《导数及其应用》知识点总结

合集下载

(完整版)导数知识点总结及应用

《导数及其应用》知识点总结一、导数的概念和几何意义1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --。

2. 导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ∆无限趋近于0时，比值00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限趋近于一个常数A ，则称函数()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0()f x '。

函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。

3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率：00()()f x x f x x +∆-∆；（3）取极限，当x ∆无限趋近与0时，00()()f x x f x x+∆-∆无限趋近与一个常数A ，则0()f x A '=.4. 导数的几何意义：函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。

由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：（1）求出()y f x =在x 0处的导数，即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率；（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。

当点00(,)P x y 不在()y f x =上时，求经过点P 的()y f x =的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。

特别地，如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =。

5. 导数的物理意义：质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ，则()V S t '=表示瞬时速度，()a v t '=表示瞬时加速度。

高中数学人教版-2导数及其应用知识点总结

间分成若干小开区间，并列成表格，检查 f / ( x) 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么 f(x)在这个根处无极值 8.利用导数求函数的最值的步骤 :求 f ( x) 在 a, b 上的最大值与最小值的步骤如
a
a
c1
b
f ( x)dx
ck
11 定积分的取值情况 :定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是 0.
( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于 x 轴上方的图形面积；
（ 2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于 x 轴上方图形面积的相反数；
观察、比较
联想、类推
推测新的结论
18.演绎推理的定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一．般．到特．殊．的推理。 19．演绎推理的主要形式：三段论
20.“三段论”可以表示为：①大前题： M是 P②小前提： S 是 M ③结论： S 是 P。
数学选修 2-2 导数及其应用知识点必记
1．函数的平均变化率为 y x
f f (x2 ) f (x1) f ( x1 x) f ( x1 )
x
x2 x1
x
注 1：其中 x 是自变量的改变量，可正，可负，可零。注 2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2 、导函数的概念 : 函数 y f (x) 在 x x0 处的瞬时变化率是
其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理； ②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。

导数及其应用知识点总结

导数及其应用知识点总结导数及其应用是微积分中的重要概念，它可以用来描述一个函数在其中一点的变化率，进而用于求解曲线的切线、求解最值、优化问题等。

在学习导数及其应用的过程中，我们需要掌握导数的定义、导数的计算法则、导数与函数性质的关系以及导数在几何和物理问题中的应用等知识点。

一、导数的定义1.函数在其中一点的导数：函数f(x)在点x=a处的导数定义为：f'(a) = lim(h→0) (f(a+h)-f(a))/h2.函数的导函数：函数f(x)在定义域上每一点的导数所构成的新函数，被称为函数f(x)的导函数，记作f'(x)。

二、导数的计算法则1.常数法则：对于常数k，有：(k)'=0。

2.幂函数法则：对于幂函数y=x^n，其中n为常数，则有：(x^n)'=n*x^(n-1)。

3.基本初等函数法则：对于基本初等函数（如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数），可以通过求导法则求得其导函数。

4.乘积法则：对于函数u(x)和v(x)，有：(u*v)'=u'*v+u*v'。

5.商数法则：对于函数u(x)和v(x)，有：(u/v)'=(u'*v-u*v')/v^26.复合函数法则：对于复合函数y=f(g(x))，有：y'=f'(g(x))*g'(x)。

三、导数与函数性质的关系1.导函数与函数的单调性：若函数f(x)在区间I上可导，则f'(x)在I上的符号与f(x)在I上的单调性一致。

2.导函数与函数的极值：若函数f(x)的导函数在点x=a处存在，且导数的符号在x=a左侧从正数变为负数，那么函数在点x=a处取得极大值；若导数的符号在x=a左侧从负数变为正数，那么函数在点x=a处取得极小值。

3.导函数与函数的凹凸性：函数f(x)的导函数f''(x)的符号与函数f(x)的凹凸性一致。

导数知识点归纳及应用

导数知识点归纳及应用导数是微积分的基础知识之一，它描述了一个函数在其中一点的变化率。

导数的概念非常重要，广泛应用于科学和工程领域中的各种问题的建模和解决。

一、导数的定义及基本性质1.导数的定义：对于一个函数f(x)，它的导数可以通过以下极限定义求得：f'(x) = lim ( h -> 0 ) [ f(x+h) - f(x) ] / h导数表示了函数f(x)在x点处的变化率。

