用公倍数和公因数解决问题
公因数公倍数应用题
1.一块长方体木料，长2．5米，宽1．75米，厚0．75米。
如果把这块木料锯成同样大小的正方体木块，不准有剩余，而且每块的体积尽可能的大，那么，正方体木块的棱长是多少共锯了多少块2.两啮合齿轮，一个有24个齿，另一个有40个齿，求某一对齿从第一次接触到第二次接触，每个齿轮至少要转多少周3.一张硬纸板长60厘米，宽56厘米，现在需要把它剪成若干个大小相同的最大的正方形，不许有剩余。
问正方形的边长是多少4.甲、乙、丙三辆汽车在环形马路上同向行驶，甲车行一周要36分钟，乙车行一周要30分钟，丙车行一周要48分钟，三辆汽车同时从同一个起点出发，问至少要多少时间这三辆汽车才能同时又在起点相遇5.一个四边形广场，边长分别为60米，72米，96米，84米，现要在四角和四边植树，若四边上每两棵树间距相等，至少要植多少棵树6.一盒围棋子，4个4个地数多1个，5个5个地数多1个，6个6个地数还多1个。
又知棋子总数在150到200之间，求棋子总数。
7.有一个长方体的木头，长米，宽米，厚米。
如果把这块木头截成许多相等的小立方体，并使每个小立方体尽可能大，小立方体的棱长及个数各是多少8.有一个两位数，除50余2，除63余3，除73余1。
求这个两位数是多少9.张老师利用晚上时间给甲、乙、丙三个学生补课，每4天给甲补一次课，每5天给乙补一次课，每8天给丙补一次课，今天晚上甲、乙、丙三个学生都在补课，至少经过多少天又在一起补课10.有24个苹果，32个梨，要分装在盘子里，每盘的苹果和梨的个数相同，最多可以装多少盘？数学兴趣小组有24个男同学，20个女同学，现要分成小组，每个小组男、女同学人数分别相同，最多可以分成多少个小组每组至少有多少个男同学多少个女同学11.有38支铅笔和41本练习本平均奖给若干个好少年，结果铅笔多出3支，练习本还缺1本。
得奖的好少年有多少人？有一包糖，不论分给8个人，还是分给10个人，都能正好分完。
这包糖至少有多少块12.阜沙市场是20路和21路汽车的起点站。
公倍数和公因数的应用题
10 道公倍数和公因数的应用题题目一：有一张长48 厘米、宽36 厘米的长方形纸，如果要剪成若干同样大小的正方形而没有剩余，剪出的小正方形的边长最大是多少厘米？解析：求剪出的小正方形的边长最大是多少厘米，就是求48 和36 的最大公因数。
48 的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48；36 的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36。
它们的公因数有1、2、3、4、6、12，其中最大公因数是12。
所以剪出的小正方形的边长最大是12 厘米。
题目二：把两根分别长24 分米和30 分米的木料锯成若干相等的小段而没有剩余，每段最长是多少分米？解析：求每段最长是多少分米，就是求24 和30 的最大公因数。
24 的因数有1、2、3、4、6、8、12、24；30 的因数有1、2、3、5、6、10、15、30。
它们的公因数有1、2、3、6，其中最大公因数是6。
所以每段最长是 6 分米。
题目三：用96 朵红花和72 朵黄花做成花束，如果每个花束里的红花同样多，黄花也同样多。
那么最多能做几束花？每束花里有几朵红花和几朵黄花？解析：求最多能做几束花，就是求96 和72 的最大公因数。
96 的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、32、48、96；72 的因数有1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72。
它们的公因数有1、2、3、4、6、8、12、24，其中最大公因数是24。
所以最多能做24 束花。
96÷24 = 4（朵），72÷24 = 3（朵），每束花里有4 朵红花和 3 朵黄花。
题目四：有一批图书，总数在1000 本以内。
若按24 本包成一捆，最后一捆差 2 本；若按28 本包成一捆，最后一捆还是差 2 本；若按32 本包成一捆，最后一捆是30 本。
这批图书有多少本？解析：由题意可知，这批图书的数量加上 2 本后，就是24、28、32 的公倍数。
24 的倍数有24、48、72、96、120、144、168、192、216、240、264、288、312、336、360、384、408、432、456、480、504、528、552、576、600、624、648、672、696、720、744、768、792、816、840、864、888、912、936、960、984；28 的倍数有28、56、84、112、140、168、196、224、252、280、308、336、364、392、420、448、476、504、532、560、588、616、644、672、700、728、756、784、812、840、868、896、924、952、980；32 的倍数有32、64、96、128、160、192、224、256、288、320、352、384、416、448、480、512、544、576、608、640、672、704、736、768、800、832、864、896、928、960、992。
最大公因数与最小公倍数应用题
最大公因数与最小公倍数应用题1、假设这些糖果最少有x个，那么x既能被8整除，又能被10整除，因此x是8和10的最小公倍数，即x=40.2、假设这包糖最少有y块，那么y既能被8整除，又能被10整除，因此y是8和10的最小公倍数，即y=40.3、这个数是4的倍数，因为4除以4余数是0，所以这个数必须被4整除。
这个数是6的倍数，因为6除以6余数是0，所以这个数必须被6整除。
这个数比6的倍数多1，因此这个数必须是6的倍数加1.因此这个数是24+1=25.4、这个人数是30~50的倍数，且是3、4、6、8的公倍数。
这个人数是120的倍数，且小于等于50，因此这个人数是120.5、每个正方形由6块瓷砖组成，因此正方形的面积等于6的倍数。
正方形的边长等于瓷砖的公因数，因此正方形的面积最小是6×6=36.6、假设这堆苹果最少有x千克，那么x既能被8整除，又能被9整除，又能被10整除，因此x是8、9、10的最小公倍数加3，即x=89.7、假设合唱队至少有x人，那么x既能被7整除，又能被8整除，因此x是7和8的最小公倍数加2，即x=54.8、假设最多有x个研究成绩优秀的同学，那么x既能被37和38整除，又要满足钢笔多出一支，书缺2本，因此x是37和38的最小公倍数加1，即x=703.9、这些水果的最大公因数是8，因此每个盘子里的水果数是8的倍数。
苹果和梨的总数是24+32=56，因此每个盘子里的水果数最多是56/2=28.每个盘子里苹果和梨的个数相同，因此每个盘子里苹果和梨各有14个。
10、这两路汽车同时发车的时间是它们发车时间的最小公倍数，即3×5=15分钟后。
11、这个年级的人数是6、8和9的公倍数，因此这个年级的人数是216.12、这个数是3的倍数，因为3除以3余数是0，所以这个数必须被3整除。
这个数是4的倍数，因为4除以4余数是0，所以这个数必须被4整除。
这个数比4的倍数多2，因此这个数必须是4的倍数加2.这个数是5的倍数，因为5除以5余数是0，所以这个数必须被5整除。
最大公因数与最小公倍数应用题提高
最大公约数与最小公倍数1）有一个自然数，被6除余1，被5除余1，被4除余1，这个自然数最小是几？2）把长120厘米，宽80厘米的铁板裁成面积相等，最大的正方形而且没有剩余，可以裁成多少块？3）把长132厘米，宽60厘米，厚36厘米的木料锯成尽可能大的，同样大小的正方体木块，锯后不能有剩余，能锯成多少块？4）用长120厘米，宽80厘米的长方形砖块去铺一块正方形地，最少需要多少块砖？5）一盒钢笔可以平均分给2、3、4、5、6个同学，这盒钢笔最少有多少枝？7）每筐梨，按每份2个梨分多1个，每份3个梨分多2个，每份5个梨分4个，则筐里至少有多少个梨？8）现在有香蕉42千克，苹果112千克，桔子70千克，平均分给幼儿园的几个班，每班分到的这三种水果的数量分别相等，那么最多分给了多少个班？每个班至少分到了三种水果各多少千克？9）有三根铁丝，一根长54米，一根长72米，一根长36米，要把它们截成同样长的小段，不许剩余，每段最长是多少米？10）有一级茶叶96克，二级茶叶156克，三级茶叶240克，价值相等．现将这三种茶叶分别等分装袋（均为整数克），每袋价值相等，要使每袋价值最低应如何装袋？11）一次考试，参加的学生中有17得优，13得良，12得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满50人，那么得差的学生有多少人？12）一次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共用了65瓶；平均每2个人饮用一瓶A 饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料.问参加会餐的人数是多少人？13）把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，一共最多有多少个小朋友？14）因夜间施工需要，要把施工区的一条长120米的路边路灯有间隔6米改成间隔4米，除两端不需移动，中间还有几盏不需移动？15）两个数的积是6912，最大公因数是24，求它们的最小公倍数？16）甲、乙、丙三个学生定期向某老师求教，甲每4天去一次，乙每6天去一次，丙每9天去一次，如果这一次他们三人是3月23日都在这个老师家见面，那么下一次三人都在这个老师家见面的时间是几月几日？17）求被5除余2，被6除余3，被7除4的大于1000、小于1500的所有自然数．最大公因数与最小公倍数练习题一、填空：1、如果自然数A除以自然数B商是17，那么A与B的最大公因数是（），最小公倍数是（）。
