平摆线
高中数学《参数方程-平摆线和渐开线》课件
5.求摆线
= 2(-sin),
(0≤t<2π)与直线 y=2 的交点的直角坐标.
= 2(1-cos)
π
2
3
2
解:当 y=2 时,2=2(1-cos t),∴cos t=0.∵0≤t<2π,∴t= 或 π,
∴x1=2
2
π
π
;2.
∴交点的直角坐标为(π-2,2),(3π+2,2).
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一
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
二
自主思考 2 圆的渐开线和摆线的参数方程不宜化为普
通方程吗?
提示:用参数方程描述运动规律时,常常比用普通方程更为直接、简便.
有些重要但较复杂的曲线(例如圆的渐开线),建立它们的普通方程比较困
UITANG LIANXI
探究三
探究一 求平摆线的参数方程
求平摆线的参数方程,只需由题意求出圆的半径 r 即可.
【典型例题 1】 平面直角坐标系中,若圆的摆线过点(1,0),求这条摆线
的参数方程.
= (-sin),
思路分析:根据圆的摆线的参数方程的表达式
(φ 为参
= (1-cos)
数),可知只需求出其中的 r,也就是说,摆线的参数方程由圆的半径唯一确定,
因此只需把点(1,0)代入参数方程求出 r 值再代入参数方程的表达式.
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探究一
探究二
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
探究三
解:令 r(1-cos φ)=0,可得 cos φ=1.所以 φ=2kπ(k∈Z),代入可得
参数方程与摆线
参数方程与摆线物理学中的物体运动方程,在数学上就是参数方程。
参数方程对于解决实际问题具有重要意义。
本专题将介绍参数方程的基本概念，给出参数方程的一个重要实例——摆线。
摆线是一类十分重要的曲线，可以分为平摆线、圆摆线、渐开线三大类。
我们常见的大部分曲线都可以看成是摆线的特例，如星形线、心脏线、阿基米德螺线、玫瑰线等等。
摆线也是很有用的一类曲线,如最速降线就是平摆线；工厂中常用的齿轮通常是渐开线或圆摆线；公共汽车的两折门利用了星形线的原理。
再如像收割机、翻土机等许多农业机械和工厂中的车床等,大都采用的是摆线原理。
而且，摆线在天文中也有重要应用，行星相对地球的轨迹、月亮相对太阳的轨迹都可以看作是摆线。
本专题主要内容是参数方程与摆线，摆线可以利用向量方法通过参数方程表示出。
因此本专题可以看成是“解析几何初步”“平面向量”“三角函数”等内容的综合应用和进一步深化。
本专题首先介绍了曲线的一般表示方法，阐述了坐标系的类型和曲线方程的表现形式。
这些内容是“解析几何初步”等内容的补充和完善，也是摆线内容的必备基础。
通过对本专题的学习，学生将掌握参数方程的基本概念，了解曲线的表现形式，体会从实际问题中抽象出数学问题的过程，培养探究数学问题的兴趣和能力。
通过对天体轨道方程的学习和对摆线应用的了解，学生将体会到数学在实际中的应用价值，提高应用意识和实践能力。
通过对摆线的探索，学生将树立辨证统一的观点，提高数学抽象能力，发展创新精神。
内容与要求1. 参数方程（1）坐标与曲线方程（2）曲线的一般方程——隐式方程；——参数方程；——参数化与隐式化简介。
（3）特殊的参数方程（4）参数方程的参数变换①回顾直角坐标系的概念, 回顾(显式)曲线方程实例,比如抛物线y=x2等。
②给出曲线的显式、隐式和参数方程的定义，说明显式方程是隐式方程的特例，并通过实例(如圆等)，指出隐式方程和参数方程才是曲线的一般方程，介绍隐式方程和参数方程各自的优缺点，说明参数化与隐式化的作用。
平摆线和渐开线
︵
从上述分析可以看到，在圆周沿定直线无滑动滚动的过
程中，圆周上定点M的位置可以有圆心角φ惟一确定，因
此以φ为参数是非常自然的. 摆线的参数方程也不能化为普通方程.
自主预习
讲练互动
课堂达标
【例1】 已知一个圆的摆线过一定点(1，0)，请写出该摆线的
参数方程.
解 根据圆的摆线的参数方程的表达式 (φ 为参数)可知，只需求
x＝r（φ－sin φ）， y＝r（1－cos φ）
出其中的 r，也就是说，摆线的参数方程由圆 的半径唯一来确定，因此只需把点(1，0)代入 参数方程求出 r 值再代入参数方程的表达式.
