一次函数难点突破
一次函数图像与性质的重难点讲析
一次函数图像与性质的重难点讲析作者：左艳萍来源：《读写算》2014年第26期【摘要】本文将对-次函数的图像与性质问题进行分析研究，并在此基础上谈-下自己的观点和认识，以供参考。
【关键词】-次函数图像性质研究1、一次函数图像在实际教学过程中，我们可以通过描点法，将-次函数典型图像画出来，然后引导学生对-次函数图像性质进行归纳，即直线规律；然后，通过“两点确定-线”这-规律，得出快速画出-次函数图像的方法。
通常情况下，我们可以取（0，b）、（，0），然后通过这两个点，快速画出-次函数的图像。
通过对以上四个一次函数图像对比观察可以看出，从左至右，一次函数y=2x-1和一次函数y=x+2图像成上升趋势，这说明随着自变量不断增大，其函数值会逐渐增大，即一次函数y=2x-1和一次函数y=x+2值，随着自变量x的不断增大而增大；然而，对于一次函数y=-2x+3和一次函数y=-x-2而言，其图像呈逐渐下降的趋势，这说明随着自变量x的不断增大，一次函数y=-2x+3和一次函数y=-x-2的函数值会逐渐变小。
由此可以归纳出一次函数的图像性质，即一次函数（设为y=kx+b，其中k、b均为常数，而且均不等于0），当其中的常数k大于0时，函数y就随着自变量x的不断增大而增大，表现在函数图像上，即呈上升趋势；当常数k 小于0时，函数y就会随着自变量x的不断增大而减小，表现在函数图像上，即呈下降趋势。
对于图形绘画而言，其主要包括3个主要步骤：第一，列表。
通过列表的形式，将函数与自变量的对应数值一一列出来；第二，描点。
通常情况下，取其中的两个具体的点，然后根据“两点确定-条直线”这一规律，即成为“两点法”。
y=kx+b（k≠0）一次函数图象过（0，b）、（，0）两点画直线，就能得到一次函数图像。
对于正比例函数而言，y=kx（k≠0）图象即过坐标原点画一条直线，取（0，0）、（1，k）两点。
第三，连线。
通过将上述所标示的两个点连接在一起，可得一次函数图象，即可获得一条一次函数直线。
19.2.2一次函数一次函数的定义(教案)
这些核心素养目标旨在帮助学生深入理解一次函数的概念，提高他们运用数学知识分析和解决实际问题的能力，为新教材下的数学教育奠定基础。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）一次函数的定义：y=kx+b（k≠0，k、b是常数），使学生理解并掌握一次函数的一般形式，这是本节课的核心内容。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
最后，总结回顾环节的重要性不容忽视。通过回顾本节课的学习内容，学生可以加深对一次函数知识点的印象。在今后的教学中，我可以让学生更多地参与总结回顾，让他们用自己的语言来表述所学知识，提高他们的数学表达能力。
举例：通过生活中的实例，如物品的价格与数量的关系，引导学生理解一次函数的定义及其一般形式。
（2）一次函数的图像特征：斜率k的正负与图像斜率的关系、y轴截距b的物理意义等。
举例：让学生绘制不同斜率和截距的一次函数图像，观察图像特点，进而理解一次函数的图像特征。
（3）一次函数在实际问题中的应用：运用一次函数模型解决简单的实际问题，如计算物品总价等。
难点突破：结合实际情境，让学生理解y轴截距b在问题中的意义，如一次函数y=3x+2表示每增加1个单位的x，y就增加3个单位，且当x=0时，y=2。
一次函数的图象教案(优秀4篇)
一次函数的图象教案(优秀4篇)一次函数篇一〖教学目标〗◆1、理解正比例函数、一次函数的概念。
◆2、会根据数量关系，求正比例函数、一次函数的解析式。
◆3、会求一次函数的值。
〖教学重点与难点〗◆教学重点：一次函数、正比例函数的概念和解析式。
◆教学难点：例2的问题情境比较复杂，学生缺乏这方面的经验。
〖教学过程〗比较下列各函数，它们有哪些共同特征？提示：比较所含的代数式均为整式，代数式中表示自变量的字母次数都为一次。
定义：一般地，函数叫做一次函数。
当时，一次函数就成为叫做正比例函数，常数叫做比例系数。
强调：（1）作为一次函数的解析式，其中中，哪些是常量，哪些是变量？哪一个是自变量，哪一个是自变量的函数？其中符合什么条件？（2）在什么条件下，为正比例函数？（3）对于一般的一次函数，它的自变量的取值范围是什么？做一做：下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？系数和常数项的值各为多少？例1：求出下列各题中与之间的关系，并判断是否为的一次函数，是否为正比例函数：（1）某农场种植玉米，每平方米种玉米6株，玉米株数与种植面积之间的关系。
（2）正方形周长与面积之间的关系。
（3）假定某种储蓄的月利率是0.16%，存入1000元本金后。
本钱与所存月数之间的关系。
此例是为了及时巩固一次函数、正比例函数的概念，相对比较容易，可以让学生自己完成。
解：（1）因为每平方米种玉米6株，所以平方米能种玉米株。
得，是的一次函数，也是正比例函数。
（2）由正方形面积公式，得，不是的一次函数，也不是正比例函数。
（3）因为该种储蓄的月利率是0.16%，存月所得的利息为，所以本息和，是的一次函数，但不是的正比例函数。
练习：1.已知若是的正比例函数，求的值。
2.已知是的一次函数，当时，；当时，（1）求关于的一次函数关系式。
（2）求当时，的值。
例2：按国家1999年8月30日公布的有关个人所得税的规定，全月应纳税所得额不超过500元的税率为5%，超过500元至XX元部分的税率为10% （1）设全月应纳税所得额为元，且。
专题七 一次函数中的构造等腰直角三角形法 2020年中考数学冲刺难点突破 一次函数问题(解析版)
2020年中考数学冲刺难点突破一次函数问题专题七一次函数中的构造等腰直角三角形法1、如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA；2、已如，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0）、点B的坐标为（0，8），点C在y轴上，作直线AC．点B关于直线AC的对称点B′刚好在x轴上，连接CB′．（1）写出点B′的坐标，并求出直线AC对应的函数表达式；（2）点D在线段AC上，连接DB、DB′、BB′，当△DBB′是等腰直角三角形时，求点D坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点P从点B出发以每秒2个单位长度的速度向原点O运动，到达点O时停止运动，连接PD，过D作DP的垂线，交x轴于点Q，问点P运动几秒时△ADQ是等腰三角形．3、定义：在平面直角坐标系中，对于任意P（x1，y1），Q（x2，y2），若点M（x，y）满足x＝3（x1+x2），y＝3（y1+y2），则称点M是点P，Q的“美妙点”．例如：点P（1，2），Q（﹣2，1），当点M（x，y）满足x＝3×（1﹣2）＝﹣3，y＝3×（2+1）＝9时，则点M（﹣3，9）是点P，Q的“美妙点”．（1）已知点A（﹣1，3），B（3，3），C（2，﹣2），请说明其中一点是另外两点的“美妙点”；（2）如图，已知点D是直线y＝+2上的一点．点E（3，0），点M（x，y）是点D、E的“美妙点”．①求y与x的函数关系式；①若直线DM与x轴相交于点F，当①MEF为直角三角形时，求点D的坐标．4、如图，过点A（1，3）的一次函数y＝kx+6（k≠0）的图象分别与x轴，y轴相交于B，C两点．（1）求k的值；（2）直线l与y轴相交于点D（0，2），与线段BC相交于点E．（i）若直线l把①BOC分成面积比为1：2的两部分，求直线l的函数表达式；（①）连接AD，若①ADE是以AE为腰的等腰三角形，求满足条件的点E的坐标．5、建立模型：如图1，等腰Rt①ABC中，①ABC＝90°，CB＝BA，直线ED经过点B，过A作AD①ED于D，过C作CE①ED于E．则易证①ADB①①BEC．这个模型我们称之为“一线三垂直”．它可以把倾斜的线段AB和直角①ABC转化为横平竖直的线段和直角，所以在平面直角坐标系中被大量使用．模型应用：（1）如图2，点A（0，4），点B（3，0），①ABC是等腰直角三角形．①若①ABC＝90°，且点C在第一象限，求点C的坐标；①若AB为直角边，求点C的坐标；（2）如图3，长方形MFNO，O为坐标原点，F的坐标为（8，6），M、N分别在坐标轴上，P是线段NF上动点，设PN＝n，已知点G在第一象限，且是直线y＝2x一6上的一点，若①MPG是以G为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点G的坐标．6、如图1，直线l：y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．已知点C（﹣2，0）．（1）求出点A，点B的坐标．（2）P是直线AB上一动点，且①BOP和①COP的面积相等，求点P坐标．（3）如图2，平移直线l，分别交x轴，y轴于交于点A1B1，过点C作平行于y轴的直线m，在直线m 上是否存在点Q，使得①A1B1Q是等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标．7、如图1，等腰直角三角形ABC中，①ACB＝90°，CB＝CA，直线DE经过点C，过A作AD①DE于点D，过B作BE①DE于点E，则①BEC①①CDA，我们称这种全等模型为“K型全等”．（不需要证明）【模型应用】若一次函数y＝kx+4（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．（1）如图2，当k＝﹣1时，若点B到经过原点的直线l的距离BE的长为3，求点A到直线l的距离AD 的长；（2）如图3，当k＝﹣时，点M在第一象限内，若①ABM是等腰直角三角形，求点M的坐标；（3）当k的取值变化时，点A随之在x轴上运动，将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到BQ，连接OQ，求OQ长的最小值．8、【模型建立】（1）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△CDA≌△BEC．【模型运用】（2）如图2，直线l1：y＝x+4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点A逆时针旋转90°至直线l2，求直线l2的函数表达式．【模型迁移】如图3，直线l经过坐标原点O，且与x轴正半轴的夹角为30°，点A在直线l上，点P为x轴上一动点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，过点B的直线BC交x轴于点C，∠OCB＝30°，点B到x轴的距离为2，求点P的坐标．9、如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+b与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C（m，0）在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上，过点D作DE⊥x 轴于点E．（1）求m和b的数量关系；（2）当m＝1时，如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B′C′D′，当直线B′C′经过点D时，求点B′的坐标及△BCD平移的距离；（3）在（2）的条件下，直线AB上是否存在一点P，以P、C、D为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，写出满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．10、如图，已知一次函数y＝﹣x+7与正比例函数y＝x的图象交于点A，且与x轴交于点B．（1）求△AOB的面积：（2）在y轴上找一点C，使AC+BC最小，求最小值及C点坐标．（3）点P从O出发向B点以1个单位每秒的速度运动，点Q从B点出发向A点以同样的速度运动，两个点同时停止，当△BPQ为等腰三角形时，求Q点坐标．11、一边长为4正方形OACB放在平面直角坐标系中，其中O为原点，点A、B分别在x轴、y轴上，D为射线OB上任意一点．（1）如图1，若点D坐标为（0，2），连接AD交OC于点E，则△AOE的面积为；（2）如图2，将△AOD沿AD翻折得△AED，若点E在直线y＝x图象上，求出E点坐标；（3）如图3，将△AOD沿AD翻折得△AED，DE和射线BC交于点F，连接AF，若∠DAO＝75°，平面内是否存在点Q，使得△AFQ是以AF为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出所有点Q坐标；若不存在，请说明理由．2020年中考数学冲刺难点突破一次函数问题专题七一次函数中的构造等腰直角三角形法1、如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA；解：（1）由题意可知：△BEO≌△AOD（K型全等），∴OE＝AD，∵k＝﹣1，∴y＝﹣x+4，∴B（0，4），∴OB＝4，∵BE＝3，∴OE＝，∴AD＝；（2）k＝﹣时，y＝﹣x+4，∴A（3，0），①当BM⊥AB，且BM＝AB时，过点M作MN⊥y轴，∴△BMN≌△ABO（AAS），∴MN＝OB，BN＝OA，∴M（4，7）；②当AB⊥AM，且AM＝AB时，过点M作x轴垂线MK，∴△ABO≌△AMK（AAS），∴OB＝AK，OA＝MK，∴AK＝4，MK＝3，∴M（7，3）；③当AM⊥BM，且AM＝BM时，过点M作MH⊥x轴，MG⊥y轴，∴△BMG≌△AHM（AAS），∴BG＝AH，GM＝MH，∴GM＝MH，∴4﹣MH＝MH﹣3，∴MH＝，∴M（，）；综上所述：M（7，3）或M（4，7）或M（，）；（3）当k＞0时，AO＝，过点Q作QS⊥y轴，∴△ABO≌△BQS（AAS），∴Q（4，4﹣），∴OQ＝，∴当k＝1时，QO最小值为4；当k＜0时，Q（4，4﹣），∴OQ＝，∴当k＝1时，QO最小值为4，与k＜0矛盾，∴OQ的最小值为4．2、已如，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0）、点B的坐标为（0，8），点C在y轴上，作直线AC．点B关于直线AC的对称点B′刚好在x轴上，连接CB′．（1）写出点B′的坐标，并求出直线AC对应的函数表达式；（2）点D在线段AC上，连接DB、DB′、BB′，当△DBB′是等腰直角三角形时，求点D坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点P从点B出发以每秒2个单位长度的速度向原点O运动，到达点O 时停止运动，连接PD，过D作DP的垂线，交x轴于点Q，问点P运动几秒时△ADQ是等腰三角形．解：（1）∵A的坐标为（6，0）、点B的坐标为（0，8），∴OA＝6，OB＝8，∵∠AOB＝90°，∴AB＝10，∵B与B'关于直线AC对称，∴AC垂直平分BB'，∴BC＝CB'，AB'＝AB＝10，∴B'（﹣4，0），设点C（0，m），∴OC＝m，∴CB'＝CB＝8﹣m，∵在Rt△COB'中，∠COB'＝90°，∴m2+16＝（8﹣m）2，∴m＝3，∴C（0，3），设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），把A（6，0），C（0，3）代入可得k＝﹣，b＝3，∴y＝﹣x+3；（2）∵AC垂直平分BB'，∴DB＝DB'，∵△BDB'是等腰直角三角形，∴∠BDB'＝90°，过点D作DE⊥x轴，DF⊥y轴，∴∠DFO＝∠DFB＝∠DEB'＝90°，∵∠EDF＝360°﹣∠DFB﹣∠DEO﹣∠EOF，∠EOF＝90°，∴∠EDF＝90°，∴∠EDF＝∠BDB'，∴∠BDF＝∠EDB'，∴△FDB≌△EDB'（AAS），∴DF＝DE，设点D（a，a）代入y＝﹣x+3中，∴a＝2，∴D（2，2）；（3）同（2）可得∠PDF＝∠QDE，∵DF＝DE＝2，∠PDF＝∠QDE，∴△PDF≌△QDE（AAS），∴PF＝QE，①当DQ＝DA时，∵DE⊥x轴，∴QE＝AE＝4，∴PF＝QE＝4，∴BP＝BF﹣PF＝2，∴点P运动时间为1秒；②当AQ＝AD时，∵A（6，0）、D（2，2），∴AD＝2，∴AQ＝2，∴PF＝QE＝2﹣4，∴BP＝BF﹣PF＝10﹣2，∴点P的运动时间为5﹣秒；③当QD＝QA时，设QE＝n，则QD＝QA＝4﹣n，在Rt△DEQ中，∠DEQ＝90°，∴4+n2＝（4﹣n）2，∴n＝1.5，∴PF＝QE＝1.5，∴BP＝BF+PF＝7.5，∴点P的运动时间为3.75秒，∵0≤t≤4，∴t＝3.75，综上所述：点P的运动时间为1秒或5﹣秒或3.75秒．