浙江大学2009数学分析
数学分析与高等代数考研真题详解--浙江大学卷
∴(αT Aβ )2 = (α TCTCβ )2 = (Cα ,Cβ )2 ≤ (Cα ,Cα )(Cβ ,Cβ ) = (αTCTCα )(β TCTCβ ) = (α T Aα )(β T Aβ )
由于上述不等式，等号成立时候当且仅当，存在数 k1, k2 ，使
k1Cα + k2Cβ = 0 ，即 k1α + k2β = 0 ，即α , β 线性相关
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浙江大学
1999 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题及解答
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1999 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题解答
一：证明：充分性：若 f ( x) 能表示成一个整数多项式的平方，显然 f ( x) 在有理数域上可
约
必要性：由于 f ( x) 在有理数域上可约，在存在整数系数多项式 g ( x), h ( x) 有
所以 Α 是一个线性变换，
由于 A 和 − A 无公共特征根，即根据 (1) 的结论就有
AX = X (− A) 只有零解，即 AX + XA = 0 只有零解，从而 Α 可逆，即
八：证明：(1) 设 A 的特征多项式为 f (λ ) ， B 的特征多项式为 g (λ ) ，由于 A, B 无公共特
( 征值，从而 f (λ ), g (λ )) = 1，所以 f ( B) 可逆，由于 AX = XB ，故对于 ∀n ∈ ∗ ，均有
An X = XBn ，就有 f ( A) X = Xf ( B) ，所以 Xf ( B) = 0 ⇒ X = 0 ，
⎡⎣En − αα T ⎤⎦−1 = ⎡⎣En + αα T ⎤⎦
三：证明： (1) 由于存在 m 阶可逆矩阵 P1 和 n 阶可逆矩阵 P2 ，有 A = P1 [Em 0] P2 ，即
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选课了，希望大家都有好课选。
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《浙江大学高等代数2007-2019年考研真题及答案解析》
目录Ⅰ历年考研真题试卷 (2)浙江大学2007年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (2)浙江大学2008年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (5)浙江大学2009年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (7)浙江大学2010年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (9)浙江大学2011年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (11)浙江大学2012年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (13)浙江大学2014年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (15)浙江大学2015年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (16)浙江大学2016年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (17)浙江大学2017年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (18)浙江大学2018年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (19)浙江大学2019年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (21)Ⅱ历年考研真题试卷答案解析 (23)浙江大学2007年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (23)浙江大学2008年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (31)浙江大学2009年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (39)浙江大学2010年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (46)浙江大学2011年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (52)浙江大学2012年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (57)浙江大学2014年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (64)浙江大学2016年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (70)Ⅰ历年考研真题试卷浙江大学2007年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目：高等代数编号：601注意：答案必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上均无效。