自主预习
讲练互动
课堂达标
令 r(1－cos φ)＝0 可得 cos φ＝1， 所以 φ＝2kπ (k∈Z)代入可得 x＝r(2kπ－sin 2kπ)＝1. 1 所以 r＝ .又根据实际情况可知 r 是圆的半径，故 r>0. 2kπ 所以，应有 k>0 且 k∈Z，即 k∈N＋. 1 x＝2kπ（φ－sin φ）， 所以，所求摆线的参数方程是 y＝ 1 （1－cos φ） 2kπ (φ 为参数) (其中 k∈N＋).
解
π xM＝r· θ－r· cos（φ＋θ）－2＝r[θ－sin(φ＋θ)]，
π yM＝r＋r· sinφ＋θ－2＝r[1－cos(φ＋θ)].
自主预习
讲练互动
课堂达标
题型二
圆的渐开线
渐开线要从其生成过程理解其简单性质， 体会渐开线上 动点所满足的几何条件， 建立渐开线参数方程的关键是 将“切线 BM 的长就是AB的长”用坐标表示出来. 渐开线的参数方程不能化为普通方程.
自主预习
平摆线与渐开线
B
OA 同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件。
线段OA的长等于MA的长，即OA r。
我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。
2、摆线的参数方程
M
B
OA
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定 直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系。设圆的半径为r。
因而向量e2 (sin, cos )是与向量BM同方向的单位向量。
所以 | BM | (r )e2 ,即
| BM | (x r cos, y r sin) r(sin, cos)
解得
x
y
r(cos r (sin
sin ) cos )
(是参数)。
这就是圆的渐开线的参数方程。
2、渐开线的参数方程
y
x y
r(cos r (sin
sin ) cos )
(是参数)。
M
B
O
A
x
渐开线的应用：
在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。
由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便， 因此大多数齿轮采用这种齿形。
设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。
y DM AC AB CB r r cos.
3、摆线的参数方程
M
B
OA y
B
M C
OD
A
Ex
摆线的参数方程为：xy
r( sin), r(1 cos).
(为参数)
2.5渐开线及其参数方程
1、渐开线的定义
探究：
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的 外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。
高考数学平摆线和渐开线
自主预习
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1.平摆线定义
一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把 圆周上一定点的运动轨迹叫作_平__摆__线__ (或旋轮线). 当圆滚动半周时，过定点M的半径转过的角度是π，点M 到达最高点(_π_r_，__2_r_) ，再滚动半周，点M到达(_2_π_r_，__0_) ， 这时圆周和x轴又相切于点M，得到平摆线的一拱.圆滚 动一周时，平摆线出现一个周期. 平摆线上点的纵坐标最大值是_2_r_，最小值是_0_，即平 摆线的拱高为_2_r _.
＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ)).
又O→M＝(x，y)，因此有xy＝＝44（（csions
θ＋θsin θ－θcos
θ）， θ）
这就是所求圆的渐开线的参数方程.
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【反思感悟】 关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知 识和三角的有关知识建立等式关系. 用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤： (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为 M(x，y). (2)取定运动中产生的某一角度为参数. (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式. (4)用向量运算得到O→M的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的 参数方程.
课堂达标
题型一 平摆线 在分析平摆线上动点满足的几何条件时，关键是正确理解 “一个圆沿一条定直线无滑动地滚动”的意思.如图所示，假 设圆周上定点 M 的起始位置是圆与定直线的切点 O，圆保持 与定直线相切向右滚动，点 M 就绕圆心 B 作圆周运动.如果 点 M 绕圆心 B 转过 φ 弧度后，圆与直线相切于 A，那么线段
自主预习
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2.4、2.5平摆线及其参数方程;平摆线及其参数方程
x＝cos 得 y＝sin
π π ＋ sin 2 2 π π － cos 2 2
π π ＝ ， 2 2 π ＝1. 2
数学 选修4-4(F版)
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课堂·互动探究
反馈·当堂达标
课后·自主演练
π ∴A2，1 .