公因数与公倍数的典型应用
公因数与公倍数的典型应用利用求最大公因数和最小公倍数的方法，可以轻松解决很多用常规方法难以解决的问题。
这种方法究竟有多神奇？让我们一起来看看吧。
【例1】一个房间长90分米，宽66分米。
现计划用正方形方砖铺地，需要用边长最大为多少分米的整砖多少块，才能刚好铺满整个房间？【分析与解】要想用整块边长尽可能大的方砖刚好铺满房间，那么每块方砖的边长必须是90和66的最大公因数。
90和66的最大公因数是6，所以正方形方砖的边长应是6分米。
房间的面积：90×66=5940（平方分米）方砖的面积：6×6=36（平方分米）需要方砖的块数：5940÷36=165（块）此类问题的解题关键是抓住“边长最大”“刚好铺满”等关键词，找出问题的本质――求最大公因数来解决问题。
【例2】把46块水果糖和38块巧克力平均分给一个组的同学，结果水果糖剩1块，巧克力剩3块。
这个组最多有几位同学？【分析与解】如果将多余的1块水果糖和3块巧克力减去，则剩下的水果糖和巧克力刚好分完。
要求出这个小组最多有几位同学，实际就是计算45（46-1）和35（38-3）的最大公因数。
45的因数有1、3、5、9、15、45，35的因数有1、5、7、35，45和35的公因数是5，所以这个组最多有5人。
【例3】红旗印刷厂印刷一批书，每12本扎成一捆，就多出11本；每18本扎成一捆，就少1本。
已知这批书总本数在550～600之间，这批书共有多少本？【分析与解】根据题意，“每12本扎成一捆，就多出11本”，也可理解为每12本扎成一捆，就少1本。
将少的1本先补上，这样书的本数就正好是12和18的倍数。
12与18的最小公倍数是36。
因为这批书的本数在550-600之间，600÷36=16……24，所以书的本数为36×16=576（本）。
再将补上的1本减去，所以这批书总共有576-1=575（本）。
【例4】小明家到学校的路上竖有电线杆55根。
最大公因数与最小公倍数综合应用题练习及答案④
最⼤公因数与最⼩公倍数综合应⽤题练习及答案④最⼤公因数与最⼩公倍数综合应⽤练习及答案（四）1、有⼀些糖果，分给8个⼈或分给10 个⼈，正好分完，这些糖果最少有多少粒？2、有⼀包糖，不论分给8 个⼈，还是分给10 个⼈，都能正好分完。
这包糖⾄少有多少块？3、⼀个数被2除余1，被3除余2，被4除余4，被6除余5，此数最⼩是⼏？4、五年级学⽣参加植树活动，⼈数在30~50之间。
如果分成3⼈⼀组，4⼈⼀组，6⼈⼀组或者8⼈⼀组，都恰好分完。
五年级参加植树活动的学⽣有多少⼈？5、利⽤每⼀⼩块长6 公分，宽4 公分的长⽅形彩⾊瓷砖在墙壁上贴成正⽅形的图案。
问：拼成的正⽅形的⾯积最⼩是多少？6、有⼀堆苹果，每8千克⼀份，9千克⼀份，或10 千克⼀份，都会多出3千克，这堆苹果⾄少有多少千克？7、学校合唱队排练时，如果7 ⼈⼀排就差2 ⼈，8⼈⼀排也差2⼈，合唱队⾄少有多少⼈？8、把37⽀钢笔和38 本书，平均奖给⼏个学习成绩优秀的学⽣，结果钢笔多出⼀⽀，书还缺2本，最多有⼏个学习成绩优秀的同学？9、有24 个苹果，32 个梨，要分装在盘⼦⾥，每盘的苹果和梨的个数相同，最多可以装多少盘？每个盘⼦⾥苹果和梨各多少？10、⾩沙市场是20 路和21 路汽车的起点站。
20 路汽车每3 分钟发车⼀次，21 路汽车每5 分钟发车⼀次。
这两路汽车同时发车以后，⾄少再过多少分钟⼜同时发车？11、中⼼⼩学五年级学⽣，分为 6 ⼈⼀组，8 ⼈⼀组或9 ⼈⼀组排队做早操，都刚好分完。
这个年级⾄少有学⽣多少⼈？12、有⼀盘⽔果，3个3个地数余2个，4个4个数余3，5个5个数余4个，问个盘⼦⾥最少有多少个⽔果？13、有⼀个电⼦表，每⾛9 分钟亮⼀次灯，每到整点响⼀次铃，中午12 点整，电⼦表既响铃⼜亮灯，请问下⼀次既响铃⼜亮灯的是⼏点钟？14、数学兴趣⼩组有24 个男同学，20 个⼥同学，现要分成⼩组，每个⼩组男、⼥同学⼈数分别相同，最多可以分成多少个⼩组？每组⾄少有多少个男同学？多少个⼥同学？15、有38 ⽀铅笔和41 本练习本平均奖给若⼲个好少年，结果铅笔多出 3 ⽀，练习本还缺1 本。
最大公因数与最小公倍数应用题练习
v1.0 可编辑可修改11、有一些糖果，分给8个人或分给10个人，正好分完，这些糖果最少有多少粒解：【8，10】=402、有一包糖，不论分给8个人，还是分给10个人，都能正好分完。
这包糖至少有多少块 解：【8，10】=40（人）3、一个数被2除余1，被3除余2，被4除余4，被6除余5，此数最小是几解：【2，3，4，6】=12 12-1=114、五年级学生参加植树活动，人数在30~50之间。
如果分成3人一组，4人一组，6人一组或者8人一组，都恰好分完。
五年级参加植树活动的学生有多少人解：【3，4，6，8】=24（人） 24×2=48（人）5、利用每一小块长6公分，宽4公分的长方形彩色瓷砖在墙壁上贴成正方形的图案。
问：拼成的正方形的面积最小是多少解：【6，4】=12（公分） 12×12=144（CM2)6、有一堆苹果 ，每8千克一份，9千克一份，或10千克一份，都会多出3千克，这堆苹果至少有多少千克解：【8，9，10】=360 360+3=363kg7、学校合唱队排练时，如果7人一排就差2人，8人一排也差2人，合唱队至少有多少人解：【7，8】=56（人） 56-2=54（人）8、把37支钢笔和38本书，平均奖给几个学习成绩优秀的学生，结果钢笔多出一支，书还缺2本，最多有几个学习成绩优秀的同学 解：37-1=36（本） 38+2=40（本） （36，40）=4（人）9、有24个苹果，32个梨，要分装在盘子里，每盘的苹果和梨的个数相同，最多可以装多少盘每个盘子里苹果和梨各多少 解：（24，32）=8（盘） 24÷8=3（个） 32÷8=4（个）10、阜沙市场是20路和21路汽车的起点站。
20路汽车每3分钟发车一次，21路汽车每5分钟发车一次。
这两路汽车同时发车以后，至少再过多少分钟又同时发车 解：【3，5】=15（分钟）11、中心小学五年级学生，分为6人一组，8人一组或9人一组排队做早操，都刚好分完。
最大公因数与最小公倍数应用题
最大公因数与最小公倍数应用题1、有一些糖果.分给8个人或分给10个人.正好分完.这些糖果最少有多少粒？2、有一包糖.不论分给8个人.还是分给10个人.都能正好分完。
这包糖至少有多少块？3、一个数被2除余1.被3除余2.被4除余4.被6除余5.此数最小是几？4、五年级学生参加植树活动.人数在30~50之间。
如果分成3人一组.4人一组.6人一组或者8人一组.都恰好分完。
五年级参加植树活动的学生有多少人？5、利用每一小块长6公分.宽4公分的长方形彩色瓷砖在墙壁上贴成正方形的图案。
问：拼成的正方形的面积最小是多少？6、有一堆苹果.每8千克一份.9千克一份.或10千克一份.都会多出3千克.这堆苹果至少有多少千克？7、学校合唱队排练时.如果7人一排就差2人.8人一排也差2人.合唱队至少有多少人？8、把37支钢笔和38本书.平均奖给几个学习成绩优秀的学生.结果钢笔多出一支.书还缺2本.最多有几个学习成绩优秀的同学？9、有24个苹果.32个梨.要分装在盘子里.每盘的苹果和梨的个数相同.最多可以装多少盘？每个盘子里苹果和梨各多少？10、阜沙市场是20路和21路汽车的起点站。
20路汽车每3分钟发车一次.21路汽车每5分钟发车一次。
这两路汽车同时发车以后.至少再过多少分钟又同时发车？11、中心小学五年级学生.分为6人一组.8人一组或9人一组排队做早操.都刚好分完。
这个年级至少有学生多少人？12、有一盘水果.3个3个地数余2个.4个4个数余3.5个5个数余4个.问个盘子里最少有多少个水果？13、有一个电子表.每走9分钟亮一次灯.每到整点响一次铃.中午12点整.电子表既响铃又亮灯.请问下一次既响铃又亮灯的是几点钟？14、数学兴趣小组有24个男同学.20个女同学.现要分成小组.每个小组男、女同学人数分别相同.最多可以分成多少个小组？每组至少有多少个男同学？多少个女同学？15、有38支铅笔和41本练习本平均奖给若干个好少年.结果铅笔多出3支.练习本还缺1本。