如果导数存在，则称f(x)在该点可导。

2.导数的图像表示：导数可以表示为函数f(x)的图像上的斜率线，也就是切线的斜率。

3.导数的几何意义：a.函数图像在特定点的切线的斜率等于该点的导数。

b.导数为正，表示函数在该点上升；导数为负，表示函数在该点下降；导数为零，表示函数在该点取得极值。

4.基本导数公式：a.常数函数的导数为0。

b.幂函数f(x)=x^n的导数为f'(x)=n*x^(n-1)。

c. 指数函数 f(x) = a^x 的导数为 f'(x) = ln(a) * a^x。

d. 对数函数 f(x) = log_a(x) 的导数为 f'(x) = 1 / (x * ln(a))。

二、导数的计算方法1.导数的基本定义法：根据导数的定义，通过计算极限来求得导数。

2.导数的运算法则：a.和差法则：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。

b.乘法法则：(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。

c.商法则：(f(x)/g(x))'=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/(g(x))^2d.复合函数法则：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。

3.链式法则：对于复合函数f(g(x))，可以利用链式法则求导数：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。

《导数和应用》知识点总结

《导数和应用》知识点总结导数是微积分中的重要概念，它是用来描述函数变化率的工具。

本文将总结导数的定义、性质以及它在数学、物理和经济等领域中的应用。

一、导数的定义在数学中，导数是描述函数变化率的概念。

对于一个函数f(x)，在x 点处的导数表示函数在这一点的变化率。

导数的定义如下：f'(x) = lim(h -> 0) [f(x+h) - f(x)] / h其中f'(x)表示f(x)在x点处的导数，h表示一个无限小的增量。

二、导数的性质1.导数的存在性：如果函数f(x)在x点处可导，则它在这一点的导数存在。

2.导数的基本运算法则：- 常数法则：如果c是一个常数，且f(x)是可导函数，则(cf(x))' = cf'(x)。

-和差法则：如果f(x)和g(x)是可导函数，则(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。

-积法则：如果f(x)和g(x)是可导函数，则(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。

-商法则：如果f(x)和g(x)是可导函数，并且g(x)≠0，则(f(x)/g(x))'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)]²。

3.链式法则：如果函数f(x)和g(x)分别是可导函数，则复合函数(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)。

