弹性力学-第五章 平面问题的极坐标解答
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平面问题(1)
P
（1）位移边界条件
位移分量已知的边界 —— 位移边界 用us 、 vs表示边界上的位移分量， 表 示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件 可表达为： 说明：
y
称为固定位移边界。
—— 平面问题的位移边界条件
(2) 力的边界条件
—— 平面问题的应力边界条件
3.力的边界条件的具体化
(1)边界面力为合力时，面力正负号的确定
（2）平面应变问题的物理方程 由于平面应变问题中
由式（2-13）第三式，得
—— 平面应变问题的 物理方程
注：
(1) 平面应变问题中
，但
（2-13）
(2) 平面应变问题 物理方程的另一形式：
（3）两类平面问题物理方程的转换：
—— 平面应力问题的 物理方程
—— 平面应变问题的 物理方程
(1) 平面应力问题 平面应变问题 (2) 平面应变问题 平面应力问题 材料常数的转换为： 材料常数的转换为：
3) 按应力求解平面问题的基本方程
（1）平衡方程 说明：
（1）对位移边界问题，不易按应 力求解。 （2）对应力边界问题，且为单连 通问题，满足上述方程的解 是唯一正确解。 （3）对多连通问题，满足上述方 程外，还需满足位移单值条 件，才是唯一正确解。
（2）相容方程（形变协调方程）
（平面应力情形）
（3）边界条件：
边界面力分量的矢量方向指向坐标轴的 正向为正，反之为负 (2)边界面力为合力矩时，力矩正负号的确定 Ms
y x
右手法则，母指指向z轴的正向为正，反之为负 y x Ms（+） y x Ms（+）
Ms（-） x y y
Ms（-） x
例1 如图所示，试写出其边界条件。
工程弹塑性力学-第五章-弹性力学平面问题
1. 平面应力问题
(1) 几何特征
等厚度薄 平板 t a, t b 一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。 如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等
(2) 受力特征
（1）板边上受有平行于板面且不沿厚度变化的面力； （2）体力平行于板面且不沿厚度变化。
JUST
江苏科技大学 思考题：
Jiangsu University of Science and Technology
0 x 0 y 21 xy E
1 f1 f 2 x y x y 1
JUST
江苏科技大学
Jiangsu University of Science and Technology
ij 2G ij ij
i j 3
z 2G z x y z
由
z 0
z x y
JUST
5.1 平面应变问题 University of Science and Technology 江苏科技大学 Jiangsu
x
x
x
xy
y yx
y
xy
应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与 z 无关。
JUST
5.2广义 平面应力问题 of Science and Technology 江苏科技大学 Jiangsu University
什么是广义平面应力问题及其特点 平面应力问题的基本方程
几何形状符合平面应力条件，由于面力不是作用于板 边而是作用于板面且不平行于板面，故不是平面问题，更
不是平面应力问题。
几何形状符合平面应变条件，但面力沿柱长变化，故 不是平面应变问题。
平面问题的极坐标解答ppt课件
轴对称应力问题
§4－5 轴对称应力和相应的位移
轴对称，即绕轴对称，凡通过此轴的 任何面均为对称面。
轴对称应力问题：
应力数值轴对称-- 仅为 ρ的函数， 应力方向轴对称-- τρφτφρ0.
相应的应力函数 Φ，Φ所ρ以
应力公式为：
σ
ρ
1 ρ
dΦ dρ
,
σ
φ
d2Φ d ρ2
,
0.
(a )
（1）相容方程
xyzz z
x
1
2
yx
12zx
12xy y 12zy
1122xyzz
z
l11 l12 l13
l21
l22
l
23
l31 l32 l33
对平面问题：ij yxx
xy
y
x
12yx
12xy
y
csoins
sin cos
T csions
sin cos
x 1 2yx
1 2yx y c sio ns cso in s 1 21 2 cso in sc sio n s
3、可以用前面得到的求一点应力状态的公 式推出。
N l2x m2y 2lmxy N lm(y x)(l2m2)xy.
4、也可以用应力坐标变换公式得到
y xx x y y c s io n c s s o i n s c s o in c s io ns c s o in c s io n s y xx x y y c s io n c s s o i n s
有: ΦΦρΦφ,
x ρx φx Φ yΦ ρ ρ yΦ φ φ y.
