数学几何计数课件《四年级奥数》
四年级奥数第二讲图形的计数问题含答案
四年级奥数第⼆讲图形的计数问题含答案第⼆讲图形的计数问题⼀、知识点：⼏何图形计数问题往往没有显⽽易见的顺序，⽽且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要⼀些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采⽤⼀种简单原始的计数⽅法－⼀枚举法．具体⽽⾔，它是指把所要计数的对象⼀⼀列举出来，以保证枚举时⽆⼀重复、．⽆⼀遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯．⼆、典例剖析：例（1）数出右图中总共有多少个⾓分析：在∠AOB内有三条⾓分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条⾓分线分成4个基本⾓，那么∠AOB内总共有多少个⾓呢？⾸先有这4个基本⾓，其次是包含有2个基本⾓组成的⾓有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本⾓组成的⾓有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本⾓组成的⾓有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有⾓：4＋3＋2＋1＝10（个）解：4＋3＋2＋1＝10（个）答：图中总共有10个⾓。
练⼀练：数⼀数右图中总共有多少个⾓？答案: 总共有⾓：10+9+8+…+4+3+2+1=55（个）例（2 ）数⼀数共有多少条线段？共有多少个三⾓形？分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.②要数有多少个三⾓形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本⼩三⾓形有4个.所以在△AGH中共有三⾓形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三⾓形有同样的个数，所以在△ABC中三⾓形个数总共：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）解：：①在△ABC中共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）②在△ABC中共有三⾓形是：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）答：在△ABC中共有线段60条，共有三⾓形30个。
人教版四年级数学奥数 数数图形(课件)(共20张PPT)
【例题1】数一数下图中有多少个锐角。
【思路导航】 数角的方法和数线段的方法类似，图中的五条射线相当于线段上的五个点， 因此，要求图中有多少个锐角，可根据公式1+2+3……（总射线数－1）求得： 1+2+3+4=10（个）.
【例题2】 数一数下图中有多少个长方形？
【思路导航】 图中的AB边上有线段1+2+3=6条，把AB边上的每一条线段作为长，AD边பைடு நூலகம்的
第12讲 数数图形
小学奥数 四年级
同学们对于图形肯定不陌生，但数学中经常会出现这样的题目： （1）下图中共有几条线段？ （2）下图中共有几个长方形？
要正确解答这类问题，就要做到数图形时不重复、不遗漏。这就需要 我们按照一定的顺序去数，并找出它的规律，巧妙地数出图形的个数。数 图形的方法一般有两种：按顺序数和分类数。今天就让我们用数学的方法 巧妙地数图形吧！
实践与应用
【练习5】 P94 数一数，下图中共有多少个长方形？
同学们，图形世界是不是非赏精彩呢？数学的魅力就在于千变万化的图形和数字。通过 这一进，我们对图形有了更深的认识，遇到数图形的问题也能有序、严密地思索，关于数 图形，我们来总结一些最基本的方法吧。
（1）数线段。假设端点有n个（n是整数），那么线段的总条数就是从比n小1的数开始， 一直加到1。
每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以，图中共有 6×3=18个长方形。 数长方形可以用下面的公式：长边上的线段×短边上的线段=长方形的个数
【例题3】数一数下图中有多少个正方形？（其中每个小方格都是边长为1个 长度单位的正方形）
【思路导航】 边长是1个长度单位的正方形有3×2=6个，边长是2个长度单位的正方形有 2×1=2个。所以，图中正方形的总数为：6+2=8个。 经进一步分析可以发现，一般情况下，如果一个长方形的长被分成m等份， 宽被分成n等份（长和宽的每一份都是相等的）那么正方形的总数为： mn+(m－1)(n－1)＋(m－2)(n－2)＋…＋(m－n＋1)n.
