高三数学第一轮复习《第25课时 等差数列及其前n项和》课件
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高考理科数学一轮复习课件等差数列及其前n项和
经济金融领域中等差数列应用
贷款分期偿还问题
在贷款购房、购车等场景中，分 期偿还贷款时，每月还款金额相 同，计算总还款额时，可视为等 差数列求和。
投资回报问题
在定期定额投资中，每期投资金 额相同，计算累计收益时，可转 化为等差数列求和。
股票价格变动分析
在股票市场中，若某只股票每日 收盘价呈现等差数列特征，则可 用于预测未来价格走势。
06
复习策略与建议
回顾基础知识，加强记忆
等差数列的定义及通项公式
理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$，并能灵活运用。
等差数列的性质
熟悉等差数列的性质，如任意两项的和是常数、中间项性 质等，以便在解题时快速识别和应用。
等差数列前n项和公式
掌握等差数列前n项和公式$S_n=frac{n}{2}(a_1+a_n)$或 $S_n=na_1+frac{n(n-1)}{2}d$，并能熟练运用。
01
等差数列的前n项和公式可以 转化为关于n的二次函数，进 而利用二次函数的性质研究其 最值问题。
02
通过等差数列的性质，可以构 造不等式，解决一类与不等式 相关的问题。
03
结合不等式的性质，可以进一 步研究等差数列的性质，如判 断数列的单调性、求数列的最 大（小）项等。
与三角函数、向量结合考察
等差数列的通项公式可以转化为三角函数的形式，进而利 用三角函数的性质研究等差数列的性质。
高考理科数学一轮复
习课件等差数列及其Βιβλιοθήκη 前n项和汇报人：XX
20XX-01-24
目录
• 等差数列基本概念与性质 • 等差数列前n项和公式推导与应用 • 等差数列在实际问题中应用举例 • 等差数列与其他知识点综合考察 • 典型例题分析与解题思路总结 • 复习策略与建议
高三数学一轮复习第六章数列第二节等差数列及其前n项和课件理
= 1 9 ,故选B.
2
(2)设等差数列{an}的公差为d,由题意可得 aS53解a3得1a143dd则86, ,
a d
1
பைடு நூலகம்
0, 2,
S10-S7=a8+a9+a10=3a1+24d=48.
方法技巧 解决等差数列运算问题的思想方法 (1)方程思想:等差数列的基本量为首项a1和公差d,通常利用已知条件及 通项公式或前n项和公式列方程(组)求解. (2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用a1,d表示,寻 求两者间的联系,整体代换即可求解. (3)利用性质:运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程.
判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)数列{an}(n∈N*)为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an
+an+2. (√) (2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的. (√) (3)等差数列的前n项和公式可看作常数项为0的二次函数.(√) (4)在等差数列{an}中,若am+an=ap+aq,则一定有m+n=p+q. (×) (5)数列{an},{bn}(项数相同)都是等差数列,则数列{an+bn}也一定是等差 数列. (√) (6)等差数列{an}的首项为a1,公差为d,取出数列中的所有奇数项,使其按 原顺序组成一个新的数列,则此新数列一定是等差数列. (√)
(1)设cn= b n2 -1 b n,2 n∈N*,求证:数列{cn}是等差数列;
理数
课标版
第二节 等差数列及其前n项和
教材研读
1.等差数列的有关概念 (1)定义:如果一个数列从① 第2项 起,每一项与它的前一项的② 差 都等于 同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为③ an+1-an=d (n∈N *,d为常数).
高考数学一轮复习第四章第二讲等差数列及其前n项和课件
考向 2 等差数列前 n 项和的性质
[例 3](1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，
则 S15 等于( )
A.35
B.42
C.49
D.63
解析：由题意知，S5，S10－S5，S15－S10 成等差数列，即 7， 14，S15－21 成等差数列，∴S15－21＋7＝28，∴S15＝42.故选 B.
答案：C
2.(2023 年全国甲卷文科)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和.若
a2＋a6＝10，a4a8＝45，则 S5＝( )
A.25
B.22
C.20
D.15
解析：等差数列{an}中，a2＋a6＝2a4＝10， 所以 a4＝5.所以 a4a8＝5a8＝45，故 a8＝9，则 d＝a88－－4a4＝1， 所以 a1＝a4－3d＝5－3＝2，则 S5＝5a1＋5×2 4d＝10＋10＝20. 故选 C.
2.等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，那么它的通项公式 是an＝a1＋(n－1)d(n∈N*). 3.等差中项
如果 A＝a＋2 b，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.