4.导数的求解法则：- 幂函数法则：对于f(x) = axⁿ，其中a是常数，n是自然数，有f'(x) = anxⁿ⁻¹。

-指数函数法则：对于f(x)=eˣ，有f'(x)=eˣ。

- 对数函数法则：对于f(x) = ln(x)，有f'(x) = 1/x。

- 三角函数法则：对于f(x) = sin(x)和f(x) = cos(x)，有f'(x) = cos(x)和f'(x) = -sin(x)。

导数及其应用总结

第一章导数及其应用知识梳理知识框架导数及其应用1.曲线的切线和切线的斜率:曲线在点00(,)P x y处的切线,是指曲线上点P的邻近点00(,)x x y y+∆+∆Q沿曲线逐渐向点P接近时,割线P Q的极限位置所在的直线.根据切线的定义,切线的斜率应通过极限过程求得,即tan limxyxα∆→∆=∆k=.2.瞬时速度: 非匀速直线运动物体在时刻t的临近时间间隔t∆内的平均速度v(v=st∆∆),当0t∆→时, v的极限值v叫做物体在时刻t的速度,也叫瞬时速度.即limtsvt∆→∆=∆3.导数的定义:设x是函数()y f x=定义域的一点，如果自变量x在x处有增量x∆，则函数值y也引起相应的增量00()()y f x x f x∆=+∆-；比值00()()f x x f xyx x+∆-∆=∆∆称为函数()y f x=在点x到x x+∆之间的平均变化率；如果极限0000()()lim limx xf x x f xyx x∆→∆→+∆-∆=∆∆存在，则称函数()y f x=在点x处可导，并把这个极限叫做()y f x=在x处的导数，记作()f x'或|x xy='，即()f x'=0000()()lim limx xf x x f xyx x∆→∆→+∆-∆=∆∆.4.几何意义由定义可知函数()y f x=在点x处的导数的几何意义是曲线()y f x=在点00(,)P x y处的切线的斜率. 也就是说，曲线()y f x=在点P(,())x f x处的切线的斜率是()f x'，切线方程为00()().y y f x x x'-=-.5.导函数:函数()y f x=在开区间(,)a b内每一点处的导数都存在,就说()f x在(,)a b内可导,其导数也是(,)a b内的函数,这一新函数叫做()f x在开区间(,)a b内的导函数,记作()f x'或y'(需指明自变量时记作xy') 函数()f x的导函数()f x'在x x=时的函数值()f x'就是()y f x=在点x处的导数.6.几种常见函数的导数:①0;C'=②()1;n nx nx-'=③(sin)cosx x'=; ④(cos)sinx x'=-;⑤();x xe e'=⑥()lnx xa a a'=; ⑦()1ln xx'=; ⑧()1l g loga ao x ex'=.7.可导法则:①()u v u v'''±=±推广:1212()()...()()()...()n ny f x f x f x y f x f x f x''''=+++⇒=+++;②()uv vu v u'''=+;③2(0)u vu v uvv v'''-⎛⎫=≠⎪⎝⎭④()Cu Cμ''=(C为常数);⑤复合函数求导x xy yμμ'''=⋅8.导数的应用:⑴函数的单调性:一般地,设函数()y f x=在某个区间内可导,如果()0f x'>,则()f x为增函数; 如果()0f x'<则()f x为减函数;如果()0f x=׳,则()f x为常数函数.⑵函数的极值: 一般地,设函数()y f x=在点0x附近有定义,如果对0x附近的所有的点,都有0()()f x f x<,则()f x是()f x的一个极大值;如果对x附近的所有的点,都有()()f x f x>,则()f x是()f x的一个极小值.良好的开端，等于成功的一半。

导数知识点归纳及其应用

导数知识点归纳及其应用复习一、相关概念 1．导数的概念：函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值x y ∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即xy∆∆= 。

如果当0→∆x 时，xy∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =，即f （x 0）=0lim →∆x xy∆∆= 。

2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的。

也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是。

相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。

3.导数的物理意义如果物体运动的规律是s=s （t ），那么该物体在时刻t 的瞬间速度v= 。

二、导数的运算1．基本函数的导数公式:①='c （C 为常数），②()='n x ，N n ∈③()='x sin ，④()='x cos ， ⑤()='x e ⑥ ()='x a ，⑦ ()='x ln ，⑧()='x a log .⑨ ='⎪⎭⎫⎝⎛x 1 ，⑩()='x 。

2．导数的运算法则（v u ,是函数）1： ('')=±v u 2： =')(uv ；若C 为常数， =')(Cu 3：='⎪⎭⎫⎝⎛v u （v ≠0）。

1.某质点的运动方程是2)12(--=t t S ，则在t=1s 时的瞬时速度为（） A ．－1 B ．－3 C ．7 D ．132、汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（）3.设()l n f x x x =，若0()2f x '=，则0x =（）A ．2e B ．e C ．l n 22D ．ln 2 4、求下列函数的导数：（1）xx y 23log += （2）xn e x y = （3） xx y sin 12-= （ 4）xe xf -=2)( 5.曲线122+=x y 在点P （－１，３）处的切线方程为。

导数知识点总结与应用

导数知识点总结与应用一、导数的定义导数的定义是一个函数在某一点的变化率，通俗地说就是函数在某一点的斜率。

数学上我们用极限的概念来定义导数，设函数y=f(x)，在点x0处的导数定义为：f'(x0) = lim (Δx→0) (f(x0+Δx)- f(x0))/Δx如果这个极限存在的话，我们就称这个导数为存在的。

