第3讲 线性规划模型
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线性规划模型
gin 3
汽车厂生产计划模型引申： ★ 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。
Max s.t . z 2x1 3x2 4x 3 1.5x1 3x2 5x3 600 280 x1 250 x2 400 x3 60000 x1 , x2 , x3 0或 80
对于整数线性规划模型大致可分为两类： (1) 变量全限制为整数时，称纯整数规划； (2) 变量部分限制为整数的，称混合整数规划； (3) 变量只能取0或1时，称之为0-1整数规划。
3、整数线性规划的求解
在Lindo软件中最后加上语句：gin n
二、汽车厂生产计划模型
模型求解 整数规划（Integer Programming,简记IP）
二、Lindo软件求解 Lindo软件是解决线性规划求解问题 的对症良药，而Lingo则用来求解非线性 规划问题。
运用此软件注意的事项：
◆（1）“<, >”与“<= , =>”相同。
◆ （2）变量与系数间可以有空格（回车 符），但不能有运算符。 ◆ （3）变量以字母开头，不允许超过8个 字符。 ◆ （4）变量名不区分大小写。 ◆ （5）目标函数所在行为第一行，第二 行为约束符。
• 分析： • 1. 求什么？ • 生产多少桌子？ • 生产多少椅子？ • 2. 优化什么？ • 收益最大 • 3. 限制条件？ • 原料总量 • 劳力总数
x1 x2
Max f=80 x1+45 x2
0.2 x1 +0.05 x2 ≤4 15 x1 +10 x2 ≤450
模型I ：以产值为目标取得最大收益. 设：生产桌子 x1张, 椅子 x2张,(决策变量) • 将目标优化为：max f=80x1+45x2 • 对决策变量的约束： • 0.2x1+0.05x2≤4 • 15x1+10x2 ≤ 450, • x1 ≥ 0, x2 ≥ 0,
汽车厂生产计划模型引申： ★ 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。
Max s.t . z 2x1 3x2 4x 3 1.5x1 3x2 5x3 600 280 x1 250 x2 400 x3 60000 x1 , x2 , x3 0或 80
对于整数线性规划模型大致可分为两类： (1) 变量全限制为整数时，称纯整数规划； (2) 变量部分限制为整数的，称混合整数规划； (3) 变量只能取0或1时，称之为0-1整数规划。
3、整数线性规划的求解
在Lindo软件中最后加上语句：gin n
二、汽车厂生产计划模型
模型求解 整数规划（Integer Programming,简记IP）
二、Lindo软件求解 Lindo软件是解决线性规划求解问题 的对症良药，而Lingo则用来求解非线性 规划问题。
运用此软件注意的事项：
◆（1）“<, >”与“<= , =>”相同。
◆ （2）变量与系数间可以有空格（回车 符），但不能有运算符。 ◆ （3）变量以字母开头，不允许超过8个 字符。 ◆ （4）变量名不区分大小写。 ◆ （5）目标函数所在行为第一行，第二 行为约束符。
• 分析： • 1. 求什么？ • 生产多少桌子？ • 生产多少椅子？ • 2. 优化什么？ • 收益最大 • 3. 限制条件？ • 原料总量 • 劳力总数
x1 x2
Max f=80 x1+45 x2
0.2 x1 +0.05 x2 ≤4 15 x1 +10 x2 ≤450
模型I ：以产值为目标取得最大收益. 设：生产桌子 x1张, 椅子 x2张,(决策变量) • 将目标优化为：max f=80x1+45x2 • 对决策变量的约束： • 0.2x1+0.05x2≤4 • 15x1+10x2 ≤ 450, • x1 ≥ 0, x2 ≥ 0,
第三章线性规讲义划模型
➢ 对偶问题的对偶是原问题。
Min W= Yb
YA - YS= C Y,YS≥0
➢ 若两个互为对偶问题之一有最优解，则另一个必有最优解， 且目标函数值相等(Z*=W*)，最优解满足CX*=Y*b。
第三章 线性规划模型
▪ 线性规划问题的提出 ▪ 线性规划问题的建模 ▪ 典型特征和基本条件 ▪ 一般模型和标准模型 ▪ 线性规划的图解方法 ▪ 影子价格与敏感分析 ▪ 线性规划模型的应用
第三章 线性规划模型
• 对偶问题的提出
某厂生产甲、乙两 种产品，消耗A、B两 种原材料 。生产一件 甲产品可获利2元，生 产乙产品获利3元。问 在 以 下条件下如何安 排生产？
设备 A 设备 B 设备 C 利润（元/件）
产品 产品 产品 产品 甲乙丙丁 1.5 1.0 2.4 1.0 1.0 5.0 1.0 3.5 1.5 3.0 3.5 1.0 5.24 7.30 8.34 4.18
设备能力 （小时）
2000 8000 5000
第三章 线性规划模型
▪ 建立的模型如下：
z=12737.06（元）
▪ 请注意最优解中利润率最高的产品丙在最优生产计 划中不安排生产。说明按产品利润率大小为优先次 序来安排生产计划的方法有很大局限性。尤其当产 品品种很多，设备类型很多的情况下，用手工方法 安排生产计划很难获得满意的结果。另外，变量是 否需要取整也是需要考虑的问题。