3、定义：在平面直角坐标系中，对于任意P（x1，y1），Q（x2，y2），若点M（x，y）满足x＝3（x1+x2），y＝3（y1+y2），则称点M是点P，Q的“美妙点”．例如：点P（1，2），Q（﹣2，1），当点M（x，y）满足x＝3×（1﹣2）＝﹣3，y＝3×（2+1）＝9时，则点M（﹣3，9）是点P，Q的“美妙点”．（1）已知点A（﹣1，3），B（3，3），C（2，﹣2），请说明其中一点是另外两点的“美妙点”；（2）如图，已知点D是直线y＝+2上的一点．点E（3，0），点M（x，y）是点D、E的“美妙点”．①求y与x的函数关系式；①若直线DM与x轴相交于点F，当①MEF为直角三角形时，求点D的坐标．解：（1）①3×（﹣1+2）＝3，3×（3﹣2）＝3，①点B是A、C的“美妙点”；（2）设点D（m，m+2），①①M是点D、E的“美妙点”．①x＝3（3+m）＝9+3m，y＝3（0+m+2）＝m+6，故m＝x﹣3，①y＝（x﹣3）+6＝x+3；①由①得，点M（9+3m，m+6），如图1，当①MEF为直角时，则点M（3，4），①9+3m＝3，解得：m＝﹣2；①点D（﹣2，）；当①MFE是直角时，如图2，则9+3m＝m，解得：m＝﹣，①点D（﹣，）；当①EMF是直角时，不存在，综上，点D（﹣2，）或（﹣，）．4、如图，过点A（1，3）的一次函数y＝kx+6（k≠0）的图象分别与x轴，y轴相交于B，C两点．（1）求k的值；（2）直线l与y轴相交于点D（0，2），与线段BC相交于点E．（i）若直线l把①BOC分成面积比为1：2的两部分，求直线l的函数表达式；（①）连接AD，若①ADE是以AE为腰的等腰三角形，求满足条件的点E的坐标．解：（1）将点A的坐标代入一次函数y＝kx+6并解得：k＝﹣3；（2）一次函数y＝﹣3x+6分别与x轴，y轴相交于B，C两点，则点B、C的坐标分别为：（2，0）、（0，6）；（i）S①BCO＝OB×CO＝2×6＝6，直线l把①BOC分成面积比为1：2的两部分，则S①CDE＝2或4，而S①CDE＝×CD×x E＝4×x E＝2或4，则x E＝1或2，故点E（1，3）或（2，0），将点E的坐标代入直线l表达式并解得：直线l的表达式为：y＝±x+2；（①）设点E（m，﹣3m+6），而点A、D的坐标分别为：（1，3）、（0，2），则AE2＝（m﹣1）2+（3﹣3m）2，AD2＝2，ED2＝m2+（4﹣3m）2，当AE＝AD时，（m﹣1）2+（3﹣3m）2＝2，解得：m＝或；当AE＝ED时，同理可得：m＝；综上，点E的坐标为：（，）或（，）或（，）．5、建立模型：如图1，等腰Rt①ABC中，①ABC＝90°，CB＝BA，直线ED经过点B，过A作AD①ED于D，过C作CE①ED于E．则易证①ADB①①BEC．这个模型我们称之为“一线三垂直”．它可以把倾斜的线段AB和直角①ABC转化为横平竖直的线段和直角，所以在平面直角坐标系中被大量使用．模型应用：（1）如图2，点A（0，4），点B（3，0），①ABC是等腰直角三角形．①若①ABC＝90°，且点C在第一象限，求点C的坐标；①若AB为直角边，求点C的坐标；（2）如图3，长方形MFNO，O为坐标原点，F的坐标为（8，6），M、N分别在坐标轴上，P是线段NF上动点，设PN＝n，已知点G在第一象限，且是直线y＝2x一6上的一点，若①MPG是以G为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点G的坐标．解：（1）①过点C作CD①x轴于点D，①①BDC＝90°＝①AOB，①①BCD+①DCB＝90°，①①ABC＝90°，①①ABO+①DBC＝90°，①①ABO＝BCD，①AB＝BC，①①AOB①①BDC（AAS），DC＝OB＝3，BD＝OA＝4，故点C（7，3）；①若AB为直角边，则除了①的情况以外，另外一个点C（C′）与①中的C关于点B对称，故点C′（﹣1，﹣3）；故点C的坐标为：（7，3）或（﹣1，﹣3）；（2）如图2，当①MGP＝90°时，MG＝PG，过点P作PE①OM于E，过点G作GH①PE于H，①点E与点M重合，①GF＝AB＝4设G点坐标为（x，2x﹣6），6﹣（2x﹣6）＝4，得x＝4，易得G点坐标（4，2）；如图3，当①MGP＝90°时，MG＝PG时，同理得G点坐标（，），综上可知，满足条件的点G的坐标分别为（4，2）或（，）．6、如图1，直线l：y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．已知点C（﹣2，0）．（1）求出点A，点B的坐标．（2）P是直线AB上一动点，且①BOP和①COP的面积相等，求点P坐标．（3）如图2，平移直线l，分别交x轴，y轴于交于点A1B1，过点C作平行于y轴的直线m，在直线m 上是否存在点Q，使得①A1B1Q是等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标．解：（1）设y＝0，则x+2＝0，解得：x＝﹣4，设x＝0，则y＝2，①点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标的坐标为（0，2）；（2）①点C（﹣2，0），点B（0，2），①OC＝2，OB＝2，①P是直线AB上一动点，①设P（m，m+2），①①BOP和①COP的面积相等，①×2|m|＝2×（|m|+2），解得：m＝±4，当m＝﹣4时，点P与点A重合，①点P坐标为（4，4）；（3）存在；理由：如图1，①当点B1是直角顶点时，①B1Q＝B1A1，①①A1B1O+①QB1H＝90°，①A1B1O+①OA1B1＝90°，①①OA1B1＝①QB1H，在①A1OB1和①B1HQ中，，①①A1OB1①①B1HQ（AAS），①B1H＝A1O，OB1＝HQ＝2，①B1（0，﹣2）或（0，2），当点B1（0，﹣2）时，Q（﹣2，2），当点B1（0，2）时，①B（0，2），①点B1（0，2）（不合题意舍去），①直线AB向下平移4个单位，①点Q也向上平移4个单位，①Q（﹣2，2），①当点A1是直角顶点时，A1B1＝A1Q，①直线AB的解析式为y＝x+2，由平移知，直线A1B1的解析式为y＝x+b，①A1（﹣2b，0），B1（0，b），①A1B12＝4b2+b2＝5b2，①A1B1①A1Q，①直线A1Q的解析式为y＝﹣2x﹣4b①Q（﹣2，4﹣4b），①A1Q2＝（﹣2b+2）2+（4﹣4b）2＝20b2+40b+20，①20b2﹣40b+20＝5b2，①b＝2或b＝，①Q（﹣2，﹣4）或（﹣2，）；①当Q是直角顶点时，过Q作QH①y轴于H，①A1Q＝B1Q，①①QA1C1+①A1QC＝90°，①A1QC+①CQB1＝90°，①①QA1C＝①CQB1，①m①y轴，①①CQB1＝①QB1H，①①QA1C＝①QB1H在①A1QC与①B1QH中，，①①A1QC①①B1QH（AAS），①CQ＝QH＝2，B1H＝A1C，①Q（﹣2，2）或（﹣2，﹣2），即：满足条件的点Q为（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）或（﹣2，12）或（﹣2，）．7、如图1，等腰直角三角形ABC中，①ACB＝90°，CB＝CA，直线DE经过点C，过A作AD①DE于点D，过B作BE①DE于点E，则①BEC①①CDA，我们称这种全等模型为“K型全等”．（不需要证明）【模型应用】若一次函数y＝kx+4（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．（1）如图2，当k＝﹣1时，若点B到经过原点的直线l的距离BE的长为3，求点A到直线l的距离AD 的长；（2）如图3，当k＝﹣时，点M在第一象限内，若①ABM是等腰直角三角形，求点M的坐标；（3）当k的取值变化时，点A随之在x轴上运动，将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到BQ，连接OQ，求OQ长的最小值．解：（1）由题意可知：①BEO①①AOD（K型全等），①k＝﹣1，①y＝﹣x+4，①B（0，4），①OB＝4，①BE＝3，①OE＝，①AD＝；（2）k＝﹣时，y＝﹣x+4，①A（3，0），①当BM①AB，且BM＝AB时，过点M作MN①y轴，①①BMN①①ABO（AAS），①MN＝OB，BN＝OA，①MN＝4，BN＝3，①M（4，7）；①当AB①AM，且AM＝AB时，过点M作x轴垂线MK，①①ABO①①AMK（AAS），①OB＝AK，OA＝MK，①AK＝4，MK＝3，①当AM①BM，且AM＝BM时，过点M作MH①x轴，MG①y轴，①①BMG①①AHM（AAS），①BG＝AH，GM＝MH，①GM＝MH，①4﹣MH＝MH﹣3，①MH＝，①M（，）；综上所述：M（7，3）或M（4，7）或M（，）；（3）当k＞0时，AO＝，过点Q作QS①y轴，①①ABO①①BQS（AAS），①BS＝OA，SQ＝OB，①Q（4，4﹣），①OQ＝，①当k＝1时，QO最小值为4；当k＜0时，Q（4，4﹣），①OQ＝，①当k＝1时，QO最小值为4，与k＜0矛盾，①OQ的最小值为4．8、【模型建立】（1）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△CDA≌△BEC．【模型运用】（2）如图2，直线l1：y＝x+4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点A逆时针旋转90°至直线l2，求直线l2的函数表达式．【模型迁移】如图3，直线l经过坐标原点O，且与x轴正半轴的夹角为30°，点A在直线l上，点P为x轴上一动点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，过点B的直线BC交x轴于点C，∠OCB＝30°，点B到x轴的距离为2，求点P的坐标．证明：【模型建立】（1）∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠D＝∠E＝90°∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝∠CBE，且CA＝BC，∠D＝∠E＝90°∴△CDA≌△BEC（AAS）【模型运用】（2）如图2，在l2上取D点，使AD＝AB，过D点作DE⊥OA，垂足为E∵直线y＝x+4与坐标轴交于点A、B，∴A（﹣3，0），B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，由（1）得△BOA≌△AED，∴DE＝OA＝3，AE＝OB＝4，∴OE＝7，∴D（﹣7，3）设l2的解析式为y＝kx+b，得解得∴直线l2的函数表达式为：【模型迁移】（3）若点P在x轴正半轴，如图3，过点B作BE⊥OC，∵BE＝2，∠BCO＝30°，BE⊥OC∴BC＝4，∵将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，∴AP＝BP，∠APB＝30°，∵∠APC＝∠AOC+∠OAP＝∠APB+∠BPC，∴∠OAP＝∠BPC，且∠OAC＝∠PCB＝30°，AP＝BP，∴△OAP≌△CPB（AAS）∴OP＝BC＝4，∴点P（4，0）若点P在x轴负半轴，如图4，过点B作BE⊥OC，∵BE＝2，∠BCO＝30°，BE⊥OC∴BC＝4，∵将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，∴AP＝BP，∠APB＝30°，∵∠APE+∠BPE＝30°，∠BCE＝30°＝∠BPE+∠PBC，∴∠APE＝∠PBC，∵∠AOE＝∠BCO＝30°，∴∠AOP＝∠BCP＝150°，且∠APE＝∠PBC，PA＝PB∴△OAP≌△CPB（AAS）∴OP＝BC＝4，∴点P（﹣4，0）综上所述：点P坐标为（4，0）或（﹣4，0）9、如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+b与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C（m，0）在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上，过点D作DE⊥x 轴于点E．（1）求m和b的数量关系；（2）当m＝1时，如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B′C′D′，当直线B′C′经过点D时，求点B′的坐标及△BCD平移的距离；（3）在（2）的条件下，直线AB上是否存在一点P，以P、C、D为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，写出满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）直线y＝﹣x+b与y轴相交于B点，∴B（0，b）∴OB＝b，∵点C（m，0）∴OC＝m∵∠BCO+∠ECD＝90°，∠BCO+∠OBC＝90°，∴∠OBC＝∠ECD．在△OBC和△ECD中，∴△OBC≌△ECD（AAS）∴BO＝CE＝b，DE＝OC＝m，∴点D（b+m，m）∴m＝﹣（b+m）+b∴b＝3m（2）∵m＝1，∴b＝3，点C（1，0），点D（4，1）∴直线AB解析式为：y＝﹣x+3设直线BC解析式为：y＝ax+3，且过（1，0）∴0＝a+3∴a＝﹣3∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+3，设直线B′C′的解析式为y＝﹣3x+c，把D（4，1）代入得到c＝13，∴直线B′C′的解析式为y＝﹣3x+13，当y＝3时，x＝当y＝0时，x＝∴B′（，3），C'（，0）∴CC′＝，∴△BCD平移的距离是个单位．（3）当∠PCD＝90°，PC＝CD时，点P与点B重合，∴点P（0，3）如图，当∠CPD＝90°，PC＝PD时，∵BC＝CD，∠BCD＝90°，∠CPD＝90°∴BP＝PD∴点P是BD的中点，且点B（0，3），点D（4，1）∴点P（2，2）综上所述，点P为（0，3）或（2，2）时，以P、C、D为顶点的三角形是等腰直角三角形．10、如图，已知一次函数y＝﹣x+7与正比例函数y＝x的图象交于点A，且与x轴交于点B．（1）求△AOB的面积：（2）在y轴上找一点C，使AC+BC最小，求最小值及C点坐标．（3）点P从O出发向B点以1个单位每秒的速度运动，点Q从B点出发向A点以同样的速度运动，两个点同时停止，当△BPQ为等腰三角形时，求Q点坐标．解：（1）∵一次函数y＝﹣x+7与正比例函数y＝x的图象交于点A，且与x轴交于点B．