数列新定义选择题(1)

考点：数列新定义 难度：1 一、选择题

1．定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，

其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有

A.18个

B.16个

C.14个

D.12个 答案： C

解答：

由题意必有10a =，81a =，则具体的排法列表如下：

2．如果正整数a 的各位数字之和等于8，那么称a 为 “幸运数”（如：8，26，2015等均为“幸运数”），将所有“幸运数”从小到大排成一列1a ，2a ，3a ，……，若2015n a =，则=n （ ） A ．80 B ．81 C ．82 D ．83 答案： D ． 解答：

分析题意可知，1位的幸运数只有1个8；2位的幸运数：17，26，……71，80，共8个； 3位的幸运数：第1位为1：107，116，……170，共8个，第1位为2：206，215，……260，共7个，以此类推，从而可知3位的幸运数共有876136+++⋅⋅⋅+=个；4位的幸运数：第1位是1：1007，1016，……1070，有8个，1106，1115，1160，有7个，以此类推，从

而可知第1位是1的4为幸运数共有876136+++⋅⋅⋅+=个，第2位是2的幸运数：2006，2015，∴183636283n =++++=，故选D ．

3．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数， 例如：他们研究过图①中的1,3,6,10,...

,

由于这些数能表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，将图②中的1,4,9,16,...,这样的数称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是

A ．189

B ．1024

C ．1225

D ．1378 答案：C 解答：

正方形数的通项公式是2n a

n

=，所以两个通项都满

足的是1225，三角形数是，正方形数是35=n ．

4．删除正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个新数列的第2015项是（ ） A ．2058 B ．2059 C ．2060 D ．2061 答案： C

解答：

由题意可得，这些数可以写为：21，2，3，22，5，6，7，8，23… 第k 个平方数与第k +1个平方数之间有2k 个正整数， 而数列21，2，3，22，5，6，7，8，23…245共有2025项，去掉45个平方数后，还剩余1980个数 所以去掉平方数后第2015项应在2025后的第35个数，即是原来数列的第2060项，即为2060．

5．1202年，意大利数学家斐波那契在他的书中给出了一个关于兔子繁殖的递推关系：

()123n n n F F F n --=+≥，其中n F 表示第n 个月的兔子的总对数，121F F ==，则8F 的值

为（ ） A.13

. . .

9

1

. . .

10

6

3

1

B.21

C.34

D.55 答案：B

解答：

∵，∴

3122

F F F

=+

=

，∴

432

3

F F

F

=

+=

，

534

5

F F

F

=+

=，

645

8

F F

F

=

+=

，

756

13

F

F F

=

+=，∴

867

21

F F

F

=

+=，故选

B

6．项数为n的数列

123

,,,,

n

a a a a的前k项和为(1,2,3,,)

k

S k n

==，定义

n

S

++

为该项数列的“凯森和”，如果项系数为99项的数列

12399

,,,,

a a a a

的“凯森和”为1000，那么项数为100的数列100，

12399

,,,,

a a a a的“凯森和”为（）A．991

B．1001

C．1090

D．1100

答案：

C

解答：

12991299

100100

1000,1090

99100

S S S S S S

+++⨯++++

=∴=，故选C.

7．将石子摆成如图的梯形形状．称数列5,9,14,20,为“梯形数”．根据图形的构成，此数

列的第2012项与5的差，即

2012

5

a-=（）

A. 2018×2012

B. 2018×2011

C. 1009×2012

D. 1009×2011

答案：

D

解答：

由题意可得

123

23,234,2+3+4+5

a a a

=+=++=，

4

23456

a=++++

1

2

1

=

=F

F