第三章 线性规划模型
用线性规划制订使总利润最大的生产计划。
每件产品占用的 产品 产品 产品 产品 设备能力
机时数（小时/件） 甲 乙 丙 丁 （小时）
设备 A
1.5 1.0 2.4 1.0
2000
设备 B
1.0 5.0 1.0 3.5
Min W= Yb
YA - YS= C Y,YS≥0
➢ 若两个互为对偶问题之一有最优解，则另一个必有最优解， 且目标函数值相等(Z*=W*)，最优解满足CX*=Y*b。
第三章 线性规划模型
▪ 线性规划问题的提出 ▪ 线性规划问题的建模 ▪ 典型特征和基本条件 ▪ 一般模型和标准模型 ▪ 线性规划的图解方法 ▪ 影子价格与敏感分析 ▪ 线性规划模型的应用
第三章 线性规划模型
• 对偶问题的提出
某厂生产甲、乙两 种产品，消耗A、B两 种原材料 。生产一件 甲产品可获利2元，生 产乙产品获利3元。问 在 以 下条件下如何安 排生产？
设备 A 设备 B 设备 C 利润（元/件）
产品 产品 产品 产品 甲乙丙丁 1.5 1.0 2.4 1.0 1.0 5.0 1.0 3.5 1.5 3.0 3.5 1.0 5.24 7.30 8.34 4.18
设备能力 （小时）
2000 8000 5000
第三章 线性规划模型
▪ 建立的模型如下：
z=12737.06（元）
▪ 请注意最优解中利润率最高的产品丙在最优生产计 划中不安排生产。说明按产品利润率大小为优先次 序来安排生产计划的方法有很大局限性。尤其当产 品品种很多，设备类型很多的情况下，用手工方法 安排生产计划很难获得满意的结果。另外，变量是 否需要取整也是需要考虑的问题。
第三章 线性规划模型
用线性规划制订使总利润最大的生产计划。
每件产品占用的 产品 产品 产品 产品 设备能力
机时数（小时/件） 甲 乙 丙 丁 （小时）
设备 A
1.5 1.0 2.4 1.0
2000
设备 B
1.0 5.0 1.0 3.5
管理学线性规划模型的应用PPT课件
x1, x2 0
约束条件
决策变量
建立数学模型的三要素：
决策变量 目标函数 约束条件
数学模型分类：
max Z=1500x1+2500x2 3x1+2x2 65
s.t. 2x1+ x2 40 3x2 75
x1, x2 0
线性规划问题
非线性规划问题
线性规划在工商管理中的应用
3.1 、市场营销问题 3.2、财务管理问题（投资问题） 3.3、营运管理问题
-783/7000(4x2 +4x5 +11x9 ) -200/4000(7x3 +7x6)
约束条件不变
设备
产品单件工时（小时/件） 设备的有 设备加工
效台时 费（元/小
甲
乙
丙 （小时） 时）
A1 5 A
A2 7 B1 6
B B2 4
B3 7
10
6000
0.05
9
12 10000
0.03
8
4000
生产计划问题、外购自制生产问题、套裁下料问题
3.4、产品配方问题 3.5、人力资源管理问题
3.1 、市场营销问题
• 【例3.1】某房地产开发公司正在建造一个湖边小区， 公司准备投入3万元进行广告媒体宣传,希望能够吸引 周围的中高收入家庭前来购房。目前有5种媒体可供 选择，相关信息如表3.1所示。
• 对于这次活动，公司有下列要求：（1）至少进行10次电 视广告播放；（2）至少有5万名潜在顾客被告知；（3） 电视广告投入不超过18000元。如何进行媒体组合，才能 使广告质量最高?
第四年 x34
maxZ=180%x12+120%x23+110%x34+130%x43.
约束条件
决策变量
建立数学模型的三要素：
决策变量 目标函数 约束条件
数学模型分类：
max Z=1500x1+2500x2 3x1+2x2 65
s.t. 2x1+ x2 40 3x2 75
x1, x2 0
线性规划问题
非线性规划问题
线性规划在工商管理中的应用
3.1 、市场营销问题 3.2、财务管理问题（投资问题） 3.3、营运管理问题
-783/7000(4x2 +4x5 +11x9 ) -200/4000(7x3 +7x6)
约束条件不变
设备
产品单件工时（小时/件） 设备的有 设备加工
效台时 费（元/小
甲
乙
丙 （小时） 时）
A1 5 A
A2 7 B1 6
B B2 4
B3 7
10
6000
0.05
9
12 10000
0.03
8
4000
生产计划问题、外购自制生产问题、套裁下料问题
3.4、产品配方问题 3.5、人力资源管理问题
3.1 、市场营销问题
• 【例3.1】某房地产开发公司正在建造一个湖边小区， 公司准备投入3万元进行广告媒体宣传,希望能够吸引 周围的中高收入家庭前来购房。目前有5种媒体可供 选择，相关信息如表3.1所示。
• 对于这次活动，公司有下列要求：（1）至少进行10次电 视广告播放；（2）至少有5万名潜在顾客被告知；（3） 电视广告投入不超过18000元。如何进行媒体组合，才能 使广告质量最高?
第四年 x34
maxZ=180%x12+120%x23+110%x34+130%x43.
线性规划模型ppt
x , x , x ≤8, x ≤6, x ≤7, x ≤3, x ≤4,
1 2 7 2 4 5 6
x
i
∈ N , i = 1,2,...7.
