同济大学夜大学位考卷4(非全日制)

学位考《高等数学》试卷 夜大函授非全日制

2006．11．

一．填空题（本题满分15分，每小题3分）

1．极限 20sin(3)

lim 9x x x →-- 的值等于__________。

2．幂级数 n n n x n ∑∝=--11

)1( 的收敛半径为 ___________R =。

3．(,)z z x y =甴 xyz z y x 2222=++ 确定，则______________z

y ∂=∂。

4．过点(1,0,0)且以向量 )1,3,2(-=n 为法向量的平面方程为_________。 5．122

1(arctan )d _________d x x x dx -+=⎰。

二．选择题（本题满分15分，每小题3分）下列每小题给出4个答案，

其中只有一个是正确的，请将正确答案的编号填入括号内。

1．函数23()3f x x x =- 的单调增加区间是 [ ]。

A ．(,)-∞+∞；

B 。(0,2)；

C 。(,0)-∞；

D 。(2,)+∞。

2．微分方程 4xy '= 的通解为 [ ]。

A ．C x +ln ；

B 。

C x +ln 41

； C ． C x +ln 4； D 。C x

+4ln 。

3．设()f x 在0x 处可导 ，且0()3f x '=，则极限000()()

lim h f x h f x h →--等于 [

]。

A ．3；

B 。3-；

C ．31

； D 。31

-。

4．函数223y x ax =++在1x =处取得极小值, 则常数 a 的值等于 [ ]。

A ．0；

B 。2；

C ．4；

D 。4-。

5．积分x xe dx ⎰

等于 [ ]。 A ．x x xe e C ++； B 。x x

xe e C -++；

C 。x x xe e C -+；

D 。x x e C -+。

三．（本题满分42 分，共6小题，每小题满分7分）

1．求极限 1lim (cos 1)x x x

→∞⋅-。.

2．计算

()D x y dxdy +⎰⎰ , 其中D 甴直线x y x y x 2,,2=== 围成.

3．求微分方程 211y y x x '+

= 满足初始条件 (1)0y = 的特解。

4．利用格林公式计算曲线积分 (sin )d (cos )d x x L I e y y x x e y x y =+++-⎰ ，其

中曲线L 为从点)0,0(O 经圆周 22(1)1x y -+= 的下半部分到点)0,2(A 的弧段。

5．设曲线2:4,(0L y x x =≤≤上任一点处的密度等于该点的横坐标，求曲线L

的质量。

6．设 n a n n 1sin )1(-= , 判定级数 1n n a

∞=∑ 与 21n n a ∞=∑ 的收敛性.

四．（本题满分5分）

证明: 当 1>x 时, 130x

+

>。

五．（本题满分23分）

1．(10分)设平面区域D 甴曲线2

x y =, 直线 4=y 及 y 轴所围成, (1)求区域D 的面积S;

(2)求区域D 绕x 轴旋转所成旋转体的体积V.

2．(6分) 求微分方程 2331y y y x '''--=+ 的一个特解*

y 。

3．(7分) 某桥梁的支撑架, 其形状如字母Y, 总高度为16米, 顶端宽度为12米, 问该支撑架的直杆与两对称斜臂的长度取何值时, 直杆与斜臂的长度之和为最小.