∴点B（7，0），﹣x+7＝x∴x＝3，∴点A（3，4）∴S△AOB＝×7×4＝14；（2）如图1，作点B关于y轴的对称点H（﹣7，0），连接AH，交y轴于点C，∴此时AC+BC最小值为AH，∵点A（3，4），点H（﹣7，0），∴AH＝＝2，∴AC+BC最小值为2，设直线AH解析式为：y＝kx+b，且过点A（3，4），点H（﹣7，0），∴，解得：∴直线AH解析式为：y＝x+；（3）如图2，过点Q作QE⊥OB，∵以同样的速度运动，∴BQ＝OP，∵一次函数y＝﹣x+7与y轴交于点D，∴点D（0，7），∴OD＝OB＝7，且∠DOB＝90°，∴∠DBO＝45°，且QE⊥OB，∴∠QBE＝∠EQB＝45°，∴QE＝BE，∴QB＝QE＝EB，若PB＝QB，且OP＝BQ，∴OP＝PB＝＝BQ，∴BE＝EQ＝，∴OE＝7﹣，∴点Q（7﹣，），若QP＝QB，且QE⊥OB，∴PE＝BE，∵OB＝7＝OP+PE+BE，∴7＝BE+2BE，∴BE＝＝QE，∴OE＝∴点Q（，），如图3，若BP＝PQ，过点P作PF⊥BQ，∴BF＝FQ＝BQ，∵∠ABO＝45°，PF⊥AB，∴∠FPB＝∠ABO＝45°，∴PF＝BF，∴PB＝BF，∴7﹣BQ＝∴BQ＝，∴BE＝QE＝，∴点Q坐标为（7﹣，）．11、一边长为4正方形OACB放在平面直角坐标系中，其中O为原点，点A、B分别在x轴、y轴上，D为射线OB上任意一点．（1）如图1，若点D坐标为（0，2），连接AD交OC于点E，则△AOE的面积为；（2）如图2，将△AOD沿AD翻折得△AED，若点E在直线y＝x图象上，求出E点坐标；（3）如图3，将△AOD沿AD翻折得△AED，DE和射线BC交于点F，连接AF，若∠DAO＝75°，平面内是否存在点Q，使得△AFQ是以AF为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出所有点Q坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵边长为4正方形OACB放在平面直角坐标系中，∴点A坐标（4，0），点C（4，4），∴直线OC解析式为：y＝x，∵点D坐标为（0，2），点A坐标（4，0），∴直线AD解析式为：y＝﹣x+2，∴解得：∴点E坐标（，）∴△AOE的面积＝×4×＝，故答案为：；（2）如图2，过点E作EH⊥OA，∵将△AOD沿AD翻折得△AED，∴AO＝AE＝4，设点E（a，a），∴OH＝a，EH＝a，∴AH＝4﹣a，∵AE2＝EH2+AH2，∴16＝a2+（4﹣a）2，∴a＝0（舍去），a＝，∴点E（，）（3）∵将△AOD沿AD翻折得△AED，∴∠DAO＝∠DAE＝75°，OA＝AE，∠DOA＝∠DEA＝90°，∴∠OAE＝150°，AE＝AC，∠ACF＝∠AED＝90°，∴∠CAE＝60°，∵AE＝AC，AF＝AF，∴Rt△AEF≌Rt△ACF（HL）∴∠CAF＝∠EAF＝30°，且AC＝4，∴CF＝，∵△AFQ是以AF为直角边的等腰直角三角形，∴若∠AFQ＝90°，AF＝FQ，如图3，过点Q作QN⊥BF，∴∠NQF+∠QFN＝90°，且∠QFN+∠AFC＝90°，∴∠NQF＝∠AFC，且∠ACF＝∠QNF＝90°，QF＝AF，∴△QNF≌△FCA（AAS）∴QN＝CF＝，AC＝NF＝4，∴点Q（，4+）同理可求：Q'（8+，4﹣），若∠FAQ＝90°，AF＝AQ时，同样方法可求，Q''（0，），Q'''（8，﹣）。
专题三 一次函数与一元一不等式问题 2020年中考数学冲刺难点突破 一次函数问题(解析版)
2020年中考数学冲刺难点突破一次函数问题专题三一次函数与一元一不等式问题1、如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），点C在第一象限，对角线BD与x轴平行．直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点E，F．将菱形ABCD沿x轴向左平移k个单位，当点C落在△EOF的内部时（不包括三角形的边），k的值可能是（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：连接AC，BD，交于点Q，过C作y轴垂线，交y轴于点M，交直线EF于点N，如图所示，∵菱形ABCD的顶点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），点C在第一象限，对角线BD与x轴平行，∴CQ＝AQ＝1，CM＝2，即AC＝2AQ＝2，∴C（2，2），当C与M重合时，k＝CM＝2；当C与N重合时，把y＝2代入y＝x+4中得：x＝﹣2，即k＝CN＝CM+MN ＝4，∴当点C落在△EOF的内部时（不包括三角形的边），k的范围为2＜k＜4，则k的值可能是3，故选：B．2、如图，点B，C分别在直线y＝2x和直线y＝kx上，A，D是x轴上两点，若四边形ABCD是长方形，且AB ：AD ＝1：2，则k 的值是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：设长方形的AB 边的长为a ，则BC 边的长度为2a ，B 点的纵坐标是a ，把点B 的纵坐标代入直线y ＝2x 的解析式得：x ＝，则点B 的坐标为（，a ），点C 的坐标为（+2a ，a ），把点C 的坐标代入y ＝kx 中得，a ＝k （+2a ），解得：k ＝．故选：B ．3、函数与（）的图象如图所示，这两个函数图象的交点在轴上，那么使，的值都大于零的的取值范围是___________．【思路点拨】使，的值都大于零的图象在轴的上方，这部分图象的自变量在与轴的两个交点的横坐标之间.【答案】－1＜＜2；11y x =+2y ax b =+0a ≠y 1y 2yx 1y 2y x x x【解析】由，可知与轴的交点坐标为（－1，0），使，的值都大于零的图象在轴的上方，这部分图象的自变量的取值范围是－1＜＜2.【总结升华】本题考查了一次函数与不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．4、如图所示，函数和的图象相交于（－1，1），（2，2）两点．当 12y y >时，x 的取值范围是（ ）A ．＜－1B ．—1＜＜2C ．＞2D ． ＜－1或＞2【答案】D ；提示：反映在图象上，是的图象在的上方，这部分图象自变量的取值范围有两部分，是＜－1或＞2.5、作出函数24y x =-的图象，并根据图象回答下列问题：（1）当－2≤x ≤4时，求函数y 的取值范围；（2）当x 取什么值时，y ＜0，y ＝0，y ＞0；（3）当x 取何值时，－4＜y ＜2．【答案与解析】解：当x ＝0时，y ＝－4，当y ＝0时，x ＝2，即24y x =-过点（0，－4）和点（2，0），过这两点作直线即为24y x =-的图象，从图象得出函数值随x 的增大而增大；11y x =+1y x 1y 2y x x x y =134312+=xy x x x x x 21y y >1y 2y x x（1）当x ＝－2时，y ＝－8，当x ＝4，y ＝4，∴当－2≤x ≤4时，函数y 的取值范围为：－8≤y ≤4；（2）由于当y ＝0时，x ＝2，∴当x ＜2时，y ＜0，当x ＝2时，y ＝0，当x ＞2时，y ＞0；（3）∴当y ＝－4时，x ＝0；当y ＝2时，x ＝3，∴当x 的取值范围为：0＜x ＜3时，有－4＜y ＜2．【总结升华】本题要求利用图象求解各问题，先求得函数与坐标轴的交点后，画函数图象，根据图象观察，得出函数的增减性后，求得结论.6、某电信公司开设了甲、乙两种市内移动通信业务，甲种使用者每月需缴15元月租费，然后通话每分钟再付话费0.3元，乙种使用者不缴月租费，通话每分钟付费0.6元，若一个月内通话时间为x 分钟，甲、乙两种业务的费用分别为1y 和2y 元．(1)试分别写出1y 、2y 与x 之间的函数关系式；(2)画出1y 、2y 的图象；(3)利用图象回答，根据一个月的通话时间，你认为选哪种通信业务更优惠?【思路点拨】收费与通话时间有关，分别写成两种收费方式的函数模型(建立函数关系式)，然后再考虑自变量为何值时两个函数值相等，从而做出选择．【答案与解析】解：(1)根据题意可得：10.315y x =+(x ≥0)，20.6y x =(x ≥0)．(2)利用两点可画10.315y x =+(x ≥0)和20.6y x =(x ≥0)的图象，如下图所示．(3)由图象可知：两个函数的图象交于点(50，30)，这表示当x＝50时，两个函数的值都等于30．因此一个月内，通话时间为50分钟．选哪一种通话业务都行，因为付费都是30元，当一个月内通话时间低于50分钟时，选乙种业务更优惠，当一个月内通话时间大于50分钟时，选甲种业务更优惠．【总结升华】解决这类问题首先根据题意确定函数解析式，然后在坐标系内画出函数，找到它们的交点，从而得函数值相等时的自变量的取值，然后根据这一取值就可作出正确的选择．7、如图，直线l与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、点B（0，2），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∴BAC＝90°，点P（1，a）为坐标系中的一个动点．（1）请直接写出直线l的表达式；（2）求出∴ABC的面积；（3）当∴ABC与∴ABP面积相等时，求实数a的值．【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线l的表达式为：；（2）在Rt∴ABC中，由勾股定理得：AB2＝OA2+OB2＝32+22＝13∴∴ABC为等腰直角三角形，∴S∴ABC＝AB2＝；（3）连接BP，PO，P A，则：∴若点P在第一象限时，如图1：∴S∴ABO＝3，S∴APO＝a，S∴BOP＝1，∴S∴ABP＝S∴BOP+S∴APO﹣S∴ABO＝，即，解得；∴若点P在第四象限时，如图2：∴S∴ABO＝3，S∴APO＝﹣a，S∴BOP＝1，∴S∴ABP＝S∴BOP+S∴APO﹣S∴ABO＝，即，解得a＝﹣3；故：当∴ABC与∴ABP面积相等时，实数a的值为或﹣3．8、如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于点A（a，0）点，B（0，b），且a、b满足a2﹣4a+4+|2a﹣b|＝0，点P在直线AB的左侧，且∴APB＝45°．（1）求a、b的值；（2）若点P在x轴上，求点P的坐标；（3）若∴ABP为直角三角形，求点P的坐标．【解答】解：（1）∴a2﹣4a+4+|2a+b|＝0，∴（a﹣2）2+|2a+b|＝0，∴a＝2，b＝4．（2）由（1）知，b＝4，∴B（0，4）．∴OB＝4．∴点P在直线AB的左侧，且在x轴上，∴APB＝45°∴OP＝OB＝4，∴B（4，0）．（3）由（1）知a＝﹣2，b＝4，∴A（2，0），B（0，4）∴OA＝2，OB＝4，∴∴ABP是直角三角形，且∴APB＝45°，∴只有∴ABP＝90°或∴BAP＝90°，如图，∴当∴ABP＝90°时，∴∴BAP＝45°，∴∴APB＝∴BAP＝45°．∴AB＝PB．过点P作PC∴OB于C，∴∴BPC+∴CBP＝90°，∴∴CBP+∴ABO＝90°，∴∴ABO＝∴BPC．在∴AOB和∴BCP中，∴AOB＝∴BCP＝90°，∴ABO＝∴BPC，AB＝PB，∴∴AOB∴∴BCP（AAS）．∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2．∴OC＝OB﹣BC＝2．∴P（﹣4，2）．∴当∴BAP＝90°时，过点P'作P'D∴OA于D，同∴的方法得，∴ADP'∴∴BOA（AAS）．∴DP'＝OA＝2，AD＝OB＝4．∴OD＝AD﹣OA＝2．∴P'（﹣2，2））．即：满足条件的点P（﹣4，2）或（﹣2，﹣2）．9、如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），点C在第一象限，对角线BD与x轴平行．直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点E，F．将菱形ABCD沿x轴向左平移k个单位，当点C落在∴EOF的内部时（不包括三角形的边），k的值可能是（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：连接AC，BD，交于点Q，过C作y轴垂线，交y轴于点M，交直线EF于点N，如图所示，∴菱形ABCD的顶点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），点C在第一象限，对角线BD与x轴平行，∴CQ＝AQ＝1，CM＝2，即AC＝2AQ＝2，∴C（2，2），当C与M重合时，k＝CM＝2；当C与N重合时，把y＝2代入y＝x+4中得：x＝﹣2，即k＝CN＝CM+MN ＝4，∴当点C落在∴EOF的内部时（不包括三角形的边），k的范围为2＜k＜4，则k的值可能是3，故选：B．10、如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AB．过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D，运动时间为t秒．当S∴BCD＝时，t的值为（）A．2或2+3B．2或2+3C．3或3+5D．3或3+5【解答】解：根据题意得：∴BAC＝90°，∴∴CAO+∴BAE＝90°，∴BE∴x轴，∴∴AEB＝90°＝∴AOC，∴∴ABE+∴BAE＝90°，∴∴CAO＝∴ABE．∴∴CAO∴∴ABE．∴＝，∴M是AC的中点，AB＝AM，∴CA＝2AB，∴＝，∴BE＝t，AE＝2．分两种情况：∴当0＜t＜8时，如图1所示：S＝CD•BD＝（2+t）（4﹣）＝解得：t1＝t2＝3．∴当t＞8时，如图2所示，S＝CD•BD＝（2+t）（﹣4）＝．解得：t1＝3+5，t2＝3﹣5（不合题意，舍去）．综上所述：当t＝3或3+5时，S＝；故选：D．11、如图，一次函数y＝﹣x+1的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点C在y轴的正半轴上，且OC＝3．在直线AB上有一点P，若满足∴CPB＞∴ACB，则点P横坐标x的取值范围是．【解答】解：如图所示：过点P1作P1E∴x轴于点E，∴一次函数y＝﹣x+1的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点C在y轴的正半轴上，且OC＝3，∴AO＝BO＝1，则BC＝2，AC＝，AB＝，当∴CP1B＝∴ACB时，又∴∴CAB＝∴CAP1，∴∴CAB∴∴P1AC，∴＝，则＝，解得：AP1＝5，则AE＝P1E＝5，故P1（﹣4，5），当∴CPB＞∴ACB时，则点P横坐标x满足：﹣4＜x，同理可得：当∴CP2B＝∴ACB时，又∴∴ABC＝∴P2BC，∴∴CAB∴∴P2CB，∴＝，则＝，解得：BP2＝2，可得P2（2，﹣1），故当∴CPB＞∴ACB时，则点P横坐标x满足：2＞x，综上所述：﹣4＜x＜2且x≠0．故答案为：﹣4＜x＜2且x≠0．12、在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y1＝x交于点C．（1）当直线AB解析式为y2＝﹣x+10时，如图1．∴求点C的坐标；∴根据图象求出当x满足什么条件时﹣x+10＜x．（2）如图2，作∴AOC的平分线ON，若AB∴ON，垂足为E，∴OAC的面积为9，且OA＝6．P，Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值：若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∴由題意，，解得：，所以C（4，4）．∴观察图象可知x＞4时，直线AB位于直线OC的下方，即x＞4时，﹣x+10＜x．（2）由题意，在OC上截取OM＝OP，连结MQ，∴ON平分∴AOC，∴∴AOQ＝∴COQ，又OQ＝OQ．∴∴POQ∴∴MOQ（SAS），∴PQ＝MQ，∴AQ+PQ＝AQ+MQ，当A、Q、M在同一直銭上，且AM∴OC吋，AQ+MQ最小，即AQ+PQ存在最小値；∴AB∴ON，∴∴AEO＝∴CEO，∴∴AEO∴∴CEO（ASA），∴OC＝OA＝6，∴∴OAC的面积为9，∴OC•AM＝9，∴AM＝3，∴AQ+PQ存在最小值，最小值为3．