医院眼科病床的合理安排优化模型

承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：西北民族大学参赛队员(打印并签名) ：1. 马璀云2. 禹银春3. 刘晓娟指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：肖艳萍王念一日09 年9 月14 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：医院眼科病床的合理安排优化模型摘要：眼科病床的合理安排，既可以提高医院的经济效益，又可以减小患者的排队就医时间，以便达到双赢的目的。

通过对医院现有的综合分析及优化得到如下问题的优化结果：问题一，给出了评价模型的指标：医院满意度即床位的周转率，患者满意度即等待队长，及逗留时间；问题二，通过对已有数据的统计分析整理，得出结论：患者的到达服从泊松分布，服务时间服从负指数分布。

将医院的病床看做服务台，建立了排队系统的M M K∞∞模型，通过对模型的求解过程，给出了患者流和服务台的计算机模拟方////法，进而给出了根据出院患者数来安排入住患者的方案。

问题三，结合问题二的模型，利用医院对每类患者的服务时间，服务效率以及服务台的状态（病床的占用和空闲）来求的他们的平均等待时间，因而可预测病人的大致入院时间。

问题四，若周六，周日不安排手术，而白内障手术的手术时间间隔一定，通过顺延的方法得出两种优化方案，并对两种方案通过类比的方法得出最优方案，即在周三，周五安排白内障手术，而在周一，周二，周四安排其它手术。

问题五，从方便管理，医院效益最大以及患者逗留时间最短的前提出发，对医院现有的病床进行分配建立了规划模型，并通过对模型的求解最后给出了病床的分配方案：白内障单眼8张床位，白内障双眼18张床位，青光眼11张床位，视网膜疾病33张床位，外伤9张床位。

关键词：排队系统统计分析计算机模拟类比规划一．问题重述医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，我们考虑某医院眼科病床合理安排的数学建模问题，就要考虑医院资源的合理有效利用及患者的等待队长等因素。

已知该医院目前情况如下：1．该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张，眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。

附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。

2．白内障手术较简单，而且没有急症，目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。

做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占60%。

如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。

3．外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。

4．其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。

这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。

5．该医院眼科手术条件比较充分，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。

当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（First come, First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，现提出以下问题：问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。

问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。

并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。

问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。

能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。

问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整?问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。

二．符号说明i —— 表示第i 类患者（i =1，2，3，4，5 分别表示白内障单眼；白内障双眼；青光眼；视网膜疾病以及外伤患者）k —— 表示服务台个数in θ —— 表示第i 类患者中第n 个患者与第1n -个患者到达的间隔时间in η —— 表示对第i 类患者中第n 个患者服务花费的时间jc —— 表示患者到来的时刻j w —— 表示患者等待时间 jb —— 表示患者开始接受服务（入院）时刻j e —— 表示患者结束服务（出院）时刻i λ —— 表示各类患者的到达速率i μ —— 表示服务台的服务速率 ρ —— 表示服务强度()N t —— 表示t 时间内到来患者的总数()M t —— 表示t 时间内服务完（出院）的患者的总数 ()X t —— 表示t 时刻系统中的患者数()L t —— 表示等待队长（排队等待的顾客数） ()L q —— 表示队长()t ϕ—— 表示服务台的状态三．问题的分析1．背景分析本问题的难点是同时考虑医院完善医院的管理制度，改进患者的安置情况，提高医院的经济和社会效益等诸多因素。

如果仅考虑提高医院的经济效益，则只要提高医院病床的使用率，运用数据分析方法可以给出患者的安排情况；如果仅考虑患者的安置情况，需要增加病床，显然，这两种方案都不是最佳的。

于是既要考虑医院的效益（即医院的满意度），又要考虑患者的等待时间最短（即患者的满意度）。

医院的满意度取决于病床的使用率及其服务强度，使用率和服务强度越高，医院的经济效益越好，医院的满意度越高；患者的满意度取决于排队的队长和等待时间的长短，等待时间越短患者的满意度越高。

所以我们需要在两个因素之间找出一个合理的匹配关系使双方的满意度达到最高。

2．数据分析通过数据分析，形成了如图所示的柱状图及其以下数据表：010203040506070246810121416)病通过柱状图可以比较清楚的看出，每天各类疾病的患者到达数量及所占比重：视网膜疾病患者最多，相当于青光眼和外伤的总和，其次是白内障（双眼）和白内障。

