角动量算符的明确形式
【精品】5.4角动量算符
【精品】5.4角动量算符角动量是量子力学中的一个重要概念，描述了物体绕某个轴旋转的性质。
在量子力学中，角动量由角动量算符表示。
5.4 角动量算符是指由两个轨道角动量算符构成的总角动量算符。
在量子力学中，角动量算符可以分为轨道角动量算符和自旋角动量算符。
轨道角动量算符用L表示，自旋角动量算符用S表示。
轨道角动量算符具有以下性质：1. 轨道角动量算符是矢量算符，具有大小和方向。
2. 轨道角动量算符的大小由量子数l确定，满足 |L| = ℏ√(l(l+1))。
3. 轨道角动量算符的z分量由量子数m确定，满足Lz = ℏm。
4. 轨道角动量算符的不确定关系为 [Lx, Ly] = iℏLz。
自旋角动量算符具有以下性质：1. 自旋角动量算符是矢量算符，具有大小和方向。
2. 自旋角动量算符的大小由自旋量子数s确定，满足 |S| = ℏ√(s(s+1))。
3. 自旋角动量算符的z分量由自旋量子数ms确定，满足 Sz =ℏms。
4. 自旋角动量算符的不确定关系为 [Sx, Sy] = iℏSz。
5.4角动量算符由轨道角动量算符L和自旋角动量算符S构成。
总角动量算符J由L和S相加，即 J = L + S。
总角动量算符的大小由量子数j确定，满足 |J| = ℏ√(j(j+1))。
总角动量算符的z分量由量子数mj确定，满足 Jz = ℏmj。
5.4角动量算符的性质：1. 5.4角动量算符的大小由量子数j确定，满足 |J| = ℏ√(j(j+1))。
2. 5.4角动量算符的z分量由量子数mj确定，满足 Jz = ℏmj。
3. 5.4角动量算符满足角动量的加法关系，即 J² = L² + S² + 2LS。
5.4角动量算符由轨道角动量算符L和自旋角动量算符S构成，描述了物体的总角动量性质。
量子力学中的角动量算符描述粒子的角动量性质
量子力学中的角动量算符描述粒子的角动量性质量子力学是研究微观世界的一门科学，其中的角动量是描述微观粒子运动的重要概念之一。
在量子力学中，角动量不再是连续的，而是以量子化的形式存在。
为了准确描述粒子的角动量性质，量子力学引入了角动量算符。
角动量算符是量子力学中的一种数学工具，用来描述粒子的自旋和轨道角动量。
自旋是粒子固有的性质，而轨道角动量则与粒子在空间中的运动有关。
角动量算符包括自旋算符和轨道角动量算符，分别记作S和L。
自旋算符S描述了粒子的自旋性质，自旋可以简单理解为粒子内部固有的旋转。
自旋算符的本征态通常用符号|s,m>表示，其中s是自旋量子数，m是自旋在特定方向上的投影。
自旋算符与自旋矩阵有关，它们的本征值代表了粒子的自旋状态。
轨道角动量算符L描述了粒子的轨道运动和角动量性质，在经典物理中，轨道角动量的大小和方向是连续变化的，而在量子力学中，它们变为用量子数来描述。
轨道角动量算符的本征值问题由角动量算符的各个分量组成，通常记作Lx、Ly和Lz。
轨道角动量算符的本征态通常用符号|l,m>表示，其中l是轨道角动量量子数，m是轨道角动量在特定方向上的投影。
自旋算符和轨道角动量算符满足一系列的关系和运算规则，比如它们之间满足对易关系，即[Sx,Sy]=iħSz。
这些关系和规则是量子力学中角动量的数学基础，通过它们可以推导出角动量的一些性质和量子态之间的变换关系。
利用角动量算符可以描述多种粒子的性质，比如电子、质子、中子等。
每种粒子都有自己特定的角动量性质，它们的角动量量子数和本征值可以通过实验测量获得。
在描述多电子系统或原子结构时，角动量算符的应用尤为重要，它可以帮助解释原子轨道、电子的自旋和轨道耦合等现象。
总结一下，量子力学中的角动量算符是用来描述粒子角动量性质的数学工具，它包括自旋算符和轨道角动量算符。
自旋算符描述了粒子的自旋性质，轨道角动量算符描述了粒子的轨道运动和角动量性质。
利用角动量算符可以推导出一系列角动量的数学关系和运算规则，并应用于多种粒子的性质描述中。
角动量算符
设m有N个值,且已知 N = 2 j + 1 → j = , 2 可见,j取零,整数和半整数.如轨道角动量j=l,电子自旋角动量j=1/2.
