不完全信息动态博弈

例
所罗门判子
所罗门王是古代以色列国的一位以智慧著称的 君主。一次，两个妇人为争夺一个婴儿争扯到所罗 门王殿前，她们都说婴儿是自己的，请所罗门王作 主。所罗门王稍加思考后作出决定：将婴儿一刀劈 为两段，两位妇人各得一半。这时，其中一位妇人 立即要求所罗门王将婴儿判给对方，并说婴儿不是 自己的，应完整归还给另一位妇人，千万别将婴儿 劈成两半。听罢这位妇人的求诉，所罗门王立即作 出最终裁决 —— 婴儿是这位请求不杀婴儿的妇人的， 应归于她。
但是，这种“打斗”行为尽管可以击退进入者，但由于 一段时间的降价经营可能对垄断者带来较大损失。垄断者为 了避免这种损失，可以向外宣布它是低成本的，别的厂商休 想进来与它竞争。但仅凭口头宣布人家是不会相信的，因为 即使垄断者不是低成本的厂商，它也会如此宣布。
一种方法就是，垄断者向外发送一个信号，向外界传 递它真是低成本的信息。它可以长期在一个较低价格水平上 经营。如果它的价格足够低，高成本厂商不敢模仿，行内厂 商会据此判定它确是低成本的。同时，它的价格也不能太低， 以致于较之与进入者进行降价竞争，其损失为小一些。这样， 垄断者才会采取如此策略。潜在的高成本进入者不敢进入， 垄断者得以保持长期的垄断地位。
而企业 B 开始可以蒙骗一部分消费者，但时间 一长，产品的问题会暴露出来，市场会不断缩小， 收入及未来利润都不会有企业 A 的大。这样一来， 企业A的未来预期收入远大于企业B。因此，如果企 业 A 请一位当红明星打广告，由于是当红明星，他 们打广告有很高的市场价格，就可以使企业 B 不敢 模仿。譬如，假定企业A的预期收入为3千万元，企 业B的预期收入为1千万元。当红明星打广告的市场 价格为2千万元，那么，企业A可以请明星打广告但 企业B就请不起。
P ah k P k
h j K j j 1

假如观测到了 a h ，则属于 k 类型的概率，即后验概 率
P k 0 是先验概率， k 是类型， a h 是一特定行动。问题是

P k ah


。
例 对人的判断
把所有的人划分为好人GP和坏人BP两类，所有的事 划分为好事GT和坏事BT两类。那么一个人干好事的概 率是多少？
例为什么许多实力雄厚的公司还要向银行借很 多钱？
在国外，一些资金实力雄厚的公司通常也会向 银行贷款。更加令人感到奇怪的是，一些好的公司， 一方面自己借钱给别的公司，同时，另一方面又向 银行借钱。博弈论运用“信号传递”原理可以对此 现象作出解释。
对于一家公司来说，负债增加会增大公司破产 的可能性；但是，对于实力雄厚的公司，在同样负 债比例下，其破产可能性要小一些。每个公司都会 向社会吹嘘自己是好的公司，实力雄厚，但公众不 会仅凭口头宣传就相信的。于是，真正好的公司通 过向银行借钱来增大自己破产的可能性，令其它实 际上不好的公司难以模仿。这种负债比例的增加要 做到恰到好处，它既可令其它实力稍弱的公司难以 模仿，又使自己能够承受。
假设有一家企业（记为企业 A ）开发出一种很有市场潜 力的饮料，该产品饮后对人的健康确实有好处。但同时，另 一家生产假冒伪劣产品的企业(记为企业B）也准备向市场推 出一种伪劣产品饮料。两个企业都会向公众宣布其产品是上 乘的，如何如何的好。但公众是理性的，不会仅凭商业宣传 就相信它们。但是，如果产品真的好，随着时间的推移，消 费者能够识别出来。所以，生产好饮料的的企业 A对自己的 市场有信心，它相信随着时间的推移，企业 B 生产的伪劣产 品终究会被消费者识破，顾客会跑到自己这里来，从而自己 的市场会不断扩大，销售收入及利润会不断增长。