小学奥数趣味学习《公因数公倍数问题》典型例题及解答
小学奥数趣味学习《公因数公倍数问题》典型例题及解答需要用公因数、公倍数来解答的应用题叫做公因数、公倍数问题。
解题思路和方法:先确定题目中要用最大公因数或者最小公倍数，再求出答案。
最大公因数和最小公倍数的求法，最常用的是“短除法”。
例题1：把一张长72厘米、宽56厘米的长方形纸，裁成相等的正方形纸片（没有剩余），至少能裁成多少片？解：1、根据题目条件，确定正方形的边长与长方形的长和宽之间的关系是求最大公因数。
2、将一张长方形的纸裁成正方形的纸片，说明正方形的边长是长方形长和宽的公因数，再根据“至少能裁成多少片”可以判断正方形的边长是72和56的最大公因数，（72，56）=8，则长可以裁成72÷8=9（个），宽可以裁成56÷8=7（个），所以至少能裁成9×7=63（片）正方形纸片。
例题2：某市有一个三角形公园，三边长分别是498米、612米、582米。
计划每隔相同米数植一棵松树，三个顶点也要栽，并且每相邻两棵树之间的距离要最远。
至少要植松树多少棵？解：1、根据题目条件分析，每两棵之间最远的距离就是498、612、582的最大公因数。
2、（498，612，582）=6，也就是最远每6米植一棵树。
三角形的周长是498＋612＋582＝1692（米），因为在环形路线上植树，棵树与间隔数是相等的，所以至少可以植1692÷6＝282（棵）松树。
例题3：五（1）班的同学野餐时，每两人合用一只饭碗，三人合用一只菜碗，四人合用一只汤碗，共用去65只碗，有多少人参加野餐？解：1、本题关键在于学生根据题目条件确定人数一定是2、3、4的公倍数。
具体的人数还要根据共用去65只碗确定。
2、根据题意，可以判断人数是2、3、4的公倍数，［2，3，4］=12.3、12个人用饭碗6个，菜碗4个，汤碗3个，共计13个。
再根据共用去65只碗，可以判断有12×（65÷13）=60（人）参加野餐。
巧解最大公因数与最小公倍数问题
巧解最大公因数与最小公倍数问题
姓名：
1、两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？
2、有一个三角形花圃，三边的长度分别是56米，36米，24米。
要在这三条边上等距离栽花，并且每两株花之间的距离尽量大，问一共栽多少株花？
3、插一排红旗共26面，原来每两面之间的距离是4米，现在改为5米．如果起点一面不移动，还可以有几面红旗不移动？
4、文化路小学举行了一次智力竞赛。
参加竞赛的人中，平均每15人有3个人得一等奖，每8人有2个人得二等奖，每12人有4个人得三等奖。
参加这次竞赛的共有94人得奖。
求有多少人参加了这次竞赛？得一、二、三等奖的各有多少人？
5、有一批零件，每12个放一盒，就多出11个，每18个放一盒，就少一个，每15个放一盒，就有7盒各多2个，这些零件总数在300到400之间。
这批零件共有多少个？
巩固练习
姓名：
1、已知某数与24的最大公因数是4，最小公倍数是168，求这个数。
2、一块长方形的土地，长为532米，宽为308米，现在它的四角与四周等距离植树并要求
距离最大，求一共可以植树多少棵？
3、公路上一排电线杆，共25根。
每相邻两根间的距离原来都是45米，现在要改成60米，
可以有几根不需要移动？
4、一筐鸡蛋，3个一盒，最后一盒少2个；5个一盒，最后一盒多1个；7个一盒，最后四
盒各多2个。
这些鸡蛋至少有多少个？
5、甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑5米，他们在600米的环形跑道上从同一起点同时出发，经过多少时间他们又一次在起点同时出发？。
用最大公因数与最小公倍数解决问题解读
一、用公因数知识解决生活问题。
1、用96朵红玫瑰和72朵白玫瑰做成花束。 如果每个花束里的红玫瑰和白玫瑰的朵 数相同且没有剩余，最多可以做多少个 花束？每个花束里至少要有几朵束？
每个花束里的红玫瑰和白玫瑰的朵数相 同，又要求花束的个数最多，所以花束的 个数应该是96和72的最大公因数。
（96，72）=24 96÷24＋72÷24=7（朵）
3、今有梨320个、糖果240个、饼干200个，将这 些东西分成相同的礼品包送给儿童，但包数要最多， 则每包有多少个梨？有多少个糖果？有多少个饼干？ 320、240和200的最大公因数是：40
梨：320÷40=8（个）
糖果：240÷40=6 （个） 饼干：200÷40=5（个） 答：每包有8个梨。有6个糖果。有5个饼干。
李阿姨今天给月季和君子兰同时浇了水，至少多少天 以后给这两种花同时浇水？
月季每5天浇一次水， 君子兰每6天浇一次水。
5和6的最小公倍数是：30 所以至少30天以后给这两种花同时浇水。
上 回 下
人民公园是3路和5路汽车的起点站。3 路：每隔6分钟发车一次，5路：每隔8 分钟发车一次。它们同时发车以后， 至少再过多多少分钟又同时发车？
A、可以用列举法解答 B、24＋31=55（天） 55÷12=4（次）……7（天） 4＋1=5（次）
例2：美美客运有A、B两种车，A车每45分发车一次， B车每1小时发车一次，两车同时由上午6点发车，下 一次同时发车是什么时候？
解： 〔45，60〕＝180 180÷60＝3（时）
15
45
3
60
4
15×3×4＝180
30÷6=5（人） 30÷5=6（人） 30÷15=2（人） 答：要使加工生产均衡，第一道工序至少分配5人， 第二道工序至少分配6人，第三道工序至少分配2人。
最大公因数与最小公倍数应用题
最大公因数与最小公倍数应用题1、有一些糖果,分给8个人或分给10个人,正好分完,这些糖果最少有多少粒2、有一包糖,不论分给8个人,还是分给10个人,都能正好分完.这包糖至少有多少块3、一个数被2除余1,被3除余2,被4除余4,被6除余5,此数最小是几4、五年级学生参加植树活动,人数在30~50之间.如果分成3人一组,4人一组,6人一组或者8人一组,都恰好分完.五年级参加植树活动的学生有多少人5、利用每一小块长6公分,宽4公分的长方形彩色瓷砖在墙壁上贴成正方形的图案.问：拼成的正方形的面积最小是多少6、有一堆苹果,每8千克一份,9千克一份,或10千克一份,都会多出3千克,这堆苹果至少有多少千克7、学校合唱队排练时,如果7人一排就差2人,8人一排也差2人,合唱队至少有多少人8、把37支钢笔和38本书,平均奖给几个学习成绩优秀的学生,结果钢笔多出一支,书还缺2本,最多有几个学习成绩优秀的同学9、有24个苹果,32个梨,要分装在盘子里,每盘的苹果和梨的个数相同,最多可以装多少盘每个盘子里苹果和梨各多少10、阜沙市场是20路和21路汽车的起点站.20路汽车每3分钟发车一次,21路汽车每5分钟发车一次.这两路汽车同时发车以后,至少再过多少分钟又同时发车11、中心小学五年级学生,分为6人一组,8人一组或9人一组排队做早操,都刚好分完.这个年级至少有学生多少人12、有一盘水果,3个3个地数余2个,4个4个数余3,5个5个数余4个,问个盘子里最少有多少个水果13、有一个电子表,每走9分钟亮一次灯,每到整点响一次铃,中午12点整,电子表既响铃又亮灯,请问下一次既响铃又亮灯的是几点钟14、数学兴趣小组有24个男同学,20个女同学,现要分成小组,每个小组男、女同学人数分别相同,最多可以分成多少个小组每组至少有多少个男同学多少个女同学15、有38支铅笔和41本练习本平均奖给若干个好少年,结果铅笔多出3支,练习本还缺1本.得奖的好少年有多少人16、两个整数的最小公倍数为140,最大公约数为4,且小数不能整除大数,求这两个数.17、已知A与B的最大公约数为6,最小公倍数为84,且A=42,求B18、两个数的最大公因数为12,最小公倍数为180,且这两个数不是倍数,求这两个数19、有一个数是4、5、6的倍数,这个数最小是多少20、甲、乙、丙三人早晨在体育场跑步,甲跑完一圈要3分钟,乙跑完一圈要7分钟,丙跑完一圈要6分钟,三人同时从起点出发,经过多长时间三人再次在起点处相遇21、美美客运有A、B两种车,A车每45分发车一次,B车每1小时发车一次,两车同时由上午6点发车,下一次同时发车是什么时候22、上一次9月18号五年级一班去划船,他们算一下,如果增加一条船,正好每船坐6个,如果减少一条船,正好每船坐9人,这个班有多少人23、有一块长方形纸板,长24厘米,宽15厘米,将这块纸板裁成同样大小的正方形,不能有剩余,每块小正方形的边长是最长是多少可以裁成多少块24、一张长方形纸,长96厘米,宽60厘米,如果把它裁成同样大小且边长为整厘米的最大正方形,且保持纸张没有剩余,每个正方形的边长是几厘米每个正方形的面积是多少可以裁多少个这样的正方形25、甲乙两数公因数为15,720为公倍数为,当这两个数为何值时,它们的差最小.26、已知A和B的最大公约数是31,且A×B=5766,求A和B.27、五1班和五2班两个班的同学去野炊,吃饭时,他们3人一个菜碗,4人一个汤碗,他们共用了28个碗,这两个班参加