13、在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝k1x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，且OB＝OA，直线l2：y＝k2x+b经过点C（，1），与x轴、y轴、直线AB分别交于点E、F、D三点．（1）求直线l1的解析式；（2）如图1，连接CB，当CD∴AB时，求点D的坐标和∴BCD的面积；（3）如图2，当点D在直线AB上运动时，在坐标轴上是否存在点Q，使∴QCD是以CD为底边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）y＝k1x+6，当x＝0时，y＝6，∴OB＝6，∴OB＝OA，∴OA＝2，∴A（﹣2，0），把A（﹣2，0）代入：y＝k1x+6中得：﹣2k1+6＝0，k1＝，∴直线l1的解析式为：y＝x+6；（2）如图1，过C作CH∴x轴于H，∴C（，1），∴OH＝，CH＝1，Rt∴ABO中，AB＝＝4，∴AB＝2OA，∴∴OBA＝30°，∴OAB＝60°，∴CD∴AB，∴∴ADE＝90°，∴∴AED＝30°，∴EH＝，∴OE＝OH+EH＝2，∴E（2，0），把E（2，0）和C（，1）代入y＝k2x+b中得：，解得：，∴直线l2：y＝﹣x+2，∴F（0，2）即BF＝6﹣2＝4，则，解得，∴D（﹣，3），∴S∴BCD＝BF（x C﹣x D）＝＝4；（3）分四种情况：∴当Q在y轴的正半轴上时，如图2，过D作DM∴y轴于M，过C作CN∴y轴于N，∴∴QCD是以CD为底边的等腰直角三角形，∴∴CQD＝90°，CQ＝DQ，∴∴DMQ＝∴CNQ＝90°，∴∴MDQ＝∴CQN，∴∴DMQ∴∴QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（0，﹣m+1），∴OQ＝QN+ON＝OM+QM，即﹣m+1＝m+6+，m＝＝1﹣2，∴Q（0，2）；∴当Q在x轴的负半轴上时，如图3，过D作DM∴x轴于M，过C作CN∴x轴于N，同理得：∴DMQ∴∴QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝1，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（m+1，0），∴OQ＝QN﹣ON＝OM﹣QM，即m+6﹣＝﹣m﹣1，m＝5﹣4，∴Q（6﹣4，0）；∴当Q在x轴的负半轴上时，如图4，过D作DM∴x轴于M，过C作CN∴x轴于N，同理得：∴DMQ∴∴QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝1，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（m﹣1，0），∴OQ＝QN﹣ON＝OM+QM，即﹣m﹣6﹣＝﹣m+1，m＝﹣4﹣5，∴Q（﹣4﹣6，0）；∴当Q在y轴的负半轴上时，如图5，过D作DM∴y轴于M，过C作CN∴y轴于N，同理得：∴DMQ∴∴QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（0，m+1），∴OQ＝QN﹣ON＝OM+QM，即﹣m﹣6+＝﹣m﹣1，m＝﹣2﹣1，∴Q（0，﹣2）；综上，存在点Q，使∴QCD是以CD为底边的等腰直角三角形，点Q的坐标是（0，±2）或（6﹣4，0）或（﹣4﹣6，0）．。
初中一次函数学习困难原因与对策探究
初中一次函数学习困难原因与对策探究摘要：在升入初中后，学生首先会接触到一次函数的相关内容。
对于学生来说，函数算得上初中数学的一大难点。
很多学生在面对函数时常常不知所措，存在诸多问题。
教师需要针对学生的学习情况进行总结归纳，才能够帮助学生解决在一次函数上的问题。
因此，本文围绕浅析初中一次函数学习困难的原因分析及对策展开论述，希望对初中数学教师有所帮助。
关键词：初中数学；一次函数；学习困难；原因；对策前言：初中数学一次函数教学属于学生对函数的初次探索。
在这个探索过程中如果教师没有明晰学生存在的问题或是没有创新自己的教学模式，学生会在学习过程中感到吃力和乏味。
因此，为了能够帮助初中学生快速入门，教师需要在一次函数的教学方法上下功夫。
教师需要在日常教学活动中去了解学生存在的问题，从而针对学生的问题开展教学工作，给予学生针对性强且个性化十足的教学。
笔者根据自己的数学教学经验，从一次函数学习困难的原因入手到一次函数学习应对措施展开探讨，希望能够给予各位初中数学教师一些灵感。
一、一次函数学习困难原因（一）阅读能力不足一些学生学习函数知识和解题时，存在困难原因在于阅读能力不足，如学生很难去捕捉题目所给的重要信息。
由于学生自身对函数某些概念模糊导致学生很难针对具体的知识点答题。
这种问题在学生群体中十分明显，很多学生都会存在读题方面的问题。
并且学生还会出现很多因为概念混淆出现的问题，学生很多会将一次函数和正比例函数搞混淆。
学生即使确定了字母的取值范围，也会忽略正比例函数时一次函数的特例。
这些都说明学生的阅读能力有待提升，学生需要去仔细阅读相关的概念，在弄清概念后阅读题目会更加自信。
（二）数形结合思想薄弱一次函数作为函数知识学习的入门，同样需要学生培养数形结合的思想[1]。
一次函数常常会将方程式和图形相结合，极其考察学生的图形运用能力。
并且在一次函数中还存在很多需要分类讨论的题型。
如果学生对函数图形不熟悉，会在分类讨论时出现错误。
专题12 一次函数的图象和性质(原卷版)2021年中考数学二轮复习之难点突破热点解题方法
专题12 一次函数的图象和性质一、单选题1．如图，点C 、B 分别在两条直线y ＝﹣3x 和y ＝kx 上，点A 、D 是x 轴上两点，若四边形ABCD 是正方形，则k 的值为（ ）A ．3B ．2C ．23D ．32二、解答题 2．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于B 、A 两点，OA OB =，AOB 的面积是8．（1）求点A 坐标；（2）点P 是第二象限直线AB 上一动点，连接OP ，把线段OP 绕点O 逆时针旋转90°得到线段OC ，设点P 的横坐标为t ，点C 的横坐标为m ，求出m 与t 的关系式，（不要求写出t 的取值范围）； （3）在（2）的条件下，且2t =-时，过点P 作PH x ⊥轴于H ，在PH 上取点K ，连接BK ，过点H 作HI BK ⊥于I ，延长HI 交PB 于点J ，连接KJ ，若PKJ HKB ∠=∠，求K 点坐标． 3．如图1，在平面直角坐标系中，直线1:3l y kx =+与直线2:6l y x =--交于点A ，已知点A 的横坐标为185-，直线1l 与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，直线2l 与x 轴交于点F ，与y 轴交于点D ．（1）求直线1l 的解析式；（2）将直线2l 向上平移92个单位得到直线3l ，直线3l 与y 轴交于点E ，过点E 作y 轴的垂线4l ，若点M 为垂线4l 上的一个动点，点N 为2l 上的一个动点，求DM MN +的最小值；（3）已知点P Q 、分别是直线12l l 、上的两个动点，连接EP EQ PQ 、、，是否存在点P Q 、，使得EPQ △是以点Q 为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求点Q 的坐标若不存在，说明理由．4．如图，已知一次函数y ＝3x +3与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，直线AC 与x 正半轴交于点C ，且AC ＝BC ．（1）求直线AC 的解析式；（2）点D 为线段AC 上一点，点E 为线段CD 的中点，过点E 作x 轴的平行线交直线AB 于点F ，连接DF 交x 轴于点G ，求证：AD ＝BG ；（3）在（2）的条件下，线段EF 、DG 分别与y 轴交于点M 、N ，若∠AFD ＝2∠BAO ，求线段MN 的长．5．如图1，在△ABC 中，BC=5，tan ∠ABC=2，tan ∠ACB=12，以边BC 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，使得y 轴经过点A ，过点C 作AB 的平行线，交y 轴于点D ．（1）求直线CD 的解析式；（2）如图2，点P 是直线CD 上一个动点，①连接AP 、BP ，直线AP 把四边形ABPC 的面积分成2：3的两部分，求点P 的坐标；②当∠PBC=2∠BAO 时，直接写出此时点P 的坐标．6．如图，直线y ＝43x+4与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ． （1）求A ，B 两点的坐标；（2）过B 点作直线与x 轴交于点P ，若△ABP 的面积为8，试求点P 的坐标．（3）点M 是OB 上的一点，若将△ABM 沿AM 折叠，点B 恰好落在x 轴上的点B 1处，求出点M 的坐标． （4）点C 在y 轴上，连接AC ，若△ABC 是以AB 为腰的等腰三角形，请直接写出点C 的坐标．7．如图1，一次函数22y x =-+的图象与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，过点B 作线段BC AB ⊥且BC AB =，直线AC 交x 轴于点D ．（1）点A 的坐标为______，点B 的坐标为______；（2）直接写出点C 的坐标______，并求出直线AC 的函数关系式；（3）若点P 是图1中直线AC 上的一点，连接OP ，得到图2．当点P 在第二象限，且到x 轴，y 轴的距离相等时，求出AOP 的面积；（4）若点Q 是图1中坐标平面内不同于点B 、点C 的一点，当以点C ，D ，Q 为顶点的三角形与BCD △全等时，直接写出点Q 的坐标．8．如图，直线6y kx =+与x 轴、y 轴分别相交于点E 、F ，点E 的坐标为()8,0-，点A 的坐标为()6,0-，点(),P x y 是第二象限内的直线上的一个动点．（1）求k 的值．（2）在点P 的运动过程中，写出OPA 的面积S 与x 的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围． （3）已知()0,2Q -，当点P 运动到什么位置时，直线PQ 将四边形EPOQ 分成两部分，面积比为1:2，请直接写出P 点坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，(,0)A m 、(0,)B n ，m 、n 满足2()|4|0m n m -+-=．点D 是x 轴正半轴上一动点．（1）OB 的长度为__________；（2）若点P 是线段AB 上一动点，且PO PD =，DE AB ⊥于E ．①如图，当点D 在线段OA 上时，PE 与AB 的数量关系为__________；②如图，当点D 在线段OA 的延长线上时，①中结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由； （3）如图，当点D 在线段OA 的延长线上时，连接BD ，以BD 为腰在其右侧作等腰Rt BDF ，90BDF ∠=，连接FA 并延长交y 轴于G 点，请问线段BG 的长度是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度．10．如图，已知直线113y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将△AOB 绕点O 顺时针旋转90︒后得到COD △．（1）点C 的坐标为_________，线段AD =_________；（2）点M 在CD 上，且CM OM =，抛物线2y x bx c =++经过点C M ，，求抛物线的解析式；（3）如果点E 在y 轴上，且位于点C 的下方，点F 在直线AC 上，那么在（2）中的抛物线上是否存在点P ，使得以C E F P ，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的周长l ；若不存在，请说明理由．11．如图所示，在平面直角坐标系中，点A 坐标为（2， 0），点B 坐标为（3， 1），将直线AB 沿x 轴向左平移经过点C （1，1）．（1）求平移后直线L 的解析式；（2）若点P 从点C 出发，沿（1）中的直线L 以每秒1个单位长度的速度向直线L 与x 轴的交点运动，点Q 从原点O 出发沿x 轴以每秒2个单位长度的速度向点A 运动，两点中有任意一点到达终点运动即停止，设运动时间为t ．是否存在t ，使得△OPQ 为等腰三角形?若存在，直接写出此时t 的值：若不存在，请说明理由，12．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的边8AB =，20BC =，若不改变矩形ABCD 的形状和大小．（1）当矩形顶点C 在x 轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点B 始终在y 轴的正半轴上随之上下移动．当30OCB ∠=︒时，求点A 的坐标．（2）如图2、3，长方形ABCD 中，BC 在x 轴上，且O 与B 重合．将矩形折叠，折痕GF 的一个端点F在边AD 上，另一个端点G 在边BC 上，且()100G ，，顶点B 的对应点为E ，连接BF ． ①如图2，当顶点B 的对应点E 落在边AD 上时，求折痕FG 的长．②如图3，当顶点B 的对应点E 落在长方形内部，E 的纵坐标为6，求AF 的长．13．如图，矩形AOBC 的两条边OA ，OB 的长是方程318800x x -+=的两根，其中OA OB <，沿直线AD 将矩形折叠，使点C 与y 轴上的点E 重合，（1）求A ，B 两点的坐标；（2）求直线AD 的解析式；（3）若点P 在y 轴上，平面内是否存在点Q ，使以A ，D ，P ，Q 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形AOBC 的顶点C 的坐标是，动点P 从点A 出发，沿线段AO 向终点O 运动，同时动点Q 从点B 出发，沿线段BC 向终点C 运动．点P Q 、的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为(06)t t <<秒，过点P 作PE AO ⊥交AB 于点E ．（1）求直线AB 的解析式；（2）设PEQ 的面积为S ，求当03t <<时，S 与t 时间的函数关系；（3）在动点P Q 、运动的过程中，点H 是矩形AOBC 内（包括边界）一点，且以B Q E H 、、、为顶点的四边形是菱形，直接写出t 值和与其对应的点H 的坐标．15．综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，直线33:42l y x =+与x 轴交于点A ，与直线BC 交于点()2,B m ， 直线BC与x 轴交于点()3,0C ．（1）求直线BC 的函数表达式；（2）在线段BC 上找一点D ，使得ABO ∆与ABD ∆的面积相等，求出点D 的坐标；（3）y 轴上有一动点P ，直线BC 上有一动点M ，若APM ∆是以线段AM 为斜边的等腰直角三角形，求出点M 的坐标．16．如图，在平面直角坐标系中，直线24y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，过点B 的直线交x 轴于C ，且ABC ∆面积为10．（1）求点C 的坐标及直线BC 的解析式．（2）如图1设点F 为线段AB 中点，点G 为y 轴上一动点，连接FG ，以FG 为边向FG 右侧作以G 为直角顶点的等腰Rt FGQ ∆，在G 点运动过程中，当点Q 落在直线BC 上时，求点G 的坐标． （3）如图2，若M 为线段BC 上一点，且满足AMB AOB S S ∆∆=，点E 为直线AM 上一动点，在x 轴上是否存在点D ，使以点D ，E ，B ，C 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为()3,4-，点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ，连接BM ．（1）菱形ABCO 的边长是_______；（2）求直线AC 的解析式；（3）动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位/秒的速度向终点C 匀速运动，设PMB △的面积为()0S S ≠，点P 的运动时间为t 秒，当点P 在AB 边上运动时，求S 与t 之间的函数关系式．18．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 分别在x 轴y 轴的正半轴上，线段OA 的长是不等式()5432x x -<+的最大整数解，线段OB 的长是一元二次方程2230x x --=的一个根，将Rt ABO ∆沿BE 折叠，使AB 边落在OB 边所在的y 轴上，点A 与点D 重合．（1）求OA 、OB 的长；（2）求直线BE 的解析式；（3）在平面内是否存在点M ，使B 、O 、E 、M 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．。