将 θ＝π
x＝cos θ＋θsin 代入 y＝sin θ－θcos
课堂互动探究数学选修44f版课前自主学习反馈当堂达标课后自主演练设圆的半径为8沿x轴正向滚动开始时圆与x轴相切于原点o记圆上动点为m它随圆的滚动而改变位置写出圆滚动一周时点m的轨迹方程画出相应曲线求此曲线上纵坐标y的最大值说明该曲线的对称轴
第2章 参数方程
2.4 2.5
平摆线及其参数方程 渐开线及其参数方程
的柔顺细线，在此细线的外端系上一支铅笔，把此线拉紧保持
相切 与此圆__________ 地逐渐展开，铅笔画出的曲线称为此圆周的
基圆 渐开线，此圆称为渐开线的__________.
x＝rcos θ＋θsin θ， y＝rsin θ－θcos θ (2)圆渐开线的参数方程：___________________.
θ， θ 为参数． θ，
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x＝cos π 当 θ＝ 时， 2 y＝sin
π π ＋ sin 2 2 π π － cos 2 2
π π ＝ ， 2 2 π ＝1. 2
π ∴A2，1 .
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圆的平摆线、渐开线参数方程的应用
设圆的半径为8，沿x轴正向滚动，开始时圆与x轴 相切于原点 O，记圆上动点为 M ，它随圆的滚动而改变位置，
平摆线
平行轴齿轮传动机构（圆柱齿轮传动机构）
直齿
斜齿
齿轮齿条
内齿轮
交错轴齿轮传动机构
斜 齿
蜗杆蜗轮
4、摆线的性质
最速降线 等时曲线
三、小结
1、摆线是研究一个动圆在一条曲线（基线）上滚动时，
动圆上一点的轨迹。当基线是直线时，就得到平摆线或
变幅平摆线。平摆线的参数方程为：
x
y
r( sin), r(1 cos).
(为参数)
2、当基线是圆且动圆在定圆内滚动时，就得到内摆线 或变幅内摆线。 当基线是圆且动圆在定圆外滚动时，若两圆外切，就得 到外摆线或变幅外摆线。
3、参数方程在研究摆线中的作用
四、作业
P54、10 搜集有关摆线的应用实例。 借助P50“阅读”，探究变幅内、外摆线的
是什么？一个拱的宽度与高度各是什么？
思考2：若点Q在半径AP上，且AQ=r/2，当圆滚动时， 点Q的轨迹是什么？
3、摆线
摆线是研究一个动圆在一条曲线（基线） 上滚动时，动圆上一点的轨迹。
当基线是直线时，就得到平摆线或变幅平 摆线。
当基线是圆且动圆在定圆内滚动时，就得到 内摆线或变幅内摆线。
4、教学重点，难点
本节课的教学重点是了解平摆线的生成 过程，并推导出它的参数方程。难点是 摆线参数方程的推导。
二、教法分析：探究发现教学法.
遵循以学生为主体，教师为主导，发展为主旨的现 代教育原则，以问题的提出、问题的解决为主线， 始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，通过 学生主动探索、积极参与、共同交流与协作，在教 师的引导和合作下，学生“跳一跳”就能摘得果实， 于问题的分析和解决中实现知识的建构和发展，通 过不断探究、发现，让学习过程成为心灵愉悦的主 动认知过程，使师生的生命活力在课堂上得到充分 的发挥。
平摆线
y r (1 co s ).
思考2：若点Q在半径AP上，且AQ=r/2，当圆滚动时， 点Q的轨迹是什么？
3、摆线
摆线是研究一个动圆在一条曲线（基线） 上滚动时，动圆上一点的轨迹。 当基线是直线时，就得到平摆线或变幅平 摆线。
当基线是圆且动圆在定圆内滚动时，就得到 内摆线或变幅内摆线。 当基线是圆且动圆在定圆外滚动时，若两圆 外切，就得到外摆线或变幅外摆线。
三、学法指导：研讨式学习法
教学矛盾的主要方面是学生的学。学是中心，会学是目的。 因此，在教学中要不断指导学生学会学习。这节课主要是 教给学生“动手做，动脑想；严格证，勤钻研。”的研讨 式学习方法。这样做，增加了学生主动参与的机会，增强 了参与意识，教给学生获取知识的途径；思考问题的方法。 使学生真正成为教学的主体。也只有这样做，才能使学生 “学”有新“思”，“思”有所“得”，“练”有所 “获”。学生才会逐步感到数学美，会产生一种成功感， 从而提高学生学习数学的兴趣；也只有这样做，才能适应 素质教育下培养“创新型”人才的需要。
4、教学重点，难点
本节课的教学重点是了解平摆线的生成 过程，并推导出它的参数方程。难点是 摆线参数方程的推导。
二、教法分析：探究发现教学法.