+
模型求解
求解结果：843.0000
线性规划模型
主讲人
组员
线性代数模型背景
线性规划模型是数学规划模型中最简单、最基本 的数学模型。线性规划模型主要解决如何使用有 限的劳动力，设备等资源安排生产以取得最大的 经济效益以及为达到一定的目标应如何组织生产， 或合理安排工艺流程或调整产品的成分以使生产 所消耗的各类资源最少等问题。
有些复杂问题，往往给人们以变幻莫测的感觉， 难以掌握其中的奥妙。当我们把思维扩展到线性 空间，利用线性代数的基本知识建立模型，就可 以掌握事物的内在规律，预测其发展趋势。
确定目标函数：目标应该是使得总价值最大，即
max z = 40 x1+ 37 x2 + 58 x3 + 36 x4 + 35 x5 + 45 x6 + 50 x7
55 x1+ 58 x2 + 62.4 x3+ 49 x4 + 40.6 x5 + 53.3 x6 + 66 x7 ≤ 1000,
0.5 x1+1.7 x2 + 3 x3 + 2.2 x4 + 3 x5 + x6 + 4 x7 ≤ 40
在实际运用中，特别是数学建模过程中，遇到线 性规划模型的求解，一般都是利用现有的软件进 行求解。比较常用的求解线性规划模型的软件有 Lingo和Matlab等
建立线性规划模型基本步骤来自找出待定的未知变量（又称为决策变量-决策者 自己可以控制的变量），并且用符号表示；
5#第三章管理决策模型与方法(第3讲-线性规划)
这是一个下料问题，是在生产任务确定的条件下，合理的组织生产，
使所消耗的资源数最少的数学规划问题。 满足一组约束条件的同时，寻求变量x1至x8的值,使目标函数取得最 小值。
线性规划的一般数学模型
线性规划模型的特征： （1）用一组决策变量x1，x2，…xn表示某一方案，且在一般情况下， 变量的取值是非负的。 （2）有一个目标函数，这个目标函数可表示为这组变量的线性函数。 （3）存在若干个约束条件，约束条件用决策变量的线性等式或线
通常称
x1 ,x 2 , , x n为决策变量， c1,c2 , ,cn 为价值系数， a11 ,a12 , ,a mn为消耗系数, b1 ,b2 , , bm为资源限制系数。
如何求解？
maxZ 12 x1 10 x2 2x1 x2 160 1 3 x 1 3 x 40 1 2 3 x1 2 x2 260 x1 0, x2 0
原料 化学成分 化学成分含量（%） 产品中化学成分的最低含量 （%）
甲 12 2 3
乙 3 3 15
A B C
4 2 5
已知甲、乙两种原料的成本分别是每公斤 3 元和 2 元，厂方希 望总成本达到最小，问如何配置该产品？
原料
化学成分
化学成分含量（%）
甲 12 乙 3
产品中化学成分的最低含量 （ %）
运筹学概述
２，护航舰队的编队问题：英美等国需要对本国的商船队配备护航 舰队，以防止德国潜艇的攻击，这里有一个如何合理编队才能使商船 队一旦遭受德国潜艇攻击时损失最少的问题。 为了应付上述各种复杂问题，英美等国逐批召集不同专业背景的 科学家，在三军组织了各种研究小组，研究的问题都是军事性质的， 在英国称为“Operational Research”，其他英语国家称为 “Operations Research”，意思是军事行动研究。这些研究小组运用 系统优化的思想，应用数学技术分析军事问题，取得了非常理想的效 果。
优化模型一：线性规划模型数学建模课件
题的求解过程。
混合整数线性规划问题求解
要点一
混合整数线性规划问题的复杂性
混合整数线性规划问题是指包含整数变量的线性规划问题 。由于整数变量的存在，混合整数线性规划问题的求解变 得更加困难，需要采用特殊的算法和技术来处理。
要点二
混合整数线性规划模型的求解方 法
为了解决混合整数线性规划问题，可以采用一些特殊的算 法和技术，如分支定界法、割平面法等。这些方法能够将 问题分解为多个子问题，并逐步逼近最优解，从而提高求 解效率。
目标函数的类型
常见的目标函数类型包括最小化、最大化等。
确定约束条件
约束条件
01
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为数学不等式
或等式。
确定约束条件的原则
02
根据问题的实际情况，选择能够反映问题约束条件的条件作为
约束条件。
约束条件的类型
03
常见的约束条件类型包括等式约束、不等式约束等。
线性规划模型的建立
也可以表示为
maximize (c^T x) subject to (A x geq b) and (x leq 0)。
线性规划的应用场景
生产计划
物流优化
在制造业中，线性规划可以用于优化生产 计划，确定最佳的生产组合和数量，以满 足市场需求并降低成本。
在物流和运输行业中，线性规划可以用于 优化运输路线、车辆调度和仓储管理，降 低运输成本和提高效率。
初始基本可行解
在线性规划问题中，一个解被称为基 本可行解，如果它满足所有的约束条 件。
在寻找初始基本可行解时，可以采用 一些启发式算法或随机搜索方法，以 快速找到一个可行的解作为起点。
初始基本可行解是线性规划问题的一 个起始点，通过迭代和优化，可以逐 渐逼近最优解。
混合整数线性规划问题求解
要点一
混合整数线性规划问题的复杂性
混合整数线性规划问题是指包含整数变量的线性规划问题 。由于整数变量的存在，混合整数线性规划问题的求解变 得更加困难，需要采用特殊的算法和技术来处理。
要点二
混合整数线性规划模型的求解方 法
为了解决混合整数线性规划问题，可以采用一些特殊的算 法和技术，如分支定界法、割平面法等。这些方法能够将 问题分解为多个子问题，并逐步逼近最优解，从而提高求 解效率。
目标函数的类型
常见的目标函数类型包括最小化、最大化等。
确定约束条件
约束条件
01
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为数学不等式