一、（17分）设整系数的线性方程组为),..2,1(,1n i b x ai j nj ij==∑=，证明该方程组对任意整数n b b b ,..,,21都有整数解的充分必要条件是该方程组的系数行列式等于1±。
浙江大学大类培养方案
浙江大学工学类培养方案工学类培养方案包括大类培养特色、大类培养面向等内容,课程设置与学分分布主要安排通识课程和大类必修课程模块的推荐学习计划。
大类选修课程模块和专业课程的推荐学习计划详见各专业培养方案。
专业培养方案还包括培养目标、培养要求、专业核心课程、教学特色课程、计划学制、最低毕业学分、学科专业类别、授予学位类别、辅修及双专业/双学位课程修读要求、专业必修课程修读关系说明等内容。
各专业还可按需要在专业培养方案中设定本专业主修专业确认的前置课程3至5门。
工学类借鉴浙江大学竺可桢学院“工程教育高级班"多年的工程教育培养经验,向全体工学类学生推荐选修“4+1@3工程教育平台”课程。
“4+1＠3工程教育平台”课程设置见本方案个性课程部分。
学生可以全部或部分选修“4+1@3工程教育平台”课程,修读学分可以与个性课程和通识课程中沟通与领导类、经济与社会类、科学与研究类和技术与设计类课程的学分互通.大类培养特色工学类构建通识、大类、专业三位一体的课程体系，体现基础知识宽、专、交和专业知识精、深、通的特点.通过人文科学、社会科学、自然科学等多学科知识学习,强化工学人才培养的通识性和社会性；通过构建大类必修课程平台和大类选修课程平台，打好扎实的工程理论基础并有效衔接专业教育；通过专业教育体系的严格训练，培养德、智、体、美全面发展,具有坚实数理基础、富有创新精神、专业知识扎实并具备实践能力，在各工程专业领域具有国际竞争力的高素质本科人才。
大类培养面向学生在入学一年后、两年内确认主修专业，进入专业培养阶段，归属专业所在学院或学系管理。
工学类共有［？]个专业教育培养通道,能最大限度地满足学生在不同工程专业领域的成才发展需求.工学类培养主要面向的专业是：（略）课程设置与学分分布⒈通识课程 47。
5+5学分⑴思政类11。
5+2学分课程号课程名称课程学分建议修读年级、学期021E0010 思想道德修养与法律基础 2.5 一秋冬Thought the Marals Accomplishment and Law Foundation021E0020 中国近现代史纲要2。
浙江大学本科教学大类课程替换关系一览表2010.6版
学分 4.0 1.0
替换关系 课程代码 课程中文名称 ≥ 091C0070 过程工程原理及实验
学分 3.5
≈ ≈
111Z0020 电路分析原理 111Z0030 电路分析原 电路原理（乙） 101C0090 电路原理实验（乙）
3.0 1.0
38
≥
101C0010 电工电子学 101C0020 电工电子学实验
4.5 1.5
≥
101C0030 电工电子学及实验
3.5
101C0140 数字电子技术基础实验 39 40 41 101C0120 模拟电子技术基础实验 111C0010 模拟电子线路 111C0020 模拟电子线路实验 111C0030 数字电路 111C0040 数字电路实验 111C0010 模拟电子线路 111C0020 模拟电子线路实验 111C0030 数字电路 111C0040 数字电路实验 43 44 45 261C0020 材料力学(甲)Ⅱ 46 261C0061 理论力学(甲) 111C0061 信号与系统（甲） 121C0011 测量学（甲） 261C0010 材料力学(甲)Ⅰ
≈ ≥ ≥
射频与微波通信电路实 验 101C0110 模拟电子技术基础 111Z0050 101C0120 模拟电子技术基础实验 101C0130 数字电子技术基础 101C0140 数字电子技术基础实验 101C0110 模拟电子技术基础 101C0120 模拟电子技术基础实验 101C0130 数字电子技术基础 101C0140 数字电子技术基础实验 111C0062 信号与系统（乙） 121C0012 测量学（乙） 261C0031 材料力学(乙) 261C0062 理论力学(乙)
081C0261 工程训练加强实习（乙） 1.5 081C0182 机械设计（乙） 081C0192 机械设计基础（乙） 091C0050 过程工程原理(乙) 091C0060 过程工程原理实验(乙) 4.5 1.5 4.0 1.0
浙江大学1999年——2008年数学分析
1 在 (1, ∞ ) 上连续可微． x n =1 n
x + y + z =R
2 2
∫∫
dS
2
x 2 + y 2 + ( z h) 2
，其中 h ≠ R ．
（2）设 a, b, c 为三个实数，证明：方程 e x = ax 2 + bx + c 的根不超过三个． 四、 （20 分）设 f n ( x) = cos x + cos 2 x +
四、 （20 分）设 f ( x ) 连续， ( x) = ∫ f ( xt )dt ，且 lim
0
x →0
1
