北京大学出版社简明大学物理课后答案
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动能之差：
1.22已知地球质量为 ，半径为 ，质量为 的火箭从地面上升到距离地面高度为 处，求在此过程中，地球引力对火箭作的功。
解：引力对火箭作的功，等于引力势能的减小量：
， ， 。
1.23如图所示的圆锥摆，质量为 的小球在水平面内以角速度 匀速转动，在小球转动一周过程中，小球所受绳子张力的冲量是多少？
解：（1）物体下滑重力势能的减小量等于弹簧压缩后的弹性势能。
° ，
，
（2） ° ，
1.21一人造卫星绕地球作椭圆运动，近地点为A，远地点为B。A和B两点距地心分别为 和 如图所示。设地球质量为 ，卫星的质量为 ，万有引力常数为 ，求卫星在A、B两点处万有引力势能之差和动能之差。
解： ，
引力势能之差：
解：上升阶段： ，下落阶段：
，
1.9一质点在 平面内运动，运动方程为 ， ，求质点的位置矢量与速度矢量恰好垂直的时刻。
解： ， ，
质点的位置矢量与速度矢量垂直要求： ，
则有 ，解得
1.10质量为 的机动车，在恒定的牵引力 的作用下工作，它所受的阻力与其速率的平方成正比，它能达到的最大速率是 ，试计算从静止加速到 所需的时间以及所能走过的路程。
解：
式中 是子弹出口时刻， ， ，代入 中得： 。
1.17质量为 的子弹以速度 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为 ，忽略子弹的重力，求：（１）子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；（２）子弹进入沙土的最大深度．
（１）子弹进入沙土后受力为 ，由牛顿定律
∴ ， ∴
解：合力冲量=（拉力+重力）的冲量，即
而 ，所以
（２）求最大深度
解法一：∵ ∴Fra Baidu bibliotek
∴
解法二：
∴ ，
∴
1.18一人从 深的水井中提水，开始时桶中装有 的水，桶的质量为 。由于水桶漏水，每升高 漏去 的水。求把水桶匀速地从井中提到井口，人所作的功。
解：
1.19一链条总长度为 ，质量为 ，放在桌面上，并使其下垂，下垂一端的长度为 。设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为 。令链条由静止开始运动，则：（1）到链条离开桌面的过程中，摩擦力对链条作的功；（2）链条离开桌面时的速率。
第一章
1.1一质点在 平面内运动，运动方程为 ， 。（1）以时间 为变量，写出质点位矢的表达式；（2）求出质点速度分量的表达式，并计算 时，质点速度的大小和方向；（3）求出质点加速度分量的表达式，并计算出 时，质点加速度的大小和方向。
解：（1） ，
质点位矢的表达式为： ；
（2） ，
， ， ，
设 是 和 的夹角，则 ， °；
解：（1） ，
，
（2） ， ，
1.4物体在水平面上以60°的倾角抛出，初速度为 ，求任意时刻物体的切向加速度和法向加速度的大小。
解： ° ， ；
° ，
；
物体运动到任意位置，和 轴方向的夹角为
，
；
1.5在离水面高为 的岸边，有人用绳拉船靠岸，船在离岸边 处，当人以 速度收绳时，如图所示，试求船的速度大小和加速度大小各是多少？
解：（１）建坐标 如图，摩擦力的功 ，
某一时刻的摩擦力为： ，
（２）以链条为对象，应用质点的动能定理：
其中： ， ， ，
由上问知： ，所以：
得：
1.20在倾角为30°的光滑斜面上，质量为 的物体由静止开始下滑，到达底部时将一个沿斜面放置的劲度系数 的弹簧压缩了 后达到瞬时静止，求：（1）物体达瞬时静止前在斜面上滑过的路程；（2）它与弹簧开始接触时的速率。
解： 两边对时间 求导得：
式中 是船速的 分量， ，
，当 时， ； 。
或：由 式再求导得
1.6一质点沿半径为 的圆周按规律 运动， 和 都是常量。（1）求 时刻质点的总加速度；（2） 为何值时总加速度在数值上等于 ；（3）当加速度达到 时，质点已沿圆周运行了多少圈？
解：（1） ， ； ， ；
，方向与速度方向成 ，
解： ， ，
，
1.13质量为 的物体置于光滑水平面上，在大小为 的水平力作用下，沿 轴运动，当 时， ， 。求 时，物体的速度、加速度和位置坐标。
解： ， ， 时：
，