或等式。
确定约束条件的原则
02
根据问题的实际情况，选择能够反映问题约束条件的条件作为
约束条件。
约束条件的类型
03
常见的约束条件类型包括等式约束、不等式约束等。
线性规划模型的建立
也可以表示为
maximize (c^T x) subject to (A x geq b) and (x leq 0)。
线性规划的应用场景
生产计划
物流优化
在制造业中，线性规划可以用于优化生产 计划，确定最佳的生产组合和数量，以满 足市场需求并降低成本。
在物流和运输行业中，线性规划可以用于 优化运输路线、车辆调度和仓储管理，降 低运输成本和提高效率。
初始基本可行解
在线性规划问题中，一个解被称为基 本可行解，如果它满足所有的约束条 件。
在寻找初始基本可行解时，可以采用 一些启发式算法或随机搜索方法，以 快速找到一个可行的解作为起点。
初始基本可行解是线性规划问题的一 个起始点，通过迭代和优化，可以逐 渐逼近最优解。
最新-第三章线性规划数学模型课件-PPT
X1
18
例4、 maxZ=3X1+2X2
X2
-X1 -X2 1
X1 , X2 0
无解
无可行解
-1
0
X1
-1
19
总结
唯一解 有解
无穷多解 无解 无有限最优解
无可行解
20
单纯形法
• 单纯形法（Simplex Method）是美国数学 家但泽（Dantzig）于1947年提出的。基 本思想是通过有限次的换基迭代来求出 线性规划的最优解。
3
线性规划的特点
❖决策变量连续性：求解出的决策变量值 可以是整数、小数；
❖线性函数：目标函数方程和约束条件方 程都是线性方程；
❖单目标：目标函数是单目标，只有一个 极大值或一个极小值；
❖确定性：只能应用于确定型决策问题。
4
例1、生产计划问题
A B 备用资源
煤12
30
劳动日 3 2
60
仓库 0 2
• 利用单纯形法解决线性规划问题，实际上是从 线性规划问题的一个基本可行解转移到另一个 基本可行解，同时目标函数值不减少的过程。
• 对于两个变量的线性规划问题，就是从可行域 的一个端点转移到另一个端点，而使得目标函 数的值不减少。
25
线性规划的扩展
一、整数规划（整数线性规划）：部分或 全部的决策变量只能取整数值。
8
一般式
Max(min)Z=C1X1+ C2X2+…+CnXn a11X1+ a12X2+…+ a1nXn (=, )b1 a21X1+ a22X2+…+ a2nXn (=, )b2 ……… am1X1+ am2X2+…+ amnXn (=, )bm Xj 0(j=1,…,n)
线性规划-讲义-3
4)、解的几种情况： 4)、解的几种情况： 唯一解 无穷多解－最优表中非基变量检验数有为0者。 无穷多解－最优表中非基变量检验数有为0 无界解 max, σ j > 0 但Pj ≤ 0 min, σ j < 0 但Pj ≤ 0 无可行解－最优表中人工变量在基中， 无可行解－最优表中人工变量在基中，且＝0。 建模有问题 5)、 5)、退化解问题
表2 -2
-1/3 -1/3
两阶段法步骤 n 原问题 max S=Σ Cj xj n j=1 Σ aij xj =bi ( i=1,2, …,m) xj ≥ 0 m 作辅助问题 min W=Σ yi n i=1 Σ aij xj + yi =bi ( i=1,2, …,m) Xj ， yi ≥ 0 阶段：解辅助问题， 第1阶段：解辅助问题，当进行到最优表时 ①、若W=0, 则得到原问题的一个基本可行 转入第2阶段 阶段。 解，转入第 阶段。 ②、若W>0, 则判定原问题无可行解 阶段： 第2阶段：用求出的初始基可行解求最优解。 阶段 用求出的初始基可行解求最优解。
人工变量： x6 , x7 人工变量：
cj
XB b*
0
x1
0
x2
0
x3
0
x4
0
x5
-1
x6
-1
x7
x4 11 3 x6 x7 1 - W’ 0
XB b*
1 -4 -2
0
x1
-2 1 0
0
x2
1 2 1
0
x3
1 0 0
0
x4
0 -1 0
0
x5
0 1 0
-1
x6
0 0 1
-1
x7
第三讲 线性规划(二)
i 1
定理：若检验数全小于等于零，且某一个非基变量 的检验数为0，则线性规划问题有无穷多最优解。 （无穷多最优解情况） 证明：设通过迭代已得最优解 X 0
按前述规则将非基变量 xm k 换入基变量中， 得到新基可行解 ，可知 仍为最优解。于是 X X 与 X 0连线上所有的点都是最优解。 X 命题成立。
B=(P3，P4 ，P5 ）=
1 0 0
0
0
1 0
0 1
x3, x4 , x5是基变量，x1,
x2,是非基变量。
用非基变量表示的方程： x3 = 8- x1 - 2x2 x4 = 16- 4x1 (I) x5 = 12 - 4x2 S = 0+ 2x1 +3x2 称(I) 为消去系统，
令非基变量 （ x1 , x2）T=（0，0） T 得基础可行解： x(1)=(0,0,8,16,12) T S1=0 经济含义：不生产产品甲乙，利润为零。 分析：S = 0+ 2x1 + 3x2 （分别增加单位产品甲、乙，目标函数 分别增加2、3，即利润分别增加2百元、 3百元。） 增加单位产品对目标函数的贡献， 这就是检验数的概念。
x1 = 2-x3+（1/2)x5 x4 = 8+ 4x3 -2 x5 x2 =3-(1/4) x5 S = 13-2x3+（1/4）x5
令新的非基变量（ x3，x5 ）=（0，0）T 得到新的基础可行解： x(3)=(2,3,0, 16 , 0) T S3=13 经济含义：生产甲产品2个，乙产品3个， 获得利润1300元。
增加单位产品甲（x2）比乙对目标函数 的贡献大（检验数最大），把非基变量 x2换成基变量，称x2为换入基变量，而 把基变量x5换成非基变量，称x5为换出 基变量。 （在选择出基变量时，一定保证消去系 统为正消去系统）（最小比值原则）
