旋转图形与中心对称

难点：画已知图形关于某点为旋转中心（或对称中心）的旋转图形（或对称图形）；运用旋转的定义和性质证明线段相等、角相等；判别一个图案是否为中心对称图形；利用图形变换设计美丽图案.
学习策略：
“旋转”是在我们已学习了“平移”、“对称”之后，又出现的第三种图形变换，在学习中，综合运用“平移”、“对称”、“旋转”的定义和性质，将有助于我们对图形变换的认识，有助于我们分析、理解图案的形成过程，有助于我们树立数学审美观，提高对图案的审美水平.
例3．（江苏南京）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．菱形B．等腰梯形C．等边三角形D．等腰直角三角形
思路点拨：中心对称的关键是：旋转180°之后可以与原来的图形重合.
答案：
例4．如图，△DEF是由△ABC绕点O顺时针旋转180°后得到的图形.
（1）请指出图中所有相等的线段；
（2）写出图中所有相等的角；
☆例13．（浙江义乌）如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得它们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，使点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3～图6中统一用F表示）
小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决.
（二）旋转与中心对称
中心对称是一种特殊的旋转（旋转180°），满足旋转的性质.
旋转
中心对称
图
形
性质
1
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于角.
对称点所连线段都经过.
2
对应点到旋转中心的距离.
对称点所连线段被对称中心所.
3
旋转前、后的图形.
关于中心对称的两个图形是图形.
（三）中心对称与轴对称
中心对称与轴对称可以类比学习，对掌握新知识有帮助.
把一个图形绕着某一定点
一个角度的图形变换．
图形
要素
平移
平移
对称轴
旋转、旋转、旋转
性质
连接各组对应点的线段
（或共线）且．
任意一对对应点所连线段被对称轴．
对应点到旋转中心的距离；对应点与旋转中心所连线段的夹角都旋转角．
对应线段（或共线）且．
对应线段关于对称轴．
*对应线段，其所在直线的夹角等于旋转角或与旋转角互补．
思路点拨：根据旋转的概念和旋转的特征，可以解答此题．
解：
例2．如图所示：O为正三角形ABC的中心．你能用旋转的方法将△ABC分成面积相等的三部分吗？如果能，设计出分割方案，并画出示意图．
思路点拨：正三角形是旋转对称图形，并且将它绕其中心旋转12O°、240°后均能与其自身重合，故其分割线绕中心旋转120°、240°后能彼此重合，由此可先画一条分割线，再作出它绕中心旋转120°、240°后的图形，即可将△ABC分成形状，大小完全相同的三部分，显然也就将其面积分成了三等分．
（1）将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F重合，请你求出平移的距离；
（2）将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；
（3）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH=DH.
解：
类型六：运用旋转变换的思想解决问题
解：
类型三：作图
例5．如图，△A′B′C′是△ABC旋转后得到的图形，请确定旋转中心、旋转角.
思路点拨：利用旋转中心到对应点所连线段相等，可知旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上.只需作出两条这样的可相交的直线，找到交点即可.
答案：
例6．如图，已知△ABC与△DEF关于某一点对称，作出对称中心.
思路点拨：确定关于某点成中心对称的两个图形的对称中心的方法：
例12．（山东日照）如图，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于_________．
思路点拨：不妨设CD与B′C′交点为P，则两个正方形关于AP所在的直线对称，因此只需算出三角形ADP的面积即可.
又∠B′AD=60°，所以∠DAP=°，因此三角形ADP的面积可算， ，所以公共部分面积为
（1）平移关系
（2）旋转关系
（3）轴对称关系
类型五：利用图形变换的性质进行计算或证明
例10．如图所示，△ABC中，∠ACB=120°，将该图形绕点C按逆时针旋转30°后，得到△A′B′C，则∠ACB′的度数是.
思路点拨：根据旋转的性质可以知道∠BCB′是旋转角，它的度数应该是30°，∠ACB′可以看成是∠ACB和∠BCB′的和，所以∠A C B′=.
重点突出旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.
（二）旋转的性质：
（1）对应点到旋转中心的距离；
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角旋转角；
（3）旋转前后的图形.