论 '( x ) 在 x = 0 处的连续性． 五、 （10 分）定义 Pn ( x ) 为 Pn ( x) = 1 d n ( x 2 1) n ， n = 1, 2, 2n n ! dx n P0 ( x) = 1 ．
D
四、设 f (x ) 在 x > 0 时连续， f (1) = 3 ，并且 ∫
( x > 0, y > 0) ，试求函数 f (x ) ．
xy
1
f (t ) dt = x ∫ f (t ) dt + y ∫ f (t ) dt ，
1 1
y
x
五、设函数 f (t )在(a, b) 连续，若有数列 x n → a, y n → a ( x n , y n ∈ (a, b)) 使 lim f ( xn ) = A 及
2 2
五、 （15 分）设二元函数 f ( x, y ) 在正方形区域 [0,1] × [0,1] 上连续．记 J = [0,1] ． （1）试比较 inf sup f ( x, y ) 与 sup inf f ( x, y ) 的大小并证明之；
国内数学分析主要参考书目_数学分析书籍
国内数学分析主要参考书⽬_数学分析书籍花了半天时间，对国内部分⼤学所编数学分析(/⾼等数学/微积分)教材做了个汇总，发于此，肯定有很多遗漏，(期待有兴趣的⾍友帮我⼀起补充,补充格式:⼤学名，精确书名，编写作者....)。
国内部份⼤学常⽤数学分析(⾼数,微积分)教材总汇清华⼤学《数学分析教程》常庚哲.史济怀.《数学分析》(三册).何琛史济怀徐森林《数学分析》(三册).徐森林,.⾦亚东,.薛春华《数学分析讲义》(三册).陈天权《数学分析习题课讲义》谢惠民等北京⼤学《数学分析》沈燮昌著第⼀册，⽅企勤著第⼆册，廖可⼈、李正元著第三册《数学分析习题课教材》（第⼀版）《数学分析解题指南》（第⼆版）林源渠，⽅企勤《数学分析习题集》林源渠，⽅企勤等《数学分析新讲》张筑⽣(三册)《数学分析简明教程》邓东翱,尹⼩铃著《数学分析上、下册》彭⽴中、谭⼩江著复旦⼤学《数学分析》《数学分析》陈传璋，⾦福临，朱学炎，欧阳光中著第⼆版《数学分析》欧阳光中，朱学炎，⾦福临，陈传璋著第三版《数学分析》陈纪修等著《数学分析》欧阳光中，姚允龙著同济⼤学《⾼等数学》（同济⼤学数学系第六版,上、下册）《⾼等数学讲义》樊映川等编..华东师范⼤学《数学分析》华东师范⼤学数学系著《数学分析精读讲义》华东师范⼤学数学系著《数学分析习题精解》吴良森，⽑⽻辉等?中国科学技术⼤学《数学分析教程》常庚哲，史济怀著《简明微积分》龚昇《⾼等数学引论》华罗庚《数学分析》徐森林著《数学分析的⽅法及例题选讲》徐利治南开⼤学《数学分析上、下册》李成章，黄⽟民《在南开⼤学的演讲》陈省⾝南京⼤学《数学分析讲义》梅加强《数学分析教程》许绍浦等北京师范⼤学《简明数学分析（第⼀版）》王昆扬《简明数学分析（第⼆版）》郇中丹，刘永平，王昆扬《微积分学讲义（第⼆版）》邝荣⾬武汉⼤学《⾼等数学上、下册》（⾼等教育出版社，齐民友主编）《重温微积分》齐民友著吉林⼤学《数学分析》东北师范⼤学《数学分析讲义》刘⽟琏，傅沛仁著天津⼤学《⾼等数学上、下册》蔡⾼厅叶宗泽《⾼等数学试题精选与解答》（蔡⾼厅等编）内蒙古⼤学《微积分学简明教程》曹之江等著[ Last edited by hylpy on 2014-9-15 at 12:38 ]国内数学分析主要参考书⽬[1].刘⽟琏,傅沛仁,林玎,苑德馨,刘宁编.数学分析讲义(上),第四版.北京:⾼等教育出版社,2003.[2].刘⽟琏,傅沛仁,林玎,苑德馨,刘宁编.数学分析讲义(下),第四版.北京:⾼等教育出版社,2003.[3].刘⽟琏,扬奎元,吕风编.数学分析讲义学习辅导书(上),第⼆版,北京:⾼等教育出版社.2003.[4].刘⽟琏,扬奎元,吕风编.数学分析讲义学习辅导书(下),第⼆版,北京:⾼等教育出版社.2003.[5].华东师范⼤学数学系编.数学分析(上),第三版.北京:⾼等教育出版社,2002.[6].华东师范⼤学数学系编.数学分析(下),第三版.北京:⾼等教育出版社,2002.[7].吴良森,⽑⽻辉,韩⼠安,吴畏编著.数学分析学习指导书(上).北京:⾼等教育出版社.2004.[8].吴良森,⽑⽻辉,韩⼠安,吴畏编著.数学分析学习指导书(下).北京:⾼等教育出版社.2004.[9].吴良森,⽑⽻辉编著.数学分析习题精解(单变量部分).北京:科学出版社.2002.[10].吴良森,⽑⽻辉编著.数学分析习题精解(多变量部分).北京:科学出版社.2003.[11].薛宗慈,曾昭著,邝荣⾬,陈平尚编.数学分析习作课讲义(上).北京:北京师范⼤学出版社,1985.[12].薛宗慈,曾昭著,邝荣⾬,陈平尚编.数学分析习作课讲义(下).北京:北京师范⼤学出版社,1987.[13].谢惠民,恽⾃求,易法槐,钱定边编.数学分析习题课讲义(上).北京:⾼等教育出版社,2004.[14].谢惠民,恽⾃求,易法槐,钱定边编.数学分析习题课讲义(下).北京:⾼等教育出版社,2004.[15].徐利治,王兴华.数学分析的⽅法与例题选讲.北京:⾼等教育出版社,2002.[16].钱吉林等主编.数学分析解题精粹.武汉:崇⽂书局,2003.[17].裴礼⽂.数学分析中的典型问题与⽅法,第⼆版.北京: 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浙江大学本科教学大类课程层次关系一览表
浙江大学本科教学大类课程层次关系一览表 - 20110907
说明：
1.粗线边框内的课程为一个基本单元。
2.符号“≥”为单向关系，表示修读高层次课程后可免修低层次课程。