一次函数教学反思
一次函数教学反思一次函数教学反思1（1）合理使用教材事物之间是存在普遍联系的，研究二元一次方程组与一次函数之间的关系应证了辨证唯物主义的这一观点．同时利用二元一次方程组解决一次函数问题也是初中阶段数学学习的一个重要内容、教材通过引例对图像方法与代数方法的比较，使学生了解解决应用问题的策略和方法是多样性的，同时也使学生理解图像方法与代数方法在解决具体问题中各自的优劣，从而对方法作出正确的选择．对于教材的这一方面的使用，教师应根据自己学生的特点，选择合理的方式去让学生理解不同方法去解决同一问题。
（2）如何突出重点、突破难本节课主要要求学生能够利用二元一次方程组解决一次函数的解析式问题，根据一次函数解析式进一步解决相关的一些问题、要让学生理解为什么要用二元一次方程组去求解一次函数的解析式的必要性，从而掌握本堂课的基础知识．在教学的过程中，要让学生充分理解图像方法和代数方法解决问题的特点，在这个基础上，学生掌握用二元一次方程组解决一次函数的解析式问题才会有着坚实的理论基础，有关这一方面的题目要让学生充分讨论，其理解才会深刻；同时要以这一部分的知识为载体，结合教材例题，在补充分段图形题，甚至表格题，让学生充分理解用方程的思想去解决函数问题。
（3）需要改进的方面根据新课标的评价理念，教师在课堂教学中应尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，鼓励探索方式、表述方式和解题方法的多样化、在教学活动中教师关注的是学生的参与程度和表现出来的思维水平，关注的是学生对问题的理解水平和解决过程中的'表述水平，关注的是学生对基本知识技能的掌握情况和应用二元一次方程组解决一次函数的解析式的相关问题的提高、教学中可通过学生对“做一做”的探究情况和学生对反馈练习的完成情况分析学生的认识状况和解决问题的意识和能力水平、对于学生的回答教师应给予恰当的评价和鼓励，帮助学生认识自我，建立自信，发挥评价的教育功能。
一次函数教学反思21、合理使用教材教材通过引例对图像方法与代数方法的比较，使学生了解解决应用问题的策略和方法是多样性的，同时也使学生理解图像方法与代数方法在解决具体问题中各自的优劣，从而对方法作出正确的选择．对于教材的这一方面的使用，教师应根据自己学生的特点，选择合理的方式去让学生理解不同方法去解决同一问题。
一次函数数学教案优秀5篇
一次函数数学教案优秀5篇推文网精心整理一次函数数学教案，希望这份一次函数数学教案优秀5篇能够帮助大家，给予大家在写作上的思路。
更多一次函数数学教案资料，在搜索框搜索一次函数数学教案（精选篇1）教学目标1．知识与技能能应用所学的函数知识解决现实生活中的问题，会建构函数“模型”．2．过程与方法经历探索一次函数的应用问题，发展抽象思维．3．情感、态度与价值观培养变量与对应的，形成良好的函数观点，体会一次函数的应用价值．重、难点与关键1．重点：一次函数的应用．2．难点：一次函数的应用．3．关键：从数形结合分析思路入手，提升应用思维．教学方法采用“讲练结合”的教学方法，让学生逐步地熟悉一次函数的应用．教学过程一、范例点击，应用所学例5小芳以米/分的速度起跑后，先匀加速跑5分，每分提高速度20米/分，又匀速跑10分，试写出这段时间里她的跑步速度y（单位：米/分）随跑步时间_（单位：•分）变化的函数关系式，并画出函数图象．y=例6A城有肥料吨，B城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往C、D两乡．从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为每吨20元和25元；从B城往C、D•两乡运肥料的费用分别为每吨15元和24元，现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨，•怎样调运总运费最少？解：设总运费为y元，A城往运C乡的肥料量为_吨，则运往D乡的肥料量为（-_）吨．B城运往C、D乡的肥料量分别为（240-_）吨与（60+_）吨．y与_的关系式为：y=•20_+25（-_）+15（240-_）+24（60+_），即y=4_+10040（0≤_≤）．由图象可看出：当_=0时，y有最小值10040，因此，从A城运往C乡0吨，运往D•乡吨；从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨，此时总运费最少，总运费最小值为10040元．拓展：若A城有肥料300吨，B城有肥料吨，其他条件不变，又应怎样调运？二、随堂练习，巩固深化课本P119练习．三、课堂，发展潜能由学生自我本节课的表现．四、布置作业，专题突破课本P120习题14．2第9，10，11题．板书设计14.2.2一次函数(4)1、一次函数的应用例：练习：一次函数数学教案（精选篇2）一、课程标准要求:①结合具体情境体会一次函数的意义，根据已知条件确定一次函数表达式。
高一函数重难点突破(复习知识)
高一函数重难点突破一、 求复合函数的定义域的四种题型 1.已知f[x]的定义域,求f(g(x))的定义域例1设函数f(x)的定义域为(0,1),求函数f(lnx)的定义域2.已知f[g(x)]的定义域,求f(x)的定义域例2已知f(3-2x)的定义域为x ∈[-1,2], 求函数f(x)的定义域3.已知f[g(x)]的定义域,求f(h(x))的定义域例3若函数f(2x )的定义城为[-1,1], 求f(log 2x)的定义域4.已知()x f 的定义域，求四则运算型函数的定义域 例4 已知函数()x f 定义域为是],[b a ，且0>+b a 求函数()()()m x f m x f x h -++=()0>m 的定义域解 ⎩⎨⎧+≤≤+-≤≤-⇒⎩⎨⎧≤-≤≤+≤mb x m a mb x m a b m x a b m x a ，m a m a m +<-∴>,0 m b m b +<-，又m b m a +<-要使函数()x h 的定义域为非空集合，必须且只需m b m a -≤+，即20ab m -≤<， 此时函数()x h 的定义域为{x|a+m }*注* 定义域指的是自变量x 的取值范围；同一个对应关系f 作用下（）的范围一样；定义域写成集合的形式，区间也是集合的一种表示方法二、 求函数解析式的六种题型1.待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f2.配凑法或换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式。
[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。
但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。
例2 （1） 已知221)1(xx x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式（2） 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f3.构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
难点突破专题- 次函数与定点、定直线
难点突破专题-次函数与定点、定直线
难点突破一直线过定点
1.直线y=kx一定经过点;若一次函数的图象经过原点，那么该-次丽数的解析式可设为
2.直线y=kx+1一定经过点;若一次函数的图象经过点(0,-1),那么该一次函数的解析式可设为
3.直线y=kx- 2k+3一定经过点;若一次函数的图象经过点(- 2,3),该一次函数的解析式可设为
难点突破二过定点的直线的应用
4.已知一次函数y=kx-k+2.
(1)其图象过定点
(2)直线y=kx- k+2和直线y=2x的交点是_
(3)若0<k<2,不等式kx- k+2≤2x的解集是_
(4)当x=2时,y<0,则k的取值范围是
(5)若点A(2,3),B(5, -2),该一-次函数的图象与线段AB有交点,则k的取值范围是_
难点突破三利用坐标判断点在定直线上
5.点P(a,-3)一定在直线_ 上;
6.点P(a,a+2)一定在直线上;
7.点P(a+1,2a-3)一定在直线上;
难点突破四点在定直线上的应用
8.如图,A(4,0),B(0,4),点P在AB上运动,△OPQ 为等腰直角三角形,∠OPQ=90°.求证:点Q在某一确定的直线上.
9.如图,直线y=2x+4交x轴于点A,交y轴于点B,C(1,0),P为直线AB上一点，将线段PC绕点C 顺时针旋转90°得CQ.
(1)若点P的横坐标为-1,则点Q的坐标为_
(2)若点P的横坐标为m,用含m的式子表示点Q的坐标为
(3)当点P在直线AB.上运动时,点Q总在直线l上运动，求直线l的解析式.。
专题四 一次函数中的三角形综合式问题 2020年中考数学冲刺难点突破 一次函数问题(解析版)
2020年中考数学冲刺难点突破一次函数问题专题四一次函数中的三角形综合式问题1、如图，直线y＝﹣x+8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB的上的一点，若将△ABM沿M折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处．（1）求A、B两点的坐标；（2）求直线AM的表达式；（3）在x轴上是否存在点P，使得以点P、M、B′为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）当x＝0时，y＝8，∴B（0，8），当y＝0时，﹣x+8＝0，x＝6，∴A（6，0）；（2）在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，OB＝8，∴AB＝10，由折叠得：AB＝AB'＝10，∴OB'＝10﹣6＝4，设OM＝a，则BM＝B'M＝8﹣a，由勾股定理得：a2+42＝（8﹣a）2，a＝3，∴M（0，3），设AM：y＝kx+b，则，解得：，∴直线AM的解析式为：y＝﹣x+3；（3）在x轴上存在点P，使得以点P、M、B′为顶点的三角形是等腰二角形，如图∵M（0，3），B′（﹣4，0），∴B′M＝5，当PB′＝B′M时，P1（﹣9，0），P2（1，0）；当B′M＝PM时，P3（4，0），当PB′＝PM时，作BM的垂直平分线，交x轴于P4，交B′M与Q，易证得△P4B′Q∽△MB′O，则＝，即＝，∴P4B′＝，∴OP4＝4﹣＝，∴P4（﹣，0），综上，P点的坐标为（﹣9，0）或（1，0）或（4，0）或（﹣，0）．2、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+3的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，点A的坐标为（2，0）．（1）求k的值；（2）已知点Q在第四象限，且到两坐标轴距离相等，若△AOB的面积是△AOQ面积的2倍，求点Q的坐标．解：（1）∵点A（2，0）在一次函数y＝kx+3上，∴0＝2k+3，得k＝﹣1.5，即k的值是﹣1.5；（2）∵k＝﹣1.5，∴一次函数解析式为y＝﹣1.5x+3，∴当x＝0时，y＝3，即点B的坐标为（2，0），∴OB＝3，∵点A（2，0），∴OA＝2，∴△AOB的面积是＝＝3，又∵△AOB的面积是△AOQ面积的2倍，∴△AOQ的面积是1.5，设点Q的坐标为（a，﹣a），∴1.5＝，得a＝1.5，∴点Q的坐标为（1.5，﹣1.5）．3、如图，一次函数的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，4）．（1）求m的值及l2的解析式；（2）若点D在x轴上，使得S△DOC＝2S△BOC的值，请求出D点的坐标；（3）一次函数y＝kx+1的图象为l3，且l1，l2，l3不能围成三角形，则k的值为．解：（1）把C（m，4）代入一次函数y＝﹣x+5，可得4＝﹣m+5，解得m＝2，∴C（2，4），设l2的解析式为y＝ax，则4＝2a，解得a＝2，∴l2的解析式为y＝2x；（2）过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD＝4，CE＝2，在y＝﹣x+5中，令x＝0，则y＝5；令y＝0，则x＝10，∴A（10，0），B（0，5），∴AO＝10，BO＝5，∵S△DOC＝2S△BOC，∴OD×4＝2×，∴OD＝5，∴D点的坐标为（5，0）或（﹣5，0）；（3）一次函数y＝kx+1的图象为l3，且11，l2，l3不能围成三角形，∴当l3经过点C（2，4）时，k＝；当l2，l3平行时，k＝2；当11，l3平行时，k＝﹣；故k的值为或2或﹣，故答案为或2或﹣．4、如图，过点A（1，3）的一次函数y＝kx+6（k≠0）的图象分别与x轴，y轴相交于B，C两点．（1）求k的值；（2）直线l与y轴相交于点D（0，2），与线段BC相交于点E．（i）若直线l把△BOC分成面积比为1：2的两部分，求直线l的函数表达式；（△）连接AD，若△ADE是以AE为腰的等腰三角形，求满足条件的点E的坐标．解：（1）将点A的坐标代入一次函数y＝kx+6并解得：k＝﹣3；（2）一次函数y＝﹣3x+6分别与x轴，y轴相交于B，C两点，则点B、C的坐标分别为：（2，0）、（0，6）；（i）S△BCO＝OB×CO＝2×6＝6，直线l把△BOC分成面积比为1：2的两部分，则S△CDE＝2或4，而S△CDE＝×CD×x E＝4×x E＝2或4，则x E＝1或2，故点E（1，3）或（2，0），将点E的坐标代入直线l表达式并解得：直线l的表达式为：y＝±x+2；（△）设点E（m，﹣3m+6），而点A、D的坐标分别为：（1，3）、（0，2），则AE2＝（m﹣1）2+（3﹣3m）2，AD2＝2，ED2＝m2+（4﹣3m）2，当AE＝AD时，（m﹣1）2+（3﹣3m）2＝2，解得：m＝或；当AE＝ED时，同理可得：m＝；综上，点E的坐标为：（，）或（，）或（，）．5、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+2与x轴交于点A，直线l2：y＝3x﹣6与x轴交于点D，与l1相交于点C．（1）求点D的坐标；（2）在y轴上一点E，若S△ACE＝S△ACD，求点E的坐标；（3）直线l1上一点P（1，3），平面内一点F，若以A、P、F为顶点的三角形与△APD全等，求点F的坐标．