一阶导数
而
cos,
x
弹性力学平面问题极坐标
r
r
2 2 2 x2 y2
sin cos
r
r
cos2 sin2
r2
sin cos
r2
2
2
2 r 2
1 r
r
1 r2
2 r 2
二. 极坐标系下的平衡微分方程
1. 直角坐标与极坐标系下的应力分量关系
（1）极坐标系下的应力分量和体力分量
O
如图，根据应力状态的定义，过P
点分别以 r 方向和 方向为法线的截面
由半圆上的应力和外力的平衡关系，有
M
O
x
a
r r r
y
Fx 0
Fy 0 Mz 0
0
r
r
a
cos
ad
0
r
r a
sin
ad
0
0
r
ra
cos
r
ra
sin
d
0
0
r
ra
sin
r
ra
cos
d
0
a 0 a 0
0
r
ra
a ad
M
0
0
r
a2d M
ra
a 0
0
r
1 r
2 r
r
Fb
0
三. 极坐标系下的几何方程
1. 直角坐标与极坐标系下的位移分量关系
类似体力分量的投影关系 2. 极坐标系下的应变分量
O
x
r
Pu
u
ur
v
r
y
将P点分别沿 r 和 方向（相互垂直）两线元的线应变 r、 及其切应变 r ， 作为P点的应变分量。
3. 极坐标系下的几何方程
弹性力学平面问题的极坐标解答课件
b
a
2
ln
a
b2
a
2
0
位移的确定
H, I, K待定
u
1 E
(1 )
A
(1 3 )B
2(1 )B(ln
1)
2(1
)C
I
sin
K
cos
u
4B
E
H
I
cos
K
sin
左端固定：(u )0 0
0,
(u ) 0 0
0,
u
0
0
0
常数的确定：
H
I
0,
K
1 E
极坐标下的双调和方程
代入协调方程，得到应力函数U需满足
的双调和方程
2
2
1
1
2
2
2
2U
2
1
U
1
2
2U
2
0
§7-2 轴对称应力及其位移
应力函数与无关，双调和方程为
d2
d 2
1
d
d
d2 U
d 2
1
dU
d
0
4
d4 U
d 4
23
d3 U
d 3
2
d2 U
d 2
dU
问题描述 任一截面上的弯矩：
M () F cos R tan F R sin
应力函数：
U f () sin
O
m
ba
F
x
n
y
f()的求解及应力表达式
微分方程及其通解
d2
d 2
1
d
d
1
2
d2 f
弹性力学中平面问题的极坐标解答
用 r 表示，沿 方向的正应力称为 切向正应力，用 表示，剪应力用 r
表示，各应力分量的正负号的规定和 直角坐标中一样。径向及环向的体力
分量分别用 Kr 及 K 表示。如图4-1。
o
d r
r P r
x A
B K
Kr
r
r r
dr
y
dr d
r
r
Cr d
r r
dr
图4－1
考虑图示单元体的平衡，有三个平衡方程：
向位移成为多值，这是不可能的，因此，从位移单值条件必须
有B=0。 于是:
A a2
2C
qa
A b2
2C
qb
这样从上面两个方程中可解出A和C，代入应力分量表达式，
得到拉密解答：
r
b2
r2 b2
a2
1 qa
1
1
1
a2
r2 a2
b2
qb
b2
r2 b2
a2
1 qa
1
1 1
a2
r2 a2
b2
qb
下面分别讨论内压力和外压 力单独作用的情况。
两者都属于轴对
o
r
E,
r
E,
r
称应力问题，采用半
逆解法。
设圆筒的应力表达式为：
图4-8
r
A r2
2C,
A r2
2C
设无限大弹性体的应力表达式为：
r
A r2
2C,
A r2
2C
由应力边界条件求待定常数 A 、C 、A 、C。
（1）在圆筒的内表面： ( r )ra q 由此得：
A a2
§4-1 极坐标中的平衡微分方程
表示，各应力分量的正负号的规定和 直角坐标中一样。径向及环向的体力
分量分别用 Kr 及 K 表示。如图4-1。
o
d r
r P r
x A
B K
Kr
r
r r
dr
y
dr d
r
r
Cr d
r r
dr
图4－1
考虑图示单元体的平衡，有三个平衡方程：
向位移成为多值，这是不可能的，因此，从位移单值条件必须
有B=0。 于是:
A a2
2C
qa
A b2
2C
qb
