案，难怪这是真正的难题．不是古希腊人不智，确实是当时的数学水平还难以使他们得出三大几何作图难题均以“不可能”为结局的结论来．二、解析几何与微积分数学以两千多年的历史伴随人类文明．从公元前到公元16世纪，几何与代数各自平行发展着，几何则以更大的魅力影响着人类文明．但几何似乎仅是关于形的科学而与数无关；代数则似乎与形无关而仅是关于数的科学．代数与几何难以被联系起来的原因是，人们心目中的数是一个个孤立的定数，因而难以从数想到由无穷多个点连成的线条等图形；而对于形，例如，线段和封闭图形，它们与数的联系似乎仅有由数刻画的长度和面积，因而难以从图形想到数的其他表现能力．把数与形密切联系起来的关键是变量概念的形成；另一个同等重要的问题是把图形如线条视为是由动点形成的．只有变动的数与变动的点联系起来，才使数与形的密切关系被深刻地揭示出来了．这里，决定性的工具是坐标，有了坐标，数就是点，点就是数，变动的点就是变动的数，变动的数就是变动的点，于是变数与图形结合在一块了．真正的困难还在于，任何一个具体的图形都不带有一个坐标在身上，亦即，人们在现实生活中是不能直接看到坐标的．当然，稍稍想一想，生活中也有根本感受不到的坐标存在着．例如，在我们说东、南、西、北的时候，一般是确定的站在某一点来说，比如说“北京在东面”，这对站在兰州的人来讲是对的，对站在济南的人来讲是不对的．同样，站在郑州应当说“武汉在南面”，而站在广州，则只能说“武汉在北面”．这实际上就是有了坐标原点的概念，有了坐标的思想．可是，问题还没有那样简单，还需要有运动的观念，还需要有更精确的描述，才能借以刻画几何图形，才能实现数与形的有效融合．数与形的充分结合才产生解析几何．解析几何的主要创始人笛卡儿的有关工作也经历了一个发展过程，所以解析几何并不是瞬间的、偶然出现的产物．让我们看一个实例．首先，我们回顾一下已知两线段而由尺规作出比例中项的办法，如果两线段一样长，那它们本身就是比例中项．如果不一样，那么，可在较长的线段AC上取一点B，使AB等于较短线段的长．再以AC为直径画圆，然后过B作AC的垂线交圆于D，连接AD，AD即为所求之比例中项．在右图中，我们按以上方式作出了AB与AC的比例中项，即接着，我们容易作出E、F、G、H、…使得如果设AB＝1，AD＝x，上式就变成了从线段看，AD=x时AF=x3，AF＝AD＋DF，若记DF=a，我们得到x3=x+a．反过来看，a作为已知数，容易作出一长度为a的线段DF，根据由以上分析所得之启示可作出AD，那么，AD实际上便是三次方程式x3=x＋a的根．这就是笛卡儿在正式形成其明确的解析几何思想之前的一例，把代数方程与几何结合起来的一例．他还曾利用几何方法探寻四次代数方程求根的方法．这是把几何与代数问题结合的一个方面．另一方面，笛卡儿对几何问题又运用了代数方法，例如，研究几何轨迹的问题．解析几何的精华在于把几何曲线用代数方程来表达，同时又利用代数的研究方法来研究几何．从进一步的分析还可发现，这种方法其所以十分强有力，是因为形与数的联系比人们想象的要紧密得多，许多复杂的几何现象是通过解析的方法发现的，许多复杂的几何问题是通过解析方法解决的．这不仅是一个手段问题，也是对世界本质的看法问题．所以，笛卡儿的解析几何具有深远的意义．我们从所熟知的内容来看看解析几何的意义．例如，我们知道椭圆、双曲线、抛物线的标准方程是：y2＝2px我们并不需要画出图形来而只要一看式子就知道它是个什么样子．所谓标准方程，是从代数表达形式来看的，而从几何上看，则是其图形摆得方方正正，例如，标准椭圆方程实际上是其圆心摆在原点，其长短半轴分别与平面的两条坐标轴重合．但是，实际的情况并不总是以标准的形式呈现在我们面前的．直线也有其标准形式，但一般形式是ax＋by＋c＝0；二次曲线的一般方程式是ax2＋2bxy＋cy2＋dx＋ey＋f＝0．然后，我们可以通过解析的方法、代数的方法把它们化为标准形式，例如，对二次方程，我们可以通过以下的变换来做这件事情：通过这样的变换，就可以把一般方程化为标准方程．这一过程，这种工作，从表面看来似与几何毫无关系，我们只是在做着代数的工作．通过上面的变换，原来的方程就变为一个新的形式了，现在把它们并列写下来：ax2＋2bxy＋cy2＋dx+ey＋f＝0a′x′2+2b′x′y′+c′y′2+d′x′+e′y′+f′=0这成了两个不同的式子，却有3个相等的式子：a+c=a′+c′，换句话说，在前述变换之下，有两个东西不变(对此，我们前面曾提到过)．至此，我们对一般二次代数方程所作的叙述全是代数的，对方程进行代数变换(两种线性变换)，以及这种变换之下的不变量．接下去我们还可以说明，一般二次方程能在变换之下化为标准方程．下面将用全套的几何语言来叙述与以上相关的全套代数涵义，或说明全套代数语言的几何涵义：在给出了一般二次曲线之后，我们总可以通过平移和旋转，把它摆在标准位置上．以椭圆为例，即把它的圆心移到原点来，把它的长短轴移至坐标轴上来，而二次曲线的原形是不变的．可见，用几何的语言来说，也是很简单的．那么，代数的讨论有什么实际的意义呢？在一般地给出了一个二次代数方程后，你很难看出它会是怎样一条曲线，如果一点一点地描绘也不是件简单的事．然而，代数的讨论告诉我们有几个不变式在那里，我们甚至不必最终化成标准表达式，就能由几个不变式看出曲线的类型和性质．这是重要的定性分析．此外，这种分析也使我们能把所有的二次曲线准确无误地详尽无遗地予以归类了．从哲学上说，笛卡儿的解析几何可说是他理性主义的产物．上面以二次曲线为例，表明代数方法与几何问题的结合，产生了最充分的理论说明．笛卡儿们认为世界是十分有秩序有条理的，是可以用方程来表达的．奇异就出在这种有序的世界和有序的运动里面．在解析几何出现后不久，微积分被发现了．微积分与解析几何不仅是伟大的数学发现，而且为近代科学开辟了道路；它们不仅是17世纪的伟大发现，而且在人类文明史上写下了极其灿烂的一页；它们不仅为近代科学开辟了道路，而且它们本身就是划时代的成果．在微积分产生之前，人们已比较普遍地接触这样几类问题：物理方面，求速度、求距离的问题；几何方面，求切线、求长度、求面积、求体积、求物体重心的问题；在各种实际问题中，求极大、极小的问题等．因此，在微积分正式诞生之前，关于极限的思想，关于微分的思想，关于积分的思想，已经零星可见．关于极限的思想在我国古代早已出现．求速度，求切线，这就会接近微分；求距离，求长度和面积、体积，这就会接近积分．古代中国的祖暅原理与近代西方的卡瓦列里原理说的是同一原理，前者先于后者约1100年左右．这一原理当为一般大学生所熟悉：当两立体介入两平行平面之间，又为平行于这两平面的任何一平行平面所截得之截面面积相等时，那么两立体之体积相等．用符号来表达，用同一平面截得两立体之截面面积分别表示为f(x)dx和g(x)dx，原理说的是：当对于所有的x有f(x)dx=g(x)dx时，便有：作为一个著名例子，我们看看半球体积的计算．这一计算，现在看来似乎是轻而易举的，但在没有微积分之前是十分困难的．所以下面的计算方式在当时是很有意义的，它利用了祖暅——卡瓦列里原理．设半球的半径为r．以半球的大圆为底面，球顶朝上．作一平面与底面平行并与底面之距离为h．这个平面截半球所得之截面为一圆，该π(r2－h2)．再看看一个截面半径为r的圆柱，其高度也为r．其下底与上面所说的半球底面摆在一个平面．现在将以此圆柱的上底为底、以下底圆的圆心为顶点作一圆锥．这一圆锥完全含于圆柱，现在把这一圆锥挖去，并考虑被挖去一圆锥的圆柱所形成的立体．当用一平行于底面的平面去截它时，其截面为一圆环，设这一平行于底面的平面距底面h，那么，这一圆环的面积也等于πr2－πh2=π(r2－h2)．可见，这一立体与半球被任何同一平行平面所截之截面面积相等．根据祖暅原理，半球体积应与被挖去一圆锥的圆柱体积相等．而被挖去一圆锥的圆柱体积是：尽管在牛顿和莱布尼茨之前，人们从不同的角度接触到了微分和积分，但是对于微分与积分的关系并没有真正弄清楚．而真正的困难亦在此．很容易明白，加法与减法是互逆的运算，也不难明白，乘法与除法是互逆的运算．开方作为乘方的逆运算，在技术上更困难了；作为指数运算逆运算的对数运算的产生并不容易．逆运算常常带来一些新问题，程序性问题，多值性问题．对于微分与积分之间的联系，认识上更有特殊的困难，这样两个似乎十分不同的两种运算竟然是互逆的，这正是使人惊讶不已的地方，也是使人感到其发现之特别不易的地方．以具体问题来说，求一曲线所围成图形的面积运算怎么会与求这一曲线的切线的运算是互逆的运算呢？微积分的创立正是以发现微分与积分的互逆关系为标志的．如今我们所说的牛顿—莱布尼茨定理即微积分基本定理，讲的就是两者关系．微积分基本定理可主要以微分的形式出现，亦可主要以积分的形式出现．我们分别叙述如下：微分形式．(x)在[a，b]上可微，且积分形式．可微，且发现f(x)的积分的微分正是它自己(在一定条件下即可保证)．只有在这一发现得到之后，才能说微积分产生了，因为这一定理奠定了微积分的理论基础．牛顿的发现在莱布尼茨之前，但发表的时间在莱布尼茨之后，他们两人又确系各自独立的发现，而且背景也有所不同．因此，虽然后来也曾出现过关于发现的优先权的争议，最终的看法却达成一致：牛顿和莱布尼茨共同创立了微积分的基本定理．微积分的伟大意义可以从4个方面去看．1．对数学自身的作用．自从有了解析几何和微积分，就开辟了变量数学的时代，因而数学开始描述变化，描述运动．微积分改变了整个数学世界的面貌．牛顿、莱布尼茨17世纪创立的微积分还存在着明显的逻辑缺陷，但是这种缺陷并未抑制它旺盛的生命力．18世纪的数学家们在微积分提供的思维和工具的基础上阔步前进，迅速创立了许多数学分支，诸如微分方程，无穷级数，变分法等．在进入19世纪之后，还有诸多与微积分直接相关的数学分支产生，原有的一些数学分支也开始利用微积分的方法，前者包括复变函数，微分几何等，后者包括数论，概率论等．可以说，在有了微积分之后的两、三百年期间，数学获得了极大的发展，获得了空前的繁荣．微积分的严密逻辑基础也在19世纪完善地建立起来．微积分基本定理的表现形式在多维空间和一般拓扑空间中也获得了拓广，在更广阔的领域中延伸，进一步显示了它在数学领域里的普遍意义．2．对其他自然科学和工程技术的作用．有了微积分，整个力学、物理学都得以它为工具来加以改造，微积分成了物理学的基本语言，而且，许多物理学问题要依靠微积分来寻求解答．“数理不分家”，这句话在有了微积分之后就具有了真实的意义，离开了微积分不可能有现代物理，无论是力学、电学还是光学、热学．微积分的创立得到了天文学的启示，此后，天文学再也离不开微积分．19世纪上半叶可能还认为化学只需要简单的代数知识，而生物学基本上与数学没有联系．现在，化学、生物学、地理学等都必须深入地同微积分打交道．3．对人类物质文明的影响工程技术是最直接影响人类物质生活的，然而工程技术的基础即数理科学，也可以说，现代工程技术少不了微积分的支撑．从机械到材料力学，从大坝到电站的建设，都要利用微积分的思想和方法．如果说在落后的生产方式之下，只需要少量的几何、三角知识就可以工作的话，如今，任何一个未学过微积分的人都不可能从事科学技术工作．在有了微积分和万有引力原理之后，人们就预见了人造卫星及宇宙飞行的可能，并且早已利用微积分计算出了宇宙速度．今日满天飞行的人造卫星早在微积分产生之初就已在学者们的预料之中．在今天人类广泛的经济活动、金融活动中，微积分也成了必不可少的工具．微积分诞生之初的主要背景是物理学和几何学，而今，它几乎为一切领域所运用．它对人类物质生活的影响是越来越大．4．对人类文化的影响只要研究变化规律就要用上微积分，在人文、社会科学领域亦如此，因而微积分也渗透于人文、社会科学，用它来描述和研究规律性的东西．哲学尤其关注微积分，那是因为微积分给了哲学许多的启示，它不仅影响到哲学方法，也影响到世界观．辩证唯物主义更关注微积分．马克思十分关心数学，何止是关心，他对数学还曾有过广泛而深入的研究，特别对微积分有专门的研究．马克思在1863年7月6日致恩格斯的信中说：“有空时我研究微积分．顺便说说，我有许多关于这方面的书籍，如果您愿意研究，我准备寄给您一本．”①1865年5月20日，马克思又在给恩格斯的一封信中说到：“在工作之余——西，任何其他读物总是把我赶回写字台来．”②马克思不只研究牛顿、莱布尼茨，而且研究了牛顿、莱布尼茨之后一个多世纪内的一批著名数学家，如达朗贝尔，欧拉，拉格朗日等人．1882年11月22日，马克思在致恩格斯的一封信中还说到：“我未尝不可用同样的态度去对待所谓微分方法的全部发展——这种方法始于牛顿和莱布尼茨的神秘方法，继之以达朗贝尔和欧拉的唯理论的方法，终于拉格朗日的严格的代数方法(但始终是从牛顿—莱布尼茨的原始的基本原理出发的)，——我未尝不可以用这样的话去对待分析的这一整个发展过程，说它在利用几何方法于微分学方面，也就是使之几何形象化方面，实际上并未引起任何实质性的改变．”③马克思那个时代写到了“终于拉格朗日”表明马克思已站在前沿，他可能还未看到柯西、魏尔斯特拉斯的分析方法、极限方法，但也是从“牛顿—莱布尼茨”那里出发的．从1863年的信到1882年的信，从信中表现出来的对微积分越来越深入的分析，可以看出，马克思是多么认真、多么深入又在多么漫长的时间里关注和研究着微积分！我们可以想一想，马克思作为一位哲学家、思想家、经济学家、政治家为何如此深切地关心和深入地研究数学尤其是微积分？再看看恩格斯本人．恩格斯在《自然辩证法》中有一段许多人熟悉的话：“数学中的转折点是笛卡儿的变数．有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分学和积分学也就立刻成为必要的了，而它们也就立刻产生，并且是由牛顿和莱布尼茨大体上完成的，但不是由他们发明的．”