遵循以学生为主体，教师为主导，发展为主旨的现 代教育原则，以问题的提出、问题的解决为主线， 始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，通过 学生主动探索、积极参与、共同交流与协作，在教 师的引导和合作下，学生“跳一跳”就能摘得果实， 于问题的分析和解决中实现知识的建构和发展，通 过不断探究、发现，让学习过程成为心灵愉悦的主 动认知过程，使师生的生命活力在课堂上得到充分 的发挥。
2、当基线是圆且动圆在定圆内滚动时，就得到内摆线 或变幅内摆线。 当基线是圆且动圆在定圆外滚动时，若两圆外切，就得 到外摆线或变幅外摆线。 3、参数方程在研究摆线中的作用
《2.4.1 摆线的参数方程》教学案3
《2.4.1 摆线的参数方程》教学案3教学目标1．了解平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程． 2．了解平摆线和渐开线在实际中的作用．教学过程知识梳理 一、平摆线 1．平摆线(旋轮线)一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把圆周上一定点的运动轨迹叫作______(或旋轮线)，如图．2．平摆线(旋轮线)的参数方程半径为r 的圆的平摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ ，y ＝ (－∞＜α＜＋∞)．3．平摆线的性质当圆滚动半周时，过定点M 的半径转过的角度是π，点M 到达最高点____，再滚动半周，点M 到达______，这时圆周和x 轴又相切于点M ，得到平摆线的一拱．圆滚动一周时，平摆线出现一个周期．平摆线上点的纵坐标最大值是____，最小值是____，即平摆线的拱高为____．【做一做1】已知一个圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．那么圆的平摆线方程中与参数φ＝π2对应的点A 与点B ⎝⎛⎭⎫32π，2之间的距离为( )． A ．π2－1 B ． 2 C ．10 D ．32π－11．圆的平摆线的参数方程中的参数的几何意义剖析：根据圆的平摆线的定义和建立参数方程的过程，可以知道其中的字母r 是指圆的半径，参数α是过圆周上点M 的半径与过圆与x 轴切点的半径的夹角．参数的几何意义可以在解决问题中加以引用，简化运算过程．当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情况．答案： 一、1．平摆线2．r (α－sin α) r (1－cos α) 3．(πr,2r ) (2πr,0) 2r 0 2r【做一做1】C 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的平摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3 φ－sin φ ，y ＝3 1－cos φ (φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝⎛⎭⎫π2－1，y ＝3即A ⎝⎛⎭⎫3⎝⎛⎭⎫π2－1，3.∴|AB |＝⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫π2－1－32π2＋ 3－2 2＝10.二、1．相切 渐开线 基圆2．r (cos φ＋φsin φ) r (sin φ－φcos φ)【做一做2－1】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4 cos φ＋φsin φ ，y ＝4 sin φ－φcos φ (φ为参数) r ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4 cos φ＋φsin φ ，y ＝4 sin φ－φcos φ (φ为参数)． 【做一做2－2】5π2－4π＋82 当φ＝π2时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos π2＋π2sin π2＝π2，y ＝sin π2－π2cos π2＝1，∴A ⎝⎛⎭⎫π2，1.当φ＝π时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos π＋πsin π＝－1，y ＝sin π－πcos π＝π，∴B (－1，π)．∴|AB |＝⎝⎛⎭⎫π2＋12＋ 1－π 2＝54π2－π＋2＝5π2－4π＋82.题型一 求平摆线的参数方程【例1】已知一个圆的平摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该平摆线的参数方程．分析：根据圆的平摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r φ－sin φ ，y ＝r 1－cos φ (φ为参数)，只需把点(2,0)代入参数方程求出r 的表达式，根据表达式求出r 的最大值，再确定对应的平摆线的参数方程即可．反思：要熟知平摆线的参数方程及每个字母的含义． 题型二 求渐开线的参数方程【例2】求半径为10的基圆的渐开线的参数方程． 分析：代入参数方程公式即可．反思：求渐开线的参数方程，只需知道半径即可． 题型三 平摆线、渐开线的参数方程的应用【例3】求平摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －sin t ，y ＝1－cos t (0≤t ＜2π)与直线y ＝1的交点的直角坐标．分析：利用参数方程求出t 的三角函数值，从而求出点的坐标． 