这样从上面两个方程中可解出A和C，代入应力分量表达式，
得到拉密解答：
r
b2
r2 b2
a2
1 qa
1
1
1
a2
r2 a2
b2
qb
b2
r2 b2
a2
1 qa
1
1 1
a2
r2 a2
b2
qb
下面分别讨论内压力和外压 力单独作用的情况。
两者都属于轴对
o
r
E,
r
E,
r
称应力问题，采用半
逆解法。
设圆筒的应力表达式为：
图4-8
r
A r2
2C,
A r2
2C
设无限大弹性体的应力表达式为：
r
A r2
2C,
A r2
2C
由应力边界条件求待定常数 A 、C 、A 、C。
（1）在圆筒的内表面： ( r )ra q 由此得：
A a2
§4-1 极坐标中的平衡微分方程
弹性力学课件第三讲平面问题的直角坐标解答
弹性力学的基本方程
03
平衡方程
平衡方程是弹性力学的基本方程之一，它描述了弹性体在力的作用下保 持平衡状态的条件。在直角坐标系中，平衡方程可以表示为
$frac{partialsigma_{x}}{partial x} + frac{partialsigma_{y}}{partial y} + frac{partialsigma_{z}}ambdafrac{partial u}{partial x} + 2mufrac{partial v}{partial x}$
$sigma_{y} = lambdafrac{partial v}{partial y} + 2mufrac{partial u}{partial y}$
弹性地基的承载问题
总结词
弹性地基的承载问题是研究地基在垂直载荷 作用下的沉降和应力分布的问题，也是平面 问题的一个应用实例。
详细描述
在建筑、道路和桥梁建设中，地基的承载能 力是关键因素。当建筑物或道路桥梁等设施 施加垂直载荷时，地基会发生沉降。利用弹 性力学中的平面问题直角坐标解答方法，可 以分析地基的沉降和应力分布，为工程设计 和安全评估提供依据。
结论与展望
06
本讲内容的总结
01
掌握了弹性力学平面问题直角坐标解答的基本原理和方法，包括应力、 应变、位移等基本概念及其计算公式。
02
理解了弹性力学平面问题直角坐标解答的步骤和流程，包括建立平衡 方程、几何方程、物理方程等。
03
学会了如何运用数值方法求解弹性力学平面问题，如有限元法、有限 差分法等。
04
掌握了弹性力学平面问题直角坐标解答的常见问题及其解决方法，如 边界条件的处理、应力集中现象等。
弹性力学-05第五章 平面问题的复变函数解答
f ( z ) f ( z0 )
n 1
z0
（7） 设 f(z) 在以 z = z0为圆心的圆内和圆周上是解 析的，那么对圆内所有的点有泰勒级数表示：
f ( n ) ( z0 ) ( z z0 ) n n!
（8） 设 f(z) 在以 R1<|z = z0|<R2 为圆环域内处处解析的，那么可展 开成罗朗（Laurent）级数：
2
2
，可知
（5-2）
z z i, 1, y x
z i y
对式（5-1）进一步求导：
（2） 相容方程的复变函数表示 本章中用U（x , y）表示应力函数，同时 将应力函数视为复变数 z, z 的函数，即
U U ( z, z ) U U z U z U x z x z x z z U U z U z i U z y z y z z y
z x iy
(x,y) y
z x iy z (cos i sin ) ei
(i 1)
O
其中： i ——为虚数单位；
x
(x,-y)
(2) 共轭复数
——复数 z 的模； ——复数 z 的极角。
z x iy -i z (cos i sin ) e
( z ) u ( x, y ) iv( x,y) 解析的充要条件： （a） u ( x, y ), v( x, y ) 在定义域 D 上处处可微；
（b） 满足Cauchy-Riemann方程：
u v u v , x y y x
u ( x, y ), v( x, y )
(3) 复变函数的表示
n 1
z0
（7） 设 f(z) 在以 z = z0为圆心的圆内和圆周上是解 析的，那么对圆内所有的点有泰勒级数表示：
f ( n ) ( z0 ) ( z z0 ) n n!