【精品奥数】四年级上册数学思维训练讲义-第九讲 几何计数 人教版(含答案)
第九讲几何计数第一部分：趣味数学解析几何的产生十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。
比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体试验着抛物线运动的。
这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的出现。
1637年，法国的哲学家和数学家笛卡尔发表了他的著作《方法论》，这本书的后面有三篇附录，一篇叫《折光学》，一篇叫《流星学》，一篇叫《几何学》。
当时的这个“几何学”实际上指的是数学，就像我国古代“算术”和“数学”是一个意思一样。
笛卡尔的《几何学》共分三卷，第一卷讨论尺规作图；第二卷是曲线的性质；第三卷是立体和“超立体”的作图，但他实际是代数问题，探讨方程的根的性质。
后世的数学家和数学史学家都把笛卡尔的《几何学》作为解析几何的起点。
从笛卡尔的《几何学》中可以看出，笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍”的数学，把算术、代数、几何统一起来。
他设想，把任何数学问题化为一个代数问题，在把任何代数问题归结到去解一个方程式。
为了实现上述的设想，笛卡尔茨从天文和地理的经纬制度出发，指出平面上的点和实数对（x，y）的对应关系。
x，y的不同数值可以确定平面上许多不同的点，这样就可以用代数的方法研究曲线的性质。
这就是解析几何的基本思想。
具体地说，平面解析几何的基本思想有两个要点：第一，在平面建立坐标系，一点的坐标与一组有序的实数对相对应；第二，在平面上建立了坐标系后，平面上的一条曲线就可由带两个变数的一个代数方程来表示了。
从这里可以看到，运用坐标法不仅可以把几何问题通过代数的方法解决，而且还把变量、函数以及数和形等重要概念密切联系了起来。
解析几何的产生并不是偶然的。
在笛卡尔写《几何学》以前，就有许多学者研究过用两条相交直线作为一种坐标系；也有人在研究天文、地理的时候，提出了一点位置可由两个“坐标”（经度和纬度）来确定。
小学四年级数学 奥数 第17讲 数数图形
小学四年级数学奥数第17讲数数图形一、知识要点我们已经认识了线段、角、三角形、长方形等基本图形，当这些图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂的几何图形。
要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数，就需要仔细地观察，灵活地运用有关的知识和思考方法，掌握数图形的规律，才能获得正确的结果。
要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点：1.线段上有n个端点，那么线段的条数为n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+12.从一个顶点引n条射线，那么锐角的个数为n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+13. 由相同的n×n个小方格组成的几行几列的正方形其中所含的正方形总数为：1×1＋2×2＋…＋n×n。
4. 如果一个长方形的长被分成m等份，宽被分成n等份（长和宽的每一份都是相等的）那么正方形的总数为：mn+(m－1)(n－1)＋(m－2)(n－2)＋…＋(m－n＋1)n.二、精讲精练【例题1】数出下面图中有多少条线段。
练习1：数出下列图中有多少条线段。
（2）【例题2】数一数下图中有多少个锐角。
练习2：：下列各图中各有多少个锐角？【例题3】数一数下图中共有多少个三角形。
练习3：：数一数下面图中各有多少个三角形。
【例题4】数一数下图中共有多少个三角形。
练习4：：数一数下面各图中各有多少个三角形。
【例题5】数一数下图中有多少个长方形。
练习5：：数一数下面各图中分别有多少个长方形。
【例题6】数一数下图中有多少个长方形？练习6：数一数，下面各图中分别有几个长方形？【例题7】数一数，下图中有多少个正方形？（每个小方格是边长为1的正方形）练习7：：数一数下列各图中分别有多少个正方形？（每个小方格为边长是1的小正方形）【例题8】数一数下图中有多少个正方形？（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）练习8：数一数下列各图中分别有多少个正方形。
