数学分析(1)期末模拟考试题(证明部分新)

数列极限类 1. 证明: 11

2111lim 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n . 证 因为

1

1

21112

2

222+≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++≤+n n n n n n n n n

又11

lim

lim

2

2

=+=+∞

→∞

→n n n

n n n n ,由迫敛原理得

11

211

1lim 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞

→n n n n n . 2. 设() ,2,121,1111=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛

+=>=+n a a a a a a n n n ,证明{}n a 有极限,并求此极限的值. 证 由均值不等式得

a a a a a a a a n n n n n =⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡⋅≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2212111

,即{}n a 有下界. 又021212

1=-⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛

+≤-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ,即{}n a 单调减,于是A a n n =∞→lim 存在,且由极限的保号性可得1≥A .对已知递推公式,令∞→n 和极限的唯一性得

⎪⎭

⎫

⎝⎛+=

A a A A 21, 解得a A =

(负根舍去),即有a a n n =∞

→lim .

单调性的证明也可如下完成:

11211212221=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n n n n a a a a a a ,或n n n n n a a a a a =⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛

+≤+2

121. 3. 设() ,2,16,1011=+=

=+n x x x n n ,试证数列{}n x 存在极限,并求此极限.

证 由4166,10121==+=

=x x x 知, 21x x >.假设1+>k k x x ,则

21166+++=+>+=k k k k x x x x ,由归纳法知{}n x 为单调下降数列.又显然有0>n x ,所

以{}n x 有下界.由单调有界原理知,数列{}n x 收敛.所以可令a x n n =∞

→lim ,对n n x x +=

+61两

边取极限得0662=--⇒+=

a a a a ,解得3=a 或2-=a (舍去),故3lim =∞

→n n x .

4. 设+

N ∈∃N ,当N n >时,有n n b A a ≤≤且()0lim =-∞→n n n a b .求证极限n n a ∞

→lim 与

n n b ∞

→lim 存在且等于A .

证 由n n b A a ≤≤得n n n a b a A -≤-≤0,由迫敛原理得A a n n =∞

→lim ,再由

()0lim =-∞

→n n n a b 及A a n n =∞

→lim 可得n n b ∞

→lim 存在且等于A .

5. 设()n n n n n n y x y y x x b y a x +=

=>=>=++2

1

,,0,01111.求证: (1) {}n x 与{}n y 均有极限; (2) n n n n y x ∞

→∞

→=lim lim .

证 因为()1121

++=+≤

=n n n n n n y y x y x x ,所以()()n n n n n n y y y y x y =+≤+=+2

1211,即{}n y 单调减少有下界,而n n n n n n n x x x y x x y y =≥=≥≥++111,即{}n x 单调增加有上

界.所以{}n x 与{}n y 都收敛.

在

()12

1

+=+n n n y y x 两边取极限得n n n n y x ∞→∞→=lim lim .

6. 设0>n a ,且1lim

1

<=+∞→q a a n

n n ,求证{}n a 收敛且0lim =∞

→n n a .

证 因为1lim

1<=+∞→q a a n

n n ,对给定的+N ∈∃>-=00,021N q

ε,当0N n >时,有

()n n n n n n a a r r q q q a a q q q q a a <⇒<=+=-+<<--⇒-<-+++11112

1212121, 所以,当0N n >时,有11

2210a r a r ra a n n n n ---<<<<< ,由迫敛原理得0lim =∞

→n n a .

闭区间上连续函数的性质

7. 证明方程01sin =++x x 在⎪⎭⎫

⎝

⎛-

2,2ππ内至少有一个根. 证 令()1sin ++=x x x f ,则()x f 在⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-

2,2ππ上连续,且22ππ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f ,

222ππ+=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ,即022<⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππf f .由根的存在性定理得至少存在一点∈ξ⎪⎭

⎫

⎝⎛-2,2ππ,

使得()0=ξf ,即方程01sin =++x x 在⎪⎭

⎫

⎝⎛-

2,2ππ内至少有一个根.