微分与积分中值定理及其应用

第二讲 微分与积分中值定理及其应用

1 微积分中值定理 0

微分中值定理 .......................................................................................... 0 积分中值定理 .......................................................................................... 2 2 微积分中值定理的应用 . (3)

证明方程根（零点）的存在性 ............................................................... 3 进行估值运算 .......................................................................................... 7 证明函数的单调性................................................................................... 7 求极限 ...................................................................................................... 8 证明不等式 . (9)

引言

Rolle 定理，Lagrange 中值定理，Cauchy 中值定理统称为微分中值定理。微分中

值定理是数学分析中最为重要的内容之一，它是利用导数来研究函数在区间上整体性质的基础，是联系闭区间上实函数与其导函数的桥梁与纽带，具有重要的理论价值与使用价值。

1 微积分中值定理

微分中值定理

罗尔(Rolle)定理: 若函数f 满足如下条件 (ⅰ)f 在闭区间[a,b]上连续； (ⅱ)f 在开区间（a,b ）内可导； (ⅲ))()(b f a f =,

则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得

0)(='ξf ． 朗格朗日(Lagrange)中值定理: 设函数f 满足如下条件： (ⅰ)f 在闭区间[a,b]上连续； (ⅱ)f 在开区间（a,b ）上可导； 则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得

a

b a f b f f --=

')

()()(ξ．

柯西中值定理: 设函数f 和g 满足 (ⅰ)在[a,b]上都连续； (ⅱ)在（a,b ）内都可导； (ⅲ))('x f 和)('x g 不同时为零； (ⅳ))()(b g x g ≠， 则存在),(b a ∈ξ，使得

)

()()

()()()(a g b g a f b f g f --=

''ξξ．

微分中值定理的推广

罗尔定理的推广

定理1: 设函数)(x f 在（a,b ）内可导，且有

)()(lim )0()0()(lim ∞-∞+==-=+=-+

→→或为有限值或A A x f b f a f x f b

x a x ，则存在点

),(b a ∈ξ，使得0)(='ξf ． 证明：首先对A 为有限值进行论证：

令⎩

⎨⎧==∈=b x a x A b a x x f x F 或,)

,(),()(

则易知函数)(x f 在[a,b]上连续，在（a,b ）内可导且)()(b F a F =．由Rolle 定理可知，在(a,b)内至少存在一点ξ，使得0)(='ξF ，而在(a,b)内有)()(x f x F '='，所以0)(='ξf ． 其次对A=∞+（∞-）进行论证：

由引理1，)(x f 在（a,b ）内能取得最小值（最大值）．不妨设：函数)(x f 在),(b a ∈ξ处取得最小值（最大值）．此时函数)(x f 在),(b a ∈ξ处也就取得极小值（极大值）．又因为)(x f 在),(b a ∈ξ处可导，由Fermat 引理，可得0)(='ξf ． 综上所述，从而定理得证．

定理2: 设函数)(x f 在(a,∞+),内可导，且)(lim )(lim x f x f x a

x +∞

→→=+，证明：在（a,∞+)中存

在一点ξ，使得0)(='ξf ．

定理3: 设函数)(x f 在（∞-，b),内可导，且)(lim )(lim x f x f b

x x -→-∞

→=，证明：在（∞-,b)

中存在一点ξ，使得0)(='ξf ．

定理4: 设函数)(x f 在（∞-，∞+),内可导，且)(lim )(lim x f x f x x +∞

→-∞

→=，证明：在（∞-,∞+)

中存在一点ξ，使得0)(='ξf ．

朗格朗日中值定理的推广

定理5: 如果函数)(x f 满足条件：在开区间（a,b ）上可导且

)0()(lim ),()0()(lim -==+=-+

→→b f x f a f a f x f b

x a x 存在，则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使

得a

b a f b f f --=

')

()()(ξ．

柯西中值定理的推广

定理6: 如果函数f(x)和F(x)满足条件： ①都在有限区间(a,b)内可导；

②;)(lim ,)(lim ,)(lim ,)(lim 2211M x F m x F M x f m x f b

x a

x b

x a

x ====-+-+→→→→

③;0)(),,('≠∈∀x F b a x 有 则在(a,b)内至少有一点ξ，使得

221

1'')()(m M m M F f --=

ξξ 证明：作辅助函数A(x),B(x),并且令

时，时时，时时，时b x M ，

b x M a x m x B ，a x m x A b a x x F ，b a x x f ====

==

∈∈2

1

21)()(),()(),()

(

则A(x),B(x)在闭区间[a,b]上连续，开区间(a,b)内可导,

且对,0)(),,('≠∈∀x B b a x 由Cauchy 中值定理可知，至少有一点),(b a ∈ξ使得

)()()

()()()(''a B b B a A b A B A --=

ξξ 又当),(b a x ∈时,)()(),()(x F x B x f x A ==

∴2211'''')()()()()()()()(m M m M a B b B a A b A F f B A --=

--==ξξξξ 即：2

21

1'')()(m M m M F f --=ξξ 积分中值定理

积分中值定理: 若)(x f 在区间[a,b]上连续,则在[a,b]上至少存在一点ξ使得

()()()b a a b f dx x f b

≤≤-=⎰ξξ,a

.