（8） 设 f(z) 在以 R1<|z = z0|<R2 为圆环域内处处解析的，那么可展 开成罗朗（Laurent）级数：
2
2
，可知
（5-2）
z z i, 1, y x
z i y
对式（5-1）进一步求导：
（2） 相容方程的复变函数表示 本章中用U（x , y）表示应力函数，同时 将应力函数视为复变数 z, z 的函数，即
U U ( z, z ) U U z U z U x z x z x z z U U z U z i U z y z y z z y
z x iy
(x,y) y
z x iy z (cos i sin ) ei
(i 1)
O
其中： i ——为虚数单位；
x
(x,-y)
(2) 共轭复数
——复数 z 的模； ——复数 z 的极角。
z x iy -i z (cos i sin ) e
( z ) u ( x, y ) iv( x,y) 解析的充要条件： （a） u ( x, y ), v( x, y ) 在定义域 D 上处处可微；
（b） 满足Cauchy-Riemann方程：
u v u v , x y y x
u ( x, y ), v( x, y )
(3) 复变函数的表示
平面问题的极坐标解法
主
要
内
容
§ 4-1 § 4-2 § 4-3 § 4-4 § 4-5 § 4-6 § 4-7 § 4-8 § 4-9 §4-10 §4-11 §4-12
极坐标中的平衡微分方程 极坐标中的几何方程与物理方程 极坐标中的应力函数与相容方程 应力分量的坐标变换式 轴对称应力与相应的位移 圆环或圆筒受均布压力 压力隧洞 曲梁的纯弯曲 圆盘在匀速转动中的应力与位移 圆孔的孔边应力集中 楔形体的楔顶与楔面受力 半平面体在边界上受法向集中力 半平面体在边界上受法向分布力
方程（ － ）中包含三个未知量，而只有二个方程， 方程（4－1）中包含三个未知量，而只有二个方程，是一次超静定 问题，需考虑变形协调条件才能求解。 问题，需考虑变形协调条件才能求解。
§4-2 极坐标中的几何方程与物理方程
1. 几何方程
径向线段PA的相对伸长： 径向线段 的相对伸长： 的相对伸长
O
(1) 只有径向变形，无环向变形。 只有径向变形，无环向变形。
（g） ）
∂uθ uθ + dθ ∂θ
uθ A P′′ α ∂uθ dr 2 A′′ uθ +
∂r
环向线段PB的相对伸长： 环向线段 的相对伸长： 的相对伸长
εθ 2 =
∂uθ P′′B′′ − PB BB′′ − PP′′ uθ + ∂θ dθ −uθ 1 ∂uθ = = = PB PB rdθ r ∂θ
τrθ
r
σθ
θ
σθ θ =0 = 0 τrθ θ =0 = 0
σθ θ =180 = 0 τrθ θ =180 = 0
a
θ
τrθ
σr
的半圆分析，由其平衡得： 取半径为 a 的半圆分析，由其平衡得：
弹塑性力学作业(含答案)(1)
第二章 应力理论和应变理论2—3．试求图示单元体斜截面上的σ30°和τ30°（应力单位为MPa ）并说明使用材料力学求斜截面应力为公式应用于弹性力学的应力计算时，其符号及正负值应作何修正。
解：在右图示单元体上建立xoy 坐标，则知 σx = -10 σy = -4 τxy = -2 （以上应力符号均按材力的规定）代入材力有关公式得：3030cos 2sin 2221041041cos 602sin 607322226.768 6.77()104sin 2cos 2sin 602cos 6022132 3.598 3.60()2x yx yxy x yxy MPa MPa σσσσσατασστατα+-=+----+=++=--⨯+=----+=⋅+=⋅-=--⨯=--代入弹性力学的有关公式得： 己知 σx = -10 σy = -4 τxy = +23030()cos 2sin 2221041041cos 602sin 607322226.768 6.77()104sin 2cos 2sin 602cos 6022132 3.598 3.60()22x yx yxy x yxy MPa MPa σσσσσατασστατα+-=++---+=++=--⨯+=----+=-⋅+=-⋅+=⨯+⨯=由以上计算知，材力与弹力在计算某一斜截面上的应力时，所使用的公式是不同的，所得结果剪应力的正负值不同，但都反映了同一客观实事。
2—6. 悬挂的等直杆在自重W 作用下（如图所示）。
材料比重为γ弹性模量为 E ，横截面面积为A 。
试求离固定端z 处一点C 的应变εz 与杆的总伸长量Δl 。
解：据题意选点如图所示坐标系xoz ，在距下端（原点）为z 处的c 点取一截面考虑下半段杆的平衡得：c 截面的内力：N z =γ·A ·z ；c 截面上的应力：z z N A zz A Aγσγ⋅⋅===⋅； 所以离下端为z 处的任意一点c 的线应变εz 为：题图1-3zz zE Eσγε==；则距下端（原点）为z 的一段杆件在自重作用下，其伸长量为：()22z z z z z z z z y zz l d l d d zd EEEγγγε=⎰⋅∆=⎰⋅=⎰=⎰=；显然该杆件的总的伸长量为（也即下端面的位移）：()2222ll A l lW ll d l EEAEAγγ⋅⋅⋅⋅⋅=⎰∆=== ；（W=γAl ）2—9.己知物体内一点的应力张量为：σij =50030080030003008003001100-⎡⎤⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦应力单位为kg ／cm 2 。
