剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图

Mechanic of Materials
第十一讲内容目录
§ 4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
目
录
目录
Mechanic of Materials
§ 4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
一、概念：
F
1、坐标系： 原点：以梁的左端点为原点
FA a
Fs
b FB
x轴：以梁轴线为x轴，向右为正。
Fb/l a
b
x
Fb/L
Fs图 （+）
（-）
M图
Fa/L Fab/L
（+）
Fa/l
Fb
FS
L
x (0, a)
Fb F Fa x (a,l)
L
L
x
M
x
Fb L
x
x [0, a]
Fa l
l
x
x [a,l]
x 4、根据内力方程作内力图
Mechanic of Materials
§ 4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
例4—7 20kN
40kN m
xA
1m
35kN
Fs(kN)
15
+
-
20 20
M(kN▪m)
-
20
10kN m
5-x 4m
在集中处剪力图突变、弯
矩图有尖角。左到右：突
B
变的方向就是力的方向、 突变的大小为力的大小。
25kN
-20kN x ∈ 0, 1
2.5
-
FS
x
25
10(5
x)
25 10x x 1,5
x
q0 (l2 3x2 ) 6l
FB
M (x)
q0l 6
x
1 2
q0 l
x
x
1 3
x
q0 6l
(l2x x3)
q0l
6
（+）
FS(x)
3l
3
3q0l 2 27
（-）
dFS (x) q0 (l2 3x2 ) ' dx 6l q0 x l
FS
( x)max
=
q0l 6
FS (x)=0
例4—1 y m=2Fl
F 试写出：梁的剪力方程和弯矩方程,作内力图
Mechanic of Materials
A
x1
C
x2
l
l
M(x1)
m=2Fl 2l－ x1
x 解：1．确定控制面和分段
B A、B、C截面均为控制面。分为AC、CB两段
2．建立Axy坐标系
3．建立剪力方程和弯矩方程
F
Fy＝0
M O1＝0
校核：
MB MA
0
FA
0
FB
Fb L Fa L
x
Fy
Fb L
P
Fa L
0，无误
2、建立坐标系如图所示
3、列梁的内力方程：
4、根据内力方程作 内力图
x
Fa（b/+L）
§ 4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
例4—2 x F
a+b=l
3、列梁的内力方程：
Mechanic of Materials
mb/l
M图
（+） （-）
ma/l
M (x)
FA
x
ml
x
x [0, a)
FB (l x) m l (l x) x (a,l]
4、根据内力方程作内力图
Mechanic of Materials
§ 4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
例4—5
q
解：①写出内力方程
x l
Fs(x)
（-）
q0l 3
令FS '(x) 0
x0
dM (x) dx
q0 6l
(l 2
3x2)
FS
(x)
=0
x l 3
M(x)
（+）
M
(x)
max
q0 6l
l 2
l 3
l
3
3
3q0l 2 27
③根据方程画内力图
§ 4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
Mechanic of Materials
FS FS x
M M x
——剪力方程 ——弯矩方程
3、x轴分界点：（图象分界点）
Fs图：集中力处、分荷的始末端、杆端部。
M图：集中力处、分荷的始末端、杆端部、集中力偶处
Mechanic of Materials
§ 4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
二、剪力图和弯矩图的绘制 1、表示剪力和弯矩沿梁轴线方向变化的图形，分
例4—3
q
解：求支反力
x
FA qL/2
(+)
Fs图
M图
L
qL2 /8 (+)
由对称性可知:
FB
FA
FB
ql 2
(-) qL/2 建立坐标系如图所 示，求剪力、弯矩方
程（用截面法）
FS
x
FA
qx
ql 2
qx
x (0,l)
M
x
FA
x
qx
x 2
ql 2
x
q 2
x2
q 2
(l 2
x)2
ql 2 8
x [0,l]
FS
x2
＝F
x2 [l ,2l)
M x2 ＝－F 2l x2 x2 (l,2l]
4、根据内力方程作内力图
§ 4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
例4—2
F a+b=l
解：1、求支反力
Mechanic of Materials
a
b
FA
Fb/L
Fs图 （+）
（-）
Fa/L
Fab/L
FB
FS
x1
F＝0
－M x1＋m－F 2l x1＝0
Fs图 M图
Fs(x1)
F 2l－ x2
M(x2)
F Fs(x2)
（+）
Fl
（-） （+）
Fl
FS x1 M
＝F x1 (0,l] x1＝2Fl－F 2l
x1
＝Fx1
x1 0,l
Fy＝0 M O2＝0
FS
x2
F＝0
－M x2 －F 2l x2 ＝0
x
横坐标表示载面位置。
纵坐标：通过原点与x 轴垂直为 M
Fs或M轴， Fs、M向上为正。
纵坐标表示内力大小。
x
§ 4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
Mechanic of Materials
2、内力方程：（分段函数）
若以横坐标x表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截面 上的剪力和弯矩皆可表示为x的函数，即：
别称为剪力图（diagram of shearing forces）和弯 矩图（diagram of bending moment）。
2、原理：传统的方法一般都是根据剪力、弯矩方程来绘制
剪力和弯矩图。
3、步骤：
（1）确定约束力
（2）确定控制截面和分段 （3）建立坐标系 （4）确定剪力和弯矩方程
§ 4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
根据剪力方程作剪力图
§ 4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
Mechanic of Materials
例4—4 m
FA a
xx x
a+b=l
b
解：1、求支反力FA 、FB
FB
M
0
FAl
m
0
FA
m l
FB
2、建立坐标系如图所示
Fs图
（-） m/l
3、列梁的内力方程：
FS
(x)
FA
m l
x (0,l)
ql
FS (x) qx
M(
x
)
1 2
qx2
②根据方程画内力图
M(x)
（-）
ql 2
2
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例4—6
§ 4.3 梁的内力图――剪力图和弯矩图
qx
q0 l
x
q0
解：①求支反力
FA
q0l 6
;
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FB
q0 l 3
②内力方程
x l
FA
FS
(x)=
q0l 6
1 2
q0 x l
31.25 20