在不完全信息动态博弈一开始，某一参与人根据 其他参与人的不同类型及其所属类型的概率分布，建 立自己的初步判断。当博弈开始后，该参与人就可以 根据他所观察到的其他参与人的实际行动，来修正自 己的初步判断。并根据这种不断变化的判断，选择自 己的策略。
古玩市场 黔驴技穷
信号传递
1967年，海萨尼提出了“海萨尼转换”来处理不完全信息 的博弈。 基本思路是：引入一个虚拟的参与人——“自然”，“自然” 首先行动选定参与人的某种类型，各参与人知道自己的类型， 但其他参与人不知道。不过，“自然”以怎样的概率来选择 各参与人的类型，此概率分布却是共同知识。 以对参与人类型的概率的分析代替对参与人确切行动的分析， 这样的转换就是“海萨尼转换”。
(0,0)
(0,2)
(0,1)
精炼贝叶斯纳什均衡是 ：﹛L,U;p=1﹜
假定参与人2认为参与人1选择L和M的概率分别为p和（1p）。给定这个信念，参与人2选择U的期望效用是p×1+(1-
p) ×2=2-p,选择D的期望效用是p×0+(1-p) ×1=1-p.不论
p为何值，参与人2一定选择U。给定参与人1知道参与人2将 选择U，参与人1的最优选择是L。给定L是参与人1的最优战 略，当参与人2观察到参与人1没有选择R时，他知道参与人 1一定选择了L,即p=1。
海萨尼转换后的市场进入博弈
在不完全信息开始之前，“自然”首先行动，选择各参与人 的类型。各参与人除了知道自己的类型以外，对“自然”的 行动都有着一致的信念，称之为先验信念。之后，参与人先 后行动，后行动者能观察到先行动者的行动，但观察不到先 行动者的类型。但是，因为参与人的行动是依赖于其类型的， 每个参与人的行动都传递着有关自己类型的某种信息，后行 动者可以通过观察先行动者的行动来修正对其各种类型判断 的先验信念（概率分布），然后选择自己的最优行动。先行 动者预测到自己的行动将被后行动者所利用，也就会设法传 递对自己有利的信息，避免传递对自己不利的信息。因此， 不完全信息动态博弈不仅是参与人选择行动的过程，更是参 与人不断修正信念的过程。
因此，这个博弈的唯一的精炼贝叶斯纳什均衡是﹛L,U;p=1﹜

第一，在每一个信息集上，决策者必须有一 个定义在属于该信息集的所有决策结上的一个概 率分布（信念）；第二，给定该信息集上的概率 分布和其他参与人的后续策略，参与人在该信息 集处的行动必须是最优的（后续策略指的是从给 定信息集开始的后续博弈上的行动规则）；第三， 每个参与人根据均衡策略和贝叶斯法则做出判断 和修正，得到后验概率。
为什么有的商品广告既无商品的价格信息又无 售货地点信息，只有明星的表演？
通常认为，商业广告的功能是向消费者提供必要的购货 信息，如散布商品的价格，质量功能，出售地点等信息。再 者，人们还认为有些广告可能是为了引导消费，特别是新产 品出现时，消费者还不知道、不熟悉它，商业广告中通过一 些电影明星使用新产品的图象，利用公众的“追星”心理打 造市场。这种关于新产品市场引导的广告在国外的电视广告 中特别常见，通常是一位当红明星在电视上用新产品表演一 番，既无价格，也无售货地点的介绍，除了显示一下商标外， 完全没有对产品性能的说明。不过，对于这类广告，博弈论 还有一种“信号传递”的解释呢。
例