《弹性力学》第五章 平面问题的复变函数法
令
2 2 4 P z z
于是可将方程式
4 0
变换成为
4 0 2 2 z z
(a)
4 2 (2 ) 2 P 0
由
2 P 0
可知，P是调和函数可由解析函数的实部得到。设 f(z)为解析函数，可令
1 P ( f ( z ) f ( z )) 2
E 3 (u i v) ( z ) z ' ( z ) ( z ) 1 1
这就是位移分量的复变函数表示。若已知(z)及 ψ (z)，就可以将该式右边的实部和虚部分开， 从而得出u和v。
上述公式是针对平面应力情况导出的。对于 平面应变情况，须将式中的E改换为E /(1 2 ) ， 改换为 /(1 ) 。
2
可得 或
y x 2i xy 2[ z ' ' ( z) ' ' ( z)]
y x 2i xy 2[ z ' ' ( z) ' ( z)]
只要已知(z)及ψ (z)，就可以把上述公式右 边的虚部和实部分开，由虚部得出τ xy，由实部得 出σ y-σ x。
可得
2 u E 2[ ' ( z ) ' ( z )] (1 ) 2 x x 2 2 [ ( z ) ( z )] (1 ) 2 x x
由于
并注意到
可得
同理
z z ( ) x z x z x z z z z i( ) y z y z y z z ( z) ( z) ' ( z) z z [ ( z ) ( z )] [ ( z ) ( z )] x z z ( z ) ( z ) [ ' ( z ) ' ( z )] z z i [ ( z ) ( z )] [ ( z ) ( z )] y z z ( z ) ( z ) [ ' ( z ) ' ( z )] z z
弹性力学简明教程-平面问题的极坐标解答习题详解
4第四章年面问軀的級坐标解各典型例题讲解例4T 如图所示，矩形薄板在四边受纯剪切力作用，切应力大小为q 。
如果 离板边较远处有一小圆孔，试求孔边的最大和最小正应力。
例4-1图【解】（1）根据材料力学公式，求极值应力和量大正应力的方位角％其中 = 6 = 0, q = % 得最大正应力。
税“所在截面的方位角为％若在该纯剪切的矩形薄板中，沿与板边成殳方向截取矩形ABCD,则在其边界 4上便承受集度为q的拉力和压力，如图所示。
这样就把受纯剪切作用的板看作与一对边受拉，另一对边受压的板等效。
（2）取极坐标系如图。
由a =t7 cos 2(^(1--^-)(1-3-^5-),P~ P-厂4(4-18)=-^cos2^(l + 3—XP2 2% = -q sin 2卩(1 一二)(i+3 二)・得矩形薄板ABCD内的应力分量为2 2j =gcos2°（l-爲）（1-3牛）（a）=-^ cos 2^（1+ 3^-）（b）p2 2% sin 2卩（1 - $）（1+ 3 爲）（c）其中a为小孔的半径，而孔边最大与最小正应力由式（b）,在p = a处得到兀=-q cos 2^(1 + 3—) = -4cos2©当（P = 0, Tl时，孔边最小正应力为（％）仙=一切，当申=±夕时，孔边最大正应力为（％）*乂= 4q。
分析：矩形板ABCD边界上各点的应力状态与板内无孔时的应力状态相同。
也可以应用叠加法，求解薄板的各种较复杂的平面应力（应变）问题。
习题全解4-1试比较极坐标和直角坐标中的平衡微分方程、几何方程和物理方程，指出哪些项是相似的，哪些项是极坐标中特有的？并说明产生这些项的原因。
【解】（1）极坐标，直角坐标中的平衡微分方程—+——+ ― / =0 dp p d (p p dr 1 Oq-^- + ---------- +—^ + f=0Pdcr dr.K—^ + —+ / =0dx dy ——+ —— + /v =0dy dx将极坐标中的平衡微分方程与直角坐标中的平衡微分方程相比较，第一式中, 前两项与直角坐标相似；而严项是由于正P 面上的面积大于负P 面上的面积而产生 的，-严是由于正负（P 而上的正应力％在通过微分体中心的P 方向有投影而引起的。
平面问题极坐标解答
Fx 0
0
a cos
sin ad 0
a
Fy 0
0
a sin
cos ad 0
a
MO 0
0
a ad
a
M
0
a
4.3 stress function and compatibility equation in polar coordinates
τxy=u/y+v/x中的一般规律
• 由τxy=u/y+v/x，总结出一般规律，即设有 两个正交坐标方向，一个坐标方向的位移（如 u）对另一个坐标方向（y）求导为该坐标方向 （y）线段的转角。
1. u/y--x方向的位移 u 对y坐标求导为y方向线 段的转角。
2. v/x--y方向的位移 v 对x坐标求导为x方向线 段的转角。
几何学和物理学三个方面来考虑。
直角坐标不
大方便
弹性力学 第四章
2
Polar coordinates 极坐标
• The position of a point P in polar coordinates is defined
by the radial coordinate ρand the angular coordinate φ.