4.等差数列的前 n 项和公式
设等差数列{an}的公差为 d，其前 n 项和 Sn＝n(a12＋an)或 Sn＝na1＋n(n2－1)d(n∈N*).
适合题型
解答题中 证明问题
选择、填 空题中的 判定问题
【变式训练】 (2022 年全国甲卷文科)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知2nSn＋
n＝2an＋1. (1)证明：{an}是等差数列； (2)若 a4，a7，a9 成等比数列，求 Sn 的最小值.
(1)证明：由已知得2Sn＋n2＝2nan＋n，①
2025届高中数学一轮复习课件《等差数列》ppt
第12页
高考一轮总复习•数学
第13页
重难题型 全线突破
高考一轮总复习•数学
第14页
题型
等差数列基本量的计算
典例 1(1)(2023·全国甲卷，文)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 a2＋a6＝10，a4a8＝
45，则 S5＝( )
本例可以用 a1，d 来表示这两个条件方程，由方程组求解．
B．8
C．7
D．6
高考一轮总复习•数学
第24页
(2)已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0 的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m－
n|＝( )
A．1
3 B.4
13 C.2 D.8
高考一轮总复习•数学
第25页
解析：(1)因为 S9＝9a5，所以 9a5＝3(a3＋a5＋am)，所以 a3＋a5＋am＝3a5，即 a3＋am＝ 2a5，所以 m＝7.故选 C.
解析：由等差数列的求和公式可得ab77＝TS1133＝73××1133＋＋38＝9447＝2.
高考一轮总复习•数学
4．已知等差数列{an}的通项公式为 an＝2n－11，则数列{|an|}的前 n 项和 10n－n2，n≤5，
Tn＝_____n2_－__1_0_n_＋__5_0_，__n_≥__6______. 解析：设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Tn＝－Sn－Sn，2Sn5，≤n5≥，6， 即 Tn＝n120－n－10nn2＋，5n0≤，5n，≥6.
②若{bn}是等差数列，则 b1＋b3＝2b2， 即a21＋1a23＝2×a62，所以 a2a3＋6a1a2＝6a1a3， 所以(a1＋d)(a1＋2d)＋6a1(a1＋d)＝6a1(a1＋2d)，
高考数学一轮复习等差数列及其前n项和(精) 精品优选公开课件
等差数列的判定方法有以下四种：
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N+)；(2)等差中项法： 2an＋1＝an＋an＋2(n∈N+)；(3)通项公式法：an＝an＋b(a， b是常数，n∈N+)；(4)前n项和公式法：Sn＝an2＋bn(a，b 为常数)．但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用 定义法或等差中项法．
(2)解 由(1)知，bn＝n－72，则 an＝1＋b1n＝1＋2n2－7，
设函数 f(x)＝1＋2x2－7，
易知 f(x)在区间－∞，72和72，＋∞内均为减函数． ∴结合函数 f(x)的图象可得，当 n＝3 时，an 取得最小值 －1；当 n＝4 时，an 取得最大值 3.
(2)已知等差数列{an}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，则其n项和Sn ＝________. 解析 (1)∵{an}为等差数列， ∴S3，S6－S3，S9－S6成等差数列， ∴2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)． ∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2(S6－S3)－S3＝2(36－9)－9＝45. (2)因为a4＋a6＝a3＋a7，则a3a7＝－16，a3＋a7＝0， 所以a3＝4，d＝－2或a3＝－4，d＝2. 所以数列的前n项和是Sn＝n2－9n或Sn＝－n2＋9n. 答案 (1)45 (2)n2－9n或－n2＋9n
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，
m∈N+)是公差为__m_d_的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an. (6)若 n 为偶数，则 S
偶－S
奇＝n2d；
若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．
高考数学一轮复习第六章数列第二节等差数列及其前n项
[解析] (1)因为{an}是等差数列，所以 a1＋a9＝a4＋a6＝
9a1＋a9 2a5.又 a4＋a5＋a6＝21， 所以 a1＋a9＝14， 所以 S9＝ ＝ 2 9×14 ＝63. 2
解析：由题意知 Sn＋2－Sn＝an＋1＋an＋2＝2a1＋(2n＋1)d＝2＋ 2(2n＋1)＝36，解得 n＝8.