导数在几何意义上就是函数在某一点的切线的斜率。

二、导数的意义导数不仅仅是一个数学概念，更是反映了函数在不同点的变化情况。

导数告诉我们了函数在某一点的变化率，也就是函数在该点上的速度。

导数在物理中也有广泛的应用，比如在求物体的速度、加速度等等。

在经济学中，导数也有广泛的应用，比如在边际收益、边际成本等等。

三、导数的常用性质1、导数的和差规则：设函数f(x)和g(x)都在点x0具有导数，那么它们的和、差的导数就可以用下面的关系式来表示：(f(x)±g(x))' = f'(x)±g'(x)2、导数的数乘规则：设函数f(x)在点x0具有导数，那么它的数乘k的导数可以用下面的关系式来表示：(k*f(x))' = k*f'(x)3、导数的积法则：设函数f(x)和g(x)都在点x0具有导数，那么它们的积的导数可以用下面的关系式来表示：(f(x)*g(x))' = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)4、导数的商法则：设函数f(x)和g(x)都在点x0具有导数，并且g(x0)≠0，那么它们的商的导数可以用下面的关系式来表示：(f(x)/g(x))' = (f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x))/[g(x)]^2四、高阶导数由导函数可以得到二阶导数，三阶导数···，n阶导数的定义分别为f''(x) = [f'(x)]'f'''(x) = [f''(x)]'···f^(n)(x) = [f^(n-1)(x)]'几何意义上就是函数在该点的曲率、弯曲程度。

导数及其应用知识归纳

数为０的点不一定是极值点。
（3 ）利用导数求函数极值的步骤：
一．检查 f ‘ ( x ）在方程根左、右值的符号若左正右负，则 f ( x ）在这个根处取得极大值；若左负右正，则 f ( x ）在这个根处取得极小值；若同正同负，则 f ( x ）在这个根处无极值．
一．求 f ‘ ( x ) ；二．求 f ‘ （x ）＝０的根；
《导数及其应用》知识归纳
击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述你的观点
二、本章内容总结
（一）导数的概念本章介绍导数和定积分的概念、求法以及应用．可过分地记为 ‘’导数值’’与’’导函数’’以示区别!
导数来源于各种实际问题，它描述了非均匀变化过程的变化率．例如变速直线运动的瞬时速度、质量分布不均匀的细直杆的线密度、曲线切线的斜率等等 ·
3 ．函数的最值
（2 ）利用导数求最值的步骤：
一．将 f ( x ）的各极值与 f ( a ) , f （b ）比较，确定 f （x ）的最大值和最小值．一．求 f （x ）在（ a , b ）内的极值；
（1）在闭区间［a ，ｂ］上连续的函数
f ( x ) ，在［ a ，ｂ］上必有最大值和最小值．两种方法，即导数定义法和导函数的函数值法．
（六）导数的应用
１利用导数判断函数的单调性
2 函数的极值
（l ）设函数 f ( x ）在点
A
x 。的附近有定义，如果对
附近所有的点都有：
（2 ）可导函数 f ( x ）在
B
极值点处的导数为０，但导

大一导数及其应用知识点

大一导数及其应用知识点导数是微积分中的重要概念，它是描述函数变化率的工具，也是分析函数性质的基础。

在大一导数及其应用中，我们需要掌握一些基本的知识点，包括导数的定义、计算方法以及导数在实际问题中的应用。

下面将对这些知识点进行详细介绍。

1. 导数的定义导数描述了函数在某一点处的变化率，它的定义如下：设函数f(x)在点x=a处有定义，如果极限lim┬(h→0)⁡〖(f(a+h)-f(a))/h=H 〗存在，那么称H为函数f(x)在点x=a处的导数，记作f'(a)。

2. 导数的计算方法- 根据导数的定义，我们可以计算一些常见函数的导数。

- 常数函数的导数为0，即对于f(x) = C，其中C为常数，f'(x) = 0。

- 幂函数的导数可以通过幂函数的求导公式来计算，即对于f(x) = x^n，其中n为实数，f'(x) = n*x^(n-1)。

- 指数函数和对数函数的导数可以通过对数求导公式来计算，即对于f(x) = a^x，其中a为常数且a>0且a≠1，f'(x) = a^x*ln(a)。

- 三角函数的导数可以通过三角函数的求导公式来计算，如sin(x)的导数为cos(x)，cos(x)的导数为-sin(x)。

- 导数运算法则是求导过程中常用的工具，包括：- 和差法则：对于两个函数f(x)和g(x)，(f(x) ± g(x))' = f'(x) ±g'(x)。

- 乘法法则：对于两个函数f(x)和g(x)，(f(x) * g(x))' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。

- 商法则：对于两个函数f(x)和g(x)，(f(x) / g(x))' = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / (g(x))^2。

- 复合函数求导法则：对于复合函数y = f(g(x))，导数可以通过链式法则来计算，即y' = f'(g(x)) * g'(x)。

高中导数及其应用知识点归纳(总结得很好_实用)

