普朗克黑体辐射公式推导修订稿

普朗克黑体辐射公式推

导

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普朗克黑体辐射公式的推导

所谓的黑体是指能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。

黑体辐射：由这样的空腔小孔发出的辐射就称为黑体辐射。

辐射热平衡状态: 处于某一温度 T 下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态。 实验发现：

热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度 T 有关而与黑体的形状和材料无关。

实验得到：

1. Wien 公式

从热力学出发加上一些特殊的假设，得到一个分布公式：

ννννρνd T C C d )/ex p(231-=

Wien 公式在短波部分与实验还相符合，长波部分则明显不一致。

2. Rayleigh-Jeans 公式

ννπνρνd kT C

d Jeans Rayleigh 2

38=

-公式 Rayleigh-Jeans 公式在低频区和实验相符，但是在高频区公式与实验不符，并且

∞→=⎰∞

v v d E E ，既单位体积的能量发散，而实验测得的黑体辐射的能量密度是

4T E σ=，该式叫做Stefan-Bolzmann 公式，σ叫做Stefan-Bolzmann 常数。

3. Planck 黑体辐射定律

1900年１２月１４日Planck 提出如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子的能量分布就应有一种对应。作为辐射原子的模型，Planck 假定：

（1）原子的性能和谐振子一样，以

给定的频率 v 振荡；

（2）黑体只能以 E = hv 为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。

得到：

νννπνρνd kT h C h d ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=1)/exp(1

833该式称为 Planck 辐射定律 h 为普朗克常数，h=s j .10

626.634

-⨯

4，普朗克的推导过程：

把空窖内的电磁波分解为各个频率的简振振动，简振模的形式最后为

).(),(wt r K i k k e C t r -=αβψ，为常系数振方向，表示两个互相垂直的偏α

αk C 2,1=

每一个简振模在力学上等价于一个自由度，记频率在(

)νννd +,内的自由度数为()ννd g ，

则（0，v ）范围内的总自由度数G(v)与g(v)的关系为()()νννν

d g G ⎰=0

。

借助几何方法求出()3338νπνc V G =

，取微分得()ννπννd c V d g 2

3

8= 令E 代表体积为V 的空窖内热平衡辐射的总内能，()ννd T u ,代表单位体积,频率间隔在

()

νννd +,内的能量，于

是

()ννεννd g d T u V E

⎰⎰∞

∞==0

~0)(,，

的振子的平均能量代表频率为νε，()()ννπ

νννd c

g V d g 23~

81=≡

代表单位体积内频率间隔在(

)νννd +,内的振动自由度数。 应用经典统计的能量均分定理得到平均能量为KT =ε与振子的频率无关，代入

()()ννενd g d T v u ~

,=可以得到()ννπ

νd kT c

d T v u 238,=

，这就是瑞利-金斯公式，在低频区和实验符合，高频区严重偏离。

普朗克热辐射理论采用的也是波的观点，()()ννπ

νννd c

g V d g 23~

81=≡

依旧认为他正确，但是能量均分定理不适用，原因在于麦克斯韦——波尔滋蔓分布不对，问题出在振子能量

取连续值上。Planck 假定：黑体只能以 E = hv 为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量,对于频率为v 的振子，其能量只能取一个最小能量单元的整数倍即()ννεεnh n =→，他认为振子的平均分布仍遵从麦克斯韦——玻尔兹曼分布，即()

νβεανn e

a n --=)(代表频率为v 对的振子处于能级

()v n ε的平均数，于是振子的平均能量为()()∑∑∑∑------=

=

n

n

n n

n

n n

n

n

n

e e e

e βεβε

βεαβεανενεε，

即()()νβ

νεZ ln ∂∂

-

= 其中()()

∑∞

=-

=

n n

e Z νβεν代表频率为v 的振子的配分函数，可以得到

()ν

βνβνh n h n e

e Z -∞

=--=

=∑11

。

()()1

1

ln -=-=∂∂-

=kT

h h e

h e h Z ν

νβνννβνε由此可以知道振子的平均能量与其频率有关，能

量均分定理不成立。

把上式代入()()ννενd g d T v u ~

,=得到：

()1

8,/33-=kT h d e h c d T v u νννπν这就是普朗克辐射公式。

此

时

辐射场的

内能为

()()⎰⎰⎰∞

=∞

=∞

===-==-==0

33454

334

3

0/33

158,18/,18,n x n kT h n c h k a aT dx e x h kT c E kT hv x e

d h c d T u E ππννπ

ννν其中得令,5，对 Planck 辐射定律的讨论：νννπνρνd kT h C h d ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=1)/exp(1

833 （1）当 v 很大（短波）时，因为 exp(hv /kT)-1 ≈ exp(hv /kT)，

于是

Planck 定律

化为 Wien 公式。

νννπνρνd kT h C h d ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=1)/exp(1

833变为νννπνρνd kT h C h d )/ex p(833-= ννννρνd T C C d Wien )/ex p(231-=公式

2）当 v 很小（长波）时，因为 exp(hv /kT)-1 ≈ 1+(h v /kT)-1=(h v /kT)， 则 Planck 定律变为 Rayleigh-Jeans 公式。