泰勒展开式的余项救人一命
泰勒展开余项公式
泰勒展开余项公式好的，以下是为您生成的关于“泰勒展开余项公式”的文章：在数学的奇妙世界里，泰勒展开余项公式就像是一把神奇的钥匙，能为我们打开一扇扇通往精确计算和深刻理解的大门。
咱们先来说说啥是泰勒展开。
想象一下，有一个复杂的函数，弯弯曲曲的，让人摸不着头脑。
但泰勒展开就厉害了，它能把这个复杂的函数用一系列简单的多项式来近似表示。
这就好比把一头难以驯服的怪兽变成了一群温顺的小绵羊，是不是很神奇？那泰勒展开余项公式又是啥呢？简单来说，它就是用来衡量这个近似到底有多准确的一个工具。
记得有一次，我在给学生们讲解这个概念的时候，有个调皮的小家伙皱着眉头问我：“老师，这玩意儿到底有啥用啊？”我笑了笑，给他举了个例子。
咱们假设要计算一个数的平方根，比如说2 的平方根。
如果直接算，可能有点头疼。
但如果用泰勒展开，那就简单多啦。
我们把根号 x 这个函数进行泰勒展开，然后代入 x = 2 进行计算。
这时候，余项公式就能告诉我们，我们算出来的这个近似值和真正的准确值之间的差距有多大。
就像你去买水果，老板告诉你这袋苹果大概有 5 斤，但可能会有上下半斤的误差，这个误差范围就是余项公式告诉我们的。
再深入一点说，泰勒展开余项公式还有不同的形式呢，比如拉格朗日余项、佩亚诺余项等等。
每种余项都有它适用的场景和特点。
拉格朗日余项就像是一个严格的监考官，能给出比较精确的误差估计，但计算起来可能会稍微复杂一点。
而佩亚诺余项呢，则更像是一个宽松的朋友，在一些特定的情况下，能让我们快速地了解误差的大致情况。
在实际应用中，泰勒展开余项公式可是大有用处的。
比如在物理学中，研究物体的运动轨迹；在工程学中，设计精密的仪器；在计算机科学中，优化算法提高计算效率等等。
想象一下，如果没有泰勒展开余项公式，很多科学研究和工程设计都可能会变得像没头的苍蝇，到处乱撞，找不到准确的方向。
所以啊，同学们，可别小看了这个泰勒展开余项公式，它虽然看起来有点复杂，有点让人头疼，但只要我们用心去理解，去掌握，它就能成为我们解决问题的有力武器，带我们在数学的海洋里畅游，探索更多的奥秘！总之，泰勒展开余项公式就像是数学世界里的一颗璀璨明珠，虽然有时候它被隐藏在厚厚的知识云雾中，但只要我们坚持不懈地去追寻，去探索，总有一天能揭开它神秘的面纱，领略到它独特的魅力和无限的价值。
利用泰勒公式求极限分母的余项证明处理
泰勒公式是一种用于近似复杂函数的方法，它基于函数的导数信息在某一点附近展开函数。
泰勒公式的一般形式为：
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)/2!(x-a)^2 + ... + f^n(a)/n!(x-a)^n + R_n(x)
其中，f^n(a) 表示函数 f 在点a的n阶导数，R_n(x) 是泰勒公式的余项，它表示了泰勒展开式与实际函数值之间的误差。
在求极限的过程中，我们有时需要处理分母含有泰勒公式的余项的情况。
为了处理这种情况，我们通常会使用洛必达法则（L'Hôpital's Rule）或者泰勒公式的余项性质。
洛必达法则允许我们在极限表达式中分子和分母同时求导，从而简化表达式。
如果分子和分母在某一点的导数都存在，并且分母在该点的导数不为零，那么极限值就等于分子和分母在该点的导数的商的极限值。
对于泰勒公式的余项，如果我们知道它的阶数（即n的值），我们可以利用这个信息来估计余项的大小。
例如，如果余项是O((x-a)^(n+1))，那么当x趋近于a时，余项将趋近于零，因为任何正数的(n+1)次方在x趋近于a时都会趋近于零。
在处理含有泰勒公式余项的极限时，我们通常会结合使用洛必达法则和泰勒公式的余项性质。
首先，我们尝试使用洛必达法则简化表达式。
然后，我们利用泰勒公式的余项性质来估计余项的大小，从而确定极限的值。
请注意，这里提供的是一种一般性的方法，具体的处理步骤可能会因具体的函数和极限表达式而有所不同。
在实际应用中，我们需要根据具体情况灵活应用这些方法。
多元函数的泰勒展开余项
多元函数的泰勒展开余项多元函数的泰勒展开余项在微积分中，泰勒展开是一个重要的数学工具，用于近似表示函数。
泰勒展开式将一个光滑函数表示为无穷级数，使我们能够更好地理解函数的性质和行为。
而余项则是用来衡量泰勒展开近似的精确度。
在本文中，我们将探讨多元函数的泰勒展开以及其余项，深入理解这一概念的数学原理和应用。
一、多元函数的泰勒展开多元函数的泰勒展开是将一个多元函数表示为该点附近的多项式的级数。