1.14小滑块沿固定光滑的四分之一圆弧，从A点由静止开始下滑，圆弧半径为 ，求小滑块在A点处的切向加速度大小 ，及小滑块在B点处法向加速度的大小 。
解：机动车所受合力为： ，
当合力为 时，机动车的速度达到最大值 ， ， ，
， ，
设 ， ，当 时， ， ；
， ，
，
1.11一质点在水平面内沿半径 的圆轨道转动，转动角速度 与时间 的关系为 （ 为常量），已知 时，质点的速率大小为 ，求 时质点的速率和加速度的大小。
解： ， 时， ，
时， ，
， ，
1.12质量为 的小球，在水中所受浮力的大小为常量 。当它从静止开始沉降时，受到水的阻力 （ 为常量）。以沉降开始计时，求小球在水中竖直沉降的速度与时间的关系。
（2） ，
（3） ， ，
1.7一质点在半径为0.10m的圆周上运动，其角位置为： 。（1）求在 时质点的法向加速度和切向加速度；（2）当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时， 值为多少？（3） 为多少时，法向加速度和切向加速度的值相等？
解：
（1）
时：
（2） ，当 时有：
，得：
代入
（3） ，得
1.8竖直上抛一小球，若空气阻力的大小是重力的0.1倍，求小球上升到最高点所用的时间与从最高点落到原位置所需的时间之比。
（3） ，
， ， ，
方向沿 轴方向。
1.2质点在 平面内运动，运动方程为 ， 。（1）写出质点运动的轨道方程；（2） 时，质点的位矢、速度和加速度。
解：（1）质点运动方程 ， ，
质点运动的轨道方程为： 或 ；
（2） ， 时：
， 时：
， 时：
1.3质点沿直线运动，其坐标 与时间 有如下关系： （ 和 皆为常量）。（1）求任意时刻质点的加速度；（2）质点通过原点的时刻 。
解：A点：
B点根据机械能守恒有：
1.15一条长为 ，质量均匀分布的细链AB，挂在半径可忽略的光滑钉子C上，开始处于静止状态，BC段长为 （ ），释放后链条将做加速运动，试求当 时链条的加速度大小和运动速度大小。
解：细链线密度为 ，滑落过程中在运动切线方向有：
，
当 时， ，
，
， 。
1.16一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力为时间 的函数， ，子弹质量为 ，假设子弹离开枪口合力刚好为零，求子弹从枪口射出时的速率。
1.22已知地球质量为 ，半径为 ，质量为 的火箭从地面上升到距离地面高度为 处，求在此过程中，地球引力对火箭作的功。
解：引力对火箭作的功，等于引力势能的减小量：
， ， 。
1.23如图所示的圆锥摆，质量为 的小球在水平面内以角速度 匀速转动，在小球转动一周过程中，小球所受绳子张力的冲量是多少？
解：（1）物体下滑重力势能的减小量等于弹簧压缩后的弹性势能。
° ，
，
（2） ° ，
1.21一人造卫星绕地球作椭圆运动，近地点为A，远地点为B。A和B两点距地心分别为 和 如图所示。设地球质量为 ，卫星的质量为 ，万有引力常数为 ，求卫星在A、B两点处万有引力势能之差和动能之差。
解： ，
引力势能之差：
解：上升阶段： ，下落阶段：
，
1.9一质点在 平面内运动，运动方程为 ， ，求质点的位置矢量与速度矢量恰好垂直的时刻。
解： ， ，
质点的位置矢量与速度矢量垂直要求： ，
则有 ，解得
1.10质量为 的机动车，在恒定的牵引力 的作用下工作，它所受的阻力与其速率的平方成正比，它能达到的最大速率是 ，试计算从静止加速到 所需的时间以及所能走过的路程。
解：
式中 是子弹出口时刻， ， ，代入 中得： 。
1.17质量为 的子弹以速度 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为 ，忽略子弹的重力，求：（１）子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；（２）子弹进入沙土的最大深度．
（１）子弹进入沙土后受力为 ，由牛顿定律
∴ ， ∴
解：合力冲量=（拉力+重力）的冲量，即
而 ，所以
（２）求最大深度
解法一：∵ ∴Fra Baidu bibliotek
∴
解法二：
∴ ，
∴
1.18一人从 深的水井中提水，开始时桶中装有 的水，桶的质量为 。由于水桶漏水，每升高 漏去 的水。求把水桶匀速地从井中提到井口，人所作的功。
解：