【例题9】从广州到北京的某次快车中途要停靠8个大站，铁路局要为这次快车准备多少种不同车的车票？这些车票中有多少种不同的票价？练习9：1.从上海到武汉的航运线上，有9个停靠码头，航运公司要为这段航运线准备多少种不同的船票？2.从上海至青岛的某次直快列车，中途要停靠6个大站，这次列车有几种不同票价？3.从成都到南京的快车，中途要停靠9个站，有几种不同的票价？【例题10】求下列图中线段长度的总和。
四年级奥数第17讲 数数图形
第17讲数数图形一、知识要点我们已经认识了线段、角、三角形、长方形等基本图形,当这些图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂的几何图形.要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数,就需要仔细地观察,灵活地运用有关的知识和思考方法,掌握数图形的规律,才能获得正确的结果.要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点：1.线段上有n个端点,那么线段的条数为n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+12.从一个顶点引n条射线,那么锐角的个数为n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+13. 由相同的n×n个小方格组成的几行几列的正方形其中所含的正方形总数为：1×1＋2×2＋…＋n×n.4. 如果一个长方形的长被分成m等份,宽被分成n等份（长和宽的每一份都是相等的）那么正方形的总数为：mn+(m－1)(n－1)＋(m－2)(n－2)＋…＋(m－n＋1)n.二、精讲精练【例题1】数出下面图中有多少条线段.练习1：数出下列图中有多少条线段.（2）【例题2】数一数下图中有多少个锐角.练习2：：下列各图中各有多少个锐角？【例题3】数一数下图中共有多少个三角形.练习3：：数一数下面图中各有多少个三角形.【例题4】数一数下图中共有多少个三角形.练习4：：数一数下面各图中各有多少个三角形.【例题5】数一数下图中有多少个长方形.练习5：：数一数下面各图中分别有多少个长方形.【例题6】数一数下图中有多少个长方形？练习6：数一数,下面各图中分别有几个长方形？【例题7】数一数,下图中有多少个正方形？（每个小方格是边长为1的正方形）练习7：：数一数下列各图中分别有多少个正方形？（每个小方格为边长是1的小正方形）【例题8】数一数下图中有多少个正方形？（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）练习8：数一数下列各图中分别有多少个正方形.【例题9】从广州到北京的某次快车中途要停靠8个大站,铁路局要为这次快车准备多少种不同车的车票？这些车票中有多少种不同的票价？练习9：1.从上海到武汉的航运线上,有9个停靠码头,航运公司要为这段航运线准备多少种不同的船票？2.从上海至青岛的某次直快列车,中途要停靠6个大站,这次列车有几种不同票价？3.从成都到南京的快车,中途要停靠9个站,有几种不同的票价？【例题10】求下列图中线段长度的总和.（单位：厘米）上式中的5是线段上的5个点,如果设线段上的点数为n,基本线段分别为a1、a2、…a(n－1).以上各线段长度的总和为L,那么L= a1×(n－1)×1+ a2×(n－2)×2+ a3×(n－3)×3+…+ a(n－1)×1×(n－1).练习10：1.一条线段上有21个点（包括两个端点）,相邻两点的距离都是4厘米,所有线段长度的总和是多少？2.求下图中所有线段的总和.（单位：米）3.求下图中所有线段的总和.（单位：厘米）三、课后作业1、数一数共有多少条线段？（1）（2）2、数一数共有多少个锐角？EA B C D EDO CBA3、数出下图中有多少个长方形？4、数出下图中有多少个正方形？5、下图中有多少个长方形,其中有多少个是正方形？DC B A。
【精品奥数】四年级上册数学思维训练讲义-第九讲 几何计数 人教版(含答案)
第九讲几何计数第一部分：趣味数学解析几何的产生十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。
比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体试验着抛物线运动的。
这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的出现。
1637年，法国的哲学家和数学家笛卡尔发表了他的著作《方法论》，这本书的后面有三篇附录，一篇叫《折光学》，一篇叫《流星学》，一篇叫《几何学》。