N 1
角动量算符的本征方程为:
J 2 j , m = j ( j + 1) 2 j , m , J z j , m = m j , m
J 2 和 J x 的本征值问题 7.1.4
A A 1 利用算符公式: e Pe = P + [ A, P] + 2 [ A, [ A, P]] + …
π
2
,则相应的
1 = Jx, 得: R J z R 2 1 2 RJ R = J ,
即
J x .R j, m = mR j, m , 2 2 J .R j, m = j ( j + 1) R j, m
2 J + J = J 2 J Z + J Z
2 J _ J + = J 2 J Z J Z
λ ≥ m 2.由前性质5,具
这样,
2 J 2 J Z = J _ J + + J Z = J + J J Z
= 1 (J + J + J _ J + ) 2
+ + = 1 (J J + J + J + ) 2
(3) (4) (5)
2 [J ± , J ] = 0
∧ [ J ± , J Z ] = J ± ;
2 J ± J = J 2 J Z ± J Z
7.1.3
J 2, JZ
的本征值
设本征方程为:
2 2 J λ , m = λ λ , m , J z λ , m = m λ , m
关于角动量各分量相关
关于角动量各分量相关表达在量子力学里，角动量算符(angular momentum operator)是一种算符，类比于经典的角动量。
在原子物理学涉及旋转对称性 (rotational symmetry)的理论里，角动量算符占有中心的角色。
角动量，动量，与能量是物体运动的三个基本特性[1]。
角动量促使在旋转方面的运动得以数量化。
在孤立系统里，如同能量和动量，角动量是守恒的。
在量子力学里，角动量算符的概念是必要的，因为角动量的计算实现于描述量子系统的波函数，而不是经典地实现于一点或一刚体。
在量子尺寸世界，分析的对象都是以波函数或量子幅来描述其概率性行为，而不是命定性 (deterministic)行为。
定义：在经典力学里，角动量定义为位置与动量的叉积：。
在量子力学里，对应的角动量算符定义为位置算符与动量算符的叉积：。
由于动量算符的形式为。
角动量算符的形式为。
其中，是梯度算符。
如果角动量分量的单位矢量用i ,j,k 表示，z y x p p p ,,，表示直角坐标系中个方向的动量，则可以有z y xp p p z yx k j i，如果相关其中一个分量与其它分量的关系可以用行列式关系。
关于z 轴方向的角动量可以用行列式x y y x z yp xp p p y xM -==角动量是厄米算符在量子力学里，每一个可观察量所对应的算符都是厄米算符。
角动量是一个可观察量，所以，角动量算符应该也是厄米算符。
让我们现在证明这一点，思考角动量算符的 x-分量 ：。
其伴随算符为。
由于 、 、 、 ，都是厄米算符，。
由于与之间、与之间分别相互对易，所以，。
因此，是一个厄米算符。
类似地，与都是厄米算符。
总结，角动量算符是厄米算符。
柱坐标角动量算符
柱坐标角动量算符引言角动量算符是量子力学中的重要概念之一，它描述了物体的旋转性质。
在经典力学中，角动量由角速度和转动惯量决定。
而在量子力学中，角动量的概念需要使用算符来描述，并且量子力学中的角动量与经典力学中的角动量有许多不同之处。
本文将介绍柱坐标下的角动量算符，以及它在量子力学中的重要应用。
柱坐标角动量算符的定义在量子力学中，角动量算符分为轨道角动量算符和自旋角动量算符。
柱坐标角动量算符是轨道角动量算符的一个特例，用来描述自由粒子的运动状态。
轨道角动量算符柱坐标系下的角动量算符可以表示为：$$\\hat{L}_z = -i\\hbar\\frac{\\partial}{\\partial \\phi}$$其中，$\\hbar$是普朗克常量的约化形式。
自由粒子的角动量对于自由粒子，其态函数能够写成径向部分和角向部分的乘积形式：$$\\Psi(r, \\theta, \\phi) = R(r)Y(\\theta, \\phi)$$其中，R(r)表示径向部分的函数，$Y(\\theta, \\phi)$表示角向部分的函数。