反思：解此类题，应明确相应参数的意义． 答案：【例1】解：令y ＝0，可得r (1－cos φ)＝0，由于r ＞0， 即得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )． 代入x ＝r (φ－sin φ)，得x ＝r (2k π－sin 2k π)． 又因为x ＝2，所以r (2k π－sin 2k π)＝2， 即得r ＝1k π(k ∈N ＋)．易知，当k ＝1时，r 取最大值为1π.代入即可得圆的平摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1πφ－sin φ ，y ＝1π 1－cos φ(φ为参数)．【例2】解：∵r ＝10，∴参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10 cos φ＋φsin φ ，y ＝10 sin φ－φcos φ (φ为参数)．【例3】解：由题意知，y ＝1－cos t ＝1，∴cos t ＝0， ∴sin t ＝1.∴t ＝2k π＋π2(k ∈Z )， 又∵0≤t ＜2π，∴t ＝π2.∴x ＝π2－1.∴交点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫π2－1，1.1半径为2的圆的渐开线方程是( )． A ．=2cos sin =2sin cos x y ϕϕϕϕϕϕ+⎧⎨-⎩（）,（）(φ为参数)B ．=2cos ,=2sin x y ϕϕ⎧⎨⎩(φ为参数)C ．=2sin ,=2cos x y ϕϕϕϕ⎧⎨-⎩(φ为参数)D ．()()2sin cos ,2cos sin x y ϕϕϕϕϕϕ=-⎧⎪⎨=+⎪⎩(φ为参数)2半径为4的圆的平摆线参数方程为( )．A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ，y ＝4sin φ(φ为参数)B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4cos φ，y ＝－4sin φ(φ为参数)C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4 φ－sin φ ，y ＝4 1－cos φ (φ为参数)D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4 1－sin φ ，y ＝4 φ－cos φ(φ为参数)3面积为36π的圆的平摆线参数方程为__________． 4已知圆C 的参数方程是=16cos ,=26sin x y αα+⎧⎨-+⎩(α为参数)，直线l 对应的普通方程是x －y－62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，请判断平移后圆和直线的位置关系？(2)写出平移后圆的平摆线方程． (3)求平摆线和x 轴的交点． 答案： 1．A2．C 把r ＝4代入平摆线参数方程即可．3．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6 φ－sin φ ，y ＝6 1－cos φ (φ为参数) S ＝36π，∴r ＝6. ∴平摆线参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6 φ－sin φ ，y ＝6 1－cos φ (φ为参数)．4．解：(1)圆C 平移后圆心为O (0,0)，它到直线x －y －62＝0的距离为d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆相切．(2)由于圆的半径是6，所以平摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6 φ－sin φ ，y ＝6 1－cos φ (φ为参数)．(3)令y ＝0，得6－6cos φ＝0⇒cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )．则x ＝12k π(k ∈Z )，即圆的平摆线和x 轴的交点为(12k π，0)(k ∈Z )．。
高中数学第二章参数方程24平摆线和渐开线课件北师大版选修4
π
5．圆的渐开线 y＝ 2（sint－tcost）
(t 为参数)上与 t＝ 4
对应的点的直角坐标为________．
第26页
ππ 答案 (1＋ 4 ，1－ 4 )
π
ππ π
π
解析 t＝ 4 时 x＝ 2(cos 4 ＋ 4 sin 4 )＝1＋ 4 ，
ππ π
π
y＝ 2(sin 4 － 4 cos 4 )＝1－ 4 .
复习课件
高中数学第二章参数方程24平摆线和渐开线课件北师大版选修4
2021/4/17
高中数学第二章参数方程24平摆线和渐开线课件北师大版 选修4
§4 平摆线和渐开线
第2页
知识探究
第3页
1.平摆线 (1)平摆线的定义： 一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把圆周 上一定点的运动轨迹叫作平摆线，又叫旋轮线．
线的拱高为________．
答案 4 解析 圆的半径 r＝2，所以拱高 2r＝4.
第24页
4．已知圆的半径为 3，圆心在原点，动点的初时位置在 x 轴
正半轴上，则圆的渐开线方程为________．
x＝3（cosφ＋φsinφ），
答案
(φ 为参数)
y＝3（sinφ－φcosφ）
第25页
x＝ 2（cost＋tsint），
所以 φ＝2kπ(k∈Z)代入可得 x＝r(2kπ－sin2kπ)＝1.