解：（1）△直线l2：y＝3x﹣6与x轴交于点D，△令y＝0，则3x﹣6＝0，△x＝2，△D（2，0）；（2）如图1，△直线l1：y＝x+2与x轴交于点A，△令y＝0．△x+2＝0，△x＝﹣2，△A（﹣2，0），由（1）知，D（2，0），△AD＝4，联立直线l1，l2的解析式得，，解得，，△C（4，6），△S△ACD＝AD•|y C|＝×4×6＝12，△S△ACE＝S△ACD，△S△ACE＝12，直线l1与y轴的交点记作点B，△B（0，2），设点E（0，m），△BE＝|m﹣2|，△S△ACE＝BE•|x C﹣x A|＝|m﹣2|×|4+2|＝4|m﹣2|＝12，△m＝﹣2或m＝6，△点E（0，﹣2）或（0，6）；（3）如图2，△当点F在直线l1上方时，△以A、P、F为顶点的三角形与△APD全等，△△、当△APF'△△APD时，连接DF'，BD，由（2）知，B（0，2），由（1）知，A（﹣2，0），D（2，0），△OB＝OA＝OD，△△ABO＝△DBO＝45°，△△ABD＝90°，△DB△l1，△△APF'△△APD，△PF'＝PD，AF'＝AD，△直线l1是线段DF'的垂直平分线，△点D，F'关于直线l1对称，△DF'△l1，△DF'过点B，且点B是DF'的中点，△F'（﹣2，4），△、当△P AF△△APD时，△PF＝AD，△APF＝△P AD，△PF△AD，△点D（2，0），A（﹣2，6），△点D向左平移4个单位，△点P向左平移4个单位得，F（1﹣4，6），△F（﹣3，3），△当点F在直线l1下方时，△△P AF''△△APD，由△△知，△P AF△△APD，△△P AF△△P AF''，△AF＝AF''，PF＝PF''，△点F与点F'关于直线l1对称，△FF''△l1，△DF'△l1，△FF'△DF'，而点F'（﹣2，4）先向左平移一个单位，再向下平移一个单位，△D（2，0），向左平移1个单位，再向下平移一个单位得F''（2﹣1，0﹣1），△F''（1，﹣1），即：点F的坐标为（﹣3，3）或（﹣2，4）或（1，﹣1）．6、如图1，直线l：y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．已知点C（﹣2，0）．（1）求出点A，点B的坐标．（2）P是直线AB上一动点，且△BOP和△COP的面积相等，求点P坐标．（3）如图2，平移直线l，分别交x轴，y轴于交于点A1B1，过点C作平行于y轴的直线m，在直线m 上是否存在点Q，使得△A1B1Q是等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标．解：（1）设y＝0，则x+2＝0，解得：x＝﹣4，设x＝0，则y＝2，△点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标的坐标为（0，2）；（2）△点C（﹣2，0），点B（0，2），△OC＝2，OB＝2，△P是直线AB上一动点，△设P（m，m+2），△△BOP和△COP的面积相等，△×2|m|＝2×（|m|+2），解得：m＝±4，当m＝﹣4时，点P与点A重合，△点P坐标为（4，4）；（3）存在；理由：如图1，△当点B1是直角顶点时，△B1Q＝B1A1，△△A1B1O+△QB1H＝90°，△A1B1O+△OA1B1＝90°，△△OA1B1＝△QB1H，在△A1OB1和△B1HQ中，，△△A1OB1△△B1HQ（AAS），△B1H＝A1O，OB1＝HQ＝2，△B1（0，﹣2）或（0，2），当点B1（0，﹣2）时，Q（﹣2，2），当点B1（0，2）时，△B（0，2），△点B1（0，2）（不合题意舍去），△直线AB向下平移4个单位，△点Q也向上平移4个单位，△Q（﹣2，2），△当点A1是直角顶点时，A1B1＝A1Q，△直线AB的解析式为y＝x+2，由平移知，直线A1B1的解析式为y＝x+b，△A1（﹣2b，0），B1（0，b），△A1B12＝4b2+b2＝5b2，△A1B1△A1Q，△直线A1Q的解析式为y＝﹣2x﹣4b△Q（﹣2，4﹣4b），△A1Q2＝（﹣2b+2）2+（4﹣4b）2＝20b2+40b+20，△20b2﹣40b+20＝5b2，△b＝2或b＝，△Q（﹣2，﹣4）或（﹣2，）；△当Q是直角顶点时，过Q作QH△y轴于H，△A1Q＝B1Q，△△QA1C1+△A1QC＝90°，△A1QC+△CQB1＝90°，△△QA1C＝△CQB1，△m△y轴，△△CQB1＝△QB1H，△△QA1C＝△QB1H在△A1QC与△B1QH中，，△△A1QC△△B1QH（AAS），△CQ＝QH＝2，B1H＝A1C，△Q（﹣2，2）或（﹣2，﹣2），即：满足条件的点Q为（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）或（﹣2，12）或（﹣2，）．7、如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），点B（﹣4，3）．（1）求直线AB的函数表达式；（2）点P是线段AB上的一点，当S△AOP：S△AOB＝2：3时，求点P的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，将线段AB绕点A顺时针旋转120°，点B落在点C处，连结CP，求△APC 的面积，并直接写出点C的坐标．解：（1）设直线AB的函数表达式为y＝kx+b，△点A（2，0），点B（﹣4，3），△，解得：，△直线AB的函数表达式为y＝﹣x+1；（2）过B作BE△x轴于E，过P作PD△x轴于D，△PD△BE，△S△AOP：S△AOB＝2：3，△＝，△点B（﹣4，3），△BE＝3，△PD△BE，△△APD△△ABE，△＝＝，△PD＝2，当y＝2时，x＝﹣2，△P（﹣2，2）；（3）点A（2，0）、点B（﹣4，3），点P（﹣2，2），则AP＝2，AB＝CA＝3，过点P作HP△AC交AC的延长线于点H，则AH＝AP＝，PH＝AP sin60°＝，△APC的面积＝AC×PH＝×3×＝；设点C（x，y），则PC2＝PH2+HC2＝15+（+3）2＝95＝（x+2）2+（y﹣2）2…△，CA2＝45＝（x﹣2）2+y2…△，联立△△并解得：x＝，y＝，故点C（，）．8、如图1，等腰直角三角形ABC中，△ACB＝90°，CB＝CA，直线DE经过点C，过A作AD△DE于点D，过B作BE△DE于点E，则△BEC△△CDA，我们称这种全等模型为“K型全等”．（不需要证明）【模型应用】若一次函数y＝kx+4（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．（1）如图2，当k＝﹣1时，若点B到经过原点的直线l的距离BE的长为3，求点A到直线l的距离AD 的长；（2）如图3，当k＝﹣时，点M在第一象限内，若△ABM是等腰直角三角形，求点M的坐标；（3）当k的取值变化时，点A随之在x轴上运动，将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到BQ，连接OQ，求OQ长的最小值．解：（1）由题意可知：△BEO△△AOD（K型全等），△OE＝AD，△k＝﹣1，△y＝﹣x+4，△B（0，4），△OB＝4，△BE＝3，△OE＝，△AD＝；（2）k＝﹣时，y＝﹣x+4，△A（3，0），△当BM△AB，且BM＝AB时，过点M作MN△y轴，△△BMN△△ABO（AAS），△MN＝OB，BN＝OA，△MN＝4，BN＝3，△M（4，7）；△当AB△AM，且AM＝AB时，过点M作x轴垂线MK，△△ABO△△AMK（AAS），△OB＝AK，OA＝MK，△AK＝4，MK＝3，△M（7，3）；△当AM△BM，且AM＝BM时，过点M作MH△x轴，MG△y轴，△△BMG△△AHM（AAS），△BG＝AH，GM＝MH，△GM＝MH，△4﹣MH＝MH﹣3，△MH＝，△M（，）；综上所述：M（7，3）或M（4，7）或M（，）；（3）当k＞0时，AO＝，过点Q作QS△y轴，△△ABO△△BQS（AAS），△BS＝OA，SQ＝OB，△Q（4，4﹣），△OQ＝，△当k＝1时，QO最小值为4；当k＜0时，Q（4，4﹣），△OQ＝，△当k＝1时，QO最小值为4，与k＜0矛盾，△OQ的最小值为4．9、定义：在平面直角坐标系中，对于任意P（x1，y1），Q（x2，y2），若点M（x，y）满足x＝3（x1+x2），y＝3（y1+y2），则称点M是点P，Q的“美妙点”．例如：点P（1，2），Q（﹣2，1），当点M（x，y）满足x＝3×（1﹣2）＝﹣3，y＝3×（2+1）＝9时，则点M（﹣3，9）是点P，Q的“美妙点”．（1）已知点A（﹣1，3），B（3，3），C（2，﹣2），请说明其中一点是另外两点的“美妙点”；（2）如图，已知点D是直线y＝+2上的一点．点E（3，0），点M（x，y）是点D、E的“美妙点”．△求y与x的函数关系式；△若直线DM与x轴相交于点F，当△MEF为直角三角形时，求点D的坐标．解：（1）△3×（﹣1+2）＝3，3×（3﹣2）＝3，△点B是A、C的“美妙点”；（2）设点D（m，m+2），△△M是点D、E的“美妙点”．△x＝3（3+m）＝9+3m，y＝3（0+m+2）＝m+6，故m＝x﹣3，△y＝（x﹣3）+6＝x+3；△由△得，点M（9+3m，m+6），如图1，当△MEF为直角时，则点M（3，4），△9+3m＝3，解得：m＝﹣2；△点D（﹣2，）；当△MFE是直角时，如图2，则9+3m＝m，解得：m＝﹣，△点D（﹣，）；当△EMF是直角时，不存在，综上，点D（﹣2，）或（﹣，）．10、在平面直角坐标系xOy中，图形G的投影矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴，y轴，图形G的顶点在矩形的边上或内部，且矩形的面积最小．设矩形的较长的边与较短的边的比为k，我们称常数k为图形G的投影比．如图1，矩形ABCD为△DEF的投影矩形，其投影比k＝．（1）若点A（1，1），B（2，3），则△OAB投影比k的值为；（2）若点M（﹣2，0），点N（2，1）且△MNP投影比k＝，则点P的坐标可能是（填写序号）；△（﹣1，3）；△（2，﹣2）；△（3，3）；△（0，2）．（3）已知点C（4，0），在函数y＝2x﹣4（其中x＜2）的图象上有一点D，若△OCD的投影比k＝3，求点D的坐标．解：（1）如图2，过点B作BC△x轴于点C，作BD△y轴于点D，则矩形OCBD为△OAB的投影矩形，△点B（2，3），△OC＝2，BC＝3，△△OAB投影比k的值＝．（2）如图3，△点P的坐标为（﹣1，3）时，△MNP投影比k＝；△点P的坐标为（2，﹣2）时，△MNP投影比k＝；△点P的坐标为（3，3）时，△MNP投影比k＝；△点P的坐标为（0，2）时，△MNP投影比k＝＝2．则点P的坐标可能是△（﹣1，3）；△（2，﹣2）；（3）△点D为函数y＝2x﹣4（其中x＜2）的图象上的点，设点D坐标为（x，2x﹣4）（x＜2）．分以下两种情况：△当0≤x≤2时，如图4所示，作投影矩形OMNC．△OC≥OM，△k＝＝＝＝3，解得x＝，△D（，﹣）；△当x＜0时，如图5所示，作投影矩形MDNC．△点D坐标为（x，2x﹣4），点M点坐标为（x，0），△DM＝|2x﹣4|＝4﹣2x，MC＝4﹣x，△x＜0，△DM＞CM，△k＝＝＝3，解得x＝8．△当x＜0时，满足条件的点D不存在．综上所述，点D的坐标为D（，﹣）．故答案为：；△△．11、阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图△：在△ABC中，△ACB＝90°，AC＝BC，分别过A、B向经过点C直线作垂线，垂足分别为D、E，我们很容易发现结论：△ADC△△CEB．（1）探究问题：如果AC≠BC，其他条件不变，如图△，可得到结论；△ADC△△CEB．请你说明理由．（2）学以致用：如图△，在平面直角坐标系中，直线y＝x与直线CD交于点M（2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝，请你求出直线CD的解析式．（3）拓展应用：如图△，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E为BC边上一个动点，连接BE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC，PD．若△DPC 为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．解：（1）理由：△△ACB＝90°，△△ACD＝△BCE＝90°，又△△ADC＝90°，△△ACD+△DAC＝90°，△△BCE＝△DAC，且△ADC＝△BEC＝90°，△△ADC△△CEB；（2）如图，过点O作ON△OM交直线CD于点N，分别过M、N作ME△x轴NF△x轴，由（1）可得：△NFO△△OEM，△，△点M（2，1），△OE＝2，ME＝1，△tanα＝＝，△，△NF＝3，OF＝，△点N（﹣，3），△设直线CD表达式：y＝kx+b，△△△直线CD的解析式为：y＝﹣x+；（3）当△CDP＝90°时，如图，过点P作PH△BC，交BC延长线于点H，△△ADC+△CDP＝180°，△点A，点D，点P三点共线，△△BAP＝△B＝△H＝90°，△四边形ABHP是矩形，△AB＝PH＝3，△将线段AE绕点E顺时针旋转90°，△AE＝EP，△AEP＝90°，△△AEB＝△PEH＝90°，且△BAE+△AEB＝90°，△△BAE＝△PEH，且△B＝△H＝90°，AE＝EP，△△ABE△△EHP（AAS），△BE＝PH＝3，当△CPD＝90°时，如图，过点P作PH△BC，交BC延长线于点H，延长HP交AD的延长线于N，则四边形CDNH是矩形，△CD＝NH＝3，DN＝CH，设BE＝x，则EC＝5﹣x，△将线段AE绕点E顺时针旋转90°，△AE＝EP，△AEP＝90°，△△AEB＝△PEH＝90°，且△BAE+△AEB＝90°，△△BAE＝△PEH，且△B＝△EHP＝90°，AE＝EP，△△ABE△△EHP（AAS），△PH＝BE＝x，AB＝EH＝3，△PN＝3﹣x，CH＝3﹣（5﹣x）＝x﹣2＝DN，△△DPC＝90°，△△DPN+△CPH＝90°，且△CPH+△PCH＝90°，△△PCH＝△DPN，且△N＝△CHP＝90°，△△CPH△△PDH，△，△△x＝△点P在矩形ABCD外部，△x＝，△BE＝，综上所述：当BE的长为3或时，△DPC为直角三角形．。
一次函数实践教学反思(3篇)
第1篇摘要：一次函数是中学数学教学中的重要内容，它不仅有助于学生掌握基础的数学知识，还能培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
本文通过对一次函数实践教学的反思，总结了教学过程中的成功经验和不足之处，并提出了相应的改进措施，以期为今后的教学提供借鉴。
一、引言一次函数是中学数学教学中的基础内容，它涵盖了函数的定义、性质、图像等内容。
在实践教学过程中，教师需要引导学生通过观察、分析、推理等方法，深入理解一次函数的本质，并能够运用一次函数解决实际问题。
本文通过对一次函数实践教学的反思，总结教学过程中的得失，以期为今后的教学提供参考。
二、实践教学过程中的成功经验1. 注重理论联系实际，提高学生的应用能力在实践教学过程中，我注重将一次函数的理论知识与实际生活相结合，通过举例说明一次函数在生活中的应用，如温度、速度、距离等。
例如，在讲解一次函数的图像时，我以气温变化为例，让学生观察气温与时间之间的关系，从而理解一次函数图像的特点。
这种教学方法有助于提高学生的应用能力，使他们能够将所学知识运用到实际生活中。
2. 采用多样化的教学方法，激发学生的学习兴趣为了激发学生的学习兴趣，我在教学中采用了多种教学方法。
例如，利用多媒体技术展示一次函数的图像，让学生直观地感受函数的变化规律；通过小组合作探究，让学生在交流讨论中共同解决问题；设计有趣的数学游戏，让学生在轻松愉快的氛围中学习。
这些方法有助于提高学生的学习兴趣，使他们在主动探究中掌握知识。