黔之驴
黔无驴，有好事者船载以入。至则无可用，放之山下。 虎见之，庞然大物也，以为神。蔽林间窥之，稍出近之，憖 憖然莫相知。
他日，驴一鸣，虎大骇，远遁，以为且噬已也，甚恐。 然往来视之，觉无异能者，益习其声，又近出前后，终不敢 搏。稍近，益狎，荡倚冲冒，驴不胜怒，蹄之。虎因喜，计 之曰：“技止此耳！”因跳踉大㘎，断其喉，尽其肉，乃去。
消费者也明白这个道理，从而会在一开始就识别出不能 请当红明星打广告的企业B是生产伪劣产品的。这样，企业B 一开始就没有市场。当企业A请了当红明星打广告时，企业B 发现这位明星的市场价格太高，自己难以模仿企业 A，开始 就会放弃生产伪劣产品的计划。所以，企业 A 通过请当红明 星打广告而清除掉了潜在的市场模仿者，它向公众传递自己 是生产好产品的信号，这种信号的价值在于其所请来的当红 明星有着较高的出场价格，而不在乎明星在广告节目中说了 什么，表演了什么，当然更无所谓广告节目是否介绍产品价 格等信息了。企业A 请当红明星打广告就为公众传递了它是 生产好产品的企业的一个信号。
满足上述要求的博弈均衡就称为“精炼贝叶斯均 衡”。
信号传递博弈是一类比较简单但有广泛应用意义的不完全信 息动态博弈，许多博弈问题都可以归结为此类型的博弈。如 市场进入与遏制、委托-代理关系、拍卖机制的设计等。 在信号传递博弈中有两个参与人，先后各行动一次；参与人 1有多个类型，先行动；参与人2后行动，他不知道参与人1 的具体类型，但可以观察到先行动一方的行动并从中获得部 分信息。先行动的一方行动对后行动者来说好像是某种反映 其类型信息的信号，因此该博弈被称为“信号传递博弈”。 一般称先行动的参与人1为信号发送者，记为S；后行动的参 与人2称为信号接收者，记为R。
通过海萨尼转换，博弈开始时，所有参与人有关“自然”的 行动有一致的信念，即都知道所有人类型的概率分布，此即 “海萨尼公理”。
N
●
P
●
1-P
●
进入者 进
●
进入者 进
●
不进
●
不进
●
（0，300）
●
合作
在位者 （0，400） 打击
●
在位者 打击
●
wenku.baidu.com
合作
●
（40，50）
（-10，0） （30，80） （-10，100）
如果观测到一个人干了件好事，那么这个人是好人的 后验概率是多少？
更具体点，假定认为这个人是好人的先验概率为1/2， 那么在观测到他干了好事之后，如何修正先验概率依 赖于我们认为这件好事好到什么程度。 第一种情况，这是一件非常好的好事，好人一定干， 坏人绝不可能干。
第二种情况，这是一件非常一般的好事，好人会干，坏人 也会干 第三种情况，好人肯定会干，坏人可能干也可能不干 可以看到，我们如何改变对一个人的看法不仅依赖于我们 认为他是好人或坏人的先验概率，而且依赖于我们如何“认为” 好人干好事和坏人干好事的条件概率。不能任意地“认为”。 当认为坏人干好事的概率为 PGT / BP 时，那么，在给定信息 情况下，如果这个人确实是坏人，则 PGT / BP 是他的最优选 择。这对于理解精炼贝叶斯纳什均衡是非常重要的。
例 垄断厂商的低价销售：信号传递博弈
有许多垄断厂商并未如人们所料想的那 样给商品定出一个很高的价格，而是以较低 的价格长期销售某种产品。譬如，发达国家 的私营铁路、航空、海运码头等的价格都远 低于按照其垄断定价方法定出的价格。这是 什么原因呢？
现在，我们用这个“信号传递博弈”的原理，来解释 为何一些垄断厂商长期在低价格水平上经营。如果这个垄断 厂商是一个低生产成本的厂商，当其它较高生产成本厂商也 进入这个厂商所经营的行业与之进行竞争时，原先的那个垄 断厂商可以通过降价将进入者赶出这个行业，从而继续维持 垄断经营。 由于垄断厂商有更低的生产成本，所以，它能够将产 品价格降到比进入厂商的生产成本还要低的水平上，这就造 成进入者或者高价格经营导致顾客流失，或者同样也降价但 价格低于成本，两种情形进入者都会亏损，最后不得不退出 行业。
例 二手车市场
认为车子是好的先验概率为 P 验概率为 P B

G ，认为车子是不好的先
。当卖（Sell）这个行动发生后，车子是
好的后验概率是多少？
贝叶斯法则不是一个技术性法则，而是人们修正信念的 唯一合理方法。
1
L
(p)
●
R
●
(1,3)
M
(1-P)
●
2
U
●
●
2
D
●
D
●
U
●
(2,1)
噫！形之庞也类有德，声之友也类有能，向不出其技， 虎虽猛，疑畏卒不敢取；今若是焉，悲夫！
贝叶斯法则
概率论中贝叶斯公式
PBi A
PA B PB
n j 1 j j
P A Bi PBi
, i 1,2,...n
贝叶斯法则
P k ah


Pa P
一、基本概念和举例 二、海萨尼转换 三、贝叶斯法则 四、精炼贝叶斯纳什均衡 五、信号传递博弈 六、不完全信息动态博弈应用案例分析

在动态博弈中，行动有先后次序；在不完全信 息条件下，博弈的每一参与人知道其他参与人的有 哪几种类型以及各种类型出现的概率，即知道“自 然”参与人的不同类型与相应选择之间的关系，但 是，参与人并不知道其他的参与人具体属于哪一种 类型。由于行动有先后顺序，后行动者可以通过观 察先行动者的行为，获得有关先行动者的信息，从 而证实或修正自己对先行动者的行动。