①当然，应当说大体上是由他们发现的，另一位可以说接近这一发现的是牛顿的老师——巴罗．恩格斯还在《反杜林论》这部著作中说到：“因为辩证法突破了形式逻辑的狭隘界限，所以它包含着更广的世界观的萌芽．在数学中也存在着同样的关系．初等数学，即常数的数学，是在形式逻辑的范围内活动的，至少总的说来是这样，而变数的数学——其中最重要的部分是微积分——本质上不外是辩证法在数学方面的运用．”②事实上，恩格斯不只是注意深入研究微积分，研究数学，他还令人敬佩地广泛地研究了他所处时代的数十个自然科学领域的最新成果．也许，恩格斯是一个杰出的榜样，是从社会文化的角度深刻分析过自然科学的榜样．顺便说说，列宁对于数学，尤其是物理学，也有过浓厚的兴趣．似乎在马克思、恩格斯、列宁之后的马克思主义者很少有这种兴趣，更少有这样深刻的见解．这是不是一种遗憾呢？也许，不一定每位马克思主义者都需要有如此广博而深刻的自然科学见解，也许学识与智慧及其表现形式也不一样．然而，有一点似乎应当是共同的，任何一位真正的马克思主义者必然是对自然科学的各种进步寄予深切关注和满腔热情的支持，并且特别关注它们对社会进步的巨大影响．邓小平具有这样的品质，邓小平亦可算这一方面的典范，虽然他没有可能熟悉现代意义下的微积分，但他把社会文化与自然文化也联系在一起．三、非欧几何直到现在，知道非欧几何的大学生还少得可怜，甚至大学数学专业本科毕业了，学习了大约15年以上的数学，不少人还是不知道非欧几何．这一事实，让人在赞美非欧几何之时多少有些遗憾．为了使我们的叙述更实在些，不能不以尽可能简洁的方式介绍一下有关背景．欧几里得几何在公元前300年就产生了，现在简称欧氏几何．中学生所学的几何基本上是欧氏几何，这种几何已流传两千多年，至今每个学生仍然学习它，多多少少要学习；它的影响遍及世界各国．欧氏几何的主要特征是首开公理方法，不仅是在数学领域，而且是在整个科学领域开创了公理方法．公理方法的基本要点是，从少数几个概念(原始概念)和少数几个命题(原始命题，又称公理)出发；演绎出本学科其他所有概念和命题，从而构成这一学科的全貌．运用这种方法的学科因而自然地被认为具有最严密的演绎体系，做到了这一点的学科就被认为是严谨的科学，也被认为是十分成熟的学科门类．所以，几何被认为是最早成熟的自然科学分支．由于几何在数学领域长期作为主要的代表，。
几何中的尺规作图法
第七讲尺规作图尺规作图的基本知识一、几何作图的含义和意义含义：给泄条件，设法作具备这些条件的图形，能据条件作出图形或作不岀图形，故几何作图是存在问题的证明。
意义：建立学生具体几何观念的重要手段，是克服死记硬背左理的好办法：学以致用：为制图学提供理论基础：培养逻辑思维能力。
二、作图公法（1）通过两个已知点可作一直线；（2）已知圆心和半径作圆：（3）若两已知直线相交，或一已知直线和一已知圆（或圆弧）相交，或两已知圆相交，则可作出其交点。
上面三条叫作图公法。
若一个图不能有限次根据作图公理作岀图形，则叫几何作图（或尺规作图）不能问题。
三、作图成法我们把根据作图公法或一些已经解决的作图题而完成的作图，叫做作图成法。
它可以在以后的作图中直接应用。
下而列举一些：（1）任意延长已知线段。
（2）在已知射线上自端点起截一线段等于已知线段。
（3）以已知射线为一边，在指泄一侧作角等于已知角。
（4）已知三边，或两边及夹角，或两角及夹边作三角形。
（5）已知一直角边和斜边，作直角三角形。
（6）作已知线段的中点。
（7）作已知线段的垂直平分线。
（8）作已知角的平分线。
（9）过已知直线上或直线外一已知点，作此直线的垂线。
（10）过已知直线外已知点，作此直线的平行线。
（11）已知边长作正方形。
（12）以立线段为弦，已知角为圆周角，作弓形弧。
（14）过圆上或圆外一点作圆的切线。
（16）作已知圆的内接（外切）正三角形、正方形，或正六边形。
（17）作一线段，使之等于两已知线段的和或差。
（18）作一线段，使之等于已知线段的n倍或n等分。
（19）内分或外分一已知线段，它们的比等于已知比。
（20）作已知三线段a.b.c的第四比例项。
（21）作已知两线段匕“的比例中项。
（22）已知线段“丄作一线段为x = yla2+b2 .或作一线段为x = yjcr-b1（a>b）.四、解作图题的步骤①分析：遇到不是一目了然的作图题，常假左符合条件的图已做出，研究已知件和求作件间的关系，从而得到作图的线索。
N等分线段的尺规作图法及证明资料讲解
N等分线段的尺规作图法及证明崔谧（安定区风翔学区小西岔小学甘肃定西743000）几何学从诞生到发展，再到逐步完善，除一条线段能被(n≥1且n为一正整数)等分外，至今还没有一种严格的几何方法能将一条线段进行任意N(N>3且N为一正整数)等分。
经过长期的探究，本人发现有一种严格的几何方法——定点定比交轨思想及方法可以将一条线段进行任意N(N>2且N为一正整数)等分。
该方法将以一条线段二等分的方法和思想作为主要思想和理论依据进行论述。
为了简单明了起见，先详细介绍用该思想及方法将一条线段三等分和五等分的作法及证明过程，然后以此作为主要思想和理论依据进行论述任意N等分的作法及证明过程.将一条线段二等分的方法和思想是以已知线段的两个端点为定点,以相等的两条线段为半径作圆并确定其交点轨迹就是一条直线,然后再确定该轨迹(直线)与已知线段的交点，即已知线段的二分之一点。
因为该二分线段的方法和思想在现行数学教材中已经成为公认的既定公理，无须再述。
我们可以称其为一一交轨思想（两条半径的长度比为1:1）。
依据以上二分线段的一一交轨（两条半径的长度比为1:1）的思想和方法，可以用已知线段的两个端点为定点，用长度比为2:1的两条线段为半径作圆并确定其交点轨迹就是一条弧所在的圆，然后再确定该轨迹(弧所在的圆)与已知线段的交点，即已知线段的三分之二点。
我们可以称其为二一交轨思想（两条半径的长度比为2:1）。
具体作法和证明如下：作法：1.画线段AB并求其中点C。
2.用目测法在点C和B之间取一点D,使得线段AD的长度大于线段AB的三分之二而小于线段AB的长度，再求线段AD的中点E。
3.以A为圆心，以AD为半径画弧，以B为圆心，以AE的长为半径画弧，使两条弧相交与点F；以点A为圆心，以AB为半径画弧，以B为圆心，以BC为半径画弧，使两条弧相交于G点。
（确保点F和G在线段AB的同侧）4.连接FG并求其中垂线HI，延长HI交AB的延长线于点J。
《超级画板》对线段进行任意等分的作法
《超级画板》对线段进行任意等分的作法摘要：如何对任意线段进行等分？利用《超级画板》的功能，本文列举了几种方法。
关键词：线段；等分；作法作者简介：尚强，任职于深圳市教育科学研究院；许苏华，任教于深圳教苑中学。
怎样把一条任意线段三等分? 如果把引题进行推广：对任意线段进行n等分，又如何作图呢？利用《超级画板》几何作图及编程功能，给出8种他人的作法以及3种笔者的作法。
一、尺规作图等分线段只利用尺规，怎样把任意一条线段三等分？如图1所示，操作步骤如下：1. 先画出要等分的线段，并作射线；2. 以点为圆心，以任意长度为半径画圆，交射线于点；3. 再以点为圆心，作同样半径的圆，交射线于点，同法作出点；4. 连接，作，则点、把线段分成三等分。
对于线段的n等分，同法。
二、单尺作图等分线段只利用直尺，怎样把任意一条线段三等分？如图2所示，操作步骤如下：1. 先画出要等分的线段，并任作其平行线，在直线的另一侧任取一点；2. 连接和，交直线于点、，再连接和相交于点，连接，并延长交于点，则点平分线段；3. 再连接，交于点，连接并延长交于点，则点是三等分点。
对于线段的四等分，最简单的办法就是平分线段后再平分线段，也可以利用上面的方法，在三等分点的基础上再作四等分点，依次可作五等分点、六等分点、直到n等分点。
三、大卫-丹尼尔等分线段早在1996年，美国康涅狄格州的两名中学生，15岁的大卫·戈登汉姆和16岁的丹尼尔·李奇菲尔德，借助几何画板成功地用另一种方法，证明了线段可以任意等分的这一古老定理，我们简称为大卫-丹尼尔等分线段法.如图3所示，把任意一条线段三等分的操作步骤如下：1. 先画出要等分的线段，以为边作正方形；2. 连接，作的中点，连接，交于点；3. 过点作的垂线，点即为线段的三等分点。
对于n等分点，都是可以通过二等分点和三等分点迭代作。
四、秦世锐等分线段1998年秦世锐提出了一种新方法，如图4所示，把任意一条线段三等分的操作步骤如下：1. 先画出要等分的线段，并作射线；2. 在上任取一点，再取点使得；3. 连接，并延长到点使得；4. 连接交于点，点即是线段的三等分点。
2024中考备考热点09 尺规作图(7大题型+满分技巧+限时分层检测)(原卷版)
热点09 尺规作图中考数学中《尺规作图》部分主要考向分为三类：一、尺规作图的痕迹（每年1道，3~8分）二、尺规作图画图（每年1道，3~12分）三、网格问题中的作图设计（每年1题，6~8分）尺规作图指的是只用无刻度的直尺和圆规，作已知线段的中垂线、已知角的角平分线；部分题型则考察由作图痕迹逆向推导是什么线，然后利用中垂线或者角平分线的性质继续解题。
最近几年又出现一类不用“尺规”，只用无刻度的直尺在网格图中按要求画图或找点。
当考察作图痕迹时，基本以选择题为主，实际画图题或者网格类问题则是简单题，虽然难度中等，但是对应考点的综合性已经越来越强，需要在做题时更加全面的分析。
考向一：尺规作图的痕迹【题型1 线段中垂线的尺规作图痕迹】满分技巧1、线段垂直平分线的画图痕迹：2、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等1．（2023•凉山州）如图，在等腰△ABC中，∠A＝40°，分别以点A、点B为圆心，大于AB为半径画弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN，直线MN与AC交于点D，连接BD，则∠DBC的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．50°2．（2023•西宁）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线PQ交AB，AC于点D，E，连接CD．下列说法错误的是（）A．直线PQ是AC的垂直平分线B．CD＝ABC．DE＝BCD．S△ADE：S四边形DBCE＝1：43．（2023•随州）如图，在▱ABCD中，分别以B，D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交BD于点O，交AD，BC于点E，F，下列结论不正确的是（）A．AE＝CF B．DE＝BF C．OE＝OF D．DE＝DC4．如图，在△ABC中，∠C＝40°，分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，交边AC于点D，连接BD，则∠ADB的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°5．（2023•西藏）如图，在△ABC中，∠A＝90°，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；作直线MN交AB于点E．若线段AE＝5，AC＝12，则BE长为．6．（2023•广元）如图，a∥b，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线EF，分别交直线a，b于点C，D，连接AC，若∠CDA ＝34°，则∠CAB的度数为．【题型2 角平分线的尺规作图痕迹】满分技巧1、角平分线的画法：2、角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等1．（2023•衢州）如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于∠BAC内一点F．连结AF并延长，交BC于点G．连结DG，EG．添加下列条件，不能使BG＝CG成立的是（）A．AB＝AC B．AG⊥BC C．∠DGB＝∠EGC D．AG＝AC2．（2023•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点G，作射线AG，交BC于点D，则BD的长为（）A．B．C．D．3．阅读以下作图步骤：①在OA和OB上分别截取OC，OD，使OC＝OD；②分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点M；③作射线OM，连接CM，DM，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是（）A．∠1＝∠2且CM＝DM B．∠1＝∠3且CM＝DMC．∠1＝∠2且OD＝DM D．∠2＝∠3且OD＝DM4．（2023•湖北）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线BP，过点C作BP 的垂线分别交BD，AD于点M，N，则CN的长为（）A．B．C．D．45．（2023•丹东）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P，作射线BP，交AD于点G，交CD的延长线于点H．若AB＝AG＝4，GD＝5，则CH的长为（）A．6B．8C．9D．106．（2023•内蒙古）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BD于点M，交BC于点E，连接DE，则S△BDE：S△CDE是（）A．1：2B．1：C．2：5D．3：87．如图，在▱ABCD中，∠D＝60°．以点B为圆心，以BA的长为半径作弧交边BC于点E，连接AE．分别以点A，E为圆心，以大于AE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AE于点O，交边AD 于点F，则的值为．8．（2023•鞍山）如图，△ABC中，在CA，CB上分别截取CD，CE，使CD＝CE，分别以D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠ACB内交于点F，作射线CF，交AB于点M，过点M作MN⊥BC，垂足为点N．若BN＝CN，AM＝4，BM＝5，则AC的长为．9．（2023•甘孜州）如图，在平行四边形ABCD（AB＜AD）中，按如下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在∠BAD内交于点P；③作射线AP交BC于点E．若∠B＝120°，则∠EAD为°．10．（2023•阜新）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8．连接AC，在AC和AD上分别截取AE，AF，使AE＝AF，分别以点E和点F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线AG交CD 于点H，则线段DH的长是．考向二：尺规作图画图【题型3 作一条线段的垂直平分线】满分技巧线段垂直平分线的画图步骤：1、分别以线段两端点为圆心，相同适当长（大于线段的一半）为半径画圆弧，上下各得两个弧的一个交点；2、过两个弧的交点作一条直线，则该直线即为所求作的线段中垂线。