函数与导数（一）函数的概念及其表示一、知识点x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域．注意：函数定义域的就是定义中的集合A ，但函数的值域不是定义中的集合B,而是集合B 的一个子集。

2．函数的三要素：定义域，对应关系，值域。

3.定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.(6)一个式子如果是幂的形式，且指数为零，那么它的底不能够等于零. (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.4.相同函数的判断方法：①对应关系相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)5．值域：先考虑其定义域(1)观察法 (含绝对值，偶次根式，平方等可直接观察)：如1,1-=+=x y x y 。

（2）直接法（x 取有限个值的时候，可把所有函数值算出来）：如y=2x+1,{}3,2.1∈x （3）图像法：（凡是易画出图像的函数，都可用此法）如：422+-=x x y （[]3,0∈x ），双钩函数[])2,1(,2-∈+=x xx y(4)配方法：（适合于二次型函数）如：422+-=x x y ，245x x y -+= (5)分离常数法（主要适合于dcx b ax y ++=）如1121122132++=+++=++=x x x x x y （6）换元法;(适合于含无理根式的函数以及两个常见类型函数的复合函数)如[]，，可令∞+∈-=-+=01,142x t x x y 在换元后要给出新变量的范围。

导数及其应用-知识点整理(完整,清晰)

导数及其应用基本知识点1，导数：当x ∆趋近于零时，x x f x x f ∆-∆+)()(00趋近于常数C 。

可用符号“→”记作：当0→∆x 时，x x f x x f ∆-∆+)()(00c →或记作c x x f x x f x =∆-∆+→∆)()(lim 000，符号“→”读作“趋近于”。

函数在0x 的瞬时变化率，通常称作)(x f 在0x x =处的导数，并记作)(0x f '。

即x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(l i m)(0000'2，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率；导数的物理意义，通常是指物体运动在某一时刻的瞬时速度。

即若点),(00y x P 为曲线上一点，则过点),(00y x P 的切线的斜率x x f x x f x f k x ∆-∆+==→∆)()(l i m )(0000'切由于函数)(x f y =在0x x =处的导数，表示曲线在点))(,(00x f x P 处切线的斜率，因此，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线方程可如下求得：（1）求出函数)(x f y =在点0x x =处的导数，即曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线的斜率。

（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：))((00'0x x x f y y -=-，如果曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 的切线平行于y 轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为0x x =，故过点),(00y x P 的切线的方程为：))((00'0x x x f y y -=- 3，导数的四则运算法则：（1）)()())()((x g x f x g x f '±'='± （2）)()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '+'='（3）)()()()()()()(2x g x g x f x f x g x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡4，几种常见函数的导数：(1))(0为常数C C =' (2))(1Q n nx x n n ∈='-）（ (3)x x cos )(sin =' (4)x x sin )(cos -='(5)x x 1)(ln =' (6)e xx a a log 1)(log =' (7)x x e e =')( (8)a a a x x ln )(=' 5，函数的单调性：在某个区间),(b a 内，如果0)('>x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增；如果0)('<x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递减。

导数知识点归纳及应用

导数知识点归纳及应用●知识点归纳一、相关概念1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ，那么函数y 相应地有增量y =f （x 0+x ）－f （x 0），比值xy 叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x 之间的平均变化率，即xy =xx f x x f )()(00。

如果当0x时，xy 有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f ’（x 0）或y ’｜0x x。

即f （x 0）=0limx xy =0lim x xx f x x f )()(00。

说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0x时，xy 有极限。

如果xy 不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。

（2）x 是自变量x 在x 0处的改变量，0x时，而y 是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤：①求函数的增量y =f （x 0+x ）－f （x 0）；②求平均变化率xy =xx f x x f )()(00；③取极限，得导数f ’(x 0)=xy x 0lim。

例：设f(x)= x|x|, 则f ′(0)= .[解析]：∵0||lim ||lim )(lim )0()0(limx xxx xx f xf x f x x x x ∴f ′(0)=02．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。

也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f ’（x 0）。

相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。

例：在函数x x y83的图象上，其切线的倾斜角小于4的点中，坐标为整数的点的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0[解析]：切线的斜率为832/xyk 又切线的倾斜角小于4，即10k 故18302x 解得：338383xx 或故没有坐标为整数的点3.导数的物理意义如果物体运动的规律是s=s （t ），那么该物体在时刻t 的瞬间速度v=s （t ）。

