惯性矩总结(含常用惯性矩公式)

惯性矩是一个物理量，通常被用作描述一个物体抵抗扭动，扭转的能力惯性矩的国际单位为(m%)。

工程构件典型截面几何性质的计算

2.1面积矩

1•面积矩的定义

别定义为该图形对z轴和y轴的面积矩或静矩，用符号和，来表示，如式(2 —2.1)

(2 — 2.1)

面积矩的数值可正、可负，也可为零。面积矩的量纲是长度的三次方，其常用单

3 3

位为m或o

2•面积矩与形心

平面图形的形心坐标公式如式(2 —2.2)

4

=—

」」(2 — 2.2)

或改写成，如式(2 —2.3)

亀二5

—2.3)

面积矩的几何意义：图形的形心相对于指定的坐标轴之间距离的远近程度。图形

如图2-31所示为一任意截面的几何图形

(以下简称图形)。定义：积分和I二‘分

图2-2.1任意截面的几何图形

形心相对于某一坐标距离愈远，对该轴的面积矩绝对值愈大。

图形对通过其形心的轴的面积矩等于零；反之，图形对某一轴的面积矩等于零, 该轴一定通过图形形心。

3•组合截面面积矩和形心的计算

组合截面对某一轴的面积矩等于其各简单图形对该轴面积矩的代数和。如式(2 — 2.4)

= S5，ii ,

(2 — 2.4)

式中，A和、分别代表各简单图形的面积和形心坐标。组合平面图形的形心位置由

式(2 —2.5)确定。

占1西+舄阳+・* • +4兀二名1

丿】+缶+…+哉V

V" Ay

=岀了】十爲丁2十-•.十爲丿击

=

台

2.2极惯性矩、惯性矩和惯性积

1 •极惯性矩

任意平面图形如图2-31所示，其面积为A。定义：积分「川」称为图形对0点的

极惯性矩，用符号，表示，如式(2 —2.6)

(2 — 2.6)

极惯性矩是相对于指定的点而言的，即同一图形对不同的点的极惯性矩一般是不同的。极惯性矩恒为正，其量纲是长度的4次方，常用单位为m或4。

(1)圆截面对其圆心的极惯性矩，如式(2 —7)

--(2 — 2.7)

(2)对于外径为D内径为d的空心圆截面对圆心的极惯性矩，如式(2 —2.8)

范(2 — 2.8)

式中，二二为空心圆截面内、外径的比值

(2 —2.5)

2 •惯性矩

在如图6-1所示中，定义积分，如式(2 —2.9)

(2 — 2.9)

称为图形对z轴和y轴的惯性矩。惯性矩是对一定的轴而言的，同一图形对不同的轴的惯性矩一般不同。惯性矩恒为正值，其量纲和单位与极惯性矩相同。

同一图形对一对正交轴的惯性矩和对坐标原点的极惯性矩存在着一定的关系。

如式2—2.10)

(2 — 2.10)

上式表明，图形对任一点的极惯性矩，等于图形对通过此点且在其平面内的任一对正交轴惯性矩之和。

表6-1给出了一些常见截面图形的面积、形心和惯性矩计算公式，以便查用。工程中使用的型钢截面，如工字钢、槽钢、角钢等，这些截面的几何性质可从附录的型钢表中查取。

3.惯性积

如图2—32所示，积分〔必朋定义为图形对y ,、z轴的惯性积，用符号表示，如

式(2 —11)

图2-2.2具有轴对称的图形

惯性积是对于一定的一对正交坐标轴而言的, 即同一图形对不同的正交坐标轴的惯性积

形心位置惯性矩（形心轴）

bh s

(2 —11)

不同，惯性

积的数值可

正、可负、

可为零，其

量纲和单位

与惯性矩相

同由惯性积的定义可以得出如下结论：若图形具有对称轴，则图形对包含此对称轴

在内的一对正交坐标抽的惯性积为零。如图2-32所示，y为图形的对称轴.则整个图形对y z轴的惯，性积等于零。

常见图形的面积、形心和惯性矩表2 —2.1 rrmL

TT

b

=—口

2

D

A =

h

k 几=号

2. 3组合截面的惯性矩

1惯性矩和惯性积的平行移轴公式

任意平面图形如图2-2.3所示。z、y为一对正交的形心轴，乙、y i为与形心轴平行的另一对正交轴，平行轴间的距离分别为a和b。已知图形对形心轴的惯性矩、和惯性积, 现求图形对z i、y i轴的惯性矩1、i和惯性积iyi。有惯性矩和惯性积的平行移轴公式如式(2 —2.i2)和式(2 —2.i3)

爲1二兔十4如”

q = (2 — 2.i2)

iyi (2 — 2.i3)

可见，图形对于形心轴的惯性矩是对所有平行轴的惯性矩中最小的一个。在应用平

行移轴公式(2 —2.i2)时，要注意应用条件，即y、z轴必须是通过形心的轴，且z i、y i 轴必须分别与z、y轴平行。在应用式(2 —2.i3)计算惯性积时，还须注意a、b的正负号，它们是截面形心C在Z ii坐标系中的坐标值。

2.组合截合惯性矩计算

组合图形对某一轴的惯性矩，等于其各组成部分简单图形对该轴惯性矩之和，如式

(2 —2.i4)

」(2 — 2.i4)

在计算组合图形对z、y轴的惯性矩时，应先将组合图形分成若干个简单图形，并

计算出每一简单图形对平行于z、y轴的自身形心轴的惯性矩，然后利用平行移轴公式(2—2.12)计算出各简单图形对z、y轴的惯性矩，最后利用式(2—2.14)求总和。