初中尺规作图详细讲解(含图)
初中数学尺规作图讲解初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法. 最简单的尺规作图有如下三条：⑴ 经过两已知点可以画一条直线；⑵ 已知圆心和半径可以作一圆；⑶ 两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；以上三条，叫做作图公法. 用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点. 一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.历史上，最著名的尺规作图不能问题是：⑴ 三等分角问题：三等分一个任意角；⑵ 倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；⑶ 化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.这三个问题后被称为“几何作图三大问题”. 直至1837 年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel ）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882 年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann ）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π（即当圆半径r 1时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题.若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19 世纪出现的伽罗华理论. 尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意. 数学家Underwood Dudley 曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.还有另外两个著名问题：⑴ 正多边形作法·只使用直尺和圆规，作正五边形. ·只使用直尺和圆规，作正六边形. ·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的.·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的.·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是 2 的非负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题.⑵ 四等分圆周只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周 4 等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战.尺规作图的相关延伸：用生锈圆规（即半径固定的圆规）作图1. 只用直尺及生锈圆规作正五边形2. 生锈圆规作图，已知两点A、B ，找出一点C使得AB BC CA.3. 已知两点A、B ，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点.4. 尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达. 10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672年，有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的 2 点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点 ，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出！ . 五种基本作图： 初中数学的五种基本尺规作图为：1.做一线段等于已知线段2.做一角等于已知角3. 做一角的角平分线4.过一点做一已知线段的垂线5.做一线段的中垂线 下面介绍几种常见的尺规作图方法： ⑴ 轨迹交点法： 解作图题的一种常见方法 . 解作图题常归结到确定某一个点的位置 . 如果这两个点的位置是由两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的位置就不确定而形成一个轨迹；若改 变放弃另一个条件，这个点就在另一条轨迹上，故此点便是两个轨迹的交点 交点来解作图题的方法称为轨迹交点法，或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法例 1】 电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇 相等，到两条高速公路 m 、 n 的距离也必须相等，发射塔 P 应修建在什么位置？分析】 这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点 P 应满足两个条件，一是在线段 AB的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点 P 应是它们的交点 .解析】 ⑴ 作两条公路夹角的平分线 OD 或 OE ；⑵ 作线段 AB 的垂直平分线 FG ；则射线 OD ， OE 与直线 FG 的交点 C 1 ， C 2 就是发射塔的位置 .例 2】 在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是 （4 ， 0） ， O 是坐标原点，在直线 y x 3上求一点 P ，使 AOP是等腰三角形，这样的 P 点有几个？解析】 首先要清楚点 P 需满足两个条件，一是点 P 在 y x 3上；二是 AOP 必须是等腰三角形 .其次，寻找P 点要分情况讨论，也就是当 OA OP 时，以 O 点为圆心， OA 为半径画圆，与直线有两个点 P 1、 P 2； 当 OA AP 时，以 A 点为圆心， OA 为半径画圆，与直线无交点；当 PO PA 时，作 OA 的垂直平分线，. 这个利用轨迹的A 、B 的距离必须C2G与直线有一交点 P 3，所以总计这样的 P 点有 3个.分析】 设⊙M 是符合条件的圆，即其半径为 r ，并与 ⊙O 及⊙O '外切，显然，点 M 是由两个轨迹确定的，即M 点既在以 O 为圆心以 R r 为半径的圆上， 又在以 O'为圆心以 R' r 为半径的圆上， 因此所求圆的圆 心的位置可确定 . 若⊙O 与⊙O'相距为 b ，当 2r b 时，该题无解，当 2r b 有唯一解；当 2r b 时， 有两解 .解析】 以当⊙O 与 ⊙O '相距为 b ，2r b 时为例：⑴ 作线段 OA R r ， O' B R' r .⑵ 分别以 O ， O '为圆心，以 R r ， R' r 为半径作圆，两圆交于 M 1,M 2 两点. ⑶ 连接 OM 1 ， OM 2 ，分别交以 R 为半径的 ⊙O 于 D 、C 两点. ⑷ 分别以 M 1，M 2 为圆心，以 r 为半径作圆 . ∴⊙M 1,⊙M 2 即为所求 .思考】若将例 3 改为： “设⊙O 与⊙O '相离，半径分别为 R 与 R' ，求作半径为 r (r R)的圆，使其与 ⊙O 内切，与 ⊙O'外切. ”又该怎么作图？⑵ 代数作图法： 解作图题时，往往首先归纳为求出某一线段长，而这线段长的表达式能用代数方法求出，然 后根据线段长的表达式设计作图步骤 . 用这种方法作图称为代数作图法 .【例 4】 只用圆规，不许用直尺，四等分圆周(已知圆心).【分析】 设半径为 1. 可算出其内接正方形边长为 2 ，也就是说用这个长度去等分圆周 .我们的任务就是做出这 个长度 . 六等分圆周时会出现一个 3的长度 .设法构造斜边为 3 ，一直角边为 1的直角三角形， 2 的 长度自然就出来了 .【解析】 具 体做法：⑴ 随便画一个圆 . 设半径为 1.⑵ 先六等分圆周 . 这时隔了一个等分点的两个等分点距离为例 3】 设⊙O 与 ⊙O '相离，半径分别为 R 与 R'，求作半径为 r 的圆，使其与 ⊙O 及⊙O'外切 .rMDO' O R'RrCMAB⑶ 以这个距离为半径， 分别以两个相对的等分点为圆心， 同向作弧， 交于一点 .（ “两个相对的等分点其实就是直径的两端点啦！ 两弧交点与 “两个相对的等分点 ”形成的是一个底为 2，腰为 3 的等腰三 角形. 可算出顶点距圆心距离就是 2 .） ⑷ 以 2 的长度等分圆周就可以啦！例 5】 求作一正方形，使其面积等于已知 ABC 的面积 .分析】 设 ABC 的底边长为 a ，高为 h ，关键是在于求出正方形的边长 x ，使得 x 2 1 ah ，所以 x 是 1a 与h 的22 比例中项 .解析】 已知：在 ABC 中，底边长为 a ，这个底边上的高为 h ，求作：正方形 DEFG ，使得： S 正方形 DEFG S ABC作法：⑴ 作线段 MD 1 a ；2⑵ 在 MD 的延长线上取一点 N ，使得 DN h ；⑶ 取 MN 中点 O ，以 O 为圆心， OM 为半径作 ⊙O ； ⑷ 过 D 作 DE MN ，交⊙O 于 E ， ⑸ 以 DE 为一边作正方形 DEFG . 正方形 DEFG 即为所求 .分析】 先利用代数方法求出点 M 与圆心 O 的距离 d ，再以 O 为圆心， d 为半径作圆，此圆与直线 l 的交点即 为所求 .解析】 ⑴ 作Rt OAB ，使得： A 90 ，OA r ， AB a .例 6】 在已知直线 l 上求作一点 M ，使得过 M 作已知半径为 r 的 ⊙O 的切线，其切线长为a.a⑵ 以O 为圆心，OB 为半径作圆若此圆与直线l相交，此时有两个交点M1，M2.M1，M2 即为所求.若此圆与直线l相切，此时只有一个交点M.M即为所求.若此圆与直线l 相离，此时无交点.即不存在这样的M 点使得过M 作已知半径为r 的⊙O的切线，其切线长为 a.⑶ 旋转法作图：有些作图题，需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度，以使已知图形与所求图形发生联系，从而发现作图途径.例7】已知：直线a、b、c，且a∥b∥c.求作：正ABC ，使得A、 B 、C三点分别在直线a、b、c上.ab分析】假设ABC是正三角形，且顶点 A 、 B 、C三点分别在直线a、b、c上.作AD b于D，将ABD绕A点逆时针旋转60 后，置于ACD'的位置，此时点D' 的位置可以确定.从而点C也可以确定. 再作BAC 60 ， B 点又可以确定，故符合条件的正三角形可以作出.解析】作法：⑴ 在直线a上取一点A，过A作AD b于点 D ；⑵ 以AD 为一边作正三角形ADD ' ；⑶ 过D'作D'C AD ' ，交直线 c 于C；⑷ 以A为圆心，AC为半径作弧，交b于B（使B与D'在AC异侧）.⑸ 连接AB 、AC 、BC 得ABC .ABC 即为所求.例8】已知：如图，P 为AOB 角平分线OM 上一点.求作：PCD ，使得P 90 ，PC PD，且C在OA上，D在OB上.解析】 ⑴ 过 P 作 PE OB 于 E .⑵ 过 P 作直线 l ∥OB ;⑶ 在直线 l 上取一点 M ，使得 PM PE （或 PM ' PE ）；⑷ 过M （或M'）作MC l （或 M'C l ），交OA 于C （或C'）点；⑸ 连接PC （或PC' ），过 P 作PD PC （或PD' PC'）交OB 于D （或 D'）点. 