3. 关注学生的个体差异，实施分层教学在实践教学过程中，我关注学生的个体差异，根据学生的不同学习基础，实施分层教学。
对于基础较好的学生，我鼓励他们深入探究一次函数的性质，拓展知识面；对于基础较差的学生，我耐心讲解，帮助他们克服困难，逐步提高。
这种分层教学有助于提高全体学生的学习效果。
三、实践教学过程中的不足之处1. 对一次函数知识的讲解不够深入在实践教学过程中，我发现部分学生对一次函数的性质理解不够深入，对于一些特殊情况的处理不够灵活。
专题6.6 一次函数章末重难点突破(学生版)2022年八年级数学上册举一反三系列(苏科版)
专题6.6 一次函数章末重难点突破【苏科版】【考点1 函数的概念】【例1】（2021秋•余杭区期中）下列说法不正确的是（）A．正方形面积公式S＝a2中有两个变量：S，aB．圆的面积公式S＝πr2中的π是常量C．在一个关系式中，用字母表示的量可能不是变量D．如果a＝b，那么a，b都是常量【变式1-1】（2021春•青县期末）下列曲线中不能表示y是x的函数的是（）A．B．C．D．【变式1-2】（2021春•红谷滩区校级期末）下面每个选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y，其中y不是x的函数的选项是（）A．y：正方形的面积，x：这个正方形的周长B．y：某班学生的身高，x：这个班学生的学号C．y：圆的面积，x：这个圆的直径D．y：一个正数的平方根，x：这个正数【变式1-3】（2021春•栾城区期中）地表以下岩层的温度与它所处的深度有表中的关系：岩层的深度h/km1 2 3 4 5 6 …岩层的温度t/℃5590 125 160 195 230 …（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）岩层的深度h每增加1km，温度t是怎样变化的？试写出岩层的温度t与它的深度h 之间的关系式；（3）估计岩层10km深处的温度是多少．【考点2 函数自变量的取值范围】【例2】（2021•吴江区一模）函数y=√x−4中，自变量x的取值范围为．【变式2-1】（2021•曲靖二模）若整数x满足|x|≤4，则使函数y=√1−2x有意义的x的值是（只需填一个）．【变式2-2】（2019•椒江区校级二模）函数y＝1−√2x−4中自变量x的取值范围是．【变式2-3】（2021春•天心区期末）若函数y=√2x−3在实数范围内无意义，则自变量x 的取值范围是．【考点3 一次函数的定义】【例3】（2021春•普陀区校级期中）下列函数中，一次函数是（）A．y=1x+2B．y＝﹣2xC．y＝x2+2D．y＝mx+n（m，n是常数）【变式3-1】（2021春•九龙坡区期中）若y＝（a﹣2）x a2−3+5是y关于x的一次函数，则a的值为．【变式3-2】（2021秋•泰兴市校级期中）已知函数y＝（n﹣3）x+9﹣n2是正比例函数，则n＝．【变式3-3】（2021春•洛宁县期中）若函数y＝mx m2−3是正比例函数，且图象在二、四象限，则m＝．【考点4 一次函数的系数与图象的关系】【例4】（2021春•雄县期末）若k＞1，则一次函数y＝（k﹣1）x+1﹣k的图象是（）A．B．C．D．【变式4-1】（2021秋•莲湖区期中）若k＜0，则一次函数y＝﹣2x﹣k的图象大致是（）A．B．C．D．【变式4-2】（2021秋•达川区期末）如图，四个一次函数y＝ax，y＝bx，y＝cx+1，y＝dx ﹣3的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是（）A．b＞a＞d＞c B．a＞b＞c＞d C．a＞b＞d＞c D．b＞a＞c＞d【变式4-3】（2019•杭州）已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（）A．B．C．D．【考点5 一次函数的图象与坐标轴的交点及面积】【例5】（2021秋•攸县校级期中）已知函数y＝﹣2x+3．（1）画出这个函数的图象；（2）写出这个函数的图象与x轴，y轴的交点的坐标；（3）求此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积．【变式5-1】（2021秋•峄城区期中）作出函数y=12x﹣3的图象并回答以下问题：（1）当x的值增大时，y的值如何变化？（2）图象与x轴，y轴的交点坐标分别是多少？（3）求出该图象与x轴，y轴所围成的三角形的面积．【变式5-2】（2021秋•城关区校级期中）已知一次函数y＝2x+4（1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数的图象；（2）y的值随x值的增大而；（3）求图象与x轴的交点A的坐标，与y轴交点B的坐标；（4）在（3）的条件下，求出△AOB的面积．【变式5-3】（2021秋•宝丰县期中）在如图所示的直角坐标系中画出一次函数y=12x+3的图象，并根据图象回答下列问题：（1）图象与x轴、y轴的交点A、B的坐标是什么？（2）当x＞0时，y随x的增大而怎样变化？（3）计算图象与坐标轴围成的三角形的面积．【考点6 一次函数的平移】【例6】（2021•汉台区一模）若直线y＝kx﹣b沿y轴平移3个单位得到新的直线y＝kx﹣1，则b的值为（）A．﹣2或4B．2或﹣4C．4或﹣6D．﹣4或6【变式6-1】（2021春•天心区期中）将一次函数y=−32x+2的图象向左平移2个单位得到的新的函数的表达式（）A．y=−32x+1B．y=−32x+2C．y=−32x﹣1D．y=−32x﹣2【变式6-2】（2021秋•商河县校级期中）直线y＝kx向上平移4个单位后，经过（﹣1，2），则所得直线的解析式为．【变式6-3】（2021春•陇县期末）把直线y＝﹣2x向上平移后得到直线AB，若直线AB经过点（m，n），且2m+n＝8，则直线AB的表达式为．【考点7 一次函数的增减性】【例7】（2021秋•沙坪坝区校级月考）已知正比例函数y＝kx（k≠0）中，y随x的增大而减小，则一次函数y＝kx﹣2不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【变式7-1】（2021•营口一模）一次函数y＝2x+1的图象过点（a﹣1，y1），（a，y2），（a+1，y3），则（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2【变式7-2】（2021秋•丹徒区期末）一次函数y＝mx+m2（m≠0）的图象过点（0，4），且y随x的增大而增大，则m的值为（）A．﹣2B．﹣2或2C．1D．2【变式7-3】（2021春•武城县期中）已知直线y＝（2﹣3m）x经过点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x1＜x2时，有y1＞y2，则m的取值范围是．【考点8 求一次函数解析式】【例8】（2021秋•敦煌市期中）一次函数y＝kx+b，当﹣1≤x≤2时，﹣2≤y≤1，求此一次函数的解析式．【变式8-1】（2021秋•肥西县期末）如图，直线所对应的一次函数的表达式是：．【变式8-2】（2021春•无为市期末）已知y﹣2与x+1成正比例函数关系，且当x＝﹣2时，y＝6；（1）写出y与x之间的函数关系式．（2）求当x＝﹣3时，y的值．【变式8-3】（2021秋•铜仁市期中）一次函数的图象y＝kx+b与两坐标轴围成的三角形的面积是8，且过点（0，2），求此一次函数的解析式．【考点9 一次函数的实际应用】【例9】（2021•禅城区二模）某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．①求y关于x的函数关系式；②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？【变式9-1】（2021秋•新化县期末）某单位计划“元旦”组织员工到某地旅游，A、B两旅行社的服务质量相同，且组织到该地旅游的价格都是每人300元．该单位在联系时，A 旅行社表示可给予每位旅客七五折优惠，B旅行社表示可免去一位旅客的费用，其余八折优惠．（1）当该单位旅游人数多少时，支付给A、B两旅行社的总费用相同．（2）若该单位共有30人参加此次旅游，应选择哪家旅行社，使总费用更少？【变式9-2】（2021秋•和平区校级期中）学校需要采购一批演出服装，A、B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商．经了解：两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同，即每套100元．经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是：服装按单价打七折，但校方需承担1200元的运费；B公司的优惠条件是：服装按单价打八折，公司承担运费．如果设参加演出的学生有x人．（1）写出：①学校购买A公司服装所付的总费用y1（元）与参演学生人数x之间的函数关系式；②学校购买B公司服装所付的总费用y2（元）与参演学生人数x之间的函数关系式．（2）若参演学生人数为150人，选择哪个公司比较合算，请说明理由．【变式9-3】（2021•滦州市二模）如图，一段铁路的示意图，AB段和CD段都是高架桥，BC段是隧道．已知AB＝1500m，BC＝300m，CD＝2000m，在AB段高架桥上有一盏吊灯，当火车驶过时，灯光可垂直照射到车身上，已知火车甲沿AB方向匀速行驶，当火车甲经过吊灯时，灯光照射到火车甲上的时间是10s，火车甲通过隧道的时间是20s，如果从车尾经过点A时开始计时，设行驶的时间为xs，车头与点B的距离是ym．（1）火车甲的速度和火车甲的长度；（2）求y关于x的函数解析式（写出x的取值范围），并求当x为何值时，车头差500米到达D点．（3）若长度相等的火车乙以相同的速度沿DC方向行驶，且火车甲乙不在隧道内会车（会车时两车均不在隧道内），火车甲先进隧道，当火车甲的车头到达A点时，火车乙的车头能否到达D点？若能到达，至多驶过地点多少？若不能到达，至少距离D点多少m？【考点10 一次函数的图象及其应用】【例10】（2021春•任城区期末）小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程S （米）和所用时间t（分钟）的关系图，则下列说法中错误的是（）A．小明家和学校距离1200米B．小华乘公共汽车的速度是240米/分C．小华乘坐公共汽车后7：50与小明相遇D．小明从家到学校的平均速度为80米/分【变式10-1】（2021春•罗湖区校级期中）一水果贩子在批发市场按每千克1.8元批发了若干千克的西瓜进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用．他先按市场价售出一些后，又降价出售．售出西瓜千克数x与他手中持有的钱数y元（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象回答下列问题：（1）农民自带的零钱是多少？（2）降价前他每千克西瓜出售的价格是多少？（3）随后他按每千克下降0.5元将剩余的西瓜售完，这时他手中的钱（含备用的钱）是390元，问他一共批发了多少千克的西瓜？（4）请问这个水果贩子一共赚了多少钱？【变式10-2】（2021•吉林一模）为响应国家扶贫攻坚的号召，A市先后向B市捐赠两批物资，甲车以60km/h的速度从A市匀速开往B市．甲车出发1h后，乙车以90km/h的速度从A市沿同一条道路匀速开往B市．甲、乙两车距离A市的路程y（km）与甲车的行驶时间x（h）之间的关系如图所示（1）A，B两市相距km，m＝，n＝；（2）求乙车行驶过程中y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）在乙车行驶过程中，当甲、乙两车之间的距离为30km时，直接写出x的值．【变式10-3】（2021•双阳区一模）已知M、N两地之间有一条240千米长的公路，甲乙两车同时出发，乙车以40千米/时的速度从M地匀速开往N地，甲车从N地沿此公路匀速驶往M地，两车分别到达目的地后停止，甲乙两车相距的路程y（千米）与乙车行驶的时间x（时）之间的函数关系如图所示．（1）甲车速度为千米/时．（2）求甲乙两车相遇后的y与x之间的函数关系式．（3）当甲车与乙车相距的路程为140千米时，请直接写出乙车行驶的时间．。
一次函数的图象和性质2
一、教学目标：知识技能 1.会用两点法画出正比例函数和一次函数的图像2. 能结合图像说出正比例函数和一次函数的性质过程与方法1、经历正比例函数与一次函数图象画法与性质的探索过程，体会“数”“形”结合的数学思想2、体会数形结合的数学思想在问题解决中的作用，并能运用性质、图象及数形结合思想解决相关函数问题情感态度 1.在动手操作过程中,培养学生的合作意识和大胆猜想、乐于探究的良好品质。
2.体验“数”与“形”的转化过程，感受函数图象的简洁美。
激发学生学数学的兴趣。
教学重点：掌握一次函数的图象和性质教学难点：理解一次函数的图象和性质，并能灵活应用教学重、难点突破方法在教学过程中，通过设置带有探究性的问题，创设问题情境，引导学生动手实践探索，发现归纳结论．利用计算机的《几何画板》软件，并结合学生亲自动手绘制函数图象，让学生亲身体验知识的产生、发展和形成的过程．二、教学过程活动1. 联想旧知，导入新课提问：1．上节课我们介绍了两种特殊的函数，是哪两种？2．什么是一次函数？什么是正比例函数？由学生口答之后互相评价，纠正出现的错误．目的：从此问题入手，承接上一节课的内容，同时引出本节课的内容，既起到复习巩固的作用，又激发学生的学习兴趣。