定理：若检验数全小于等于零，且某一个非基变量 的检验数为0，则线性规划问题有无穷多最优解。 （无穷多最优解情况） 证明：设通过迭代已得最优解 X 0
按前述规则将非基变量 xm k 换入基变量中， 得到新基可行解 ，可知 仍为最优解。于是 X X 与 X 0连线上所有的点都是最优解。 X 命题成立。
B=(P3，P4 ，P5 ）=
1 0 0
0
0
1 0
0 1
x3, x4 , x5是基变量，x1,
x2,是非基变量。
用非基变量表示的方程： x3 = 8- x1 - 2x2 x4 = 16- 4x1 (I) x5 = 12 - 4x2 S = 0+ 2x1 +3x2 称(I) 为消去系统，
令非基变量 （ x1 , x2）T=（0，0） T 得基础可行解： x(1)=(0,0,8,16,12) T S1=0 经济含义：不生产产品甲乙，利润为零。 分析：S = 0+ 2x1 + 3x2 （分别增加单位产品甲、乙，目标函数 分别增加2、3，即利润分别增加2百元、 3百元。） 增加单位产品对目标函数的贡献， 这就是检验数的概念。
x1 = 2-x3+（1/2)x5 x4 = 8+ 4x3 -2 x5 x2 =3-(1/4) x5 S = 13-2x3+（1/4）x5
令新的非基变量（ x3，x5 ）=（0，0）T 得到新的基础可行解： x(3)=(2,3,0, 16 , 0) T S3=13 经济含义：生产甲产品2个，乙产品3个， 获得利润1300元。
增加单位产品甲（x2）比乙对目标函数 的贡献大（检验数最大），把非基变量 x2换成基变量，称x2为换入基变量，而 把基变量x5换成非基变量，称x5为换出 基变量。 （在选择出基变量时，一定保证消去系 统为正消去系统）（最小比值原则）
第3章02-线性规划模型的标准形式
第3章02线性规划模型的标准形式同学们大家好，上次我们讲了线性规划模型的结构和特征，然后在后面没给出了要定义线性规划的标准型的原因，今天我们就来介绍一下线性规划的标准型。
首先我们要说标准形式定义出来的，在不同的教材里面的定义并不相同。
在我们教材里面我们是这么定义的：我们先看目标函数，一般形式中可能是关于目标函数的最大化问题，有可能最小化问题，但在标准型里面我们定义目标函数必须是求最大化问题。
1111max(min c max c n n n nz x c x z x c x =++⇒=++ 或）我们再来看一下常约束条件。
在一般形式里面，常约束可能是等式，也可能是不等式，但在标准形式中，定义每个常约束都必须取等号。
112211221,2,,i i i i in in i i i i i in in i a x a x a x b a x a x a x b i m+++≤=≥⇒+++== （或，），再来看非负约束。
在一般形式里面，并不要求每个变量都有非负约束，但是在标准形式里面，要求每一个变量都是非负的。
1212,,0,,,,0k j j j n x x x k n x x x ≥≤⇒≥ 另外，标准形式还要求每一个右端常数项都是大于等于0的，当然这个不是很重要，因为如果右端常数项是负数，可以给这个方程左右两边乘以-1，就把它变成了整数。
最后，我们总结一下，在我们的教材里，标准形式有四个要求：目标函数是求最大化问题，所有常约束为等式，所有变量都有大于等于0，右端常数项都大于等于0。
所以，我们的标准形式可以规范地写成下面的形式。
11112212max , 1,2,,st.,,0n ni i i i in in i n z c x c x a x a x a x b i m x x x =+++++==⎧⎨≥⎩ 关于标准形式，它还有几种等价的形式需要大家熟悉。
第一种是简写形式。
也就是用和式号对标准形式进行简写，形式如下：⎪⎩⎪⎨⎧=≥===∑∑==n j x m i b x a x c z jnj i j ij nj j j ,,2,1,0 ,2,1st.max 11 ，第二种是矩阵形式。
第3章 线性规划.ppt
max z x1 x2 则凸多边形的边AB 上的所有点都是问 题的解。因此，解 是无穷多个。
x2
400
300 A
250 B
x2 250
x1 x2 300
0
200
300
x1
2x1 x2 400 16
第3章 线性规划
3. 无最优解(目标函数值
x2
为无穷大或无穷小)。
若例3-4中式(b),(c)的约 250
成立,则称x为凸集D的极点。即在凸集上不能表 示成相异两点凸组合的点，称为极点；在线性 规划问题的凸集上称之为顶点。
20
第3章 线性规划
3. 基本解：对于有n个变量、m个约束方程的标 准线性规划问题，取其m个变量，若这些变量在 约束方程中的系数列向量线性无关，则它们组 成一组基本变量。确定了一组基本变量后，其 它n-m个变量称为非基本变量。
变量约束： xi 0, 1 i 4
6
第3章 线性规划
一、线性规划问题的标准形式（※）
1. 标准形式
目标函数： 约束条件：
n
max z cj xj j 1
n
aij xj b0i , i 1, 2,
j 1
, m, (b0i 0)
变量约束： xj 0, j 1, 2, , n
通常把上述三个式子描述的问题称为标准线
5. 基本可行解：如果基本解中的每一个变量都是非 负的，即满足变量约束 xj 0, (1 j n) 的基本解称 为基本可行解。如果在基本可行解中至少有一个基 本变量为零，则该解称为退化的基本可行解，反之， 称为非退化的基本可行解。
注：基本可行解既是基本解、又是可行解，它对应 于线性规划问题可行域的顶点。
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第3章 线性规划