连接 PD,CD （或 PD',C'D'）.则 PCD （或 PC'D'）即为所求 .⑷ 位似法作图： 利用位似变换作图，要作出满足某些条件的图形，可以先放弃一两个条件，作出与其位似的 图形，然后利用位似变换，将这个与其位似得图形放大或缩小，以满足全部条件，从而作出 满足全部的条件 .【例 9】 已知：一锐角 ABC .求作:一正方形 DEFG ，使得 D 、 E 在BC 边上， F 在AC 边上， G 在AB 边上.分析】 先放弃一个顶点 F 在 AC 边上的条件， 作出与正方形 DEFG 位似的正方形 D 'E 'F ' G' ，然后利用位似变换将正方形 D'E'F 'G '放大（或缩小）得到满足全部条件的正方形DEFG .解析】 作 法：⑴ 在 AB 边上任取一点 G'，过 G'作G'D' BC 于 D'⑵ 以G'D '为一边作正方形 D'E'F'G'，且使 E'在 BD '的延长线上 . ⑶ 作直线 BF'交 AC 于 F .⑷ 过F 分别作 FG ∥F'G'交 AB 于G ；作 FE ∥F'E'交BC 于E . ⑸ 过G 作GD ∥G'D'交 BC 于 D . 则四边形 DEFG 即为所求 .A⑸ 面积割补法作图：对于等积变形的作图题，通常在给定图形或某一确定图形上割下一个三角形，再借助平行线补上一个等底等高的另一个三角形，使面积不变，从而完成所作图形.【例10】如图，过ABC的底边BC上一定点，P ，求作一直线l ，使其平分ABC的面积.分析】因为中线AM 平分ABC的面积，所以首先作中线AM ，假设PQ平分ABC的面积，在AMC 中先割去AMP ，再补上ANP .只要NM ∥ AP ，则AMP 和AMP就同底等高，此时它们的面积就相等了. 所以PN 就平分了ABC的面积.解析】作法：⑴ 取BC中点M ，连接AM ,AP;⑵ 过M 作MN∥AP交AB于N；⑶ 过P、N 作直线l . 直线l 即为所求.例11】如图：五边形ABCDE 可以看成是由一个直角梯形和一个矩形构成⑴ 请你作一条直线l ，使直线l 平分五边形ABCDE 的面积；⑵ 这样的直线有多少条？请你用语言描述出这样的直线.解析】⑴ 取梯形AFDE 的中位线MN 的中点O ，再取矩形BCDF 对角线的交点O ' ，则经过点O，O'的直线l 即为所求；⑵ 这样的直线有无数条. 设⑴中的直线l 交AE于Q，交BC于R，过线段RQ中点P ，且与线段AE、BC均有交点的直线均可平分五边形ABCDE的面积.例12】（07江苏连云港）如图1，点C将线段AB分成两部分，如果AC BC，那么称点C 为线段AB的黄金分AB AC割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2 ，如果S1 S2，那么称直线S S1 l 为该图形的黄金分割线．⑴ 研究小组猜想：在△ABC 中，若点 D 为AB边上的黄金分割点（如图 2 ），则直线CD是△ABC 的黄金分割线．你认为对吗？为什么？⑵ 请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？⑶ 研究小组在进一步探究中发现： 过点 C 任作一条直线交 AB 于点 E ，再过点 D 作直线 DF ∥CE ，交AC 于点F ，连接EF (如图3)，则直线 EF 也是△ABC 的黄金分割线．请你说明理由．⑷ 如图 4 ，点 E 是 ABCD 的边 AB 的黄金分割点， 过点 E 作 EF ∥ AD ，交 DC 于点 F ，显然直线EF 是 ABCD 的黄金分割线．请你画一条 ABCD 的黄金分割线， 使它不经过 ABCD 各边黄金分割 点．解析】 ⑴ 直线 CD 是△ABC 的黄金分割线．理由如下：设 △ ABC 的边 AB 上的高为 h ．1112 BD h ， S △ABC 2AB h ，S △ ADC ADS △BDC BDS△ ABCABS △ ADC AD又∵点 D 为边 AB 的黄金分割点，∴AD BDS △ ADC S △ BDC ． AB ADS△ ABC S △ ADC∴直线 CD 是 △ ABC 的黄金分割线．⑵ ∵ 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分， 此时 S 1 S 2 1S ，即 S1 S2 ，2 S S 1 ∴三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．⑶ ∵ DF ∥ CE ，∴ △DEC 和 △FCE 的公共边 CE 上的高也相等，设直线 EF 与CD 交于点 G ，∴ S △ DGE S △ FGC ． ∴ S △ ADCS四边形 AFGDS △ FGCS四边形 AFGDS△ DGES△ AEF ，∴直线 EF 也是 △ ABC 的黄金分割线． ⑷ 画法不惟一，现提供两种画法；A C B图 11 S△ADC2 AD h ，S△ BDCS△ DECS△FCE又∵S△ ADC S △ BDC S△ AEFS四边形BEFCS△ ABC，∴S△ ADCS△ ABCS△ AEF图2图3图4S△ BDCS四边形 BEFC ．答案图 1) 答案图 2)画法一：如答图1，取EF中点G ，再过点G作一直线分别交AB，DC于M，N点，则直线MN 就是ABCD 的黄金分割线．画法二：如答图2，在DF上取一点N，连接EN ，再过点 F 作FM∥NE交AB于点M，连接MN ，则直线MN 就是ABCD 的黄金分割线．。
尺规作图
初中几何第二册第三章第三单元尺规作图一、教法建议【抛砖引玉】本单元要向同学们介绍尺规作图，何谓尺规作图：在几何里，把限定用直尺（没有刻度）和圆规来画图，称为尺规作图．最基本，最常用的尺规作图，通常称基本作图．在平面几何的学习中和工程绘图中，经常应用．因而，在教学中，首先复习几何第一章中学过的作一条线段等于已知线段，用尺规法画图十分方便，免去了度量，准确度更高些，以激发他（她）们的兴趣．在此基础上先后引入“作一个角等于已知角”和“平分已知角”．首先分析标题，通过分析命题，分清已知什么，求作什么，才能画出已知条件，写好已知、求作．在讲解作法时，最好边画图边叙述，然后让学生说明作法的正确性，再写出作法，证明（或引导学生写证明），讲完后要反复练习，发现错误，及时纠正，防患未然，在练中学，在学中练，以便切实掌握作图方法，并且从课本中给出的锐角推广到直角和钝角，仍然能掌握它们的作图方法并会证明．通过前两个基本作图的学习，再继续讲授“经过已知点作已知直线的垂线”和“作线段的垂直平分线”．对于“经过已知点作已知直线的垂线”应分两种情况：已知点在直线上或已知点在直线外，两种情况缺一不可．对于已知点在直线外的情况，证明略去，在教学中，应引导学生补证一下，这样可使学生确信作图的正确性，另一方面也可以复习巩固证明三角形全等的方法，这样新旧知识交叉，互相渗透，相辅相成，将收到较好的教学效果．在学好练好，掌握好五种（初一学过的一种）基本作图的基础上，再介绍其应用．即什么是几何作图以及几何作图的一般步骤．在教学中，要说明几何作图与一般画图不同，它严格规定只准用直尺（没有刻度）和圆规为工具，而且每一步作图都必须有根有据，不能随便画．比较复杂的作图，要经过严格分析，才能找到作图的依据和方法．教学中对比较复杂的作图不要涉及，只要求学生掌握经过简单分析就可以作出的题目，如求作出三角形，会写出最简单的几何作图的已知、求作、作法即可．并通过实例、习题的教学，进一步强调几何作图的三个步骤．在叙述作法中，不需要重述基本作图过程．【指点迷津】四种基本作图是本单元学习主要内容，尤其对前两种更是重中之重．因而，在学习中一定要准确地使用作图工具画出符合要求的正确图形，每一步画图都要有根有据．准确精练的几何语言，同学们叙述起来比较困难，为此，教学中可分步进行．一、教师边作图边用语言叙述作法，让学生听懂；二、教师叙述作法，让学生作图；三、教师画图学生叙述作法、交错进行，反复练习，最后再要求学生自己作图，写作法．学过基本作图后，遇有属于基本作图的地方，写作法时，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了．与此同时，画图的方法更多了，如没有特别指出，可以选用任何一种你认为方便的方法画图．二、学海导航【思维基础】回答下列问题：1．在几何里把了限定用直尺和图规来画图，称为 ，最基本，最常用的尺规作图，通常称基本作图．2．基本作图包括：（i ）作一个角等于 ；（ii ）平分 ；（iii ）经过一点 ；（iv ）作线段的 ．第一章学过的作一条线段等于 ．3． 于一条线段并且 这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，或中垂线．【学法指要】例1．已知：直线AB 及直线AB 外一点C ．求作：过点C 作CD ∥AB ．（画出图形，不写作法，保留作图痕迹）思路分析：假设符合条件的图形已作出（如左图），那么直线CD 过点C ，且CD ∥AB ．符合条件．我们从左图可知：CD ∥AB反之，只要∠FCD=∠FEB 或∠DCE=∠AEC ，那么CD ∥AB ．这时就将问题转化为“作一个角等于已知角”的基本作图上来．因为直线AB 和点C 是固定的，所以∠FEB 与∠AEC 均是固定的．另要作∠FCD=∠FEB 或∠DCE=∠AEC 即可．于是便得到如下两种画法：过C 作ECF 与AB 交于点E ，作∠FCD=∠FEB 或∠DCE=∠AEC ，得如下两图，均符合条件．（作图痕迹略）例2．如图，已知平角AOB ，试用直尺和圆规将平角AOB 三等分．（不写已知，求作，画法，保留作图痕迹）思路分析1：已知角AOB 为平角，∴∠AOB =180°，要把∠AOB 三等分，那么它三等分的每一个角是60°，由60°这一特殊角度，引起我们构造两个等边三角形，即以OA ，OB 分边作等边三角形，问题就解决，也就找到作法，如左图．（作图痕迹略）思路分析2：由思路1的分析，启发我们又有多种思路可以找到．如上作图，当作出等边三角形AOC 后，因∠BOC = 120°，再作∠BOC 的平分线即可．或作出等边△AOC 后，再作∠COD=∠AOC （或∠COD=∠CAO 或∠COA ）即可．或作出等边△AOC 后，再作∠BOD=∠OAC 即可．于是又可找到三种作法，画图如下：（作图痕迹略）∠FCD=∠FEB ∠AEC=∠DCE（作∠COB 的平分线） （作∠COD=∠AOC ） （作∠BOD=∠OAC ）这就是将求作的问题转化为基本作图──平分已知角，而中图与右图又将问题转化为基本作图而作一个角等于已知角．可见，必须熟悉基本作图，才有利于打开作图题的思路，望同学们一定要掌握好五种基本作图，遇到有关作图问题才能得心应手．例3．已知：线段a ，s ，s ＞2a求作：等腰三角形，使它的底边等于a ，周长等于s （作图痕迹略）．思路分析：本例要作的等腰三角形已知底边a ，周长为s ，关键是知道等腰三角形的腰长．因为等腰三角形两腰相等，现又知两腰之和为(s －a )．所以将线段(s －a )平分即可求出等腰三角形腰长为 (s －a )．那么等腰三角形的三边为a ， (s －a )， (s －a )便知道，仿课本P38知道三边画三角形方法即可画出符合要求的等腰三角形．作法：（如前页图） （i ）在线段AD(AD=s)上用圆规截取AB=a ；（ii ）作线段BD (BD=s －a )的中垂线L 与BD 交于点O ；（iii ）以AB (AB=a )为底，BD (BD = (s －a ))为腰作等腰三角形ABC 即为所求．证明：由作图可知：AB=a ，AC=BC=BO= (s －a )，∴AB+AC+BC=a+ (s －a )+(s －a )=s故所求作的等腰三角形符合要求．例4．已知斜边，求作一锐角为15°的直角三角形．已知：线段c ．求作：直角三角形，并使斜边为c ．一锐角为15°（作图痕迹略）．思路分析：本例要作Rt △，知道斜边及直角，是没法作出这样的三角形．必须知道15°的角才能作出符合条件的三角形．如何作出15°的角呢？我们可以发现15°角是60°角的四分之一．由60°角又启发我们作等边三角形，便出现60°角再把60°角四等分，便得出15°角，问题便解决了．得作法如下：i ）作出15°角（∠B ′A ′D ′=15°），作AB=c ；ii ）作∠BAD =∠B ′A ′D ′=15°；iii）过点B作AD的垂线BC交AD于C点．则△ABC为所求作的Rt△．本例在探索15°角时，将问题转化为“平分已知角(60°)”问题，进而又得出“作一个角等于已知角(15°)”．最后又用到“经过一点作已知直线的垂线”，使问题圆满解决．一道问题用到三种基本作图，才把思路打开．如果对基本作图不十分熟悉，是很难找到思路的．只有对基本作图熟练驾驭，遇到陌生问题，才能借助基本作图这位“向导”找到思路．【思维体操】例作已知锐角α的平分线（不要求写已知，求作，作法，以下各题要求相同，保留作图痕迹）．扩散一：作已知直角的平分线扩散二：作22.5°的角扩散四：作已知钝角的平分线．扩散五：如图，将已知角四等分扩散六：作15°的角扩散七：如图，作△ABC的∠A，∠B，∠C的平分线．扩散八：如图，已知公路AB和CD，准备在两公路间修一条高速公路，与两公路始终保持等距，试画出高速公路示意图．由扩散一～扩散八，试题进引各种变化，但归根结底，却又回归到基本作图──平分已知角，所以在学习中一定要抓住基本作图的“精髓”，才能进一步的深化与提高，才能把较复杂的作图题转化到基本作图上来，从而打开思路．