当时的这个“几何学”实际上指的是数学，就像我国古代“算术”和“数学”是一个意思一样。
笛卡尔的《几何学》共分三卷，第一卷讨论尺规作图；第二卷是曲线的性质；第三卷是立体和“超立体”的作图，但他实际是代数问题，探讨方程的根的性质。
后世的数学家和数学史学家都把笛卡尔的《几何学》作为解析几何的起点。
从笛卡尔的《几何学》中可以看出，笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍”的数学，把算术、代数、几何统一起来。
他设想，把任何数学问题化为一个代数问题，在把任何代数问题归结到去解一个方程式。
为了实现上述的设想，笛卡尔茨从天文和地理的经纬制度出发，指出平面上的点和实数对（x，y）的对应关系。
x，y的不同数值可以确定平面上许多不同的点，这样就可以用代数的方法研究曲线的性质。
这就是解析几何的基本思想。
具体地说，平面解析几何的基本思想有两个要点：第一，在平面建立坐标系，一点的坐标与一组有序的实数对相对应；第二，在平面上建立了坐标系后，平面上的一条曲线就可由带两个变数的一个代数方程来表示了。
从这里可以看到，运用坐标法不仅可以把几何问题通过代数的方法解决，而且还把变量、函数以及数和形等重要概念密切联系了起来。
小学奥数- 几何计数(一)
7-8-1几何计数（一）教学目标1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．知识要点一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成212232)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．例题精讲模块一、简单的几何计数【例1】七个同样的圆如右图放置，它有_______条对称轴．【例2】下面的表情图片中：，没有对称轴的个数为（）（A ）3(B )4(C )5(D )6【巩固】中心对称图形是：绕某一点旋转180°后能和原来的图形重合的图形，轴对称图形是：沿着一条直线对折后两部分完全重合的图形，图的4个图形中，既是中心对称图形又是的轴对称图形的有个。
四年级上册奥数知识点总结第7课-几何中的计数问题.doc
奥数知识点第7课・几何中的计数问题（1）笫七讲几何中的计数问题（一）几何中的计数问题包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形、数综合图形等•通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、思考问题的良好习惯，逐步学会通过观察、思考探寻事物规律的能力.一、数线段我们把直线上两点间的部分称为线段，这两个点称为线段的端点•线段是组成三角形、正方形、长方形、多边形等最基本的元素•因此，观察图形中的线段，探寻线段与线段之间、线段与其他图形之间的联系，对于了解图形、分析图形是很重要的.例1数一数下列图形中各有多少条线段.A B C A B C p A B C DE（1）（2）（3）例2数出右图中总共有多少个角•ClC2C3例3数一数右图中总共有多少个角?三、数三角形例4如右图中，各个图形内各有多少个三角形?A例5如右图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形?例6如右图中，共有多少个角?习题七1 •数一数下图中，各有多少条线段?2.数一数下图中各有多少角?3•数一数下图中，各有多少条线段?4•数一数下图中，各有多少条线段，各有多少个三角形?(1) (2)课后作业:(1) (2)CB答案：第七讲几何中的计数问题（一）形、曙麟「專湃羯蟲聽辟思考问题的良好习惯, 逐歩学会通过观察、思考探寻事物规律的能力.一、数线段我们把直线上两点间的部分称为线段，这两个点称为线段的端点•线段是组成三角形、正方形、长方形、多边形等最基本的元素•因此，观察图形中的线敲犧評之间' 线段煮他图形之间的联系’对于了解图形' 分析例1数一数下列图形中各有多少条线段.B C A B C D A B C DE（1）（2）（3）分析要想使数出的每一个图形中线段的总条数，不重复、不遗漏，就需要按照一定的顺序、按照一定的规律去观察、去数•这样才不至于杂乱无章、毫无头绪•我们可以按照两种顺序或两种规律去数.第一种：按照线段的端点顺序去数，如上图（1）中，线段最左边的端点是A,即以A为左端点的线段有AB、AC两条以B为左端点的线段有BC—条，所以上图（1）中共有线段2 +1 = 3条•同样按照从左至右的顺序观察图（2）中，以A为左端点的线段有AB、AC、AD三条，以B为左端点的线段有BC、BD两条，以C为左端点曲线段有CD—条・E斤以上页图〔2）中共有殳腰为3 +2 +1 = 6条.