与一元函数的泰勒展开类似，多元函数的泰勒展开也包括各阶导数的信息。
给定一个函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$，我们可以通过以下公式来计算它在点$(a_1,a_2,...,a_n)$处的泰勒展开式：$$f(x_1,x_2,...,x_n) = f(a_1,a_2,...,a_n) + \sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_i}(a_1,a_2,...,a_n)(x_i-a_i) + \frac{1}{2!} \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(a_1,a_2,...,a_n)(x_i-a_i)(x_j-a_j) + ...$$其中，$\frac{\partial f}{\partial x_i}$表示函数$f$对$x_i$的偏导数，而$\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}$表示函数$f$对$x_i$和$x_j$的二阶混合偏导数。
展开式中的每一项都包含一个特定阶数的偏导数乘以相应的差值。
这些项逐渐考虑了函数在$(a_1,a_2,...,a_n)$附近的各阶变化情况，从而近似描述了函数的性质。
二、泰勒展开余项的概念在使用泰勒展开来近似表示一个函数时，我们通常需要考虑展开式的截断误差。
这个误差取决于我们取泰勒级数展开的阶数和展开点附近的函数变化情况。
泰勒(Taylor)展开式(泰勒级数)
泰勒(Taylor)展开式（泰勒级
数）
目录
泰勒公式
余项
1、佩亚诺(Peano）余项：
2、施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche）余项：
3、拉格朗日（Lagrange）余项：
4、柯西（Cauchy）余项：
5、积分余项：
带佩亚诺余项
参考资料
泰勒公式
泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f(x)利用关于(x-x0)的n次多项式来逼近函数的方法。
若函数f(x)在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间(a,b)上具有(n+1)阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式：
其中表示f(x)的n阶导数，等号后的多项式称为函数f(x)在x0处的泰勒展开式，剩余的Rn(x)是泰勒公式的余项，是(x-x0)n的高阶无穷小。
余项
泰勒公式的余项Rn(x)可以写成以下几种不同的形式：
1、佩亚诺(Peano）余项：
这里只需要n阶导数存在
2、施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche）余项：
其中θ∈(0,1)，p为任意正实数。
（注意到p=n+1与p=1分别对应拉格朗日余项与柯西余项）
3、拉格朗日（Lagrange）余项：
其中θ∈(0,1)。
4、柯西（Cauchy）余项：
其中θ∈(0,1)。
5、积分余项：
其中以上诸多余项事实上很多是等价的。
带佩亚诺余项
以下列举一些常用函数的泰勒公式：
参考资料
泰勒的通俗理解：
泰勒的更深层次的理解：。
带有皮亚诺余项的泰勒公式
带有皮亚诺余项的泰勒公式皮亚诺余项的泰勒公式，数学里的“小秘密”嘿，小伙伴们，今天咱们来聊聊那个让人又爱又恨的数学问题——带皮亚诺余项的泰勒公式。
这个公式啊，就像是数学界的“神秘宝藏”，藏着无数的秘密等着我们去发现。
咱们先从什么是皮亚诺余项开始讲起。
得知道什么是皮亚诺余项。
简单来说，就是那些在数学中用来描述一个函数在某一点附近的行为的“小助手”。
它们就像是数学里的“小精灵”，帮助咱们更好地理解函数的变化规律。
而泰勒公式呢，就是这些“小精灵”们的大聚会，它们聚在一起，把函数在某一点的附近行为说得明明白白。
那么，这些“小精灵”是怎么工作的呢？简单来说，就是通过一个个的小步骤，一步步逼近目标点，然后根据每一步的结果，计算出下一步应该走的方向。
这个过程就像是我们玩游戏时，一步步靠近终点，然后根据每一步的反馈，调整自己的策略。
现在，咱们来具体看看这个公式怎么用。
想象一下，你正在做一个数学题，题目是求一个函数在某个点的值。