三、智能显示【心中有数】本单元向同学们介绍了什么是尺规作图，并能够用尺规完成下列基本作图：（1）作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线，过已知点作已知直线的垂线．能用五种基本作图作三角形：已知三边作三角形，已知两边及其夹角作三角形，已知两角及其夹边作三角形，已知底边及底边上的高作等腰三角形，已知一直角边及斜边作直角三角形等．了解尺规作图的一般步骤，会写出已知，求作，作法．通过基本作图练习，并能解决生产、生活中的一些简单的实际问题，并能将一些较复杂的作图题转化为基本作图题去解决．学会转化的方法，学会基本作图的方法，以适应社会的需求．【动脑动手】1．如图．l 为一段直的河岸，A ，B 是河岸同侧的两个村庄，在河岸l 上修建一个水泵站C ，分别向A ，B 两个村抽水，这个水泵站应建在什么位置，可使水泵站到两个村庄距离相等？请问圆规和直尺在图中作出满足条件的水泵站C 的位置（不写作法，证明，保留作图痕迹）2．如图，某铁路MN 与公路PQ 相交于点O ，且交角为90°某仓库G 在A 区，到铁路，公路的距离相等（即G 点在∠NOQ 的平分线上），且到公路与铁路的相交点O 的距离为200m ，（1）在图上标出仓库G 的位置（比例R ，1 : 10000）用尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）；（2）求出仓库G 到铁路的实际距离． 3．如图，A ，B ，C 三点表示某平原的三个村庄，要建一个电视转播站，使它到三个村庄的距离相等，求作电视转播站的位置P ．（要求：用尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法）4．已知：线段a ．求作：△ABC ，使∠ACB =90°，AB=a ，并且∠A =30°（要求尺规作图，并保留作图痕迹，不必写作法与证明）5．如图，请作出由A 地经过B 地去河边l 的最短路线．（要求：用尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法）参考答案：（作图痕迹略）点C 为水泵站位置．2．（1）∵200m =200cm ．∴图距为：20000×＝2(cm )即OG ＝2cm ．如图，G 为仓库位置．（2）自G 作GB ⊥MN ，垂足为B 点（这里不要求用尺规作）依题设知△OBG 为等腰直角三角形．OG ＝200m∴2GB 2=2002 ∴GB ＝200∴GB ＝100 (m ) 答：仓库到铁路的实际距离为1002m ．4．1．以上三图中的△ABC 均符合条件，都为所求作的三角形如图，线段AB 与BP 即为所求．【创新园地】1．已知：线段a ，c 和角α，用圆规和直尺作出△ABC ，使AB ＝c ，BC ＝a ，∠ABC ＝α（不要求写作法，但要保留作图痕迹）．2．已知：线段a 和∠α求作：直角三角形ABC ，使∠C ＝90°，BC ＝a ，∠B ＝∠α（要求：不写作法，每步都要用尺规作图并保留作图痕迹）3．已知：线段m 和∠α求作：等腰△ABC ，使顶角A ＝2α，腰AB ＝m（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不必写出作法和证明）．4．已知：∠α，∠β和线段a求作：△ABC，使∠B =∠α，∠C＝β，BC=a．（要求：不要写作法及证明，要用尺规作图，并保留作图痕迹）四、同步题库填空题1.（1）尺规作图是指用来画图.（2）基本作图包括：；；；；；它们是几何作图的 .（3）最基本的几何作图语句有：①过点，点，作直线或作直线；②连结两点，或连结 .③延长到点，使 = .④在上截取 = ；⑤以点为为圆心，，为半径作弧，交于点；⑥分别以点点为圆心；以，为半径作弧，两弧交于点 .⑦一般几何作图应有下面几个步骤：；目前我们只要求写出三个步骤.2.用尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法）作出△ABC的AB边的中点D，再作出DE∥BC交AC于点E.（如图1-3-17）3.已知斜边，一锐角，作直角三角形.4.已知△ABC，求作一点P，使点P到AB，AC的距离相等，且到边AC的两端点距离相等.图1-3-17 图1-3-185.如图1-3-18，在直线MN上求作一点P，使点P到OA，OB的距离相等.（注3～5尺为尺规作图）6.已知：线段a、b，求作以a为底，以b为底边上的高的等腰三角形（要求用圆规和直尺作图，不必写出作法和证明，但必须保留作图痕迹.7.如图1-3-19，A，B两个村子在河CD的同侧，A，B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A，B两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管总费用F.图1-3-198.已知：如图1-3-20，直线MN和线段AB.求作：线段AB关于直线MN的对称线段A'B'（要求：保留作图痕迹，不写作法和证明）.9.要求用尺规作图，写出作法，保留作图痕迹，不证明.已知二边和夹角作三角形.10.已知线段AB，求作以线段AB为斜边的等腰直角三角形ABC（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.11.如图1-3-21，一块三角形ABC，阴影部分已破损.（1）只要从残留的玻璃片中度量出哪些边，角，就可以不带残留的玻璃片到店铺加工一块与原来玻璃片ABC的形状和大小完全相同的玻璃片A'B'C'，请简单说明理由.（2）用（1）中度量的边，角作△A'B'C'（要求尺规作图，保留作图痕迹）.12.用尺规作图，已知两边及第三边上的高求作三角形.图1-3-20 图1-3-21参考答案同步题库1.（2）直尺和圆规；（2）作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作一条射线平分已知角；过一点作已知直线的垂线，作线段的垂直平分线；依据（3）①A，A，AB，BA；②A，B，AB；③AB，E，AB，BE；④OA，OM，a；⑤O，OD，OA，D；⑥D，E，OD，OE，C；⑦尺规作图，基本作图.2.如图1-3-273.已知：∠α，线段m.求作：Rt△ABC,使∠A=α，斜边AB=m.作法：（1）作线段AB=m（2）以A为顶点作∠BAO=α（3）过点B过AO的垂线BC，BC交AO于C.△ABC即为所求.图1-3-27 图1-3-28 图1-3-294.已知：△ABC（如图1-3-30）.求作：点P，使PA=PC，且点P到边AB、AC的距离相等.作法：（1）作线段AC的垂直平分线MN；（2）作∠BAC的平分线AO，AO交MN于P.点P即为所求.图1-3-30 图1-3-315.已知：∠AOB及直线MN（如图1-3-31）.求作：点P，使点P在直线MN上，且点P到OA，OB距离相等.作法：作∠AOB的平分线OE交直线MN于点P.点P即为所求.6.已知：线段a ，b a b 求作：等腰△ABC ，使底BC=a ，高AD=h.作法：（1）作线段BC=a ；（2）作线段BC 的垂直平分线MN ，交BC 于点D ；（3）在MN 上截取DA=b ；（4）连结AB ，AC ，△ABC 即为所求.图1-3-327.解：（参照原题图）要使铺设水管费用最省，关键是使水厂到两村距离最短，因之，应延长AC 到A '，使A 'C=AC ，连结A 'B ，与CD 相交于点O ，点O 就是我们要选择的水厂O 的位置.∵ △BDO ∽△A 'CO ，∴ OD ∶OC=BD ∶A 'C=3即OD ：（OD+OC ）=3∶4，也即OD ∶DC=3∶4∴ BO=4154932222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+OD BD 又OC=CD-OD=3-4349= ∴ 45431222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=2OC AC AO ∴ 铺设的管道最短为：AO+BO=5∵ 每公里工程费用为：20000元∴ 总费用F 至少为5×20000=100000（元）.8.略9.见下图10.见图1-3-33图1-3-3311.（1）只要度量出∠B，∠C的度数和边BC的长，就可以不带残留的玻璃片到店铺加工一块与原来玻璃片ABC的形状和大小完全相同的玻璃片A'B'C'.其理由是根据“角边角定理”知△ABC、△A'B'C'.（2）见图1-3-34图1-3-3412.已知：线段b,c,h.求作：△ABC，使AC=b，AB=c，AD⊥BC，D为垂足，且AD=h作法：（1）作△ABD，使AD⊥BD，AB=c,AD=h.（2）以A为圆心，b为半径作弧，分别交BD或它的延长线上一点C1，C.（3）连结AC，AC1.△ABC及△ABC1均为所求作的三角形.图1-3-35。
第二节 平面图形的基本作图方法
第二节平面图形的基本作图方法(建议4课时)考纲要求掌握平面图形的基本作图方法。
知识网络知识要点一、基本几何作图方法(一)等分线段的方法1．平行线法：过所要等分线段的某一端点作一辅助线，两线成任意锐角，在辅助线上截取几等份，连接辅助线端点及所等分线段的端点，在辅助线的各等分点上依次作端点连线的平行线，即将线段分成若干等份。
2．分规试分法：用分规以某一长度试分线段，不断调整分规两脚距离，直至等分完成。
(二)圆的等分1．尺规作图法：运用直尺、圆规，运用几何规律来等分。
要求能对圆周进行三、四、五、六等分的作图。
2．查表计算法：按公式a＝k·D(D为圆直径，k为等分系数)计算出正多边形每边长度，然后依次在圆周上截取，即得。
这种方法适合于任意等分圆周。
(三)椭圆的画法1．同心圆法(理论画法)：先求出曲线上一定数量的点，再用光滑的曲线将各点连接起来。
2．四心法(近似画法)：求出画椭圆的四个圆心和半径，用四段圆弧近似地代替椭圆。
(四)斜度与锥度画法1．斜度：一直线(或平面)对另一直线(或平面)的倾斜程度。
表示符号：∠或>，符号的方向应与斜度的方向一致。
2．锥度：指正圆锥体底圆直径与锥高之比。
表示符号⊲或⊳，符号所示方向应与圆锥方向一致。
3．斜度与锥度的比值均要写成1∶n的形式，如∠1∶n或⊲1∶n。
4．标注锥度时，锥度符号配置在基准线上，表示圆锥的图形符号和锥度应靠近轮廓标注，基准线应通过指引线与圆锥的轮廓素线相连。
基准线应与圆锥的轴线平行，图形符号的方向与圆锥方向一致。
当所标注的锥度是标准圆锥系列之一时，可用标准系列号和相应的标记表示。
(五)圆弧连接1．圆弧连接的实质，就是要使连接圆弧与相邻线段相切，以达到圆弧连接处光滑过渡的要求，切点即为连接点。
2．圆弧连接的基本作图步骤：(1)求作连接圆弧圆心；(2)找切点；(3)画连接圆弧。
作图时第(2)步找切点不要忽视，因为切点是连接圆弧的起点和终点，必须要找出。
初二数学-尺规作图总结
初⼆数学-尺规作图总结初⼆数学尺规作图⼀、理解“尺规作图”的含义1?在⼏何中，我们把只限定⽤直尺（⽆刻度）和圆规来画图的⽅法，称为尺规作图?其中直尺只能⽤来作直线、线段、射线或延长线段；圆规⽤来作圆和圆弧?由此可知，尺规作图与⼀般的画图不同，⼀般画图可以动⽤⼀切画图⼯具，包括三⾓尺、量⾓器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的.2?基本作图：（1）⽤尺规作⼀条线段等于已知线段；（2）⽤尺规作⼀个⾓等于已知⾓.利⽤这两个基本作图，可以作两条线段或两个⾓的和或差⼆、熟练掌握尺规作图题的规范语⾔1?⽤直尺作图的⼏何语⾔：①过点X、点X作直线XX;或作直线XX;或作射线XX；②连结两点XX；或连结XX;③延长XX到点X;或延长（反向延长）XX到点X,使XX = XX ;或延长XX交X X于点X;2?⽤圆规作图的⼏何语⾔：①在XX上截取XX = XX;②以点X为圆⼼，XX的长为半径作圆（或弧）；③以点X为圆⼼，XX的长为半径作弧，交XX于点X;④分别以点X、点X为圆⼼，以XX、XX的长为半径作弧，两弧相交于点X、X三、了解尺规作图题的⼀般步骤尺规作图题的步骤:1?已知：当作图是⽂字语⾔叙述时，要学会根据⽂字语⾔⽤数学语⾔写出题⽬中的条件；2?求作：能根据题⽬写出要求作出的图形及此图形应满⾜的条件；3?作法：能根据作图的过程写出每⼀步的操作过程?当不要求写作法时，⼀般要保留作图痕迹?对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图⼤致相同，然后借助草图寻找作法?在⽬前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，⽽且在许多中考作图题中，⼜往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保留作图痕迹很重要?尺规作图的定义：尺规作图是指⽤没有刻度的直尺和圆规作图。
最基本，最常⽤的尺规作图通常称基本作图。
⼀些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。
五种基本作图：1、作⼀条线段等于已知线段；2、作⼀个⾓等于已知⾓；3、作已知线段的垂直平分线;4、作已知⾓的⾓平分线；5、过⼀点作已知直线的垂线;题⽬⼀：作⼀条线段等于已知线段。
初中尺规作图总结
2. 基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段； （2）用尺规作一个角等于已知角 .
