振动力学基础

dx J dv kx + ( 2 + m )v =0 dt R dt J dv kx + ( 2 + m ) =0 R dt J d x kx + ( 2 + m ) 2 = 0 R dt
2
dx =v dt
d x 2 +ω x = 0 2 dt
2
例.光滑水平桌面上放两个 M1 和M2 的圆球 , 质量分别为 质量分别为M1 M1和 M2的圆球 的圆球, 它们之间被一根轻弹簧连 K, 求该系统的振 接,系数为 系数为K, K,求该系统的振 ? 动频率 动频率? 解:
o
2
2
d πρg ω= 2 m
x
x
k的轻弹簧、一 例.如图所示，振动系统由一倔强系数为 如图所示，振动系统由一倔强系数为k 半径为 R、转动惯量为 J的定滑轮和一质量为 m的物体所 半径为R 转动惯量为J 的定滑轮和一质量为m 组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其振动，试证 物体作简谐振动 . 物体作简谐振动. 解：取位移轴 ox ， 解：取位移轴ox ox， m的平衡位 原点在 原点在m m在平衡位置 置。 置。m 时，设弹簧伸长量 : 为∆l，则有 ，则有:
•超前、落后以 <π 的相wenku.baidu.com角来判断
例. 如图： m=2 ×10-2kg, 平衡时弹簧的形变 如图：m=2 m=2× 。将弹簧压缩 9.8cm, 物体由静止 为∆l=9.8cm l=9.8cm。 将弹簧压缩9.8cm, 释放。 m 开始振动时为计时零点，写出振动方程； 1) 1)开始振动时为计时零点，写出振动方程； 2）取 x0=0 ，v0 >0 为计时零点，写出振动方程。 ）取x =0， >0为计时零点，写出振动方程。 解
� 频率一定时，谐振动的总能量与振幅的平方成正 比。（适合于任何谐振系统）
第一个重点：如何判断物体是否作简谐振动？ 简谐振动的特征方程 （1）
（2 ）
f = − kx
d x 2 +ω x = 0 2 dt
1 2 1 kx + mv 2 = C 2 2
2
(3)
（4）
x = A cos(ω t + ϕ 1 )
k1 = k2 = 2k0
∆x F = SY = k ∆x x
F ∆x =Y S x
SY k = x
k1
k2 o x x
F和位移 x成正比。 � 在弹性限度内，弹性力 在弹性限度内，弹性力F 和位移x
� � ∑ F = − kx
由牛顿第二定律得：
d x ∑ F = m dt 2 = − k x
得：
m O x
k = m
g = ∆l
9 .8 = 10 rad / s 0 .098
x0= –9.8cm, v0=0, 得 由初条件： 由初条件：x
v0 2 A = x 0 + ( ) = 0 .098 m ω v0 ϕ = arctg ( − ) = 0, π ωx0
2
X
x0= Acosϕ = –0.098<0 ，∴ cosϕ<0, 取ϕ=π 由于： 由于：x =– 0.098<0， <0,取 振动方程为：x = 9.8×10-2cos( 10t+π ) m
x A1 A2 o - A2 -A1 x2 x1
同相
x A1 A2 t o - A2 -A1 x1
反相
T
T x2
t
�超前和落后
，则 x2比x1较早达到正最大，称 x2 若∆ϕ=ϕ2-ϕ1>0 >0，则 ，则x 较早达到正最大，称x (或x1比x2 落后 )。 比x1超前 超前( 落后)
x A1 A2 o - A2 -A1 x1 T t
k o
� � F = −kx
① ②
（k为劲度系数）
x
在弹性限度内，弹性力 F和位移 x成正比。 在弹性限度内，弹性力F 和位移x F和位移 x恒反向，始终指向平衡位置。 弹性力 弹性力F 和位移x 回复力：始终指向平衡位置的作用力
例:一弹性劲度系数为的弹簧，如果一分为二后， 单个弹簧的劲度系数是多少？ 解:
2
2
k1k2 d x + x=0 2 dt ( k1 + k2 ) m
k1k 2 ω= ( k1 + k 2 ) m
k1
2
d x 2 +ω x = 0 2 dt
k2 o x x
2
例.一弹性劲度系数为的弹簧振动子，如果一分为二 后串联，则振动频率是多少？如果并联呢？