柱坐标角动量算符柱坐标角动量算符的形式为：$$\\hat{L}_z = -i\\hbar\\frac{\\partial}{\\partial \\phi}$$根据算符的性质，可以得出柱坐标角动量算符的平方形式为：$$\\hat{L}^2 = -\\hbar^2\\left(\\frac{1}{\\sin{\\theta}}\\frac{\\partial}{\\partial\\theta}\\sin{\\theta}\\frac{\\partial}{\\partial \\theta} +\\frac{1}{\\sin^2{\\theta}}\\frac{\\partial^2}{\\partial \\phi^2}}\\right)$$柱坐标角动量的物理意义柱坐标角动量算符描述了自由粒子的角动量性质。
角动量表达式
角动量表达式角动量是物理学中的一个重要概念，它描述了物体的旋转运动状态。
在经典力学中，角动量的表达式可以用一组基本变量来表示。
本文将介绍角动量的定义、性质、以及角动量表达式的推导过程。
一、角动量的定义角动量是一个矢量量，它定义为物体的旋转运动状态的量度。
在经典力学中，角动量的定义可以用以下公式表示：L = r × p其中，L表示角动量，r表示物体相对于某一点的位置矢量，p 表示物体的动量。
这里的×表示向量积运算。
二、角动量的性质角动量具有以下几个重要的性质：1. 角动量是守恒量。
在一个封闭系统中，如果没有外部力矩作用，那么系统的总角动量将保持不变。
这个性质被称为角动量守恒定律。
2. 角动量是一个矢量量。
角动量的方向与位置矢量和动量的方向垂直，并遵循右手定则。
3. 角动量的大小与物体的质量、速度和旋转半径有关。
当物体的速度或旋转半径增加时，角动量也会增加。
三、角动量表达式的推导我们可以通过以下步骤来推导角动量的表达式：1. 从动量的定义开始。
动量可以表示为：p = mv其中，m表示物体的质量，v表示物体的速度。
2. 将速度表示为角速度和旋转半径的乘积。
对于一个围绕某一点旋转的物体，它的速度可以表示为：v = ωr其中，ω表示角速度，r表示旋转半径。
3. 将动量表示为角速度、旋转半径和质量的乘积。
将第一步和第二步的结果代入角动量的定义式中，得到：L = r × p = r × mv = r × m(ωr) = m(r × r)ω4. 将向量积运算转化为行列式运算。
将第三步的结果写成行列式的形式，得到：L = |i j k||rx ry rz||mrx mry mrz| ω其中，i、j、k分别表示x、y、z方向的单位矢量。
5. 化简行列式并提取公因数。
将第四步的结果化简，并提取公因数，得到：L = m(r2ω)i + m(r2ω)j + m(r2ω)k综上，我们得到了角动量的表达式：L = m(r2ω)i + m(r2ω)j + m(r2ω)k四、结论角动量是一个描述物体旋转运动状态的重要概念。
9-角动量+氢原子
这表明： r = r (x, y, z) x = x (r, θ, φ)
x y z
将（1） 式两边分 别对 x y z 求偏导 数得：
将（2） 式两边分 别对 x y z 求偏导 数得：
r x = sin cos r = sin sin y r = cos z 1 = cos cos r x 1 = cos sin r y 1 = sin r z
具体计算请参考有关数学物理方法的书籍，在这里就不作详细介绍了。
球谐函数表示的角动量平方算符的本征函数可用狄拉克标记写成
Ylm ( , ) = l, m
其正交归一 条件可写成为：
l , m l , m = l ,l m,m
二、
类氢原子能级和波函数
2 2 h Ze ˆ = 1、体系 Hamilton 量 H 2 2 r
ˆ2 h2 L Ze2 2 (r ) = E 2 2 r 2 r r 2 r r
2 1 1 ˆ = h L (sin ) sin 2 2 sin 2 2
x
球 坐 标
此式使用了角动量平方 算符 L2 的表达式：
=0
[( s)( s 1) l (l 1)]b
[ s( s 1) l (l 1)]b0
令 ν'=ν-1 第一个求和改为
s 2
[ ( s )]b s 1 = 0
=0
把第一个求和号中ν= 0 项单独写出，则上式改为：
角动量平方算符
ˆ z zp ˆ y = ih ( y Lx = yp z z y ) ˆ x xp ˆ z = ih( z x x L y = zp z) ˆ ˆ L = x p y p = i h ( x y z y x y x )
动量算符和角动量算符
周期性边界条件
在箱子边界的对应点A, A’上加上其波函数相等的条件，此边 界条件称为周期性边界条件。
y
rA
L 2
,
y,
z
A’ o
rA
L 2
,
y,
z
A
x
ce i [
px
L 2
p
y
