光学-光的衍射

菲涅耳补充：从同
一波阵面上各点发 出的子波可以相干 叠加 ——1818年
Huygens-Fresnel Principle：从同一波阵面 上各点所发出的子波，经传播而在空间某点 相遇时，也可相互迭加而产生干涉现象。
dE CK( ) dS cos(t 2r )
r
K(): 倾斜因子 C: 比例系数
屏B为80cm的观察屏上出现的衍射图样中央亮点的强 度与屏B不存在时的亮度之比。
k 2 (R r0 ) 2 ( 1 1 )
r0 R
r0 R
解：平行光照射k 2 r0
k 2 (R r0 ) 2 ( 1 1 )
P 点产生的合振动振幅等于第一半波带在该点产生振
幅之半,强度为1/4
A(P) a1 2
圆孔衍射，当孔的大小刚好等于第一个半波带时,中心
是亮点
A(P) a1
圆孔衍射，当孔的大小刚好包含前两个半波带时,中心
是暗点
A(P) a1 a2 0
一般说来，当圆孔包含奇数个半波带时，中心是 亮点；包含偶数个半波带时，中心是暗点。
P 点的合振幅
An a1 a2 a3 a4 (1)k1ak (1)n1an
每个波带的振幅
ak
K (k )
dSk rk
dSk 2 Rd 2R2 sind
在三角形OBkP中,
cos R2 (R r0 )2 rk2
2R(R r0 )
d
OR
Bk
rk
r0
P
sind rk drk
k( )
1
0
π2
对波阵面积分 E(P) dE S
E(
P)
S
CK (
r
)
cos(t
2r
)dS
P 处波的强度 I p E02( p)
说明
(1) 对于一般衍射问题，用积分计算相当复杂，
实际中常用半波带法和振幅矢量法分析。
(2) 惠更斯—菲涅耳原理在惠更斯原理的基础上 给出了次波源在传播过程中的振幅变化及位 相关系。
R(R r0 )
由以上几式可得
drk / 2
dSk
2Rrk drk
R r0
dSk R
rk R r0
任一半波带的面积和它到P点的距离之比是与k无关的
各半波带在P点的振幅区别只与倾斜因子有关
0 K ( ) 1 cos
2
/ 2 K ( ) 0
近似有
ai
ai1 2
ai1 2
位置和大小以及P点的位置。
（3）
A(P) a1 an 22
当置于P 处的屏沿着轴线移动时，将看到屏上的 光强不断地变化：在某些点较强，在某些点较弱。
如果改变圆孔的位置和圆孔的半径，给定观察点 的光强也将发生变化。
自由空间传播的球面波 an 0
球面波自由传播（无光阑）时,整个波面上各次波源在
r0 R
r0
2 k
r0
1 k
2103 mm
前三个光强极大 k 1,3,5 r0 2.0m,0.67m,0.4m
前三个光强极小 k 2,4,6 r0 1.0m,0.5m,0.33m
屏沿着轴线移动时，将看到屏百度文库的光强不断地变化：在某些点较强，在某些点较弱。
例2 波长450nm的单色平行光投射到不透明的屏B上， 屏上有半径为0.6mm的圆孔及一个与圆孔同心的环形 缝，其内外半径分别为0.6 2mm和 0.6 3mm。求在距衍射
an1 2
an
n为偶数
An
(P)
a1 2
an 2
An (P)
a1 2
an1 2
an
n 为奇数 n 为偶数
A(P) a1 an 22
A(P) a1 an 22
§2-3 Fresnel Diffraction （圆孔和圆屏)
一、圆孔衍射（Circular Aperture）
将一束光投射在一个小圆孔上，在距孔1～2m处 放置一块毛玻璃屏，观察小圆孔的衍射花样。
2 k
rk2
(r0
h)2
rk2 r02 2r0h h2
rk2 r02 2r0h
（1）
rk2
r02
r0
(
k 2
)
2
r02
kr0
( k )2 2
kr0
（2）
还有关系
2 k
R2
(R
h)2
rk2
(r0
h) 2
2Rh h2 rk2 r02 2r0 h h 2
h rk2 r02
Fresnel Diffraction：光源
和屏幕距衍射孔均为
有限远
Fraunhofer Diffraction：光源
和屏幕距衍射孔均为
无限远
三、Huygens-Fresnel原理
惠更斯：光波阵面
上每一点都可以看 作新的子波源，以 后任意时刻，这些 子波的包迹就是该 时刻的波阵面。
——1690年
解释不了光强分布！
衍射图样中心强度随孔径的增大而亮暗交替变化。
例1 不透明的屏上有一个直径为2mm的圆孔，用波长
为500nm的单色平行光垂直入射到小孔上。沿其中心
轴线移动一小探头可测光强。试计算观察到前三个光
强极大值和极小值的位置。
解：平行光照明时 R
k 2 (R r0 ) 2 ( 1 1 )
r0 R
各半波带在P点的振幅是 一个单调下降的收敛数列
a1 a2 a3... an
An a1 a2 a3 a4 (1)n1an
An (P)
a1 2
( a1 2
a2
a3 2
)
( a3 2
a4
a5 2
)
...
( an2 2
an1
an 2
)
an 2
n为奇数
( an3 2
an2
an1 ) 2
第二章 光的衍射
Diffraction of light
波的衍射 光的衍射：光能绕过障碍物 偏离直线路径传播的现象。
要求其线度与光的波长同量级
§2-1 光的衍射现象 Huygens-Fresnel原理
一、实验现象
1 单缝衍射
缝较大时，光是直线传播的 缝很小时，衍射现象明显
2 圆孔衍射
S*
二、两种衍射
2(R r0 )
将（2）和（3）代入（1）
2
2 k
rk2
r02
2r0
rk2 r02 2R(R r0 )
kr0
r0kr0
(R r0 )
kr0 (1
(R
r0
) r0 )
k
r0 R R r0
k 2 (R r0 ) 2 ( 1 1 )
r0 R
r0 R
露出的波带数取决于波长、圆孔的
§2-2 Fresnel半波带法
一.Fresnel半波带
各半波带在P点的振幅ai 相邻带在P点产生的振动位相相反 依据菲涅耳-基尔霍夫积分 P点的合振动决定于波带面积、距离、倾斜因子
二
合振幅的计算
E
(
P)
S
CK (
r
)
cos(t
2r
)dS
各半波带发出的次波在P 点产生的振幅
a1, a2,, ak ,an