k 解: ω = m
2
k1k2 ϖ= ( k1 + k2 ) m
k1 = k2 = 2k0
k0 4k0 ϖ= =ϖ0 ϖ = = 2ϖ 0 m m
例. 质量为m的比重计，放在密度为 ρ 的液体中。已知比 重计圆管的直径为d。试证明，比重计推动后，在竖直方向 的运动为简谐振动，并计算周期。 解： 取平衡位置为坐标原点 平衡时： mg 浮力：
−F =0
F
F = ρ Vg
2
d x k =− x 2 dt m
2
d x k =− x 2 dt m
d x 2 = −ω x 2 dt
动力学方程
2
2
令：
k ω = m
2
x = A cos(ω t + ϕ )
运动学方程
�结论： 弹簧振子的振动为简谐振动 。
2. 振动状态和振动能量
= A cos(ω t + ϕ ) d x ： 振动速度 振动速度： v= = −ω A sin(ω t + ϕ ) dt π = vm cos(ω t + ϕ + ) 2
x0=0 ，v0>0 为计时零点 , 写出振动方程。 2）若取 ）若取x =0， >0为计时零点 为计时零点, ，v0 >0 按题意 t=0 时,x0=0 =0， x0=Acosϕ=0 , cosϕ=0 ϕ=π/2 ,3π/2 取ϕ=3π/2 v0=–Aωsinϕ>0,sinϕ<0, <0,取 ∴ x=9.8×10-2cos( 10 t + 3π /2 ) x1 = 9.8×10-2cos( 10t+π ) m m m O x X
⎛ m1 ⎞ dv1 dv2 k − + ( x2 − x1 −l ) ⎜ v1 + v1 ⎟ = 0 dt dt mv1 ⎝ m2 ⎠ 2 2 d x1 dx2 k ( m1 + m2 ) − 2+ ( x2 − x1 −l ) = 0 2 dt dt mm 1 2
d 2 ( x1 − x2 − l ) k ( m1 + m2 ) − ( x1 − x2 −l ) = 0 2 dt mm 1 2
x1
x2
1 1 1 2 2 2 m1v1 + m2 v2 + kx = c 2 2 2
m1v1 + m2v2 = 0 x = x2 − x1 − l
dv1 dv2 dx m1v1 + m2 v2 + kx =0 dt dt dt
d ( x2 − x1 −l) dv1 dv2 mv +mv +k ( x2 − x1 −l) =0 11 11 dt dt dt dv1 dv2 k − + ( x2 −x1 −l)( v2 −v1) =0 dt dt m v1
第 4 章 振动力学基础
§4.1 简谐振动动力学 §4.2 简谐振动运动学 §4.3 微振动的简谐近似 §4.4 阻尼振动.受迫振动 共振 §4.5 平行简谐振动的合成 振动频谱
振动与波动是与人类生活和科学技术密切相关的 一种基本运动形式。 问：广义地说什么是振动？ 一物理量在某一定值附近周期性变化的现象称振动。 力学量（如位移） 机械振动 电磁振动
1 1 2 振子动能： E = mv = mω 2 A2 sin 2 (ω t + ϕ ) k 2 2
振子势能：
1 2 1 2 E p = kx = kA cos 2 (ω t + ϕ ) 2 2
∵ mω = k
2
1 2 ∴总能量： E = E + E = kA k p 2
结论： � 振子在振动过程中，动能和势能分别随时间变化，但 任一时刻总机械能保持不变。 � 动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频率的两倍。
o
其中 V 为比重计的排水体积
mg
2 ⎡ ⎤ d x ⎛d ⎞ mg − ⎢V + π ⎜ ⎟ x ⎥ ρ g = m 2 2 d t ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 2 2 d x ⎛d ⎞ mg − ρ Vg − ρ gπ ⎜ ⎟ x = m 2 dt ⎝2⎠
2
d x πd ρg =− x 2 dt 4m
RJ k
m
o
x
RJ
− kx = m a
k
T
m
[T
− kx ] R = J α
a = Rα
联立得 J ⎞ ⎛ − kx = ⎜ m + 2 ⎟ a R ⎠ ⎝
F2 a
α