野炊的同学共有多少人28、一盒铅笔,可以平均分给4,5,6个小朋友,都没有剩余,这盒铅笔最少有多少只29、王伯伯有三个小孩,老大3天回家一次,老二4天回家一次,老三6天回家一次,这次10月1日一起回家,则上一次是几月几日一起回家30、有一包奶糖,无论分给6个小朋友,8个小朋友,还是10个小朋友,都正好分完,这包糖至少有多少块31、某公共汽车站有三条不同线路,1路车每隔6分钟发一辆,2路车每隔10分钟发一辆,3路车每隔12分钟发一辆,三路车在早上8点同时发车后,至少再到什么时候又可以同时发车32、王师傅找到一块长72厘米,宽60厘米,高48厘米的长方体木料,王师傅把它锯成同样大小的正方体木块,木块的体积最大,不能有剩余,算一算,可以锯成多少块33、、一个班90-100人,上体育课站队时,无论每行站16人,还是每行站24人,都正好是整行,这个班有多少人34、用一个数去除52,余4,再用这个数去除40,也余4,这个数最大是多少35、把19支钢笔和23个软面抄平均奖给几个三好学生,结果钢笔多出了3支,软面抄也多出了3个,得奖的学生最多有几人36、、一次聚餐提供三种饮料,餐后统计三种饮料共用65瓶,平均每2个人饮用一瓶A饮料,每3人用一瓶B饮料,每4人饮用一瓶C饮料,请问参加聚餐的有多少人37、张林、李强都爱在图书馆看书,张林每4天去一次,李强每6天去一次,有一次他们两人在图书馆相遇,至少再过多少天他们又可以在图书馆相遇38、一个自然数,去除22少2,去除34也少2,这个自然数最大是几39、一个数除73余1,除98余2,除147余3,这个数最大应是多少40、有一批作业本,无论是平均分给10个人,还是12个人,都剩余4本,这批作业本至少有多少本41、有一箱卡通书,把它平均分给6个小朋友,多出1本；平均分给8个小朋友,也多出1本；平均分给9个小朋友,还是多1本,这箱卡通书最少有多少本42、五年级同学参加社区服务活动,人数在40和50之间,如果分成3人一组,4人一组或6人一组都正好缺一人,五年级参加活动的一共有多少人43、有一篮鸡蛋,两个两个去数,余1个；三个三个去数,余2个；四个四个去数,余3个,这篮鸡蛋至少有多少个44、某学校暑假期间安排王老师生4天值一次班,李老师每6天值一次班,张老师每8天值一次班,如果7月1日他们三人同一天值班,下一次他们三人同一天值班是几月几日45、李老师要把84本语文课本,70本数学课本,56本自然课本,平均分为若干堆,每堆中这三种课本的数量分别相等,那么最多可以分成多少堆每堆中有语文、数学、自然课本各多少本46、缝纫店有一块长40分米,宽25分米的布料,现在顾客要求把它裁成正方形小布块不能有剩余,块数又要求最少,那么裁成的正方形不布块面积有多大47、有两根钢管,一根长25米,一根长20米,把它们锯成同样长的小段,使每根不许有剩余,每段最长几米一共要锯几次48、开学初,学校准备了96个黑板擦,72把扫帚,48个纸篓,平均分给各个班.每一种物品的个数都对应相等,最多可分给多少个班每种物品各几个49、从运动场的一端到另一端全长120米,从一端起到另一端每隔4米插一面小红旗,现在要改成每隔6米插一面小红旗,最多有多少面小红旗不必移动50、某市有一个三角形公园,三边长分别为498米,612米,528米.计划在公园周围每隔若干米植一棵樟树,并且每两棵之间的距离最远,每两棵树相隔多远植了多少棵51、爸爸拿了216元钱去买一种书,正好把钱用完,如果每本书降价1元钱,则可以多买3本,钱也正好用完,爸爸一共买了多少本书。
用最大公因数与最小公倍数解决问题
b、园林工人在公路的一旁栽树共61棵，每隔4米栽了一棵。现在 要改成每隔6米栽一棵树，如果起点的一棵树不移栽，那么不用
移栽的树共有多少棵？
61-1=60（个） 60×4=240（米） 4和6的最小公倍数是12 240÷12+1=21（棵） 答：那么不用移栽的树共有21棵。
林東昱 許育瑋
製
例2：美美客运有A、B两种车，A车每45分发车一次， B车每1小时发车一次，两车同时由上午6点发车，下，60]＝180
180÷60＝3（时） 6＋3＝9（时）
3×5×3×4＝180
答 :下一次同时发车上午9时。
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林東昱 許育瑋
製
例3：王伯伯有两个小孩，老大3天回家一次，老二4 天回家一次，老三6天回家一次，这次10月1日一起回 家，则下一次是几月几日一起回家？
例1：数学兴趣小组有24个男同学，20个女同学，现要分成小 组，每个小组男、女同学人数分别相同，最多可以分成多少个
小组？每组至少有多少男同学？多少女同学？
24和20的最大公因数是：4 男同学：24÷4=6（个） 女同学：20÷4=5（个）
答：最多可以分成4组，每组至少有6个男 同学，5个女同学。
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［13,4］=52 13×4= 52
想一想：两个数的乘积与最大公因数以及最小公倍 数之间有什么关系？
两个数的乘积等于这两个数的最大公因数和这两个 数最小公倍数的乘积。
思考：
• 两个数的最小公倍数是180，最大公因数是 30，已知其中一个数是90，那么另一个数 是多少？ 180×30÷90=60
答：那么另一个数是60。
公因数和公倍数应用题 - 答案
公因数和公倍数应用题答案例1．媛媛、妈妈和爸爸在学校的圆形塑胶跑道晨练，媛媛每圈要5分钟，妈妈每圈4分钟，爸爸每圈3分钟．开始同时跑，至少要经过多少分钟他们三人才跑在一齐？考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：由于他们跑一周所用时间各不相同，则爸爸妈妈和小明同时起跑，第一次在起点三人同时相遇所用时间应是三人各跑一周所用时间的最小公倍数，可以通过求5、4、3的最小公倍数的方法求出他们三人才跑在一齐的时间．解答：解：他们跑一周所用时间各不相同，则爸爸妈妈和小明同时起跑，第一次在起点三人同时相遇所用时间应是三人各跑一周所用时间的最小公倍数，5、3、4的最小公倍数是5×3×4=60，即至少要经过60分钟他们三人才跑在一齐．点评：此题考查了学生运用求最小公倍数的方法解决行程问题的能力．例2．在一张长25厘米、宽20厘米的长方形纸上画尽可能大的正方形，要求充分利用纸，不能有剩余，且每个正方形要同样大．你能画多少个？考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：在一张长25厘米、宽20厘米的长方形纸上画同样大小3面积尽可能大的正方形，纸没剩余，则只要求出25和20的最大公因数，就是正方形的边长，然后用总面积除以正方形面积，即可得解．解答：解：25=5×520=2×2×5所以25和20的最大公因数是5，即面积尽可能大的正方形的边长是5厘米；（25×20）÷（5×5）=（25÷5）×（20÷5）=5×4=20（个）；答：能画20个．点评：灵活应用最大公因数的求解来解决实际问题．本题关键是运用求最大公因数的方法，求出最大正方形的边长的长度．例3．园林处需要60﹣70人帮忙植树，附近某中学组织一批学生参加这次植树活动，到现场分组时，发现每2人一组，或每3人一组，或每5人一组均多一人，参加这次植树活动的学生有61人．考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：明确要求的问题即：60和70之间的比2、3、5的公倍数多1的数，先求出2、3、5的公倍数，然后加上1，进而找出符合题意的即可．解答：解：2、3、5的公倍数有：30、60、90、…，所以60和70之间的比2、3、5的公倍数多1的数是：60+1=61，即：参加这次植树活动的学生有61人；故答案为：61．点评：明确要求的问题即：60和70之间的比2、3、5的公倍数多1的数，是解答此题的关键．例4．甲、乙、丙三个班的同学去公园划船，甲班49人，乙班56人，丙班63人，把各班同学分别分成小组，乘坐若干条小船，使每条船上人数相等，最少需要7条船．考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：首先求得49、56、63的最大公约数（7），即是所求的船数，每一个数对应除以7相加得和，也就是每一条船应当上的人数，由此解决问题．解答：解：49、56、63的最大公约数是7，也就是船数；每一条船上的人数：49÷7+56÷7+63÷7，=7+8+9，=24（人）．答：最少要有7条船；故答案为：7．点评：解决此题的关键是求几个数的最大公约数，进一步结合实际理解为船数即可解决问题．演练方阵A档（巩固专练）一．选择题（共15小题）1．有两根长分别是40分米和90分米的木条，现在要把它们锯成同样长的小段（每段长度的分米数都是整数，而且不能有剩余），两根木条共能锯成（）段．A．5B．9C．