第二种：按照基本线段多少的顺序去数•所谓基本线段是指一条大线段中若有n个分点，则这条大线段就被这n个分点分成n+1条小线段，这每条小线段称为基本线段•如上页图（2）中，线段AD上有两个分点B、C,这时分点B、C把AD 分成AB、BC^ CD三条基本线巖，那么线段AD总箕有参少条线段？首宪有三条基本线段，其次是包含有二条基本线段的是：AC、BD二条，然后是包含有三条基本线段的是AD这样一条•所以线段AD上总共有线段3+2 + 1 = 6条，又如上页图（3）中线段AE上有三个分点B、C、D,这样分点B、C、D把线段AE分为AB、BC、CD、DE四条基本线段，那么线段AE上总共有多少条线段？按照基本线段多少的顺序是：首先有4条基本线段，其次是包含有二条基本线段的有3条，然后是包含有三条基本线段的有2条，最后是包含有4条基本线段的有一条，所以线段AE 上总共有线段是4 + 3 + 2 + 1 = 10条.解：①2 + 1 = 3 （条）・②3 + 2+1 = 6 （条）・第一种：按照线段的端点顺序去数，如上图（1）中，线段最左边的端点是A,即以A 为左端点的线段有AB、AC两条以B为左端点的线段有BC—条，所以上图（1）中共有线段2 +1 = 3条•同样按照从左至右的顺序观察图（2）中，以A为左端点的线段有AB、AC、AD三条，以B为左端点的线段有BC、BD两条，以C为左端点商线段有CD—条•所以上页图⑵ 申共有妄腰为3 +2 +1 = 6条.第二种：按照基本线段多少的顺序去数•所谓基本线段是指一条大线段中若有门个分点，则这条大线段就被这n个分点分成门+1条小线段，这每条小线段称为基本线段•如上页图（2）中，线段AD上有两个分点B、C,这时分点B、C把AD 分成AB、BC、CD三条基本线農，邮么线段AD总唉有参少条线段？音晁有三条基本殘段，其次是包备有二条基本殁段的是：AC、BD二条，然后是包含有三条基未线段0勺是AD这样一秦•所以线腰AD丄总共有线段3 + 2 + 1 = 6条，又如上页图（3）中线段AE上有三个分点B、C、D,这样分点B、C、D把线段AE分为AB、BC、CD、DE四条基本线段，那么线段AE上总共有多少条线段？按照基本线段多少的顺序是：音先有4素量本线段，箕次是包•备有二累盘未殳陵馬有3氯然后是包鸟有三条基车塚凌6勺有2条，最后是窃含有4条基未线段的有一条，紡以冬段AE 上总共有线段是4丄3 + 2丄1 = 10条.解：①2 + 1 = 3 （条）・②3 + 2 + 1 = 6〔条）・③ 4+3+2+1=10（条）・小结：上述三例说明：要想不重复、不遗漏地数出所有线段，必须按照一定顺序有规律的去数，这个规律就是：线段的总条数等于从1开始的连续几个自然数的和，这个连续自然数的和的最大的加数是线段分点数加1或者是线段所有点数（包括线段的两个端点）减1 •也就是基本线段的条数•例如右图中线段AF上麻有点数（包岳两个端点A、F）共有6个，所以从1开始的连续自然数的和申最大的加数是6-1 = 5,或者线段AF上的分点有4个（B、C、D、E）•所以从1开始的连续自然数的和中最大的加数是4 + 1 = 5.也就是线段AF上基本线段（AB、BC、CD、DE、EF）的条数是5•所以线段AF上总共有线段的条数是5+4 +3 +2 + 1 =15 （条）・二数角例2数出右图中总共有多少个角.分析在ZAOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3, ZAOB被这三条角分线分成4 个基本角，那么ZAOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个〔即ZAOC2. ZC1OC3、ZC2OB）,然后是包含有3 个基本角组成的角有2个（即ZAOC3、ZC1OB）,最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即ZAOB）,所以ZAOB内总共有角：4+3+2+1=10（个）・解：4+3+2+1=10（个）・小结：数角的方法可以采用例1数线段的方法来数，就是角的总数等于从1 开始的几个连续自然数的和，这个和里面的最大的加数是角分线的条数加1,也就是基本角的个数.例3数一数右图中总共有多少个角？W：因为ZAOB内角分线0C1、OC2-OC9共有9条，即9+1二10个基本角.所以总共有角:10+9+8+…+4+3+2+1=55 （个）.三.数三角形例4如右图中，各个图形内各有多少个三角形?分析可以采用类似例1数线段的两种方法来数，如图（2）:第一种方法：先数以AB为一条边的三角形共有：△ABD、ZXABE、Z\ABF、ZXABC四个三角形.