m
o
T
mg
x
k d 2x + x=0 2 2 m + (J R ) dt
k ω = m + (J R 2 )
2
R J k
第二种解法 m
� A
ω
(ωt + φ )
—— 振动方程 ——振动方程
ω
ωt+ϕ
o
X = A cos (ωt + φ )
x
旋转矢量位置与振动物体状态的关系
X<0 v<0 X=-A
X=0 v<0
� A
ϕ
� A
X>0 v<0 X=A v=0 X
· x V=0
X<0 v>0
o
·x
X=0 v>0
X>0 v>0
�相位差 ∆ϕ =(ω2t+ϕ2)-(ω1t+ϕ1) 对两同频率的谐振动∆ϕ=ϕ2-ϕ1 �同相和反相 当∆ϕ=±2kπ， ( k=0,1, …)，两振动步调相同，称同相 k=0,1,… …)，两振动步调相反，称反相 当∆ϕ =±(2k+1)π，(k=0,1, (k=0,1,… 初相差
A cos[ω (t + T ) + ϕ ] = A cos(ωt + ϕ )
① (ωt+ϕ)是t时刻的相位 时刻的相位 —— 初相位 ② ϕ是t=0 t=0时刻的相位 ——初相位
；x=x0，v=v0 得 由t=0 t=0；
v0 A = x0 + 2 ω
2
2
v0 tan ϕ = − ω x0
3. 旋转振幅 矢量 旋转振幅矢量
O x
⑴ 取平衡位置为坐标原点。向下为正。 k = mg / ∆ 弹簧的弹性系数为： 弹簧的弹性系数为：k l x时受力分析 对物体任意位移 对物体任意位移x X
F = m g − k ( x + ∆ l ) = − kx
物体作简谐振动！
x = A cos(ω t + ϕ )
ω=
k = mg / ∆ l
§4.1.2 简谐振动运动学
1. 周期 频率和角频率
T：完成一次全振动所经历的时间。 周期 周期T n ：单位时间内完成全振动的次数。 n =1/T 频率 频率n
ω ：角频率 （或称圆频率）
ωT = 2π ,
ω = k m
2π ω= = 2πν T
1 2π m T= = = 2π ν ω k
2. 相位
例. 证明图示系统的振动为简谐振动。 证： 设物体位移x，弹簧分别伸长x1和x2
x = x1 + x2 k1 x2 = x k1 + k2
f = −k1 x1 = − k2 x2
k1
k2 o x x
d x f =m 2 dt
k1k 2 d x − k 2 x2 = − x=m 2 k1 + k 2 dt
o
1 2 1 1 2 2 kx + Jϖ + mv = C 2 2 2
1 2 1 v 1 2 kx + J 2 + mv = C 2 2 R 2
2
x
v = Rϖ
1 2 1 J 2 kx + ( 2 + m ) v = C 2 2 R
1 2 1 J 2 kx + ( 2 + m ) v = C 2 2 R
I 、V、 E、 B） 电磁量（如 电磁量（如I
最基本、 最简单、最重要的振动是简谐振动。
§4.1 简谐振动动力学
简谐振动：凡质点的运动遵从余弦（或正弦） 规律时，其运动形式为简谐振动。
x
x = A cos(ω t + ϕ )
o
t
1. 弹簧振子 模型 弹簧振子模型
弹簧振子： 一根轻弹簧和一个质点构成的一 个振动系统 根据胡克定律：
A在x轴上的投影 旋转矢量 旋转矢量A 点P的运动规律： P的运动与简谐 �投影点 投影点P 振动的运动规律相同。
x = A cos(ω t + ϕ )
� A
ω
ωt+ϕ
o
x
—— 振幅 A 旋转矢量的长度 旋转矢量的长度—— ——振幅 振幅A 旋转矢量旋转的角速度 —— 振动角频率 旋转矢量旋转的角速度—— ——振动角频率 旋转矢量旋转的方向 —— 逆时针方向 旋转矢量旋转的方向—— ——逆时针方向 x的夹角 —— 振动相位 旋转矢量与参考方向 旋转矢量与参考方向x ——振动相位 x轴上投影点的运动规律 旋转矢量在 旋转矢量在x
vm=ωA称为 速度振幅 其中： 其中：v 称为速度振幅 振动加速度： a = dv = −ω 2 A cos(ω t + ϕ )
：x 位置 位置：
dt
= am cos(ω t + ϕ ± π )
am=ω2A称为加速度振幅 其中： 其中：a
) 振动系统的能量 (包括振动动能、势能 包括振动动能、势能)