极坐标中的应力函数及相容方程
1. 极坐标下的应力分量与相容方程
方法1：（步骤）
（1）利用极坐标下的几何方程，求得应变表示的相容方程：
1
2 2
1
2
1
2 ( )
（2）利用极坐标下的物理方程，得应力表示的相容方程：
2
2
1
1
2
2
(
)
0
（常体力情形）
弹性力学--平面问题的极坐标解答2
（a2） ）
uρ 1 ∂uϕ ∂uρ 1 ∂uρ ∂uϕ uϕ εϕ = + γρϕ = + − = 0 ερ = ρ ρ ∂ϕ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂ρ ρ
（a3） ）
1 ∂uρ ∂uϕ uϕ γρϕ = + − ρ ∂ϕ ∂ρ ρ
积分式（a）中的第一式，有 积分式（ ）中的第一式，
1 A uρ = −(1+µ) +2(1−µ)Bρ(ln ρ −1 +(1−3µ)Bρ ) E ρ +2(1−µ)Cρ] + f (ϕ)
o
设已知极坐标中的应力 分量 σ ρ 、 ϕ 、 ρϕ 。试求 σ τ 直角坐标中的应力分 σ τ 量 σ x 、y 、xy 。(与书 中讲解内容相反) 中讲解内容相反)
ϕ
σ ρ τ ρϕ c
a
x
A
y
σϕ
b τϕρ
τ xy
σx
图4 - 4
如图4-4，在弹性体中取微小三角板 ， 如图 ，在弹性体中取微小三角板A， 各边上的应力如图所示。三角板的厚度取为 各边上的应力如图所示。 一个单位。 边的长度为ds， 边及ac 一个单位。令bc边的长度为 ，则ab边及 边的长度为 边及 边的长度分别为 ds sin ϕ 及 ds cos ϕ 。
A
y
另取微小三角板B 如图4-4， 另取微小三角板 ，如图 ，根据平衡条 得到： 件 ∑ Fy = 0 ，得到：
σϕ
b τ
τ xy
σx
ϕρ
σ y = σ ρ sin ϕ + σ ϕ cos ϕ + 2τ ρϕ sin ϕ cos ϕ
2 2
综合以上结果， 综合以上结果，得出应力分量由极坐标向直角坐 标的变换式为： 标的变换式为：
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dr
ur
PA ur
r
y
（a）
ur
d
r
P
ur
B
B
ur d
x
dr ur
A
P
A
1
(r ur )d
ur r
dr
径向线段PA的转角：
线段PB的相对伸长：1 01来自（b）PB PB
PB
(r ur )d rd rd
ur （c） r
环向线段PB的转角：
tan 1 1
BB PP PB
(ur
剪应力 —— r、θ的正面上，与坐标方向一致
r
r
r
dr
时为正；
r、θ的负面上，与坐标方向相反
时为正。
2. 平衡微分方程
O
r
考虑微元体平衡（取厚度为1）：
Fr 0,
rrd
r dr
(r
r
d )dr
rd
d r r
B
Pr x
(r dr)d
dr
kr k
A
r
r
r
dr
( r
r
r
dr)(r
ur
d )
ur
rd
1 ur
r
（d）
径向线段PA的相对伸长：
ur
r1
r （a）
径向线段PA的转角：
1 0
（b）
环向线段PB的相对伸长：
1
ur r
（c）
环向线段PB的转角：
1
1 ur
r
剪应变为：
（d）
r 1
1
1
1 r
ur
O
d
r
P
ur
dr P
x
A
ur
ur r
dr
A
B
1
y
B
ur
ur
d
(r ur )d
第五章 平面问题的极坐标解答
要点：（1）极坐标中平面问题的基本方程： —— 平衡方程、几何方程、物理方程、
相容方程、边界条件。
（2）极坐标中平面问题的求解方法及 应用
应用：圆盘、圆环、厚壁圆筒、楔形体、半 无限平面体等的应力与变形分析。
主 要内容
§4-1 极坐标中的平衡微分方程 §4-2 极坐标中的几何方程与物理方程 §4-3 极坐标中的应力函数与相容方程
r 1 r r r r
F 0,
O
ddr rdrd krrdrd 0
r
d r r
rd B
r
kr 0
y
d
Pr x
(r dr)d
dr
kr k
A
r
r
r
C
r
r
r
d
r
r
dr dr
d
dr
dr
r
r
r
dr (r
dr)d
r rd
r
r
d
dr
d
2
r dr
d
2
k rdrd 0
r
r
kr 0
1 r
r
r
2 r
r
k
0
（4－1）
几何方程：
r
ur r
ur r
1 r
u
r
1 r
ur
u r
u r
（4－2）
物理方程：
r
1 E
( r
)
r
1 G
r
2(1 E
)
r
1 E
(
r )
（4－3） (平面应力情形)
边界条件： 位移边界条件： ur s ur , u s u
dr)d
d
dr
d
2
y
d
C
r
r
r
d
r
r
dr
dr
d
2
krrdrd 0
（高阶小量，舍去）
将上式化开：
rrd
r ddr
rrd
r
r
rdrd
rdrd
r dr2 d
r
dr
d
2
d dr d 2
dr
d
2
krrdrd
0
r rdrd r
r
drd 两边同除以 rdrd：
§4-1 极坐标中的平衡微分方程
1. 极坐标中的微元体
体力： kr , k
应力：
PA面 ,r
PB面 r , r
O
r
d r r
rd B
Pr
x
(r dr)d
dr
kr k
A
r
r
r
dr
BC面 BC面
r
r
d d
y
应力正向规定：
d
C
r
r
r
d
r
r
dr
r
r
r
dr
正应力 —— 拉为正，压为负；
两边同除以 rdrd ，并略去高阶小量：
1 r
r
r
2 r
r
k
0
M 0, r r
O
r
—— 剪应力互等定理 于是，极坐标下的平衡方程为：
d r
r
r
1 r r
r
r
kr 0
r
rd B
Pr x
(r dr)d
dr
kr k
A
r
r
r
dr
1 r
r
r
2 r
r
k
0
y
（4－1）
u
u d rd
u
1 u
r
（h）
环向线段PB的转角：
2
u r
（i）
剪应变为：
r 2
2 2
u r
u r
（j）
(3) 总应变
r r1
r2
ur r
0
ur r
1
2
ur r
1 r
u
r r1 r 2
1 r
ur
u r
u r
整理得：
r
ur r
ur r
1 r
u
r
1 r
ur
u r
u r
（4－2）
—— 极坐标下的几何方程
2. 物理方程
平面应力情形：
r
1 E
( r
)
1 E
(
r )
r
1 G
r
2(1 E
)
r
（4－3）
平面应变情形：
r
1 2
E
( r
1
)
1 2
E
(
1
r
)
r
1 G
r
2(1 E
)
r
（4－4）
弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程：
平衡微分方程：