答案：8
3．(2017· 全国卷Ⅰ改编)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 a4 ＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为________．
解析：设等差数列{an}的公差为 d，
(5)S2n－1＝(2n－1)an，S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)，遇见 S 奇，S 偶时可分别运用性质及有关公式求解． an (6){an}，{bn}均为等差数列且其前 n 项和为 Sn，Tn，则b n S2n－1 ＝ . T2n－1
Sn (7)若{an}是等差数列， 则 n 也是等差数列， 其首项与{an}
1 的首项相同，公差是{an}的公差的 . 2
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
等差数列的性质
[例 1]
(1)(2017· 南京一模)设{an}是等差数列，若 a4＋a5
＋a6＝21，则 S9＝________. (2)已知{an}，{bn}都是等差数列，若 a1＋b10＝9，a3＋b8 ＝15，则 a5＋b6＝________.
[方法技巧] 1．等差数列运算问题的通性通法
(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项 a1 和公差 d，然 后由通项公式或前 n 项和公式转化为方程(组)求解． (2)等差数列的通项公式及前 n 项和公式，共涉及五个量 a1， an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想． 2.等差数列设项技巧 若奇数个数成等差数列且和为定值时， 可设中间三项为 a－d， a，a＋d；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为 a－d，a＋d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.
9a1＋a9 2a5.又 a4＋a5＋a6＝21， 所以 a1＋a9＝14， 所以 S9＝ ＝ 2 9×14 ＝63. 2
解析：由题意知 Sn＋2－Sn＝an＋1＋an＋2＝2a1＋(2n＋1)d＝2＋ 2(2n＋1)＝36，解得 n＝8.
答案：8
3．(2017· 全国卷Ⅰ改编)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 a4 ＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为________．
解析：设等差数列{an}的公差为 d，
(5)S2n－1＝(2n－1)an，S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)，遇见 S 奇，S 偶时可分别运用性质及有关公式求解． an (6){an}，{bn}均为等差数列且其前 n 项和为 Sn，Tn，则b n S2n－1 ＝ . T2n－1
Sn (7)若{an}是等差数列， 则 n 也是等差数列， 其首项与{an}
1 的首项相同，公差是{an}的公差的 . 2
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
等差数列的性质
[例 1]
(1)(2017· 南京一模)设{an}是等差数列，若 a4＋a5
＋a6＝21，则 S9＝________. (2)已知{an}，{bn}都是等差数列，若 a1＋b10＝9，a3＋b8 ＝15，则 a5＋b6＝________.
[方法技巧] 1．等差数列运算问题的通性通法
(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项 a1 和公差 d，然 后由通项公式或前 n 项和公式转化为方程(组)求解． (2)等差数列的通项公式及前 n 项和公式，共涉及五个量 a1， an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想． 2.等差数列设项技巧 若奇数个数成等差数列且和为定值时， 可设中间三项为 a－d， a，a＋d；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为 a－d，a＋d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.
高中数学一轮专题复习：等差数列及其前n项和课件
∵a7＋a10=a8＋a9<0 ∴a9<0
∴等差数列{an}的前8项都为正，第9项开始为负
∴当n=8时，{an}的前n项和最大
题型四、等差数列的判定与证明
例6：若数列{an}前n项和为Sn，且an+2SnSn-1＝0(n≥2)，
a1
=
1 2
.（ 1）求证：数列
1 Sn
是等差数列；(2)求数列an
an = a1 + (n－1)d
an = am + (n－m)d
一、基础知识梳理 3.等差数列的前n项和公式
①Sn
n(a1 2
an )
(Sn，a1，n，an知三求一)
代入an a1 n 1d
②Sn
na1
n(n 1) 2
d
(Sn，a1, n, d知三求一)
一、基础知识梳理
4.等差数列的性质
角度二：求前n项和 变式2：在等差数列{an}中：a3+a7-a10=-1，a11-a4=21，
则数列{an}的前8项和S8=( D )
A.50 B.70 C.120 D.100
解析：设数列{an}的公差为d，则 a11-a4= 7d=21，∴d=3
∵a3+a7-a10=（a1+2d）+（a1+6d）-（a1+9d）=a1-d =a1-3=-1
解析：由{an}是等差数列，得 S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，
即 2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)， 即S9－S6＝2S6－3S3 ＝2×36－3×9＝45 即 S9－S6＝a7＋a8＋a9 ＝45
题型三、等差数列前n项和的最值问题
例5：（1）在等差数列{an}中，a1＝20，前n项和为Sn，且 S10＝S15，则Sn取最大值时，n的值为( )
高考数学一轮复习讲义 6.2 等差数列及其前n项和.ppt
(1)求Sn的最小值及此时n的值；
(2)求n的取值集合，使an≥Sn.