你知道这个函数的形状和变化规律，但是你不确定这个点的具体位置。
这时候，你就可以使用泰勒公式，把这个问题变成一系列小问题来解决。
举个例子，假设你想求函数f(x)=3x^2+1在x=1处的函数值。
你可以先计算f(0)、f'(0)、f''(0)……这样一步步逼近目标点。
你会得到一个关于x的方程，解这个方程，你就能求出x=1处的函数值了。
但是，别以为这就结束了。
泰勒公式还有更厉害的地方。
比如，你还可以用它来求函数在某一点的二阶导数、三阶导数……甚至更多阶的导数。
这就像是给你的函数装上了一双“透视眼”，让你能看得更远，看得更清楚。
当然啦，泰勒公式也不是万能的。
有时候，它可能会遇到麻烦。
比如，当你的目标点不在函数的定义域内时，或者当你想要求的阶数太高时，泰勒公式可能就无法直接使用了。
这时候，你可能需要借助一些其他的数学工具或技巧来解决这些问题。
总的来说，带皮亚诺余项的泰勒公式就像是一个神奇的魔法棒，它能帮你解决各种数学问题，让你的数学之路更加顺畅。
泰勒展开公式余项
泰勒展开公式余项
泰勒展开公式是一种将函数表示为无限项多项式的方法，它可以在某个点处对函数进行局部逼近，从而对函数进行分析和计算。
但是，泰勒展开公式只是一个逼近，它并不能完全代替原函数，因此需要考虑余项的影响。
泰勒展开公式的余项是指用多项式逼近原函数时，多项式与原函数之间的差别。
余项的大小决定了逼近的精度，因此余项的计算在泰勒展开公式中十分重要。
泰勒展开公式的余项通常使用拉格朗日余项或者佩亚诺余项进
行计算。
拉格朗日余项是基于拉格朗日中值定理，通过将余项表示为函数在某一点的导数来计算。
而佩亚诺余项则是基于佩亚诺余项定理，通过将余项表示为函数在某一点的高阶导数来计算。
在实际应用中，泰勒展开公式的余项可以用于误差估计和收敛性分析。
例如，在数值计算中，可以利用余项来确定逼近的精度，选择合适的逼近阶数以达到所需的精度要求。
在微积分中，可以使用余项来证明某些函数的收敛性或者非收敛性。
总之，泰勒展开公式的余项是一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和应用泰勒展开公式。
- 1 -。
带积分余项的泰勒公式
带积分余项的泰勒公式泰勒公式是数学中一种重要的近似方法，它可以通过一函数在某点的导数值来近似计算该函数在该点的函数值。
当我们想要对非常复杂的函数进行计算时，泰勒公式可以帮助我们简化问题。
通常，泰勒公式分为两种形式：泰勒展开式和带积分余项的泰勒公式。
泰勒展开式是泰勒公式的一种特殊形式，它适用于无穷次可导的函数。
泰勒展开式的表达式如下：\[f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{{f''(a)}}{{2!}}(x-a)^2 +\frac{{f'''(a)}}{{3!}}(x-a)^3 + ... + \frac{{f^n(a)}}{{n!}}(x-a)^n \]其中，\(f(a)\)是函数在点\(a\)处的函数值，\(f'(a)\)是函数在点\(a\)处的一阶导数值，\(f''(a)\)是函数在点\(a\)处的二阶导数值，依此类推，\(n\)是展开的阶数。
这种形式的泰勒公式适用于求解比较简单的问题，比如计算一些特定点的函数值。
但是，对于复杂的函数来说，当我们只计算某个特定点的函数值时，其余项的影响是很小的，因此无需考虑。
而带积分余项的泰勒公式则可以用于计算函数在某点附近的一段区间内的函数值。
带积分余项的泰勒公式的表达式如下：\[f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{{f''(a)}}{{2!}}(x-a)^2 +\frac{{f'''(a)}}{{3!}}(x-a)^3 + ... + \frac{{f^n(a)}}{{n!}}(x-a)^n + \frac{{f^{(n+1)}(c)}}{{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}\]其中，\(c\)是介于\(a\)和\(x\)之间的一个常数。
这种形式的泰勒公式可以更准确地近似计算函数在某点附近区间内的函数值，因为它考虑了余项的影响。
泰勒展开式数学公式
泰勒展开式数学公式好嘞，以下是为您生成的关于“泰勒展开式数学公式”的文章：咱一提到泰勒展开式，好多同学可能就觉得脑瓜子嗡嗡的，这玩意儿咋这么复杂呢！但其实啊，它就像一个藏着无数宝藏的神秘宝箱，只要咱找到了打开它的钥匙，就能发现其中的奇妙之处。