再数以AD为一条边的三角形共有：△ADE、ZXADF、ZXADC三个三角形.以AE为一条边的三角形共有：△AEF、ZXAEC二个三角形.最后以AF为一条边的三角形共有AAFC—个三角形.所以三角形的个数总共有4+3+2+1=10.第二种方法：先数图中小三角形共有：△ABD、ZXADE、Z\AEF、ZXAFC四个三角形.再数由两个小三角形组合在一起的三角形共有：△ABE、AADF. ZXAEC三个三角形，以三个小三角形组合在一起的三角形共有： △ABF 、ZXADC 二个三角形，最后数以四个小三角形组合在一起的只有AABC —个. 所以图中三角形的个数总共有：4+3+2+1=10 （个）・ 解：①3+2+1 二6 （个） ② 4+3+2+1=10 （个）・答：图（1）及图（2）中各有三角形分别是6个和10个.小结：计算三角形的总数也等于从1开始的几个连续自然数的和，其中最大例5如右图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形?分析在数的过程中应充分利用上几例总结的规律，明确数什么？怎么数？这样两个问题•数：就是要数出图中基本线段（基本三角形）的条 数，算：就是以基本线段（基本三角形）条数为最大加数的从1开始的连续几个 自然数的和.①要数多少条线段：先看线段AB 、AD 、AE 、AF 、AC 、上各有2个分点，各分 成3条基本线段，再看BC 、MN 、GH 这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线 最・0T 以鹵中总共有第段是:（3+2+1） X5+（4+3+2+1） X 3二30+30=60 （条）.②要数有多少个三角形，先看在AAGH 中，在GH 上有3个分点，分成基本小 三的加数就是三角形一边上的分点数加1,也就是三角形这边上分成的基本线段的 条数.角形有4个•所以在ZXAGH中共有三角形4+3+2+1=10 （个）•在ZXAMN与ZXABC 中，三角形有同样的个数，所以在ZXABC中三角形个数总共：〔4+3+2+1） X 3=10X3=30 （个）・解：①在△ ABC中共有线段是：〔3+2+1） X5+（4+3+2+1） X 3二30+30二60〔条）②在△ABC中共有三角形是：（4+3+2+1） X 3=10X3=30〔个）・例6如右图中，共有多少个角？分析本题虽然与上几例有区别，但仍可以采用上几例所总结的规律去解决.Zl、Z2、Z3、Z4我们可视为4个基本角，由2个基本角组成的有：Z1与Z2、Z2与Z3、Z3与Z4、Z4与Z1,共4个角•由3个基本角组成的角有：Z 1、上2与Z3； Z2. Z3与上4； Z3、上4与Z1；上4、Z1与上2,共4个角，由4个基本角组成的角只有一个.所以图中总共有角是：4X3+1二13 （个）・解：所以图中共有角是：4X3+1二13 （个）・小结：由本题可以推出一般情况：若周角中含有n个基本角，那么它上面角的总薮是n （n-1） +1.课后作业答案：习题七解答1 •①在AB线段上有4个分点，所以它上面线段的总条数为：5+4+3+2+1二15 （条）・②在线段AB上有3个分点，所以它上面线段的总条数为：4+3+2+1=10 （条）・在线段CD上有4个分点：所以它上面线段的总条数为：5+4+3+2+1=15 （条）・・・・整个图（2）共有线段10+15二25 （条）・③在线段AB上有3个分点，它上面线段的条数为:44-34-2+1=10 （条）・在线段CD上有2个分点，它上面线段的条数为:占。
苏科版四(下)奥数教案第1讲~几何计数
四（下）奥数第1讲~几何计数
【知识精讲】
本讲主要内容是几何计数，简单的来说就是数图形，本讲主要介绍了两种数图形的方法：1.按分类数图形。
2.利用乘法原理数图形。
小热身
1：数数下图一共有多少条不同的线段？
2：数数下图一共有多少个不同的长方形？
3：数数下面一共有多少个不同的三角形？
第一部分：按分类数图形
例1：下列图形中各有多少个三角形？
练1： 下图中各有多少个三角形？
例2：下列图形中，分别有多少个正方形？
练2：下列图形中，分别有多少个正方形？
第二部分：乘法原理数图形
例3：下列图形中，分别有多少个长方形（包括正方形）？
练3：下列图形中，分别有多少个长方形（包括正方形）？
例4：数一数下图中包含星星的长方形（包括正方形）有多少个？
练4：数一数下图中包含星星的长方形（包括正方形）有多少个？
自我挑战：
1：下图中各有多少个三角形？
2:下列图形中，分别有多少个正方形？
3:下列图形中，分别有多少个长方形（包括正方形）？
