第3讲 线性规划模型

模型求解 model: max=72*x1+64*x2; x1+x2<=50; 12*x1+8*x2<=480; 3*x1<=100; end 将文件存储并命名后，选择菜单“Solve”并对提示 “DO RANGE(SENSITIVITY) ANALYSIS?”(灵敏性 分析)回答”是”, 即可得到如下输出：
基本模型 决策变量：设每天用x1桶牛奶生产A1，用x2桶牛奶生产 A2. 目标函数：设每天获利为z元， max z=72x1+64x2 (1) 约束条件： 原料供应 x1+x2≤50 (2) 劳动时间 12x1+8x2≤480 (3) 设备能力 3x1 ≤100 (4) 非负约束 x1, x2≥0 (5) 思考：本例能建立如上的线性规划模型，事实上事先做了 哪些假设呢？
建立模型 所以模型为：
max z=24x1+16x2+44x3+32x4-3x5-3x6
4x1+3x2+4x5+3x6 ≤600 s.t. 4x1+2x2+6x5+4x6 ≤480 x1+x5 ≤100 x3=0.8x5 x4=0.75x6 x1，…，x6≥0
模型求解 model: title 奶制品的生产销售计划; max=24*x1+16*x2+44*x3+32*x4-3*x5-3*x6; 4*x1+3*x2+4*x5+3*x6<600; 4*x1+2*x2+6*x5+4*x6<480; x1+x5<100; X3=0.8*x5; X4=0.75*x6; end
结果分析 输出结果中”Current Coefficient“的”Allowable Increase“和”Allowable Decrease“给出了最优解不变条件下目 标函数系数的变化范围，x1为(64,96),x2则是(48,72). 注意： x1 系数的允许范围需要x2系数不变，反之亦然.这个结果回答问 题3)：A1的获利增加到每公斤30元，系数变为90，在允许范 围内，因此不必改变生产计划，而最优值变为3720元. 现在我们回过头来对”影子价格“作进一步的分析.从图 解 法我们看出，随着原料(牛奶)的增加，直线L1朝右上方平 移，L1和L2的交点向A点靠近，在这个过程中，每增加1桶 牛奶利润增加48元，但当B和A重合时增加牛奶就不可能使利 润增长了.这就是说，影子价格的作用是有限制的.输出结果 中的”Current RHS”的“Allowable Increase”和“Allowable Decrease”给出了影子价格有意义的条件下约束右端的限制：
LINGO可以用来求解的模型
优化模型 连续优化 整数规划(IP)
线性规划 (LP)
二次规划 (QP)
非线性规划 (NLP) LINGO
使用LINGO的一些注意事项： (1)>(<)与>=(<=)功能相同； (2)变量与系数间可有空格(甚至回车)，但无运算符； (3)变量名以字母开头，不能超过8个字符； (4)变量名不区分大小写； (5)第一行通常为”model:”, 第二行为目标函数，第三行开 始为约束条件； (6)行结束为”;”; (7)”!”后面的为注释； (8)在模型的任何地方都可以用”TITLE”对模型命名(最多72 字符)；
结果分析 ”效益“的增量可以看作”资源“的潜在价值，经济学上 称为”影子价格“，即1桶牛奶的影子价格是48元，1小 时劳动力的影子价格为2元，甲类设备的影子价格是0. 大家可以用直接求解的方法验证上述结论，即将输入文件 中原料约束2）的右端的50改成51，看看得到的最优值是 否恰好增加48元. 我们用影子价格的概念就很容易回答问题1）:用35元可 以买到1桶牛奶，低于1桶牛奶的影子价格，当然应该作这 项投资；回答附加问题2）：聘用临时工人以增加劳动时 间，付给的工资低于劳动时间的影子价格才可以增加利润， 所以工资最多是每小时2元.
计算结果 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3460.800 1.000000 2 0.000000 3.160000 3 0.000000 3.260000 4 76.00000 0.000000 5Hale Waihona Puke Baidu0.000000 44.00000 6 0.000000 32.00000 结论：每天获利最大值为3460.800. 增加1桶牛奶利润增长3.16×12=37.92>30；增加1小时使 利润增长3.26，所以投资150元增加5桶牛奶，可赚回 189.6元(大于增加时间的利润增长).
(9)表达式要简化； (10)以”END”语句作为程序的结束； (11)”END”前对0-1变量说明：@INT(NAME); (12)”END”前对整数变量说明：@GIN(NAME). 上一节课我们用图解法求解了“奶制品的生产计划”问题， 现在我们用LINGO软件求解，并做进一步的分析： 1)若用35元可以买到一桶牛奶，应否作这项投资？若投资， 每天最多购买多少桶牛奶？ 2)若可聘用临时工人以增加劳动时间，最多能给其多少工资？ 3)若每千克A1的获利增加到30元，应否改变生产计划？
数学建模
2011秋全校公选课
第3讲 线性规划模型
李书选 shuxuanli@126.com
本讲讲述的模型可表述为下述形式： min z=f(x) (1) s.t. gi(x) ≤0 (2) 由(1),(2)组成的模型属于约束优化，如果只有(1)式就是无 约束优化，f(x)称为目标函数， gi(x) ≤0称为约束条件. 在优化模型中，如果目标函数f(x)和约束条件gi(x)都是线性 函数，则该模型称为线性规划.