第1讲导数及其应用(知识点串讲)(解析版)

第1讲导数及其应用（知识点串讲）知识整合考点1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0()()00f x x f x x+∆-∆为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即 f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0()()00f x x f x x+∆-∆. (2)导数的几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0).(3)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝lim Δx →0()()f x x f x x+∆-∆为f (x )的导函数．例1、(2018·山东东营期中)曲线f (x )＝x 2－3x ＋2ln x 在x ＝1处的切线方程为____________.【答案】x －y －3＝0 [f ′(x )＝2x －3＋2x ，f (1)＝－2，f ′(1)＝1，故切线方程为y ＋2＝x －1，即x －y －3＝0.][跟踪训练]1、(2019·山东济南联考)已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－2【答案】B [设直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )的切点为(x 0，y 0)，则y 0＝1＋x 0，y 0＝ln(x 0＋a )．又y ′＝1x ＋a ，所以y ′|x ＝x 0＝1x 0＋a ＝1，即x 0＋a ＝1. 又y 0＝ln(x 0＋a )，所以y 0＝0，则x 0＝－1，所以a ＝2.]考点2．基本初等函数的导数公式考点3．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)()()()()()()()2'''f x f xg x f x g xg x g x⎡⎤-=⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦(g(x)≠0)．考点4．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y x′＝y u′·u x′，即y对x的导数等于y 对u的导数与u对x的导数的乘积．例2、(2019·山东菏泽模拟)已知函数f(x)＝f′(1)x2＋2x＋2f(1)，则f′(2)的值为()A．－2B．0C．－4D．－6【答案】D[由题意f(1)＝f′(1)＋2＋2f(1)，化简得f(1)＝－f′(1)－2，而f′(x)＝2f′(1)x＋2，所以f′(1)＝2f′(1)＋2，得f′(1)＝－2，f(x)＝－2·x2＋2x＋2f(1)．所以f′(x)＝－4·x＋2.所以f′(2)＝－4×2＋2＝－6.] [跟踪训练]2、(2019·山东临沂期中)设函数f(x)在(0，＋∞)可导，其导函数为f′(x)，若f(ln x)＝x2－ln x，则f′(1)＝________.【答案】2e2－1[设ln x＝t，则x＝e t，∵f(ln x)＝x2－ln x，∴f(t)＝e2t－t，∴f(x)＝e2x－x，∴f′(x)＝2e2x －1，∴f′(1)＝2e2－1.]考点5.与导数相关的重要结论(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．(2)[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)．(3)函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．考点6．函数的单调性(1)在(a ，b )内函数f (x )可导，f ′(x )在(a ，b )任意子区间内都不恒等于0. f ′(x ) ≥0⇔f (x )在(a ，b )上为增函数. f ′(x ) ≤0⇔f (x )在(a ，b )上为减函数.(2)在某区间内f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．(3)可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是：对∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x ) ≥0(f ′(x ) ≤0)且f ′(x )在(a ，b )上的任何子区间内都不恒为零．例3、(2019·山东青岛模拟)已知函数f (x )＝x 2＋ax ，若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是单调递增的，则实数a的取值范围为( )A ．(－∞，8)B ．(－∞，16]C ．(－∞，－8)∪(8，＋∞)D ．(－∞，－16]∪[16，＋∞)【答案】B[f (x )＝x 2＋a x 在x ∈[2，＋∞)上单调递增，则f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax2 ≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立. 则a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立. 所以a ≤16.][跟踪训练]3、(2019·山东临沂阶段检测)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f ′(x )＜f (x )对任意的x ∈R 恒成立，则下列不等式均成立的是( )A ．f (ln 2)＜2f (0)，f (2)＜e 2f (0)B ．f (ln 2)＞2f (0)，f (2)＞e 2f (0)C ．f (ln 2)＜2f (0)，f (2)＞e 2f (0)D ．f (ln 2)＞2f (0)，f (2)＜e 2f (0)【答案】A [令()()xf xg x e =，则()()()2''x x x e f x e f x g x e -=＝()()'x f x f x e -.∵f ′(x )＜f (x )，∴g ′(x )＜0，∴g (x )是减函数，则有g (ln 2)＜g (0)，g (2)＜g (0)，即()ln 2ln 2f e ＜()00f e，()()2020f f e e <，所以f (ln 2)＜2f (0)，f (2)＜e 2f (0)．]考点7．函数的极值 (1)函数的极小值：函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，则点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．(2)函数的极大值：函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近的其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，则点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．(3)对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件．例4、(2017·全国卷Ⅱ)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，则f (x )的极小值为( )A ．－1B ．－2e －3 C ．5e －3D ．1【答案】A [函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，则f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)·e x －1＝e x －1·[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]．由x ＝－2是函数f (x )的极值点得f ′(－2)＝e －3·(4－2a －4＋a －1)＝(－a －1)e －3＝0，所以a ＝－1. 所以f (x )＝(x 2－x －1)e x －1，f ′(x )＝e x －1·(x 2＋x －2)．由e x －1＞0恒成立，得x ＝－2或x ＝1时，f ′(x )＝0，且x ＜－2时，f ′(x )＞0；－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0；x ＞1时，f ′(x )＞0. 所以x ＝1是函数f (x )的极小值点．所以函数f (x )的极小值为f (1)＝－1.] [跟踪训练]4、(2019·山东淄博模拟)若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为( ) A ．⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B ．⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞C ．⎝⎛⎭⎫32，＋∞D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 【答案】D [因为f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，f ′(x )值有正有负，所以f ′(x )＝3x 2－4cx ＋1＝0有两个不同的根，Δ＝(4c )2－12＞0，解得c ＜－32或c ＞32.]考点8．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．例5、已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[－1，1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________.【答案】－13 [f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，根据已知2a3＝2，得a ＝3，即f (x )＝－x 3＋3x 2－4.根据函数f (x )的极值点，可得函数f (m )在[－1，1]上的最小值为f (0)＝－4，f ′(n )＝－3n 2＋6n 在[－1，1]上单调递增，所以f ′(n )的最小值为f ′(－1)＝－9.[f (m )＋f ′(n )]min ＝f (m )min ＋f ′(n )min ＝－4－9＝－13.]。