利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差 . 二、熟练掌握尺规作图题的规范语言 1. 用直尺作图的几何语言： ①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；
②连结两点××；或连结××；
③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交
则线段 AB就是所求作的图形。 题目二：作已知线段的中点。 已知：如图，线段 MN. 求作：点 O，使 MO=N（O即 O是 MN的中点） . 作法： （１）分别以 M、N为圆心，大于
的相同线段为半径画弧， 两弧相交于 P，Q； （２）连接 PQ交 MN于 O． 则点 O就是所求作的ＭＮ的中点。 （试问： PQ与ＭＮ有何关系？） 题目三：作已知角的角平分线。 已知：如图，∠ AOB， 求作：射线 OP, 使∠ AOP＝∠ BOP（即 OP平分∠ AOB）。 作法： （1）以 O为圆心，任意长度为半径画弧，
题时，保留作图痕迹很重要 . 尺规作图的定义： 尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本
规作图 , 通常称 基本作图 。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。 五种基本作图： 1、 作一条线段等于已知线段；
2 、作一个角等于已知角； 3 、作已知线段的垂直平分线； 4 、作已知角的角平分线； 5 、过一点作已知直线的垂线； 题目一：作一条线段等于已知线段。 已知：如图，线段 a . 求作：线段 AB，使 AB = a . 作法： （ 1）作射线 AP； （ 2）在射线 AP上截取 AB=a .
图（ 2）
图（ 3）
正解 如图（ 3）． （1）作直线 PQ，在直线 PQ上任取一点 D，作 DM⊥ PQ； （2）在 DM上截取线段 DA=h；
专题22 尺规作图(5大考点)(学生版)
第六部分图形的变化专题22尺规作图（5大考点）核心考点核心考点一尺规作图—作线段核心考点二尺规作图—作角（角平分线）核心考点三尺规作图—作三角形（等腰三角形）核心考点四尺规作图—作圆核心考点五格点作图题新题速递核心考点一尺规作图—作线段（2022·江苏南通·统考中考真题）【阅读材料】老师的问题：已知：如图，AE BF ∥．求作：菱形ABCD ，使点C ，D 分别在,BF AE 上．小明的作法：（1）以A 为圆心，AB 长为半径画弧，交AE 于点D ；（2）以B 为圆心，AB 长为半经画弧，交BF 于点C ；（3）连接CD ．四边形ABCD 就是所求作的菱形，【解答问题】请根据材料中的信息，证明四边形ABCD 是菱形．（2022·广西贵港·中考真题）尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，已知线段m ，n ．求作ABC ，使90,,A AB m BC n ∠=︒==．（2020·湖北咸宁·中考真题）如图，在ABCD Y 中，以点B 为圆心，BA 长为半径画弧，交BC 于点E ，在AD 上截取AF BE =，连接EF ．（1）求证：四边形ABEF 是菱形；（2）请用无刻度的直尺．．．．．．在ABCD Y 内找一点P ，使90APB ∠=︒（标出点P 的位置，保留作图痕迹，不写作法）作一条线段等于已知线段。
先用直尺画一条射线，再用圆规量取已知线段长度，再在画出的直线段上量取等长线段即可。
这种是最简单的尺规作图，但是要学会用准确的语言表述作图的基本步骤。
【变式1】（2023·陕西西安·校考二模）如图，已知在ABC 中，2BD CD =．请用尺规作图法，在BC 边上求作一点E ，16ABE ABC S S =△△．（保留作图痕迹，不写作法）【变式2】（2023·福建福州·统考一模）如图，P 为O 外一点，M 为OP 中点．(1)过点P 作O 的一条切线PQ ，且Q 为切点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）的条件下，若PQ =，求证：点M 在O 上．【变式3】（2022·河南安阳·模拟预测）阅读材料：我们曾经解决过如下问题：“如图，点M ，N 分别在直线AB 同侧，如何在直线AB 上找到一个点P ，使得PM PN +最小？”我们可以经过如下步骤解决这个问题：①画草图（或目标图）分析思路：在直线AB 上任取一点P'，连接'P M ，'P N ，根据题目需要，作点M 关于直线AB 的对称点'M ，将''P M P N +转化为'''P M P N +，“化曲为直”寻找'''P M P N +的最小值；②设计画图步骤；③回答结论并验证．借鉴阅读材料中解决问题的三个步骤完成以下尺规作图：已知三条线段h ，m ，c ，求作ABC ，使其BC 边上的高AH h =，中线AD m =，AB c =．(1)请先画草图(画出一个即可)，并叙述简要的作图思路(即实现目标图的大致作图步骤)；(2)完成尺规作图(不要求写作法，作出一个满足条件的三角形即可)．核心考点二尺规作图—作角（角平分线）（2022·宁夏·中考真题）如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB BC =，AD DC ⊥于点D ．(1)用尺规作ABC ∠的角平分线，交CD 于点E ；（不写作法，保留作图痕迹）(2)连接AE ．求证：四边形ABCE 是菱形．（2022·湖北襄阳·统考中考真题）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD 是△ABC 的角平分线．(1)作∠ACB 的角平分线，交AB 于点E （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)求证：AD ＝AE ．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）已知：ABC ．(1)尺规作图：用直尺和圆规作出ABC 内切圆的圆心O ；（只保留作图痕迹，不写作法和证明）(2)如果ABC 的周长为14cm ，内切圆的半径为1.3cm ，求ABC 的面积．1、作角：作一个角等于已知角。
中考数学知识点复习：尺规作图全面版
如何利用尺规作图解决最值问题？
最值问题的求解
最值问题是一类求解最优解的问题，可以利用尺规作图来解决。例如，在几何、代数等领域中，经常需要使用尺规作 图来求解最值问题。
作图方法
利用尺规作图求解最值问题，需要先了解问题的具体内容，然后根据问题内容进行尺规作图。在作图过程中，需要注 意图形绘制的准确性和规范性，以保证求解的准确性。
03
多边形的尺规作图
作已知线段的垂线
01
总结词：通过一个已知点，作 已知线段的垂线，是尺规作图
的基础。
02
详细描述
03
04
1. 分别以线段的两个端点为 圆心，以大于线段的一半为半 径画圆弧，得到两个交点。
2. 连接两个交点，得到的直 线即为已知线段的垂线。
已知二线段平行的垂线段的中垂线
总结词：找到一个已知的平行线段的中垂线，是尺规作 图的进阶技能。
1. 以平行线段的一个端点为圆心，以适当长度为半径画 圆弧，与平行线段相交于两点。
详细描述
2. 连接这两个交点得到的直线即为已知平行线段的中垂 线。
作已知直线的平行线
01
总结词：通过一个已知点，作已知直线的平行线，是尺规作图的基本 技能之一。
02
详细描述
03
1. 以已知点为圆心，以适当长度为半径画圆弧，与直线相交于两点。
04
2. 连接这两个交点得到的直线即为已知直线的平行线。
作已知二线段的中垂线
01 总结词：通过两个已知点，作已知二线段 的中垂线，是尺规作图的高级技能。
02
详细描述
Hale Waihona Puke 031. 以两个已知点为圆心，以适当长度为半 径画圆弧，得到两个交点。
04
第26讲 尺规作图
作已知角的平分线；作已知直线的垂线
(2017·贵港，第20小题，5分)
尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)： 已知线段a和∠AOB，点M在OB上(如图所示)． (1)在OA边上作点P，使OP＝2a； (2)作∠AOB的平分线； (3)过点M作OB的垂线．
解：(1)点P为所求作；
(2019·玉林，第21小题，6分) 如图，已知等腰△ABC顶角∠A＝30°. (1)在AC上作一点D，使AD＝BD(要求：尺规作图 ，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色 墨水笔加黑)； (2)求证：△BCD是等腰三角形．
与尺规作图有关的计算题和证明题
(2019·玉林，第21小：∵AB＝AC，
(2019·河池，第21小题，3分)
解：(1)如图所示． (2)OE∥AC，OE＝AC. 证明：∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ADO. 由(1)知AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠OAD. ∴∠CAD＝∠ADO.∴OE∥AC.
从而得 OE OB 1 ，即OE＝ 1AC.
AC AB 2
2
与尺规作图有关的计算题和证明题
∴∠ABC＝∠C.
∵∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝
1 2
×(180°－36°)＝72°.
∵AD＝BD，∴∠DBA＝∠A＝36°.
∴∠BDC＝180°－∠CBD－∠C＝72°.
∴∠BDC＝∠C.
∴BC＝BD，即△BCD是等腰三角形．
第26讲 尺规作图 达标检测
第26讲 尺规作图 课后作业
一、尺规作图 尺规作图的基本工具是_没__有__刻__度__的__直__尺__和_圆__规___. 作图时不能利用直尺的刻度、三角板现有的角度和 量角器． 二、五种基本作图
利用折纸将长方形的长和宽n等分
面上画出一组直线 ， 可 以将平面分成若干 区
域． 若一组 直 线 对 于一 个 哥 伦 比亚 式 点 集 满 足下 述两 个条 件 ， 称 这是 一个 “ 好 直线 组 ” ： （ １ ） 这 些直 线 不经 过该 哥伦 比亚式 点 集
中的任 何Ｉ Ｊ 个点 ；
５ ． 记 Ｑ＋ 是 所 有 正 有 理数组 成 的 集 合． 设 函数 ， ： Ｑ＋ 一 Ｒ满 足如下 三个 条件 ：
３ ． 设△ Ａ Ｂ Ｃ的顶点 Ａ所对的旁切 圆与
边Ｂ Ｃ切 于点 Ａ ， ． 类似地 ， 分 别 用 顶 点 、 ｃ
ｌ 厂 （ ＋Ｙ ） ≥ ＾ （ ）＋ ， （ Ｙ ） ；
②
（ ３ ） 存在 有理 数 ０＞１ ， 使得 ＿ 厂 （ ｎ ）＝ 口 ．
题 ３ 将 长 方形 的长 和宽 １ １等 分 和 １ ３
等分．
【 分析 】 如图 ５ ， Ｅ 、 Ｆ分别为边 Ａ Ｂ 、 Ａ Ｄ的
中点 ， 点Ｇ 、 Ｈ为 边 Ｂ Ｃ的三等分 点 ， 联结 Ｆ Ｇ 、 Ｆ Ｈ分 别 与 Ｅ Ｄ交 于点 Ⅳ、
２ ０
中 等 数 学
第 ５ ４届 Ｉ Ｍ Ｏ 试 题 解 答
长 和 宽 三 等 分 和 五 等 分， 只需 联结 Ｂ Ｆ 和 Ｃ Ｆ， 二者与 Ｄ Ｅ 的 交 点 分别 为 Ｊ ７ 、 ｒ 、 ， 则
Ｆ Ｎ： Ｆ Ｂ ＝１ ： ３． Ｆ Ｍ： Ｆ Ｃ ＝１ ： ５ ．
图３
Ｄ
Ｃ
题１ 将 长方形 的长和宽 三等分 和五 等分．
【 分析】 如图 １ ， 先解决三等分的情形．
ｔ＋
２ １
＝
【 注】 △Ａ Ｂ Ｃ的顶点 Ａ所对的旁切 网是
将任意一条线段任意等分的尺规作图方法
将任意一条线段任意等分的尺规作图方法已知任意一条线段a，利用尺规将它二等分就是作它的垂直平分线，垂足即为二等分点。
已知任意一条线段a，利用尺规将它三等分、四等分、五等分……，怎么做呢？
下面给出一种方法，可以将任意一条线段n等分。
1、过已知线段AB的一个端点A做任意一条射线AC
2
距离的几个点。
例如要三等分，则取三个点，如图用圆规取M、N、P三点，使得AM=MN=NP。
3、连结PB,分别过点M和点N作直线M D‖PB,NE‖PB,交线段AB分别于点D和点E。
即点D和点E就是所要求作的已知线段AB的三等分点。
注:过直线外一点作已知直线的平行线用尺规法是可以的。
用此法以此理类推，用尺规就可以将任意一条线段任意等分。
证明：由作图可知AM=MN=NP，M D‖NE‖PB,
依据平行线等分线段成比例定理可知：AM：MN：NP=AD：DE：EB=1：1：1.