13考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：先分别把40、90分解质因数，求出它们的最大公因数，就是每段的长度，再用40和90的和除以每段的长度求出一共锯成的段数．解答：解：40=2×2×2×590=2×3×3×540和90的最大公因数为2×5=10（40+90）÷10=13（段）答：两根木条共能锯成13段．故选：C．点评：此题主要考查两个数的最大公因数的求法，并用此解决实际问题．2．有2007盏亮着的灯，各有一个拉线开关控制着，拉一下拉线开关灯会灭掉，再拉一下灯由灭变亮，现按其顺序将灯编号为1，2，…，2007，然后将编号为2的倍数的灯线都拉一下，再将编号为3的倍数的灯线都拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线都拉一下，三次拉完后亮着的灯有多少盏（）A．998 B．535 C．1003 D．1004考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：由于有2007盏亮着的电灯，现按其顺序编号为l，2，…，2007，那么编号为2的倍数的灯有[（﹣1）÷2]只，编号为3的倍数的灯有（÷3）只，编号为5的倍数的灯的有[（﹣2）÷5]只，利用这些数据即可求出3次拉完后亮着的灯数．拉1次和3次的灯熄灭，拉2次和没有拉的灯仍然亮着．解答：解：∵有2007盏亮着的电灯，现按其顺序编号为l，2， (2007)∴编号为2的倍数的灯有（﹣1）÷2=1003只，编号为3的倍数的灯有2007÷3=669只，编号为5的倍数的灯的有（﹣2）÷5=401只，其中既是3的倍数也是5的倍数有（﹣12）÷15=133，既是2的倍数也是3的倍数有（﹣3）÷6=334，既是2的倍数也是5的倍数有（﹣7）÷10=200，既是2的倍数也是5的倍数，还是3的倍数有（﹣27）÷30=66，只拉1次的：1003﹣334﹣200+66=535，669﹣334﹣133+66=268，401﹣200﹣133+66=134，拉3次的66，所以亮的就是2007﹣535﹣268﹣134﹣66=1004只．故选D．点评：此题主要考查了最小公倍数的应用，解题时根据数的整除性首先分别求出2、3、5的倍数的个数，然后列出6，15，10，30的倍数的个数，然后利用容斥关系即可解决问题．3．一间教室长9米，宽7.2米，计划在地面上铺方砖，选边长（）的方砖能使地面都是整块方砖．A．5分米B．6分米C．1米D．无法确定考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：先换算单位长9米=90分米，宽7.2米=72分米，再找到90，72的公约数即可作出选择．解答：解：9米=90分米，宽7.2米=72分米，90=2×3×3×5，72=2×2×2×3×3故选项中只有6是90，72的公约数．故选：B．点评：考查了图形的密铺，同时是对求两个数的公约数的考查．注意单位换算．4．装修一间长4米，宽3.2米的房间，要铺正方形砖，选用边长为（）厘米的砖损耗会较小．A．30 B．40 C．60 D．80考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：把4米和3.2米化成以分米为单位即分别是40分米及32分米，然后求出40与32的最小公倍数，这样基本上不需要切割方砖，损耗会较小．解答：解：4米=40分米，3.2米=32分米40=2×2×2×532=2×2×2×2×2最小公倍数是2×2×2=88分米=80厘米答：选用边长为80厘米的砖损耗会较小．故选：D．点评：本题关键是理解：选择的方砖的边长就是4米和3.2米的最小公倍数，这样损耗的小．5．一张长16厘米，宽14厘米的长方形纸，要分成大小相等的小正方形，且没有剩余．最小可以分成（）A．56个B．112个C．16个D．14个考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：要把一张长16厘米，宽14厘米米的长方形纸裁成同样大小，面积尽可能大的正方形，纸没剩余，则只要求出16和14的最大公因数，就是正方形的边长，然后用总面积除以正方形面积，即可得解．解答：解：16=2×2×2×2，14=2×7，所以16和14的最大公因数是2，即面积尽可能大的正方形的边长是2厘米；（16×14）÷（2×2）=（16÷2）×（14÷2）=8×7=56（个）答：最小可以分成56个．故选：A．点评：这道题的关键就是求16与14的最大公因数，也就是求出正方形的边长，进而解决问题．6．有一篮子鸡蛋，8个人来分，或者10个人来分，都正好分完，这筐鸡蛋至少有（）A．30个B．60个C．40个考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：即求出8和10的最小公倍数，先把8和10进行分解质因数，这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积是这两个数的最小公倍数；据此进行解答即可．解答：解：8=2×2×2，10=2×5，所以8和10的最小公倍数是2×2×2×5=40，即这筐鸡蛋至少有40个．故选：C．点评：此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答．7．把一袋苹果平均分给8个小朋友或10个小朋友都正好分完，这袋苹果最少有（）个．A．80 B．40 C．20 D．10考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：由题意可知，这袋苹果的数量一定是8、10的公倍数，先求出8、10的最小公倍数，由于数量最少，最小公倍数就是这袋苹果的最少个数，由此得解．解答：解：8=2×2×2，10=2×5，8和10的最小公倍数是2×2×2×5=40，答：这袋苹果最少有40个．故选：B．点评：解答此题的关键是先求出8和10的最小公倍数，进行解答即可．8．一个单位集合，每排4人、5人、或者7人，最后一排都只有2人，这个单位最少有（）人．A．112 B．122 C．132 D．142考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：由每排4人、5人或7人，最后一排都只有2人可知：这个单位总人数减去2人就是4、5、7的公倍数，求至少有多少人，即求出4、5、7的最小公倍数加2即可解答．解答：解：4=2×2；所以4、5、7的最小公倍数是：2×2×5×7=140；即这个单位总人数为：140+2=142（人）故选：D．点评：解答本题的关键是把问题转化为求最小公倍数的问题．9．一筐苹果，2个一拿，3个一拿，4个一拿，5个一拿都正好拿完而没有剩余，这筐苹果至少应有（）A．120个B．60个C．30个D．90个考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：一筐苹果，2个一拿，3个一拿，4个一拿，5个一拿都正好拿完而没有余数，说明这框苹果是2、3、4、5的倍数，因为4是2的倍数，只要是3、4、5的倍数就一定也是2的倍数，所以只要求出3、4、5的最小公倍数，即可得解．解答：解：3、4、5两两互质，所以3、4、5的最小公倍数是3×4×5=60（个），答：一筐苹果，2个一拿，3个一拿，4个一拿，5个一拿都正好拿完而没有余数，这筐苹果最少应有60个．故选：B．点评：灵活运用求几个数的最小公倍数的方法来解决实际问题．10．五（2）班同学不到50人，在一次大扫除活动中，其中的打扫包干区，的同学打扫教室，五（2）班有（）人．A．36 B．48 C．42 D．无法知道考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：和都是最简形式，所以这个班的人数是6和7的最小公倍数的倍数，6和7的最小公倍数是42，而且这个班的人数不到50人，所以这个班只能是42人．解答：解：根据题干分析可得：这个班的人数是6和7的最小公倍数的倍数，6和7的最小公倍数是42，而且这个班的人数不到50人，所以这个班只能是42人．答：五（3）班共有42人．故选：C．点评：本题考查了公倍数应用题．解答此题的关键是明确这个班的总人数必定是6、7的公倍数．11．六一儿童节，王老师买了29个苹果和33块巧克力平均奖励给参加表演的同学，结果苹果多2个，巧克力少3块，那么参加表演的同学有（）人．A．7B．9C．27 D．35考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：根据题意，苹果多2个，巧克力少3块，也就是说把苹果个数减去2个，巧克力加上3块，正好分完．也就是求27和36的最大公约数．解答：解：29﹣2=27（个），33+3=36（个）；27=3×3×3，36=3×3×4，27和36的最大公约数是3×3=9．因此参加表演的同学有9人．答：参加表演的同学有9人．故选：B．点评：此题解答的关键在于条件转化，通过分解质因数，求出两个数的最大公约数，解决问题．