r 1 r r r
§4-4 应力分量的坐标变换式
§4-5 轴对称应力与相应的位移
§4-6 圆环或圆筒受均布压力 压力隧洞 §4-7 曲梁的纯弯曲 §4-8 圆盘在匀速转动中的应力与位移 §4-9 圆孔的孔边应力集中 §4-10 楔形体的楔顶与楔面受力
§4-11 半平面体在边界上受法向集中力 §4-12 半平面体在边界上受法向分布力
应力边界条件： l r s m r s kr
l r
s
m
s
k
ur , u为边界上已知位移， kr , k 为边界上已知的面力分量。
（位移单值条件）
r
r
r
0
r l
q0
r 0 0
0 r 0
r ra 0 r ra 0
r rb 0 r rb 0
b
a 0 dr 0
（e）
(2) 只有环向变形，无径向变形。 O
径向线段PA的相对伸长：
r2
PA PA PA
dr dr 0 dr （f）
径向线段PA的转角：
y
d
B
B
x
r P dr
2
P
u
2
A
A u
u r
dr
2
u
u dr r
dr
u
u r
u
u
d
（g）
环向线段PB的相对伸长：
2
PB PB PB
BB PP PB
d
C
r
r
r
d
r
r
dr
方程（4－1）中包含三个未知量，而只有二个方程，是一次超静定 问题，需考虑变形协调条件才能求解。
§4-2 极坐标中的几何方程与物理方程
1. 几何方程
O
(1) 只有径向变形，无环向变形。
径向线段PA的相对伸长：
PA PA AA PP
r1
ur
PA ur dr
r
b
a r 0 dr 0
b
a 0 rdr M
lr
r
r
0 0 r 0 0
180 0 0 r 180
取半径为 a 的半圆分析，由其平衡得：
Fx 0
0 r ra cos r ra sin ad 0
Fy 0
0
r ra sin r
ur
PA ur
r
y
（a）
ur
d
r
P
ur
B
B
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x
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A
P
A
1
(r ur )d
ur r
dr
径向线段PA的转角：
线段PB的相对伸长：1 01来自（b）PB PB
PB
(r ur )d rd rd
ur （c） r
环向线段PB的转角：
tan 1 1
BB PP PB
(ur
剪应力 —— r、θ的正面上，与坐标方向一致
r
r
r
dr
时为正；
r、θ的负面上，与坐标方向相反
时为正。
2. 平衡微分方程
O
r
考虑微元体平衡（取厚度为1）：
Fr 0,
rrd
r dr
(r
r
d )dr
rd
d r r
B
Pr x
(r dr)d
dr
kr k
A
r
r
r
dr
( r
r
r
dr)(r
ur
d )
ur
rd
1 ur
r
（d）
径向线段PA的相对伸长：
ur
r1
r （a）
径向线段PA的转角：
1 0
（b）
环向线段PB的相对伸长：
1
ur r
（c）
环向线段PB的转角：
1
1 ur
r
剪应变为：
（d）
r 1
1
1
1 r
ur
O
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r
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x
A
ur
ur r
dr
A
B
1
y
B
ur
ur
d
(r ur )d
第五章 平面问题的极坐标解答
要点：（1）极坐标中平面问题的基本方程： —— 平衡方程、几何方程、物理方程、
相容方程、边界条件。
（2）极坐标中平面问题的求解方法及 应用
应用：圆盘、圆环、厚壁圆筒、楔形体、半 无限平面体等的应力与变形分析。
主 要内容
§4-1 极坐标中的平衡微分方程 §4-2 极坐标中的几何方程与物理方程 §4-3 极坐标中的应力函数与相容方程
r 1 r r r r
F 0,
O
ddr rdrd krrdrd 0
r
d r r
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r
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y
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2
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r
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k
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（4－1）
几何方程：
r
ur r
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u
r
1 r
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u r
（4－2）
物理方程：
r
1 E
( r
)
r
1 G
r
2(1 E
)
r
1 E
(
r )
（4－3） (平面应力情形)
边界条件： 位移边界条件： ur s ur , u s u
dr)d
d
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2
y
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r
r
r
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r
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（高阶小量，舍去）
将上式化开：
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2
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dr
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2
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r
drd 两边同除以 rdrd：
§4-1 极坐标中的平衡微分方程
1. 极坐标中的微元体
体力： kr , k
应力：
PA面 ,r
PB面 r , r
O
r
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x