例如：“011A0011，宏观经济学（甲），
3.0”≥“011A0012，宏观经济学（乙），2.0”表明修读“宏观经济学(甲)”后可以免修“宏观经济学（乙）”，反之不可。
3.符号“≈”为相似关系。
例如：“111Z0040，射频微波通信电路，
4.0”≈“‘11120050，高频电子线路，3.5’+‘11120741，射频与微波电路及其设计，2.0’”表明“射频微波通信电路”和“‘高频电子线路’+‘射频与微波电路及其设计’”中任学一组课程后可免修另一组课程。
4.对于上表中未列出的相近课程，学生申请免修需填写《浙江大学本科课程免修申请表》，经开课院（系）同意后方可免修，申请表可到现代教务管理系统网页下载。
5.其他学院学生及2011年7月前修读电路分析原理或电路分析原理实验的电气学院学生，原则同意进行“电路分析原理”与“电路原理（甲）Ⅰ、Ⅱ”课程的替换；“电路分析原理实验”与“电路原理实验（甲）Ⅰ、Ⅱ”课程的替换。
本科生院教务处
二○一一年九月。
浙江大学2010-2011数学分析(2)-试卷及答案
浙江大学20 10 -20 11 学年 春夏 学期《 数学分析（Ⅱ）》课程期末考试试卷（A ）课程号： 061Z0010 ，开课学院：___理学部___考试形式：闭卷，允许带___笔____入场考试日期： 2011 年 6 月 24 日,考试时间： 120 分钟诚信考试，沉着应考，杜绝违纪。
请注意：所有题目必须做在答题本上！做在试卷纸上的一律无效！请勿将答题本拆开或撕页！如发生此情况责任自负！ 考生姓名： 学号： 所属院系： _一、 计算下列各题： ( 前4题每题5分，最后一题6分，共26分 )1. 2()(03)sin lim .x y xy x→，，求： 2222()(03)()(03)sin sin lim lim 9.x y x y xy xy y x xy →→=⋅=，，，，2.(122)().f x y z gradf =，，设，，23(122)(122)(122)(122)11..2722.27271{122}.27f x x f r x r r r xf f y zgradf ∂∂==-⋅=-=-∂∂∂∂=-=-∂∂=-，，，，，，，，令，则：则：同样，，因此，，，3. 2222320(321)S x y z ++=求曲面：在点，，处的法线方程.222()2320246.321(321){686}.343x y z F x y z x y z F x F y F z x y z n =++-===---===令：，，，则：，，因此，在点，，的法向量，，，故法线为： 4. 2221.(2).4Cx C y L x y ds +=+⎰设曲线：的长度为计算： 222(2)(44)44.=0.C C C Cx y ds x y xy ds ds L xyds +=++==⎰⎰⎰⎰其中：5.02z z z ∑===设为曲面和之间部分的下侧，计算： (1)(2).dS dxdy ∑∑⎰⎰⎰⎰；22224.4.x y x y x y z z z dS dxdy dxdy π∑+≤∑+≤======-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由于因此，二、 计算题：（每题8分，共56分）1. 22()2()()()2x f x f x x f x ππππ=--≤≤设是周期为的函数，且，求：的 211.n Fourier n +∞=∑级数，并计算的和22222020022112222211(1)()20.2522(1)()()cos (12).2325(1)()2cos .()(*)65(1)(1)(2)(*)0(0)2.61n nn nn n n n n f x b x x a dx a nxdx n nf x nx x R n x f n n ππππππππππππ∞=-+∞∞===-=-=-=-==-=-+∈--==-=-+⇒=⎰⎰∑∑∑由于是周期为的偶函数，则：，，，因此，式中，令，则：12222221111122122222211.21111(1)2.2.2(2)2(2)121.6511(*)2..266n n n n n n n n n n n n n n n x n n σσπσππππππ-+∞+∞+∞+∞∞=====+∞=+∞+∞==-==⇒=-====-=-+⇒=∑∑∑∑∑∑∑∑令：，则：因此，【或】：在式中令，则：2. 211(2)1.44n n n n n x n n +∞+∞==-⋅⋅∑∑计算级数的收敛域及和函数，并计算的值 222112221111211()(2)4(2)(1)lim lim 10 4.()(1)4(2)4(2)12104.44(04).(2)(2)()()4n n n n n n n nn n n n n n n n n n n u x x n x x u x n x x x n n n n x t t S t S t t n +++→∞→∞+∞+∞+∞+∞====∞-=-⋅-=⋅=<<<+⋅--====⋅⋅-'===∑∑∑∑∑，则：当时，发散；当时，发散因此，级数的收敛域为：，令，，则：1222111.(11).1(2)(2)()ln(1).ln 1ln 4ln(4).440 4.14(3)3ln .43n nn n n n t t x x S t t x x n x x n ∞=+∞=+∞==-≤<-⎛⎫--=--=--=-- ⎪⋅⎝⎭<<==⋅∑∑∑其中：故，所以，其中：上式中令，可得，2111112211(2)lim lim 141(1)11.11.