从上图中还可以看出患者人数基本以每两周为一个循环周期。

利用SPSS软件验证门诊到达人数服从泊松分布。

Test StatisticsxChi-Squa8.640re(a)df 4Asymp..071Sig.a 5 cells (100.0%) have expected frequencies less than 5. The minimum expectedcell frequency is 1.8.通过对数据的分析整理，利用SPSS得到上面的两表。

由于显著性水平为0.05，而上表中所得显著性水平0.071>0.05且到达门诊的患者是随机的，所以到达门诊的患者人数服从泊松分布，认为理论分布是符合实际情况的。

四．模型的假设1.患者的到达是随机的，且患者源是无限的。

2.忽略门诊时间及手术时间。

3.将病床看为服务台，总病床数即为服务台数。

4.同一天看病的患者到达间隔时间为零。

五．模型的建立与求解问题一评价性指标大致可以从患者的满意度和医院的满意度两个方面出发：患者满意度方面：要求医院充分调动和利用现有的一切资源，使得到医院的每一位患者满意而归，这就要求医院的资源合理分配，使患者在医院停留的时间最短，因为服务时间一定，故只要求等待时间最短。

医院满意度方面：达到医院现有资源的充分利用，即效益最大，以服务更多的患者为宗旨，即要求患者的等待队长尽可能小。

资源的利用率和服务强度尽可能高。

因此，该模型的评价指标体系是等待队长，等待时间，病床使用率，服务强度。

问题二1．模型分析与建立从所要解决的问题和对问题所做的假设出发，在前面的数据处理中我们确定了患者的到达率服从泊松分布，有K 个服务台，患者源的数量是无限的。

因为患者到达的速率为i λ，每个服务台的服务速率为i μ，则整个系统的最大速率为K μ服务强度i i i Kλρμ=，显然，要使系统稳定运行，必须有1ρ<。

该模型的特点在于整个系统的服务速率与系统中患者到达特点有关。

如果系统中只有一个患者，则系统的服务率等于i μ，因为其他的服务台处于闲置状态，如果体统中有2个患者，则系统的服务速率等于2i μ，依次类推，如果系统中的患者有K 个，则系统的最大服务速率为i K μ，所有的服务台均投入服务；而当系统中的患者数目超过K 个时，多余的患者只能进入派对系统等待服务，此时系统的服务速率为i K μ。

该模型的状态转移图如下：（排队服务系统状态转移图） 通过状态转移图可得如下方程：10i i p p μλ= （1）11(1)()i n i n i i n n p p n p μλλμ+-++=+ (1)n K ≤≤ （2） 11()()i n i n i i n Ku p p K p n K λλμ+-+=+> （3）而 0121K n p p p p p +++++++= 联立可解得：1100111()()()!!1K n K i i n ii p n K λλμμρ--=⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦∑ （4）001()(1)!1()()!ni in n i n Ki p n K n p p n K K Kλμλμ-⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩ （5）5021()!(1)Ki i K i ii p L q K λρμρ==-∑（6）5511()i i i i i iL L q λμ===+∑∑（7）设排队队长为()L q ，当系统有n 个患者到达时，若n K >，则必有n K -个患者在排队。

这样的话，能求出每种病的等待时长，服务时长及停留的时间。

而当n K <时，服务台空闲个数为K n -，既有K n -个空病床，然后可以安排其他的患者入院。

从而建立如下的////M M K ∞∞模型：1()max :mj j N t m t θ=⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭∑ （8）()max{:}m M t m e t =≤ （9） ()()()X t N t M t =-（10）()max{()1,0}L t X t =- （11） 1,()0()0,()0i X t t X t ϕ>⎧=⎨=⎩ （12）2．模型的模拟求解2.1 病人流的模拟由于已认定病人达到流服从泊松分布，在模拟的时候可以通过随机数生成函数来产生模拟病人的到达，基本算法如下：步骤一：在泊松分布中，求出 X 取何值时，P(X=k)取最大值，设最大值为m axXP ，这相当于求解()!kf x k λ=在k 取何值时有最大值，可以通过一个循环来得到()f x 取最大值时的整数自变量m ax X 。