所以，AD=DE=EB,
即点D和点E就是线段AB的三等分点。
专题06 尺规作图(解析版)
专题06 尺规作图一、尺规作图 1．定义只用没有刻度的直尺和圆规作图叫做尺规作图． 2．步骤①根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分； ②分析作图的方法和过程； ③用直尺和圆规进行作图； ④写出作法步骤，即作法． 二、六种尺规作图即为所求线段为圆心，任意长为半径作弧，分别 长的平长和即为线A ′即为所求角两的两弧分别交于点MN分别交为半为半； 即可得三、基本作图的应用1．利用基本作图作三角形(1)已知三边作三角形；(2)已知两边及其夹角作三角形；(3)已知两角及其夹边作三角形；(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；(5)已知一直角边和斜边作直角三角形．2．与圆有关的尺规作图(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)．(2)作三角形的内切圆．注意：依据基本作图的方法步骤，规范作图，注意一定保留好作图痕迹．核心考点用尺规作图尺规作图为广东中考近几年的必考点，题型多为解答题，设问方式主要为作图痕迹所代表的作图步骤与几何的计算和证明等的结合，考查点有作线段的垂直平分线、作垂线、作角的平分线、作线段、作圆等，主要结合三角形、四边形等的有关知识．【经典示例】如图，要在一块形状为直角三角形(∠C为直角)的铁皮上裁出一个半圆形的铁皮，需先在这块铁皮上画出一个半圆，使它的圆心在线段AC上，且与AB，BC都相切．请你用直尺和圆规画出来(要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)．答题模板第一步，思路：假设所求的图形已经作出，并且满足题中所有的条件．第二步，解法：分析图中哪些是关键点，并探讨确定关键点的方法．第三步，作图：运用基本作图法确定关键点，然后完成作图．第四步，反思：要注意用没有刻度的直尺和圆规作图，只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题，每一步作图都必须有根有据，不能随便画．【满分答案】如图，即为所求图形．【解题技巧】要作一个圆与角的两边都相切，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，即可解决问题，比较复杂的作图题，要经过严格的分析，才能找到作图的根据和作法．模拟训练在一块直角三角形的废料上，要裁下一个半圆形的材料，并且要半圆的直径在斜边AB上，且充分利用原三角形废料．（1）试画出你的设计（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）（2）若AC=4，BC=3，试计算出该半圆形材料的半径．【解析】（1）作∠ACB的平分线交AB于O，过O作OE⊥AC于E，以O为圆心，OE为半径作圆交AB于D、F．（2）作OH⊥BC于H，∵OC平分∠ACB，OE⊥AC，OH⊥BC，∴OE=OH，设OE=OH=r，∵S△ABC=12•AC•BC=12•AC•r+12•BC•r，∴r=127．【点睛】本题考查作图——应用与设计，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，学会利用面积法构建方程解决问题．解答本题时，（1）作∠ACB的平分线交AB于O，过O作OE⊥AC于E，以O为圆心，OE为半径作圆交AB于D、F，三角形中半圆即为所求．（2）作OH⊥BC于H，首先证明OE=OH，设OE=OH=r，利用面积法构建方程求出r即可．1．(2018·广东)如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°.（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．【解析】（1）如图所示，直线EF即为所求.（2）∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD＝∠DBC12∠ABC＝75°，DC∥AB，∠A＝∠C．∴∠ABC＝150°，∠ABC+∠C＝180°，∴∠C＝∠A＝30°，∵EF垂直平分线段AB，∴AF＝FB，∴∠A＝∠FBA＝30°，∴∠DBF＝∠ABD–∠FBE＝45°．2．(2018·广州)如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB>CD，AD＝AB+CD．（1）利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，①证明：AE⊥DE；②若CD＝2，AB＝4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值．【解析】（1）如图，∠ADC的平分线DE如图所示．（2）①解法一：在DA上截取DG＝CD，连接GE，由（1）知∠GDE＝∠CDE，又DE＝DE，∴△GDE≌△CDE，∴∠DGE＝∠C＝90°，∠DEC＝∠DEG，在△AGE和△ABE中，∠AGE＝∠ABE＝90°，而AD＝AG+DG＝AB+CD，DG＝CD，∴AG＝AB，又AE＝AE，∴Rt△AEG≌Rt△AEB，∴∠AEG＝∠AEB，∴∠DEG+∠AEG＝∠DEC+∠AEB＝90°，即∠AED＝90°，故AE⊥DE．解法二：延长DE交AB的延长线于F．∵CD∥AF，∴∠CDE＝∠F，∵∠CDE＝∠ADE，∴∠ADF＝∠F，∴AD＝AF，∵AD＝AB+CD＝AB+BF，∴CD＝BF，∵∠DEC＝∠BEF，∴△DEC≌△FEB，∴DE＝EF，∵AD＝AF，∴AE⊥DE．②作点B关于AE的对称点K，连接EK，作KH⊥AB于H，DG⊥AB于G．连接MK．∵AD＝AF，DE＝EF，∴AE平分∠DAF，则△AEK≌△AEB，∴AK＝AB＝4，在Rt△ADG中，DG==∵KH∥DG，∴KH AK DG AD=，46=，∴KH3=，∵MB＝MK，∴MB+MN＝KM+MN，∴当K、M、N共线，且与KH重合时，KM+MN的值最小，最小值为KH的长，∴BM+MN的最小值为3．3．(2018·深圳)已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，如图，在△CFE中，CF＝6，CE＝12，∠FCE＝45°，以点C为圆心，以任意长为半径作AD，再分别以点A和点D为圆心，大于12AD长为半径作弧，交EF于点B，AB∥CD．（1）求证：四边形ACDB为△FEC的亲密菱形；（2）求四边形ACDB的面积．【解析】（1）由已知得：AC＝CD，AB＝DB，由已知尺规作图痕迹得：BC是∠FCE的角平分线，∴∠ACB＝∠DCB，又∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCB，∴∠ACB＝∠ABC，∴AC＝AB，又∵AC＝CD，AB＝DB，∴AC＝CD＝DB＝BA，∴四边形ACDB是菱形，∵∠ACD与△FCE中的∠FCE重合，它的对角∠ABD顶点在EF上，∴四边形ACDB为△FEC的亲密菱形.（2）设菱形ACDB的边长为x，∵四边形ACDB是菱形，∴AB∥CE，∴∠F AB＝∠FCE，∠FBA＝∠E，∴△F AB∽△FCE，∴FA AB FC CE =，即6126x x-=，解得：x ＝4， 过A 点作AH ⊥CD 于H 点，∵在Rt △ACH 中，∠ACH ＝45°，sin ∠ACE AHAC=，AC ＝4，∴AH sin 4AC ACE =⋅∠=⨯=，∴四边形ACDB 的面积为CD ×AH 4=⨯= 4．(2017·广东)如图，在△ABC 中，A B ∠>∠．(1)作边AB 的垂直平分线DE ，与AB ，BC 分别相交于点D ，E (用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)；(2)在(1)的条件下，连接AE ，若50B ∠=︒，求AEC ∠的度数．【答案】见解析 【解析】(1)如图所示：(2)∵DE 是AB 的垂直平分线，∴AE =BE ， ∴∠EAB =∠B =50°，∴∠AEC =∠EAB +∠B =100°．5．(2017·广州)如图，在Rt △ABC 中，9030B A AC ∠=∠=︒︒=，，AC 的垂直平分线DE，垂足为E，交AB于点D．(保留作图痕迹，不写作法)【答案】见解析【解析】如图所示：6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，按以下步骤作图：①以C为圆心，以适当长为半径画弧交AC于点E，交BC于点F；②分别以点E，F为圆心，以大于12EF的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线CP交AB于点D，若AC=3，BC=4，求△ACD的面积．【答案】18 7【解析】过点D作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足分别为G，H，∵由题意可知CP是∠ACB的平分线，∴DG=DH．∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴S△ABC=S△ACD+S△BCD，即12×3×4=12×3DG+12×4DG，解得DG=127，∴△ACD的面积=12×3×127=187．7．如图，△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ．（1）请用尺规作图的方法在边AC 上确定点P ，使得点P 到边BC 的距离等于P A 的长；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，求证：BC ＝AB +AP ．【解析】（1）作图如图所示.（2）过点P 作PD BC ⊥于点D ， 由（1）知PA PD =.又∵90A ︒∠=，PD BC ⊥，BP BP =， ∴Rt Rt ABP DBP △≌△. ∴AB DB =.∵=90A ︒∠，AB AC =， ∴45C ︒∠=.∴1904545︒︒︒∠=-=. ∴1C ∠=∠. ∴DP DC =. ∴DC AP =.∴BC BD DC AB AP =+=+.【点睛】本题考查作图−复杂作图，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．解答本题时，（1）作∠ABC的平分线即可解决问题；（2）证明Rt△ABP≌Rt△DBP（HL），PD＝DC即可解决问题．8．已知：如图△ABC．求作：(1)AC边上的高BD；(2)△ABC的角平分线CE．【答案】见解析【解析】(1)以点B为圆心，较大的长为半径画弧，交直线AC于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点的距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，过点B和这点作射线，交直线AC于点D，BD就是所求的AC边上的高；(2)以点C为圆心，任意长为半径画弧，交CA，CB于两点，分别以这两点为圆心，以大于这两点的距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，作过点C和这点的射线交AB于点E，CE即为所求的角平分线．如图所示：9．按要求用尺规作图(只保留作图痕迹，不必写出作法)．(1)在图(1)中作出∠ABC的平分线；(2)在图(2)中作出△DEF的外接圆O．【答案】【解析】如图所示，10．已知△ABC中，∠A=90°．（1）请在图1中作出BC边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）；（2）如图2，设BC边上的中线为AD，求证：BC=2AD．【解析】如图1，AD为所作.（2）延长AD到E，使ED=AD，连接EB、EC，如图2，∵CD=BD，AD=ED，∴四边形ABEC为平行四边形，∵∠CAB=90°，∴四边形ABEC为矩形，∴AE=BC，∴BC=2AD．【点睛】本题考查了作图——基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线），也考查了矩形的判定与性质．解答本题时，（1）作BC的垂直平分线得到BC的中点D，从而得到BC边上的中线AD；（2）延长AD到E，使ED=AD，连接EB、EC，通过证明四边形ABEC为矩形得到AE=BC，从而得到BC=2AD．11．如图，锐角△ABC中，AB＝8，AC＝5．（1）请用尺规作图法，作BC的垂直平分线DE，垂足为E，交AB于点D（不要求写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，连接CD，求△ACD的周长．【解析】（1）如图，DE即为所求.（2）DE是BC的垂直平分线，DC DB ∴=， 8AB =，5AC =，ACD ∴△周长13AD DB CA AB AC =++=+=．【点睛】本题考查了作图——基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．解答本题时，（1）利用基本作图作BC 的垂直平分线得到DE ；（2）根据线段垂直平分线的性质得到DC DB =，则ACD △周长AD DB CA AB AC =++=+．12．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠DAC 是△ABC 的一个外角．实验与操作：根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应字母．(保留作图痕迹，不写作法) (1)作∠DAC 的平分线AM ；(2)作线段AC 的垂直平分线，与AM 交于点F ，与BC 边交于点E ，连接AE ，CF ． 猜想并判断四边形AECF 的形状并加以证明．【答案】(1)作图见试题解析；(2)作图见试题解析，四边形AECF 的形状为菱形． 【解析】作图如图所示，四边形AECF 的形状为菱形．理由如下： ∵AB =AC ，∴∠ABC=∠ACB．∵AM平分∠DAC，∴∠DAM=∠CAM．而∠DAC=∠ABC+∠ACB，∴∠CAM=∠ACB，∵EF垂直平分AC，∴OA=OC，∠AOF=∠COE．在△AOF和△COE中，∠FAO=∠ECO，OA=OC，∠AOF=∠COE，∴△AOF≌△COE，∴OF=OE，即AC和EF互相垂直平分，∴四边形AECF的形状为菱形．。
2025年广东中考数学第一部分 中考考点精准解读第7章 第24讲 尺规作图
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方法讲练·拓思维
命题点2 尺规作图动手操作
6年4考
5.(2024·广东)如图，在△ABC中，∠C＝90°.