我记得有一次给学生们讲泰勒展开式的时候，有个叫小李的同学，那表情简直比苦瓜还苦。
他瞪着眼睛看着黑板上的公式，嘴里嘟囔着：“这都是啥呀，老师，我感觉我要被它打败了！”我笑着对他说：“别着急，咱们一步步来。
”先来说说泰勒展开式到底是啥。
其实啊，它就是用一个无穷级数来逼近一个函数。
简单点说，就是把一个复杂的函数拆解成一堆简单的多项式相加的形式。
比如说，sin(x) 这个函数，通过泰勒展开式，就能变成一堆 x 的幂次的组合。
那泰勒展开式有啥用呢？这用处可大了去啦！想象一下，你要计算一个很复杂的函数值，直接算可能超级麻烦，但如果用泰勒展开式，只取前面几项就能得到一个相当接近的近似值，这多方便！就好比你要去一个很远的地方，泰勒展开式就是给你找了一条捷径。
再比如说，在物理中研究振动问题，很多时候就会用到泰勒展开式。
还有在工程计算中，为了让计算机能更快地处理数据，也经常会用到它。
咱来具体看看泰勒展开式的公式：f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)(x - a)²/2! + f'''(a)(x - a)³/3! +... 这里的 f'(a)、f''(a) 啥的就是函数在点 a 处的一阶导数、二阶导数等等。
咱们拿个简单的例子瞅瞅，比如把 e^x 在 x = 0 处展开。
e^x 的导数还是 e^x ，所以在 x = 0 处，f(0) = 1 ，f'(0) = 1 ，f''(0) = 1 ，依次类推。
那泰勒展开式就是 1 + x + x²/2! + x³/3! +... 你看，是不是挺神奇的！学习泰勒展开式的时候，可别死记硬背公式，得多做几道题练练手。
泰勒公式及其应用
泰勒公式及其应用本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！引言在我们解决一些数学问题中，泰勒公式是一个极为有用的公式。
当解决某些比较复杂的函数时，泰勒公式可以把这些复杂的函数近似的表示为一种简单的多项式函数，这会使我们减少了许多不必要的麻烦，起到事半功倍的作用。
泰勒公式是我们解决一些代数和数值计算发挥了决定性的作用。
本文通过对其定义及其展开式、常见的展开式和余项进行介绍，总结泰勒公式在解决许多数学问题中常见的应用，即求函数的极限、在等式与不等式方面、在近似计算上、在证明中值公式中、判断级数及积分收敛中、求函数高阶导、判断函数的极值点中、在界的估计方面、求行列式的值方面的应用[2-16]，并通过例题对其应用进行解释说明。
第一章泰勒公式泰勒公式的背景及意义英国著名的数学家布鲁克•泰勒，是十八世纪早期英国牛顿学派的杰出代表人物之一，1685年出生于米德尔赛克斯的埃德蒙，泰勒公式得名于他。
泰勒一生中有许多著作，其中主要的著作是《正和得增量方法》，书中描述了他在1712年7月给他的老师梅钦（数学家，天文学家）信中首先提出的著作定理——泰勒公式[1]。
在数学分析中，对于我们解决某些问题，比如我们常常会碰到一些比较复杂的函数，为了解决此类问题，可以利用泰勒公式将复杂的问题变成简单的作用，将这些复杂的函数转化为常见的、简单的多项式，这样我们就能够更简便的解决出问题。
可以看出这对某些函数值的计算和函数形态的研究都具有极为重要的意义。
泰勒公式的意义是：一个多项式，它是函数关于的n次多项式，用它与函数作差后所得的是比高阶的无穷小，并给出其误差，这样就为研究和计算一些比较复杂的函数和估计误差提供了有效的方法。
泰勒公式是由关于的n次多项式以及余项组成的，下面来探讨一下：当时，有是的曲线在点处的切线（方程），称为曲线在点的一次密切[2]。
taylor公式余项的几种形式及应用
taylor公式余项的几种形式及应用Taylor公式是高等数学中的一个重要定理，它可以将函数在某一点附近展开成一个无限项的幂级数，用来近似地表示函数。
在实际问题中，我们往往只需要保留前面几项，这时就需要考虑余项的大小及其对近似的影响。
本文将介绍Taylor公式的余项及其几个常见形式和应用。
1. 常见余项形式及其含义(1) 拉格朗日余项：在Taylor公式中，拉格朗日余项是指余项可表示为函数在展开点与近似点中间某个点处的导数乘以展开点与近似点之间的距离。
即在展开点x0的某个区间内，对于任意x，函数f(x)可以表示为：f(x) = f(x0) + f'(x0)(x-x0)/1! + f''(x0)(x-x0)/2! + ... + f(n)(c)(x-x0)/n!，其中c为x0和x之间的某个点，称为拉格朗日余项。