第10页
所以 r＝2k1π. 又 r>0.所以，应有 k>0 且 k∈Z， 即 k∈N＋. 所以，所求平摆线的参数方程是 x＝2k1π（φ－sinφ）， y＝2k1π（1－cosφ） (φ 为参数)(其中 k∈N＋)．
第11页
ug平摆线方程
ug平摆线方程ug平摆线方程是一种重要的数学模型，它在物理学、工程学和计算机图形学等领域有广泛的应用。
平摆线是指一个物体在重力作用下，在一定条件下做的摆动轨迹。
它的形状独特且美观，具有一定的几何特性和数学规律。
平摆线的方程可以通过参数方程或者直角坐标方程来表示。
在这里，我将介绍ug平摆线方程的直角坐标方程表示方法。
我们来看一下ug平摆线的几何特性。
ug平摆线是指一个长度为2a 的细线一端固定在平面上的一点O，另一端绕O点做匀速旋转运动，同时在细线的延长线上有一个质点P，质点P受到重力作用，在细线的张力的作用下做摆动。
这样，质点P的轨迹就是ug平摆线。
为了描述ug平摆线的形状，我们需要引入一些参数。
首先，我们定义细线与水平方向的夹角为θ，细线的长度为2a。
接下来，我们来推导ug平摆线的直角坐标方程。
假设细线在x轴上的投影为x，y轴上的投影为y。
根据三角函数的定义，我们可以得到如下关系：x = a(θ - sinθ)y = a(1 - cosθ)通过这两个方程，我们可以计算出ug平摆线上任意一点的坐标。
这个方程的推导过程比较复杂，但是我们可以通过数值方法或者计算机程序来计算出ug平摆线上的各个点的坐标。
接下来，我们来看一下ug平摆线的几何性质。
首先，ug平摆线是一个闭合曲线，它的形状类似于一个钟摆。
其次，ug平摆线对称于y轴，即在y轴上的点与其对称点的坐标相同。
此外，ug平摆线的长度是2πa，其中π是圆周率。
ug平摆线的应用非常广泛。
在物理学中，ug平摆线可以用来描述钟摆的运动，研究钟摆的周期和频率。
在工程学中，ug平摆线可以应用于机械装置的设计和优化，例如钟摆驱动的钟表和摆线传动装置等。
在计算机图形学中，ug平摆线可以用来生成平滑曲线，用于绘制曲线和曲面。
ug平摆线方程是一种重要的数学模型，它具有独特的几何特性和数学规律。
通过ug平摆线方程，我们可以描述和研究ug平摆线的形状和性质。
ug平摆线在物理学、工程学和计算机图形学等领域有广泛的应用，对于理解和解决实际问题具有重要的意义。
平摆线绕y轴的侧面积
平摆线绕y轴的侧面积1. 介绍平摆线是一种特殊的曲线，它可以由一个固定在竖直平面上的杆上的重物在重力作用下摆动而成。
平摆线的形状非常有趣，它不仅具有美丽的几何性质，还在数学和物理领域中有广泛的应用。
本文将探讨平摆线绕y轴旋转时所形成的侧面积。
我们将从定义、性质以及计算方法等方面进行详细介绍，并给出具体的例子和应用。
2. 定义平摆线是指一个铅垂线上悬挂一根不可伸长且质量均匀分布的杆，在重力作用下产生周期性运动形成的曲线。
这个曲线被称为平摆线，也叫做钟形曲线或链锁曲线。
具体来说，我们可以通过以下方式得到平摆线：1.假设一根长度为L、质量均匀分布在直线上的杆；2.将杆固定在竖直平面上；3.在杆下方悬挂一个质量不计、长度为0且可视化的链锁；4.杆自由摆动，链锁受到重力的作用，形成一条曲线。
这个曲线就是平摆线。
它的形状呈钟形，两端尖锐，中间较宽。
在数学上可以用函数表示，并有一系列特殊的性质。
3. 性质平摆线有许多有趣的性质，其中之一就是它绕y轴旋转时所形成的侧面积。
我们先来看一下平摆线绕y轴旋转时的几何特征：1.当杆静止时，链锁自然垂直向下，形成一个与y轴平行的直线。
2.当杆逐渐向左或向右摆动时，链锁会产生曲线运动。
3.当杆完全向左或向右摆动时，链锁会再次形成一个与y轴平行的直线。
根据这些几何特征，我们可以想象出平摆线绕y轴旋转所形成的立体图形。