输出结果 Global optimal solution found at iteration： 0 3360.000 objective value： Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.000000 X2 30.00000 0.000000 Row 1 2 3 4 Slack or Surplus 3360.000 0.000000 0.000000 40.00000 Dual Price 1.000000 48.00000 2.000000 0.000000
灵敏性分析 Ranges in which the basis is unchanged： Obejective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X1 24.00000 1.680000 INFINITY X2 16.00000 8.150000 2.100000 X3 44.00000 19.75000 3.166667 X4 32.00000 2.026667 INFINITY X5 -3.000000 15.80000 2.533333 X6 -3.000000 1.520000 INFINITY
灵敏性分析
Ranges in which the basis is unchanged： Obejective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X1 72.00000 24.00000 8.000000 X2 64.00000 8.000000 16.00000 Righthand Side Ranges Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease 2 50.00000 10.00000 6.666667 3 480.0000 53.33333 80.00000 4 100.0000 INFINITY 40.00000
奶制品的生产计划 例1 一奶制品加工厂用牛奶生产A1、A2两种奶制品，1桶 牛奶可以在甲车间用12小时加工成3公斤A1, 或者在乙车间 用8小时加工成4公斤A2. 根据市场需求，生产的A1和A2全 部能售出，且每千克A1获利24元，每千克A2获利16元.现 在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的 劳动时间480小时，并且甲车间每天至多能加工100千克A1, 乙车间的加工能力没有限制. 试为该厂制定一个生产计划， 使每天获利最大.
结果分析 上面的输出中除了告诉我们问题的最优解和最优值意外， 还有很多对分析有用的信息： (1)3个约束条件的右端不妨看做3种“资源”：原料、劳动时 间、甲类设备的加工能力.“Slack or Surplus”给出这3种资源 在最优解下是否有剩余：2)原料,3)劳动时间的剩余均为零， 4)甲类设备尚余40公斤加工能力.一般我们称“资源”剩余 为零的约束为紧约束(有效约束). (2)目标函数可以看做”效益”，称为紧约束的“资源”一旦 增加，“效益”必然跟着增长.”Dual Price“给出这3种资源 在最优解下”资源“增加1个单位时”效益“的增量：2） 原料增加1个单位(1桶牛奶)时利润增长48元，3）劳动时间 增加1个单位（1小时）时利润增加2元，而增加非紧约束4） 甲类设备的能力显然不会使利润增长.
用LINGO解线性规划 LINGO (Linear, Interactive, and General Optimizer)是一个利 用线性规划和非线性规划来简洁地阐述、解决和分析复杂 问题的工具. 其特点是程序执行速度快，易于输入、修改、求解和分析 一个数学规划问题，在教学科研和工业界由广泛的应用.
奶制品的生产销售计划 例2 (奶制品的生产销售计划)现在例1给出的条件不变，为 了增加工厂的获利，开发了奶制品的深加工技术：用2小 时和3元加工费，可将1千克A1加工成0.8千克高级奶制品 B1，也可将1千克A2加工成0.75千克高级奶制品B2，每千 克B1能获利44元，每千克B2能获利32元，试为该厂制定一 个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论一下2个附 加问题： 1)若投资30元可增加供应1桶牛奶，投资3元可增加1小时 劳动时间，应否作这项投资？若每天投资150元，可赚回 多少？ 2)每千克高级奶制品B1，B2的获利经常由10%的波动，对 制定的生产销售计划有无影响？若每千克B1获利下降10%， 计划应该变化吗？
2）原料最多增加10桶牛奶，3）劳动时间最多增加53小时. 所以现在我们可以回答附加问题1）的第二问：虽然应该 批准用35元买1桶牛奶的投资，但每天最多可购买10桶牛 奶；顺便指出，可以用低于每小时2元的工资聘用临时工 人，但最多增加53小时. 线性规划模型的三要素：决策变量、目标函数和约束条件.
计算结果 Global optimal solution found at iteration： 4 Objective value: 3460.800 Model Title: 奶制品的生产销售计划 Variable Value Reduced Cost X1 0.000000 1.680000 X2 168.0000 0.000000 X3 19.20000 0.000000 X4 0.000000 0.000000 X5 24.00000 0.000000 X6 0.000000 1.520000
结果分析
(3)目标函数的系数发生变化时(假定约束条件不 变)，最优解和最优值会改变吗？这个问题不能简 单地回答.从图解法中我们知道，目标函数的系数 决定了等值线族的斜率，元体重该斜率为9/8，介 于直线L1的斜率1与L2的斜率3/2之间，最优解自 然在L1和L2的交点B取得.并且，只要目标函数系 数的变化使得等值线的斜率仍然在(1,3/2)之间， 这个最优解就不会变化，而当目标函数系数的变 化使得等值线族的斜率小于1时，最优解将在A点 取得，大于3/2时，最优解将在C点取得.
(1)符号说明：设出售x1千克A1,x2千克A2，x3千克B1，x4千 克B2，x5千克A1加工成B1，x6千克A2加工成B2. (2)建立模型： 目标函数 max z=24x1+16x2+44x3+32x4-3x5-3x6 (3)约束条件： 1)原料供应 (x1+x5)/3+(x2+x6)/4 ≤50 2)劳动时间：4(x1+x5)+2(x2+x6)+2x5+2x6 ≤480 3)加工能力： x1+x5 ≤100 4)附加约束：x3=0.8x5，x4=0.75x6 5)非负约束：x1，…，x6≥0