(2) 佩亚诺余项：佩亚诺余项是Taylor公式中的高阶无穷小项，它表示当x趋于展开点时，函数f(x)的误差趋近于0的速度比(x-x0)更快，可以用o((x-x0))表示。
(3) 带Peano余项的Taylor公式：带Peano余项的Taylor公式是将余项表示为高阶无穷小项的和，即f(x) = f(x0) + f'(x0)(x-x0)/1! + f''(x0)(x-x0)/2! + ... + f(n)(x0)(x-x0)/n! + o((x-x0))。
2. 应用举例(1) 求函数的近似值利用Taylor公式可以将函数在某一点附近展开成一个无限项的幂级数，如果只保留前面几项，则可以用来近似地表示函数。
例如，对于函数f(x) = e^x，如果在x = 0处展开，可以得到：e^x = 1 + x + x/2! + x/3! + ... + x/n! + o(x)。
如果只保留前两项，则可以用来近似地计算e^0.1的值：e^0.1 ≈ 1 + 0.1 = 1.1而实际上，e^0.1的精确值是1.10517091808，可以看出用两项展开的误差并不大。
关于taylor定理的余项
关于taylor定理的余项
Taylor定理是一种除法来得到函数的拟合，可用于估算不可微分的函数，只要提供它的前一次值的一阶导数。
它的基本原理是，给定函数f在x=a处的值，当x=a+h时，它的差值可以表示为f（a）+f'（a）·h·（1+ε）。
在数学运算中，泰勒定理会有“余项”存在，那就是ε，表示“taylor定理的余数”。
这个余数可以视作为函数表述的误差范围，在当前函数未知变量h=0时，余项ε就会变成0，即余项就等于函数值的误差。
如果余数绝对值较小，则说明函数表示的准确性比较高，反之准确性就低。
余项ε的计算方法有两种，一种是通过函数f的高阶导数计算，另一种是直接地求函数f 的余项。
其中，第一种方法更容易推导，但不能准确估计余项值；而第二种方法可以精确计算余项值，但不一定容易推导。
由于余项ε有可能判断函数表示的准确性，因此有时在实际运算中会考虑到余项的大小。
当余项ε的大小被认为较大时，则表明函数的准确性较低，此时会尝试采取一些措施来减少余项ε的大小，提高函数的准确性。
总的来说，泰勒定理的余项ε可以用来区分函数表示的准确性，可以帮助我们看清函数的正确性；它可以通过函数高阶导数求解，也可以通过函数求余项求解。
当余项ε被判定较大时，可以采取一些措施减少余项大小，从而提高函数的准确性。
三阶带佩亚诺余项的泰勒公式
三阶带佩亚诺余项的泰勒公式嘿，伙计们！今天我们要聊聊一个非常有趣的数学概念——泰勒公式。
你们知道吗，泰勒公式可是数学界的大明星，它可以帮助我们解决很多复杂的问题呢！而且，这个公式还有一个特别好玩的“小伙伴”，那就是三阶带佩亚诺余项的泰勒公式。
别看这个名字有点复杂，其实它的作用和普通的泰勒公式差不多，只不过它多了一个“佩亚诺余项”的概念，让整个公式变得更加神秘有趣。
让我们来简单了解一下什么是佩亚诺余项。
佩亚诺余项是用来表示泰勒公式中每一项的系数的，它的形式非常特殊，就像是一个小学生写的作业本上的答案一样。
佩亚诺余项的特点是，当展开到某一阶时，它的值为0,而当展开到更高阶时，它的值又会重新出现。
这就好像是一个小学生在做作业时，先把题目简化成一个简单的形式，然后再逐步展开回原来的问题。
这样一来，我们就可以更容易地理解和求解这个问题了。
那么，三阶带佩亚诺余项的泰勒公式又是什么呢？它其实就是在普通的泰勒公式的基础上，增加了佩亚诺余项的概念。
具体来说，三阶带佩亚诺余项的泰勒公式可以用下面的这个等式来表示：f(x) = f(a) + f'(a)(x a) + f''(a)(x a)^2/2! + ... + f^n(a)(x a)^n/n! + R_n(x)其中，f(x)表示函数f在x处的值，f'(a)表示函数f在a处的一阶导数，f''(a)表示函数f在a处的二阶导数，以此类推，f^n(a)表示函数f在a处的n阶导数；R_n(x)表示泰勒公式中的佩亚诺余项；a表示我们要求解的点；x表示我们要求的点的横坐标。
看到这个等式，你是不是觉得有点晕？没关系，咱们一点点来分析。
我们可以看到等式的左边有两部分组成：第一部分是f(a),表示函数f在a处的值；第二部分是R_n(x),表示泰勒公式中的佩亚诺余项。
这两部分加在一起，就得到了我们要求解的点x处的函数值。
接下来，我们再来看一下等式的右边。
泰勒公式的各种余项形式及其多种证明