这个立体图形类似于一个钟表壳或者圆柱体的侧面。
我们将探讨如何计算这个立体图形的侧面积。
4. 计算方法要计算平摆线绕y轴旋转的侧面积，我们可以使用积分的方法。
假设平摆线由函数y=f(x)表示，则旋转后的立体图形可以由以下公式计算：S=2π∫yx2x1√1+(dydx)2dx其中，x1和x2是平摆线的两个交点。
这个公式的物理意义是，将平摆线分割成无穷小的微元，每个微元都是一个矩形条带。
通过求和这些矩形条带的面积，就可以得到整个立体图形的侧面积。
具体计算步骤如下：1.根据给定的平摆线函数f(x)，求解交点x1和x2。
参数方程与摆线
参数方程与摆线参数方程与摆线物理学中的物体运动方程,在数学上就是参数方程。
参数方程对于解决实际问题具有重要意义。
本专题将介绍参数方程的基本概念，给出参数方程的一个重要实例——摆线。
摆线是一类十分重要的曲线，可以分为平摆线、圆摆线、渐开线三大类。
我们常见的大部分曲线都可以看成是摆线的特例，如星形线、心脏线、阿基米德螺线、玫瑰线等等。
摆线也是很有用的一类曲线,如最速降线就是平摆线；工厂中常用的齿轮通常是渐开线或圆摆线；公共汽车的两折门利用了星形线的原理。
再如像收割机、翻土机等许多农业机械和工厂中的车床等,大都采用的是摆线原理。
而且，摆线在天文中也有重要应用，行星相对地球的轨迹、月亮相对太阳的轨迹都可以看作是摆线。
本专题主要内容是参数方程与摆线，摆线可以利用向量方法通过参数方程表示出。
因此本专题可以看成是“解析几何初步”“平面向量”“三角函数”等内容的综合应用和进一步深化。
本专题首先介绍了曲线的一般表示方法，阐述了坐标系的类型和曲线方程的表现形式。
这些内容是“解析几何初步”等内容的补充和完善，也是摆线内容的必备基础。
通过对本专题的学习，学生将掌握参数方程的基本概念，了解曲线的表现形式，体会从实际问题中抽象出数学问题的过程，培养探究数学问题的兴趣和能力。
通过对天体轨道方程的学习和对摆线应用的了解，学生将体会到数学在实际中的应用价值，提高应用意识和实践能力。
通过对摆线的探索，学生将树立辨证统一的观点，提高数学抽象能力，发展创新精神。
内容与要求1. 参数方程（1）坐标与曲线方程（2）曲线的一般方程——隐式方程；——参数方程；——参数化与隐式化简介。
（3）特殊的参数方程（4）参数方程的参数变换①回顾直角坐标系的概念, 回顾(显式)曲线方程实例,比如抛物线y=x2等。
②给出曲线的显式、隐式和参数方程的定义，说明显式方程是隐式方程的特例，并通过实例(如圆等)，指出隐式方程和参数方程才是曲线的一般方程，介绍隐式方程和参数方程各自的优缺点，说明参数化与隐式化的作用。
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———平摆线
一、教材分析
1、教材的地位和作用
“参数方程中曲线欣赏——平摆线、圆的渐开线” 这节教材是选修4-4的第4.4节，它是在学生学习了 坐标系和参数方程的基础上，要学生学会欣赏各种 各样的曲线，如平摆线、渐开线、心脏线等，并体 会参数对研究这些曲线的作用。这节教材中，数与 形的结合、相对与绝对、运动与变化、分解与综合 等思想方法十分突出，对学生辨证地认识世界以及 形成研究的态度意义重大。
3、教学目标
情感、态度与价值观目标 通过合作学习，学生间、师生间的相互交流，感 受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与 严谨，逐步养成质疑的科学精神。 了解摆线在实际中的应用实例，展现人文数学精 神，体现数学文化价值及其在社会进步、人类文 明发展中的重要作用。 学会欣赏各种各样的曲线，感受数学美，进行数 学审美教育，提高学生学习数学的积极性。
y r (1 co s ).