《导数及其应用》知识点总结

《导数及其应用》知识点总结一、导数的定义与运算1.导数的定义：导数表示函数在其中一点上的变化率，定义为函数在该点处的极限值。

设函数y=f(x)，则函数f(x)在点x=a处的导数记为f'(a)，可以表示为以下三种形式：（1）f'(a) = lim(x→a) [f(a)-f(x)] / (a-x)（2）f'(a) = lim(h→0) [f(a+h)-f(a)] / h（3）f'(a) = dy / dx，_(x=a)2.导数的运算法则：（1）和差法则：(u±v)'=u'±v'（2）数乘法则：(ku)' = ku'（3）乘法法则：(uv)' = u'v+uv'（4）商法则：(u/v)' = (u'v-uv') / v²（5）复合函数求导法则：(f[g(x)])'=f'(g(x))*g'(x)二、导数的几何意义1.切线与法线：函数在其中一点处的导数就是函数在该点处的切线的斜率，切线方程为y-f(a)=f'(a)(x-a)。

函数在其中一点处的导数的倒数就是函数在该点处的法线的斜率，法线方程为y-f(a)=-(1/f'(a))(x-a)。

2.函数的单调性与极值：若函数在一段区间上的导数大于0，则函数在该区间上单调递增；若函数在一段区间上的导数小于0，则函数在该区间上单调递减。

函数在一个点处的导数为0，则该点为函数的驻点；函数在驻点上的导数为正，则该点为函数的极小值点；函数在驻点上的导数为负，则该点为函数的极大值点。

三、导数的应用1.函数的极值与最值：（1）求函数的极值点：将函数的导数等于0的解作为候选点，再通过计算二阶导数或进行导数的符号表来判断是否为极值点。

（2）求函数的最值：将函数的极值点和函数在定义域的两端计算的值进行比较，得出最大值或最小值。

函数导数及其应用总结

函数导数及其应用总结一、导数的概念与性质导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。

对于函数y=f(x)，其导数可表示为f'(x)或dy/dx。

导数的计算通常通过求导公式来实现，例如常见的导数公式有幂函数的导数法则、指数函数和对数函数的导数法则、三角函数的导数法则等。

导数具有一些重要的性质，包括常数的导数为零、函数的和、差、积的导数等。

二、导数的几何意义与图像表示导数在几何上有着重要的意义，它可以代表函数图像在某点处的切线斜率。

当导数为正时，函数图像呈上升趋势；当导数为负时，函数图像呈下降趋势。

通过导数与函数图像的关系，我们可以判断函数的增减性、极值点等。

三、导数的应用领域导数在实际问题中有着广泛的应用，下面介绍几个常见的应用领域。

1. 最优化问题最优化问题指的是在一定条件下求取使得函数取得极大或极小值的自变量。

导数在这类问题中起到了关键作用。

通过求取函数的导数，我们可以得到函数的极值点，进而找到最优解。

例如，通过求解导数等于零的点，我们可以得到函数的驻点，然后进一步判断其是否为极大值或极小值。

2. 物理学中的应用导数在物理学中也有着广泛的应用，特别是在描述物体运动和变化的问题中。

例如，通过对位移函数求导，可以得到速度函数；再对速度函数求导，可以得到加速度函数。

这样，我们可以通过导数来描述物体的运动过程，进而分析速度的变化率和加速度的大小。

3. 经济学中的边际分析在经济学中，导数被用于边际分析。

边际分析是研究单位变动引起的效果变化的方法。

