数列新定义选择题(1)

考点：数列新定义 难度：1 一、选择题
1．定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，
其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有
A.18个
B.16个
C.14个
D.12个 答案： C
解答：
由题意必有10a =，81a =，则具体的排法列表如下：
2．如果正整数a 的各位数字之和等于8，那么称a 为 “幸运数”（如：8，26，2015等均为“幸运数”），将所有“幸运数”从小到大排成一列1a ，2a ，3a ，……，若2015n a =，则=n （ ） A ．80 B ．81 C ．82 D ．83 答案： D ． 解答：
分析题意可知，1位的幸运数只有1个8；2位的幸运数：17，26，……71，80，共8个； 3位的幸运数：第1位为1：107，116，……170，共8个，第1位为2：206，215，……260，共7个，以此类推，从而可知3位的幸运数共有876136+++⋅⋅⋅+=个；4位的幸运数：第1位是1：1007，1016，……1070，有8个，1106，1115，1160，有7个，以此类推，从
而可知第1位是1的4为幸运数共有876136+++⋅⋅⋅+=个，第2位是2的幸运数：2006，2015，∴183636283n =++++=，故选D ．
3．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数， 例如：他们研究过图①中的1,3,6,10,...
,
由于这些数能表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，将图②中的1,4,9,16,...,这样的数称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是
A ．189
B ．1024
C ．1225
D ．1378 答案：C 解答：
正方形数的通项公式是2n a
n
=，所以两个通项都满
足的是1225，三角形数是，正方形数是35=n ．
4．删除正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个新数列的第2015项是（ ） A ．2058 B ．2059 C ．2060 D ．2061 答案： C
解答：
由题意可得，这些数可以写为：21，2，3，22，5，6，7，8，23… 第k 个平方数与第k +1个平方数之间有2k 个正整数， 而数列21，2，3，22，5，6，7，8，23…245共有2025项，去掉45个平方数后，还剩余1980个数 所以去掉平方数后第2015项应在2025后的第35个数，即是原来数列的第2060项，即为2060．
5．1202年，意大利数学家斐波那契在他的书中给出了一个关于兔子繁殖的递推关系：
()123n n n F F F n --=+≥，其中n F 表示第n 个月的兔子的总对数，121F F ==，则8F 的值
为（ ） A.13
. . .
9
1
. . .
10
6
3
1
B.21
C.34
D.55 答案：B
解答：
∵，∴
3122
F F F
=+
=
，∴
432
3
F F
F
=
+=
，
534
5
F F
F
=+
=，
645
8
F F
F
=
+=
，
756
13
F
F F
=
+=，∴
867
21
F F
F
=
+=，故选
B
6．项数为n的数列
123
,,,,
n
a a a a的前k项和为(1,2,3,,)
k
S k n
==，定义
n
S
++
为该项数列的“凯森和”，如果项系数为99项的数列
12399
,,,,
a a a a
的“凯森和”为1000，那么项数为100的数列100，
12399
,,,,
a a a a的“凯森和”为（）A．991
B．1001
C．1090
D．1100
答案：
C
解答：
12991299
100100
1000,1090
99100
S S S S S S
+++⨯++++
=∴=，故选C.
7．将石子摆成如图的梯形形状．称数列5,9,14,20,为“梯形数”．根据图形的构成，此数
列的第2012项与5的差，即
2012
5
a-=（）
A. 2018×2012
B. 2018×2011
C. 1009×2012
D. 1009×2011
答案：
D
解答：
由题意可得
123
23,234,2+3+4+5
a a a
=+=++=，
4
23456
a=++++
1
2
1
=
=F
F
数列{}n a 的第n 项n a 是通项为1n b n =+的数列的前n +1项的和。

201220132012
5201325201310085100920112
a ⨯∴-=⨯+
-=⨯-=⨯，故选D.
8．定义运算“*”满足：①2*20101=，②22*2010[32*2010]n n n N +=⋅∈+（）（）（），则2010*2010等于（ ）
A ．31004
B ．31005
C ．32009
D ．32010 答案： A
解答：
依题意可得，
22010*2010(20082)*20123(2008*2010)3(2006*2010)
=+==100410043(2*2010)3=
==， 故选A.
9．定义：若数列{}n a 为任意的正整数n 为常数)，则称{}n a 为“绝对和数列”，d 叫做“绝对公和” ．已知“绝对和数列”{}n a 中，12a =，绝对公和为3，则其前2009项的和2009S 的最小值为（ ） A ．-2009 B ．-3010 C ．-3014
D ．3028 答案： B
解答：
依题意可得，当1n >时，0n a <，此时2009S 取到最小值.因为1||||3n n a a ++=， 所以有3254200920083a a a a a a --=--==--=，
即3254200920083a a a a a a +=+=
=+=-，
所以2009S 的最小值为20093
2(
1)(3)30102
-++⨯-=-，故选B 10．已知(1)log (2),()n n a n n N *
+=+∈，我们把使乘积123n a a a a ⋅⋅⋅⋅为整数的数n 叫做
“劣数”，则在区间(1,2004)内的所有劣数的和为( ) A.1024 B.2003
C.2026
D.2048 答案： C
解答：
12323(1)ln 3ln 4
ln(2)
log 3log 4log (2)ln 2ln 3
ln(1)
n n n a a a a n n ++⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+=
⋅⋅⋅
+
2ln(2)
log (2)ln 2
n n +=
=+，要使得123n a a a a ⋅⋅⋅⋅为整数，
则22(*,4)m
n m N m +=∈≥，因为12004n <<，
所以322006n <+<，从而322006m <<，则2,3,4,5,6,7,8,9,10m =， 从而可得在区间(1,2004)内的所以劣数的和为
2923
1023
10
2(12)
2222222222918202612
--+-+
-=++
-⨯=-=-，
故选C.