解 方法一 (1)设公差为d，则由S2 009＝0
⇒2
009a1＋2
009×2 2
008d＝0⇒a1＋1
004d＝0，
d＝－1 0104a1，a1＋an＝2 010090－4 na1，
∴Sn＝n2(a1＋an)＝n2·2 010090－4 na1＝2 a0108(2 009n－n2)．
∵a1<0，n∈N*，
∴当n＝1
004或1
005时，Sn取最小值1
005 2 a1.
(2)an＝1 010050－4 na1，
Sn≤an⇔2
a0108(2
009n－n2)≤1
005－n 1 004 a1.
∵a1<0， ∴n2－2 011n＋2 010≤0，即(n－1)(n－2 010)≤0，
解得：1≤n≤2 010.
故所求n的取值集合为{n|1≤n≤2 010，n∈N*}．
方法二 (1)设公差为d，则 Sn＝na1＋nn2－1d＝d2n2＋a1－d2n，
∵d2，a1－d2是常数，∴Sn是n的二次函数(d≠0时)．
∵S2
009＝0，S0＝0，∴顶点的横坐标为0＋22
009＝1
1 0042.
又由a1<0，S2 009＝0⇒d＝－1 a0104>0，又n∈N*.
(1)证明 ∵an＝2－an1－1 (n≥2，n∈N*)，bn＝an－1 1. ∴n≥2 时，bn－bn－1＝an－1 1－an－11－1 ＝2－an11－1－1－an－11－1 ＝ana－n1－－1 1－an－11－1＝1.
又 b1＝a1－1 1＝－52.
∴数列{bn}是以－52为首项，1 为公差的等差数列．
高考数学一轮复习 第六章 数列 等差数列及其前n项和 ppt
因为 Sn=na1+������(���2���-1)d, 所以 S4+S6>2S5⇔10a1+21d>10a1+20d⇔d>0, 即“d>0”是“S4+S6>2S5”的充分必要条件,选 C. C
2019年6月1日
缘分让我们相遇，缘分让我们在一 起
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解析 答答案案7
-8-
知识梳理 双基自测 自测点评
缘分让我们相遇，缘分让我们在一
16
起
考点1
考点2
考点3
考点4
-17-
对点训练1(1)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则
a100=( )
A.100 B.99 C.98 D.97
(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和,a12=-8,S9=-9,则
S16=
.
(1)C (2)-72
2019年6月1日
12345
3.(2017辽宁抚顺重点校一模)在等差数列{an} 中,a3+a6=11,a5+a8=39,则公差d为( )
A.-14 B.-7 C.7 D.14
∵a3+a6=11,a5+a8=39,∴4d=28,解得d=7.故选C.
C
2019年6月1日
缘分让我们相遇，缘分让我们在一 起
关闭 关闭
解析 答答案案8
缘分让我们相遇，缘分让我们在一 起
关闭
答答案1案7
考点1
考点2
考点3
考点4
-18-
解析: (1)(方法一)设等差数列{an}的公差为 d,
则由题意得,
9������1
+
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d,
18
题型二 等差数列的基本运算 【例2】在等差数列{an}中，
（1）已知a15=33,a45=153,求a61; （2）已知a6=10,S5=5，求a8和S8； （3）已知前3项和为12，前3项积为48，且d＞0,
∴a6+a7+a8=3a7=9.
12
5.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若aa53
5, 9
则
S9 等于 S5
（ A）
A.1
B.-1
C.2
D. 1
2
解析 由等差数列的性质，a5 2a5 a1 a9 5 , a3 2a3 a1 a5 9
9(a1 a9 )
S9 S5
2 5(a1
a5 )
Sn=
.
数列{an}是等差数列的充要条件是其前n项和公式
Sn=f（n）是n的二次函数或一次函数且不含常数 项，即Sn= An2+Bn，（A2+B2≠0）.
7.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大 值；若a1＜0,d＞0,则Sn存在最小 值.
8.等差数列与等差数列各项的和有关的性质
(1)由定义知,{an}为等差数列,an+1-an 必为一个常数. (2)只需推证(an+2-an+1)-(an+1-an)为一个常数.
15
(1)解 an+1-an=［p(n+1)2+q(n+1)］-(pn2+qn) =2pn+p+q,
要使{an}是等差数列,则2pn+p+q应是一个与n无关
的
qR
②
17
由①-②，得nan=
n(n 2
1)
bn
n(n 2
1)
bn1,
整理得an= nd bn bn1 , 2
其中d为{bn}的公差（n≥2）.