y
pz
z
]
ce i
[
px
L 2
p
y
y
pz
z
]
z
L
由此得：
ei
pxL
1
于是有：
1
px L
2nx
px
2nx
§3.2 动量算符和角动量算符
1.动量算符 2.角动量算符
1.动量算符
（1）动量算符 （2）动量本征方程 （3）求解动量本征方程 （4）归一化系数的确定 （5）箱归一化
（1）动量算符
pˆ i
pˆ x
i
d dx
pˆ y
i
d dy
pˆ z
i
d dz
（2）动量本征方程
i
p
(r )
p
p
(r )
Ylm ( , ) (1)m Yl*m ( , )
m 1,2,3,,l
m的取值受的限制。对应一个 值，m 取值为 0, ±1, ±2, ±3, ..., ± 共 (2 +1)个值。即当 确定后，尚有(2 +1)个磁量 子状态不确定。换言之，对应一个值有(2 +1)个量子状态，这 种现象称为简并， 的简并度是 (2 +1) 度。
对于任意函数f (r, θ, φ)（其中，r, θ, φ都是 x, y, z 的函数）有
角动量表达式
角动量表达式角动量表达式角动量是物理学中一个非常基本的概念，它是描述物体旋转运动的特定量。
在量子力学中，角动量的概念更加广泛和深入，它对描述微观世界的物理过程和结果起着至关重要的作用。
本文将详细介绍角动量的概念和表达式。
一、角动量的概念角动量（Angular Momentum）是物理学中描述物体旋转运动的特定量。
简单来讲，旋转物体的角动量大小与物体质量、旋转速度以及旋转半径有关。
例如，一个以角速度ω绕某个轴旋转的质量为m的刚体，它的角动量公式可以表示为：L=Iω ——式（1）其中，I是该刚体绕轴的转动惯量，它是描述物体旋转惯性的物理量。
可以看出，物体的角动量随着其旋转的快慢以及转动惯量的大小而变化。
二、角动量的分类1.轨道角动量当物体绕某一中心轴旋转时，它产生的角动量称为轨道角动量（Orbital Angular Momentum）。
用符号L表示。
轨道角动量与物体质量、速度以及距离有关。
其表达式如下：L=r×p ——式（2）其中，r是物体相对于旋转轴的位置矢量，p是物体的动量矢量。
可以看出，物体的轨道角动量随着物体位置和动量的变化而变化。
2.自旋角动量自旋角动量（Spin Angular Momentum）是微观粒子的一个特殊性质，是除质量、电荷、磁矩外的一个基本属性。
用符号S表示。
自旋角动量是粒子自身的旋转运动，与粒子的质量和电荷无关。
其表达式如下：S=√s(s+1)h ——式（3）其中，s是自旋角动量大小，h是普朗克常数。
可以看出，自旋角动量大小取决于自旋量子数，而与物体位置和动量无关。
三、算符表示在量子力学中，物理量用算符表示。
角动量也不例外，它有一个对应的算符表示。
对于轨道角动量，它的算符表示为：L=xpy−yp x ——式（4）其中，x和y分别代表坐标方向，px表示动量x方向分量，py表示动量y方向分量。
对于自旋角动量，它的算符表示为：sz|s,m⟩=m|s,m⟩——式（5）其中，s和m分别代表自旋量子数和z方向自旋分量，|s,m⟩表示自旋态，sz是z方向自旋角动量算符。
5.4角动量算符
∫ sin θ dθ dϕ θ , ϕ
θ ,ϕ = 1 ，
r ' = ∫ dr r δ ( r − r ') ，而将 ∫ r 2 dr r r = 1 右乘 r ' 有： r ' = ∫ r 2 dr r r r ' ，
r r' = 1 δ ( r − r ') 。 r2
r (after expansion, to move PS −1 to right, PS to left) 。我们将指数算符作用到任一函数 ϕ (r ) ，则有
r r r r PS (r × ∇) z PS −1ϕ (r ) = PS (r × ∇) z ϕ ( Sr ) ，
r r r r 令 r ' = Sr ，所以 r = S - 1r ' ， ∇ = S −1∇ ' ，于是有
PR (ω ,γ ) = e
r
，
r ˆ 其中算符 L 是轨道角动量算符 x 表象的形式。
2. Hilbert 空间的极坐标基矢 在前面我们使用 Hilbert 空间是 x, y, z 方向一维运动的 Hilbert 空间的直积空间，其基矢
r r r r r = x y z ，它的完全性关系为 ∫ dr r r = 1 ，而正交归一性关系为
i r − γω ⋅ L r r l PR (ω , γ ) lm = e h lm = ∑ lm ' Dm ' m (ω , γ ) ， m' r