(2)(2)[11).110444.(04)n nn n n n n n n n n n nn n n a x t n t t n a n nt t n n t x x x n n ∞∞+→∞→∞==∞∞==∞+∞==-===+-=-=----≤<<<⋅∑∑∑∑∑∑【或】：令，对于级数而言，，因此，的收敛半径为而当时，级数收敛；当时，级数发散故级数的收敛域为，因此，当，即时收敛因此，原级数的收敛域为，..下面与上同3. 222()2.y z z z f x y f x x x y ∂∂=+∂∂∂设，，且具有阶连续偏导，计算：， 12221112221222221112222232(1)2.111(2)222214(2).z y xf f x xz y x yf f f yf f x y x x x x y y xyf f f f x x x ∂=-∂∂⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭=+---4. 2222(){()|}.Dx y dxdy D x y x y x y +=+≤+⎰⎰计算，其中，222222002212221cos 111()2()()..1222()sin 213cos sin ).281()112 1.()()1()222u v x r x y D x y r r y r I d r r r rdr x u x y I u v dudv u v y v u v πθθθθθθπ+≤⎧=+⎪∂⎪-+-≤=⎨∂⎪=+⎪⎩=+++=⎧=+⎪∂⎪⎛⎫==+++⎨ ⎪∂⎝⎭⎪=+⎪⎩=++⎰⎰⎰，方法一、区域：令：，则：，，方法二、令：，则：，2222001233cos sin 34440443444442004113).2281(cos sin )41313)]sin 2sin 2.444228u v u u v dudv d r rdr I d r dr d d udu udu πππθθπππθππππθπθθθθππθθπ+≤+--+=-⎛⎫++=+⋅= ⎪⎝⎭==+⋅=+===⋅⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法三、5. 222{()|1}.ze dxdydz x y z x y z ΩΩ=++≤⎰⎰⎰计算三重积分：，其中，，()2222221(0)2110000cos 0cos 2011012.241(sin )4sin cos 2422.22z z x y z z z u x x u z z x y z xoy e z I e dV I d rdr dz r dr r x x xe dx ue du I e dzdxdy e ππθπππππππ++≤≥=+≤-===-==⋅---===⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⎰⎰⎰⎰⎰由于积分区域关于平面对称，被积函数关于为奇函数，因此，方法一、令：方法二、()120211cos 2cos 2220000011cos 2000(1)2.2sin 4sin 44(1)2.z dz I d d e d d e d e d e d πππρϕρϕπρϕρπθϕρϕρπρρϕϕπρρπρρπ-====-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法三、6. 2222()M x y z a ξηζ++=设点，，是球面第一卦限中的一点，S 是球面在该点处的切平面被3个坐标平面所截三角形的上侧，求：点()M ξηζ，，使曲面积分：⎰⎰++=Szdxdy ydzdx xdydz I 为最小，并求此最小值.22222226322262222222(1)()(cos cos cos )11.2cos 2(2).327S SS Sx y z a M x y z a xdydz ydzdx zdxdy x y z dSx y z a a a dS a dS a a a a a a ξηζξηζαβγξηζξηγξηζξηζξηζξηζξηζ++=++=++=++⎛⎫=++==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭⎛⎫++++=≤=⇒ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰球面在点，，处的切平面方程为：由于，则：333..2.S xdydz ydzdx zdxdy a x y z M ≤++≥===⎰⎰因此，等号在故，点为62222(1).30..2(2)xy yz zx xy yz zx xy yz zx S S S S S S S S S S S Guass I xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdy a a a a dV x y z a L ξηζξηζξηζ+++ΩΩ=++-++⎛⎫=+=++= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++【或】：添加切平面与坐标平面所围立体的另三个三角形、、，使其与所围闭曲面方向为外侧则：根据公式可得：切平面：，截距分别为：、、构造222222223min ()().20(1)20(2)20(3)0(4)02.