求最值问题的五种方法

求最值问题的五种方法

作者：高留顺

来源：《教育教学论坛》2013年第40期

摘要：最值问题是高中数学问题中较为综合的问题，一般在高三第二轮复习时，许多老师常作为重要专题进行讲解.在高考试题中，它也是热点。

关键词：中学数学；求值问题；教学方法

中图分类号：G712 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）40-0173-02

我们在复习这部分内容时，熟练掌握求最值的各种方法是十分重要的，下面我们给出求最值的常用方法，希望对同学们学习这部分内容有所启示。

一、配方法

例1 求函数y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x的最大值和最小值。

解法1：y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x

=8-4sinxcosx-1+4cos2x-4cos4x

=8-2sin2x-（1-sin22x）

=7-2sin2x+sin22x

=6+（1-sin2x）2

ymax=10，ymin=6。

解法2：y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x

=7-2sin2x+4cos2x（1-cos2x）

=7-2sin2x+4cos2xsin2x

=7-2sin2x+sin22x

=6+（1-sin2x）2

ymax=10，ymin=6。

点评：本题主要考查了三角恒等变换和三角函数与二次函数相关知识，所考方法和知识点都是常规的，高考试题中许多题目并不偏不怪。

二、数形结合法

例2 求函数y=■的最值。

解：将函数式变形为y=■，只需求函数u=■的最值。

把u看成两点A（2，■），B（cosx，sinx）连线的斜率，（B即为单位圆上的点），

则当直线AB为单位圆的切线时，其斜率为最大或最小。

设过A点的单位圆的切线方程为y-■=k（x-2），即kx-y+■-2k=0。

则圆心到切线的距离为■=1，解得：k1=■，k2=-■。从而函数最大值为ymax=■×■=1；最小值为ymin=■×（-■）=-■。

点评：本题是一道十分经典的题目，通过观察函数式的结构特征，找出其几何意义，借助数形结合和解析几何知识完成本题的解答，方法直观性强，运算量较小。

三、代换法

例3 已知函数f（x）=2+log3x，x∈[1，9]，求y=[f（x）]2+f（x2）的最大值。

解先求所求函数的定义域，依题意得1≤x≤91≤x2≤9解得x∈[1，3]。

设u=log3x，u∈[0，1]，则y=[f（x）]2+f（x2）=（2+log3x）2+2+log3x2

=log32x+6log3x+6

=u2+6u+6

=（u+3）2-3，

∴当u=1时，ymax=13。

点评：换元法是一种常用的解题方法，这种方法的本质其实就是化归，使所求式子化归成简洁的形式，使问题的解决更加简单。

四、均值不等式法

例4 若x>0，y>0，且2x2+■=8，求x■的最大值。

解：令t=x■，两边平方得：

t2=（x■）2=x2（6+2y2）=3·2x2（1+■）≤3×（■）2=3·（■）2，

所以t≤■■。

当且仅当2x2=1+■时，即x=■，y=■等号成立，

故x■的最大值为■■。

点评：均值不等式求最值是一种常用的方法，但在实际做题时，为满足“正”“定”“等”三个条件，我们往往因题而宜地进行“拆、拼、凑”等变换。这些技巧的熟练运用，对于提高思维的灵活性和严密性大有好处.

五、单调性法

例5 求函数y=4sin2xco s2+■的最值.

解：函数y=4sin2xcos2x+■=sin22x+■，

令t=sin22x，则t∈[0，1]，于是y=t+■在（0，■]内递减，在[■，1]内递增。

所以当t=■，即sin2xcos2x=■时，ymin=1；无最大值。

点评：对于许多最值问题，因为所求最值的式子积或和为定值，我们易于想到运用均值不等式.但实际上这些题目不具备运用均值不等式的条件，这类题目一般最终要用的函数的单调性。