（五）带有 明确表 达式余项的 Ｔａｙｌｏｒ公 式 设 ，（ ）在 ［Ｏ／，口］上 有 连 续 的 ｎ阶 导 数 ”（ ），且 ””（ ）在 （ＯＬ，｜Ｂ）内存在 ，取定一个 ｎ ［Ｏｔ，卢］，又设 函数 妒 在 ［Ｏｌ，卢］上连续 ，且 在 （Ｏｔ，卢）内 有不 等 于零 的导 数 ，则有 ∈（ａ， ），使 得
０
一 ａ）
０
ｎ－２
（８一ａ）
Ｏ
ａ
一 ２）（ｎ一３）“８·２ （ｒｔ一２） 一２）（ｎ一３）”８·２ 一２）（ｎ—１）“
０
－１）”２ （ｎ一１） 一１）ｈ
ｆ（ｘ） ＝ｆ（ａ）＋ （
．＋
（ ＿０） ＋
（下 转 ４页 ）
数 学 学 习与 研 究 ２０１８．１７
●
Ｒ‘ （ ）一Ｒ‘ （ａ） Ｒ‘ （ ＋。）
‘ （ ）一妒‘ （ｎ） 一 ‘ （ ＋１）’
这里 ， ：，… ， 都介于 ａ与 之间．记 ＝
生 一一墨 （ 一 ：： 主２
（ ） 一 一 ‘ （ ） 一 （ｎ＋１）！’
，有
即Ｒ（ ）＝等 ： （ 一。）“＋Ｊ．
【关键词 】泰 勒公式 ；柯 西余 项；皮亚诺余项
其 中 ·（ ）＝ （源自 一 ． 三 、泰 勒 公 式 的 三 种 证 明 （一 ）用柯 西中值定 理证 明泰勒公式
记 （ ）＝（ —ｏ）” ，再记 Ｒ（ ）＝ ）一 Ｉ，（ｏ）＋
一 、 引 言 泰勒公式 “化繁 为简 ”的功 能在 数学 研究 方 面发 挥 了 很大 的作用．随着计算机 和通信 技术 的迅速发展 ，利 用计算 机进行近似计算 ，已成 为科学 研究 和工 程设计 中不可 缺少 的重要环节．泰勒公式是一个 多项 式 的拟合 问题 ，而多项式 是一种简单 函数 ，它 的研究对 我们 来说是 很方便 的．下面介 绍泰勒公式及其各 种余 项形 式 ，并 给 出三种 关于 泰勒 公式 的 证 明． 二 、泰 勒 公 式 及 其 各 种 余 项 形 式 设 Ｉ厂（ ）在 ［Ｏｔ，ＪＢ］上 有 连 续 的 ｎ阶 导 数 （ ），且
4-4泰勒公式的余项
F ( x) G(x)
F ( x) G(x)
F(x0) G(x0 )
F ( x1) G( x1 )
,
其中x1是介于x0与x之间的一点.
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F (x1) F(x1) F(x0 ) F(x2) , G(x1) G(x1) G(x0 ) G(x2 )
4-4 关于泰勒公式的余项 定理 1 设函数f(x)在(a b)内有(n1)的阶导数,则对(a b) 中任意取定的一点x0及任意的x(a, b) 有
f
(x)
f
(x0 )
f
(x0)(x
x0)
1 2!
f
(x0)(x
x0)2
1 n!
f
(n)(x0)(x
x0)n
e xn1 (n 1) !
( x ).
2. sinx x 1 x3 3!
1 n1
x 2 n 1
2n 1!
1n
cos
2n 1!
x 2 n 1
x ;
3. cosx 1 1 x2 2!
1n
取n 5即可,因为
1 3108. 11!
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需解问题的类型: 1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ; 2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差; 3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.
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3 泰勒公式
只须证明 ak = bk , k = 0,1,2,L, n.
上式中令 x → x0 , 则 a0 = b0 .
函数展开式中消去常数 项，并除以 x − x0 得 :
a1 + a2 ( x − x0 ) + L + an ( x − x0 )n−1 + o(( x − x0 )n−1 ) = b1 + b2 ( x − x0 ) + L + bn ( x − x0 )n−1 + o(( x − x0 )n−1 )
P ( x) = a0 + a1( x − x0 ) + a2 ( x − x0 )2 + L+ an ( x − x0 )n n
误差 Rn ( x) = f ( x) − Pn ( x)
分析: 分析
近 似 程 度 越 来 越 好
1.