(4)x y z agrange f x y z xyz x y z a f yz x f zx y f xy z f x y z a yz zx xy x y z x y z x y z x y z xyz I λλλλλλλ=+++-=+=⎧⎪=+=⎪⎨=+=⎪⎪=++-=⎩>===-======函数：，，，令：由于、、，则：将其代入可得，由于驻点唯一，根据实际问题当因此，3.=7. 22(0)cos (0)42C xdy ydx x C A y B x y ππ-=-+⎰计算，其中曲线是从点，沿到点，，再从 (2).BD ππ-点沿直线到点，22222222222222222222022224.44(4)4(0).444410arc 42C C DA L DA LL y x P y x Q P Q x y x y y x y xDA L x y xdy ydx xdy ydx xdy ydx xdy ydx x y x y x y x y dy xdy ydx y πδδδπππδπ++--∂-∂∙====++∂+∂∙+=>----=--++++=---=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法一、，，则：连接，作：，足够小，方向为顺时针则：2220224221122332222222221tan 2217.88(0)(2)(2)(2).444(4)x y y dxdyA A A A A A A D L y x P y x Q P Q C L x y x y y x y xP Q πδπδππδπδπππππππ-+≤+=-+⋅=----∂-∂====++∂+∂⎰⎰方法二、从点，沿直线到点，、再从点沿直线到点，、从点沿直线到点，、再从点沿直线到点；记此路径为由于，，则：；且在由曲线、所围区域内、都11223322222222222222022202442244444422arctan arctan arctan arctan 2242248C L AA A A A A A Dxdy ydx xdy ydx x y x y dy dx dy dx y x y x y x y x πππππππππππππππππππππππππππππππππππ--------==+++++--=+++++++--=+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰有一阶连续连导数，因此，7.4448ππππ+++=三、 证明题：（每题9分，共18分）1. 210cos ()()1n n n nx u x D f x n +∞∞===+∑∑叙述级数在数集上一致收敛的定义，并证明： (02).π在，内连续，且有连续导数22220022022200cos 11cos (1)(02)1111cos (02)(02)1cos ()(02)1cos sin (2)(){}111n n n n n nx nx x n n n n nx n N n nx f x n nx n nx n g x n n n ππππ∞∞==+∞=∞∞==∀∈≤++++∀∈+=+'⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭∑∑∑∑∑由于对，，有，而收敛，故级数在，内一致收敛.另外，对，函数在，内连续，因此，在，内也连续.记，由于12200221cos()cos 1220()[2]sin .sin 2sin 22sin sin [2](02)11.cos sin (02)()(0211n k n n x n x kx x n nx n nx Dirichlet n n nx n nx f x n n δδπδπδδδπδπππ=∞∞==+-∀><∀∈-=≤-++'⎛⎫=- ⎪++⎝⎭∑∑∑单调趋向于零，且对，及，，根据判别法，在，上一致收敛，即在，上内闭一致收敛又在，内连续，故，在，)内具有连续的导数. 2. 0()()y f x δδδ>-=证明：存在，及定义在，内的具有连续导数的函数， ()220(0)0sin ()2()cos 1..x dy f x f x f x x dx ==+++=满足，且并计算的值 22222222222()sin()2cos 1()(1)()(2)(00)0(3)2cos()2(4)(00)20(5)2cos()sin 0()()(0)0sin (y y x F x y x y y x F x y R F F y x y R F F x x y x R y f x f x f δδδ∙=+++-==++=>=+->-==+令：，，*则：，在上连续；，；在上连续；，；在上连续.根据隐函数存在性定理，存在，及定义在，内的具有连续导数的函数，满足，且()222222)2()cos 1.sin()2cos 100.cos()(22)2sin 0.sin 2cos()x f x x x y y x x x y x y x yy y x x x x y dy++=∙+++===''+++-=-+'在两边同时对求导，且当时，则：。
(NEW)浙江大学819数学分析历年考研真题汇编(含部分答案)
正数 ，使得 中任何两点 满足
时，必属于某个开区间
．
六、（15分) 用球面坐标 ．
变换方程
七、（10分) 计算
八、（15分) 求
其中
．
． 在条件
九、（15分) 利用公式
下的最大最小值， 计算积分
的值．（说明计算过程中每一步的合理性）
十、（20分) 设 为 中光滑区域， 为其边界， 在
上
有连续二阶导数．证明：
求曲面积分
，其中 是曲面
的上侧.