r r 若令 ω = 3 ，则
i r r − γ Lz l l − im 'γ PR (3, γ ) = e h ， Dm ， ' m (3, γ ) = Dm ' m (0, 0, γ ) = δ m ' m e
3.2 动量和角动量算符
得归一化的波函数为
1 imϕ Φm (ϕ) = e 2π
(m = 0, ±1, ±2,⋯ )
L2的本征值问题
ˆ L2Y (θ , ϕ ) = λ ℏ 2Y (θ , ϕ )
L2 的本征值方程可写为：
1 ∂ ∂ 1 ∂2 −ℏ [ (sin θ )+ 2 ]Y (θ , ϕ ) = λ ℏ 2Y (θ , ϕ ) (3.2.16) sin θ ∂θ ∂θ sin θ ∂φ 2 或：
的本征方程 L2的本征方程
ˆ L2Ylm (θ , ϕ ) = l (l + 1)ℏ 2Ylm (θ , ϕ )
(3.2.22） ） Lz的本征方程
ˆ LzYlm (θ , ϕ ) = mℏYlm (θ , ϕ )
(3.2.23） ）
→
l z = mℏ
m = 0,±1,±2, ⋯
例: 若体系的波函数就是球谐函数 Y20 (θ , ϕ ) (1)求其角动量矢量与 z 轴的加角. 求其角动量矢量与 轴的加角
2
1 ∂ ∂ 1 ∂2 [ (sin θ )+ 2 ]Y (θ , ϕ ) = −λY (θ , ϕ ) 2 sin θ ∂θ ∂θ sin θ ∂φ
(3.2.17)
其中 Y(θ,ϕ) 是 L2 属于本征值 Y(θ λℏ2 的本征函数。此方程就是球谐函数方程 ℏ 的本征函数。 为使 Y(θ,ϕ) 在θ 变化的区域(0, π)内是有限的， 则必须满足：λ = ℓ（ℓ + 1), 其中 ℓ = 0, 1, 2, ... (3.2.18） ）
− iℏ∇ψ p (r ) = pψ p (r )
求解 采用分离变量法，令： 采用分离变量法，
（3.2.1） ）
ψ p ( r ) = ψ ( x )ψ ( y )ψ ( z )
动量算符及角动量算符的球坐标表示
一
很显然动量算符的 r,0 分量 仇 形式为
九 ＝－访
a
1
a
O
8r
r 汾
分量
r
r
^ ，过渡到量子力学，由于 p 和 r 不对易，为了保证径向
l
8
rsin 0 8<p
。
动量算符是厄密算符我们可以取
仇＝早 • 6 + 6 • _i:_) = -itz立 ＿ 竺 2 r r ar r
这才是动量径向分量的算符表示，它满足厄密性的要求。 同理，可以构造 九＝—他 • p +p • e。) = - in.- — - in. 。它 2 r 80 2rt的 也满足厄密性的要求。 2.2.3 -in
在世子力学中，动匮打符P= ih'v这样角动扭环符表示为 l-= ;- f, =-盼X'v
代入(1), 表示成直角坐标系中的(i j k)方向
这样就得到了CL. 工，L.)的球坐标表示式 L, a a := iii(sin!p -十ctgfJcos!p一） afJ 呼
四、推出球坐标中C'的表示式 由(5)可知 一 - a8· aO· -=r·= cos旰· ＇ 、J 动 砰
r 汾
= -itz — - — ，
6
巾
Or
r
I 8
1
2rtg0
， p~ = - iii
1
a
rsin 0 acp
。
' . ' ^ =-ism <p + jcos<p 由坐标变换得 e
- in
1
rsin 0
— = e0 • p
匈
8
•
,
= ~ism <p + j cos<p X九 - y y
天津大学《量子化学》角动量
4 2
2
1
Y2,1
15 sin cos exp( i) 8
2
2
1 Y2,2 4
15 sin2 exp( 2i) 2
角动量的阶梯算符法 (The Ladder-operator method for
angular momentum)
➢ 本节产生用算符的对易规则来推导角动量的 本征值。该方法不必知道算符的具体表达式， 因此其结论适用于任何满足角动量对易规则 的算符。
Mˆ Mˆ zY Mˆ bY
由于 Mˆ Mˆ z Mˆ z Mˆ Mˆ
所以 Mˆ zMˆ Mˆ Y bMˆ Y
变形 Mˆ z Mˆ Y b Mˆ Y
➢
结论：如果Y是
Mˆ
的具有本征值b的本征函
z
数，则
Mˆ
Y仍是
Mˆ
的本征函数，本征值为
z
(b+ħ)。
➢ 将升算符重复作用k次，则有
所以 c ll 12,l 0,1,2,
m l,l 1,l 2,,1,0,1,,l
本征函数
Sl,m
2l 1 2
l l
m m
!1/ !
