弹性力学-第五章 平面问题的极坐标解答

ur
d )
ur
rd
1 ur
r
（d）
径向线段PA的相对伸长：
ur
r1
r （a）
径向线段PA的转角：
1 0
（b）
环向线段PB的相对伸长：
1
ur r
（c）
环向线段PB的转角：
1
1 ur
r
剪应变为：
（d）
r 1
1
1
1 r
ur
O
d
r
P
ur
dr P
x
A
ur
ur r
dr
A
B
1
y
B
ur
ur
d
(r ur )d
dr
ur
PA ur
r
y
（a）
ur
d
r
P
ur
B
B
ur d
x
dr ur
A
P
A
1
(r ur )d
ur r
dr
径向线段PA的转角：
线段PB的相对伸长：
1 0
1
（b）
PB PB
PB
(r ur )d rd rd
ur （c） r
环向线段PB的转角：
tan 1 1
BB PP PB
(ur
（e）
(2) 只有环向变形，无径向变形。 O
径向线段PA的相对伸长：
r2
PA PA PA
dr dr 0 dr （f）
径向线段PA的转角：
y
d
B
B
x
r P dr
2
P
u
2
A
A u
u r
dr
2
u
u dr r
dr
u
u r
u
u
d
（g）
环向线段PB的相对伸长：
2
PB PB PB
BB PP PB
剪应力 —— r、θ的正面上，与坐标方向一致
r
r
r
dr
时为正；
r、θ的负面上，与坐标方向相反
时为正。
2. 平衡微分方程
O
r
考虑微元体平衡（取厚度为1）：
Fr 0,
rrd
r dr
(r
r
d )dr
rd
d r r
B
Pr x
(r dr)d
dr
kr k
A
r
r
r
dr
( r
r
r
dr)(r
§4-1 极坐标中的平衡微分方程
1. 极坐标中的微元体
体力： kr , k
应力：
PA面 ,r
PB面 r , r
O
r
d r r
rd B
Pr
x
(r dr)d
dr
kr k
A
r
r
r
dr
BC面 BC面
r
r
d d
y
应力正向规定：
d
C
r
r
r
d
r
r
dr
r
r
r
dr
正应力 —— 拉为正，压为负；
r 1 r r r r
F 0,
O
ddr rdrd krrdrd 0
r
d r r
rd B
r
kr 0
y
d
Pr x
(r dr)d
dr
kr k
A
r
r
r
C
r
r
r
d
r
r
dr dr
d
dr
dr
r
r
r
dr (r
dr)d
r rd
r
r
d
dr
d
2
r dr
d
2
k rdrd 0
dr)d
பைடு நூலகம்
d
dr
d
2
y
d
C
r
r
r
d
r
r
dr
dr
d
2
krrdrd 0
（高阶小量，舍去）
将上式化开：
rrd
r ddr
rrd
r
r
rdrd
rdrd
r dr2 d
r
dr
d
2
d dr d 2
dr
d
2
krrdrd
0
r rdrd r
r
drd 两边同除以 rdrd：
第五章 平面问题的极坐标解答
要点：（1）极坐标中平面问题的基本方程： —— 平衡方程、几何方程、物理方程、
相容方程、边界条件。
（2）极坐标中平面问题的求解方法及 应用
应用：圆盘、圆环、厚壁圆筒、楔形体、半 无限平面体等的应力与变形分析。
主 要内容
§4-1 极坐标中的平衡微分方程 §4-2 极坐标中的几何方程与物理方程 §4-3 极坐标中的应力函数与相容方程
§4-4 应力分量的坐标变换式
§4-5 轴对称应力与相应的位移
§4-6 圆环或圆筒受均布压力 压力隧洞 §4-7 曲梁的纯弯曲 §4-8 圆盘在匀速转动中的应力与位移 §4-9 圆孔的孔边应力集中 §4-10 楔形体的楔顶与楔面受力
§4-11 半平面体在边界上受法向集中力 §4-12 半平面体在边界上受法向分布力
u
u d rd
u
1 u
r
（h）
环向线段PB的转角：
2
u r
（i）
剪应变为：
r 2
2 2
u r
u r
（j）
(3) 总应变
r r1
r2
ur r
0
ur r
1
2
ur r
1 r
u
r r1 r 2
1 r
ur
u r
u r
整理得：
r
ur r
ur r
1 r
u
r
1 r
ur
u r
两边同除以 rdrd ，并略去高阶小量：
1 r
r
r
2 r
r
k
0
M 0, r r
O
r
—— 剪应力互等定理 于是，极坐标下的平衡方程为：
d r
r
r
1 r r
r
r
kr 0
r
rd B
Pr x
(r dr)d
dr
kr k
A
r
r
r
dr
1 r
r
r
2 r
r
k
0
y
（4－1）
d
C
r
r
r
d
r
r
dr
方程（4－1）中包含三个未知量，而只有二个方程，是一次超静定 问题，需考虑变形协调条件才能求解。
§4-2 极坐标中的几何方程与物理方程
1. 几何方程
O
(1) 只有径向变形，无环向变形。
径向线段PA的相对伸长：
PA PA AA PP
r1
ur
PA ur dr
r
u r
（4－2）
—— 极坐标下的几何方程
2. 物理方程
平面应力情形：
r
1 E
( r
)
1 E
(
r )
r
1 G
r
2(1 E
)
r
（4－3）
平面应变情形：
r
1 2
E
( r
1
)
1 2
E
(
1
r
)
r
1 G
r
2(1 E
)
r
（4－4）
弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程：
平衡微分方程：
r 1 r r r
应力边界条件： l r s m r s kr
l r
s
m
s
k
ur , u为边界上已知位移， kr , k 为边界上已知的面力分量。
（位移单值条件）
r
r
r
0
r l
q0
r 0 0
0 r 0
r ra 0 r ra 0
r rb 0 r rb 0
b
a 0 dr 0
r
r
kr 0
1 r
r
r
2 r
r
k
0
（4－1）
几何方程：
r
ur r
ur r
1 r
u
r
1 r
ur
u r
u r
（4－2）
物理方程：
r
1 E
( r
)
r
1 G
r
2(1 E
)
r
1 E
(
r )
（4－3） (平面应力情形)
边界条件： 位移边界条件： ur s ur , u s u
b
a r 0 dr 0
b
a 0 rdr M
lr
r
r
0 0 r 0 0
180 0 0 r 180
取半径为 a 的半圆分析，由其平衡得：
Fx 0
0 r ra cos r ra sin ad 0
Fy 0
0
r ra sin r