从而an+1-an=(n
1)d
bn1 2
bn
nd
bn 2
bn1
2d d 3 d （n≥2）. 22
又所a以1={ba1n,}a是2=等23差d数+b列1,.∴a2-a1=23
知能迁移1 设两个数列{an},{bn}满足bn=
a1
2a2 3a3 1 23
n
nan
,
若{bn}为等差数列，求证：
{an}也为等差数列.
证明
由题意有a1+2a2+3a3+…+nan=n(n 2
1)
bn
①
从而有a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1
=
n(n 1) 2
bn-1，（n≥2）
6
解析
由a1=1, 1 1 1 an1 an 3
得 1 为等差数列.
an
∴ 1 1 (n 1) 1 1 n 2 ,
an a1
33 3
∴
1 a10
10 3
2 3
4, a10
1. 4
10
3.等差数列{an}的前n项和为Sn,且 S3=6,a3=4,则公差d等于
A.1
B. 5
C.2
B. 1 2
C. 1 2
（ B） D.2
解析 根据题意得a7-2a4=a1+6d-2(a1+3d)=-1,
∴a1=1.又∵a3=a1+2d=0,∴d= 1 . 2
9
2.已知数列{an}中,a1=1, 1 1 1, 则a10等于（B ）
A. 1
an1 an 3 B. 1
5
4
C.1
D.以上都不对
3
解析 设{an}首项为a1,公差为d,
则S3=3a1+3 2 d=3a1+3d=6, 2
a3=a1+2d=4,∴a1=0,d=2.
（ C） D.3
11
4.已知等差数列{an}的前13项之和为39，则a6+a7+a8
等于
B（ ）
A.6
B.9
C.12
D.18
解析 由S13=13(a1 a13) =13a7=39得a7=3， 2
高三数学第一轮复习
01 双基回顾
1.等差数列的定义 如果一个数列 从第二项起每一项与它相邻前面一项 的差是同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列， 这个常数叫做等差数列的 公差 ，通常用字母 d 表示.
2.等差数列的通项公式 如通果项等公差式数是列a{na=an}1+的（首n项-1为）ad1.，公差为d，那么它的
3.等差中项
如果
，那么A叫做a与b的等差中项.
4.等差数列的常用性质
（1）通项公式的推广：an=am(+n-m)d，（n， m∈N*）.
（2，）若{an}为等a差k+数al=列am，+且ank+l=m+n，（k，l，m
n∈N*），则
.
（3差）数若列{a，n公}是差等为差数2d列.，公差为d，则{a2n}也是等等差
（1）若{an}是等差数列，则
Sn n
也成 等差
数列，
其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的
.
（2）Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项
，
等差
前3m项的和，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成
数列
.
（3）关于等差数列奇数项与偶数项的性质
①若项数为2n，则S偶-S奇=nd
常数,所以只q有2Rp=0,即p=0,
.
故当p=0 ,
时，数列{an}是等差数列.
(2)证明 ∵an+1-an=2pn+p+q,
∴an+2-an+1=2p(n+1)+p+q,
∴(an+2-an+1)-(an+1-an)=2p为一个常数.
∴{an+1-an}是等差数列.
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探究提高 证明或判断一个数列为等差数列,通常有 两种方法:(1)定义法:an+1-an=d;(2)等差中项法 :2an+1=an+an+2.就本例而言,第(2)问中,需证明 (an+2-an+1)-(an+1-an)是常数,而不是证an+1-an为常 数.
9 5
a1 a1
a9 a5
9 5
5 9
1.
2
13
03 例题精讲
题型一 等差数列的判定 【例1】已知数列{an}的通项公式an=pn2+qn
(p、q∈R，且p、q为常数). （1）当p和q满足什么条件时，数列{an}是等差数列
； （2）求证：对任意实数p和q,数列{an+1-an}是等差数 列思.维启迪
，S奇 S偶
=
.
②若项数为2n-1，则S偶=（n-1）an，S奇=n an，S奇
- an
S奇 n . S偶 n 1
S偶= ，
(4)两个等差an数列{an}、{bn}的前n项和Sn、Tn之间 bn
的关系为： =
.
02 基础过关
1.{an}为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0, 则公差d=
A.-2
（数4）列若{an}，{bn}是等差数列，则{pan+qbn}是 .
4
（5）若{an}是等差数列，则ak，ak+m， ak+2m， …（k，m∈N*）是公m差d为 的等差数列. 5.等差数列的前n项和公式
设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn=
或Sn=
.
6.等差数列的前n项和公式与函数的关系