2
Pl
m
cos
(Pauling & Wilson, Introduction to Quantum Mechanics, McGraw-Hill, New York, 1935)
所以
Mˆ x, Mˆ y iMˆ z
同理可证 Mˆ y , Mˆ z iMˆ x Mˆ z , Mˆ x iMˆ y
b) 角动量平方算符 Mˆ 2与角动量分量算符之间的
对易关系式
Mˆ 2, Mˆ x
Mˆ
动量算符角动量算符
i ( r ) p ( r ) ( 1 ) p p
函数。
p 是动量算符的本征值， p ( r ) 是属于此本征值的本征
分量式：
i p ( r ) p x p ( r ) x i p ( r ) p y p ( r ) y i p ( r ) p z p ( r ) z
它们的解是
i ( r ) C e x p (p r ) ( 2 ) p
本征值 ( 可取所有实数，构成连续谱。 ppp ,y ,z ) p x
２、动量本征函数的归一化
i 求归一化常数 C ？ ( r ) C e x p ( pr ) p
() r () r d 计算积分： p p 2
可得
ˆ Lx i (sin ctg cos ) ˆ Ly i (cos ctg sin ) (16) ˆ Lz i x
y
和
2 2 2 ˆ L ( 1 7 ) z 2
N Pl (cos ) 是缔合勒让德多项式，
m
lm
是归一化常数。
N
lm
由 Ylm ( , ) 的归一化条件定出：
Y ( , ) Y ( , )s in d d 1 ( 2 2 ) l m l m
2
0 0
( lm ) !2 l 1 得 N ( 2 3 ) l m ( lm ) !4
即 r ) ( rd ) ( p p ) ( 3 ) ( p p
( r ) p 其中 3 ( 2 )2 为什么 p ( r ) 不能归一化为1，而是归一化为 函数： 这是由于动量本征值可以取连续值， p 的各分量可取任 意实数，动量本征值构成连续谱。
量子力学中的角动量和角动量算符
量子力学中的角动量和角动量算符量子力学是一门研究微观世界的学科，其理论框架是由一系列的数学工具和基本原理构成的。
其中，角动量是量子力学中一个重要的概念之一。
本文将深入探讨量子力学中的角动量和角动量算符。
一、经典力学中的角动量在深入讨论量子力学中的角动量之前，我们首先要回顾一下经典力学中的角动量。
在经典力学中，角动量是描述物体旋转运动的物理量。
它的大小等于物体的转动惯量乘以角速度，即L=Iω。
根据角动量公式，我们可以得知，当物体的转动惯量变大或角速度增大时，其角动量也会随之增大。
二、角动量的量子化然而，在量子力学中，角动量与经典力学有所不同。
根据量子力学的原理，物理量是以量子的形式存在的，即具有能级的离散取值。
角动量便是其中之一。
量子力学中的角动量是由波函数描述的，而波函数是角动量算符的本征函数。
三、角动量算符在量子力学中，角动量算符用J表示，可以分为轨道角动量算符L和自旋角动量算符S两部分。
轨道角动量算符L与物体的形状和运动有关，描述的是物体的转动运动；而自旋角动量则是描述粒子自身的性质，与其内在特性有关。
这两者的和即为总角动量算符J。
四、角动量算符的本征函数和本征值由于角动量算符是具有量子性质的，所以它的本征函数和本征值是量子力学研究中的重要问题之一。
角动量算符的本征函数可以用球谐函数表示，它们具有特定的轨道和角动量量子数。
这些本征函数对应的本征值则是角动量的取值。
五、角动量的算符性质角动量算符具有一些特殊的代数性质，比如它们之间的对易关系和升降算符。
对易关系给出了角动量算符之间的相互关系，如[Lx,Ly]=iħLz。
而升降算符则可以用来改变角动量的量子态。
这些性质使得我们可以更好地研究和描述量子力学中的角动量现象。
六、角动量的应用角动量在量子力学中具有广泛的应用。
例如，我们可以通过角动量算符来描述原子、分子和固体中的电子的运动状态。
此外，角动量还可以用于解释和预测粒子的自旋现象，如自旋磁矩和自旋共振等。
量子力学中的角动量与角动量算符
量子力学中的角动量与角动量算符角动量是描述物体旋转运动的物理量，它在量子力学中起着至关重要的作用。
量子力学中的角动量与经典力学中的角动量有所不同，其运动规律由角动量算符来描述。
一、角动量的基本概念在量子力学中，角动量是由角动量算符来表示的，它是描述粒子旋转运动的物理量。
角动量算符可以分为轨道角动量算符和自旋角动量算符两部分。
1. 轨道角动量算符轨道角动量算符由位置和动量算符通过矢量叉积得到，表示为L= r × p。
其中，r为位置矢量，p为动量矢量。
轨道角动量算符包括三个分量：Lx、Ly和Lz。
它们满足角动量的对易关系：[Lx, Ly] = iħLz，[Ly, Lz] = iħLx，[Lz, Lx] = iħLy，其中ħ为普朗克常数除以2π。
2. 自旋角动量算符自旋是粒子的内禀属性，不同于轨道角动量由粒子的运动决定。