思考2：若点Q在半径AP上，且AQ=r/2，当圆滚动时， 点Q的轨迹是什么？
3、摆线
摆线是研究一个动圆在一条曲线（基线） 上滚动时，动圆上一点的轨迹。 当基线是直线时，就得到平摆线或变Байду номын сангаас平 摆线。
当基线是圆且动圆在定圆内滚动时，就得到 内摆线或变幅内摆线。 当基线是圆且动圆在定圆外滚动时，若两圆 外切，就得到外摆线或变幅外摆线。
由题意，OB=BP=r
那么，x=OD=OB-DB=OB-PC=r( -sin ) y=DP=BA-CA=r (1 -cos )
2、平摆线的参数方程
y A
P O D
C
B
E
x
平摆线的参数方程为： x r ( sin ), ( 为 参 数 )
思考1：在平摆线的参数方程中，参数 的取值范围 是什么？一个拱的宽度与高度各是什么？
2、当基线是圆且动圆在定圆内滚动时，就得到内摆线 或变幅内摆线。 当基线是圆且动圆在定圆外滚动时，若两圆外切，就得 到外摆线或变幅外摆线。 3、参数方程在研究摆线中的作用
四、作业
P54、10 搜集有关摆线的应用实例。 借助P50“阅读”，探究变幅内、外摆线的 参数方程。
曲齿
人字齿
相交轴齿轮传动机构（圆锥齿轮传动机构）
直齿
斜齿
曲线齿
准双曲面齿轮
平行轴齿轮传动机构（圆柱齿轮传动机构）
直齿
斜齿
齿轮齿条
内齿轮
交错轴齿轮传动机构
斜 齿
蜗杆蜗轮
4、摆线的性质
最速降线 等时曲线
三、小结
1、摆线是研究一个动圆在一条曲线（基线）上滚动时， 动圆上一点的轨迹。当基线是直线时，就得到平摆线或 变幅平摆线。平摆线的参数方程为：
x r ( sin ), ( 为 参 数 ) y r (1 co s ).
A
B
我们把定点P的轨迹叫做平摆线，又叫旋轮线。
2、平摆线的参数方程
取定直线为X轴， y 定点P滚动时落在 A 定直线上的一个 P C 位置为原点，建 所以，平摆线的参数方程为： O D E x 立直角坐标系。 B 设圆的半径为r。 x r ( sin ), ( 为 参 数 ) 设P(x,y)是轨迹上任意一点，此时圆转过 角，圆心位于A点， y r (1 co s ). ，作AB⊥Ox，PD⊥Ox，PC⊥AB。 则∠BAP=
四、教学过程
思考： 如果在自行车的轮子上喷一个 白色印记，那么自行车在笔直的道 路上行使时，白色印记会画出什么 样的曲线？
1、平摆线的定义
上述问题抽象成数学问题就是：
当一个圆沿着一条定直线 无滑动地滚动时， 圆周上一个定点P的 轨迹是什么？
P O
平摆线在它与定直线的 两个相邻交点之间的部分 叫做一个拱。
4、教学重点，难点
本节课的教学重点是了解平摆线的生成 过程，并推导出它的参数方程。难点是 摆线参数方程的推导。
二、教法分析：探究发现教学法.
遵循以学生为主体，教师为主导，发展为主旨的现 代教育原则，以问题的提出、问题的解决为主线， 始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，通过 学生主动探索、积极参与、共同交流与协作，在教 师的引导和合作下，学生“跳一跳”就能摘得果实， 于问题的分析和解决中实现知识的建构和发展，通 过不断探究、发现，让学习过程成为心灵愉悦的主 动认知过程，使师生的生命活力在课堂上得到充分 的发挥。
２、教学内容
本节课的主要教学内容是借助教具和计算 机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点 的轨迹（平摆线），了解平摆线的生成过 程，并能推导出它们的参数方程。通过 “阅读”，了解其他摆线的生成过程，了 解摆线在实际中的应用实例。
3、教学目标
知识技能目标 了解平摆线的生成过程，并能推导出它们的参数方程。 过程性目标 通过学生积极参与，亲身经历平摆线的生成过程及曲 线方程的获得过程，体会坐标系和参数方程的作用和意 义，渗透数形结合的数学思想. 通过自主探索、合作交流，学生历经先想一想，再实 际操作，最后追究其道理，完善认知结构. 通过在直观的基础上分析、抽象、论证、推导，层层 深入，培养学生的创新思维和发散思维的能力，体会参 数对研究平摆线、渐开线的作用.
三、学法指导：研讨式学习法
教学矛盾的主要方面是学生的学。学是中心，会学是目的。 因此，在教学中要不断指导学生学会学习。这节课主要是 教给学生“动手做，动脑想；严格证，勤钻研。”的研讨 式学习方法。这样做，增加了学生主动参与的机会，增强 了参与意识，教给学生获取知识的途径；思考问题的方法。 使学生真正成为教学的主体。也只有这样做，才能使学生 “学”有新“思”，“思”有所“得”，“练”有所 “获”。学生才会逐步感到数学美，会产生一种成功感， 从而提高学生学习数学的兴趣；也只有这样做，才能适应 素质教育下培养“创新型”人才的需要。