(r dr)d
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kr k
A
r
r
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r
r
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y
应力正向规定：
d
C
r
r
r
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r
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正应力 —— 拉为正，压为负；
两边同除以 rdrd ，并略去高阶小量：
1 r
r
r
2 r
r
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0
M 0, r r
O
r
—— 剪应力互等定理 于是，极坐标下的平衡方程为：
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r
r
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r
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r
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Pr x
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dr
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r
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k
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y
（4－1）
u
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u
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r
（h）
环向线段PB的转角：
2
u r
（i）
剪应变为：
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2 2
u r
u r
（j）
(3) 总应变
r r1
r2
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0
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1
2
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1 r
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1 r
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u r
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整理得：
r
ur r
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u
r
1 r
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（4－2）
—— 极坐标下的几何方程
2. 物理方程
平面应力情形：
r
1 E
( r
)
1 E
(
r )
r
1 G
r
2(1 E
)
r
（4－3）
平面应变情形：
r
1 2
E
( r
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)
1 2
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(
1
r
)
r
1 G
r
2(1 E
)
r
（4－4）
弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程：
平衡微分方程：
r 1 r r r
§4-4 应力分量的坐标变换式
§4-5 轴对称应力与相应的位移
§4-6 圆环或圆筒受均布压力 压力隧洞 §4-7 曲梁的纯弯曲 §4-8 圆盘在匀速转动中的应力与位移 §4-9 圆孔的孔边应力集中 §4-10 楔形体的楔顶与楔面受力
§4-11 半平面体在边界上受法向集中力 §4-12 半平面体在边界上受法向分布力
应力边界条件： l r s m r s kr
l r
s
m
s
k
ur , u为边界上已知位移， kr , k 为边界上已知的面力分量。
（位移单值条件）
r
r
r
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r l
q0
r 0 0
0 r 0
r ra 0 r ra 0
r rb 0 r rb 0
b
a 0 dr 0
（e）
(2) 只有环向变形，无径向变形。 O
径向线段PA的相对伸长：
r2
PA PA PA
dr dr 0 dr （f）
径向线段PA的转角：
y
d
B
B
x
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2
P
u
2
A
A u
u r
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2
u
u dr r
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u
u r
u
u
d
（g）
环向线段PB的相对伸长：
2
PB PB PB
BB PP PB
d
C
r
r
r
d
r
r
dr
方程（4－1）中包含三个未知量，而只有二个方程，是一次超静定 问题，需考虑变形协调条件才能求解。
§4-2 极坐标中的几何方程与物理方程
1. 几何方程
O
(1) 只有径向变形，无环向变形。
径向线段PA的相对伸长：
PA PA AA PP
r1
ur
PA ur dr
r
b
a r 0 dr 0
b
a 0 rdr M
lr
r
r
0 0 r 0 0
180 0 0 r 180
取半径为 a 的半圆分析，由其平衡得：
Fx 0
0 r ra cos r ra sin ad 0
Fy 0
0
r ra sin r