电动力学 期末考试试题库 本

第一章 电磁现象的普遍规律

1） 麦克斯韦方程组是整个电动力学理论的完全描述。 1-1) 在介质中微分形式为

D ρ∇•=r

来自库仑定律，说明电荷是电场的源，电场是有源场。

0B ∇•=r

来自毕—萨定律，说明磁场是无源场。

B E t ∂∇⨯=-

∂r r 来自法拉第电磁感应定律，说明变化的磁场B t ∂∂r 能产生电场。

D H J t ∂∇⨯=+∂r r r 来自位移电流假说，说明变化的电场D t

∂∂r 能产生磁场。

1-2) 在介质中积分形式为

L S d E dl B dS dt =-⎰⎰r r r r g g Ñ

, f L S d

H dl I D dS dt =+⎰⎰r r r r g g Ñ, f S D dl Q =⎰r r g Ñ, 0S B dl =⎰r r g Ñ。 2）电位移矢量D r 和磁场强度H r

并不是明确的物理量，电场强E r 度和磁感应强度B r ，两者在实验上都能被测定。D r 和H r

不能被实验所测定，引入两个符号是为了简洁的表示电磁规

律。

3）电荷守恒定律的微分形式为0J t

ρ

∂∇+

=∂r

g 。 4）麦克斯韦方程组的积分形式可以求得边值关系，矢量形式为

()

210n e E E ⨯-=r r r ，()21n e H H α⨯-=r r r r ，()21n e D D σ•-=r r r ，()

210n e B B •-=r r r

具体写出是标量关系

21t t E E =，21t t H H α-=，21n n D D σ-=，21n n B B =

矢量比标量更广泛，所以教材用矢量来表示边值关系。

例题（28页）无穷大平行板电容器内有两层线性介质，极板上面电荷密度为f σ±，求电场和束缚电荷分布。

解：在介质1ε和下极板f σ+界面上，根据边值关系1f D D σ+-=和极板内电场为0，0

D +=r

得1f D σ=。同理得2f D σ=。由于是线性介质，有D E ε=r r

，得

1

11

1f D E σεε=

=

，2222

f

D E σεε==。 在两个介质表面上，由于没有自由电荷，由()021n n p f E E εσσ-=+得

()000212

1p f

E E εεσεσεε⎛⎫

=-=-

⎪⎝⎭ 介质1和下表面分界处，有

00111p f f E εσσεσε⎛

⎫'=-+=--

⎪⎝

⎭

介质2和上表面分界处，有

00221p f f E εσσεσε⎛

⎫

''=-=-

⎪⎝

⎭

5）在电磁场中, 能流密度S r 为S E H =⨯r r r , 能量密度变化率w t

∂∂为w

D B

E H t t t ∂∂∂=+∂∂∂r r

r r g g 。 在真空中, 能流密度S r 为01S E B μ=⨯r r r 。能量密度w 为220011

2w E B εμ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭

。 6) 在电路中，电磁场分布在导线和负载周围的空间。负载和导线上的消耗的功率完全是在

电磁场中传输的，而不是由导线传送的。

例（32页）同轴传输线内导线半径为a ，外导线半径为b ，两导线间为均匀绝缘介质(如图

所示)．导线载有电流I ，两导线间的电压为U 。忽略导线的电阻，计算介质中的能流S ρ

和

传输功率P 。

解：以距对称轴为r 的半径作一圆周()a r b <<，应用安培定律得2rH I φπ=，有

2I

H r φπ=

。设导线电荷线密度为τ，应用高斯定理得2r rE τπε=

，有2r E r τπε=。能流

密度为224r z z I S E H E H e e r φτπε=⨯==r r r r

r 。设导线间电压为ln 2b r a b U E dr a τπε==⎰，有212ln

z

UI S e b r a

π=r r

。传输功率为b a

P S ds UI =•=⎰r r 。

第二章 静电场

1）在静电场时，电场不变化导致磁场不变化，有0B D

t

t ∂∂==∂∂r r

。麦氏方程变为0E ∇⨯=r 和D ρ∇•=r 。由于E r

的无旋性，就引入了电势ϕ，即E ϕ=-∇r 。这样，求解静电场问题就

变为简单：电场量满足（1）泊松方程2ρϕε

∇=-；（2）边值关系；（3）边界条件（介质或导体）。

2) 对电荷分布不随时间变化的体密度

ρ, 在介质为ε的空间中, 其电场总能量为

()()

1

8x x W dV dV r

ρρπε

''=

⎰⎰r r

。

例题 (41页) 求均匀电场0E r

的势。

解: 选空间任意一点为原点，设该点的电势为0ϕ，则任意点P 处的电势为

()00000

P

P E dl E x ϕϕϕ=-=-⎰

r r r r

g g

由于0E r

可以看为无限大平行板电容产生，因此不能选()0ϕ∞=。选00ϕ=，择有

()0P E x ϕ=-r r

g

例题（46页）两同心导体求壳之间充满良种介质，左半球电容率为1ε，有半球电容率为2ε（如图）。设内球带电荷Q ，外球壳接地，求电场分布。

解：在两介质分界面上有边值关系21t t E E =，21n n D D =。内导体球壳电荷为Q ，边界条件

为121122

S S S D dS E dS E dS Q εε•=•+•=⎰⎰⎰r r r r r r Ñ。设左半部电场为13A E r r

=r r ，右半部电场为23A E r r

=r r

。两个电场满足边值关系。带入边界条件，有()122A Q πεε+=。解得

()122Q A πεε=+。左半部电场为()13122Qr E r πεε=+r r ，右半部电场为()23

122Qr

E r πεε=+r r 。

例题（54页）距接地无限大导体平行板a 处有一点电荷Q ，求空间的电场。