通过求取效用函数或生产函数的导数，我们可以得到效用或生产的边际效应。

这样，我们可以基于边际效应来进行经济决策，比如决定增加生产量的数量。

四、导数的计算技巧与注意事项在求导过程中，有一些常见的计算技巧可以帮助我们简化问题。

一些常见的技巧包括使用分段函数的导数法则、利用链式法则求复合函数的导数、使用隐函数求导法则等。

此外，还需要注意一些特殊函数的导数规律，例如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

最全面导数重点知识点归纳及应用2021

导数知识点归纳及应用●知识点归纳一、相关概念 1．导数的概念函数 y=f(x), 如果自变量 x 在 x 0 处有增量 x ，那么函数 y 相应地有 y x增量 y =f （ x 0 + x ）－f （x 0 ），比值叫做函数 y=f （x ）在 x 0 到 x 0 + xf ( x 0x) xf ( x 0 )。

如果当y = xy 有x之间的平均变化率，即 0 时， x极限，我们就说函数 y=f(x) 在点 x 0 处可导，并把这个极限叫做 f （x ）在点 x 0 处的导数，记作 f ’（ x 0 ）或 y ’|x。

x 0y xf ( x 0x) xf ( x 0 ) 即 f （x 0 ）= lim。

= lim x 0x 0说明：y xy x（ 1）函数 f （ x ）在点 x 0 处可导，是指 0 时，有极限。

如果x不存在极限，就说函数在点 x 0 处不可导，或说无导数。

（ 2） x 是自变量 x 在 x 0 处的改变量， x 0 时，而 y 是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数 y=f （ x ）在点 x 0 处的导数的步骤： ① 求函数的增量 y =f （ x 0 + x ）－ f （x 0 ）； y xf (x 0x)f (x 0 )；x② 求平均变化率 = y x③ 取极限，得导数 f ’(x 0 )= lim。

x 0 例：设 f(x)= x|x|,则 f ′( 0)=.f ( 0 x) xf (0)f ( x) x| x | xx[ 解析 ] ： ∵ ∴lim | x 0x | 0lim x 0limx 0limx 0f ′( 0)=02．导数的几何意义函数 y=f （x ）在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y=f （x ）在点 p （x 0 ， f （ x 0 ））处的切线的斜率。

也就是说，曲线 y=f （ x ）在点 p （ x 0 ， f（ x 0 ））处的切线的斜率是 f ’（ x 0 ）。

《导数及其应用》知识点总结

(完整版)导数知识点总结及应用

高中数学人教版-2导数及其应用知识点总结

导数及其应用知识点总结

导数知识点归纳及应用

《导数和应用》知识点总结

导数及其应用总结

导数知识点归纳及其应用

导数知识点总结与应用

导数及其应用知识归纳

大一导数及其应用知识点

高中导数及其应用知识点归纳(总结得很好_实用)

导数及其应用-知识点整理(完整,清晰)

导数知识点归纳及应用

第1讲 导数及其应用(知识点串讲)(解析版)

《导数及其应用》知识点总结

函数导数及其应用总结

最全面导数重点知识点归纳及应用2021

第1讲导数及其应用(知识点串讲)(解析版)