x2
400
300 A
250 B
x2 250
x1 x2 300
0
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300
x1
2x1 x2 400 16
第3章 线性规划
3. 无最优解(目标函数值
x2
为无穷大或无穷小)。
若例3-4中式(b),(c)的约 250
成立,则称x为凸集D的极点。即在凸集上不能表 示成相异两点凸组合的点，称为极点；在线性 规划问题的凸集上称之为顶点。
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第3章 线性规划
3. 基本解：对于有n个变量、m个约束方程的标 准线性规划问题，取其m个变量，若这些变量在 约束方程中的系数列向量线性无关，则它们组 成一组基本变量。确定了一组基本变量后，其 它n-m个变量称为非基本变量。
变量约束： xi 0, 1 i 4
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第3章 线性规划
一、线性规划问题的标准形式（※）
1. 标准形式
目标函数： 约束条件：
n
max z cj xj j 1
n
aij xj b0i , i 1, 2,
j 1
, m, (b0i 0)
变量约束： xj 0, j 1, 2, , n
通常把上述三个式子描述的问题称为标准线
5. 基本可行解：如果基本解中的每一个变量都是非 负的，即满足变量约束 xj 0, (1 j n) 的基本解称 为基本可行解。如果在基本可行解中至少有一个基 本变量为零，则该解称为退化的基本可行解，反之， 称为非退化的基本可行解。
注：基本可行解既是基本解、又是可行解，它对应 于线性规划问题可行域的顶点。
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第3章 线性规划
线性规划模型
线性规划模型线性规划（Linear Programming，LP）是一种用于求解线性优化问题的数学建模方法。
线性规划模型是在一组线性约束条件下，通过线性目标函数来寻找最优解的数学模型。
其基本形式如下：最大化或最小化：Z = c₁x₁ + c₂x₂ + … + cₙxₙ（目标函数）约束条件为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a₂ₙxₙ ≤ b₂…aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + … + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, …, xₙ ≥ 0其中，c₁, c₂, …, cₙ为目标函数中各项的系数；a₁₁,a₁₂, …, aₙₙ为约束条件中各项的系数；b₁, b₂, …, bₙ为约束条件中的常数项；x₁, x₂, …, xₙ为决策变量。
线性规划模型的求解过程分为以下几个步骤：1. 建立数学模型：根据问题的描述，确定决策变量，确定最优化目标，建立目标函数和约束条件。
2. 确定可行解区域：根据约束条件，画出约束条件所确定的可行解区域。
3. 求解最优解：在可行解区域内寻找目标函数最大化或最小化的解。
常用的求解方法有单纯形法和对偶单纯形法。
4. 解释结果：根据最优解，给出对决策变量和目标函数的解释，进一步分析结果的意义。
线性规划模型适用于许多实际问题的求解，如生产计划、资源分配、物流调度等。
通过构建适当的数学模型，可以帮助管理者做出理性决策，最大化或最小化目标函数。
然而，线性规划模型也有其局限性。
首先，线性规划只能处理线性约束条件和线性目标函数，对于非线性问题无法求解。
其次，线性规划假设决策变量是连续的，对于离散的决策问题，线性规划无法适用。
此外，线性规划模型还需要求解算法的支持，对于复杂问题需要较高的计算资源。
总之，线性规划模型是一种常用的数学建模方法，通过线性约束条件和线性目标函数，求解最优解，帮助解决实际问题。
但线性规划模型也有其适用范围和局限性，需要根据具体问题来选择合适的求解方法。
第一章 线性规划的模型(3)——第一章线性规划资料文档
-9-
4. 线性规划模型的标准形式
（1）变量：所有变量均xj≥0 （2）目标函数：为取“max”形式 （3）约束条件：全部约束方程均为“=”连接 （4）约束右端项：bi≥ 0 非标准形式情况有 变量： xj≤0 ,或xj无约束 目标函数：min 约束条件：“≤”或“≥” 约束右端项： bi<0
-10-
-2-
2.线性规划模型的一般要求
（1）变量：取值为连续的、可控的量； （2）目标函数：线性表达式； （3）约束条件：线性的等式或者不等式。
-3-
线性规划问题的一般形式
max z=c1x1+c2x2+………+cnxn
s.t. a11x1+a12x2+………+a1nxn≤(=, ≥)b1
a21x1+a22x2+………+a2nxn≤b2 ………… ………………… am1x1+am2x2+………+amnxn≤bm
如 x1+x23 x1+x2+ x3=3
当 “”时，引进剩余（surplus） 变量 - xs；
如 x1+2x2 4 x1+2x2－x4=4
（4）约束右端项：当 bi < 0，则不等式 两端同乘（- 1）
zmi
n
z
x z = -
z z
max
-11-
例：将下述LP模型标准化：
obj. Min z=2x1- x2+3x3
st.- 2x2+ x3 = 4 2x1- x2 - 3x3 5 x1 0, x2无符号限制, 解：设 zx3=- 0z, x2= x2 - x2 , x2 0 , x2 0, x3= - x3 , x3 0 ，x40, x50, 则有
4. 线性规划模型的标准形式