活动2：尝试发现，探索新知提问：1．以前我们曾画过y=x的图象，它的图象是什么样的？2．上节课的作业我们曾在同一直角坐标系中画出了三个函数图象：y=2x，y=2x-1，y=2x+1，这个函数图象是什么样的？3．函数y=x，y=2x，y=2x-1，y=2x+1各是什么函数？4．正比例函数与一次函数有什么样的关系？5．你能否由此猜测：一次函数的图象是什么样的？由上述问题，学生很容易得到结论：一次函数的图象是一条直线．教师再加以强调总结并板书．目的：让学生在动手操作的过程中从“形”的角度感知一次函数的图象的形状．让学生在描点的过程中感受正比例函数与一次函数图象之间的位置关系．6．由几何知识可得，要画一条直线只要知道几点就可以了？由此问题可给出画一次函数图象的方法：只要先描出两点，再连成直线就可以了．练习一：画正比例函数y=0.5x与y=-0.5x的图象．（出示幻灯）提问：你准备取哪两点来画这两个图象？为什么？由学生充分讨论，对比之后，得出两点，让学生明白取这两点的好处．然后由一名同学上黑板画图，其他同学在练习本上完成．最后再加以总结板书：画正比例函数y=kx的图象，通常取（0，0）和（1，k）两点连线．提问：1．看y=0.5x的图象，随着x的值增大，y的值有怎样的变化趋势？2．再看y=-0.5x的图看，随着x的值增大，y的值有怎样的变化趋势？3．你认为这两个函数图象的变化趋势不同，是由什么因素影响的？目的：这几个问题可由学生讨论回答，有助于培养学生的观察、分析问题的能力和思维的深刻性．在学生回答的基础上，教师加以总结和板书：一般地，正比例函数y=kx有下列性质：（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；（2）当k＜0时，y随x的增大而减小．我们知道正比例函数是一次函数的特例，那么，正比例函数的这个性质一次函数是不是具有呢？看练习：（出示幻灯）练习二：在同一直角坐标系中画出下列函数的图象：y=2x+1，y=2x-1．提问：要画这两个函数的图象，你认为取哪两点较好？由学生进行充分的讨论，适当地向学生提示：在坐标平面内，什么样的点好找？（轴上的点）由此启发学生恰当地找出两点，便于画图，形成规律．然后由一名同学上黑板画图，其他同学在练习本上完成．最后加以总结，板书：连线．注意：通常，我们把一次函数y=kx+b的图象叫做直线y=kx+b．提问：观察你所画的图象，一次函数y=kx+b是否具有同正比例函数y=kx相同的性质？有了上次的经验，学生很容易就能得到结论，教师在此基础上总结，板书：一般地，一次函数y=kx+b有下列性质：（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；（2）当k＜0时，y随x的增大而减小．练习三：1．练习中1直接画在书上；2．练习中2填在书上，口答；3．（出示幻灯）画出函数y=2x-3的图象，利用图象：（2）求y=3，9，-3时对应的x的值；（3）求方程2x-3=0的解．分析：（1）这道题是利用图象解决问题，所以应先画出图象．由一名学生板演，其他同学在练习本上完成．注意：由于本题的数值问题，所以x轴和y轴最好取不同的长度表示不同的数值．（2）若已知x（或y）的值求与它对应值y（或x），应怎样在图上找呢？例如：已知x=-2时，求y的值．由学生先讨论，然后动手作，找到y的对应值，最后回答是怎样作的．（作垂直）（3）你能否找到余下的x与y的对应值？学生作图之后，口答结果．（4）若求方程3x+12=0的解，看方程3x+12=0与函数y=3x+12的关系，实际就是求什么？学生讨论回答，然后加以总结：求方程3x+12=0的解其实就是看函数y=3x+12的图象当y=0 时对应的x的值，也就是看图象与x轴交点的横坐标．活动三、总结，扩展教师提问，学生思考回答：（1）画正比例函数y=kx 的图象取哪两点？（2）画一次函数y=kx+b的图象取哪两点？（3）正比例函数y=kx与一次函数y=kx+b 的性质是怎样叙述的？你认为只要记住哪个函数的性质就可以？（一次函数的性质）为什么？（正比例函数是一次函数的特例，一次函数具有的性质正比例函数必具备．）（4）我们是由什么得到函数的性质的？（5）能否考虑由解析式得到正比例函数y=kx与一次函数y=kx+b的性质呢？机动拓展：由学生讨论，看学生的程度决定是否向学生介绍这个问题．以y=0.5x．为例任取两对对应值（x1，y1）（x2，y2），如果x1＞x2，由k=0.5＞0，可得0.5x1＞0.5x2，即y1＞y2．也就是说，对于y=kx，若k＞0，则y随x的增大而增大．类似地，可以说明y=-0.5x的性质和y=2x+1，y=-2x+1的性质．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一次函数难点突破Revised on November 25, 2020第八讲 一次函数（二） 知识点梳理复习 知识点1、一次函数与正比例函数的概念 重点：掌握一次函数与正比例函数的概念 难点：熟练判断一次函数与正比例函数 一般地，形如 的函数，叫做正比例函数。
一般地，形如 的函数，叫做一次函数。
例1、下列函数中是一次函数的是（ ）A.122-=x yB.x y 1-=C.31+=x y D.1232-+=x x y 例２、在函数 y ＝3x －2，y ＝1x ＋3，y ＝－2x ，y ＝－x 2＋7 是正比例函数的有（ ）A 、0 个B 、1 个C 、2 个D 、3 个解题思路：运用一次函数与正比例函数的概念知识点2、一次函数的图象和性质重点：掌握一次函数与正比例函数图像和性质难点：运用一次函数与正比例函数图像和性质解决问题1、形状一次函数的图象是一条2、画法确定 个点就可以画一次函数图像。
一次函数与x 轴的交点坐标（ ,0），与y 轴的交点坐标(0, )，正比例函数的图象必经过两点分别是(0, )、(1, )。
3、性质（1）一次函数)0(≠+=k b kx y ，当k 0时，y 的值随x 值得增大而增大；当k 0时，y 的值随x 值得增大而减小。
（2）正比例函数，当k 0时，图象经过一、三象限；当k 0时，图象经过二、四象限。
强调：k,b 与 一次函数y=kx +b 的图象与性质:k 决定函数的增减性;b 决定图象与y 轴的交点位置②当ｋ＞0时，y 随着x 的增大而增大，③当ｋ＜0时，y 随着x 的增大而减小，④当b ＞0时，直线交于ｙ轴的正半轴，⑤当b ＜0时，直线交于ｙ轴的负半轴⑥当b ＝0时，直线交经过原点，（3）一次函数)0(≠+=k b kx y 的图象如下图，请你将空填写完整。
例1、关于函数x y 51-=，下列说法中正确的是（ ） A.函数图象经过点(1,5) B.函数图像经过一、三象限C. y 随x 的增大而减小D.不论x 取何值，总有0<y解题思路：熟练掌握正比例函数的图像性质例2、一次函数34y x =-的图象不经过．．．（ ）。
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限解题思路：熟练掌握一次函数中k,b 的作用，或画出一次函数的图像练习1、求一次函数22-=x y 与x 轴的交点坐标 ，与y 轴的交点坐标 ，直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 。
2．某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x (kg)与其运费y (元)由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为(A)20kg (B)25kg (C)28kg (D)30kg知识点3、一次函数与正比例函数的关系重点：掌握一次函数与正比例函数的关系难点：正确区分一次函数与正比例函数正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数。
k 0,b 0 k 0,b 0 k 0,b 0 k 0,b 0一次函数当k 0,b 0时是正比例函数。
一次函数b=可以看作是由正比例函数kxy=平移︱b︱个单位得到的，当b>0时，向平y+kx移b个单位；当b<0时，向平移︱b︱个单位。
练习在平面直角坐标系中，将直线23+-=x y 向下平移动4个单位长度后，所得直线的解析式为（ ）。
A ．43--=x y B.43+-=x y C.63+-=x y D.-=y 知识点4重点：待定系数法确定一次函数解析式难点：确定一次函数解析式通过两个条件（两个点或两对数值）来确定一次函数解析式。
例1如图所示，已知直线l 交x 轴于点B ，交y 轴于点A ，求：（1）y 与x 的函数关系式；（2）三角形AOB 的周长和面积；解题思路：○1确定一次函数的表达式，就是求待定系数k ，b ．一般已知直线上两组不同对应值，可以得到两个方程，求出k ，b .○2第二小题，是涉及函数与几何的综合题，根据勾股定理、三角形有关性质等知识，运用数形结合的思想求得.解：（1）直线l 中，设：y kx b =+，点A （0，2）在直线上，20,2k b b ∴=⨯+=；又B （3，0）在直线上，2032,3k k =+=-； 因此，223y x =-+. （2）从图象观察得，OA=2，OB=3，∴由勾股定理得，AB =，∴三角形AOB 的周长为：∴三角形AOB 的面积为：S 1123322OAOB ==⨯⨯=（单位平方）例2：声音在空气中传播的速度y （m/s ）是气温x （℃）的一次函数，下表列出了一组不同气温的音速：（℃）音速y（m/s ）331334 337 340 343（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）气温23x =℃时，某人看到烟花燃放5s 后才听到声响，那么此人与烟花燃放地约相距多远 解题思路：根据对应值用待定系数法确定一次函数关系式解：（1）设y kx b =+， 3315334b k b =⎧∴⎨+=⎩， 35k ∴=， 33315y x ∴=+ （2）当23x =时，323331344.85y =⨯+=． 5344.81724∴⨯=．∴此人与烟花燃放地相距约1724m ．练习1已知一次函数y=kx+b(k ≠0)在x=1时，y=5，且它的图象与x 轴交点的横坐标是６，求这个一次函数的解析式。
2.在直角坐标系中，一次函数y ＝kx ＋b 的图像经过三点A （2，0）、B （0，2）、C （m ，3），求这个函数的关系式，并求m 的值。
答案：1.一次函数的解析式为y= - x+6。
2. y= - x+2，m=-1知识点5、用函数的观点看方程（组）与不等式重点：理解一次函数与方程（组）与不等式的联系难点：用函数观点解决方程（组）与不等式1.一元一次方程ax+b=0(a≠0)与一次函数y=ax+b(a≠0)的关系(1)一元一次方程ax+b=0(a≠0)是一次函数y=ax+b(a≠0)的函数值为0时的特殊情形。
(2)直线y=ax+b与x轴交点的横坐标是一元一次方程a+b=0的解2.一元一次不等式与一次函数的关系：(1)一元一次不等式ax+b>0或ax+b<0(a≠0)是一次函数y=ax+b (a≠0)的函数值不等于0的情形。
(2)直线y=ax+b上使函数值y>0(x轴上方的图像)的x的取值范围是ax+b>0的解集；使函数值y<0(x轴下方的图像)的x的取值范围是ax+b<0的解集。
3.二元一次方程与一次函数的联系(1)任意一个二元一次方程都可化成y=kx+b的形式，即使每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线。
(2)直线y=kx+b的每一点的坐标均为这个二元一次方程的解。
4.二元一次方程组与一次函数的关系(1)二元一次方程组中的每个方程可看作函数解析式。
(2)求二元一次方程组的解可以看作求两个一次函数的交点坐标。
例.近海处有一疑船只B正向公海方向行驶，我边防局接到情报后速派出快艇A追赶，图中l1,l2分别表示A艇和B船相对于海岸的距离y(n mil)与追赶时间x(min)之间的一次函数的关系，根据图像，(1)分别求出l1,l2的函数关系式；(2)当B船逃到离海岸12n mil的公海时，A艇将无法对其进行检查，问A艇能否在B船逃入公海前将其拦截(A，B速度均保持不变)解题思路：由直线通过已知点的坐标可分别求函数解析式，先假设A艇能追上B船，通过求出追上时x,y的值，再判断此时是否已经逃离出公海。
将实际问题中能否将其拦截的问题转化为求二元一次方程组的解，再由方程组的解来说明实际问题是本题的重点，请同学们注意领会。
解：(1)∵l1通过原点∴设l1的解析式为y1=k1x将点(8,4)代入得，4=8k,∴l1的函数解析式是设l2的解析式为y2=k2x+b，它的图像通过(0，4)和(8,6)∴l2的解析式为(2)若l2,l1相交则∵y=8≤12，∴A艇能在B船逃离公海前将其拦截。
例2某零件制造车间有工人20名，已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件，可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元，在这20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件．（1）请写出此车间每天所获利润y（元）与x（人）之间的函数关系式；（2）若要使车间每天所获利润不低于24000元，你认为至少要派多少名工人去制造乙种零件才合适解题思路： 本题主要考查用函数观点来解决实际问题，关键是正确找出y 与x 之间的函数关系式． 解：（1）此车间每天所获利润y （元）与x （人）之间的函数关系式是y=6x·150+5（20-x ）·260=26000-400x （0≤x≤20）．（2）当y≥24000时，有26000-400x≥24000，∴x≤5，∴20-x≥15．∴要想使每天车间所获利润不低于24000元，至少要派15名工人去制造乙种零件才合适。
练习1.在同一坐标系中作一次函数y 1=2x -2 与y 2=+1的图象.①求出它们的交点坐标是 ②则方程组 的解是 .③当x 时, y 1＞y 2 ④当x 时, y 1=y 2 ⑤当x 时, y 1＜y 2⑥直线y 1、y 2与X 轴所围成三角形的面积是 .2.光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台，现将这50台收割机派往A ，B 两地区收割小麦，其中30台派往A 地区，20台派往B 地区．两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表．（1）设派往A 地区x 台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y （元），求y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；220.51y x y x =-⎧⎨=+⎩答案：1. ①（2，2），②22xy=⎧⎨=⎩，③2,x>④2x=⑤2x<⑥32. 解：租赁公司收割机总数等于A，B两地区所需收割机总和．（1）派往A地区x台乙型联合收割机，则派往A地区（30-x）台甲型联合收割机，派往B地区（30-x）台乙型联合收割机，派往B地区20-（30-x）=x-10（台）甲型联合收割机．∴y=1600x+120O（30-x）+180O（30-x）+1600(x-10)＝20Ox+74000．自变量x的取值范围是10≤x≤30（x是正整数），（2）由题意得20Ox+74000≥7960O，∴x≥28．∴x＝28，29，30．∴有3种不同分配方案．①当x=28时，即派往A地区甲型联合收割机2台，乙型联合收割机28台，派往B地区甲型联合收割机18台，乙型联合收割机2台．②当x=29时，即派往A地区甲型联合收割机1台，乙型联合收割机29台，派往B地区甲型联合收割机19台，乙型联合收割机1台．③当x=30时，即30台乙型联合收割机全部派往A地区，20台甲型联合收割机全部派往B地区．最新考题一次函数的概念、图象和性质是中考的必考内容，一次函数的应用是中考的热点内容.中考对这部分内容的要求是结合具体情境体会一次函数的意义，根据已知条件确定一次函数的表达式；会画一次函数的图象，根据图象与表达式探索并理解其性质；根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解；用一次函数解决实际问题. 利用一次函数解决实际问题，题型多样化，填空、选择、解答、综合题都有，主要考查学生应用函数知识分析、解决问题的能力．过关测试一选择题1.若一次函数y kx b=+的图象经过第一象限，且与y轴负半轴相交，那（）A．0k>，0b>B．0k>，0b<C．0k<，0b>D．0k<，0b<2.一次函数y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的图象如图9所示，则不等式kx+b＞0的解集是（）A．x＞-2 B．x＞0 C．x＜-2 D．x＜03.如图，一次函数图象经过点A ，且与正比例函数y x =-的图象交于点B ，则该一次函数的表达式为（ ） A ．2y x =-+B ．2y x =+C ．2y x =-D ．2y x =--4.如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程随时间变化的图象.根据图象下列结论错误的是（ ）A.轮船的速度为20千米/时B.快艇的速度为40千米/时C.轮船比快艇先出发2小时D.快艇不能赶上轮船5.一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则下列结论①0k <；②0a >；③当3x <时，12y y <中，正确的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37、点 P （a ，a －2）在第四象限，则 a 的取值范围是（ ）A 、－2＜a ＜0B 、0＜a ＜2C 、a ＞2D 、a ＜08、在函数 y ＝3x －2，y ＝1x ＋3，y ＝－2x ，y ＝－x 2＋7 是正比例函数的有（ ）A 、0 个B 、1 个C 、2 个D 、3 个9、王大爷饭后出去散步，从家中走 20 分钟到一个离家 900 米的公园，与朋友聊天10分钟后，然后用15分钟返回家里。