平摆线

3、教学目标

情感、态度与价值观目标 通过合作学习，学生间、师生间的相互交流，感 受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与 严谨，逐步养成质疑的科学精神。 了解摆线在实际中的应用实例，展现人文数学精 神，体现数学文化价值及其在社会进步、人类文 明发展中的重要作用。 学会欣赏各种各样的曲线，感受数学美，进行数 学审美教育，提高学生学习数学的积极性。
参数方程中曲线欣赏
———平摆线
一、教材分析
1、教材的地位和作用

“参数方程中曲线欣赏——平摆线、圆的渐开线” 这节教材是选修4-4的第4.4节，它是在学生学习了 坐标系和参数方程的基础上，要学生学会欣赏各种 各样的曲线，如平摆线、渐开线、心脏线等，并体 会参数对研究这些曲线的作用。这节教材中，数与 形的结合、相对与绝对、运动与变化、分解与综合 等思想方法十分突出，对学生辨证地认识世界以及 形成研究的态度意义重大。

平行轴齿轮传动机构（圆柱齿轮传动机构）
直齿
斜齿
齿轮齿条
内齿轮
交错轴齿轮传动机构
斜 齿
蜗杆蜗轮
4、摆线的性质
最速降线 等时曲线

三、小结
1、摆线是研究一个动圆在一条曲线（基线）上滚动时， 动圆上一点的轨迹。当基线是直线时，就得到平摆线或 变幅平摆线。平摆线的参数方程为：
x r ( sin ), ( 为 参 数 ) y r (1 co s ).
２、教学内容

本节课的主要教学内容是借助教具和计算 机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点 的轨迹（平摆线），了解平摆线的生成过 程，并能推导出它们的参数方程。通过 “阅读”，了解其他摆线的生成过程，了 解摆线在实际中的应用实例。
3、教学目标


知识技能目标 了解平摆线的生成过程，并能推导出它们的参数方程。 过程性目标 通过学生积极参与，亲身经历平摆线的生成过程及曲 线方程的获得过程，体会坐标系和参数方程的作用和意 义，渗透数形结合的数学思想. 通过自主探索、合作交流，学生历经先想一想，再实 际操作，最后追究其道理，完善认知结构. 通过在直观的基础上分析、抽象、论证、推导，层层 深入，培养学生的创新思维和发散思维的能力，体会参 数对研究平摆线、渐开线的作用.
直齿
斜齿
曲线齿
准双曲面齿轮
A
B
我们把定点P的轨迹叫做平摆线，又叫旋wk.baidu.com线。
2、平摆线的参数方程
取定直线为X轴， y 定点P滚动时落在 A 定直线上的一个 P C 位置为原点，建 所以，平摆线的参数方程为： O D E x 立直角坐标系。 B 设圆的半径为r。 x r ( sin ), ( 为 参 数 ) 设P(x,y)是轨迹上任意一点，此时圆转过 角，圆心位于A点， y r (1 co s ). ，作AB⊥Ox，PD⊥Ox，PC⊥AB。 则∠BAP=
由题意，OB=BP=r

那么，x=OD=OB-DB=OB-PC=r( -sin ) y=DP=BA-CA=r (1 -cos )
2、平摆线的参数方程
y A
P O D
C
B
E
x
平摆线的参数方程为： x r ( sin ), ( 为 参 数 )
思考1：在平摆线的参数方程中，参数 的取值范围 是什么？一个拱的宽度与高度各是什么？
4、教学重点，难点

本节课的教学重点是了解平摆线的生成 过程，并推导出它的参数方程。难点是 摆线参数方程的推导。
二、教法分析：探究发现教学法.
遵循以学生为主体，教师为主导，发展为主旨的现 代教育原则，以问题的提出、问题的解决为主线， 始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，通过 学生主动探索、积极参与、共同交流与协作，在教 师的引导和合作下，学生“跳一跳”就能摘得果实， 于问题的分析和解决中实现知识的建构和发展，通 过不断探究、发现，让学习过程成为心灵愉悦的主 动认知过程，使师生的生命活力在课堂上得到充分 的发挥。
2、当基线是圆且动圆在定圆内滚动时，就得到内摆线 或变幅内摆线。 当基线是圆且动圆在定圆外滚动时，若两圆外切，就得 到外摆线或变幅外摆线。 3、参数方程在研究摆线中的作用
四、作业
P54、10 搜集有关摆线的应用实例。 借助P50“阅读”，探究变幅内、外摆线的 参数方程。

曲齿
人字齿
相交轴齿轮传动机构（圆锥齿轮传动机构）
y r (1 co s ).
思考2：若点Q在半径AP上，且AQ=r/2，当圆滚动时， 点Q的轨迹是什么？
3、摆线
摆线是研究一个动圆在一条曲线（基线） 上滚动时，动圆上一点的轨迹。 当基线是直线时，就得到平摆线或变幅平 摆线。

当基线是圆且动圆在定圆内滚动时，就得到 内摆线或变幅内摆线。 当基线是圆且动圆在定圆外滚动时，若两圆 外切，就得到外摆线或变幅外摆线。
三、学法指导：研讨式学习法
教学矛盾的主要方面是学生的学。学是中心，会学是目的。 因此，在教学中要不断指导学生学会学习。这节课主要是 教给学生“动手做，动脑想；严格证，勤钻研。”的研讨 式学习方法。这样做，增加了学生主动参与的机会，增强 了参与意识，教给学生获取知识的途径；思考问题的方法。 使学生真正成为教学的主体。也只有这样做，才能使学生 “学”有新“思”，“思”有所“得”，“练”有所 “获”。学生才会逐步感到数学美，会产生一种成功感， 从而提高学生学习数学的兴趣；也只有这样做，才能适应 素质教育下培养“创新型”人才的需要。
四、教学过程
思考： 如果在自行车的轮子上喷一个 白色印记，那么自行车在笔直的道 路上行使时，白色印记会画出什么 样的曲线？
1、平摆线的定义
上述问题抽象成数学问题就是：
当一个圆沿着一条定直线 无滑动地滚动时， 圆周上一个定点P的 轨迹是什么？
P O
平摆线在它与定直线的 两个相邻交点之间的部分 叫做一个拱。