（1）变量：所有变量均xj≥0 （2）目标函数：为取“max”形式 （3）约束条件：全部约束方程均为“=”连接 （4）约束右端项：bi≥ 0 非标准形式情况有 变量： xj≤0 ,或xj无约束 目标函数：min 约束条件：“≤”或“≥” 约束右端项： bi<0
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2.线性规划模型的一般要求
（1）变量：取值为连续的、可控的量； （2）目标函数：线性表达式； （3）约束条件：线性的等式或者不等式。
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线性规划问题的一般形式
max z=c1x1+c2x2+………+cnxn
s.t. a11x1+a12x2+………+a1nxn≤(=, ≥)b1
a21x1+a22x2+………+a2nxn≤b2 ………… ………………… am1x1+am2x2+………+amnxn≤bm
如 x1+x23 x1+x2+ x3=3
当 “”时，引进剩余（surplus） 变量 - xs；
如 x1+2x2 4 x1+2x2－x4=4
（4）约束右端项：当 bi < 0，则不等式 两端同乘（- 1）
zmi
n
z
x z = -
z z
max
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例：将下述LP模型标准化：
obj. Min z=2x1- x2+3x3
st.- 2x2+ x3 = 4 2x1- x2 - 3x3 5 x1 0, x2无符号限制, 解：设 zx3=- 0z, x2= x2 - x2 , x2 0 , x2 0, x3= - x3 , x3 0 ，x40, x50, 则有
《线性规划模型》课件
单纯性法
1
单纯形表格
通过单纯形表格的迭代计算，我们可以逐步寻找到线性规划问题的最优解。
2
单纯性法的求解步骤
单纯性法的求解步骤包括初始化、迭代计算和检查终止条件。
3
最优解和无可行解的情况
我们将讨论单纯性法的最优解和无可行解的情况，并介绍相应的处理方法。
线性规划的应用
生产计划
线性规划可以帮助制定最优的 生产计划，优化资源配置和生 产效率。
3 非负约束
非负约束要求决策变量取 非负值，即不能出现负数 的情况。
图形解法
可行解区域
可行解区域是约束条件所定义的 一个多边形区域，决策变量的取 值必须在该区域内。
等值线和等价线
最优解的确定
等值线和等价线显示了目标函数 在可行解区域上的取值相等的点。
通过寻找目标函数最大或最小值 对应的点，我们可以确定线性规 划问题的最优解。
《线性规划模型》PPT课 件
本课件介绍线性规划模型的基本概念、求解方法和应用领域。从什么是线性 规划开始，逐步深入，帮助你理解和应用这一强大的决策分析工具。
简介
什么是线性规划？线性规划模型的基本元素是什么？如何解决线性规划模型？ 在本节中，我们将回答这些问题，让你对线性规划有一个清晰的了解。
线性规划模型的基本元素
决策变量Байду номын сангаас
决策变量是线性规划模型中的未知数，代表决策者需要确定的变量。
目标函数
目标函数衡量决策结果的好坏，我们通过优化目标函数来获得最佳决策。
约束条件
约束条件是对决策变量的限制，确保决策结果在可行范围内。
约束条件
1 等式约束
等式约束确保决策变量的 线性组合等于给定的值。
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(9)表达式要简化； (10)以”END”语句作为程序的结束； (11)”END”前对0-1变量说明：@INT(NAME); (12)”END”前对整数变量说明：@GIN(NAME). 上一节课我们用图解法求解了“奶制品的生产计划”问题， 现在我们用LINGO软件求解，并做进一步的分析： 1)若用35元可以买到一桶牛奶，应否作这项投资？若投资， 每天最多购买多少桶牛奶？ 2)若可聘用临时工人以增加劳动时间，最多能给其多少工资？ 3)若每千克A1的获利增加到30元，应否改变生产计划？
奶制品的生产销售计划 例2 (奶制品的生产销售计划)现在例1给出的条件不变，为 了增加工厂的获利，开发了奶制品的深加工技术：用2小 时和3元加工费，可将1千克A1加工成0.8千克高级奶制品 B1，也可将1千克A2加工成0.75千克高级奶制品B2，每千 克B1能获利44元，每千克B2能获利32元，试为该厂制定一 个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论一下2个附 加问题： 1)若投资30元可增加供应1桶牛奶，投资3元可增加1小时 劳动时间，应否作这项投资？若每天投资150元，可赚回 多少？ 2)每千克高级奶制品B1，B2的获利经常由10%的波动，对 制定的生产销售计划有无影响？若每千克B1获利下降10%， 计划应该变化吗？
结果分析 上面的输出中除了告诉我们问题的最优解和最优值意外， 还有很多对分析有用的信息： (1)3个约束条件的右端不妨看做3种“资源”：原料、劳动时 间、甲类设备的加工能力.“Slack or Surplus”给出这3种资源 在最优解下是否有剩余：2)原料,3)劳动时间的剩余均为零， 4)甲类设备尚余40公斤加工能力.一般我们称“资源”剩余 为零的约束为紧约束(有效约束). (2)目标函数可以看做”效益”，称为紧约束的“资源”一旦 增加，“效益”必然跟着增长.”Dual Price“给出这3种资源 在最优解下”资源“增加1个单位时”效益“的增量：2） 原料增加1个单位(1桶牛奶)时利润增长48元，3）劳动时间 增加1个单位（1小时）时利润增加2元，而增加非紧约束4） 甲类设备的能力显然不会使利润增长.