11．某个QQ 群中有n 名同学在玩一个数字哈哈镜游戏，这些同学依次编号为1 2 3 n ，，，，.在哈哈镜中，每个同学看到的像用数对( )()p q p q <，表示，规则如下：若编号为k 的同学
看到像为( )p q ，，则编号为1k +的同学看到像为( )q r ，，且*( )q p k p q r N -=∈，，
.已知编号为1的同学看到的像为(5 6)，.请根据以上规律，编号为3和n 的同学看到的像分别是 ( )
A.(7 10) (4 24)n n ++，；，
答案：
D
解答：
设编号n 的同学看到的像为(,)n n a b ，则编号1n +的同学看到的像为11(,)n n a b ++， 且1,n n n n a b b a n +=-=，所以112121n n n n a b a n a n n ---==+-=+-+-=
121215(1)0
2
21n a n n n n =+++
+-=-=-++⨯，
221010
22
n n n n n n b a n n -+++∴=+=+=，
所以编号n 的同学看到的像为221010
(
,)22
n n n n -+++， 则编号为3的同学看到的像为(8,11)，故选D.
12．黑白两种颜色的六方边形地砖按图示的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中白色地砖
的块数是（ ）
A ．43+n
B ．24+n
C ．15-n
D ．n 6 答案： B
解答：
每增加1个图形，就增加4块白色地砖， 即：664624++⨯，，，
是一个首项为6，公差为4的等差数列， 它们的第n 项为：4n +2． 故选：B
13．下图是一系列有机物的结构简图，图中“小黑点”表示原子，两黑点之间的“短线”表示化学键，按图中结构第10个图中有化学键的个数是( )
A.60
B.51
C.49
D.42 答案： B
解答：
由所给的图形可以看出：第一个有6个化学键，第二个图形由6+5个化学键，第三个有6+5+5
个化学键，可以看出每增加一组，则化学键要增加5，∴每一个图形的化学键组成一个等差
数列，首项是6，公差是5，∴通项是1065151510151n a n n a =+-=+∴=⨯+=（
）， ， 故选B ．
14．一位同学画出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●……．如果将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前120个圈中的●的个数是 A.12 B.13 C.14 D.15 答案：C 解答：
把这些圈看作是数列：1，1，2，1，3，1，4，1…求前n 项和小于等于120时的最大的整
数项数，()
1123120,3240,142
n n S n n n n n n +=+++++=
+≤∴+≤∴=（）（）. 3
n
a n n a log =（(2123
2k log k log a a a a log log ∴=
⨯⨯
3
n a a 为整数，∴必须是2的5]01 内所有的1021+
+-）（
答案： 解答：
31212321132{}n n
a a
a a a a a a a +===∴
-=∴，，，是以1为首项，2为公差的等差数列， ()()21201420142013201220132012
21220141220131420121n n a a a a
n a a a a +∴
=-∴=⋅=⋅-⋅-=⨯-，． 故选：A ． 18. 若称
12n
a a n
a ++
+为n 个正数12,,,n a a a ⋯的“均倒数”，数列{}n a 的各项均为正，但
其前n 项的“均倒数”为1
21
n - ，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．2n-1 B ．4n-3 C ．4n-1 D ．4n-5 答案：B
解答：
数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为
2
1221n
n n n
=--， 22122 2n n a a a n n S n n ∴+++=-∴=-,，
2
1121143n n n n S n n a S S n --∴=---∴=-=-（）（）,，
而n =1时，11,43n n a S a n ==∴=-，故选B ．
19. 在数学拓展课上，老师定义了一种运算“※”：对于n ∈N ，满足以下运算性质：①221=※；②222223n n +=+（）※（※），则1024※2的数值为（ ） A ．1532 B ．1533 C ．1534 D ．1536 解答：
221,22222321[223]2n n n n =+=+∴+-=※（）※（※），（）※（※），
∴{22}n （※）是以1为首项，3为公差的等差数列，
221313210242351221534n n n ∴=+-=-∴=⨯-=（※）（）※．
故选C ． 20. 如图，在杨辉三角中，斜线l 的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：1，3，3，4，6，5，10，…，则这个数列的第21项的值为（ ）
A ．66
B ．220
C ．78
D ．286 答案： A
解答：
设“锯齿形”数列的奇数项构成数列{}n b ，
21324354312633106415105b b b b b b b b -=-=-=-=-=-=-=-=，，，，
1
n n b b n -∴-= ，()()2121=
,,2
2
n
n
n n n n b b b
+-++=
又因为“锯齿形”数列的第21项即为数列{}n b 的第11项，2111111
662
b +==
， 故选A ．。