12．盒子里有若干个鸡蛋，每次取4个和6个，都剩下1个，这盒鸡蛋至少有（）个．A．12 B．24 C．13 D．25考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：根据题意，先求出4和6的最小公倍数，然后加上1即可．解答：解：4=2×2，6=2×34和6的最小公倍数是2×2×3=12因此这盒鸡蛋至少有12+1=13（个）答：这盒鸡蛋至少有13个．故选：C．点评：此题解答的关键在于求出4和6的最小公倍数，然后加上剩余的数量，解决问题．13．甲每3天去少年宫一次，乙每4天去一次，丙每6天去一次，如果6月1日甲、乙、丙同时去少年宫，则下次同去少年宫应是（）A．6月12日B．6月13日C．6月24日D．6月25日考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：根据题意，是求3、4、6的最小公倍数，就是求4、6的最小公倍数，首先把这两个数分解质因数，它们的公有质因数和各自独有质因数的乘积就是它们的最小公倍数，然后进行推算日期即可．解答：解：把4、6分解质因数：4=2×2；6=2×3；4、6的最小公倍数是：2×2×3=12；他们再过12天同去少年宫；1+12=13（日），即6月13日．故选：B．点评：此题属于求最小公倍数问题，求3个数的最小公倍数，利用分解质因数的方法，它们的公有质因数和各自独有质因数的乘积就是它们的最小公倍数．14．花店里有菊花51枝，百合花25枝，如果用7枝菊花、4枝百合花扎成一束，这些花最多可以扎成（）束这样的花束．A．7B．6C．8考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：（1）根据题干，7枝菊花扎成一束，要求可以扎几束菊花，根据除法的意义，只要求出51里面有多少个7，即可解答；（2）4枝百合扎成一束，要求最多扎几束，根据除法的意义，只要求出25里面最多有几个4，即可解答；根据上面（1）（2）求出的结果，取二个答案的最小值，即可解答．解答：解：51÷7=7（束）…2（朵），25÷4=6（束）…1（朵），答：这些花最多可以扎成6束这样的花束．故选：B．点评：完成本题要注意，由于剩下的2朵菊花、1朵百合花都不能扎成一束花了，所以只能扎6束．15．一张长30厘米，宽18厘米的长方形纸，要分成大小相等的小正方形，且没有剩余．最少可分成（）A．12个B．15个C．9个考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：要想使分成的小正方形个数最少，那么要使小正方形的边长最大，由此只要求得小正方形的边长最大是多少，也就是求得30和18的最大公因数是多少，由此即可求出小正方形的最大边长，进而求得分得的小正方形的个数．解答：解：30和18的最大公因数是6，所以小正方形的边长为6厘米，（18÷6）×（30÷6），=3×5，=15（个），故选：B．点评：根据题干得出，当小正方形边长最长时分得的小正方形个数最少，最长边长就是这两个数的最大公因数，这是解决本题的关键．二．填空题（共9小题）16．小华、小明和小芳都去参加游泳训练．小华每4天去一次，小明每6天去一次，小芳每8天去一次．7月10日三人都去参加了游泳训练，下一次一起参加训练是8月3日．考点：公因数和公倍数应用题；日期和时间的推算．专题：约数倍数应用题．分析：因为4，6，8的最小公倍数是24，所以下一次就是24天后一起去的，据此解决即可．解答：解：因为4，6，8的最小公倍数是24，7月份有31天，7月10日一起去的，本月还有21天，24天后就是8月3日．所以下次一起去参加训练是：8月3日．故答案为：8，3．点评：本题考查最小公倍数问题，注意最小公倍数的找法．17．一次考试，参加的学生中有得优，得良，得中，其余全部不及格，参加考试的同学有八十多名，得优的同学有14名．考点：公因数和公倍数应用题．分析：根据“参加的学生中得优，得良，得中”，因为人数必须是整数，所以确定参加考试的学生人数一定得是6、3和7的倍数，再根据“参加考试的同学有八十多名”，可确定这三个数的最小公倍数符合题意，再求出得优人数占的分率，进而求出得优的具体人数即可．解答：解：因为6、3和7的最小公倍数是42，参加考试的同学有八十多名，所以参加考试的学生人数是42×2=84，得优的学生人数：84×=14（名）；答：得优的同学有14名．故答案为：14．点评：解决此题关键是根据人数必须是整数，把实际问题转化成是求三个分数分母的最小公倍数，从而问题得解．18．一篮小球，3个3个的数，余2个，4个4个数，余3个，5个5个数，余4个，这篮小球最少是有59个．考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：“3个3个的数，余2个，4个4个数，余3个，5个5个数，余4个余数相同”，可以看做“3个3个的数，差1个，4个4个数，差1个，5个5个数，差1个”只要求出3、4和5的最小公倍数，然后再减去1，即可得解．解答：解：3、4、5互质，所以3、4、5的最小公倍数是3×4×5=60，60﹣1=59（个），答：这篮小球最少是有59个；故答案为：59．点评：灵活应用同余定理和求几个数的最小公倍数的方法来解决实际问题．19．一间长35分米宽28分米的客房地面要铺正方形地砖，需选边长为7分米的方砖才能既整洁又节约．考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：要使方砖才能既整洁又节约，那么就要没有剩余，也就是方砖的边长应是房间长和宽的最大公因数，由此求解即可．解答：解：35=5×728=2×2×735和28的最大公因数是7所以需选边长为7分米的方砖才能既整洁又节约．故答案为：7．点评：解决本题关键是正确的求出长方形房间长和宽的最大公因数．20．笑笑有一些书，分别平均分给5人、6人、7人后，都剩下4本，这些书至少有214本．考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：已知这摞书分别平均分给5人、6人、7人后，都剩下3本，求这摞书的最小数量，可以求5、6、7的最小公倍数，然后再加上4，即可得解．解答：解：因为5、6、7互质，它们的最小公倍数是：5×6×7=210，210+4=214（本）；答：这摞书至少有214本．故答案为：214．点评：余数相等，求出最小公倍数，再加上余数，即可求出总数．即为同余问题．21．有一包糖果数量在100～150之间，无论是分给8个人，还是分给10个人，都能正好分完，这包糖果有120块．考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：糖果数量在100～150之间，即求100～150之间8、10两个数的公倍数，由此解答即可．解答：解：8=2×2×210=2×5所以8和10的最小公倍数是2×2×5=40；40×2=8040×3=120答：糖果数量在100～150之间，这包糖果有120块，故答案为：120．点评：此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数、两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答．22．有一堆糖块，在80～100块之间，不论分给8个人还是10个人，都多7块．这堆糖有87块．考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：根据题意可知，从这堆糖的块数就是8和10的公倍数加7，所以先求出8和10的最小公倍数，再根据“在80～100块之间”来确定数值．解答：解：8=2×2×210=2×52×2×2×5=4040×2+7=87（块）答：这堆糖有87块．故答案为：87．点评：此题主要考查两个数的最小公倍数的求法及其应用，注意根据实际情况解决实际问题．23．小王和小张经常去图书馆看书，小王每隔6天去一次，小张每隔8天去一次．5月1日两人同时在图书馆，5月25日他们在图书馆再次相遇．考点：公因数和公倍数应用题；日期和时间的推算．专题：约数倍数应用题．分析：由题意可知：要求下一次都到图书馆是几月几日，先求出6和8的最小公倍，因为6和8的最小公倍数是24，即5月1日再经24天两人都到图书馆，此题可解．解答：解：6=2×3，8=2×2×2，6与8的最小公倍数是2×2×3=24，即再经24天两人都到图书馆，5月1日+24日=5月25日；答：5月25日他们在图书馆再次相遇．故答案为：5月25日．点评：此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答．24．（•贵州模拟）把两根长分别是24厘米和36厘米的木料，平均锯成若干段，每段最长12厘米，要锯3次．