灵敏性分析
Ranges in which the basis is unchanged： Obejective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X1 72.00000 24.00000 8.000000 X2 64.00000 8.000000 16.00000 Righthand Side Ranges Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease 2 50.00000 10.00000 6.666667 3 480.0000 53.33333 80.00000 4 100.0000 INFINITY 40.00000
输出结果 Global optimal solution found at iteration： 0 3360.000 objective value： Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.000000 X2 30.00000 0.000000 Row 1 2 3 4 Slack or Surplus 3360.000 0.000000 0.000000 40.00000 Dual Price 1.000000 48.00000 2.000000 0.000000
基本模型 决策变量：设每天用x1桶牛奶生产A1，用x2桶牛奶生产 A2. 目标函数：设每天获利为z元， max z=72x1+64x2 (1) 约束条件： 原料供应 x1+x2≤50 (2) 劳动时间 12x1+8x2≤480 (3) 设备能力 3x1 ≤100 (4) 非负约束 x1, x2≥0 (5) 思考：本例能建立如上的线性规划模型，事实上事先做了 哪些假设呢？
LINGO可以用来求解的模型
优化模型 连续优化 整数规划(IP)
线性规划 (LP)
二次规划 (QP)
非线性规划 (NLP) LINGO
使用LINGO的一些注意事项： (1)>(<)与>=(<=)功能相同； (2)变量与系数间可有空格(甚至回车)，但无运算符； (3)变量名以字母开头，不能超过8个字符； (4)变量名不区分大小写； (5)第一行通常为”model:”, 第二行为目标函数，第三行开 始为约束条件； (6)行结束为”;”; (7)”!”后面的为注释； (8)在模型的任何地方都可以用”TITLE”对模型命名(最多72 字符)；
结果分析 ”效益“的增量可以看作”资源“的潜在价值，经济学上 称为”影子价格“，即1桶牛奶的影子价格是48元，1小 时劳动力的影子价格为2元，甲类设备的影子价格是0. 大家可以用直接求解的方法验证上述结论，即将输入文件 中原料约束2）的右端的50改成51，看看得到的最优值是 否恰好增加48元. 我们用影子价格的概念就很容易回答问题1）:用35元可 以买到1桶牛奶，低于1桶牛奶的影子价格，当然应该作这 项投资；回答附加问题2）：聘用临时工人以增加劳动时 间，付给的工资低于劳动时间的影子价格才可以增加利润， 所以工资最多是每小时2元.
奶制品的生产计划 例1 一奶制品加工厂用牛奶生产A1、A2两种奶制品，1桶 牛奶可以在甲车间用12小时加工成3公斤A1, 或者在乙车间 用8小时加工成4公斤A2. 根据市场需求，生产的A1和A2全 部能售出，且每千克A1获利24元，每千克A2获利16元.现 在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的 劳动时间480小时，并且甲车间每天至多能加工100千克A1, 乙车间的加工能力没有限制. 试为该厂制定一个生产计划， 使每天获利最大.
用LINGO解线性规划 LINGO (Linear, Interactive, and General Optimizer)是一个利 用线性规划和非线性规划来简洁地阐述、解决和分析复杂 问题的工具. 其特点是程序执行速度快，易于输入、修改、求解和分析 一个数学规划问题，在教学科研和工业界由广泛的应用.
(1)符号说明：设出售x1千克A1,x2千克A2，x3千克B1，x4千 克B2，x5千克A1加工成B1，x6千克A2加工成B2. (2)建立模型： 目标函数 max z=24x1+16x2+44x3+32x4-3x5-3x6 (3)约束条件： 1)原料供应 (x1+x5)/3+(x2+x6)/4 ≤50 2)劳动时间：4(x1+x5)+2(x2+x6)+2x5+2x6 ≤480 3)加工能力： x1+x5 ≤100 4)附加约束：x3=0.8x5，x4=0.75x6 5)非负约束：x1，…，系数发生变化时(假定约束条件不 变)，最优解和最优值会改变吗？这个问题不能简 单地回答.从图解法中我们知道，目标函数的系数 决定了等值线族的斜率，元体重该斜率为9/8，介 于直线L1的斜率1与L2的斜率3/2之间，最优解自 然在L1和L2的交点B取得.并且，只要目标函数系 数的变化使得等值线的斜率仍然在(1,3/2)之间， 这个最优解就不会变化，而当目标函数系数的变 化使得等值线族的斜率小于1时，最优解将在A点 取得，大于3/2时，最优解将在C点取得.
结果分析 输出结果中”Current Coefficient“的”Allowable Increase“和”Allowable Decrease“给出了最优解不变条件下目 标函数系数的变化范围，x1为(64,96),x2则是(48,72). 注意： x1 系数的允许范围需要x2系数不变，反之亦然.这个结果回答问 题3)：A1的获利增加到每公斤30元，系数变为90，在允许范 围内，因此不必改变生产计划，而最优值变为3720元. 现在我们回过头来对”影子价格“作进一步的分析.从图 解 法我们看出，随着原料(牛奶)的增加，直线L1朝右上方平 移，L1和L2的交点向A点靠近，在这个过程中，每增加1桶 牛奶利润增加48元，但当B和A重合时增加牛奶就不可能使利 润增长了.这就是说，影子价格的作用是有限制的.输出结果 中的”Current RHS”的“Allowable Increase”和“Allowable Decrease”给出了影子价格有意义的条件下约束右端的限制：
模型求解 model: max=72*x1+64*x2; x1+x2<=50; 12*x1+8*x2<=480; 3*x1<=100; end 将文件存储并命名后，选择菜单“Solve”并对提示 “DO RANGE(SENSITIVITY) ANALYSIS?”(灵敏性 分析)回答”是”, 即可得到如下输出：
灵敏性分析 Ranges in which the basis is unchanged： Obejective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X1 24.00000 1.680000 INFINITY X2 16.00000 8.150000 2.100000 X3 44.00000 19.75000 3.166667 X4 32.00000 2.026667 INFINITY X5 -3.000000 15.80000 2.533333 X6 -3.000000 1.520000 INFINITY
计算结果 Global optimal solution found at iteration： 4 Objective value: 3460.800 Model Title: 奶制品的生产销售计划 Variable Value Reduced Cost X1 0.000000 1.680000 X2 168.0000 0.000000 X3 19.20000 0.000000 X4 0.000000 0.000000 X5 24.00000 0.000000 X6 0.000000 1.520000