五、（15分) 设二元函数 .
试比较
与
给出一个使等式 之.
在正方形区域
上连续，记
的大小并证明之； 成立的充分条件并证明
六、（15分) 设 是在 上可积且在 处连续的函数，记 .
证明：
.
2000年浙江大学804数学分析考研真题
浙江大学2000年攻读硕士学位研究生入学试题
．
其中 为沿边界 外法线方向的导数, 为边界上的面积元, ．
的坐标为
，函数
．
证明： 在
上成立．
设
是以 为中心 为半径的球，
上 满足 ，则
为其边界．若在
．
2003年浙江大学431数学分析考研真题
浙江大学2003年攻读硕士学位研究生入学试题 考试科目：数学分析（431） 考生注意： 1．本试卷满分为150 分，全部考试时间总计180 分钟； 2．答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上均无效。
浙江大学2002年攻读硕士学位研究生入学试题
考试科目：数学分析
一、（30分) 用“ 语言”证明
；
给出一个一元函数 ，在有理点都不连续，在无理点都连续， 并证明之；
浙江大学2009年本科生招生专业目录
浙江大学2009年本科生招生专业目录说明：浙江大学2009年进一步推进大类招生。
实行按人文、社科、理、工、农、医等学部大类招生，并打通了大类基础课。
学生填报的专业大类有6个，另有特殊培养的专业方向7个。
大类招生使学生入学时没有固定的专业“帽子”，学生入学经过1至2年的学习，学生在满足相关专业前置课程修读要求的条件下，根据自己的学习能力和发展规划，及对专业的了解，依据各专业最大可容纳学生数，确认主修专业。
院系介绍人文学院该院秉持“博雅专精、明体达用”的办学理念，为学界、政界、文化界和企业界输送高端人才。
现有教授62人，其中有国家级教学名师和全国优秀教师；设6个系，有一级学科博士点2个、博士后流动站3个、二级学科博士点18个、硕士点27个；有国家重点学科1个、国家级重点学科培育学科1个、国家文科基础学科人才培养和科学研究基地2个、教育部人文社会科学重点研究基地1个、“国家985(Ⅱ)”创新基地2个。
该院与日本、比利时等国家和地区的多所大学签署了交换学生的框架协议，推动本科生赴境外交流学习。
该院有专项院级奖、助学金，每年覆盖面达30％以上，基地班还有专设奖学金。
毕业生国内外深造率超过30%，其中两个基地班的深造率达到50％。
该院所有专业进入“人文科学试验班”招生。
汉语言文学专业含国家基地班和影视与动漫编导方向。
培养具有深厚人文精神、良好道德素养、扎实专业理论和技能，适应各行业工作需要的高级中文专业人才。
古典文献专业该专业连续7年在全国高校本科同类专业中排名第一。
培养具有较深厚的古典文献学功底和汉语言文学知识基础，有良好人文和科学素养的高层次复合人才。
编辑出版学专业培养适应现代出版产业新发展需求，具备较系统的编辑出版专业技能和较扎实的人文科学知识，对社会文化、经济、科技等事业发展具有开拓性的复合型专业人才。
历史学专业含国家基地班和文化产业管理方向，培养具有广博的中外历史知识、较强的理论思维能力和语言文字表达能力的复合型人才。
数学硕士教学大纲(精选)
数学硕士教学大纲(精选)数学硕士教学大纲教学大纲一般由教学科目、教学目的和要求、授课时数、授课方法及教学进度4部分组成。
根据《中华人民共和国教师法》，各高等学校的各门学科的教学大纲由国务院教育行政部门审定，作为评定教授、副教授和其他教师的专业技术职务的重要依据。
数学硕士教学大纲应包括以下内容：1.课程名称：数学分析。
2.课程性质：本课程是数学与应用数学专业的一门重要的基础理论课，它为学生进一步学习高等代数、数学分析选讲、常微分方程、复变函数、实变函数、概率论与数理统计等后续课程奠定必要的数学基础。
3.课程任务：本课程的任务是：通过本课程的学习，使学生掌握数学分析的基本理论、基本知识和基本技能，受到数学思维的训练，能够运用数学分析的方法解决一些实际问题，并为学生今后从事与本专业相关的科研与教学工作打下必要的数学基础。
4.教学内容及要求：本课程的教学内容包括极限论、微积分学、级数论三大部分。