4：数一数下图中包含星星的长方形（包括正方形）有多少个？
温故而知新！
1:右图中共有__________个三角形。
2:右图是由25个小正方形组成，数一数图中一共有__________个正方形。
3:右图是由12个小正方形组成，数一数图中一共有__________个正方形。
4:右图是由15个小正方形组成，数一数图中一共有__________个长方形（长方形包括正方形）。
5:数一数下图中包含星星的长方形（包括正方形）有__________个。
6:数一数下图中包含两颗星星的长方形（包括正方形）有多少个？。
3第三讲 几何计数 (奥数班)
【教学重难点】
掌握常见的数图形的方法：枚举法、对应法、容斥原理、和面积相关、利用图形对称性。
【课前预习】
根据辅导书相应地给孩子预习的内容。
【教学内容】
方法一：枚举法——按照大小和位置
【例1】（★★）
下图中可以数出多少个三角形？
【例2】（★★★★）
如图，木板上钉着20个钉子，形成4行5列的正方形钉阵。那么橡皮筋一共能套出个正方形。（注意正放和斜放）
方法五：和面积相关——熟悉公式利用图形对称性
【例6】（★★★★）
如图，用9枚钉子钉成水平和竖直间隔都为1的正方阵。用一根橡皮筋将3枚不共线的钉子连接起来就形成一个三角形。其中面积为1的三角形有多少个？
【例7】（★★★★★）
图中一共有多少个三角形？
小结：
枚举法——按照大小和位置
对应法——找到对应关系
圈猪法鼠标法
4.一块木板上有13枚钉子。用橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形，正方形，梯形等，如图。那么一共可以构成多少个不同的正方形？
计算巩固：
1、
2、（7.88+6.77+5.66）×（9.31+10.98+10）—（7.88+6.77+5.66+10）×（9.31+10.98）
容斥原理——不重不漏
和面积相关——熟悉公式
利用图形对称性
自我挑战Hale Waihona Puke 1.下图中共有多少个正方形？
2.下图中ABCD是平行四边形，图中的线段分别与AB，AD或BE平行。图中包含阴影三角形的平行四边形共有多少个？
3.如图，18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形.那么图中包含“＊”的各种大小的正三角形一共有多少个？
小学奥数：7-8-2 几何计数(二).学生版
7-8-2.几何计数（二）教学目标1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．知识要点一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．E DCB A数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个．例题精讲模块二、复杂的几何计数【例1】如下图在钉子板上有16个点，每相邻的两个点之间距离都相等，用绳子在上面围正方形，你可以得到个正方形．【考点】复杂的几何计数【难度】4星【题型】填空【关键词】学而思杯，2年级，第4题【解析】先看横着的正方形如下图⑴，可以得到94114++=个正方形，再看斜着的正方形如下图⑵可以得到4个正方形，如下图⑶可以得到2个正方形．这样一共可以得到144220++=个正方形．⑴⑵⑶<考点>图形计数【答案】20个【巩固】如图，44⨯的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有个．【解析】根据正方形的大小，分类数正方形．共能组成五种大小不同的正方形(如右图)．11⨯的正方形：1个；⨯的正方形：4个；33⨯的正方形：9个；22以11⨯长方形对角线为边长的正方形：2个．⨯正方形对角线为边长的正方形：4个；以12故可以组成9414220++++=(个)正方形．【巩固】下图是3×3点阵，同一行(列)相邻两个点的距离均为1。
2023年通用版小学数学四年级奥数第五讲《图形的计数》课件
能力冲浪 2
1、下图中分别有多少个三角形？
2、下图中共有多少个三角形？其中直角三角形有多少个？
3、下图中共有多少个长方形？
其他
1、在下列各图中，每个最小的正三角形的面积都等于 1，分别求出每个图中所 有各种三角形的面积之和。
2、下图中共有多少个正方形？
3、下图中大大小小共有 42 个正方形，在这些正方形中，所含的数字之和能被 5 整除的有多少个？
5、在 6×6 的方格棋盘中，可以找到多少个下图中所示的“凸”字形图形？
第五讲 图形的计数
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit.
