2008年考研数学三真题及答案

⎛ 2a 1 ⎜ 2 a 2a 设 矩 阵 A=⎜ ⎜ ⎜ a2 ⎝ X = ( x1 , , xn ) ， B = (1, 0,
T
n
⎞ ⎟ ⎟ ， 现 矩 阵 A 满 足 方 程 AX = B ， 其 中 1⎟ ⎟ 2 a ⎠ n× n
, 0) ，
（1）求证 A = ( n + 1) a . （2） a 为何值，方程组有唯一解. （3） a 为何值，方程组有无穷多解. （21） （本题满分 11 分） 设 A 为 3 阶 矩 阵 ， a1 , a2 为 A 的 分 别 属 于 特 征 值 −1,1 特 征 向 量 ， 向 量 a3 满 足
( A)
F 2 ( x)
( B)
2
F ( x) F ( y)
(C )
1− ⎡ ⎣1 − F ( x ) ⎤ ⎦
( D)
⎡ ⎣1 − F ( x ) ⎤ ⎦⎡ ⎣1 − F ( y ) ⎤ ⎦.
）
（8）随机变量 X ∼ N ( 0,1) ， Y ∼ N (1, 4 ) ,且相关系数 ρ XY = 1 ，则（
（12） 【答案】 y = 【解】由
1 x
dy − y dy dx 1 1 = , = , − ln y = ln x 所以 = x ，又 y (1) = 1 ，所以 y = . dx x −y x y x
（13） 【答案】3 【解】 A 的特征值为 1，2，2，则存在可逆矩阵 P ，使得
⎛1 ⎞ ⎜ ⎟ −1 −1 −1 −1 P AP = ⎜ 2 ⎟ = B, A = PBP , A = PB P ， ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠
（13）设 3 阶矩阵 A 的特征值 1，2，2，E 为三阶单位矩阵，则 4 A − E = （14）设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布，则 P X = EX
. .
{
2
}=
三、解答题：15－23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. (15) （本题满分 9 分） 求极限 lim
2008 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
∫ （1）设函数 f ( x) 在区间 [−1,1] 上连续，则 x = 0 是函数 g ( x) =
( A ) 跳跃间断点 ( C ) 无穷间断点
（3）设 f ( x, y ) = e
x2 + y 4
( B ) uf ′ ( u 2 ) ( D ) uf ′ ( v 2 )
, 则函数在原点偏导数存在的情况是(
)
( A) (C )
f x′(0, 0)存在, f y′(0, 0)存在 f x′(0, 0)不存在, f y′(0, 0)存在
( B) ( D)
f x′(0, 0)存在, f y′(0, 0)不存在 f x′(0, 0)不存在, f y′(0, 0)不存在
∂F = ∂u
（4）设函数 f 连续，若 f (u , v) = （ ）
2
Duv
∫∫
f ( x2 + y2 ) x2 + y2
dxdy ，其中 Duv 为图中阴影部分，则
（A） vf (u )
2 2 2
x
0
f (t )dt x
的（
）
( B ) 可去间断点 ( D ) 振荡间断点
2 2
u >1， 则 F ( u, v ) = （2） 设 f 连续且可导，x + y = 1 ，x + y = u ，
则
∫∫
D
f (u 2 + v2 ) u 2 + v2
dudv ，
∂F =（ ∂u
）
( A ) vf ′ ( u 2 ) ( C ) vf ′ ( v 2 )
( A)
P {Y = −2 X − 1} = 1
( B ) P {Y = 2 X − 1} = 1 ( D ) P {Y = 2 X + 1} = 1
( C ) P {Y = −2 X + 1} = 1
二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.