自旋角动量算符表示粒子的自旋，通常用S来表示，包括三个分量：Sx、Sy和Sz。
自旋角动量算符的对易关系与轨道角动量相似，均满足：[Sx, Sy] = iħSz，[Sy, Sz] = iħSx，[Sz, Sx] = iħSy。
二、角动量的量子化角动量的量子化是指角动量在量子力学中具有离散的取值。
轨道角动量和自旋角动量的量子化规律不同。
1. 轨道角动量的量子化轨道角动量的量子化是由角动量算符的本征值问题引出的。
根据角动量算符的对易关系，可以得到角动量算符的共同本征函数，并通过求解薛定谔方程得到它们的本征值。
进一步讨论可以得到轨道角动量的量子化条件：L^2 = l(l+1) ħ^2，Lz = mħ，其中l为角量子数，m为磁量子数。
角量子数决定了角动量的大小，磁量子数决定了角动量在空间中的方向。
2. 自旋角动量的量子化自旋角动量的量子化是由自旋角动量算符的性质引出的。
自旋算符的本征值满足：S^2 = s(s+1) ħ^2，Sz = msħ，其中s为自旋量子数，ms 为自旋在空间中的方向。
量子力学中的角动量算符
量子力学中的角动量算符在量子力学中，角动量是一个非常重要的物理量。
它描述了粒子的旋转运动和自旋状态。
为了描述和计算量子系统中的角动量，我们使用角动量算符。
本文将介绍量子力学中的角动量算符以及其相关特性。
一、角动量算符的定义角动量算符是量子力学中用来描述角动量的数学表达式。
对于自然界中的粒子，其角动量算符由三个互相独立的分量组成：Lx、Ly和Lz。
它们分别对应了角动量在x、y和z方向上的投影。
这些算符可以写成以下形式：Lx = yLz - zLyLy = zLx - xLzLz = xLy - yLx其中，x、y和z是坐标系中的轴。
二、角动量算符的性质角动量算符具有一些重要的性质，其中一些是经典力学中角动量的推广，而另一些则是由量子力学的性质决定的。
1. 对易关系角动量算符满足对易关系，即：[Lx, Ly] = iħLz[Ly, Lz] = iħLx[Lz, Lx] = iħLy其中ħ是普朗克常量的约化版本。
2. 共同本征态角动量算符有一组共同的本征态，即轨道角动量的本征态和自旋的本征态。
这些本征态由量子数来标记，分别是轨道角动量量子数l、角动量的z分量量子数m以及自旋量子数s。
对于每一个量子数组合，都对应着一个特定的本征态。
3. 角动量的取值范围轨道角动量的量子数l可以取零或正整数值，如0、1、2等，而z分量量子数m的取值范围为-l到l的整数，例如l为1时，m可以是-1、0或1。
自旋量子数s只能取0或1/2。
这些量子数的取值范围决定了角动量算符的本征值。
三、角动量算符的应用角动量算符在量子力学中的应用非常广泛。
下面将介绍一些常见的应用。
1. 角动量的量子数通过角动量算符，我们可以得到一些重要的物理量，如角动量的大小和方向。
通过计算角动量算符的本征值，可以确定量子系统的角动量取值。
2. 角动量的叠加当将两个或多个角动量相加时，我们需要使用角动量算符来描述。
通过对角动量算符的叠加，可以得到合成系统的总角动量。
§3.1-3.2 表示力学量的算符 动量算符和角动量算符
[Ô, Û] = 0 (Ô Û)+ = Ô Û
1．指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。 ．指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。
d d d2 (1) 4 x 2 2 (c1u1 + c2u2 ) = 4 x 2 2 (c1u1 ) + 4 x 2 2 (c2u2 ) dx dx dx d2 d2 = c1 ⋅ 4 x 2 2 u1 + c2 ⋅ 4 x 2 2 u2 是线性算符 dx dx
（3Байду номын сангаас算符之和
若两个算符 Ô、Û 之和定义为：对体系的任何波函数 有： 、 之和定义为：对体系的任何波函数ψ
(Ô＋Û)ψ=Ôψ+ Ûψ
Hˆ = Tˆ + V ˆ 算符 Hamilton 体系动能算符 势能算符 表明 Hˆ 等于 Tˆ 和 V ˆ 之和。 之和。
显然，算符求和满足交换率和结合率。 显然，算符求和满足交换率和结合率。
4 掌握氢原子的量子力学处理方法和相关的结果。了 解 掌握氢原子的量子力学处理方法和相关的结果 氢原子的量子力学处理方法和相关的结果。 氢原子内电子坐标取值的概率分布、 氢原子内电子坐标取值的概率分布、电流密度分布和原 子磁矩的概念。 子磁矩的概念。 5 掌握厄密算符的性质：本征值为实数，本征函数的正 掌握厄密算符的性质 本征值为实数， 厄密算符的性质： 交性和完备性。 交性和完备性。 6 理解和掌握测不准关系。 理解和掌握测不准关系。 测不准关系
例如： 例如：算符 x ∂ ˆ px = −iℏ ∂x 不对易。 不对易。
证：
ˆ (1) xpxψ = x(−iℏ ∂∂x )ψ = − iℏx ∂∂x ψ
ˆ (2) px xψ = (−iℏ ∂∂x )xψ = −iℏψ − iℏx ∂∂x ψ