例 1：下列各图中各有多少个小于 180°的角？
能力冲浪 1
1、右图中∠1=∠2=∠3，如果图中所有角的和等于 180°， 那么∠AOB 是多少度？
2、圆周上有 6 个点，以其中两个点为端点的弧共有多少条？
4、下列各图中分别有多少个梯形？ 5、左下角中有许多大大小小的三角形，其中包含阴影部分的三角形有几个？
6、在 4×4 的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L”型（如下图）， 共有多少种不同的取法？
7、把 0~9 十个数字像下图那样描在同一张 3×5 的方格纸上，每个小方格被涂的 次数有多有少，最多的被涂了 9 次，被涂了 9 次的小方格有多少个？
变式：把 0~9 十个数字像下图那样描在同一张次数有多有少，没有被涂到的小方格共有多少个？
1、数一数，下图中共有 条线段。
随堂练习
2、图中有几种角？各有几个？将它们表示出来。（只考虑小于平角的角）
4、如下图，ABCD 是平行四边形，图中的线段分别与 AB，AD 或 BE 平行。图中包 含阴影三角形的平行四边形共有多少个？
全国通用四年级下册数学课件-图形计数问题 (共14 张ppt)
提升思维：
例1.数出图中共有多少条线段。
图形二：如何数角的个数
有多少个角？
有没有更加简单 的方法？？？
想一想？
1个
3个
1+2=3
6个
1+2+3=6Fra bibliotek2×3÷2 3×4÷2
10个
1+2+3+4=10
5×4÷2
有什么规律：
总结
若由一个点引出n条射线， 则一共可数出n(n－1)÷2个 角。
图形三：如何数三角形的个数
总结
长边上的线段条数×宽边上 的线段条数=长方形的总个 数
图形五：如何数正方形
有多少个正方形？
有没有更加简单 的方法？？？
数出下图中有几个正方形？
8个 3×2+（3-1）×（2-1）=8个
20个
3×4+（3-1）×（4-1）+（3-2）×（4-2） =20个
40个
5×4+（5-1）×（4-1）+（5-2）×（4-2)+(5-3)× （4-3）=40
THE END famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
。2021年3月15日星期一2021/3/152021/3/152021/3/15 • 15、会当凌绝顶，一览众山小。2021年3月2021/3/152021/3/152021/3/153/15/2021 • 16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2021/3/152021/3/15March 15, 2021
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不重不漏—— 几何计中的容斥原理
例题六（★★★★）
如图，用9枚钉子钉成水平和竖直间隔都为1的正方阵。用一根 橡 皮筋将3枚不共线的钉子连接起来就形成一个三角形。其中 面积为1的三角形有多少个？
面积为1的三角形共有： 16+8+8=32（个）
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和面积相关——熟悉公式 利用图形对称性
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共能套出
个正方形。
共有正方形： 20+6+4=30（个） 答：共能出正方形30个。
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分类★）
车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台到第五台修复时间依 次为18，30，17，25，20分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失 5元。现有两名工作效率相同的修理工 ⑴怎样安排才能使得经济损失最少？ ⑵怎样安排才能使从开始维修到维修结束历时最短？
例题七（★★★）
图中一共有多少个三角形？
设最小的三角形面积为1份 共16+24+20+8+4=72（个） 答：图中一共有72个三角形。
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按面积分类 利用图形对称性
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枚举法——按照大小和位置 对应法——找到对应关系 容斥原理——不重不漏 和面积相关——熟悉公式 利用图形对称性 重点例题：例4，例5，例6
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几何计数
四年级 第24课
例题一（★★）
下图中可以数出多少个三角形？
由一部分构成的三角形有16个。 由两部分构成的三角形有16个。 由三部分构成的三角形有8个。 共有三角形16+16+8=40（个）
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小技巧—— 利用图形对称性
例题二（★★★）
如图，木板上钉着20个钉子，形成4行5列的正方形钉阵。那么橡皮筋一
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以下赠品教育通用模板
前言
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化繁为简——对应法
例题四（★★★）
下图中包含★的长方形共有多少个？
★
包含★的长方形有： 2×3×3×4=72（个） 答：包含★的长方形有72个。
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圈猪法—— 寻找对应关系
例题五（★★★★）
在下图中只包含一个★的长方形有多少个？
★
★
包含★1的长方形有：2×3×3×5=90（个） 包含★2的长方形有：3×4×2×4=96（个） 同时包含两个★的长方形有：2×3×2×4=48（个）
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（2）因为（18+30+17+25+20）÷2=55（分）
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短时优先 与排队原则
例题三（★★★★）
用橡皮筋可以在6×6的格点阵中套出多少个如图所示的格 点三角形？（三角形可旋转、翻转）
每个2×4的格点阵中有4三角形形。 6×6的格点阵中有2×4的格点阵3×5×2=30（个） 所以共有三角形30×4=120（个） 答：可以套出三角形120个。
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