（三）作图：
在画旋转图形时，要把握旋转与旋转这两个元素.确定旋转中心的关键是看图形在旋转过程中某一点是“动”还是“不动”，的点则是旋转中心；确定旋转角度的方法是根据已知条件确定一组对应边，看其始边与终边的
例8．已知：如图甲，试用一条直线把图形分成面积相等的两部分（至少三种方法）.
思路点拨：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线，将该图形分成完全相同的两部分，当然其面积也相等. 解决这类问题时，关键是将图形转化成两个中心对称图形（如果原图形本身就是中心对称图形，则直接过对称中心作直线即可），再由两点确定一条直线，过两个对称中心画直线即满足条件.
思路点拨：准确的画图将为我们研究问题提供较好的思维切入点，据题意，画示意图.
由图可知，P3与P2关于y轴对称，因此只须求得P2坐标，而我们可以发现△OP0P2为含60°角的直角三角形，所以马上可以知道 ， .
举一反三：
【变式1】如图，在 正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．将 向下平移4个单位，得到 ，再把 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，请你画出 和 （不要求写画法）．
角即为旋转角.
作图的步骤：
（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
（2）把连线按要求绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；
（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
（4）连接所得到的各对应点.
知识点二：中心对称与中心对称图形
（一）中心对称：
把一个图形绕着某一个点旋转°，如果它能够与另一个图形，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做．
类型四：综合利用平移、轴对称、旋转变换进行图案设计
例9．试用两个圆、两个三角形、两条平行线段设计一些具有平移、旋转和轴对称关系的图案.
思路点拨：线段、圆是轴对称图形，又是能绕其中心或圆心旋转180°重合的图形，只要所选用三角形是等边三角形或等腰三角形，便不难将三者有机结合，设计出一些合理的图案来．
解：
中心对称
轴对称
1
有一个对称中心——点
有一条对称轴——直线
2
图形绕中心旋转°
图形沿轴折叠°
3
旋转后与另一图形
折叠后与另一图形
（四）中心对称图形与轴对称图形
中心对称图形
轴对称图形
1
关于某对称
关于某对称
2
图形绕对称中心旋转°后，与自身
图形沿对称轴折叠后，对称轴两旁的部分互相
类型一：旋转的基本概念与特征
例1．如图所示，△AOB旋转到△A′OB′的位置，指出旋转中心是哪个点？点B、点A的对应点是什么？线段AB的对应线段是什么？∠A的对应角是什么？画出点D的对应点D′．
中心对称
中心对称图形
区别
①指两个全等图形之间的相互位置关系．
②对称中心不定．
①指一个图形本身成中心对称．
②对称中心是图形自身或内部的点．
联系
如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形．
如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称．
（五）关于原点对称的点的坐标特征：
例11．如图所示，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长是.
思路点拨：由旋转的性质可以知道∠BCF=∠DCG=30°，所以∠FCD=60°，可以连结线段HC（如图所示），由已知可知∠F=∠D=90°，FC=DC，HC是Rt△FHC和Rt△DHC公共的斜边，根据HL公理可以判断Rt△FHC≌Rt△DHC，所以∠FCH=∠DCH=30°，所以HC=，根据勾股定理可得 ，即 ，因为DC=3，所以DH=.
二、学习与应用
（一）成轴对称的两个图形沿对称轴对折能够互相，因此，成轴对称的两个图形.
（二）平移前后的两个图形.
ห้องสมุดไป่ตู้知识点一：旋转的概念
几个图形的共同特点是如果我们把时针、螺旋桨、风车风轮当成一个图形，那么这些图形都可以绕着某一点一定的角度．
（一）旋转的定义：
把一个图形绕着某一点O一个角度的图形变换叫做旋转（rotation）.点O叫做，转动的角叫做.如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的.
（3）图中哪些三角形可以看成是关于点O成中心对称的？
思路点拨：因为△DEF是由△ABC绕点O顺时针旋转180°后得到的，所以这两个三角形关于点O成中心对称，根据中心对称的性质：（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；（2）关于中心对称的两个图形是全等图形．即可得出.
例14．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF，分别交AB、AC于点E、F，给出以下五个结论：
①AE=CF；②∠APE=∠CPF；③△EPF是等腰直角三角形；④EF=AP；⑤ ；当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时，（点E不与A，B重合），