x0 Pn ( x0 ) = f ( x0 )
y
y = f (x)
f ( x) ≈ f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 )
[ f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + o( x − x0 )]
例如, 很小时, 例如, 当x 很小时, e ≈ 1 + x , ln(1 + x) ≈ x
x
y = ex
y = ex
x2 7 4 x2 7 4 4 = e[1 − + x + o( x )] = e − e + e x + o( x 4 ) 2 4 2 4
1 5. 给定一般项为 an = 1 − n sin 的趋于 0 的序列， 的序列， n 穷小。 试求出它的一个等价无 穷小。
三、泰勒公式的妙用
泰勒公式的妙用一、对泰勒公式的理解１、泰勒公式的展开形式：()()()()()()()()000001!!n nn f x f x f x f x x x x x R x n '=+-++-+２、泰勒公式的余项形式：(1)皮亚诺型余项：()()()0nn R x o x x =- (2)拉格朗日型余项：()()()()()1101!n n n fR x x x n ξ++=-+ (3)积分型余项：()()()()011!xn n n x R x f t x t dt n +=-⎰()000,01,0,x x x x x ξθθξθ=+-<<==。
３、泰勒公式的实质：()()201!2!!n n dy d y d y y ox x n ∆=++++-用函数在0x 点的各阶微分逼近函数增量的真值。
上式右端中的第一个非零项即为0x x →时与函数增量等价的无穷小项。
如果令00x =，即得到麦克劳林公式：()()()()()()()200001!2!!nnn f f f f x f x x x o x n '''=+++++对应余项形式为：()()()()()()()()111011!!n x n n n n n fR x o x x f t x t dtn n ξ+++===-+⎰ 三、泰勒公式的使用场合（一）讨论极限时用来分离无穷小主部()()()()33333333sin ,arcsin 66tan ,arctan 33x x x x o x x x o x x x x x o x x x o x =-+=++=++=-+ 例1.求极限)ln())((limxx dt t e t x tx 1112112+--⎰+∞→．()2211111212lim lim 2xx x t t dt x t t x x →+∞→+∞⎡⎤⎛⎫+- ⎪-⎢⎥⎝⎭⎣⎦==⎰解：原式＝ 例2.求极限()()2201lim ln 10x a a ax a x x →⎡⎤⎛⎫--+≠ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦解：原式＝222422322001lim lim 2222x x a a x a a a a a a ax a x x x x x x →→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=---+= ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭ 例3.()01lim ln 1x x x x →--+求极限()22022011sin 2sin 18:lim11112lim .2x x x x x x x x x x →→+---=+---==-解原式 例4.求极限2011lim tan x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭322300011tan 13lim lim lim tan tan 3x x x x x xx x x x x x x x →→→+--⎛⎫-=== ⎪⎝⎭解： （二）证明题中展开点的选择充满智慧１.当题目中出现,22a b b a +-时可以在[],a b 的中点02a bx +=处展开，此时注意到：002b ab x x a --=-=.如果令000,,,22b a a bh x b x h a x h -+==⇒-=-=-()()()()()()()()()()()()()()423400004234000011126241112624f b f x f x h f x h f x h f h f a f x f x h f x h f x h f h ξξ''''''=++++''''''=-+-+二式相加，可以消去()()00,;f x f x ''''二式相减，可以消去()()00,.f x f x '' 根据解题需要确定。
泰勒公式的应用
泰勒公式和其应用摘要文章简要介绍了泰勒公式的证明和其推导过程，详细讨论了泰勒公式在最优化理论领域的应用，分别讨论了泰勒公式在理论证明和算法设计上面的应用，并用简单的算例加以说明。
关键词：泰勒公式，最优化理论，应用一、泰勒公式1.1 一元泰勒公式若函数)(x f 在含有的开区间),(b a 内有直到1+n 阶的导数，则当函数在此区间内时，可展开为一个关于)(0x x -的多项式和一个余项的和：10)1(00)(200000)()!1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-''+-'+=n n n n x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 其中=)(x R n 10)1()()!1()(++-+n n x x n f ξ在和之间的一个数，该余项)(x R n 为拉格朗日余项。