考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：每根木料最长的长度应是36厘米和24厘米的最大公因数，先把36和24进行分解质因数，这两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公因数；然后分别求出两根木料分成的次数，进而把两根木料分成的次数相加即可．解答：解：36=2×2×3×3，24=2×2×2×3，所以36和24的最大公因数是：2×2×3=12，即每段木料最长的长度应是12厘米；（36÷12）﹣1+（24÷12）﹣1=3﹣1+2﹣1=3（次）答：每段最长12厘米，要锯3次．故答案为：12，3．点评：此题考查了求两个数的最大公因数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数；数字大的可以用短除法解答．三．解答题（共4小题）25．一条公路由A经B到C．已知A、B相距300米，B、C相距200米．现在路边植树，要求相邻两树间的距离相等，并在B点及AB、BC的中点上都要植一棵，那么两树间的距离最多有多少米？考点：公因数和公倍数应用题；植树问题．专题：约数倍数应用题．分析：这是一个求最大公约数的问题，设AB的中点为E，那么EB=300÷2=150米，设BC 的中点为D，那么BD=200÷2=100米．求出E到D之间相邻两树间最大的距离，那么这个距离也就是整条路相邻两棵树之间的最大距离．即求出150和100两个数的最大公约数即可．解答：解：AB的中点为E，那么EB=300÷2=150米，设BC的中点为D，那么BD=200÷2=100米．150=2×3×5×5；100=2×2×5×5；所以150和100的最大公约数是：2×5×5=50．答：两树间距离最多有50米．点评：把本题转化为求150和100这两个数的最大公约数是解题关键．26．2014年世界园艺博览会在青岛举行，实验小学准备举办艺术节，迎接园艺博览会的到来．瞧，合唱队正在排练，队员们如果18人站一排，则余2人，如果24人站一排，则余2人，这个合唱队至少有多少人？考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：本题实质上是求18、24的最小公倍数，求最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，对于两个数来说：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数．因为余2人，因此，用最小公倍数加上2即可，都由此解决问题即可．解答：解：18=2×3×3，24=2×2×2×3，所以18、24的最小公倍数是2×2×2×3×3=7272+2=74（人）答：这个合唱队至少有74人．点评：此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．27．把55瓶雪碧和31瓶可乐平均分给同样多个小组，都正好缺1瓶．这些饮料最多可分给几个小组？若分别再买一瓶，每个小组分得两种饮料各多少瓶？考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：由题意可知：把55瓶雪碧和31瓶可乐平均分给同样多个小组，都正好缺1瓶．所以55+1=56，31+1=32，根据求两个数的公因数的方法，求出56和32的公因数，即可求出这些饮料最多可分给几个小组，进而求出每个小组分得两种饮料各多少瓶．据此解答．解答：解：55+1=56，31+1=32，56和32的公因数有：1、2、4、8，其中最大公因数是8，所以这些饮料最多可分给8个小组．56÷8=7（瓶），32÷8=4（瓶），答：这些饮料最多可分给8个小组，每个小组分得雪碧7瓶、可乐4瓶．点评：此题考查的目的是理解掌握公因数的意义，以及求两个数的最大公因数的方法及应用．28．有一批作业本，平均分给3个，4个人，5个人都可以，正好没有剩余，这批作业本至少有多少本？考点：公因数和公倍数应用题．专题：约数倍数应用题．分析：由题意可知，这批作业本的数量一定是3、4、5的公倍数，先求出3、4、5的最小公倍数是60，由于数量最少，最小公倍数就是这批作业本的最少数，由此得解．解答：解：因为3、4、5的最小公倍数是60，所以这批作业本至少有60本．答：这批作业本至少有60本．点评：此题解答的关键是通过题意，进行分析，得出实际上是求这三个数的最小公倍数，用求最小公倍数的方法即可得出．B档（提升精练）一．选择题（共15小题）1．星期五，小梅、小军和小芳三个同学在图书馆相会．从这天开始，他们就按这个规律去图书馆，那么三人下一次在图书馆相会时是（）A．星期二B．星期四C．星期三考点：公因数和公倍数应用题；日期和时间的推算．专题：约数倍数应用题．分析：要求下一次都到图书馆是几月几日，先求出他们再次都到图书馆所需要的天数，小梅隔1天来一次，也就是2天来一次，小军隔2天来一次，也就是3天来一次，小芳隔3天来一次，也就是4天来一次，因为4是2的倍数，所以求3，4的最小公倍数即可，3和4的最小公倍数是12；所以上次他们在星期五在图书馆相遇，再过12日他俩就都到图书馆，即经过1周多5天，也就是下一次都到图书馆是星期六；据此解答．解答：解：因为4是2的倍数，所以求3，4的最小公倍数，因为3和4是互质数，所以3和4的最小公倍数是：3×4=12；也就是说他俩再过12日就能都到图书馆，上次他们在星期五在图书馆相遇，再过12日他俩就都到图书馆，即经过1周多5天，也就是下一次都到图书馆是星期三；因为管理员闭馆，次日再来，所以星期四来．答：下次他们在图书馆相遇时在星期四．。
最大公因数与最小公倍数综合应用题练习及答案④
最大公因数与最小公倍数综合应用练习及答案（四）1、有一些糖果，分给8个人或分给10个人，正好分完，这些糖果最少有多少粒？2、有一包糖，不论分给8个人，还是分给10个人，都能正好分完。
这包糖至少有多少块？3、一个数被2除余1，被3除余2，被4除余4，被6除余5，此数最小是几？4、五年级学生参加植树活动，人数在30~50之间。
如果分成3人一组，4人一组，6人一组或者8人一组，都恰好分完。
五年级参加植树活动的学生有多少人？5、利用每一小块长6公分，宽4公分的长方形彩色瓷砖在墙壁上贴成正方形的图案。
问：拼成的正方形的面积最小是多少？6、有一堆苹果，每8千克一份，9千克一份，或10千克一份，都会多出3千克，这堆苹果至少有多少千克？7、学校合唱队排练时，如果7人一排就差2人，8人一排也差2人，合唱队至少有多少人？8、把37支钢笔和38本书，平均奖给几个学习成绩优秀的学生，结果钢笔多出一支，书还缺2本，最多有几个学习成绩优秀的同学？9、有24个苹果，32个梨，要分装在盘子里，每盘的苹果和梨的个数相同，最多可以装多少盘？每个盘子里苹果和梨各多少？10、阜沙市场是20路和21路汽车的起点站。
20路汽车每3分钟发车一次，21路汽车每5分钟发车一次。
这两路汽车同时发车以后，至少再过多少分钟又同时发车？11、中心小学五年级学生，分为6人一组，8人一组或9人一组排队做早操，都刚好分完。
这个年级至少有学生多少人？12、有一盘水果，3个3个地数余2个，4个4个数余3，5个5个数余4个，问个盘子里最少有多少个水果？13、有一个电子表，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子表既响铃又亮灯，请问下一次既响铃又亮灯的是几点钟？14、数学兴趣小组有24个男同学，20个女同学，现要分成小组，每个小组男、女同学人数分别相同，最多可以分成多少个小组？每组至少有多少个男同学？多少个女同学？15、有38支铅笔和41本练习本平均奖给若干个好少年，结果铅笔多出3支，练习本还缺1本。
利用最大公因数和最小公倍数解决实际问题。
利用最大公因数和最小公倍数解决实际问
题。
利用最大公因数和最小公倍数解决实际问题
引言
最大公因数的应用
最大公因数是指两个或多个数中最大的能够整除所有给定数的数。
利用最大公因数，我们可以解决一些与分数运算相关的实际问题。
例子1：比例和分数化简
假设我们要将一个比例化简为最简形式，可以利用最大公因数来实现。
首先，我们找到比例的所有分子和分母的最大公因数，然后将分子和分母都除以最大公因数，即可得到最简形式的比例。
例子2：分数加减运算
在进行分数加减运算时，我们需要找到分母的最小公倍数。
通
过求最小公倍数，我们可以将多个分数的分母统一，从而方便进行
加减运算。
最小公倍数的应用
最小公倍数是指两个或多个数中最小的能够被给定数整除的数。
利用最小公倍数，我们可以解决一些与时间、周期等概念相关的实
际问题。
例子3：两辆车同时从不同地点出发
假设有两辆车A和车B同时从不同地点出发，车A每隔10分
钟发一次车，车B每隔15分钟发一次车。
我们希望知道，多长时
间后两辆车再次同时发车。
为了解决这个问题，我们可以求出车A
和车B发车时间的最小公倍数，即为两辆车再次同时发车的时间间隔。
例子4：周期性事件的规律性
有些事件具有周期性，比如月相变化、潮汐变化等。
通过求最
