《导数及其应用》知识点总结

《导数及其应用》知识点总结

一、导数的概念和几何意义

1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为：

2121

()()

f x f x x x --。

2. 导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ∆无限趋近于0时，比值

00()()f x x f x y x x

+∆-∆=∆∆无限趋近于一个常数A ，则称函数()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0()f x '。函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。

3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率：

00()()f x x f x x +∆-∆；（3）取极限，当x ∆无限趋近与0时，00()()

f x x f x x

+∆-∆无限趋

近与一个常数A ，则0()f x A '=. 4. 导数的几何意义：

函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：

（1）求出()y f x =在x 0处的导数，即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率； （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。 当点00(,)P x y 不在()y f x =上时，求经过点P 的()y f x =的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =。 5. 导数的物理意义：

质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ，则()V S t '=表示瞬时速度，()a v t '=表示瞬时加速度。 二、导数的运算

1. 常见函数的导数：

（1）()kx b k '+=(k , b 为常数)； （2）0C '=(C 为常数)； （3）()1x '=；

（4）2()2x x '=； （5）32()3x x '=；

（6）211()x x

'=-；

（7）

'；

（8）1()ααx αx -'=（α为常数）；

（9）()ln (0,1)x x a a a a a '=>≠； （10）11(log )log (0,1)ln a a x e a a x x a '==>≠；

（11）()x x e e '=；

（12）1(ln )x x '=； （13）(sin )cos x x '=；

（14）(cos )sin x x '=-。

2. 函数的和、差、积、商的导数： （1）[()()]()()f x g x f x g x '''±=±； （2）[()]()Cf x Cf x ''=（C 为常数）；

（3）[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+；

（4）2()()()()()

[](()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ''-'=≠。

3. 简单复合函数的导数：

若(),y f u u ax b ==+，则x

u x y y u '''=⋅，即x u y y a ''=⋅。 三、导数的应用

1. 求函数的单调性：

利用导数求函数单调性的基本方法：设函数()y f x =在区间(,)a b 内可导， （1）如果恒()0f x '>，则函数()y f x =在区间(,)a b 上为增函数； （2）如果恒()0f x '<，则函数()y f x =在区间(,)a b 上为减函数； （3）如果恒()0f x '=，则函数()y f x =在区间(,)a b 上为常数函数。

利用导数求函数单调性的基本步骤：①求函数()y f x =的定义域；②求导数()f x '； ③解不等式()0f x '>，解集在定义域内的不间断区间为增区间；④解不等式()0f x '<，解集在定义域内的不间断区间为减区间。

反过来, 也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题（如确定参数的取值范围）： 设函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，

(1)如果函数()y f x =在区间(,)a b 上为增函数,则()0f x '≥(其中使()0f x '=的x 值不构成区间)；

(2) 如果函数()y f x =在区间(,)a b 上为减函数,则()0f x '≤(其中使()0f x '=的x 值不构成区间)；

(3) 如果函数()y f x =在区间(,)a b 上为常数函数,则()0f x '=恒成立。 2. 求函数的极值：

设函数()y f x =在0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有0()()f x f x >（或0()()f x f x <），则称0()f x 是函数()f x 的极小值（或极大值）。

可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是：

（1）确定函数()f x 的定义域；（2）求导数()f x '；（3）求方程()0f x '=的全部实根，12n x x x <<

<，顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：x 变化时，()f x '和()f x 值的

变化情况：

（4）检查()f x '的符号并由表格判断极值。 3. 求函数的最大值与最小值：

如果函数()f x 在定义域I 内存在0x ，使得对任意的x I ∈，总有0()()f x f x ≤，则称0()f x 为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯一的。

求函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值和最小值的步骤： （1）求()f x 在区间(,)a b 上的极值；

（2）将第一步中求得的极值与(),()f a f b 比较，得到()f x 在区间[,]a b 上的最大值与最小值。

4. 解决不等式的有关问题：

（1）不等式恒成立问题（绝对不等式问题）可考虑值域。

()()f x x A ∈的值域是[,]a b 时，

不等式()0f x <恒成立的充要条件是max ()0f x <，即0b <；

不等式()0f x >恒成立的充要条件是min ()0f x >，即0a >。

()()f x x A ∈的值域是(,)a b 时，

不等式()0f x <恒成立的充要条件是0b ≤； 不等式()0f x >恒成立的充要条件是0a ≥。

（2）证明不等式()0f x <可转化为证明max ()0f x <，或利用函数()f x 的单调性，转化为证明0()()0f x f x <≤。

5. 导数在实际生活中的应用：

实际生活求解最大（小）值问题，通常都可转化为函数的最值. 在利用导数来求函数最值时，一定要注意，极值点唯一的单峰函数，极值点就是最值点，在解题时要加以说明。