1.1.1 泰勒公式的推导过程我们知道α+-'+=))(()()(000x x x f x f x f ，其在近似计算中往往不够精确，于是我们需要一个能够精确计算的而且能估计出误差的多项式：n n x x a x x a x x a a x p )()()()(0202010-++-+-+=来近似表达函数)(x f ；设多项式)(x p 满足)()()()(),()(0)(0)(0000x f x p x f x p x f x p n n ='='= 因此可以得出n a a a 10,.显然，00)(a x p =，所以)(00x f a =；10)(a x p ='，所以)(01x f a '=；20!2)(a x p =''，所以 !2)(02x f a ''=n n a n x p !)(0)(=，所以有!)(0)(n x f a n n = 所以，n n x x n x f x x x f x x x f x f x p )(!)()(!2)())(()()(00)(200000-++-''+-'+= 1.1.2 泰勒公式余项的证明我们利用柯西中值定理来推出泰勒公式的余项（拉格朗日余项）：设)()()(x p x f x R n -=于是有0)()()(000=-=x p x f x R n所以有0)()()()(0)(000===''='=x R x R x R x R n n n n n根据柯西中值定理可得：n n n n n n n x n R x x x R x R x x x R ))(1()(0)()()()()(011)1(00)1(0-+'=---=-++ξξ是在和之间的一个数； 对上式再次使用柯西中值定理，可得：)1(022*******))(1()()0))(1(()()())(1()(--+''=--+'-'=-+'n n n n n n n x n n R x n x R R x n R ξξξξξξ是在和之间的一个数； 连续使用柯西中值定理1+n 次后得到：)!1()()()()1()1(0+=-++n R x x x R n n n n ξ 这里是介于和之间的一个数。
泰勒展开的公式及定义
泰勒展开的公式及定义泰勒展开是一种把一个函数在一些点附近用多项式逼近的方法。
它的公式如下所示：\[ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{{f''(a)}}{{2!}}(x-a)^2 + \frac{{f'''(a)}}{{3!}}(x-a)^3 + \ldots +\frac{{f^{(n)}(a)}}{{n!}}(x-a)^n \]其中，f(x)是要逼近的函数，f'(x)是函数的一阶导数，f''(x)是函数的二阶导数，f'''(x)是函数的三阶导数，以此类推，f^(n)(x)是函数的n阶导数。
而a是逼近点，也是展开的基准点。
假设我们想要在点a附近用一个一次多项式逼近函数f(x)，我们可以使用泰勒展开来实现。
根据公式，我们可以得到如下的一次逼近多项式：\[ f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) \]这个逼近多项式看起来很简单，它只是在点a处的函数值，加上a点处的一阶导数乘以x-a。
如果我们想要更高阶的逼近多项式，我们可以继续进行展开。
\[ f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{{f''(a)}}{{2!}}(x-a)^2 \]同样，对于更高阶的逼近，我们可以使用更多的泰勒展开项来逼近函数f(x)。
然而，需要注意的是，泰勒展开只在基准点附近有效。
当我们远离基准点时，泰勒展开的逼近结果可能会变得不准确。
此外，对于一些函数，例如有界函数或者周期函数，泰勒展开可能无法有效逼近函数的全局行为。
为了解决这些问题，可以使用其他的多项式逼近方法，或者在泰勒展开上进行改进，例如使用拉格朗日插值或者牛顿插值等方法。
总结起来，泰勒展开是一种通过使用多项式来逼近函数的方法。
通过展开函数在一些点附近的多项式，我们可以用多项式来近似函数。
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泰勒展式 (Taylor expansion) 的剩余项救人一命
在俄国革命期间（1917年左右），数学物理学家塔姆 (Igor Tamm) 外出找食物，在靠近敖德萨 (Odessa) 的乡间被反共产主义的保安人员逮捕。
保安人员怀疑他是反乌克兰的共产主义者，于是把他带回总部。
头目问：你是做什么的？塔姆：我是一位数学家。
头目心存怀疑，拿着枪，手指扣着扳机，对准他。
手榴弹也在他的面前晃动。
头目说：好吧，那么一个函数作泰勒展开到第n项之后，你就把误差项算出来。
如果你算对了，就放你一条生路，否则就立刻枪毙。
于是塔姆手指发抖，战战兢兢地慢慢计算，当他完成时，头目看过答案，挥手叫他赶快离开。
塔姆在1958年获得诺贝尔物理奖，但是他从未再遇到或认出这位非凡的头目。
笔者讲授微积分，每教到泰勒定理时，都要顺便说这个故事，让学生警惕一番。
泰勒展开定理就是要利用微分与积分工具，来剖析函数的结构。
假设函数f定义在开区间 (a,b) 上，并且，当我们知道f的信息越多，对f的剖析就越精细。
这个信息包括两方面，一个是f的可微分的阶数逐渐提高，这是一种泛泛的条件；另一个是f在一点c的各阶微分系数的阶数也不断增加，这是在一点（局部）的信息之逐渐加深。
(i) 若f为一阶连续可微分，并已知f(c) 之值，那么由微积分根本定理的 Newton-Leibniz 公式知
亦即f(x) 可以剖析为清楚的f(c) 与尚未完全清楚的兩項之和。
(ii) 若f为二阶连续可微分，并且已知f(c) 与f'(c) 的值，那么由(1)式与分部积分公式得知
從而
亦即f(x) 可以剖析為清楚的一次多項式f(c)+f'(c)(x-c) 與尚未完全清楚的。
(iii) 若f為三階連續可微分，並且已知f(c), f'(c) 與f''(c) 之值，那麼由(2)式與分部積分公式得知
從而
亦即f(x) 可以剖析成清楚的二次多項式
與尚未完全清楚的剩餘項
利用積分的平均值定理，(5)式又可以寫成
我們稱P2(x) 為二階泰勒多項式。
按上述要領，繼續做下去（數學歸納法），我們就得到如下美麗的泰勒展開定理。
泰勒展開定理（1715年）：設函數f在區間 (a,b) 上具有n+1 階連續地可微分，，
則對任意，f(x) 可以展開成
其中的剩餘項（或誤差項）Rn+1(x) 可以表成微分形式或積分形式：
其中ξ 介於c與x之間，或
注：泰勒（B. Taylor, 1685～1731）是牛顿的学生，具有相当的音乐与艺术才华。
他为了探求音律之谜，首开其端用微积分来研究弦振动问题（1713年），约一个世纪之后，富立叶（Fourier）分析出现才达于高潮（1807年）。
泰勒也研究投影画法的几何学，其美术作品至今仍然被珍藏于伦敦的国家画廊（the National Gallery）之中。
来自：/kerbcurb/article/details/6117645。