小公倍数，我们可以确定这些事件的周期，以便更好地预测和规划。
结论
最大公因数和最小公倍数在解决实际问题中起着重要的作用。
通过合理运用最大公因数和最小公倍数的概念，我们可以简化问题、统一数据，从而更好地解决实际应用中的复杂数学问题。
公因数与公倍数(综合练习)
公因数和公倍数问题1、（1）既是30的因数，又是45的因数的数共有几个？其中最大的数是多少？（2）既是30的倍数，又是45的倍数的数，最小是多少？想：（1）既是30的因数，又是45的因数的数，就是30和45的公因数，其中最大的就是30和45的最大公因数；（2）既是30的倍数，又是45的倍数的数就是30和45的公倍数，其中最小的数就是30和45的最小公倍数。
解：（1）30和45的公因数有：1，3，5，15共四个，其中最大的是15；（2）30和45的公倍数有：90，180，270等等，其中最小是90。
试一试：1、既是28的因数，又是42的因数的数有几个？其中最大的数是多少？2、既是30的倍数，又是45的倍数，还是75的倍数的数，最小是多少？问题2、三个连续自然数的最小公倍数是168，那这三个连续自然数的和是多少？解析：要求三个连续自然数的和，就要把这三个自然数求出来，而这三个连续自然数的最小公倍数是168，可先把168分解质因数168＝2×2×2×3×7，根据168的质因数的情况可以肯定其中一个是7，（为什么不可能是14）因此这三个连续自然数只有6、7、8和7、8、9两种可能，而7、8、9这三个数任两个数公因数都是1，故这三个连续自然数只能是6、7和8。
（经检验正确）它们的和是6＋7＋8＝21。
答：这三个连续自然数是6、7、8。
它们的和是21。
试一试：1、三个连续自然数的最小公倍数是660，那么这三个连续自然数各是几？2、四个连续自然数的最小公倍数是504，那么这四个自然数的和是多少？3、三个连续自然数的和是27，这三个连续自然数的最小公倍数是多少？问题3、有一种长60厘米，宽45厘米的长方形砖，用这样长方形砖铺地，至少要用多少块这样的砖，才能铺成一块正方形？想：用长60厘米，宽45厘米的砖铺成一块正方形，这个正方形的边长既是60的倍数，也是45的倍数，也就是60和45的公倍数，因此正方形的边长是180厘米，由此容易求得一共用的地砖块数。
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分子 (表示所取的份数) 分数线 分母 (表示平均分的份数)
分数与除法
分数与除法的关系: 被除数÷除数= 被除数 (除数≠0) 除数
a (b≠0) a÷b= b
5 表示: 把单位“1”平均分成9份,取其中的5份. 9 1 5 米表示: 把5米平均分成9份,每份是( ), 9 9 5 每份是( )米. 9
3、把5/12的分母加上36，要使分数的大小不变，分子应加上 （ 15 ）。 5、5/9千米表示1千米的（ 5/9 ），也可以表示（
小于或 4、当a（ ）时，8/a是真分数；当a（ ）时，8/a是假分数。 大于8 等于8
5
）千米的1/9。
6、把2米长的绳子平均分成7份，每份长（2/7 ）米，每份占全长的 （ 1/7）。 7、分母是8的最简真分数的和是（
分数的分类
真分数---- 分子比分母小的分数. 真分数<1
假分数---- 分子比分母大或者分子和分母 相等的分数. 分母同时乘或者除以相同的数 (零除外),分数的大小不变.
一个分数的分母不变,分子乘以3,则这个分数( 扩大3倍 如果分子不变,分母除以5,则这个分数( 扩大5倍
2
）。
8、比7/8小且比5/8大的分数有（ 无数 ）个。
1、一个小数的小数点向左移动两位，所得到的新数比 原数小3.564，原数是多少？ 2、甲数比乙数少34.65，甲数的小数点向右移动一位正 好与乙数相等。甲、乙两数各是多少？ 3、小明家的电话号码是由7个数字组成的。以下是电话 号码ABCDEFG的密码：A减1就是最小的质数；B既是 偶数，又是质数；C是最大的一位数；D是2和3的最小 公倍数；E是10以内最大的质数；F既不是正数，也不 是负数；G是最小的质数减1。小明家的电话号码是多 少？
（75，60）=15
（75÷15）×（60÷15）=20（个）
变一变：将一张长1.36米，宽0.8米的长方形纸片，裁成一样 大小的正方形纸片，并使它们的面积尽可能的大且没有剩余，一共 可裁出多少张？ （136，80）=8
（136÷8）×（80÷8）=170（个）
二、用公倍数知识解决生活问题。
1、暑假期间，小明和小兰都去参加游泳训练，8月1日 两人同时参加游泳训练后，小明每6天去一次，小兰每8 天去一次，那么几月几日两人再次相遇？
由题意可知，两个人要再次相遇，相隔的天数应分别是6的倍 数，也是8的倍数，那么相隔的天数应是6和8的最小公倍数。
[ 6，8 ]=24
所以再次相遇应是8月25日。
二、用公倍数知识解决生活问题。
2、一筐苹果，如果3个3个地数，最后余2个，如果5个 5个地数，最后余4个，如果7个7个地数，最后余6个。 这筐苹果最少有多少个？
分数的意义和分数单位
单位“1”---- 一个物体,一个计量单位或是许多物体组成的一个 整体,都可以用自然数1来表示,通常我们把它叫做 单位“1” 分 数---- 把单位“1”平均分成若干份,表示这样一份或者几份 的数,叫做分数.
分数单位---- 把单位“1”平均分成若干份,表示其中一份的数. 分数各部分的名称:
小数
先化 成分 母是 10、 100等 的分 数， 再约 分。 去掉%,小数点向左移动两位. 用 分 子 除 以 分 母
百分数
分数
一、填空。
1、5/8表示把单位“1”平均分成（ ）份，取其中的（ ）份， 它还表示把（ ）平均分成（ 8份 ），取其中的（ ）份。
5
8
5 1
2、把4吨化肥平均分给5户农民，平均每户农民分得这些化肥的 （ 1/5 ），每户分得（ 4/5 ）吨。
96÷24＋72÷24=7（朵）
一、用公因数知识解决生活问题。
2、将一张长75厘米，宽60厘米的硬纸板剪成多个同样 大小的正方形，使得硬纸板没有剩余，并且剪成的正方 形的面积尽可能大，一共可以剪几个相同的正方形？
剪同样大小的正方形且没有剩余，则正方形的边长是长和宽的 公因数，为使面积最大，正方形的边长应是长和宽的最大公因数。
1、体育课上，老师为同学们整队时发现，无论是3人一 排，4人一排，还是5人一排都多2个人，如果老师让全 班站成两列纵队，每队几个人？（全班不超过100人）
2、有三根铁丝，一根长18米，一根长24米，一根长30 米，现在要把它们截成同样长的小段，每段最长几米？ 一共可以截多少段？ 3、一张长42厘米，宽35厘米的长方形纸，把这张纸剪 成正方形小纸片。要使小正方形尽可能的大，可剪多少 个小正方形？正方形的边长是多少厘米？ 4、一堆糖果，如果平均分给4个小朋友，还剩3个；如 果平均分给5个小朋友，还缺1个；如果平均分给6个小 朋友，也缺1个，这堆糖果至少有多少个？
3.分数大小的比较
★分母相同的两个分数,分子大的分数比较大.
9 11
<
10 11
8 15
>
7 15
★分子相同的两个分数,分母小的分数比较大.
4 9
<
4 7
12 5
>
12 11
★分子、分母都不同时，先通分，再比较。
1 1×9 = 6 6×9 4 4×6 = 9 9×6 9 54 24 54
1 6
<
4 9
) )
小数与分数的关系：
小数实际上是分母为10、100、 1000……的分数。
6.最简分数 *计算的结果,能约分的要约成最简分数; 分子、分母只有公因数1的分数是最简分数。 互质数
7.约分
约分------把一个分数化成和它相等,但分子和分母 都比较小的分数. 约分的方法: 把分子、分母同时除以它们的最大公因数。
由题意可知，假设再添上1个苹果，则余下的苹果数分别是3、 5、7，就正好再数一次，正好数完，也就是总数加上1后是3、5、 7的最小公倍数。
[ 3，5，7 ]=105
105－1=104（个）
变一变：有一盒巧克力，7粒7粒地数还余4粒，5粒5粒地数又 少3粒，3粒3粒地数正好数完。这盒巧克力至少有多少粒？ 由题意可知，如果巧克力再多3粒，就正好是7、5、3的倍数， 所以这盒巧克力至少的粒数就是求7、5、3的最少公倍数再减3。 7×5×3－3=102（粒）
=
=
百分数的意义
表示一个数是另一个数的百分之几的数叫百分数. 百分数又叫百分率或百分比.
百分数后面不 能带单位名称.
百分数与分数的联系与区别
百分数的分母都是100。
百分数常用“%”来表示。百分数 只表示一个数是另一个数的百分之几， 不表示具体的数量，百分数与分数的 意义不完全相同。
小数点向右移动两位,添上%
一、用公因数知识解决生活问题。
1、用96朵红玫瑰和72朵白玫瑰做成花束。如果每个花 束里的红玫瑰和白玫瑰的朵数相同且没有剩余，最多可 以做多少个花束？每个花束里至少要有几朵束？
每个花束里的红玫瑰和白玫瑰的朵数相同，又要求花束的个数 最多，所以花束的个数应该是96和72的最大公因数。
（96，72）=24