(1)实践与操作：用尺规作图法作∠A的平分线AD交BC于点D.(保留作图
痕迹，不要求写作法)
解：如解图所示，AD即为所求.
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方法讲练·拓思维
(2)应用与证明：在(1)的条件下，以点D为圆心，DC长为半径作☉D.求证
M，N两点；
(2)作直线MN，则直线MN即为所求作的垂
直平分线
到线段两个端点
作图依据：⑥_________________
______________的点在这条线段
距离相等
的垂直平分线上
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考点梳理·精整合
5.过一点作已知直线的垂线
作图步骤
作图
已知：直线l和直线l上一点P.
求作：直线l的垂线PM.
图，并回答问题：
①过点A作切线AC，且AC＝4(点C在点A的上方)；
②连接OC，交☉O于点D；
③连接BD，与AC交于点E.
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方法讲练·拓思维
(1)求证：DB为☉O的切线.
解：所作图形如解图所示.
∵AC是☉O的切线，∴∠OAC＝90°.
∵OA＝3，AC＝4，∴OC＝5.
由题意，得OD＝OA＝3，OB＝OC＝5，∠DOB＝∠AOC，
2025年广东中考数学第一部分 中考考点精准解读
第七章
图形的变化
知识脉络·建体系
本章知识导图
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知识脉络·建体系
数学思想方法：从一般到特殊，类比思想，数形结合思想.
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N等分线段的尺规作图法及证明崔谧（安定区风翔学区小西岔小学甘肃定西743000）几何学从诞生到发展，再到逐步完善，除一条线段能被(n≥1且n为一正整数)等分外，至今还没有一种严格的几何方法能将一条线段进行任意N(N>3且N为一正整数)等分。
经过长期的探究，本人发现有一种严格的几何方法——定点定比交轨思想及方法可以将一条线段进行任意N(N>2且N为一正整数)等分。
该方法将以一条线段二等分的方法和思想作为主要思想和理论依据进行论述。
为了简单明了起见，先详细介绍用该思想及方法将一条线段三等分和五等分的作法及证明过程，然后以此作为主要思想和理论依据进行论述任意N等分的作法及证明过程.将一条线段二等分的方法和思想是以已知线段的两个端点为定点,以相等的两条线段为半径作圆并确定其交点轨迹就是一条直线,然后再确定该轨迹(直线)与已知线段的交点，即已知线段的二分之一点。
因为该二分线段的方法和思想在现行数学教材中已经成为公认的既定公理，无须再述。
我们可以称其为一一交轨思想（两条半径的长度比为1:1）。
依据以上二分线段的一一交轨（两条半径的长度比为1:1）的思想和方法，可以用已知线段的两个端点为定点，用长度比为2:1的两条线段为半径作圆并确定其交点轨迹就是一条弧所在的圆，然后再确定该轨迹(弧所在的圆)与已知线段的交点，即已知线段的三分之二点。
我们可以称其为二一交轨思想（两条半径的长度比为2:1）。
具体作法和证明如下：作法：1.画线段AB并求其中点C。
2.用目测法在点C和B之间取一点D,使得线段AD的长度大于线段AB的三分之二而小于线段AB的长度，再求线段AD的中点E。
3.以A为圆心，以AD为半径画弧，以B为圆心，以AE的长为半径画弧，使两条弧相交与点F；以点A为圆心，以AB为半径画弧，以B为圆心，以BC为半径画弧，使两条弧相交于G点。
（确保点F和G在线段AB的同侧）4.连接FG并求其中垂线HI，延长HI交AB的延长线于点J。
5.以J为圆心，以JF为半径画弧交AB于点K。
6.以A为起点, 以KB为半径在AB上截取点L。
则点L和K将线段AB三等分。
如下图所示：L K I JFE G C A B D证明: 为了证明该作法正确，运用方程求根验证法推导证明如下： 令线段AB 的长度为单位“1”，以点A 为坐标原点，以线段AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系。
已知：点A(0,0),B(1,0),C 为AB 的中点，D 为C 和B 之间任一点，这里取D(0)进行验证，E 为AD 的中点。
求证：按上述作法确定的一条弧所在的圆☉J 过点K(0)。
证：∵已知AB 的长度为单位“1”，点A(0,0),B(1,0),C 为AB 的中点，D 为C 和B 之间任一点，这里取D(0)进行验证，E 为AD的中点。
∴AE=,BC=,以A为圆心，以AD为半径画弧，以B为圆心，以AE的长为半径画弧，使两条弧相交与点F；则点F的坐标即为两条弧的交点，即：解得：x=,y=±∵F点在 x轴的下方∴F点的y值取其负值根，即：F( -)以点A为圆心，以AB为半径画弧，以B为圆心，以BC为半径画弧，使两条弧相交于G点;则点G的坐标即为两条弧的交点，即：解得：x=,y=±∵G点在 x轴的下方∴G点的y值取其负值根，即：G(,-)∴连接FG，求其中点坐标为（，-）又∵FG的斜率k=∴FG的中垂线HI的斜率=-=∴HI的直线方程为：y-=(x-)代入得：Y=x-又∵HI 和x 轴相交于点J,即有公共解：解得：解得：x=,y=0∴点J 的坐标为J （，0）∴以J 为圆心，以JF 为半径确定的圆☉J 的方程为：∴将点K(0)代入圆☉J 的方程：中验证得：点K(0)就在圆☉J 上，即按上述作法确定的一条弧所在的圆☉J 过点K(0)。
∴该三分线段的二一交轨思想（两条半径的长度比为2:1）及作法正确。
如下图所示： yxE(512,0)(56,0)C(12,0)(1,0)(0,0)L K H IJ FG A B D依据以上二分线段的一一交轨（两条半径的长度比为1:1）和三分线段的二一交轨（两条半径的长度比为2:1）的思想和方法，可以用已知线段的两个端点为定点，用长度比为4:1的两条线段为半径作圆并确定其交点轨迹就是一条弧所在的圆，然后再确定该轨迹(弧所在的圆)与已知线段的交点，即已知线段的五分之四点。
我们可以称其为四一交轨思想（两条半径的长度比为4:1）。
具体作法和证明如下：作法：1.画线段AB并求其四等分点C、D和E。
2.用目测法在点E和B之间取一点F,使得线段AF的长度大于线段AB的五分之四而小于线段AB的长度，再求线段AF的四等分点G、H和I。
3.以A为圆心，以AF为半径画弧，以B为圆心，以AG的长为半径画弧，使两条弧相交与点J；以点A为圆心，以AB为半径画弧，以B为圆心，以BE为半径画弧，使两条弧相交于K点。
（确保点J和K在线段AB的同侧）4.连接JK并求其中垂线LM，延长LM交AB的延长线于点N。
5.以N为圆心，以NJ为半径画弧交AB于点O。
6.以A为起点, 以OB为半径在AB上分别截取点P、Q和R。
则点P、Q、R和O将线段AB五等分。
如下图所示：R Q P O NM KJI H GF E D C B A 证明:为了证明该作法正确，运用方程求根验证法推导证明如下： 令线段AB 的长度为单位“1”，以点A 为坐标原点，以线段AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系。
已知：点A(0,0),B(1,0),E 为AB 的四分之三点，F 为E 和B 之间任一点，这里取F(0)进行验证，G 为AF 的四分之一点。
求证：按上述作法确定的一条弧所在的圆☉N 过点O(0)。
证：∵已知AB 的长度为单位“1”，点A(0,0),B(1,0),E 为AB 的四分之三点，F 为E 和B 之间任一点，这里取F(0)进行验证，G 为AF 的四分之一点。
∴AG=,BE=,以A 为圆心，以AF 为半径画弧，以B 为圆心，以AG 的长为半径画弧，使两条弧相交与点J ；则点J 的坐标即为两条弧的交点，即：解得：x=,y=±∵J点在 x轴的下方∴J点的y值取其负值根，即：J( ,-)以A为圆心，以AB为半径画弧，以B为圆心，以BE为半径画弧，使两条弧相交与点K；则点K的坐标即为两条弧的交点，即：解得：x=,y=±∵K点在 x轴的下方∴K点的y值取其负值根，即：K( ,-)∴连接JK，求其中点坐标为（，-）又∵JK的斜率k=∴JK的中垂线LM的斜率=-=∴LM的直线方程为：y-=(x-)代入得：Y=x-又∵LM和x轴相交于点N,即有公共解：解得：x=,y=0∴点N 的坐标为N （，0）∴以N 为圆心，以NJ 为半径确定的圆☉N 的方程为：∴将点O(0)代入圆☉N 的方程：中验证得：点O(0)就在圆☉N 上，即按上述作法确定的一条弧所在的圆☉N 过点O(0)∴该五分线段的四一交轨思想（两条半径的长度比为4:1）及作法正确。
如下图所示： yxR Q P O N ML KJG(1150,0)F(2225,0)E(34,0)B(1,0)A(0,0)依据以上二分线段的一一交轨（两条半径的长度比为1:1）、三分线段的二一交轨（两条半径的长度比为2:1）和五分线段的四一交轨（两条半径的长度比为4:1）的思想和方法，可以用已知线段的两个端点为定点，用长度比为(N-1):1的两条线段为半径作圆并确定其交点轨迹就是一条弧所在的圆，然后再确定该轨迹(弧所在的圆)与已知线段的交点，即已知线段的N分之(N-1)点。
我们可以称其为(N-1):1交轨思想（两条半径的长度比为(N-1):1）。
具体作法和证明如下：作法：1.画线段AB并求其(N-1)等分点...。
2.用目测法在点和B 之间取一点,使得线段A的长度大于线段AB的N分之(N-1)而小于线段AB的长度，再求线段A的(N-1)等分点...。
3.以A为圆心，以A为半径画弧，以B为圆心，以A的长为半径画弧，使两条弧相交与点J；以点A为圆心，以AB为半径画弧，以B为圆心，以B为半径画弧，使两条弧相交于K点。
（确保点J 和K在线段AB的同侧）4.连接JK并求其中垂线LM，延长LM交AB的延长线于点N。
5.以N为圆心，以NJ为半径画弧交AB 于点。
6.以A为起点, 以B为半径在AB 上分别截取点...和。
则点...和将线段ABN等分。
如下图所示：Z1Z N-1NMLKJY1X N-2Y N-1X1BA证明:为了证明该作法正确，运用方程求根验证法推导证明如下：令线段AB的长度为单位“1”，以点A为坐标原点，以线段AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系。
已知：点A(0,0),B(1,0),为AB的(N-1)分之(N-2)点，为和B之间任一点，这里取(0)进行验证，为A的(N-1)分之一点。
求证：按上述作法确定的一条弧所在的圆☉N过点(0)。
证：∵已知AB的长度为单位“1”，点A(0,0),B(1,0),为AB 的(N-1)分之(N-2)点，为和B之间任一点，这里取(0)进行验证，为A的(N-1)分之一点。
∴A=,B=,以A为圆心，以A为半径画弧，以B为圆心，以A的长为半径画弧，使两条弧相交与点J；则点J 的坐标即为两条弧的交点，即：解得：x=,y=±∵J点在 x轴的下方∴J点的y值取其负值根，即：J( ,-)以A为圆心，以AB为半径画弧，以B为圆心，以B为半径画弧，使两条弧相交与点K；则点K的坐标即为两条弧的交点，即：解得:x=,y=±∵K点在 x轴的下方∴K点的y值取其负值根，即：K[ ,-] ∴连接JK，求其中点坐标为[，-]又∵JK的斜率k=∴JK的中垂线LM的斜率=-=∴LM的直线方程为：y-=(x-)代入并化简得：y=N(N-2)x-又∵LM和x轴相交于点N,即有公共解：解得：x=,y=0∴点N 的坐标为N[，0]∴以N 为圆心，以NJ 为半径确定的圆☉N 的方程为：∴将点(0)代入圆☉N 的方程：中验证得：点(0)就在圆☉N 上，即按上述作法确定的一条弧所在的圆☉N过点(0)∴该N 分线段的(N-1):1交轨思想（两条半径的长度比为(N-1):1）及作法正确。
如下图所示：xyZ 1Z N-1NMLK JY 1X N-2Y N-1X 1BA综上全篇所述不难得出这样一个结论：用(N-1):1交轨思想（两条半径的长度比为(N-1):1）及方法可将任一条长度为单位“1”的线段N 等分，并且N 等分已知线段的一条弧所在的圆心为[，0]，半径为。
运用定点定比交轨思想及方法进行N （N ≥3的质数）等分线段的方法还有:等交轨思想及方法，当然用这种思想和方法确定的是已知线段的2N 分之（N+1)点而不是N 分之（N-1)点。