3-5 角动量算符
L r p rer pr er p e p e rp e rp e
由此可得
2 2 L2 L L r 2 p p
(15)
(16)
2 2 p2 pr2 p p pr2
L2 r2
(17)
3-5 角动量算符
L12 L21 L3 ,
根据定义就很容易验证这个关系。 (19)式也可以写为
L23 L32 L1 ,
L31 L13 L2
(19)
Lij ijk Lk
1 Lk ijk Lij 2
与磁感强度的分量之间的关系，与此完全类似。 (20)和(21)式可以相互导出。首先，根据(21)式，可得
(31)
在证明过程中，重复指标的求和约定将表达式简化了许多。注意，在代入(25)式时求和指标 （重复指标）的调整，为了避免和自由指标 j 重复，将求和指标改为 k , l ；第二步应用了算
ˆ ˆ, C ˆ A ˆ B ˆ A ˆ, C ˆB ˆ, B ˆ ，以 ˆ, C ˆ ；第三步用了算符恒等式 A ˆ B ˆ, A 符恒等式 AB
ˆ ˆ L x , x 0, ˆ ˆ L ˆ y , x i z, ˆ ˆ L ˆ z , x i y,
(28)式相当于如下九个公式
ˆ ˆ L ˆ x , y i z, ˆ ˆ L y , y 0, ˆ ˆ L ˆ z , y i x, ˆ ˆ L ˆ x , p y i pz , ˆ ˆ L y , p y 0, ˆ ˆ L ˆ z , p y i px , ˆ ˆ ˆ L x , Ly i Lz , ˆ ˆ L y , Ly 0, ˆ ˆ ˆ L z , p y i Lx ,
角动量表达式
角动量表达式角动量表达式是描述物体旋转运动的重要公式，它在物理学中有着广泛的应用和意义。
本文将从角动量的定义、角动量的性质以及角动量的计算公式等方面对角动量表达式进行详细介绍。
一、角动量的定义角动量是描述物体旋转运动的物理量，它是由物体的质量、角速度和旋转半径等因素共同决定的。
在物理学中，角动量的定义可以用以下公式来表示：L = Iω其中，L表示角动量，I表示物体的转动惯量，ω表示物体的角速度。
从这个公式可以看出，角动量是由物体的转动惯量和角速度共同决定的，当物体的转动惯量越大，角速度越小，角动量就越大。
二、角动量的性质角动量有一些重要的性质，它们对于理解角动量的概念和应用非常重要。
1. 角动量守恒定律角动量守恒定律是物理学中的一个重要定律，它指出在一个封闭系统中，当没有外力作用时，系统的总角动量守恒。
这个定律对于解决物体旋转运动中的一些问题非常有用，例如在一个旋转的陀螺上，当没有外力作用时，陀螺的角动量守恒。
2. 角动量的方向角动量的方向与物体旋转的方向相同，它的方向可以用右手定则来确定。
右手定则是指当右手握住物体旋转的方向时，拇指所指的方向就是角动量的方向。
3. 角动量的单位角动量的单位是牛顿·米·秒（N·m·s），它可以用以下公式来计算：L = Fd其中，F表示作用力，d表示作用点到转轴的距离。
从这个公式可以看出，角动量和力矩有着密切的关系。
三、角动量的计算公式角动量的计算公式是描述角动量的重要工具，它可以用来计算物体的角动量和角速度等参数。
在物理学中，常用的角动量计算公式有以下几种：1. 点粒子的角动量对于一个点粒子，它的角动量可以用以下公式来计算：L = rp其中，r表示粒子到转轴的距离，p表示粒子的动量。
从这个公式可以看出，点粒子的角动量与动量和距离有关。
2. 刚体的角动量对于一个刚体，它的角动量可以用以下公式来计算：L = Iω其中，I表示刚体的转动惯量，ω表示刚体的角速度。
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对于绕 z 轴旋转 角，(44)式成为
若是一无穷小角度，则可将上式展开并保留 到一阶项：
3
将此式与(43)式的一阶展开 比较得到
此式当然与我们直接由 L = r p 求得的结 果相一致。
4
2、多分量态函数情况
多分量态函数的旋转变换，有一矩阵 D 作用于内禀 自由度；即其形成态函数各分量的线性组合。
5
因此，(43)式幺正算符的普遍形式为
(46)
它的两个因子相互对易，因为第一个作用于坐 标x, 而第二个作用于列矢量的分量. 幺正矩阵D 可以写作
(47)
6
其中，S = (Sx, Sy, Sz)为厄米矩阵.
将(47)代入(46)并与(43)比较，我们看到角动量 算符的形式为
J=L+S
(48)
这里 L = r p ，[ L , S ]=0 ( = x, y, z).
算符 L 和 S 分别称为角动量的轨道部分和自旋 部分.
7
§3.4 角动量算符的明确形式
如上所述，相应于绕一轴旋转角的幺正算符
可以表示为
(43)
其中， 表示沿转轴的单位矢量。
1
1、单分量态函数情况
令 为一在坐标表象中的单分量态函数，则 经一旋转变换后为
(44)
其中，R是(43)形式的算符，R-1是33的坐标旋 转矩阵的逆矩阵。譬如对于直角坐标的三个轴：