⎧ x 2 + 1, x ≤ c ⎪ 在 (−∞, +∞) 内连续，则 c = （9）设函数 f ( x) = ⎨ 2 x >c ⎪x, ⎩
u f (r2 ) r 1
rdr = v ∫ f (r 2 )dr ，
1
u
∂F = vf ′ ( u 2 ) . ∂u
（3） 【答案】C
e 【解】 f x′ (0, 0) = lim
x →0
x 2 + 04
x −1 e −1 e −1 ex −1 = lim = lim = 1， lim x →0 x − 0 x →0+ 0 x − 0 x →0+ x − 0 x−0
⎧1 0 ≤ y ≤ 1 ，记 Z = X + Y . ⎩0 其它
（1）求 P ⎨ Z ≤
⎧
⎩
1 ⎫ X = 0⎬ 2 ⎭
（2）求 Z 的概率密度． （23） （本题满分 11 分）
X1, X 2 ,
, X n 是总体为 N ( μ , σ 2 ) 的简单随机样本.记 X =
1 n ∑ Xi ， n i =1
2
所以偏导数存在。故选 C (4)【答案】A 【解】用极坐标得
F ( u, v ) = ∫∫
D
f (u 2 + v2 ) u 2 + v2
dudv = ∫ d
u
rdr = v ∫ f (r 2 )dr ,
1
u
所以
∂F = vf ( u 2 ) . ∂u
2 3 2 3
（5） 【答案】C 【解】 ( E − A)( E + A + A ) = E − A = E ， ( E + A)( E − A + A ) = E + A = E , 故 E − A, E + A 均可逆. （6） 【答案】D 【解】
λE − A =
λ −1
−2
−2 2 = ( λ − 1) − 4 = λ 2 − 2λ − 3 = ( λ + 1)( λ − 3) = 0 , λ −1 ⎛ 1 −2 ⎞ ⎟ ，则 ⎝ −2 1 ⎠
则 λ1 = −1, λ2 = 3 .记 D = ⎜
λE − D =
λ −1
2
2 2 = ( λ − 1) − 4 = λ 2 − 2λ − 3 = ( λ + 1)( λ − 3) = 0 , λ −1
x →0 x →0
∫
x
0
f (t )dt x
= lim f ( x ) = f ( 0 ) ，所以 x = 0 是函数 g ( x) 的可去间
x →0
断点 （2） 【答案】A 【解】用极坐标得 F ( u , v ) =
∫∫
D
f (u 2 + v2 ) u 2 + v2
dudv = ∫ dv ∫
0
v
Aa3 = a2 + a3 ，
证明（1） a1 , a2 , a3 线性无关； （2）令 P = ( a1 , a2 , a3 ) ，求 P AP .
−1
（22） （本题满分 11 分） 设随机变量 X 与 Y 相互独立， X 概率分布为 P { X = i} = 度为 fY ( y ) = ⎨
1 ( i = −1, 0,1) ， Y 的概率密 3
（10）函数 f ⎜ x + （11）
.
⎛ ⎝
2 1 ⎞ x + x3 ，求积分 ∫ ⎟= 4 2 x ⎠ 1+ x
2
f ( x ) dx =
2 2
.
∫∫ ( x
D
2
− y )dxdy =
，其中 D : x + y ≤ 1 . .
−1
（12）微分方程 xy′ + y = 0, y (1) = 1, 求方程的特解 y =
(17) （本题满分 11 分） 求二重积分
∫∫ max( xy,1)dxdy, 其中 D = {( x, y) 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2} .
D
(18) （本题满分 10 分）
f ( x ) 是周期为 2 的连续函数，
（1）证明对任意实数都有 （2）证明 g ( x ) =
∫
t +2
t
f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx .
0 t +2
2
∫
x
0
⎡2 f (t ) − ∫t ⎢ ⎣
f ( s ) ds ⎤ dt 是周期为 2 的周期函数． ⎥ ⎦
(19) （本题满分 10 分） 设银行存款的年利率为 0.05，并以年复利计算.某基金会希望通过存款 A 万元实现第 一年提取 19 万元，第二年取出 28 万元，…第 n 年取出 10+9n 万元，问 A 至少为多 少时，可以一直取下去？ (20) （本题满分 11 分）
x →0
1 sin x . ln x2 x
(16) （本题满分 10 分） 设 z=z（ x, y ）是由方程 x + y − z = ϕ ( x + y + z ) 所确定的函数，其中 ϕ 具有 2 阶
2 2
导数且 ϕ ′ ≠ −1 时， （1）求 dz . （2）记 u ( x, y ) =
1 ⎛ ∂z ∂z ⎞ ∂u ⎜ − ⎟ ，求 . x − y ⎝ ∂x ∂y ⎠ ∂x
）
⎛1 2⎞ ⎟ ,则在实数域上域与 A 合同矩阵为（ ⎝2 1⎠
( A) ⎜
⎛ −2 1 ⎞ ⎟. ⎝ 1 −2 ⎠ ⎛2 1⎞ ⎟. ⎝ 1 2⎠
( B) ⎜
⎛ 2 −1 ⎞ ⎟. ⎝ −1 2 ⎠ ⎛ 1 −2 ⎞ ⎟. ⎝ −2 1 ⎠
(C ) ⎜
( D) ⎜
（ 7 ）随机变量 X , Y 独立同分布且 X 分布函数为 F ( x ) ，则 Z = max { X , Y } 分布函数为 （ ）
S2 =
2 1 n 1 ( X i − X )2 ， T = X − S 2 ∑ n n − 1 i =1 2
（1）证 T 是 μ 的无偏估计量. （2）当 μ = 0, σ = 1 时 ，求 DT .
2008 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三答案
一、选择题
（1） 【答案】B 【解】 lim g ( x) = lim
则 λ1 = −1, λ2 = 3 ,正、负惯性指数相同，故选 D. （7） 【答案】A 【解】 F ( Z ) = P ( Z ≤ z ) = P max { X , Y } ≤ z
{
}
= P ( X ≤ z ) P (Y ≤ z ) = F ( z ) F ( z ) = F 2 ( z ) .
∫
2 2
2
f ( x ) dx = ∫
2 2
2
（11） 【答案】
π
2
2
2 x 1 dx = ln ( x 2 − 2 ) 2 x −2 2 2
2
=
1 1 ( ln 6 − ln 2 ) = ln 3 . 2 2
【解】 ( x − y )dxdy =
D
∫∫
2 ∫∫ x dxdy =
D
1 1 1 1 21 π 2 2 x + y dxdy = π = πr 0 = . 2 rdr ( ) ∫ 0 2 ∫∫ 2 2 2 D
x
e− x − 1 e −1 e− x − 1 ，所以偏导数不存在. lim = −1 ,故 lim ≠ lim x →0 + 0 x − 0 x →0− 0 x − 0 x →0− 0 x − 0
x
f y′ (0, 0) = lim
y →0
e
02 + y 4
−1 e y −1 = 0, = lim y →0 y − 0 y −0
（B）
v f (u 2 ) u
（C） vf (u )
（D）
v f (u ) u
（5）设 A 为阶非 0 矩阵 E 为阶单位矩阵若 A = 0 ，则（
3
）
( A ) E − A 不可逆， E + A 不可逆 ( C ) E − A 可逆， E + A 可逆
（6）设 A = ⎜
( B ) E − A 不可逆， E + A 可逆 ( D ) E − A 可逆， E + A 不可逆
二、填空题
b = 1 ,排除 C, 故选择 D.
（9） 【答案】1 【解】由 lim f ( x ) = lim f ( x) ⇒ c +1 = + −
2 x →c x →c
2 ⇒ c =1. c
（10） 【答案】
1 ln 3 2
1 1 +x +x 1⎞ t ⎛ x x ，所以 f ( t ) = 2 ， 【解】 f ⎜ x + ⎟ = = 2 x ⎠ 1 + x2 ⎛ 1 t −2 ⎝ ⎞ ⎜ + x⎟ − 2 x2 ⎝x ⎠
（8） 【答案】 D 【解】设 Y = aX + b ，由 ρ XY = 1 ，知道 X , Y 正相关，得 a > 0 ，排除 A, C. 由 X ~ N (0,1), Y ~ N (1, 4) ，得 EX = 0, EY = 1, E (Y ) = E (aX + b) = aEX + b ,
1 = a × 0 + b,