具体要求如下：（1）极限论：主要讨论函数的极限概念、性质及计算；数列的极限；函数的连续性；间断点；连续函数的性质；无穷小量与无穷大量；极限的运算法则；极限存在的充分必要条件；连续函数的原函数。
（2）微积分学：主要讨论函数的微分法及其应用；函数的积分法及其应用；微分学和积分学在几何学上的应用。
（3）级数论：主要讨论数项级数的收敛性；幂级数的收敛半径与收敛域；函数展开成幂级数；傅里叶级数；常数项级数的四则运算。
5.教材与参考书：（1）《数学分析》（上、下册），浙江大学数学系编，人民教育出版社，1981。
（2）《数学分析》，郑毓信，高向奎编，上海科学技术出版社，1984。
（3）《数学分析》，程其襄等主编，人民教育出版社，1980。
数学速算教学大纲数学速算教学大纲可以参考以下内容：1.概述：速算教学大纲介绍了速算的概念和意义，阐述了速算在日常生活和学习中的应用。
2.基础知识：速算教学大纲涵盖了基本的数学知识，包括数位、位数、进位、借位等概念。
数学分析考研试题
3．设 f (x) = sin 2 (x2 + 1) .
(1)求 f (x) 的麦克劳林展开式。
(2)求 f (n) (0) 。 (n = 1,2,3 )
4．试作出定义在 R 2 中的一个函数 f (x, y) ，使得它在原点处同时满足以下三个条件：
∫∫ 恒有 P(x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy = 0. Sr
求证: ∀(x, y, z), R(x, y, z) = 0, Px (x, y, z) + Qy (x, y, z) = 0.
4
武汉科技学院理学院
北京大学 2005 年
1. 设 f (x) = x 2 sin x − 1 sin x ，试求 lim sup f (x) 和 lim inf f (x) .
p→+∞ 0
0
6
武汉科技学院理学院
南京理工大; 0 ，n=1,2，
an → a ≠ 0, (n → ∞) ,证
lim n
n→∞
an
= 1。
∫∫ 二、（15 分）求积分 F ⋅ nds 其中 F＝（xy，yz，xy），Σ 为半球面，x 2＋y2＋z 2＝1，z ≥ 0 Σ
（1） f (x, y) 的两个偏导数都存在；（2）任何方向极限都存在；（3）原点不连续
∫ 5．计算 x2ds .其中 L 是球面 x 2 + y 2 + z 2 = 1与平面 x + y + z = 0 的交线。 L
6．设函数列{ fn (x)} 满足下列条件：（1） ∀n ， f n (x) 在 [a, b] 连续且有 f n (x) ≤ f n+1 (x) （ x ∈[a, b] ）；（2）{ fn (x)} 点点收敛于[a, b] 上的连续函数 s(x)
2016年浙江大学数学分析试题参考解答
lim
n
1 xn
1 lim xn
1 A
，
lim
n
xn
A
n
即 lnimxn
lim
n
xn
A ，从而数列
xn
收敛.
三、(15 分)利用有限覆盖定理证明：有界数列必有收敛子列.
证 设数列 xn有界，且不妨假设其下界为 a ，上界为 b ，则 xn a, b.假设 xn无
收 敛 的 子 列 ， 那 么 xn 在 a, b 中 没 有 聚 点 . 于 是 对 x a, b ， 存 在 x 0 ， 使 得
Ftcos ntdt .
0
且
Ft
n1
nan
sin
nt
，其中 an
2
Ft cos ntdt .
0
从而有
an2 nan 2 ， n 1,2,
根据 Parseval 等式，我们有
1
F
2
t dt
1
Ft 2dt .
事实上，至此我们已经将Wirtinger 不等式证了一遍.现在我们将 t x a 代入上式(注
x x , x x 只包含xn中有限项，并且有 x x , x x a,b.由于 a,b为紧集， xa ,b
故 a, b 的 任 意 开 覆 盖 都 有 有 限 子 覆 盖 ， 于 是 存 在 x1，x2 ,, xn 使 得
n
a, b xi xi , xi xi .这样 a, b只包含 xn中有限项，与条件矛盾！
一个正数 0 ，对任何正整数 n c ，总存在 xn a, b，使得
n
f
xn ,
y dy
0 .
由于有界数列 xn必有收敛子列，故不妨设 xn收敛，并记