1.19一链条总长度为 ，质量为 ，放在桌面上，并使其下垂，下垂一端的长度为 。设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为 。令链条由静止开始运动，则：（1）到链条离开桌面的过程中，摩擦力对链条作的功；（2）链条离开桌面时的速率。
第一章
1.1一质点在 平面内运动，运动方程为 ， 。（1）以时间 为变量，写出质点位矢的表达式；（2）求出质点速度分量的表达式，并计算 时，质点速度的大小和方向；（3）求出质点加速度分量的表达式，并计算出 时，质点加速度的大小和方向。
解：（1） ，
质点位矢的表达式为： ；
（2） ，
， ， ，
设 是 和 的夹角，则 ， °；
解：（1） ，
，
（2） ， ，
1.4物体在水平面上以60°的倾角抛出，初速度为 ，求任意时刻物体的切向加速度和法向加速度的大小。
解： ° ， ；
° ，
；
物体运动到任意位置，和 轴方向的夹角为
，
；
1.5在离水面高为 的岸边，有人用绳拉船靠岸，船在离岸边 处，当人以 速度收绳时，如图所示，试求船的速度大小和加速度大小各是多少？
解：（１）建坐标 如图，摩擦力的功 ，
某一时刻的摩擦力为： ，
（２）以链条为对象，应用质点的动能定理：
其中： ， ， ，
由上问知： ，所以：
得：
1.20在倾角为30°的光滑斜面上，质量为 的物体由静止开始下滑，到达底部时将一个沿斜面放置的劲度系数 的弹簧压缩了 后达到瞬时静止，求：（1）物体达瞬时静止前在斜面上滑过的路程；（2）它与弹簧开始接触时的速率。
解： 两边对时间 求导得：
式中 是船速的 分量， ，
，当 时， ； 。
或：由 式再求导得
1.6一质点沿半径为 的圆周按规律 运动， 和 都是常量。（1）求 时刻质点的总加速度；（2） 为何值时总加速度在数值上等于 ；（3）当加速度达到 时，质点已沿圆周运行了多少圈？
解：（1） ， ； ， ；
，方向与速度方向成 ，
解： ， ，
，
1.13质量为 的物体置于光滑水平面上，在大小为 的水平力作用下，沿 轴运动，当 时， ， 。求 时，物体的速度、加速度和位置坐标。
解： ， ， 时：
，
1.14小滑块沿固定光滑的四分之一圆弧，从A点由静止开始下滑，圆弧半径为 ，求小滑块在A点处的切向加速度大小 ，及小滑块在B点处法向加速度的大小 。
解：机动车所受合力为： ，
当合力为 时，机动车的速度达到最大值 ， ， ，
， ，
设 ， ，当 时， ， ；
， ，
，
1.11一质点在水平面内沿半径 的圆轨道转动，转动角速度 与时间 的关系为 （ 为常量），已知 时，质点的速率大小为 ，求 时质点的速率和加速度的大小。
解： ， 时， ，
时， ，
， ，
1.12质量为 的小球，在水中所受浮力的大小为常量 。当它从静止开始沉降时，受到水的阻力 （ 为常量）。以沉降开始计时，求小球在水中竖直沉降的速度与时间的关系。
（2） ，
（3） ， ，
1.7一质点在半径为0.10m的圆周上运动，其角位置为： 。（1）求在 时质点的法向加速度和切向加速度；（2）当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时， 值为多少？（3） 为多少时，法向加速度和切向加速度的值相等？
解：
（1）
时：
（2） ，当 时有：
，得：
代入
（3） ，得
1.8竖直上抛一小球，若空气阻力的大小是重力的0.1倍，求小球上升到最高点所用的时间与从最高点落到原位置所需的时间之比。
（3） ，
， ， ，
方向沿 轴方向。
1.2质点在 平面内运动，运动方程为 ， 。（1）写出质点运动的轨道方程；（2） 时，质点的位矢、速度和加速度。
解：（1）质点运动方程 ， ，
质点运动的轨道方程为： 或 ；
（2） ， 时：
， 时：
， 时：
1.3质点沿直线运动，其坐标 与时间 有如下关系： （ 和 皆为常量）。（1）求任意时刻质点的加速度；（2）质点通过原点的时刻 。
解：A点：
B点根据机械能守恒有：
1.15一条长为 ，质量均匀分布的细链AB，挂在半径可忽略的光滑钉子C上，开始处于静止状态，BC段长为 （ ），释放后链条将做加速运动，试求当 时链条的加速度大小和运动速度大小。
解：细链线密度为 ，滑落过程中在运动切线方向有：
，
当 时， ，
，
， 。
1.16一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力为时间 的函数， ，子弹质量为 ，假设子弹离开枪口合力刚好为零，求子弹从枪口射出时的速率。